Математики любят играть в слова. Например, в серьезной книге Ф. Хараря и Э. Палмера «Перечисление графов»[5] мы встречаем примечание: «Рид сообщил Райту, что и он, и Райт допустили ошибку. Затем Рид и Райт, чтобы исправить положение вещей, указали в совместной работе на допущенную ранее ошибку. Возможно, что все это выглядело несколько иначе, ибо Райт утверждает, что он первый написал Риду». Примеров можно было бы привести так много, что они могли бы составить целую книгу.

Нетрудно понять, почему математикам нравятся такие шутки. Слова представляют собой не что иное, как комбинации букв, составленных в определенном порядке, так же как предложения — линейные последовательности слов, составленные в соответствии с формальными правилами синтаксиса. Таким образом, многое роднит лингвистику с комбинаторной математикой. Словесные квадраты по своей структуре аналогичны магическим квадратам. Знаки препинания в предложении соответствуют математическим символам (скобкам, плюсам, минусам и т. д.), вводящим «пунктуацию» в алгебраические предложения.

Все эти (и многие другие) приятные аналогии между языком и математикой собраны в последней, шестой главе нашей книги. Палиндромы — слова или фразы, которые читаются одинаково от начала к концу и от конца к началу, — аналогичны палиндромным числам. Как мы увидим, в теории чисел существует известная «гипотеза о палиндромных числах», не доказанная и не опровергнутая. О палиндромных простых и составных числах, являющихся квадратами и кубами, доказано немало интересных теорем. Другие головоломки в этой главе связаны с разбиением слов на части, во многом напоминающим разбиение чисел на суммы.

Если буквы рассматривать как геометрические фигуры, то мы сразу же вступаем в область необычных геометрических задач и головоломок. Мы увидим, каким образом эти задачи связаны с существованием двух важных разновидностей операции симметрии: симметрии относительно поворота на 180° и зеркальной симметрии. Мы обнаружим, что некоторые слова и даже целые предложения выдерживают поворот на 180°, и некоторые цифры на индикаторе микрокалькуляторов переходят в буквы латинского алфавита.

Буквы не обязательно считать жесткими и нерастяжимыми. Если мы будем рассматривать их не как геометрические фигуры, сохраняющие форму при поворотах и отражениях, а как топологические фигуры, которые можно изгибать, сжимать, растягивать, как резиновые жгуты, то перед нами откроется еще одна обширная область занимательных задач, с решением которых вам также предстоит познакомиться. Именно в этих задачах вы увидите «за работой» простейшие топологические понятия.

Наконец, вам предстоит встреча с задачами, связанными с важными понятиями математической логики. Простейшая задача о высказывания, противоположном высказыванию «не в», познакомит вас со свойствами отрицания и правилами обращения с отрицательными величинами в алгебре. Многие из наших шуточных задач становятся понятными, если вы четко осознаете, что говорить о словах и предложениях живого языка можно, лишь построив язык следующего, более высокого уровня, который логики называют метаязыком.

Мы умышленно стремились сделать заключительную главу нашей книги самой легкой и занимательной. Может быть, вас удивляет, почему для словесных забав и игр вообще, нашлось место в книге по занимательной математике? По существу мы уже ответили на ваш недоуменный вопрос. Дело, разумеется, не в том, что математики любят играть в слова или что лингвистике присущи определенные комбинаторные аспекты. Мы хотели лишь показать, что даже игра в слова может приоткрыть перед вами неожиданные и важные аспекты серьезной математики.

Перед вами знаменитый математик проф. Сэм О. Слог.

Проф. Слог ведущий и автор популярной телевизионной программы «Состязание любителей слова». Гости этой передачи, которым удается правильно ответить на вопросы проф. Слога, получают ценные призы.

Проф. Слог. Игра в слова имеет много общего с математикой. Символами служат буквы и слова, а правила грамматики позволяют отличать допустимые комбинации от недопустимых.

Проф. Слог. Позвольте привести несколько примеров. Какая надпись по своему значению противоположна известной надписи «Не входить»?

Проф. Слог. Какое слово из 11 букв все выпускники Йельского университета пишут неправильно?

Проф. Слог. Вы, конечно, успешно справились с этими двумя заданиями. Надписи «Не входить» противоположна по значению надпись «Входить».

Слово «неправильно» все выпускники Йельского университета так и пишут: неправильно. А сейчас позвольте представить вам нашего первого гостя.

Попросите кого-нибудь назвать действие, противоположное действию «не входить», и вы, как правило, услышите в ответ: «Выходить». Между тем действию «не входить» противоположно его отрицание «не не входить», то есть «входить». Два минуса дают плюс и в арифметике, и в формальной логике. Приведем несколько примеров, подтверждающих это правило.

1. x = (7 ? 3) ? [(?4 + 1)]?.

2. Заголовок из газеты «Нью-Йорк тайме» от б мая 1965 г.: «Албания выступает против отмены закона о запрете контроля над рождаемостью».

3. Известный специалист по математической логике А. Н. Уайтхед однажды поблагодарил докладчика за то, что тот «изложил весьма темный предмет не без ясности».

4. Молодой человек получает письмо от своей подруги: «Должна сказать, что мои слова о том, что я всерьез подумываю о том, чтобы передумать, не следует принимать всерьез. Я и не думаю передумывать».

5. Преподаватель математики: «Не могу не заметить, что мне так и не удалось объяснить вам смысл отрицания, поэтому я не стану утомлять вас повторением».

Студент: «Я понял все, что вы сказали, и признателен вам за вашу готовность перейти к новому материалу».

6. Иногда в нарушение правила двойное отрицание употребляется для усиления отрицания. Вот несколько примеров:

Не вздумайте не сказать мне, что за сплетни она распускает.

Никому не запрещается не прибегать к двойным отрицаниям.

Небезупречное поведение.

7. Профессор логики упомянул во время лекции о том, что, насколько ему известно, ни в одном естественном языке два утверждения никогда не означают отрицание. Из задних рядов раздается саркастический голос: «Ну, ну!»

Вопрос о слове «неправильно» ставит людей в тупик потому, что они воспринимают это слово как наречие, относящееся к глаголу «пишут», а не как само слово «неправильно». В современной семантике любой вопрос о слове или предложении относится к так называемому «метаязыку», в то время как слово и предложение принадлежат к предметному, или объектному, языку. Чтобы отличить эти два языка, утверждения и слова объектного языка принято заключать в кавычки. Например, кавычки позволяют избавиться от неоднозначности (или по крайней мере уменьшить ее) в вопросе, заданном проф. Слогом: «Какое слово из 11 букв все выпускники Йельского университета пишут «неправильно»? При смешении двух уровней языка нередко возникает путаница.

Приведем несколько примеров.

Как — вы — думаете была кличка этой лошади.

Я, Ли, китайский математик.

Можете ли вы объяснить, что означает следующая фраза: «То то означает совсем не то, что я имею в виду».

Проф. Слог пригласил мистера Ши Ли Хоя на передачу, как только увидел в телефонном справочнике номер его телефона. Заметили ли вы что-нибудь необычное в английском написании имени и фамилии мистера Ши Ли Хоя и номере его телефона?

Если перевернуть рисунок «вверх ногами», то английское написание имени и фамилии мистера Ши Ли Хоя переходит в номер его телефона и наоборот.

Цифры на индикаторе микрокалькулятора, если их считывать в перевернутом виде, очень напоминают по своим очертаниям несколько стилизованные буквы латинского алфавита. Именно на этом основаны шуточные задачи, решаемые с помощью микрокалькуляторов и снискавшие в последнее время широкую известность.

Первая из этих шуток, с которой, по-видимому, и началось увлечение подобными задачами, облечена в форму рассказа об одном эпизоде арабо-израильской войны. Мы приводим вариант этой задачи, предложенной автором многотомного «Искусства программирования для ЭВМ» Дональда Э. Кнута: 337 арабов и 337 израильтян сражаются на участке пустыни, имеющем форму квадрата со стороной 8424 м. Кто выиграет от этого? Чтобы ответить на вопрос, возведем в квадрат числа 337 и 8424 и, просуммировав их, получим: 71077345. На индикаторе микрокалькулятора это число, если считывать его в перевернутом виде, напоминает название известной нефтяной компании SHELL OIL.

О числах, переходящих в слова при считывании их в перевернутом виде с индикатора микрокалькулятора, написаны целые книги. В следующей табличке показано, какую строчную или прописную букву латинского алфавита напоминает, если ее рассматривать в перевернутом виде, каждая из 10 цифр:

Пользуясь этой таблицей, вы сможете без труда придумать несколько задач-шуток, решением которых будут числа, переходящие при считывании их с индикатора в перевернутом виде в соответствующие слова. Десятичной запятой (или точкой) можно разделять два слова.

Вот несколько хороших задач-шуток (в скобках рядом с каждым ответом указан русский перевод).

1. Как называется столица штата Айдахо? (4 ? 8777 — Бойсе.)

2. Что сказал астронавт, впервые ступив на поверхность Луны? (13527 : 3 — Боже!)

3. Чем больше берешь, тем больше остается. Что это такое? (v13719616 — дыра.).

4. Бутылка виски «Бурбон» стоит в Чикаго 8 долларов. Что предпочитают любители спиртного в Ню-Йорке? (8 ? 4001— выпивку.)

5. Что сказал доктор Ливингстон, когда Стэнли, разыскав его в дебрях Африки, спросил: «Доктор Ливингстон, если я не ошибаюсь?» ((18 ? 4) : 3 + 3 — междометие, выражающее крайнее изумление.)

6. Существуют ли аналогичные шутки, использующие слова не только английского, но и других языков с латинским алфавитом? (Прибавьте единицу к предыдущему ответу.)

Проф. Слог. Мистер Ши Ли Хой, предлагаю вам первую задачу. Приз — 5 долларов. Перед вами 24 спички. Можете ли вы, сняв со стола 13 спичек, сложить из оставшихся сто «г»?

Мистер Ши Ли Хой. Еще Конфуций говорил, что если задачу нельзя решить, ее следует поцеловать и оставить в покое.

Проф. Слог. Вы рано сдаетесь, мистер Хой. Помните: мы играем в слова, и сто «г» для большей ясности можно прочитать вслух.

Мистер Ши Ли Хой. Я уже прикидывал и так, и этак. Сложить 100 букв «г» из 24 спичек невозможно: не хватит спичек.

Проф. Слог. Ваше время истекло. Жаль, что вы забыли о слове «стог» — оно читается, как «сто «г»».

Головоломка, которая оказалась не под силу мистеру Ши Ли Хою, решается просто, если догадаться, что сто «г» может означать не сто букв «г», а одно слово «стог».

А вот еще один вариант той же головоломки. Его решение требует иной догадки. Спички сложены так же, как и прежде. На этот раз требуется взять 20 спичек так, чтобы осталось 8. Решение — цифра 8 — выглядит так:

Если две предыдущие головоломки со спичками покажутся вашим друзьям слишком легкими, предложите им следующий, более трудный вариант. Спички разложены так же, как и прежде. Требуется взять 13 спичек так, чтобы осталось 8. На этот раз нужно догадаться, что из спичек можно сложить арифметическое выражение, значение которого равно 8.

Существует бесчисленное множество других головоломок со спичками, палочками, карандашами, соломинками и аналогичными предметами. Предлагаем вам и вашим друзьям еще две задачи. Составьте из 12 спичек следующее арифметическое «равенство»:

Требуется превратить его в настоящее равенство или неравенство, взяв или переложив одну спичку. Задача допускает много решений. Приведем лишь 4 из них:

Разложите теперь спички так, как показано на рисунке:

Устройте с друзьями состязание: кто сумеет прочитать в этих трех фигурках больше слов? Кто останется с носом?

Проф. Слог. Справившись с нашим следующим заданием, мистер Ши Ли Хой, вы выиграете приз в 20 долларов. Перед вами простой кроссворд. В нем всего 3 слова по горизонтали и 2 по вертикали. Вам дается 3 мин, чтобы решить его.

За 3 мин мистер Ши Ли Хой сумел отгадать лишь первое слово по горизонтали.

Мистер Ши Ли Хой. Мне очень жаль, профессор, но я не могу придумать больше ни слова!

Проф. Слог. Поверьте, мне тоже очень жаль, мистер Ши Ли Хой. Вы не заметили, что все три слова по горизонтали пишутся одинаково, хотя и отличаются по значению.

Проф. Слог. А теперь, пока мы ожидаем нашего следующего гостя, небольшое задание для наших телезрителей. Не можете ли вы так переставить буквы в трех словах «ВОЛОС НА ЛОКОН», чтобы получилось слово «КОЛОННА»?

Кроссворды с полным основанием можно отнести к числу комбинаторных задач: ведь речь идет о составлении пересекающихся последовательностей символов. Современные ЭВМ обладают достаточно большой памятью, чтобы вместить все слова любого естественного языка, и ничто не мешает нам, по крайней мере в принципе, составить программы, которые будут весьма успешно разгадывать кроссворды. Можно написать и такие программы, которые сами будут составлять кроссворды.

Большинство кроссвордов имеют «дырочки» — черные клетки или пробелы, разделяющие слова. В самых древних кроссвордах, не утративших своего первозданного вида, «дырочек» не было (так же как их нет в нашем шуточном кроссворде). Слова располагались, образуя так называемый «словесный квадрат». Вот, например, как выглядит такой словарь 4-го порядка (из четырехбуквенных слов):

ПУСК

УЗОР

СОДА

КРАБ

Четыре слова («пуск», «узор», «сода» и «краб») можно прочитать и по горизонтали, и по вертикали. Если по горизонтали стоят одни слова, а по вертикали другие, то словесный квадрат называется двойным:

ИГЛА

КРУГ

РАПА

АДАТ

Чем выше порядок, тем труднее составлять словесные квадраты, как простые, так и двойные. Попробуйте самостоятельно составить несколько словесных квадратов 4-го порядка. Если вы успешно справитесь с этим заданием, попытайтесь составить квадраты 5-го и 6-го порядка. Построить квадраты 7-го и еще более высокого порядка чрезвычайно трудно. Знатокам и ценителям удавалось изредка составлять словесные квадраты 8-го, 9-го и 10-го порядков, но при этом почти всегда приходилось использовать необычные, странно звучащие слова.

Последний вопрос проф. Слога (как из букв, входящих в слова «ВОЛОС НА ЛОКОН», составить слово «КОЛОННА») относится к так называемым анаграммам — составлению новых слов или фраз из букв, входящих в какое-нибудь другое слово или предложение (решение приведено в конце книги). Существует множество анаграмм самого забавного свойства, например:

ШАМОТ — ТОМАШ

МАРС — СРАМ

ОКОРОК — РОКОКО

Может быть, вам удастся придумать примеры и получше.

В старину анаграммы использовались для закрепления приоритета учеными, не торопившимися по тем или иным соображениям раскрывать суть своего открытия. Например, Галилей сообщил об открытии фаз Венеры в анаграмме: «Haec immatura a me jam frustra leguntur. O. V.», означавшей: «Этого от меня хотят слишком рано и напрасно». И лишь впоследствии дал правильную расшифровку анаграммы: «Cynthya figuras aemulatur mater amorum» («Мать любви [Венера] подражает видам Цинтии [Луны]»).

Следующим гостем проф. Слога была Мари Бирам. Что необычного в ее имени?

Может быть, эта реклама вин поможет вам. Надпись на рекламе обладает тем же свойством, что и имя Мари Бирам.

«Золото лоз» и «Мари Бирам» — палиндромы, то есть надписи, которые читаются одинаково в обе стороны: от начала к концу и от конца к началу.

Можете ли вы привести другие примеры имен и фамилий, обладающих палиндромной симметрией? (Это не так просто, как кажется.) Вот несколько примеров: Анна, Тим Смит, Нелла Аллен, Тит.

Проф. Слог. Добро пожаловать к нам в студию, Мари! Эти картины имеют самое непосредственное отношение к вашему первому заданию. На каждой из них изображено какое-нибудь известное математическое понятие. Разумеется, я имею в виду не «портрет», а скорее «скрытое изображение».

Проф. Слог. Позвольте мне пояснить, что я имею в виду, на примере. На этой картине изображено число ?.

Мари. Кажется, я начинаю понимать, в чем дело. Официант подает, хотя и не очень вежливо, на стол пирог, и в первом слоге слова «пирог» скрыто «изображение» числа ?.

Проф. Слог. Совершенно верно. А вот перед вами 3 картинки-загадки. За каждую отгадку вы получаете приз в 10 долларов. Начнем с первой картинки. Что это?

Мари. Мне кажется, я отгадала. На этой картинке изображен «полли ном», то есть «полином», или «многочлен».

Проф. Слог. Правильно! А что изображено на второй картинке?

Мари. На ней изображена пара редких животных «бола». Значит, в этой картинке скрыто «изображение» параболы?

Проф. Слог. Против этого трудно что-нибудь возразить, Мари. Посмотрим, как вы справитесь с последней картинкой.

Мари. Это совсем просто. Перед нами «радикал».

Загадочные картинки, в которых по определенным правилам «зашифровано» Какое-нибудь слово, называются ребусами. Попробуйте придумать ребусы для нескольких математических терминов.

В близком родстве с ребусами состоит другая разновидность «рисуночного письма» — так называемые пиктограммы, изображающие то, что означает слово. Сущность пиктограмм отчетливо ясна из приводимых нами примеров (рис. 1). Пиктограммы — новый, еще совсем юный вариант традиционных ребусов, успевших изрядно состариться.

Пиктограммы, передающие образно смысл слов, давно стали неотъемлемой частью современной рекламы и плаката. Шрифты и надписи несут добавочную смысловую нагрузку, «рисуя» то, о чем должен говорить зрителю плакат (рис. 2). Художники нередко используют этот прием при создании обложки. Пиктограммы находят также широкое применение в дорожных знаках, придавая им большую выразительность.

Британский плакат о вреде курения.

Проф. Слог. Следующее задание, дорогая Мари, посложнее. Вы должны сказать мне, что замечательного вам удастся заметить в трех надписях, которые я вам покажу. За каждую отгадку вы получаете приз в 20 долларов.

Проф. Слог. Вот первая надпись. Прочитайте ее внимательно и, пожалуйста, оставьте в покое мои уши. Не щекочите их перышком!

Мари. Не могу! Вы так умны и хороши собой, что я влюбилась в вас по уши.

Проф. Слог. Никакие объяснения в любви не помогут вам получить приз.

Мари. Я все равно получу его, так как справилась с заданием. Первая надпись палиндром, как и мое имя, она читается одинаково в обе стороны.

Проф. Слог. Очень хорошо, дорогая Мари. А что вы скажете об этой надписи?[6]

Мари. Позвольте взглянуть. Так! Это — почти палиндром, но не совсем. Минуточку! Поняла! Эта надпись читается одинаково в прямом и в перевернутом (вверх ногами или, если угодно, вниз головой) положении.

Проф. Слог. Вы снова правы, Мари! Переходим к последнему заданию.

Мари. Я заметила закономерность. Каждое слово в этой надписи на 1 букву длиннее предыдущего.

Проф. Слог. Великолепно! Вот еще 20 долларов, которые вы выиграли. Что вы собираетесь делать с этими деньгами?

Мари. Приглашу вас сегодня поужинать со мной, а затем покажу вам свою коллекцию словарей.

Проф. Слог. Согласен. До скорой встречи, Мари! А теперь, дорогие телезрители, пока наш следующий гость еще не пришел, мы воспользуемся свободной минутой, чтобы предложить вашему вниманию еще одну словесную задачку.

Проф. Слог. Какое слово из 5 букв все выпускники Гарвардского университета произносят плохо?

Тысячи замечательных палиндромов известны на всех основных языках. Придумать палиндром не так трудно, попробуйте и вы убедитесь в этом сами. Вот несколько известных примеров палиндромов на русском языке: «Кирилл лирик», «Ты сыт?», «Аргентина манит негра», «Я не реву — уверен я».

В классических палиндромах единицей служат буквы. Но можно составить и «крупноблочные» палиндромы, в которых единицами будут целые слова. Два замечательных примера таких палиндромов принадлежат Дж. А. Линдону:

1. «You can cage a swallow, can't you, but you can't swallow a cage, can you?» («Вы можете посадить ласточку в клетку, но проглотить клетку вы не можете, не так ли?»)

2. «Girl bathing on Bikini, eyeing boy, finds boy eyeing bikini on bathing girl» («Девушка, купающаяся на острове Бикини и украдкой поглядывающая на молодого человека, видит молодого человека, не отрывающего глаз от бикини на купающейся девушке»).

Существуют поэмы, которые читаются одинаково от начала к концу и от конца к началу либо по строкам, либо целиком.

Палиндромы — аналоги того, что математики называют двусторонней, или билатеральной, симметрией. Тела людей и многих животных обладают двусторонней симметрией. Многие творения человеческих рук также обладают двусторонней симметрией, например кресла, кофейные чашки и тысячи других предметов. Любые фигуры и тела, обладающие двусторонней симметрией, при отражении в зеркале переходят в себя. В этом и проявляется аналогия между билатеральной и палиндромной симметрией, при которой последовательность символов остается неизменной, если очередность символов изменить на противоположную.

Говоря о символах, мы имеем в виду не только буквы, но и цифры. Числовой палиндром — это число, которое читается одинаково слева направо и справа налево. Одна знаменитая гипотеза в теории чисел так и называется — «гипотеза о палиндромах». Возьмем любое число в десятичной системе счисления, вывернем его «наизнанку», записав от конца к началу, и сложим оба числа. То же самое проделаем с суммой и будем повторять всю процедуру до тех пор, пока не получим палиндром. Например, число 68 порождает палиндром в 3 шага:

Гипотеза о палиндромах состоит в том, что независимо от того, какое число выбрано, после конечного числа шагов вы непременно получите палиндром.

Никто не знает, верна ли эта гипотеза. Доказано, что для двоичной системы и всех систем счисления с основанием, равным любой степени двойки, эта гипотеза не верна. Для систем счисления с другими основаниями доказать гипотезу о палиндромах пока не удалось.

Наименьшее десятичное число, которое может служить контрпримером, опровергающим гипотезу о палиндромах, равно, по-видимому, 196.

Математики проделали на ЭВМ сотни тысяч шагов, но получить палиндром так и не удалось, хотя никем не доказано, что он никогда не появится.

Математики исследовали также простые числа-палиндромы (которые делятся на 1 и на самих себя). Многие считают, что существует бесконечно много простых чисел-палиндромов, но эта гипотеза также пока не доказана. Высказывалось предположение и о том, что существует бесконечно много таких пар чисел-палиндромов, как, например, 30103 и 30203, в которых средние цифры отличаются на 1, а все остальные цифры совпадают.

Простое число-палиндром должно иметь нечетное число знаков: каждое палиндромное число с четным числом знаков кратно 11 и, следовательно, не может быть простым. Можете ли вы доказать, что палиндромное число с четным числом знаков всегда делится на 11? (Указание: число делится на 11, если разность между суммой цифр, стоящих в разрядах с четными номерами, и суммой цифр, стоящих в разрядах с нечетными номерами, кратна 11.)

Много палиндромов среди квадратов, например 11 ? 11 = 121. Квадраты оказываются палиндромами гораздо чаще, чем выбранные наугад целые числа. То же можно сказать и о кубах. Более того, если куб — палиндром, то можно почти с уверенностью сказать, что и кубический корень из него также будет палиндромом (например, 11 ? 11 ? 11 = 1331). Поиск палиндромов среди четвертых степеней, проведенный с помощью ЭВМ, пока не дал ни одного палиндрома, корень четвертой степени из которого не был бы также палиндромом. Поиск палиндромов среди пятых степеней пока оказался безуспешным. Высказана гипотеза, согласно которой не существует чисел-палиндромов вида x^k при k > 4.

Надпись на плакате «NOW NO SWIMS ON MON» («Никто не плавает теперь по понедельникам») — самый длинный из известных текстов, обладающих симметрией относительно поворота на 180°. Существует довольно много примеров отдельных слов, обладающих такой симметрией либо в рукописном, либо в печатном виде. На рис. 3 вы видите некоторые из них.

Предложение «Я бы сам всех макак удивил» можно было бы сравнить со снежным комом: каждое следующее слово на одну букву длиннее предыдущего, слова увеличиваются в размерах, как снежный ком, катящиеся по склону. Существуют и более длинные предложения такого типа. Удается ли вам придумать несколько таких предложений?

Ответ на последний вопрос проф. Слога: все выпускники Гарвардского университета произносят «плохо» слово «плохо» из 5 букв. Нетрудно придумать и другие вопросы того же типа.

Следующим гостем телепередачи «Состязание любителей слова» был президент сигаретной компании из Хакеттстауна (штат Нью-Джерси) мистер Неку Рите. Почему проф. Слогу так понравилось имя нового гостя?

Если по-другому разбить имя и фамилию гостя, то получится «Не курите». Для президента сигаретной компании имя, что и говорить, весьма подходящее!

Хотя наш рассказ-загадка в картинках может показаться тривиальным, он показывает, что пробел как элемент алфавита имеет первостепенное значение для правильного понимания предложений. Пробелы между словами играют такую же роль, как скобки, пробелы и т. п. в математических выражениях. Смысл математического выражения нередко можно сильно изменить, «передвинув» одну-единственную скобку подобно тому, как сдвиг пробела почти до неузнаваемости изменил привычный призыв «НЕ КУРИТЕ».

Значения многих слов изменяются, если ввести пробел. Например, «штукатурка» превратится в словосочетание «штука турка», а «прохвост» — в безобидное «про хвост».

В старые времена, когда основным видом транспорта была лошадь, на улице одного американского городка над коновязью красовалась вывеска:

Д ЛЯЛОШ АДЕЙИМ УЛОВ

Можете ли вы, расставив по-другому пробелы, расшифровать таинственную надпись?

Близка по духу и другая игра в слова, известная еще нашим дедушкам и бабушкам: в предложении скрыто какое-то имя или географическое название, которое требуется найти. Например, название какого штата таится в следующем предложении: «Едва смолкли голоса, как кто-то восторженно воскликнул: «Ай, да хор! Молодцы!»

Нетрудно видеть, что подчеркнутые буквы образуют название американского штата Айдахо. Попробуйте теперь обнаружить название одной из частей света в предложении, взятом, — должно быть, из какого-то фантастического романа: «За стеклом иллюминатора в резком свете прожектора, слезившем глаза, зияла пасть глубоководного чудовища».

Столь же легко замаскировать и математические термины. Например, название хорошо известного всем геометрического термина спрятано в предложении: «Изящный кувшин был выкован из меди, а на ручке мастер выгравировал свои инициалы».

Существуют и всевозможные усложненные варианты. Например, одно предложение может быть скрыто в другом, вполне осмысленном. Для проявления «скрытого изображения» часть букв необходимо зачеркнуть. Особого искусства требует составление тройной фразы с «двойным дном», в которой осмысленные предложения образуют все буквы, зачеркнутые буквы и буквы, оставшиеся после зачеркивания. Приведем арифметический аналог такой тройной фразы: 15 + 11 = 26. Последние цифры порождают равенство 5 + 1 = 6, после их вычеркивания остается равенство 1 + 1 = 2. Возможно, вам удастся придумать более сложные примеры.

Проф. Слог. Ваше первое задание, мистер Рите, связано с этой таблицей, на которой выписаны четыре имени. Приз за успешное выполнение задания — 6 коробок превосходных кубинских сигар.

Проф. Слог. Проведя 3 линии, мы легко можем разделить таблицу на 4 графы так, чтобы в каждой из них было вписано только 1 имя. Нельзя ли добиться того же с помощью 2, а не 3 линий?

Мистер Рите молча попыхивал сигарой, пока его время не истекло.

Мистер Рите. Этого сделать нельзя!

Проф. Слог. Вы заблуждаетесь, мистер Рите. Задача решается очень просто. Должно быть, сигарный дым затуманил ясность вашего мышления.

Задача проф. Слога решается сразу, стоит лишь догадаться, что каждое имя можно разбить на две части, а из «осколков», комбинируя их в других сочетаниях, составить те же четыре имя.

Идея разбиения на части прямыми встречается и во многих других головоломках. Обычно речь идет о том, чтобы несколькими прямыми разделить ту или иную картинку на части, каждая из которых содержала бы лишь одну деталь. Типичная головоломка такого рода изображена на рис. 4. Можете ли вы провести 3 прямые так, чтобы каждый кружок оказался отрезанным от всех остальных? Решение оказывается неожиданно простым, если догадаться, что части, на которые рассекают квадрат 3 прямые, не обязательно должны быть прямоугольниками и что 3 прямыми квадрат можно разделить на 7 частей.

Интересные варианты той же идеи возникают, если вместо кружков взять числа. Требуется разделить квадрат прямыми на части так, чтобы в каждой части числа обладали каким-нибудь общим отличительным свойством. Свое искусство в решении задач этого типа вы можете испытать на следующей головоломке (рис. 5). Требуется провести 4 прямые так, чтобы они разделили квадрат на 11 частей и сумма чисел в каждой части была равна 10. Решение этой задачи приведено в конце книги.

Проф. Слог. Даю вам еще один шанс выиграть 6 коробок сигар. В одном городке на витрине небольшой гостиницы с рестораном красовался такой плакат.

Проф. Слог. Но когда несовершеннолетние юнцы зашли в ресторан и потребовали спиртные напитки, их вышвырнули вон.

Проф. Слог. По словам владельца гостиницы, художник, написавший плакат, пропустил два восклицательных знака. Расставьте их так, чтобы текст плаката обрел тот смысл, который хотел вложить в него хозяин гостиницы, человек строгих правил и безупречной репутации.

Мистер Рите не справился и с этим заданием. Проф. Слогу пришлось самому расставить восклицательные знаки.

Во многих старинных сборниках забав и развлечений можно найти примеры фраз, смысл которых существенно зависит от того, как расставлены знаки препинания. Вспомним хотя бы знаменитый пример с телеграммой «КАЗНИТЬ НЕЛЬЗЯ ПОМИЛОВАТЬ». От того, где должна стоять пропущенная телеграфистом точка, зависит судьба осужденного.

Головоломки этого типа также имеют многочисленные арифметические аналоги. Взять хотя бы следующее неверное равенство:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 100.

Как сделать его верным, изменив «пунктуацию» в левой части (то есть расставив по-другому плюсы и минусы и, возможно, убрав или добавив пробелы между цифрами)? Одно из возможных решений, использующее только три знака, имеет вид:

123 ? 45 ? 67 + 89 = 100.

Другое решение потребовало больше плюсов и лишь один минус:

1 + 2 + 3 ? 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100.

Существует всего лишь девять решений:

123 ? 45 ? 67 + 89 = 100,

123 + 4 ? 5 + 67 ? 89 = 100,

123 + 45 ? 67 + 8 ? 9 = 100,

123 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 + 8 ? 9 = 100,

12 ? 3 ? 4 + 5 ? 6 + 7 + 89 = 100,

12 + 3 + 4 + 5 ? 6 ? 7 + 89 = 100,

1 + 23 ? 4 + 5 + 6 + 78 ? 9 = 100,

1 + 2 + 34 ? 5 + 67 ? 8 + 9 = 100,

12 + 3 ? 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100,

1 + 23 ? 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100,

1 + 2 + 3 ? 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100.

Ту же задачу можно поставить несколько иначе, если потребовать, чтобы цифры шли не в порядке возрастания, а в порядке убывания. Если исключить (как мы делали в предыдущей, задаче) случай, когда знак минус стоит перед первым числом, то задача допускает всего 15 решений:

98 ? 76 + 54 + 3 + 21 = 100,

9 ? 8 + 7 ? 6 ? 1 ? 54 ? 32 + 1 = 100,

98 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 + 3 + 21 = 100,

9 ? 8 + 7 + 65 ? 4 + 32 ? 1 = 100,

9 ? 8 + 76 ? 5 + 4 + 3 + 21 = 100,

98 ? 7 + 6 + 5 + 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 100,

98 + 7 ? 6 + 5 ? 4 + 3 ? 2 ? 1 = 100,

98 + 7 + 6 ? 5 ? 4 ? 3 + 2 ? 1 = 100,

98 + 7 ? 6 + 5 ? 4 ? 3 + 2 + 1 = 100,

98 ? 7 + 6 + 5 ? 4 + 3 ? 2 + 1 = 100,

98 ? 7 + 6 ? 5 + 4 + 3 + 2 ? 1 = 100,

98 + 7 ? 6 ? 5 + 4 + 3 ? 2 + 1 = 100,

98 ? 7 ? 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 100,

9 + 8 + 76 + 5 + 4 ? 3 + 2 ? 1 = 100,

9 + 8 + 76 + 5 ? 4 + 3 + 2 + 1 = 100.

Если мы условимся ставить минус и перед первым числом, то появится 3 новых решения в том случае, когда цифры расположены в порядке убывания, и одно новое решение, когда цифры расположены в порядке возрастания:

? 9 + 8 + 76 + 5 ? 4 + 3 + 21 = 100,

? 9 + 8 + 7 + 65 ? 4 + 32 + 1 = 100,

? 9 ? 8 + 76 ? 5 + 43 + 2 + 1 = 100,

? 1 + 2 ? 3 + 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100.

Разумеется, знаки «пунктуации» не обязательно ограничивать плюсами и минусами, а сумму, стоящую в правой части равенства, числом 100. Сумма может быть равна, например, двум последним цифрам текущего года или любому другому числу, какое вам больше нравится.

Можете ли вы расставить, знаки так, чтобы левая часть «равенства»

1 ? 2 ? 3 + 4 ? 5 + 6 = 5

действительно стала равно 9?

Ответ приведен в конце книги.

Проф. Слог. А теперь, мистер Рите, мы покажем вам три загадочные надписи. В каждой из них зашифровано какое-то слово. Раскройте тайный смысл любой из надписей, и вы получите сигары. Вот первая надпись. Каков ее тайный смысл?

Мистер Рите. Не знаю. Не могу сказать. А что в ней зашифровано?

Проф. Слог. Ваше имя — Неку. Таинственные символы получены при отражении букв от горизонтальной прямой, как от поверхности озера.

Проф. Слог. Может быть, разгадать эту надпись вам будет легче?

Слушая объяснения проф. Слога, мистер Рите только крутил головой.

Проф. Слог. Каждый символ был получен из соответствующей буквы при отражении от вертикальной прямой, проходящей слева от буквы. Не правда ли, все очень просто?

Мистер Рите. Мне это задание совсем не кажется простым.

Проф. Слог. Не будем спорить. Вот последнее ваше задание. У вас еще есть шанс получить сигары.

Мистер Рите не смог и с этим заданием справиться. Когда же проф. Слог провел по жирной черте над надписью и под ней, оказалось, что в ней было скрыто слово «курите».

В первой серии загадочных знаков буквы НЕКУ отражены от оси симметрии, проходящей через их основания. Заметим, что некоторые буквы при такой операции переходят в себя (например, буквы Н, Е и К, обладающие горизонтальной осью симметрии).

Во второй серии каждый загадочный знак получен при отражении букв РИТЕ относительно вертикальных осей симметрии. Заметим, что такие буквы, как Т и О (не входящая в имя и фамилию мистера Рите), при отражении относительно вертикальных прямых переходят в себя (они обладают вертикальной осью симметрии). Буква О, обладающая и вертикальной, и горизонтальной осью симметрии, не изменяется при отражениях в зеркале, поставленном, как перпендикулярно, так и параллельно строке. Возьмите зеркало и выясните, какой симметрией обладают все буквы алфавита, как строчные, так и прописные.

Можете ли вы придумать слово, которое бы не изменялось при отражении в зеркале, параллельном строке? Отражение в зеркале, поставленном параллельно строке, выдерживает в числе многих, например, слово «ОКНО». А существуют ли слова, способные выдержать отражение в зеркале, приставленном сбоку перпендикулярно строке? Да, одним из многочисленных примеров может служить слово «ТОПОТ».

Любая плоская фигура, обладающая по крайней мере одной осью симметрии, совместима со своим зеркальным отражением, хотя последнее может быть повернуто под некоторым углом. Любое геометрическое тело, обладающее плоскостью симметрии, также совместимо со своим зеркальным отражением. Глядя в зеркало, мы видим своих двойников именно потому, что наше тело обладает плоскостью симметрии, которая делит его от макушки до пят.

Наши зеркальные головоломки допускают многочисленные вариации. Например, что это такое?

Угадать, что это такое, еще труднее:

В последней головоломке проф. Слога буквы КУРИТЕ замаскированы совершенно иначе. Глаз стремится уловить какую-то закономерность в очертаниях черных фигурок и не обращает внимания на белые зазоры между ними, хотя именно эти зазоры имеют форму букв, которые выглядят, как на негативе. Увидеть слово без вертикальных черных полос, ограничивающих его сверху и снизу, довольно трудно. Попытайтесь замаскировать аналогичным образом другие слова.

Проф. Слог. Жаль, что сигары вам не достались, мистер Рите. Но вы вели себя так спортивно и не падали духом при неудачах, что я хочу вручить вам этот позолоченный «твитт».

Мистер Рите. Благодарю вас, профессор. А что означает слово «твитт»?

Проф. Слог. Нет ли у вас кого-нибудь заветного желания, мистер Рите?

Мистер Рите. Есть, конечно! Я всегда мечтал научиться летать на самолете.

Проф. Слог. Вот ваша мечта и сбылась! Ваш «твитт» в шляпе! Всего доброго, мистер Рите! Спасибо за то, что смогли выбраться к нам!

Проф. Слог. Пока наш следующий гость готовятся к выходу, я хочу предложить вам, дорогие телезрители, небольшую задачку. Этот подарок я послал своей доброй знакомой на день рождения. Не могли бы вы назвать, какого сорта торт я выбрал для нее?

Последним гостем передачи была мисс Дези Норт. Как, по-вашему, почему проф. Слог пригласил ее принять участие в телепередаче?

Буквы в имени и фамилии Дези Норт расположены в алфавитном порядке. Такое встречается не слишком часто. Раскройте телефонный справочник, в вы убедитесь, что фамилии, в которых все буквы идут в алфавитном порядке, встречаются редко.

Найти имена, в которых все буквы расположены в алфавитном порядке, как, например, в имени АВГУСТ, не легко. А можете ли вы привести пример какого-нибудь слова, состоящего не менее чем из б–7 букв, которые были бы расположены в алфавитном порядке? Коротких слов такого типа довольно много, например, туф, бинт, абвер и т. д., но найти длинные слова значительно труднее.

Проф. Слог. Мисс Норт, Вам предстоит решить 3 задачки. Решив правильно первую задачу, вы получите в качестве приза купальный костюм, за решение второй задачи — сумочку. Наконец, правильно решив третью задачу, вы станете обладательницей норкового манто.

Проф. Слог. Итак, первая задача. Художник нарисовал одни буквы более жирно, чем другие. По какому признаку он разделил алфавит на жирные и тонкие буквы?

Мисс Норт с минуту молча разглядывала надпись.

Мисс Норт. Эврика! У жирных букв по крайней мере один элемент искривлен, а тонкие буквы составлены из отрезков прямых.

Проф. Слог. Вы выиграли купальный костюм, мисс Норт. Постарайтесь выиграть и сумочку. По какому признаку буквы этого алфавита разделены на жирные и тонкие?

Мисс Норт. Посмотрим. Так, это не кривые и не отверстия, не глухие и звонкие согласные. Что же за признак? Стоп! Все понятно! Жирные буквы топологически эквивалентны. Все они получены непрерывной деформацией отрезка прямой.

Проф. Слог. Великолепно, Дези! Еще немного усилий, и норковое манто ваше! Вы должны вычеркнуть шесть букв так, чтобы оставшиеся буквы образовали имя и фамилию известного английского поэта.

Мисс Норт немного подумала и нашла ключ к решению задачи. Вычеркнув «Ш-Е-С-Т-Ь Б-У-К-В», она получила надпись: Джон Мильтон.

Мисс Дези Норт так обрадовалась полученным призам, что на прощание обняла и крепко поцеловала проф. Слога.

В первой задаче буквы алфавита разделены на основе геометрических различий между прямыми и кривыми (жирно обведены буквы, содержащие криволинейные элементы). Во второй задаче буквы разделены по топологическому признаку (жирно обведены буквы алфавита, топологически эквивалентные отрезку прямой, не имеющие точек самопересечения и незамкнутые).

Представим себе, что заглавные буквы сделаны из упругого материала и их можно сжимать, растягивать и даже выводить из плоскости и переносить в другое место. Две буквы называются топологически эквивалентными, если их можно перевести друг в друга такими непрерывными деформациями (разрезать буквы или склеивать их не разрешается). Попробуйте разбить все буквы алфавита на классы топологически эквивалентных букв.

Например буквы Е и Т топологически эквивалентны, но ни одна из них не эквивалентна буквам X и К, хотя последние эквивалентны друг другу. Аналогичным образом можно классифицировать не только заглавные, но и строчные буквы, цифры и любые другие знаки. Производя классификацию печатных букв, необходимо учитывать, что в различных типографских гарнитурах буквы могут отличаться по форме.

Проф. Слог. Дорогие телезрители! Прежде чем мы расстанемся, я хотел бы задать вам 3 задачки. Задача первая: какое слово из 7 букв станет длиннее, если 2 его последние буквы заменить другими?

Вторая задача: какие 3 слова из 4 букв заканчиваются на «ети»?

Третья, и последняя, задача: в каком слове сто «н»?

Проф. Слог. Наша передача подошла к концу, уважаемые любители слова. Благодарю вас за внимание. До нашей встречи на следующей неделе в то же время по той же программе! Всего вам доброго!

Ответы на последние вопросы проф. Слога:

1. «Длинный» становится «длиннее», если две последние буквы заменить на «ее».

2. На «ети» оканчиваются такие четырехбуквенные слова, как «дети», «сети» и «нети» (быть «в нетях»).

3. В слове «стон» сто «н».

А вот еще несколько задач того же типа:

1. Перед вами слово АЙВА. Какую букву следует добавить к нему, чтобы получилось название одного из штатов США?

2. Какое слово здесь «инородно»?

ДЯДЮШКА

РОДИЧ

МАТЬ

СЕСТРА

ОТЕЦ

ТЕТУШКА

3. Что означают эти буквы:

О Д Т Ч?

4. Что здесь написано:

Примечания:

5

Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. — М.: Мир, 1977, С. 29.

6

Знание английского языка для выполнения этого задания не обязательно. — Прим. перев.