Приложение 2. Гипотеза Римана в песне

Том Апостол, заслуженный профессор математики в отставке из Калтеха, написал в 1955 году гимн по поводу Гипотезы Римана (ГР) и исполнил его на конференции по теории чисел, проходившей в Калтехе в июне того года. Исходно написанные Томом стихи заканчивались на 32-й строке; последние два куплета в 1973 году вывесил на доске объявлений в Кембриджском университете алгебраический тополог Сондерс Маклейн. В песне упоминается гипотеза Линделёфа (ГЛ) — младшая сестра ГР. Она была сформулирована в 1908 году, и, по существу дела, ее надо было бы привести где-то в главе 14; но, поскольку она второстепенна по отношению к нашей главной теме и поскольку в ней используется обозначение «? большое» из главы 15, а также потому, что я в тот момент посчитал, что в книге и так уже достаточно математики, я не стал ее включать в текст. Правда, стихи Тома без нее не понять, а заставить себя выкинуть песню я не смог. В результате перед вами и сама песня, и, в качестве бесплатного приложения, еще и гипотеза![215]

1   Где же нули у функции дзета?
    Нам Риман оставил догадку про это:
    «На критической линии, там они все,
    А их плотность — один-на-два-? ln T».

5   И эта гипотеза, словно заноза,
    Многих людей довела до психоза.
    Стремились они дать строгий расчет,
    Что происходит, когда t растет.

     Ландау, и Бор, и Крамер, и Харди
10 Среди одержимых шли в авангарде.
     Но все-таки даже они не смогли
     Уверенно все перечислить нули.

     Впоследствии Харди сумел доказать,
     Что на этой прямой их несметная рать,
15 Но его теорема все ж не исключает,
     Что где-то еще те нули обитают.

     Пусть P будет ? минус Li — вот прелестно!
     Но как там с порядком P — неизвестно.
     Если корень из x ln x — потолок,
20 То Гипотезу Римана вывесть я б смог.

     Вопрос про ?(?) задал Линделёф;
     Над ним потрудилось немало умов.
     Проверим критическую полосу,
     И сколько нулей там — как на носу.

25 Но функция эта ведет себя сложно,
     Ее изучили, насколько возможно.
     «График должен быть выпуклым, — смог он сказать, —
     Если сигма сама превосходит 0,5».

     Так где же нули у функции дзета?
30 Даже через столетие все нет ответа.
     А ТРПЧ можно все улучшать,
     Но контур обязан нули избегать.

     Тем временем Вейль обратился к предмету,
     Используя более хитрую дзету.
35 Коль характеристика поля равна
     Простому числу — теорема верна.

     Мораль этой притчи нетрудно понять,
     И всем юным гениям следует знать:
     Если не выручает обычный подход,
40 То по модулю p — авось повезет!

(Том М. Апостол, перевод Сергея Ельницкого)

Where are the zeros of zeta of s?
G.F.B. Riemann has made a good guess:
«They're all on the critical line,» stated he,
«And their density's one over two pi log T».

This statement of Riemann's has been like a trigger,
And many good men, with vim and with vigor,
Have attempted to find, with mathematical rigor,
What happens to zeta as mod t gets bigger.

The efforts of Landau and Bohr and Cramer,
Hardy and Littlewood and Titchmarsh are there.
In spite of their effort and skill and finesse,
In locating the zeros there's been no success.

In 1914 G.H. Hardy did find,
An infinite number that lie on the line.
His theorem, however, won't rule out the case,
That there might be a zero at some other place.

Let P be the function pi minus Li;
The order of P is not known for x high.
If square root of x times log x we could show,
Then Riemann's conjecture would surely be so.

Related to this is another enigma,
Concerning the Lindelof function mu sigma,
Which measures the growth in the critical strip;
On the number of zeros it gives us a grip.

But nobody knows how this function behaves,
Convexity tells us it can have no waves.
Lindelof said that the shape of its graph
Is constant when sigma is more than one-half.

Oh, where are the zeros of zeta of s?
We must know exactly. It won't do to guess.
In order to strengthen the prime number theorem,
The integral's contour must never go near 'em.

Andre Weil has improved on old Riemann's fine guess
By using a fancier zeta of s.
He proves that the zeros are where they should be,
Provided the characteristic is p.

There's a moral to draw from this long tale of woe
That every young genius among you must know:
If you tackle a problem and seem to get stuck,
Just take it mod p and you'll have better luck.

Мотив. Sweet Betsy from Pike — песня, которую поют на этот мотив в Америке. Однако мелодия старше, чем слова. Впервые она прозвучала в английской песенке Villikens and his Dinah[216], популярной в середине XIX века. (Из этой песенки, кстати, взято имя кошки в книгах Льюиса Кэрролла об Алисе. Villikens and his Dinah была любимой песней Алисы Лидделл — девочки, которая вдохновила его на написание книг, и у нее и в самом деле была кошка по имени Дина.) Если ваше обучение в Британии включало в себя членство в школьном клубе регби[217], то вы, скорее всего, распознаете эту мелодию как мелодию известной печальной баллады, начинающейся словами О Father, О Father, I've come to confess. I've left some poor girl in a hell of a mess.[218]

Строка 1. См. главу 5.vii.

Строка 2. Полное имя Римана было Георг Фридрих Бернхард Риман (глава 2.iii). Насколько известно, он всегда пользовался только именем Бернхард.

Строка 3. По поводу «критической прямой» (она же критическая линия) см. главу 12.iii, рисунок 12.1.

Строка 4. Это следует сравнить с утверждением из главы 13.viii, что на высоте T вдоль критической прямой средний интервал между нулями ~2?/ln (T/2?). Это означает, что на единицу длины вдоль прямой приходится ~(1/2?)/ln (T/2?) нулей. Это автор песни и имеет в виду под «плотностью». Заметим, что, согласно правилам обращения с логарифмами, ln (T/2?) равен ln T ? ln (2?), т.е. ln Т ? 1,83787706…. Умножив это на 1/2?, получим (1/2?)ln T ? 0,29250721…. По мере роста T растет (хотя и намного медленнее) и ln T, так что слагаемое величины 0,29250721… становится совершенно несущественным. Следовательно, плотность равна «один-на-два-пи эль-эн T».

Строка 8. В оригинале обозначение mod t использовано для модуля числа t, определенного в главе 11.v. Когда, как в данном случае, под t понимается вещественное число, mod t — в нормальных обозначениях |t| — выражает просто величину t без учета знака.[219] Как отмечалось в главе 16.iv, t (или T) — довольно стандартное обозначение в теории дзета-функции, когда говорят о больших высотах вдоль критической прямой (или, более общим образом, как видно из обсуждения ГЛ в примечаниях к строчкам 21-28, о мнимой части аргумента дзета-функции).

Строка 9. Харальд Бор (глава 14.iii) и Эдмунд Ландау доказали в 1913 году важную теорему о функции S (см. главу 22.iv), которая гласит, что если дзета-функция имеет лишь конечное число нулей вне критической прямой, то функция S(t) неограничена, когда t стремится к бесконечности. Упоминавшееся в главе 22.iv доказательство Сельберга 1946 года, что S(t) неограничена, — более сильный результат, поскольку не требует указанного условия. По поводу Крамера см. главу 20.vii. Помимо разработки упомянутой там «вероятностной модели» для распределения простых чисел Крамер также доказал и один менее значительный результат о функции S: если ГЛ (см. примечания к строчкам 21-28) верна, то S(t)/ln t стремится к нулю, когда t стремится к бесконечности. По поводу Литлвуда и Харди см. главу 14; по поводу Титчмарша — главу 16.v.

Строки 13-16. Глава 14.v.

Строка 17. Чтобы попасть в размер, термин Li здесь надо произносить как как ell-eye (в оригинале, и как «ли» в переводе. — Примеч. перев.). Далее автор песни обсуждает остаточный член ?(x) ? Li(x), который мы подробно рассматривали в главе 21.

Строка 18. «Как там с порядком P — неизвестно» означает, что «P есть ? большое от… от чего? — неизвестно». По поводу ? большого см. главу 15.ii-iii; при этом имеются в виду большие значения x.

Строки 19-20. Если бы удалось доказать, что ?(x) ? Li(x) = ?(vx•ln x) (другими словами, на разность имеется ограничение, т.е. «потолок»), то и ГР была бы доказана. В этом заключается результат, обратный результату фон Коха 1901 года, приведенному в главе 14.viii. Там это не упомянуто, но если формула фон Коха верна, то верна и ГР. Они следуют друг из друга.

Строки 21-28. Следующие несколько строк целиком посвящены гипотезе Линделёфа (ГЛ) — знаменитому предположению в теории дзета-функции. Его гипотеза касается роста дзета-функции в вертикальном направлении — т.е. вверх по вертикальной прямой в комплексной плоскости.

Линделёф, записав аргумент дзета-функции в виде ? + ti, задался таким вопросом: пусть задана вещественная часть ? (это, кстати, строчная греческая буква сигма); что можно сказать о величине ?(? + ti), когда t (мнимая часть аргумента) изменяется от нуля до бесконечности? «Величина» здесь понимается в смысле модуля, который мы определили в главе 11.v; другими словами, это означает |?(? + ti)| — расстояние от значения дзета-функции до точки нуль. Это вещественное число, так что для всякой заданной ? и аргумент t, и значение |?(? + ti)| — вещественные числа. Следовательно, можно нарисовать график. На рисунках от П1 до П8 показаны графики для некоторых характерных значений ?; эти графики иллюстрируют суть дела лучше всяких слов.

Рисунок П8.

Обратим внимание на нетривиальные нули дзета-функции на рисунке П5. Стоит обратить внимание и на оживление, которое по сравнению с остальными демонстрируют рисунки от П4 до П6. Все интересное, что может случиться с дзета-функцией, происходит в критической полосе.

Кроме того, отметим некоторые знакомые значения при t = 0: ¹/₂ на рисунке П4 (что отвечает ?(0) = ?¹/₂ на рисунке 9.3, поскольку, разумеется, |?¹/₂| есть просто ¹/₂); бесконечность на рисунке П6 (расходимость гармонического ряда, глава 1.iii); 1,644934… на рисунке П7 (решение базельской задачи, глава 5.i); и 1,202056… на рисунке П8 (число Апери, глава 5.vi). Нулевое значение функции при t = 0 на рисунке П2 есть вещественный, тривиальный нуль дзета-функции (глава 9.vi). То, что кажется нулями на рисунках П1 и П3, на самом деле нулями не является; реально принимаемые там значения при t = 0 слишком малы, чтобы их можно было заметить. (Они соответственно равны 0,0083333… и 0,0833333….).

ГЛ — это утверждение об ? большом (см. главу 15.ii) для этих графиков. Просто посмотрев на них, можно предположить следующее.

• При ? = ?1, ?2 и ?3 график выглядит так, как если бы он был ? большое от некоторой ускоренно растущей функции от t, может быть, степенной типа t² или t⁵, причем эти степени, по-видимому, делаются все больше по мере того, как ? движется на запад вдоль отрицательной вещественной оси.

• При ? = 2 и 3 дело выглядит так, как будто у нас ?(1), или, другими словами, ?(t⁰).

• В критической полосе, т.е. при ? = 0, ¹/₂ и 1, нелегко сказать, какое ? большое могло бы подойти.

Могло бы так случиться, чтобы для любого значения ? существовало определенное число ?, для которого |?(? + ti)| = ?(t^?)? Так, чтобы ? = 0, когда ? больше 1, и чтобы ? было некоторым растущим положительным числом, когда ? уходит от нуля на запад. Вроде именно так дело и обстоит. Но что же происходит в критической полосе, когда а лежит между 0 и 1? И в частности, что происходит на критической прямой, когда ? = ¹/₂?

Ну что же, вот перед нами (рис. П9) все, что известно на момент написания книги. Для любого заданного значения ? действительно имеется число ?, для которого |?(? + ti)| = ?(t^?+?) для произвольно малого ?. Это не вполне то же самое, что предполагалось в предыдущем абзаце, но если вы не заметили разницы, то это простительно. (Однако если вспомнить про ?, которое появлялось у нас в главе 15.iii, то станет понятно его значение здесь). Несомненно, это число ? является функцией от ?. Отсюда и взялась функция Линделёфа ?(?) в строке 21. Она, конечно, не имеет никакого отношения к функции Мебиуса ? из главы 15 — еще один прискорбный случай перегрузки символов.

Рисунок П9. Функция Линделёфа.

Кроме того, математически точно известно следующее.

• Когда ? меньше или равна нулю, ?(?) = ¹/₂ ? ?.

• Когда ? больше или равна единице, ?(?) = 0.

• В критической полосе (т.е. когда ? заключена между 0 и 1, не включая границ), ?(?) < ¹/₂(1 ? ?). Другими словами, функция ? лежит ниже штриховой линии на рисунке П9.

• Для всех значений ? функция ?(?) выпукла вниз. Это означает, что если соединить любые две точки на ее графике прямой линией, то отсекаемая от графика функции дуга будет целиком лежать ниже (или на) полученной прямой. Это верно везде, включая и критическую полосу; отсюда следует, что для ?, заключенной между 0 и 1, функция ?(?) должна быть положительной или равняться нулю. (Строка 27 в песне.)

• Из справедливости ГР следует и справедливость ГЛ (которую мы сформулируем прямо сейчас), но не наоборот. ГЛ — более слабый результат.

Это, повторюсь, предел нашего знания на данный момент. ГЛ, представленная на рисунке П10, утверждает, что ?(¹/₂) = 0, откуда легко следует, что ?(?) = ¹/₂ ? ? для всех значений от минус бесконечности до ? = ¹/₂ и ? = 0 для всех аргументов далее на восток — ср. строки 27 и 28 из песни. Это открытая гипотеза, до сих пор не доказанная. В действительности не известно ни одного значения ?(?), когда ? лежит строго между 0 и 1. ГЛ — величайший вызов в теории дзета-функции после ГР; она оставалась предметом активных исследований, с тех пор как Линделёф высказал ее в 1908 году.

Рисунок П10. Гипотеза Линделёфа.

Строка 24. Можно доказать, что ГЛ эквивалентна утверждению, которое ограничивает число нулей дзета-функции вне критической прямой. Если ГР верна, то, конечно, таких нулей не должно быть вовсе. Но как уже отмечалось, из доказательства ГР последует и ГЛ.

Строка 31. «А ТРПЧ можно все улучшать» — т.е. получить наилучшее возможное выражение типа ? большого для остаточного члена.

Строка 32. При обычном интегрировании, как мы определили его в главе 7.vii, интегрируют вдоль оси x, от некоторого числа a до какого-то большего числа b. При наличии комплексных переменных можно интегрировать вдоль некоторого контура — т.е. прямой или кривой линии — в комплексной плоскости, от некоторой точки на этом контуре до какой-нибудь другой точки. Обычно контур при этом надо выбирать: результат интегрирования может зависеть от того, по какому именно контуру происходит интегрирование.[220] Контурное интегрирование — одно из основных средств в аналитической теории чисел (и вообще в теории функций комплексной переменной). Для получения определенных результатов об остаточном члене надо интегрировать по контуру, который не проходит через нули дзета-функции.

Строка 33. «Вейль обратился к предмету…». В этих последних куплетах говорится об алгебраическом подходе, упоминавшемся в главе 17.iii, и о результате А. Вейля 1942 года.

Строка 34. «Используя более хитрую дзету» — другими словами, один из упоминавшихся в главе 17.iii аналогов дзета-функции, связанных с конечными полями.

Строка 35. Мы определили характеристику поля в главе 17.ii. Аналоги ГР были доказаны только для дзета-функций, связанных с полями ненулевой характеристики — т.е. характеристики, равной некоторому простому числу p.

Строка 36. «…теорема верна». Благодаря А. Вейлю известно, что аналоги ГР для этих специальных полей верны.

Строка 40. Слова «по модулю p» используются здесь в смысле арифметики циферблата из главы 6.viii; как отмечалось в главе 17.ii, здесь имеется связь с теорией полей.

В Интернете можно найти варианты этой песни, несколько отличающиеся оттого, что написан Томом; среди них я отмечу один, который заканчивается строчкой Use R.M.T. and you'll have better luck. Это добродушный пинок в сторону «физического» подхода: R.M.T. означает random matrix theory — теорию случайных матриц.

Примечания:

2

Стандартным русским словосочетанием является также математический анализ (или матанализ, как говорят, например, все те студенты, которые не называют его просто матаном). В переводе в подавляющем большинстве случаев оставлен просто «анализ», чего достаточно для передачи сути дела. Соответственно, прилагательное «аналитический» означает «[изучаемый или выраженный] средствами анализа». (Примеч. перев.)

21

Георг был последним королем Ганновера. После сделанного в 1866 г. неудачного выбора, на чьей стороне воевать в австро-прусской войне, это королевство было в том же году поглощено Пруссией. Медаль, по-видимому, была отлита лишь к столетию Гаусса в 1877 г.

22

Среди разнообразных обстоятельств, позволявших герцогу притязать на славу, стоит, пожалуй, отметить, что он был отцом Каролины Брауншвейгской, вышедшей замуж за английского принца-регента. Брак оказался несчастным, и Каролина уехала из Англии. Но когда принц взошел на трон под именем Георга IV, она вернулась и предъявила свои права в качестве королевы. Это привело к незначительному конституционному кризису и одновременно к значительному увеселению публики по поводу стеснительного положения, в которое попал король, а также из-за довольно надменного характера его королевы, ее своеобразных личных привычек и вопиющих связей. Немалой популярностью пользовалась песенка:

Мадам, мы умоляем Вас
Оставить блуд, покинуть нас;
Но если выбирать одно —
Вы нас покиньте все равно.

((Пер. М. Визеля.))

Одна из теток герцога по материнской линии вышла замуж за императора Священной Римской империи и родила Марию-Терезию, великую императрицу Габсбургского дома. Другая вышла за Алексея Романова и стала матерью Петра II, номинального царя, в то самое время, когда Леонард Эйлер сходил с корабля в Санкт-Петербурге (раздел VI этой главы). Стоит только углубиться в генеалогию всех этих мелких германских правителей, как уже нельзя остановиться.

215

В оригинале песню Тома Апостола «Где же нули у функции дзета» можно послушать (и даже посмотреть видеоклип с исполнением первого куплета) по адресу:

http://olimu.com/Riemann/Song.htm. (Примеч. перев.)

216

Вилликенс и его Дина. (Примеч. перев.)

217

В Англии, как правило, в регби играют в частных школах (а в футбол — в остальных). (Примеч. перев.)

218

«0 святой отец, прими мою исповедь. Я оставил одну бедную девочку в чертовски трудном положении». (Примеч. перев.)

219

Поскольку в данном случае — при движении вверх по критической прямой — t, очевидно, положительно, указание на его модуль излишне, если только оно не служит попаданию в размер стиха. (Примеч. перев.)

220

Упомянутые в главе 8.ii условия Коши-Римана, которые определяют «хорошо ведущие себя функции», как раз выделяют такие функции, для которых зависимость от контура, по которому ведется интегрирование между двумя заданными точками на комплексной плоскости, носит контролируемый, «дискретный» характер. (Примеч. перев.)