Глава 3

Взлеты и падения жизни

При использовании математики в биологии следует всегда проверять результат интуицией, сопоставляя его с разумным биологическим поведением рассматриваемых объектов. Когда такая проверка выявит расхождение, нужно учесть вероятность того, что: а) была допущена математическая ошибка; б) исходные предположения неверны и/или являются слишком грубой моделью реальной ситуации; в) интуиция исследователя недостаточно развита; г) открыт новый основополагающий принцип.

(Харви Дж. Голд.) (Математическое моделирование биологических систем)

Стаи рыб жадно пожирают планктон. Влажные тропические леса кишат неизвестными рептилиями, птицами, скользящими под навесом густой листвы, гудящими, словно частицы в ускорителе, насекомыми. Там, где царит вечная мерзлота, идет трудная борьба за выживание: регулярно, раз в четыре года, стремительно возрастают, а затем убывают популяции мышей-полевок и леммингов. Наш мир — огромная лаборатория природы, создавшей около пяти миллионов взаимодействующих друг с другом биологических видов. Или пятьдесят миллионов? Специалистам точно не известно.

Биологи XX века, обратившись к математике, создали новую дисциплину — экологию, которая, абстрагируясь от реальной жизни сообществ животных и растений, стала рассматривать их как динамические системы. Экологи включили в свой арсенал элементарные инструменты математической физики для описания колебаний численности биологических объектов. Отдельные виды активно размножаются там, где ограничены пищевые запасы, другие находятся в стадии естественного отбора, третьи косит эпидемия. И все это может быть разделено, изолировано друг от друга и препарировано как на практике, так и в умах теоретиков от биологии.

Когда в 70-е годы хаос превратился в обособленную отрасль знания, экологам в ней была отведена специальная ниша. Ведь они тоже прибегали к математическому моделированию, сознавая, впрочем, что их модели лишь слабое приближение к реальному миру, в котором кипит жизнь. Зато осознание этого факта позволяло проникаться важностью идей, которые математики считали не более чем странными. Появление в стабильных системах неупорядоченного поведения означало для эколога отличный результат. Уравнения, применявшиеся в биологии популяций, являлись копиями физических моделей определенных фрагментов Вселенной. Тем не менее предмет исследования биологических наук превосходил сложностью любую физическую задачу. Математические модели биологов, как и те, что создавались экономистами, демографами, психологами, градостроителями, привносили в эти далекие от точности дисциплины элементы строгости и жесткости, однако напоминали карикатуры на реальный мир. Разумеется, стандарты, принятые в разных областях знания, различались: физику система уравнений Лоренца казалась простой, если не сказать примитивной, а для биолога она представляла непреодолимую трудность.

Биологи вынуждены были создать новые методы исследований, несколько по-иному подгоняя математические абстракции под реальные феномены. Физик, анализируя определенную систему (допустим, два маятника, соединенные стержнем), начинает с подбора уравнений: сначала лезет в справочник, а если там не найдется ничего подходящего, строит нужные уравнения исходя из основополагающих теоретических принципов. Зная механизм функционирования обычного маятника и учитывая жесткую связь (стержень), физик попытается решить уравнения, если такое возможно. Биологу же, напротив, никогда не придет мысль теоретически вывести необходимые уравнения, основываясь лишь на знаниях об отдельной популяции животных. Ему необходимо собрать исчерпывающие данные, а затем уж найти уравнения, которые дали бы схожий с реальностью результат. Что получится, если поместить тысячу рыб в пруд с ограниченными пищевыми ресурсами? Что изменится, если выпустить туда еще пятьдесят акул, поедающих по две рыбы в день? Какая судьба постигнет вирус, вызывающий гибель определенного количества животных и распространяющийся с известной скоростью, которая зависит от плотности популяции? Экологи идеализировали подобные задачи, стараясь решить их с помощью уже известных формул.

Зачастую такой подход срабатывал. Биология популяций выяснила кое-что об истории возникновения жизни, об отношениях хищников и их жертв, о том, как влияет изменение плотности населения в регионе на распространение болезни. Если математическая модель показывала, как процесс развивается, достигает равновесия или затухает, экологи могли представить себе обстоятельства, при которых вероятны подобные события.

Одно из весьма полезных упрощений заключалось в моделировании окружающего мира в рамках отдельных временных интервалов. Так, стрелка наручных часов секунда за секундой скачет вперед, вместо того чтобы двигаться непрерывно и незаметно. Дифференциальные уравнения, которые описывают плавно изменяющиеся во времени процессы, трудно решить. Гораздо проще использовать так называемые разностные уравнения, вполне пригодные для описания скачущих от состояния к состоянию процессов. К счастью, большинство популяций животного мира проходит свой жизненный цикл за год. Изменения, происходящие от года к году, зачастую важнее тех, что случаются в сплошной временной среде. В отличие от людей многие насекомые, например, успевают развиться, достичь зрелости, дать потомство и умереть за один сезон, и периоды жизни поколения поэтому не накладываются друг на друга. Чтобы рассчитать, какова будет численность популяции непарного шелкопряда следующей весной или сколько людей зимой заболеют корью, экологу хватает данных текущего года. Столь точная повторяемость цифр, подобная неизменяющейся подписи человека, дает весьма слабое представление о сложности системы, однако для пытливого ума и этой малости достаточно.

В сравнении с математикой Стива Смэйла математика экологии — это то же самое что десять заповедей в сравнении с Талмудом: отличный набор действующих правил, но ничего особо запутанного. Для описания популяции, численность которой с каждым годом меняется, биологу достаточно проделать вычисления, доступные даже студенту высшей школы. Предположим, что будущая численность популяции непарного шелкопряда полностью зависит от ее численности в текущем году. Вообразите, что у вас есть таблица, отражающая эту зависимость: если численность особей достигнет 31 тысячи в текущем году, следовательно, через год их будет уже 35 тысяч, и т. д. Можно представить соотношение между данными величинами как правило следующего содержания: численность популяции в будущем году есть функция от нынешней численности. Каждая функция может быть изображена графически, что позволяет охватить ее единым взглядом.

При использовании простой модели, которая подобна только что описанной, наблюдение за изменяющейся во времени численностью популяции сводится к определению начальной цифры и повторению однотипных вычислений на базе выбранной функциональной зависимости. Данные для третьего года выводятся из данных для второго и т. д. Благодаря подобному итерационному процессу можно рассмотреть историю популяции на протяжении многих лет. Тут обнаруживается своего рода обратная связь, когда результат каждого года служит исходной величиной для последующего. Обратная связь может стать неуправляемой, как бывает, когда звук из громкоговорителя проходит обратно через микрофон, мгновенно усиливаясь до невыносимого визга. С другой стороны, обратная связь способна породить и стабильность, как в случае с термостатом, который регулирует температуру в жилом доме: любое ее увеличение сверх определенного уровня ведет к охлаждению, а за снижением следует нагрев.

Возможно применение нескольких типов функций. Та, которую используют при упрощенном подходе, предполагает, что численность популяции x ежегодно увеличивается на определенное число особей; это линейная функция x_c = rx, где x и x_c — численности в предыдущий и последующий годы соответственно. Данное выражение иллюстрирует классическую мальтузианскую схему увеличения популяции, не сдерживаемого пищевым и моральным факторами. Величина r есть коэффициент роста численности особей. Допустим, его значение равно 1,1. В таком случае, если популяция в текущем году насчитывает 10 особей, в следующем их будет уже 11. Если начальная цифра составляет 20 тысяч, конечная достигнет 22 тысяч. Численность популяции растет и растет, словно сумма, которая положена на сберегательный счет, предполагающий капитализацию процентов.

Впрочем, экологи давно уже поняли, что им необходимо нечто более сложное. Ученый, наблюдая за рыбами в реальном водоеме, должен постараться найти функцию, которая учитывала бы жестокую реальность, например угрозу голода или соперничество в стае. По мере роста популяции истощается запас пищи. Размеры небольшой стаи быстро растут, а чересчур большая сокращается. Возьмем жуков-вредителей. Попробуйте каждый год первого августа подсчитывать их численность в вашем саду. Чтобы упростить задачу, не принимайте во внимание птиц, болезни данного вида насекомых — учтем лишь имеющийся запас пищи. Выяснится, что жуки активно размножаются, когда их мало, но стоит им чересчур расплодиться, как они объедят весь сад и после этого погибнут от голода.

В мальтузианской схеме неограниченного увеличения численности популяции значение линейной функции роста всегда будет увеличиваться. Схема же, более приближенная к жизни, должна включать в себя особый фактор, сдерживающий рост, если популяция уже и так велика. Наиболее подходящей кажется функция, которая будет резко возрастать при небольших размерах популяции, сводить рост ее численности примерно к нулю при средних размерах и снижаться при быстром размножении особей. Пользуясь ею из раза в раз, эколог может наблюдать, как ведет себя популяция на протяжении длительных периодов времени, и придать своей модели определенную стабильность. Позаимствовав все необходимое из математики, эколог будет рассуждать примерно так: «Мы имеем уравнение. Вот переменная, являющаяся коэффициентом воспроизводства. Вот другая — коэффициент естественной смертности. Третья переменная служит коэффициентом смертности, обусловленной внешними причинами, в том числе голодом и нападением хищников. И вот, смотрите: популяция будет расти с такой-то скоростью, пока не достигнет такого-то уровня равновесия».

Но как найти подобную функцию? Могут подойти многие уравнения. Простейшей модификацией, пожалуй, окажется линейная зависимость, предложенная Мальтусом: х_с = rх(1-x). Как и выше, величина r является коэффициентом роста, который можно увеличить или уменьшить. Новый член (1-x) удерживает рост в определенных границах, т. е. когда х возрастает, 1-x уменьшается[3]. Имея калькулятор, можно задать начальное значение, выбрать коэффициент роста и вычислить результат — численность популяции в следующем году.

^{Рис. 3.1. Популяция достигает равновесия после роста, чрезмерного увеличения численности особей и ее снижения.}

К 50-м годам экологи уже использовали варианты рассмотренного выше уравнения, известного как логистическое разностное уравнение. В частности, В.-Е. Рикер из Австралии применил его для оценки рыбных промыслов. Ученые поняли, что коэффициент роста r является важной характеристикой модели. В физических системах, откуда, собственно, и позаимствовала экология подобные уравнения, данный параметр отвечал количеству теплоты, или силе трения, или другим физическим величинам, порождаемым хаотическим движением, — словом, количеству нелинейности. Применительно к рыбным угодьям он должен соответствовать плодовитости рыб, колебанию численности популяции в обоих направлениях (что именуется биотическим потенциалом). Вопрос заключался в том, каков механизм влияния различных факторов на дальнейшую судьбу изменяющейся популяции. Очевидно, что более низкое значение параметра повлечет за собой стабилизацию числа особей на относительно невысоком уровне, а то, что повыше, приведет к стабилизации на более высоком уровне. Это справедливо для многих величин, но отнюдь не для всех. Некоторые исследователи, и Рикер в их числе, применяли величины, имевшие достаточно высокие значения, и, осуществляя опыты, разглядели хаос.

Кажется удивительным, что поведение ряда показателей, поддающихся измерению и исчислению, обнаруживает определенные странности, досадные для любого, кто работает с ручной вычислительной машинкой. Конечно, бесконтрольный рост чисел еще не наблюдается, но нет и стабильности. Впрочем, ни один из ученых 60-х годов не был склонен (а может, не хватало упорства) продолжать вычисления до тех пор, пока искомая упорядоченность не будет найдена. Так или иначе, колебания численности популяции дали экологам повод предположить, что происходят они около некоего скрытого уровня равновесия. Считая последнее весьма важным, экологи ни в коем случае не предполагали, что этого уровня может не быть.

Справочники и учебники, посвященные логистическим уравнениям и их более сложным вариантам, не содержали, как правило, никаких указаний на проявления неупорядоченности. Дж. Мэйнард Смит в своей классической работе «Математические идеи в биологии», вышедшей в 1968 г., так определил возможные перспективы развития: численность популяции часто является величиной постоянной, или же отклонения случаются «весьма регулярно» в области предполагаемой точки равновесия. Автор не был столь наивен, чтобы допускать отсутствие хаотичного элемента в жизни реальных популяций. Он лишь полагал, что с описанными им математическими моделями хаос не имеет ничего общего. Будь это иначе, биологи избегали бы пользоваться подобными моделями. Если модель не оправдывала ожиданий своего создателя относительно реального положения дел в популяции, расхождение всегда можно было объяснить тем, что какая-то величина (возрастной состав популяции, специфика ареала обитания или географической среды, соотношение полов) осталась неучтенной.

Чаще всего неупорядоченность числового ряда ученые списывали на несовершенство счетной машинки. Интерес представляли стабильные решения, устойчивость казалась лучшей наградой. В конце концов, процедура подбора нужных уравнений и их решения требовала известных усилий. Никто не хотел впустую тратить время на ошибочные изыскания, не выявлявшие стойкой тенденции, и ни один опытный исследователь не забывал, что его уравнения не более чем примитивная версия реальных событий. На упрощения шли ради моделирования упорядоченности. Стоило ли преодолевать трудности, чтобы узреть хаос?

Говорят, что идеи Лоренца по-настоящему открыл Джеймс Йорк и он же дал науке о хаосе ее нынешнее имя. Вторая часть этого утверждения справедлива.

Йорк был математиком, но предпочитал считаться философом, хотя это и таило в себе некоторую опасность. Остроумный и велеречивый, с всклокоченной шевелюрой, он обожал кроткого, но беспокойного Стива Смэйла. Подобно многим, Йорк признавал, что понять Смэйла непросто. Однако в отличие от большинства коллег он знал, почему же так трудно постичь логику Стива. Двадцати двух лет от роду Йорк поступил в Физико-технологический институт при Мэрилендском университете, который сам же позже и возглавил. Он относился к числу тех математиков, которые во что бы то ни стало стремятся претворить свои идеи в жизнь, чтобы они принесли пользу. Написанный им доклад о распространении гонореи убедил федеральные власти в необходимости изменения стратегии контроля за заболеваемостью. Во время топливного кризиса 70-х годов он выступил в суде штата Мэриленд с весьма корректными (но не слишком убедительными) аргументами в пользу того, что ограничение отпуска бензина лишь усугубит ситуацию. Когда в эпоху антивоенных выступлений правительство опубликовало снятые с самолета-шпиона фотографии — редкие группки людей вокруг памятника Вашингтону в разгар акции протеста, — Йорк проанализировал фотографию и по форме тени, отбрасываемой изваянием, установил, что в действительности снимок был сделан на полчаса позже, когда митингующие уже расходились.

Работая в институте, Йорк наслаждался возможностью трудиться над вопросами, выходящими за привычные рамки, и постоянно консультироваться со множеством представителей других дисциплин. Как-то одному из них, посвятившему себя изучению динамики жидкостей, попалась на глаза статья Лоренца «Детерминистский непериодичный поток», написанная в 1963 г. С тех пор минуло девять лет. Будучи очарован работой Лоренца, физик вручал копии статьи всем, до кого удавалось дотянуться. В числе прочих копию получил и Йорк.

Статья обладала необъяснимой магией. Это было то самое, что Йорк бессознательно, но давно искал. Математик мог бы назвать статью шокирующей; хаотическая система не вписывалась в весьма оптимистичную первоначальную классификацию Смэйла. Йорк разглядел в работе Лоренца не только математику, но и живую физическую модель — картину движущейся жидкости — и сразу же понял: нужно, чтобы физики увидели и оценили ее. Его кумир Смэйл повернул математику лицом к физическим проблемам, хотя язык математики не годился еще для свободного общения, и Йорк хорошо это понимал. Вот если бы все известные науки, потеснившись, приняли в свои ряды новобранца — дисциплину, удачно совместившую в себе черты физики и математики… Но увы, хотя работа Смэйла несколько сократила пропасть между двумя областями знания, математики и физики говорили еще на разных языках. Как заметил однажды физик Марри Гелл-Ман, «сотрудникам факультета знакомы личности, которые среди математиков выставляют себя знающими физиками, а среди физиков — опытными математиками. Совсем неплохо, но нам такого не надо». Образ мысли и действий представителей двух профессий был слишком различен: математики доказывали теоремы путем логических рассуждений, физики — исключительно путем экспериментов. Различны были и объекты исследования.

Смэйла вполне мог удовлетворить следующий пример: выбрав число, например дробь больше нуля, но меньше единицы, удвоить его, а затем, отбросив целую часть, находящуюся слева от запятой, повторить процедуру. Поскольку большинство чисел иррациональны, результатом действий станет последовательность случайных чисел. Физик не увидит здесь ничего, кроме игры ума, очередной математической причуды, совершенно бессмысленной, слишком простой и чересчур абстрактной, чтобы из нее можно было извлечь какую-то пользу. Но Смэйл тем не менее чувствовал, что такой математический прием отвечает сущности многих физических систем.

Предел мечтаний физика — дифференциальное уравнение, которое можно записать в простой форме. Ознакомившись со статьей Лоренца, которая ждала своего часа, Йорк увидел, что подобное поймут и физики. Он направил копию Смэйлу, проставив на видном месте свой адрес, чтобы получить статью обратно. Смэйл изумился, обнаружив, что безвестный метеоролог десятью годами раньше обнаружил ту неупорядоченность, которую он сам посчитал однажды математически невероятной. И, сняв множество копий со статьи, Смэйл положил тем самым начало легенде об открытии Йорком работы Лоренца — ведь на каждой копии, появлявшейся в Беркли и других местах, стоял адрес Йорка.

Йорк же чувствовал, что физиков учили не видеть хаос. Между тем в повседневной жизни замеченная Лоренцем «сильная зависимость от начальных условий» таится всюду. Утром человек выходит из дома на тридцать секунд позже обычного. Скинутый сверху цветочный горшок пролетает в нескольких миллиметрах от его затылка, а затем человека сбивает грузовик. Или менее грустный пример: пропустив автобус, который останавливается около его дома каждые десять минут, он опаздывает на поезд, курсирующий с часовыми интервалами. Небольшие изменения в дневном графике каждого чреваты далеко идущими последствиями. Бейсболист отбивает подачу одним и тем же отработанным движением, но результаты разные, поскольку в бейсболе все решают дюймы. В науке дела обстоят по-другому.

Говоря про обучение, нельзя не отметить, что многие преподаватели физики и математики рассказывали и рассказывают о дифференциальных уравнениях, пишут их на доске и объясняют способы решения. Данные уравнения описывают плавное течение событий, действительность в сплошной среде, не расчлененной на отдельные пространственные решетки или временные интервалы. Любой студент знает, что решать дифференциальные уравнения не так-то легко, но за два с половиной столетия ученые накопили большие знания по этой проблеме. Если ответ не найти в справочнике, можно воспользоваться одним из известных методов их решения, или, как сказал бы специалист, «интегрирования». Не будет преувеличением утверждать, что большинством своих достижений современная наука обязана именно этим методам. Мы не погрешим против истины, назвав одним из гениальнейших деяний человечества эту попытку смоделировать окружающий мир. Бывает, что, овладевая этим инструментом познания природы, осваиваясь с теорией и весьма сложной практикой, ученый упускает из виду одну деталь: большинство дифференциальных уравнений неразрешимо.

«Если бы можно было найти решение дифференциального уравнения, — говорил Йорк, — в нем обязательно отсутствовала бы хаотичность, поскольку для решения нам необходимы некие инварианты — постоянные параметры, столь же неизменные, как угловой момент. Обнаружив их в достаточном количестве, можно решить уравнение. Но тем самым мы исключим хаос».

Методы решения, описываемые в справочниках, на самом деле работают. Тем не менее, сталкиваясь с нелинейной системой, ученые вынуждены или заменять ее линейной аппроксимацией, или искать иной нетрадиционный подход. Студенты весьма редко находят в справочниках нелинейные системы, которые допускают использование указанных приемов и не обнаруживают «сильной зависимости от начальных условий». Нелинейные системы, в которых на самом деле таится хаос, редко объясняются и редко изучаются. Их всегда считали отклонениями и старались не принимать во внимание, руководствуясь уже сложившейся практикой. И лишь немногие помнят, что на самом деле отклонением являются поддающиеся решению упорядоченные линейные системы! Таким образом, лишь немногие осознают, насколько природа нелинейна по своей сути. Энрико Ферми однажды воскликнул: «В Библии вовсе не сказано, что все законы природы можно объяснить с помощью линейных построений!» Математик Станислав Улам заметил, что именовать исследование хаоса «нелинейной наукой» все равно что назвать зоологию «изучением всех животных, кроме слонов».

Йорк это понял. «Во-первых, беспорядок существует. Физики и математики стремятся обнаружить некую упорядоченность. „Какой прок в хаосе?“ — говорят они. Однако ученые должны знать хаос, потому что неизбежно столкнутся с ним. Грош цена автомеханику, не имеющему представления о жировом загрязнении клапанов!» Йорк полагал, что ученые, так же как и люди, далекие от науки, могут запросто впасть в заблуждение, если они не подготовлены к восприятию сложного. Почему инвесторы настаивают на существовании цикличности в колебаниях цен на драгоценные металлы? Да потому, что периодичность — наиболее сложное упорядоченное поведение, которое они могут себе представить. Глядя на биржевые сводки, они ищут в скачках курса некий порядок. Так же действуют и экспериментаторы в мире науки, будь то физики, химики или биологи. «В прошлом люди распознавали хаотичное поведение почти везде, — отмечал Йорк. — При проведении физического эксперимента выясняется, что объекту присущи черты неустойчивости. Ученые пытаются зафиксировать их либо отказываются продолжать исследование, объясняя происходящее посторонними шумами или плохой постановкой опыта».

Йорк решил донести до физиков то, чего они не разглядели в работах Лоренца и Смэйла. Он написал статью для самого популярного научного издания из тех, где ее могли бы опубликовать, — для «Американского математического ежемесячника». (Будучи математиком, он не сумел облечь свои идеи в ту форму, которую посчитали бы приемлемой физические журналы; лишь много позже он вступил в сотрудничество с физиками.) Работа Йорка сыграла свою роль, однако в конечном счете самой замечательной ее частью стал интригующий заголовок: «Период с тремя волнами заключает в себе хаос». Коллеги советовали ему выбрать более строгую формулировку, однако Йорк упрямо стоял на своем.

Консультируясь с коллегами, Йорк поговорил и со своим другом Робертом Мэем, биологом по специальности. Как порой случается, Мэй проник в биологию «с черного хода». Сын преуспевающего адвоката, он начинал как физик-теоретик в своем родном Сиднее, в Австралии, затем прошел постдокторантуру в Гарварде. В 1971 г. его направили на годичную стажировку в Институт перспективных исследований в Принстоне. Здесь-то он, к удивлению своему, и увлекся биологией.

Даже сейчас биологи стараются по возможности не прибегать к математике. Умы же математического склада больше склоняются к физике, нежели к биологии или общественным наукам. Мэй был исключением из правила. Первоначально его интересы лежали в области абстрактных проблем устойчивости и сложности. Он пытался математически обосновать взаимозависимость этих явлений, существующих в противоборстве и неразрывной связи. Однако вскоре Мэй заинтересовался, казалось бы, несложными вопросами экологии, связанными с поведением отдельных популяций во времени. Невероятно простые модели представлялись ему неизбежным компромиссом. К тому времени, когда Мэй окончательно обосновался на одном из факультетов Принстона (в будущем австралиец станет фактически проректором по науке), он провел уже не один час, изучая варианты логистического разностного уравнения с применением математического анализа и примитивного карманного калькулятора.

Как-то, еще в Сиднее, он написал на доске в коридоре уравнение, чтобы над ним подумали студенты-выпускники. Однако уравнение зацепило его самого. «Господи, что же происходит, когда ламбда начинает превосходить точку аккумуляции?» — с напряжением размышлял Мэй. Он пытался уловить, что случается в момент приближения колебаний коэффициента роста к критической точке и превышении ее. Подставляя различные значения этого нелинейного параметра, Мэй обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего.

Когда задавалось низкое значение параметра, простая модель Мэя демонстрировала устойчивое состояние. При высоком же значении система как бы распадалась на два фрагмента и численность популяции начинала колебаться между двумя величинами. Наконец, при чрезмерном увеличении параметра поведение той же системы становилось непредсказуемым. Но почему? Что происходило на границах различных типов ее поведения? Мэй, как и его выпускники, не мог этого уяснить.

Он рассмотрел простейшее уравнение, причем его компьютерная программа была аналогом программы Смэйла, а сам ученый пытался рассматривать объект целиком — не локально, а глобально. Уравнение было проще всего, что когда-либо изучал Смэйл. Казалось невероятным, что потенциал такой несложной задачи в генерировании порядка и беспорядка неистощим. На самом же деле программа Мэя стала лишь началом. Он рассмотрел сотни значений параметра, задействовав обратную связь и наблюдая, где именно ряд чисел придет к фиксированному значению и случится ли подобное вообще. Он сосредоточивал все больше внимания на рубеже перехода от стабильного состояния к колебательному. Используя уравнение x_c = rx (1-x), Мэй увеличивал значение параметра так медленно, как только мог. Если это значение составляло 2,7, численность популяции равнялась 0,6292. По мере увеличения параметра конечный результат так же медленно увеличивался, образуя на графике кривую, плавно поднимавшуюся слева направо.

Неожиданно, когда значение параметра превысило 3, линия раздвоилась. Численность воображаемой стаи рыб в предыдущий и последующий годы колебалась между двумя точками, не являясь единой величиной. Начиная с меньшего числа, она возрастала, а затем беспорядочно варьировалась до появления устойчивых отклонений в ту и другую стороны. Рост «холмика» на графике — небольшое увеличение параметра — вновь расщеплял колебания, генерируя ряд чисел, приходивших, в конечном счете, к четырем различным значениям, каждое из которых повторялось с регулярностью раз в четыре года[4]. Теперь компьютерная популяция Мэя увеличивалась и убывала в устойчивом четырехлетнем режиме. Длительность цикла вновь выросла в два раза — сначала с одного года до двух, затем — до четырех. И вновь подобное «круговое» поведение в итоге обнаружило стабильность: какова бы ни была начальная численность популяции, изменения ее укладывались в рамки четырехлетнего цикла.

^{Рис. 3.2. Удвоение периодов и хаос. Вместо применения отдельных диаграмм для демонстрации изменений в популяциях с различной степенью воспроизводства Роберт Мэй, наряду с другими учеными, использовал так называемую разветвленную диаграмму, чтобы соединить все данные в одном изображении. На диаграмме показано, каким образом изменение одного параметра, в данном случае — способности живущей в естественных условиях популяции к снижению и увеличению числа составляющих ее особей, повлияет на поведение рассматриваемой простой системы в целом. Значения параметра откладывались слева направо по горизонтальной оси; значения конечной численности популяции — по вертикальной. В известном смысле рост значения параметра знаменует перегрузку системы, увеличение в ней нелинейного элемента. Когда это значение невелико (слева), популяция угасает. По мере его роста (в центре) популяция достигает равновесия. Затем, при дальнейшем увеличении параметра, равновесное состояние расщепляется на две ветви, подобно тому как в процессе конвекции дальнейшее нагревание жидкости делает ее нестабильной. Начинаются колебания численности популяции между двумя различными уровнями. Расщепления, или разветвления, происходят все быстрее и быстрее. Далее система становится хаотичной (справа), и численность особей может приобретать бесконечное множество значений.}

Построение графика — единственное, что позволяет обнаружить в указанных результатах хоть какой-то смысл и представить их наглядно. Мэй сделал предварительный набросок, чтобы охватить все типы поведения системы при различных параметрах. Для значений параметра, возраставших слева направо, была выбрана горизонтальная ось, для численности популяции отводилась вертикальная. Каждое из значений параметра было представлено точкой, обозначавшей конечный результат после достижения системой равновесия. Слева, там, где значения еще были небольшими, результат являл собой лишь точку. Таким образом, изменения параметра отобразились в виде линии, поднимавшейся слева направо. Когда значение параметра миновало первый критический рубеж, Мэю пришлось вычертить кривую для двух популяций, поскольку линия раздвоилась, образовав искривленную букву Y или подобие вил. Такое расщепление соответствовало переходу популяции от однолетнего цикла к двухлетнему.

По мере дальнейшего роста значения параметра количество точек удваивалось вновь и вновь, что просто ошеломляло ученого, поскольку столь сложное поведение таило в себе обманчивую устойчивость. Мэй назвал наблюдаемый феномен «змеей в джунглях математики». Раздвоения на графике изображались разветвлениями основной линии, и каждое из этих разветвлений означало, что повторяющийся образец далее вновь разделится на части. Популяция, ранее характеризовавшаяся стабильностью, колебалась между двумя различными уровнями каждый второй год. Популяция, менявшаяся в течение двухлетнего цикла, изменялась теперь в течение третьего и четвертого годов, переходя, таким образом, к четырехлетнему периоду.

Подобные разветвления наблюдались на графике все чаще и чаще — 4, 8, 16, 32… — и вдруг внезапно прекратились. После определенной точки аккумуляции периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали, и поэтому целые зоны на графике были полностью затушеваны. Наблюдая за популяцией животных, описанной этим простейшим уравнением, можно посчитать происходящие год за годом перемены совершенно случайными, привнесенными извне. Тем не менее в самой гуще подобной беспорядочности вновь появляются стабильные циклы. Так, с возрастанием параметра неожиданно обозначается просвет с правильным, хотя и странным периодом, вроде 3 или 7. Модель меняющейся популяции повторяла саму себя в течение трехлетнего или семилетнего цикла. Затем снова, в более высоком темпе, начинались разветвления, которые удваивали период, быстро минуя новые циклы (3, 6, 12… или 7, 14, 28…) и вновь обрываясь с рождением нового хаоса.

Первоначально Мэй не разглядел все изображение, однако те его фрагменты, которые он смог просчитать, представлялись ему весьма неустойчивыми. В системе реального мира наблюдатель видел лишь вертикальную часть, соответствующую каждый раз лишь одному параметру, а значит, рассматривал лишь один из типов поведения — вероятно, стабильное состояние, может быть, семилетний цикл или видимую невооруженным глазом беспорядочность. И совсем невозможно было догадаться, что одна и та же система при небольшом изменении одного из параметров могла обнаружить совершенно не похожие друг на друга типы поведения.

Джеймс Йорк с математической точностью проанализировал описанные явления в упомянутой выше работе, доказав, что в любой одномерной системе происходит следующее: если появляется регулярный цикл с тремя волнами, то в дальнейшем система начнет демонстрировать как правильные циклы любой другой продолжительности, так и полностью хаотичные. Это открытие подействовало на физиков вроде Фримена Дайсона словно электрошок, ибо противоречило интуиции. Им казалось вполне тривиальной задачей построение системы, которая повторяет саму себя в трехволновых колебаниях без всякого проявления хаоса. Йорк доказал, что это невозможно.

Хотя подобное предположение выглядело весьма смелым, Йорк посчитал, что общественный резонанс, вызванный его работой, перевесит ее математическое содержание, и отчасти оказался прав. Несколько лет спустя он прибыл на международную конференцию в Восточный Берлин. По окончании докладов Йорк решил прокатиться по реке Шпрее. Во время прогулки с ним попытался заговорить какой-то русский. Обратившись за помощью к знакомому поляку, Йорк понял, что русский математик достиг идентичного результата. Собеседник Йорка отказался вдаваться в детали, пообещав лишь выслать свою статью, которая и пришла через четыре месяца. Как выяснилось, А. Н. Сарковский несколько опередил Йорка. Однако Йорк достиг большего, чем просто математический результат: он продемонстрировал физикам, что хаос вездесущ, стабилен и структурирован. Он дал повод поверить в то, что сложные системы, традиционно сводившиеся к трудным для решения дифференциальным уравнениям, могли быть описаны с помощью довольно простых графиков.

Эта встреча двух поглощенных своими идеями и оживленно жестикулирующих математиков стала знаком того, что занавес между советской и западной наукой все еще существует. Частично из-за языкового барьера, частично из-за ограничений на передвижение по Советскому Союзу западные ученые нередко повторяли результаты, уже опубликованные в советской научной литературе. Зарождение новой науки в США и Европе вдохновило многих специалистов в Советском Союзе на изучение хаоса, и исследования шли параллельно. С другой стороны, ученые из СССР с удивлением выяснили, что львиная доля новых научных веяний для них вовсе не нова. Советские математики и физики уже давно и упорно пытались постичь природу хаоса, начало этому положили еще работы А. Н. Колмогорова 50-х годов. Более того, советские специалисты, как правило, действовали вместе, что помогало представителям двух дисциплин преодолеть разногласия, столь частые в научной среде других стран.

Советские ученые оказались восприимчивыми к изысканиям Смэйла, чья подкова наделала много шума в 60-х годах. Блестящий физик и математик Яков Синай быстро применил аналогичные соображения в термодинамике. Едва в 70-х годах с работой Лоренца познакомились западные физики, она приобрела известность и в СССР. В 1975 г., когда Йорк и Мэй прилагали немалые усилия к тому, чтобы добиться внимания коллег, Синай и его товарищи быстро организовали в Горьком исследовательскую группу, куда вошли талантливые физики. Некоторые западные специалисты по хаосу наведывались в Союз, но большинство вынуждены были довольствоваться западной версией науки о хаосе.

Йорк и Мэй первыми на Западе в полной мере осознали важность удваивания периодов и сумели передать это осознание всему научному сообществу. Те несколько математиков, которые все-таки заметили необычное явление, отнеслись к нему как к технической проблеме, числовой странности, своего рода игре. Они сочли это не то чтобы обыденностью, а скорее, очередным фактом своей особой Вселенной.

Биологи, которым недоставало искушенности математиков да и просто поводов для изучения беспорядочного поведения упустили эти разветвления по пути к хаосу, а математики, заметив их, двигались дальше. Мэй же, наполовину математик, наполовину биолог, понял, что открыл для себя удивительный, магический мир.

Чтобы глубже проникнуть в простейшую систему, ученые нуждались в мощных вычислительных машинах. Фрэнку Хоппенштедту из Института математических наук Нью-Йоркского университета возможности его компьютера позволили даже создать своеобразный фильм.

Хоппенштедт, математик, увлекшийся биологией, прогнал разностное уравнение через свой компьютер модели «Control Data 600» сотни миллионов раз и получил на мониторе изображения для каждого из тысяч различных значений параметра. В результате выявились разветвления, затем хаос, а потом, внутри последнего, небольшие упорядоченные клинья, мимолетные проблески периодичности, где нестабильность казалась лишь преходящей. Ученому, узревшему созданные им самим картины, на миг показалось, что он летит на крыльях над неведомой землей: вот изображение совсем устойчиво, а через мгновение уже наполняется непредсказуемым буйством, бесконечно изумляя своего создателя.

Мэй познакомился с результатом этой работы. Он стал также собирать образчики изображений, полученных представителями других областей: генетиками, экономистами, специалистами по динамике жидкостей. Этот провозвестник хаоса обладал двумя преимуществами перед чистыми математиками. Во-первых, Мэй считал, что простые уравнения не могут абсолютно точно воспроизводить реальность, а являются лишь ее образами, метафорами. Во-вторых, обнаружение хаоса лило воду на его мельницу, возбуждая дебаты.

^{Рис. 3.3. Набросок разветвленной диаграммы. Такой она представилась Мэю, прежде чем компьютер раскрыл ее глубинную структуру.}

Биология популяций вообще долгое время оставалась ареной ожесточенных споров. К примеру, отношения между экологами и молекулярными биологами были весьма натянутыми, так как последние считали свое направление истинной наукой, исследующей действительно сложные, запутанные вопросы, но отказывали в этом экологии. Экологи же полагали, что разработки молекулярной биологии лишь дополняют решения и без того уже решенных проблем.

Как представлял себе Мэй, в 70-х годах особо жаркие страсти кипели вокруг вопроса о природе изменений в популяциях. Экологи разделились на два лагеря. Представители первого считали, что мир упорядочен, а следовательно, популяции регулируемы и устойчивы, пусть и с некоторыми исключениями. Специалисты второго лагеря интерпретировали реальные явления прямо противоположным образом: в популяциях, хоть и не во всех, наблюдаются беспорядочные колебания. Не удивительно, что мнения разделились и по вопросу применения сложных математических вычислений к неупорядоченным биологическим объектам. Верившие в устойчивость популяций доказывали, что последние должны регулироваться некими детерминистскими механизмами. Сторонники другой точки зрения полагали, что популяции подвержены колебаниям при воздействии особых факторов среды, устраняющих любой возможный детерминистский сигнал. Выдвигались следующие альтернативы: либо детерминистская математика служит источником стабильности, либо случайные внешние помехи генерируют неупорядоченность.

Пока шли эти оживленные дискуссии, хаос вновь ошеломил ученых: простые детерминистские модели обладали способностью порождать нечто, весьма напоминавшее беспорядочное поведение, которое, впрочем, обладало утонченной структурой, но все же любой ее фрагмент казался неразличимым на фоне постороннего шума. Такое открытие не могло не повлиять на самую сущность споров.

Чем дольше Мэй рассматривал биологические системы сквозь призму простых хаотичных моделей, тем больше он видел моментов, противоречащих общепринятым представлениям. Например, эпидемиологи хорошо знают, что массовые вспышки заболеваний появляются, как правило, с определенной цикличностью — регулярно или иррегулярно. Корь, полиомиелит, краснуха идут в наступление и отступают периодически. Мэй осознал, что колебания могли воспроизводиться нелинейной моделью, и заинтересовался тем, что случится, если система получит внезапный толчок — помеху, вроде массовой вакцинации. Казалось бы, процесс должен плавно изменяться в желаемом направлении. На самом деле, как обнаружил Мэй, начнутся весьма ощутимые колебания. Даже если жестко свести на нет долгосрочную тенденцию, путь к новому равновесию будет прерываться поразительными подъемами. В реальности врачи наблюдали колебания, подобные тем, что смоделировал Мэй. Об этом свидетельствовали фактические данные, например итоги реализации программы по искоренению краснухи в Великобритании. И все же любой служащий системы здравоохранения, услышав о кратковременной вспышке краснухи или гонореи, приписывал ее прежде всего плохо проведенной вакцинации.

За несколько лет изучение хаоса дало сильный толчок развитию теоретической биологии, объединив биологов и физиков в научные коллективы, о которых совсем недавно еще никто и не помышлял. Экологи и эпидемиологи раскопали данные предыдущих лет, которые прежде отбрасывали, считая непригодными для исследований. Черты детерминистского хаоса были обнаружены в эпидемии кори в Нью-Йорке, а также в отслеженных по наблюдениям охотников колебаниях численности популяций канадской рыси в течение двухсот лет. Молекулярные биологи начали рассматривать белки как движущиеся системы. Изменился взгляд физиологов на органы, которые представлялись теперь ученым не застывшими структурами, но объектами, совершающими регулярные и иррегулярные колебания.

Во всех областях знаний профессионалы узрели сложное поведение систем и спорили о нем — Мэй знал это наверняка. Однако специалисты каждой области считали обнаруженный ими тип беспорядочности специфичным, что повергало исследователя просто в отчаяние. А что случилось бы, если бы очевидная случайность исходила от простых моделей? Что, если одни и те же простые модели могли быть применены к хаосу во многих науках? Мэй понимал, что удивительные структуры, которые он едва-едва начал исследовать, не имели существенной связи с биологией.

Задавшись вопросом, сколько же ученых и в каких еще областях обратили на это внимание, он в 1976 г. начал писать работу, которую считал действительно переломной, — обзорную статью в журнал «Нейчур». Мэй доказывал, что, если бы каждому студенту позволили поэкспериментировать с логистическим разностным уравнением с помощью карманного калькулятора, дела обстояли бы гораздо лучше. Простой расчет, приведенный им в конце публикации, бросал вызов искаженному восприятию возможностей природы, проистекающему из стандартного естественно-научного образования. Он призван был полностью изменить подход к научному исследованию, что бы ни было предметом изучения — экономические циклы или распространение слухов.

Мэй заявлял, что хаос необходимо преподавать. По его мнению, наступило время признать, что принятые повсеместно методы подготовки ученых навязывают им ложные представления о мире. Неважно, насколько далеко продвинется традиционная математика с ее преобразованиями Фурье, ортогональными функциями и регрессионным анализом. Она, утверждал Мэй, неизбежно вводит математиков в заблуждение относительно преимущественно нелинейной Вселенной: «математика настолько ушла в сторону, что, давая студенту необходимые знания, одновременно настраивает его против странных эффектов, проявляющихся в простейшей из всех абстрактных нелинейных систем. Не только в сфере науки, но и в повседневной жизни, в политике и экономике — повсюду мы достигли бы процветания, если бы больше людей понимали, что простые нелинейные системы далеко не всегда обладают простыми динамическими свойствами».

Примечания:

3

Удобства ради в данной весьма абстрактной модели численность особей выражена через дробь, которая больше нуля, но меньше единицы, причем нуль обозначает вымирание, а единица — наиболее высокую численность животных (в данном случае рыб), достижимую в пределах популяции. Итак, начнем: произвольно выберем значение параметра r, скажем 2,7, и начальную численность популяции, к примеру 0,02. Отнимем от единицы 0,02 и получим 0,98, умножим 0,98 на 0,02 и получим в итоге 0,0196. Теперь умножим полученный результат на 2,7 и получим 0,0529. Крошечная начальная численность популяции выросла более чем в два раза. Повторим процедуру, используя только что полученную численность особей в качестве исходных данных, и получим 0,1353. С небольшим калькулятором, в который можно ввести определенную программу, для получения такого результата нужно лишь нажимать одну и ту же клавишу снова и снова. Популяция увеличивается до 0,3159, затем до 0,5835; 0,6562 — рост численности замедляется. Далее, по мере того как смертность «догоняет» воспроизводство, численность достигает 0,6092; 0,6428, 0,6199, 0,6362, 0,6249. Значения в числовом ряду скачут: то возрастают, то уменьшаются. Впрочем, заканчивается он строго определенным значением: 0,6328, 0,6273, 0,6312, 0,6285, 0,6304, 0,6291, 0,6300, 0,6294, 0,6299, 0,6295, 0,6297, 0,6296, 0,6297, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296. Это явный успех. Когда все расчеты выполнялись вручную, и даже во времена механических счетных машинок с ручным вводом, дальше подобных вычислений дело не шло.

4

Скажем, при r = 3,5 и начальной численности популяции 0,4 Мэй увидел следующий числовой ряд: 0,4000; 0,8400; 0,4704; 0,8719; 0,3908; 0,8332; 0,4862; 0,8743; 0,3846; 0,8284; 0,4976; 0,8750; 0,3829; 0,8270; 0,4976; 0,8750; 0,3829; 0,8270; 0,5008; 0,8750; 0,3828; 0,8269; 0,5009; 0,8750; 0,3828; 0,8269; 0,5009; 0,8750 и т. д.