Пифагорейская теория чисел

Проблемой числа занимались многие учения и духовные традиции. На Востоке число в наибольшей степени исследовалось индусской, китайской и тибетской метафизикой; на Западе оно занимало прежде всего египетскую, пифагорейскую, иудаистскую и каббалистическую традицию. Каждая из этих традиций видела в числе либо проявление Божественных сил, либо уровни и аспекты Природы, либо символ глубинной структуры человека. Особое внимание уделял проблеме числа пифагоризм с его доктриной музыки сфер, где энергетические вибрации каждой звучащей планеты имели свое число. Не менее важным было в пифагорейской теории учение о тетрактисе (тетраде). Блаватская пишет о нем следующее:

"Тетрактис или тетрада (греч.) — священная «четвёрка», которой клялись пифагорейцы. Эта клятва была самой обязательной и, как и тетраграмматон, имела множественный мистический смысл. Прежде всего, она обозначала Единство или Единицу под четырьмя различными аспектами. Затем, это фундаментальное число «четыре», а сама тетрада содержит декаду или десятку — число совершенства. Наконец, она обозначает первичную триаду или треугольник, погруженную в божественную монаду."

Ученый-каббалист иезуит Кирхер в своей книге "Египетский Эдип" приводит невыразимое имя IHVH как каббалистическую формулу из семидесяти двух имен, расположенных в форме пифагорейской тетрады… В "Разоблаченной Изиде" объясняется, что мистическая декада образуется из тетрактиса — 1+2+3+4=10 и является способом выражения мысли о том, что Единица — это безличный принцип Бога; Двойка — это материя; Тройка объединяет монаду и диаду и принимает участие в природе обеих, образуя феноменальный мир; Тетрада, как форма совершенства, отражает пустоту всего; и, наконец, Декада есть сумма всего и включает в себя Космос." Кстати, любопытно, что обратный порядок чисел — 4+3+2+1 — с точки зрения индуистских представлений символизирует собой соотношение временной протяженности каждой их четырёх Юг (мировых космических периодов), называемых Сатья-Юга (Золотой век), Трета-Юга (Серебряный век), Двапара-Юга (Бронзовый век) и Кали-Юга (Железный век).

Согласно пифагорейскому определению, впоследствии принятому в античной философии, число представляет собой множество, составленное из единиц. Развивая эти идеи, Аристотель утверждал, что "точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения". Именно поэтому последователи пифагореизма определяли единицу "границей между числом и частями" то есть между целыми числами и дробями, хотя и видели в единице потенциально неделимый, "вечный корень" бытия, своеобразный числовой атом. Все прочие числа связаны с единицей нерасторжимыми и таинственными узами. Наука, изучающая сущность числа, называлась пифагорейцами арифметикой и считалась главной среди основных разделов, составляющих данную систему знания, — геометрии (как учения о фигурах и способах их измерения), музыки (как учения о гармонии и ритме) и астрономии (как учения о строении Вселенной).

Пифагорейская теория исходит из того, что арифметика, будучи изначально первичнее других дисциплин, подразделяется на два больших направления:

— направление, связанное с множественностью или же составляющими частями вещи;

— направление, сосредоточенное на величине или же относительной величине, так называемой «плотности» вещи.

Дальнейшее изложение пифагорейской теории чисел хорошо сделано Мэнли Холлом:

"Величина делится на две части — величину постоянную и величину изменяющуюся, и постоянная часть имеет приоритет перед изменяющейся. Множественность также разделяется на две части, потому что она относится как к самой себе, так и к другим, и первое отношение имеет приоритет. Пифагор посчитал арифметику имеющей дело с множественностью, относящейся к самой себе, а искусство музыки — с множественностью, относящейся к другим вещам. Геометрия подобным образом считается имеющей дело с постоянной величиной, а астрономия — с изменяющейся величиной. И множественность, и величина очерчены сферой ума. Атомистическая теория является результатом числа, потому что масса образована частицами и ошибочно принимается за одну простую субстанцию."

Числа у Пифагора считались не просто абстрактными заменителями реальных вещей, но живыми сущностями, отражающими свойства пространства, энергии или звуковой вибрации. Об этом хорошо написал исследователь наследия Пифагора А. В. Волошинов. Главная наука о числе, арифметика, была неразрывно связана с геометрией и потому числа, соотносящиеся с правильными геометрическими фигурами, назывались фигурными. Они подразделялись на:

— линейные числа — самые простые числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и вследствие этого могут быть изображены в виде линии, составленной из последовательно расположенных точек;

Линейное число 5

— плоские числа — числа, которые могут быть изображены и представлены в виде произведения двух сомножителей;

Плоское число 6

— телесные числа- числа, которые могут быть выражены произведением трех сомножителей;

— треугольные числа — числа, которые могут быть изображены треугольниками;

Треугольные числа 3, б, 10

— квадратные числа — числа, которые могут быть изображены квадратами;

Квадратные числа 4, 9, 16

— пятиугольные числа — числа, которые могут быть изображены пятиугольниками.

Пятиугольные числа 5, 12, 22

Согласно Платону числа, понимаемые как обладающие геометрическими структурными свойствами, т. е. «квадратные», "прямоугольные", «треугольные» занимают среднее положение между вещами и идеями.

Для того, чтобы глубже понять, что такое число в пифагорейской традиции, необходимо раскрыть смысл таких её важных понятий, как монада и единое. Монада, согласно пифагореизму, есть всевключающее Единое Начало, "благородное число, Прародитель Богов и людей", которое можно уподобить семени дерева с множеством ветвей (других чисел, впоследствии произросших из единицы). Монада представляется также как сумма любых комбинаций чисел, рассматриваемых как целое, потому монадой может считаться как вся вселенная, так и индивидуализированные части вселенной (разумеется по отношению к тем частям, из которых они состоят). Интересно, что от греческого слова «Монада» произошло слово «Монастырь», столь важное для русской духовной традиции. В отличие от монады единое, определяемое как вершина многого, по словам Мэнли Холла "используется для обозначения суммы частей, рассматриваемой как единичное, в то время как единое есть термин, приложимый к каждой из его частей, составляющих целое".

Отсюда возникают пифагорейские определения числа как "расширения и энергии сперматических оснований, содержащихся в монаде" и "первого образца, использованного Демиургом при сотворении вселенной".

Числа подразделялись пифагорейцами на два вида: чётные и нечетные. Чётность и нечётность понимались как признаки, относящиеся к делимости и женскому и мужскому началу. Любое чётное число всегда можно разделить на две чётные или нечетные части, которые будут равными. Любое нечётное никогда нельзя разделить на две равные части — при любом делении одна часть всегда будет четной, а другая нечетной. Поскольку свойству деления метафорически соответствует свойство проявления, то делимость нечетных чисел никогда не предполагала раздробление самой основы чисел — Единицы, которая считалась абсолютно определенным числом и отождествлялась с мужским началом. Напротив, чётные числа, начиная с Двойки, относились к женскому и неопределенному началу, и их деление не затрагивает саму Единицу. На это справедливо указывал исследователь символизма чисел А.Г. Дугин:

"Первый ряд начинается с числа 1, которое символизирует Чистое Бытие (CAT, Брахма Сагуна или "Дао-с-Именем"). Это синоним внутрибытийной Всевозможности. Из числа 1 происходят все числа, так как все числа суть Единица, взятая некоторое количество раз. Метафизическое возникновение чисел из 1 (и уже первого из этих чисел, числа 2) никоим образом не является дроблением самой Единицы или делением на 2 и более частей. 1 (Единица) — это полнота бытийной Возможности, и будучи Возможностью: она всегда сохраняется равной самой себе, тогда как Действительность, ею порождаемая, ничто не отнимает от её полноты и никоим образом её не делит. Двойственность и последующая множественность есть не что иное, как "оптическая иллюзия" при взгляде на одну и ту же Единицу, и поэтому при происхождении чисел осуществляется деление не самой Единицы, но её образа, и в конечном счете, её призрака, её химеры. Поэтому 2 метафизически не равно 1+1, а равно тому же реальному 1 (одному) + его отрицанию, фиктивно полагающему еще что-то там, где нет ничего. Поэтому 2 рассматривается в Традиции как число негативное, и в книге Бытия, и в Библии, на Второй День Творения сакральная фраза "И увидел Бог, что это хорошо" опущена. В Библии вообще всякий сюжет, связанный с удвоением, — творение Евы (создание перво-пары людей), два первых сына Адама и Евы, Каин и Авель и т. д. — обязательно сопровождается негативными событиями — грехопадением, первым в сакральной истории убийством и т. д. Это негативное отношение к числу 2 наличествует и во всех остальных традициях, что метафизически вполне понятно."

О негативном отношении пифагорейцев к четным числам и двоичности существует немало свидетельств. Об этом пишет Блаватская:

"Нечётные числа божественны, чётные числа являются земными, дьявольскими и несчастливыми. Пифагорейцы ненавидели Двойку. У них она являлась началом дифференциации, следовательно противоположений, дисгармонии или материи, началом зла. В Теогонии Валентина Bythos и Sige (Глубь, Хаос, Материя, рожденная в Молчании) означали предвечную Двоячность. Однако, у ранних пифагорейцев Диада была тем несовершенным состоянием, в которое впало первое проявленное существо, когда оно отделилось от Монады. Это было той точкой, из которой раздвоились два пути — добра и зла. Всё, что было двулично или ложно, называлось ими «Двоячностью». Лишь Одно было хорошо и являло гармонию, ибо никакая дисгармония не может произойти от одного, единого".

Кстати, и Вергилий, знакомый с тайной наукой посвящения, говорил о том, что: "Нечётное число приятно Богу".

Нечётные числа начинаются с числа три. Что касается Единицы, то пифагорейцы считали её андрогинным, то есть совмещающим мужские и женские атрибуты, числом, поскольку при добавлении его к чётному (отрицательному) числу получается нечётное (положительное) число, а при добавлении единицы к нечётному, оно превращается в чётное, и таким образом, мужское число становится женским. Чётность и нечётность были для пифагорейцев столь важными понятиями, что они включали эту бинарную оппозицию наряду с другими парами (такими как мужское-женское, светлое-тёмное, предельное-беспредельное, доброе-злое) в список из десяти пар противоположностей, которые они считали началом всего сущего. Пифагорейцы оперировали числами не только в уме, виртуально, но и реально: у них каждому числу соответствовал камешек (calculus — отсюда и современное слово калькулятор). Камешки раскладывались на доске, называемой абак, которую А. В. Волошинов назвал первой в истории "вычислительной машиной". Вначале счёт был безмолвным (само слово «абак» означает "бессловесный") и производился в уме, а затем появилась письменная фиксация чисел и операций с ними, названная нумерацией и распространенная в своих двух разновидностях — аттической и ионийской. До наших дней дошла таблица умножения, записанная в ионийском ключе, которая помимо своей основной функции представляла собой иллюстрацию такого свойства чисел как их пропорциональность. Вообще, учение о пропорциях было важным свойством системы Пифагора. Под пропорциями пифагорейцы понимали равенства отношений между измеренными величинами. Основное свойство пропорций заключалось в том, что произведение средних членов пропорции всегда равно произведению крайних её членов. Пропорции подразделялись на арифметические, геометрические, гармонические (музыкальные) и непрерывные (то есть такие, у которых средние члены совпадали). Одна из наиболее ярких пропорций, открытых пифагорейцами, была впоследствии названа "золотым сечением" Леонардо да Винчи, который пытался воплотить её принцип в своих многочисленных изобретениях. Принцип золотого сечения применялся в античной архитектуре, где все произведение смотрелось как единое целое лишь в том случае, когда все его части находятся в непрерывной пропорциональной взаимозависимости. (Кстати, принцип пропорциональности нельзя считать принадлежащим одной лишь западной культуре — достаточно вспомнить знаменитый тибетский "Канон пропорций".)

Пифагорейская наука о числах, переведенная в пространственную, то есть геометрическую плоскость, позволила ввести в эту область знания понятие аксиом (отправных недоказуемых положений, носящих характер самоценной истины) и теорем (выводящих истину из предшествующих логических рассуждений и систем аксиом). "Доказуются теоремы, а аксиомы проверяются сердцем", — говорил Пифагор, подчеркивая разницу между рациональным и интуитивным способом познания. И конечно, одним из наиболее известных, обессмертивших имя философа, достижений стала знаменитая теорема Пифагора.

Пифагорейский принцип "Все есть число" нашел свое отражение в теории музыки, где были открыты новые пропорции чисто звукового плана. А. В. Волошинов следующим образом формулирует два закона, связанные с символизмом чисел и положенные в основу пифагорейской теории музыки:

"1. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число 10= 1+2+3+4, то есть 1:2, 2:3, 3:4. При этом интервал тем звучнее, чем меньше число «п» в отношении: n — , где n=1,2,3 п+1

2. Высота тона определяется частотой колебания струны W, которая обратно пропорциональна длине струны L:

а W= —

L

Из разнообразных понятий, составляющих основы теории (гамма, интервал, консонанс, тоника, лад, музыкальный строй), пифогорейцев больше всего интересовало последнее понятие, означающее математическое выражение системы звуковысотных отношений, ибо именно в музыкальном строе они находили наивысшее выражение принципа гармонии.

Легенда гласит, что гармонические числа, соотношение которых рождает музыку сфер, были найдены Пифагором. Фламмарион так пересказывает это предание:

"Рассказывают, что проходя мимо одной кузницы, он услыхал стук молотов, которые с точностью передавали музыкальные созвучия. Он велел взвесить молоты; оказалось, что из двух молотов, находившихся в расстоянии октавы, один весил вдвое больше другого; что из двух, находившихся в расстоянии квинты, один весил в три раза больше другого; А для расстояния кварты — один весил вчетверо больше другого. Легко было сделать подобные вычисления относительно терций, тонов и полутонов. После опытов над молотами, произвели опыт над струной, натянутой гирями; Оказалось, что когда струна издавала какой-то звук при определенном весе гири, то для повышения этого звука на октаву, вес гири потребовался вдвое больше; для квинты — только на треть больше, для кварты — на четверть, для тона — на одну восьмую, для полутона — на одну восемнадцатую, или около этого. Или говоря проще: натянули струну, которая при всей своей длине издавала какой-то звук; сжатая по середине, она давала октаву от первоначального звука; на одной трети длины — квинту, на четверти — кварту, на восьмой доле длины — тон, на восемнадцатой — полутон.

Так как древние определяли Душу по движению, то количество движения должно было служить для них мерою количества Души."

Они видели это количество выражаемых цифрой 114 695 при 36 тонах — гармонических ступенях Мировой Души.

Под музыкой последователи великого мудреца понимали не только звуки, извлекаемые из популярного тогда однострунного музыкального инструмента древних греков монохорда, но и звучание космических тел, пение светил, которое они воспринимали не метафорически, но реально. Неслышимая профаном, эта музыка отчетливо слышится посвящённым, утончившим свой слух и чувство гармонии до космического уровня. Звучание планет предопределено их огромной скоростью движения. На это свойство Космоса указывал позднее Филолай: "Когда несутся Солнце, Луна и еще столь великое множество таких огромных светил со столь великою быстротою, невозможно, чтобы не возникал некоторый необыкновенный по силе звук."

Блаватская дает представление о космической октаве пифагорейской музыки сфер: "Именно на числе семь Пифагор основал свою доктрину Гармонии и Музыки Сфер, назвав «тоном» расстояние Луны от Земли; от Луны до Меркурия — полутоном, так же как и от Меркурия до Венеры; от Венеры до Солнца — полтора тона; от Солнца до Марса — тон; от Марса до Юпитера — пол-тона; от Юпитера до Сатурна — пол-тона и от Сатурна до зодиака — один тон; что составляет семь тонов — диапазон гармонии. Вся мелодия Природы заключается в этих тонах и потому называется "Голосом Природы""

Музыкальная космогония пифагорейцев была основана на четком убеждении, что вселенная устроена упорядоченным и симметричным образом. Именно поэтому слово Космос, которым в Древней Греции называли вселенную, означало порядок, строй, гармонию, эстетически оформленную организацию мироздания. Символом космического бытия является в пифагорейской традиции шар как фигура, обладающая наибольшей степенью симметрии и совершенства. На основе пифагорейской концепции устройства вселенной и музыки сфер Платон создал теорию небесного гептахорда (семиструнника), описывающую семь подвижных сфер, настроенных друг по отношению к другу в определенных отношениях.

Исследователь феномена пифагорейства А. В. Волошинов пишет по этому поводу:

"Ключ к Платонову гептахорду спрятан в числах 1, 2, 3, а именно в пифагорейском понимании единицы как символа неделимого начала, двойки — как символа неопределенной бесконечности и тройки — как символа определенности. Но для Платона это слишком просто, и в качестве символа беспредельного он берет куб со стороной 2 площадью грани 4 и объемом 8. А в качестве символа определенности — куб со стороной 3 и параметрами 3, 9, 27. Тогда взаимное переплетение этих двух троек чисел плюс начало всего — единица — и дают то единство "беспредельного и определяющих начал", о котором говорил Филолай".

В дальнейшем теория пифагорейцев о музыке сфер получила свое развитие в трудах знаменитого ученого-астронома Иоганна Кеплера.

Пифагорейцы по качеству разделяли числа на три основных категории — несовершенные, совершенные, сверхсовершенные. Для определения к какой категории относится данное число они действовали следующим образом — расчленяли его на части, входящие в первый десяток и на само целое, таким образом, чтобы в результате получались не дроби, а целые части. К несовершенным относились такие числа, сумма частей которых была меньше целого. Примером такого числа можно служить число 8, так как его половина — четвёрка, одна четверть — двойка и одна восьмая — единица в сумме дают число семь. Совершенными считались такие числа, сумма частей которых равнялась целому. Первым совершенным числом считалась шестерка, так как её половина — тройка, треть — двойка и, наконец, шестая часть — единица в сумме составляют целое число шесть. Сверхсовершенными числами пифагорейцы считали такие числа, сумма частей которых превосходила рассматриваемое целое. Таким числом было, например, число 12, сумма частей которого (половина — шестёрка, треть — четвёрка, четверть — тройка, шестая часть — двойка и двенадцатая часть — единица) в сумме дают число 16. Другими сверхсовершенными числами были такие числа, как 18, 20, 24, 30, 40, 44 и т. д.

Пифагорейская нумерология оказала существенное влияние на представления более поздних эзотерических учений, рассматривающих числовой символизм.