В главе 9.vi мы познакомились с некоторыми нулями дзета-функции. Мы видели, что каждое четное отрицательное целое число является нулем дзета-функции: ?(?2) = 0, ?(?4) = 0, ?(?6) = 0 и т.д. Это несколько продвигает нас в понимании Гипотезы Римана, которая, как мы помним, звучит так:

Гипотеза Римана

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.

К сожалению, все эти отрицательные четные числа — тривиальные нули. Ну… а где же нетривиальные? Чтобы ответить на этот вопрос, нам надо отправиться в царство комплексных и мнимых чисел.

Эта тема многих напрягает. Они полагают, что мнимые числа это просто страшилки или же что-то надуманное, чего не может быть, но что просочилось в математику откуда-то из области научной фантастики. Все это чепуха. Комплексные числа (частным случаем которых являются мнимые) появились в математике из весьма практических соображений. Они приносили математикам пользу при решении задач, которые без этих чисел не решались. Они не более «мнимые», чем числа любого другого вида. Когда это в последний раз вы спотыкались о семерку?

Иррациональные числа (такие как v2 и ?) на самом деле более таинственны, более страшат наш разум и пугают даже сильнее, чем квадратный корень из минус единицы. Действительно, иррациональные числа принесли (и в обличье так называемой континуум-гипотезы продолжают приносить, см. речь Давида Гильберта в главе 12.ii) философам математики куда больше хлопот, чем когда бы то ни было принес безобидный малыш v?1. Предпринимались целенаправленные попытки отказаться от иррациональных чисел, причем даже в наше время и даже со стороны видных профессиональных математиков: Кронеккера в XIX столетии, Брауэра и Г. Вейля в начале XX. По поводу некоторых дополнительных замечаний на эту тему см. раздел V в этой главе.

Чтобы получить сбалансированное представление о комплексных числах, неплохо бы понять, как вообще современные математики воспринимают числа. Это мы сейчас и рассмотрим, включив в наш рассказ заодно и комплексные числа. Не нервничайте пока слишком сильно по поводу того, что же они собой представляют: подробности последуют очень скоро, а в несколько следующих абзацев комплексные числа включены просто для полноты.

Итак, как же современный математик воспринимает числа? В виде ажурных букв, вот как! В виде букв N, Z, Q, R и C.^{1} Я пытался придумать какое-нибудь идиотское, а потому застревающее в памяти мнемоническое правило для их запоминания, но не смог изобрести ничего, кроме Nine Zulu Queens Ruled China.[92]

А может, я и поспешил немного. Вот альтернативный ответ на тот же вопрос: математики воспринимают числа как набор сидящих одна в другой матрешек. Вот таких.

• Самая внутренняя матрешка: натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, ….

• Следующая матрешка: все целые числа. Другими словами, натуральные числа вместе с нулем и отрицательными целыми (такими как ?12).

• Следующая матрешка: рациональные числа. Другими словами, все целые вместе с положительными и отрицательными дробями (например, числа ³/₂, ?¹/_917 635, ^{1000 000 000 001}/₆).

• Следующая матрешка: вещественные числа. Другими словами, рациональные вместе с иррациональными, такими как v2, ?, e. (Из примечания [18] в главе 3.vi мы помним, что древние греки открыли существование чисел, которые не являются ни целыми, ни дробями, — иррациональных чисел.)

• Внешняя матрешка: комплексные числа.

Уместно сделать несколько замечаний по поводу такой организации. Во-первых, числа из каждой матрешки записываются характерным для каждой из них способом.

• Натуральные числа обычно записываются так: 257.

• Целые могут иметь перед собой знак, например ?34.

• Рациональные числа чаще всего записываются в виде дробей. В том, что касается записи в виде дроби, рациональные числа бывают двух видов. Те, величина которых (без учета знака) меньше единицы, называются «правильными дробями», а все остальные — «неправильными». Правильная дробь записывается таким образом: ¹⁴/₃₇. Неправильную дробь можно записать двумя способами: как собственно неправильную дробь ¹³/₉ или же в «смешанном» виде (с выделенной целой частью) 1⁴/₉.

• Наиболее важным вещественным числам присвоены специальные обозначения, такие как ? и e. Многие другие можно выразить «в замкнутом виде», подобно  или ?²/6. Когда больше ничего нельзя сделать или же просто для того чтобы оценить реальное численное значение вещественного числа, его записывают в виде десятичной дроби, как правило, с многоточием в конце, которое означает: «Это не все! если надо, можно добавить сюда еще десятичные разряды», например ?549,5393169816448223…. Их можно округлять, скажем, до «пяти знаков после запятой» ?549,53932, или до «пяти значащих цифр» ?549,54, или с любой другой точностью.

• Комплексные числа выглядят так: ?13,052 + 2,477i. О них мы еще поговорим.

Следующее, что нужно заметить, — это что обитатели каждой матрешки являются привилегированными гражданами следующей (внешней) и при желании могут быть записаны в стиле, принятом для этой внешней матрешки:

• Натуральные числа (скажем, 257) — это привилегированные целые числа, и их можно записать, поставив перед ними знак плюс, как +257. При виде целого числа со знаком плюс перед ним мы думаем: «Натуральное!»

• Целые (скажем, ?27) — это привилегированные рациональные числа, и их можно записать в виде дроби, знаменатель которой равен 1, как ?²⁷/₁. При виде рационального числа со знаменателем 1 мы думаем: «Целое!»

• Рациональные числа (скажем, ¹/₃) — это привилегированные вещественные числа, и их можно записать в виде десятичных дробей, как 0,33333333…. Насчет рациональных чисел интересен тот факт, что при записи рационального числа в виде десятичной дроби знаки после запятой рано или поздно обязательно начнут повторяться (если только они вообще не исчерпаются, как, скажем, в числе ⁷/₈ = 0,875). Рациональное число ^65 463/_27 100, например, в виде десятичной дроби выглядит следующим образом:

2,4156088560885608856088….

Все рациональные числа демонстрируют такие повторы, но ни одно из иррациональных ничего подобного не делает. Другими словами, иррациональное число не может проявлять никакого порядка в последовательности своих знаков после запятой. Число

0,12345678910111212131516171819202…

ясно демонстрирует некий порядок, и несложно заранее сказать, каков в нем сотый знак после запятой, или миллионный, или триллионный. (Спорим? Это соответственно 5, 1 и 1). Однако число это иррациональное. Когда же мы видим вещественное число, в котором знаки после запятой повторяются, мы думаем: «Рациональное!»

• Любое вещественное число можно записать как комплексное. Например, v2 записывается в виде комплексного числа как v2 + 0i. Подробности ниже.

(В этом списке можно и перескочить через несколько ступенек и записать, скажем, натуральное число как вещественное: 257,000000000….)

Каждое семейство чисел — каждая из матрешек — обозначается ажурной буквой: N — семейство всех натуральных чисел, Z — целых, Q — рациональных, a R — вещественных. Каждое семейство в определенном смысле содержится внутри следующего. И каждое расширяет возможности математики, позволяя делать что-то такое, чего нельзя было делать с предыдущей матрешкой. Например, Z позволяет получить ответ для вычитания любого целого числа из любого целого, чего не удавалось сделать, оставаясь в N (7 ? 12 =?). Подобным же образом Q позволяет получить ответ для деления на любое число (кроме нуля), чего не удавалось сделать, оставаясь в Z ((?7):(?12) =?). И наконец, R открывает дорогу анализу — математике пределов, — поскольку любая сходящаяся бесконечная последовательность чисел в R имеет предел (что неверно для Q).

(Вспомним последовательности и ряды, с которыми мы встретились в конце главы 1. Все они состояли из рациональных чисел. Некоторые из них сходились к 2, или ²/₃, или 1¹/₂ — т.е. их пределы также оказывались рациональными. Но другие, напротив, сходились к v2, или ?, или e — иррациональным числам. Таким образом, бесконечная последовательность чисел из Q может сходиться к пределу, который не лежит в Q. Математический профессиональный термин: Q не является полным. Напротив, R полно, как полно и С. Эта идея пополнения Q приобретет новое значение, когда в главе 20.v мы будем говорить о p-адических числах.)

Можно выделить и другие категории чисел или внутри приведенной схемы N—Z—Q—R—C, или же «нарезав ее поперек». Очевидный пример доставляют простые числа — подмножество в N. Их совокупность иногда обозначается как P. Имеется также очень важное подмножество в С, называемое алгебраическими числами и иногда снабжаемое собственной ажурной буквой А. Алгебраическое число — это такое число, которое является нулем некоторого многочлена, все коэффициенты которого взяты из Z, например, 2x⁷ ? 11x⁶ ? 4x⁵ + 19x³ ? 35x² + 8x ? 3. Среди вещественных чисел каждое рациональное (и, следовательно, каждое целое и натуральное) — алгебраическое; ^39 541/_24 565 есть корень многочлена 24 565x ? 39 541 (или, если вы предпочитаете язык уравнений и их решений языку функций и их нулей, — решение уравнения 24 565x ? 39 541 = 0). Иррациональное число может быть, а может и не быть алгебраическим. Те, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными. И число ?, и число e трансцендентны, как это доказали, соответственно, Эрмит в 1873 году и Фердинанд фон Линдеманн в 1882.

На рассматриваемый предмет можно взглянуть и с другой стороны, в аспекте истории чисел, которую я тут скроил. «Скроил» — почти в том же смысле, в каком было сшито новое платье короля. На самом деле это полное вранье.

Подложная история чисел, рассказанная Джоном Дербиширом

Люди всегда умели считать. С доисторических времен у них была N — система натуральных чисел. Но N несет в себе запрет, невозможность. Нельзя вычесть большее число из меньшего. По мере развития техники это превратилось в препятствие. Температура была 5 градусов, а потом понизилась на 12 градусов — какая стала температура? В N нет ответа на этот вопрос. Тогда люди изобрели отрицательные числа. Да, и кто-то еще додумался до нуля.

Отрицательные числа, положительные числа и нуль были собраны вместе в новую систему Z. Однако Z несет в себе невозможность, запрет. Нельзя поделить число на другое число, не являющееся делителем первого. Можно поделить 12 на 3 (ответ: 4) или даже на ?3 (ответ: ?4), но нельзя поделить 12 на 7. В Z нет ответа для такого действия. По мере развития науки об измерениях это превратилось в препятствие. Для все более точной работы требуются все более точные измерения. Можно на время добиться желаемого совершенства, если ввести новые единицы измерения. Требуется что-то меньшее одного ярда? Хорошо, вот вам дюйм… Однако есть пределы тому, как далеко можно продвинуться таким образом, и насущной стала нужда в общем способе выражения долей единицы. Так были изобретены дроби.

Дроби вместе со всеми целыми были собраны в новую систему рациональных чисел Q. Увы, Q несет в себе свой собственный запрет. Не всегда удается найти предел сходящейся последовательности. Три примера таких последовательностей были приведены в главе 1.vii. По мере развития науки к моменту, когда потребовался анализ, это стало препятствием, поскольку весь анализ основан на идее предела. Для развития анализа были изобретены иррациональные числа.

Иррациональные числа вместе с рациональными (включая, разумеется, все целые) были собраны в новую систему вещественных чисел R. Но и вещественные числа по-прежнему содержали запрет. Нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. К концу XVI века математика развилась до такой степени, что это стало препятствием. Так были изобретены мнимые числа. Мнимое число — это квадратный корень из отрицательного числа.

Мнимые числа вместе со всеми вещественными составили великий новый синтез: комплексные числа C. С комплексными числами нам доступно все, никаких запретов нет — и наступил конец истории.

Подчеркну, что эта история — полная фальшивка. Наше понимание чисел вовсе не развивалось подобным образом. Порядок — и тот неправильный. Он должен быть таким: N, Q, R, Z, С. Натуральные числа и правда были известны в доисторические времена. Египтяне изобрели дроби в начале третьего тысячелетия до P.X. Пифагор (или один из его учеников) открыл иррациональные числа около 600 года до P.X. Отрицательные числа возникли во времена Возрождения из необходимости бухгалтерского учета (хотя нуль появился чуть раньше). Комплексные числа появились в XVII веке. Все это развивалось малопредсказуемым образом, хаотично, как и большая часть того, что делают люди. Неверно и то, что наступил конец истории. История никогда не кончается; как только одна шахматная партия доиграна, немедленно начинается следующая.

Что моя подложная история все же показывает, так это каким образом матрешки помещаются одна в другой; надеюсь также, что она проливает некоторый свет на то, почему математики не склонны воспринимать мнимые и комплексные числа как нечто необычное. Эти числа представляют собой просто еще одну матрешку, созданную с практическими целями — решать задачи, которые иначе не решаются.

Утомительно все время писать v?1, поэтому математики заменили эту величину буквой i. Поскольку i — квадратный корень из минус единицы, имеем i² = ?1. Умножая здесь обе части равенства на i, находим, что i³ = ?i. Продолжая процесс, получаем i⁴ = 1.

А как обстоят дела с v?2, v?3, v?4 и т.д.? Не понадобятся ли и для них отдельные обозначения? Нет. Согласно обычным правилам перемножения целых чисел, имеем ?3 = ?1?3. Поскольку vx есть просто x^1/2, 7-е правило действий со степенями говорит нам, что v(a?b) = va?vb. (Например, v(9?4) = v9?v4 — довольно изысканный способ записи того факта, что 6 = 3?2.) Итак, v?3 = v?1?v3. Далее, v3, понятно, — совершенно обычное вещественное число, имеющее значение 1,732050807568877…. Следовательно (с точностью до трех знаков после запятой), v?3 = 1,732i; в замкнутом виде это обычно записывают как iv3. То же относится и к корню из любого другого отрицательного числа. Целой кучи новых чисел не требуется; достаточно одного только i.

Так вот, i — очень гордое число. Оно довольно надменно и не любит путаться с другими числами. Прибавим 3 к 4; в полученной семерке исчезло всякое воспоминание о «тройности» тройки, как, впрочем, и о «четверности» четверки; они растворились в «семерности» семерки. Напротив, если мы прибавим 3 к i, то получим… 3 + i. И такая же история с умножением. Когда мы умножаем 5 на 2, вся «пятерность» пятерки и «двойность» двойки проглатываются «десятностью» десятки, исчезая без следа. Но, умножая 5 на i, получаем… 5i. Дело выглядит так, словно i никак не может расстаться со своей индивидуальностью; или, быть может, вещественные числа чувствуют, что i сделано из другого теста, чем они сами.

Итак, достаточно один раз впустить букву i в порядок вещей, как она породит целый новый класс чисел вида 2 + 5i, ?1 ? i, 47,242 ? 101,958i, v2 + ?i — все возможные a + bi с вообще любыми вещественными a и b. Они называются комплексными числами. Каждое комплексное число имеет две части: вещественную и мнимую. Вещественная часть комплексного числа a + bi — это a, а мнимая — это b.

Как и в случае с другими матрешками N, Z, Q и R, числа, принадлежащие к одной из внутренних матрешек, являются привилегированными комплексными числами. Натуральное число 257, например, есть комплексное число 257 + 0i; вещественное число v7 есть комплексное число v7 + 0i. Вещественное число — это просто комплексное число с нулевой мнимой частью.

А как насчет комплексных чисел с нулевой вещественной частью? Они называются (чисто) мнимыми числами. Примеры чисто мнимых чисел: 2i, ?1479i, ?i, 0,0000000577i. Чисто мнимое число можно, конечно, записать как полновесное комплексное число, если вы специально хотите такое сделать: 2i можно записать как 0 + 2i. При возведении чисто мнимого числа в квадрат получается отрицательное вещественное число. Заметим, что это верно и для отрицательных мнимых чисел: квадрат числа 2i равен ?4, но и квадрат ?2i тоже равен ?4 по правилу знаков.

Сложение двух комплексных чисел — дело несложное. Надо просто складывать по отдельности вещественные части и отдельно мнимые части: сложение комплексных чисел ?2 + 7i и 5 + 12i даст 3 + 19i. То же и с вычитанием: если в последнем примере вычитать, а не складывать, получим ?7 ? 5i. Что касается умножения, надо только помнить правило раскрытия скобок, не забывая при этом, что i² = ?1: так, (?2 + 7i)?(5 + 12i) дает ?10 ? 24i + 35i + 84i², что сводится к ?94 + 11i. В общем случае (a + bi)?(c + di) = (ac ? bd) + (bc + ad)i.

Деление основано на нехитром приеме. Что такое 2:i?. Ответ: запишем это в виде дроби, как 2/i. Чудесное свойство дробей состоит в том, что одновременное умножение и числителя, и знаменателя на одно и то же число (не равное нулю) не изменяет дроби: ³/₄, ⁶/₈, ¹⁵/₂₀ и ^12 000/_16 000 — это все разные способы записи одной и той же дроби. Итак, умножим числитель и знаменатель дроби 2/i на ?i. Умножение двойки на ?i даст, конечно, ?2i, а i умножить на ?i есть ?i², то есть ?(?1), что равно 1. Следовательно, 2/i равно ?2i/1, что есть просто ?2i.

Такое всегда можно сделать — превратить знаменатель дроби в вещественное число. А поскольку всем известно, как делить на вещественные числа, мы у цели. Как нам поделить два полновесных комплексных числа, скажем, (?7 ? 4i)/(?2 + 5i)? Вот как: умножим числитель и знаменатель на ?2 ? 5i. Давайте сначала выполним умножение сверху: (?7 ? 4i)?(?2 ? 5i) = ?6 + 43i. Теперь снизу: (?2 + 5i)?(?2 ? 5i) = 29. Ответ: ?⁶/₂₉ + ⁴³/₂₉i. Знаменатель дроби (a + bi)/(c + di) всегда можно превратить в вещественное число, умножив ее на (c ? di). Общее правило на самом деле имеет вид

А каков квадратный корень из i? Не потребуется ли нам ввести целый новый класс чисел, чтобы включить vi? И все далее и далее до бесконечности? Ответ: перемножим скобки (1 + i)?(1 + i). Результат, как можно видеть, равен 2i. Значит, квадратный корень из 2i равен 1 + i. С поправкой на масштаб, квадратный корень из i должен быть равен 1/v2 + i/v2. Это число на самом деле им и является.

Комплексные числа по-настоящему прекрасны. С ними можно делать все, что угодно. Можно даже возводить их в комплексные степени, если вы полностью отдаете себе отчет в том, что делаете. Например, (?7 ? 4i)^?2+5i равно приблизительно ?7611,976356 + 206,350419i. Однако подробное обсуждение этой темы мы отложим до другого момента.

Чего нельзя сделать с комплексными числами, так это уложить их на прямую, как вещественные.

Семейство вещественных чисел R (конечно, с содержащимися в нем Q, Z и N) очень легко себе представить. Просто выстроим все числа вдоль прямой линии. Этот способ представления вещественных чисел называется «вещественная прямая» (рис. 11.1).

Рисунок 11.1. Вещественная прямая.

Каждое вещественное число лежит где-то на этой прямой. Например, v2 расположен немного к востоку от 1, чуть ближе, чем на полпути до 2, ?? лежит лишь немного к западу от ?3, а 1 000 000 — за пределами рисунка, где-то в соседнем районе. Ясно, что на конечном листе бумаги удается показать только часть прямой. От читателя требуется известная доля воображения.

Вещественная прямая представляется вещью очевидной, но в действительности дело с ней обстоит довольно серьезно и не лишено тайны. Рациональные числа, например, «всюду плотны» на ней. Это значит, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще одно. А это означает, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще бесконечно много рациональных. (Ну правда: если между a и b гарантированно живет c, то между a и c, а также между c и b гарантированно имеется некое d и некое e… и т.д., без конца.) Ладно, это почти удается себе представить. Но где же тогда помещаются иррациональные числа? Кажется, что им приходится как-то втискиваться между рациональными числами, которые, как мы только что видели, уже сидят всюду плотно! Всюду плотно — но при этом расселение еще не закончено.

Возьмем последовательность из главы 1.vii, которая сходится к v2, например ¹/₁, ³/₂, ⁷/₅, ¹⁷/₁₂, ⁴¹/₂₉, ⁹⁹/₇₀, ²³⁹/₁₆₉, ⁵⁷⁷/₄₀₈, ¹³⁹³/₉₈₅, ³³⁶³/₂₃₇₈, …. Ее члены по очереди делаются то меньше, то больше, чем v2, так что ¹³⁹³/₉₈₅ меньше, чем v2 примерно на 0,000000036440355, a ³³⁶³/₂₃₇₈ больше примерно на 0,00000006252177. Между этими двумя дробями втиснуто еще бесконечно много других дробей… и тем не менее где-то там остается место для v2. И не для одного только v2, а для бесконечного количества других иррациональностей!

Поражает не просто то, что иррациональностей бесконечно много, и не то, что и они тоже всюду плотны, но тот факт, что имеется строгий математический смысл в утверждении, что иррациональных чисел куда больше, чем рациональных. Это показал в 1874 году Георг Кантор. Число рациональных чисел бесконечно, и число иррациональных чисел тоже бесконечно, но вторая бесконечность больше первой. Как, черт возьми, все они умещаются на вещественной прямой? Как может столь непредставимо грандиозное количество иррациональных чисел втиснуться между рациональными, если те и так уже всюду плотны?

У нас здесь нет места, чтобы вдаваться в эти вещи. Мой совет — не думать о них слишком много. Это путь в безумие. (Действительно, Кантор закончил свои дни в лечебнице, хотя это и было в большей степени результатом врожденной предрасположенности к депрессии, усугубленной трудностями, с которыми его теории пробивались к признанию, нежели результатом слишком усердных размышлений о вещественной прямой. Его теории сейчас не подвергаются серьезным сомнениям.)

Но куда же нам теперь поместить комплексные числа? Вещественная прямая вся забита — и как забита! — рациональными и иррациональными числами. А ведь для каждого вещественного a имеется бесконечно много комплексных чисел вида a + bi, где b свободно бегает себе вверх и вниз по вещественной прямой. Что же с ними делать?

Последнее замечание подсказывает ответ. Для каждого вещественного числа нам нужна прямая, а поскольку вещественных чисел бесконечно много, нам нужно бесконечно много таких прямых бок о бок друг с другом. Это означает, что нам требуется плоскость. Тогда как вещественные числа можно выстроить для парада вдоль прямой, для комплексных чисел требуется плоскость — которую, разумеется, называют «комплексной плоскостью». Каждое комплексное число изображается точкой где-то на этой плоскости.

Рисунок 21.7. Li(x^{критическая прямая}) при x = 10, 100 и 1000. Отображаемая часть критической прямой представляет собой отрезок от ¹/₂ ? 5i до ¹/₂ + 5i.

Как видно, при увеличении x от 10 до 100 и далее до 1000 происходят следующие явления.

• Спирали растут в размере, но при этом по-прежнему сходятся к тем же двум точкам ??i и ?i.

• Отрезок критической прямой, который мы отображаем (длина его равна 10 единицам), все сильнее и сильнее растягивается, накручиваясь все большее и большее число раз вокруг точек ??i и ?i.

• Верхняя и нижняя спирали приближаются друг к другу, «целуются» при каком-то значении x между 100 и 1000, а после этого пересекаются (спирали в действительности «целуются», когда x = 399,6202933538…).

Выбранный нами отрезок критической прямой слишком короткий для того, чтобы достичь первой пары нулей при ¹/₂ ± 14,134725i. Поскольку сама прямая растягивается, а спирали при этом, наматываясь все более и более вокруг точек ??i и ?i, растут в размере, возникает интересный вопрос. Не случится ли так, что растяжение прямой и намотка спиралей удержат нули дзета-функции на небольшом удалении от точек ??i и ?i независимо от того, сколь сильно увеличились спирали? Ответ — нет; по мере роста x нули дзета-функции отображаются в точки, расположенные сколь угодно далеко. Когда ? равняется первому нулю дзета-функции (это нуль при ¹/₂ + 14,134725i), а аргумент x достигает скромного триллиона, функция Li(x^?) добирается до вещественных частей, превышающих 2200.

В главе 14.vii упоминался недавний результат, полученный Бейсом и Хадсоном, — первое литлвудово нарушение (когда ?(x) впервые оказывается больше чем Li(x)) происходит до, а весьма вероятно, что и при x = 1,39822?10³¹⁶. Представим себе, что нам надо повторить весь процесс, с помощью которого мы вычислили ?(1000 000), но для указанного числа (назовем его числом Бейса-Хадсона) вместо 1000 000. Какая арифметика была бы тут задействована?

Ясно, что пришлось бы взять не 13, а большее число значений функции J. Корень 1050-й степени из числа Бейса-Хадсона равен 2,0028106…, а корень 1051-й степени равен 1,99896202…, так что надо будет взять корни первой, второй, …, 1050-й степени из этого числа и вычислить функцию J при всех этих аргументах. Это не так уж страшно, потому что многие числа между 1 и 1050 делятся на точные квадраты, а потому функция Мебиуса для них равна нулю. Сколь многие? На самом деле таких чисел 411, так что остается посчитать 639 значений функции J.[201]

Изображенные на рисунке 21.7 двойные спирали пересекают положительную часть вещественной оси последовательно все далее на восток — в точках 2,3078382, 6,1655995 и 13,4960622. Если бы мы проводили вычисления для числа Бейса-Хадсона, то двойная спираль пересекла бы вещественную ось при гораздо большем значении, определяемом числом, которое начинается как 325 771 513 660 и далее содержит еще 144 цифры до запятой. Спирали при этом невообразимо широкие, но, несмотря на это, все равно сходятся к ?i и ??i. Это означает, что верхняя и нижняя спирали в сильной степени накладываются друг на друга — настолько сильно, что на рисунке их невозможно было бы различить. А критическая прямая, испещренная сидящими на ней нулями (если ГР верна!), колоссально растянута. Тогда на рисунке, аналогичном рисунку 21.3, в центре была бы значительно большая дыра — хотя все равно с центром в ?i, — а спираль триллионы раз наматывалась бы между двумя последовательными нулями с малыми номерами, весьма эффективно разбрасывая их координаты по комплексной плоскости, так что вещественные части колебались бы между чудовищно большими отрицательными и чудовищно большими положительными числами. И все это относится только к первым из 639 строк в таблице для вычисления ?(число Бейса-Хадсона). Вторичные члены и правда разошлись не на шутку.

Во всех вычислениях, проводившихся в данной главе, предполагалось (о чем мы время от времени напоминали), что ГР верна. Если она не верна, то наши изящные окружности и спирали представляют собой не более чем приближение, а где-то на большой высоте вдоль критической прямой — для значений ? где-то далеко-далеко в той бесконечной сумме по вторичным членам — логика нашего рассмотрения рассыпается. В теории, касающейся остаточного члена, ГР занимает центральное место.

Мы достигли главной цели, поставленной перед математической частью этой книги, — показать глубокую связь между распределением простых чисел, воплощенным в функции ?(x), и нетривиальными нулями дзета-функции, которые дают значительный (а по теореме Литлвуда — временами и доминантный) вклад в разность между ?(x) и Li(x), т.е., другими словами, в остаточный член в ТРПЧ.

Все это открылось нам в блестящей работе Бернхарда Римана 1859 года. Сегодня, конечно, мы знаем намного больше, чем было известно в 1859 году. Однако великая головоломка, впервые сформулированная в той работе, по-прежнему остается нерешенной — она противостоит атакам лучших умов планеты так же твердо, как когда Риман писал о своих «недолгих бесплодных попытках» доказать ее в далекие времена, когда аналитическая теория чисел только-только родилась. Каковы же перспективы на сегодняшний день, когда усилия расколоть орешек ГР прилагаются уже пятнадцатое десятилетие?

Можно находить известное удовлетворение в наличии некоторой симметрии, выражающейся в том, что после стодвадцатилетнего пребывания среди математиков Гипотеза Римана (ГР) привлекла внимание и физиков. Как отмечалось в главе 10.i, сам Риман в большой степени обладал воображением, присущим ученому-физику. «Четыре из девяти работ, которые он успел сам опубликовать, относятся к физике» (Лаугвитц). Кроме того, как мне напомнила специалист по теории чисел Ульрике Форхауер[202], во времена Римана деление на математиков и физиков было не слишком отчетливым. А незадолго до того оно не проводилось вовсе.

Гаусс был первоклассным физиком в той же мере, что и первоклассным математиком, и его немало озадачила бы идея рассматривать эти две дисциплины по отдельности.

Джонатан Китинг[203] рассказывает следующую историю — на мой взгляд, имеющую легкий оттенок сверхъестественного:

Я отдыхал в горах Гарца вместе с несколькими коллегами. Двое из нас решили, что стоит проехать 30 миль, отделявших нас от Геттингена, чтобы взглянуть на черновики Римана, хранящиеся там в библиотеке. Лично мне было интересно посмотреть на заметки, относящиеся примерно ко времени написания работы 1859 года о дзета-функции.

Но мой коллега — прикладной математик, которого не занимала теория чисел, интересовался совершенно другой работой Римана, имеющей отношение к возмущениям. Представим себе большую каплю газа в пустом пространстве, удерживаемую в одно целое гравитационным притяжением между частицами этого газа. Что будет, если по ней хорошенько ударить? Вообще-то могут случиться две основные вещи: капля может разлететься на части, а может начать вибрировать с некоторой частотой. Все зависит от величины, направления и места приложения удара, а также формы и размера исходной капли и т.д.

Мы добрались до библиотеки, и я попросил, чтобы мне показали заметки по теории чисел, а мой коллега — по теории возмущений. Библиотекарь что-то проверила, а потом вернулась и сказала, что нам обоим нужна одна и та же подшивка черновиков Римана. Он работал над этими двумя задачами одновременно.

Разумеется, добавляет Джонатан, в распоряжении Римана не было операторной алгебры XX столетия, которая помогла бы ему в задаче о возмущениях и дала бы ему все возможные частоты вибраций в виде спектра собственных значений. Ему приходилось продираться сквозь дифференциальные уравнения, создавая специально для своих целей некоторый зачаток теории операторов. И все же трудно поверить, что ум столь острый и столь проницательный, как у Римана, не заметил бы аналогии между нулями дзета-функции, нанизанными на критическую прямую, и спектром частот в теории возмущений — аналогии, которая при столь драматических обстоятельствах высветилась за чашкой вечернего чая в Фалд-Холл 113 лет спустя!

Мне довелось услышать этот рассказ Китинга в Институте Куранта при Нью-Йоркском университете в начале лета 2002 года. Поводом была четырехдневная серия лекций и дискуссий, организованная Американским математическим институтом (АМИ). Называлось все это мероприятие «Рабочее совещание о дзета-функциях и связанных с ними гипотезах Римана».

На эту конференцию были приглашены многие знаменитости. Показался и сам Атле Сельберг, нисколько не потерявший прежнюю остроту ума в свои 84 года. (В ходе самого первого выступления он поддел Питера Сарнака по поводу одного факта из истории математики. Во время обеденного перерыва я отправился в великолепную библиотеку Курантовского института и проверил, как оно на самом деле. Сельберг оказался прав.) Присутствовали многие из тех, чьи имена мы упоминали в предшествующих главах, включая обоих открывателей закона Монтгомери-Одлыжко. Среди других участников был нынешняя математическая супер-звезда Эндрю Уайлс, ставший знаменитым после того, как доказал Последнюю теорему Ферма, Хэролд Эдвардс, автор несколько раз упоминавшейся самой надежной книги о дзета-функции, и Дэниел Бамп — одно из двух имен, связанных с самым неординарным на слух из всех результатов, имеющих отношение к ГР, — теоремой Бампа-Нг.[204]

В последние годы АМИ превратился в значительную силу, направленную на штурм ГР. Конференция в Курантовском институте была третьей из спонсировавшихся АМИ конференций по проблемам, связанным с ГР. Первая состоялась в университете штата; Вашингтон в Сиэтле в августе 1996 года и была приурочена к 100-летию доказательства Теоремы о распределении простых чисел, данного Адамаром и де ля Валле Пуссеном. Вторая проводилась в 1998 году в Институте Эрвина Шредингера в Вене. В целом АМИ вовсе не ограничивает свою деятельность исследованиями Гипотезы Римана — ни даже просто теорией чисел. Например, недавно АМИ поддержал проект по исследованиям в области общей теории относительности. Но в отношении ГР они сделали очень много, чтобы собрать вместе исследователей из различных областей, развивающих различные, уже упоминавшиеся нами подходы: алгебраический, аналитический, вычислительный и физический.

АМИ был основан в 1994 году Джеральдом Александерсоном — крупной фигурой в американской математике (кстати, Александерсон — автор очень хорошей книги о Джордже Пойа) и Джоном Фраем — калифорнийским бизнесменом. Фрай происходит из семьи предпринимателей. Его родителям принадлежала пользующаяся успехом сеть супермаркетов в Калифорнии. Джон еще в юности влюбился в математику и в 1970-х годах учился математике в университете Санта-Клары, где в то время работал Александерсон. После окончания университета Джону пришлось решать, продолжать ли семейную традицию в бизнесе или поступать в аспирантуру. Джон сделал выбор в пользу бизнеса и вместе с двумя братьями основал сеть магазинов электроники (Fry's Electronics), сначала только в Калифорнии, а в последнее время выросшей до масштабов всей страны.

Джон Фрай и Джерри Александерсон не теряли друг друга из виду. Их общим интересом было коллекционирование редких математических книг и оригинальных статей. В начале 1990-х годов они загорелись идеей основать математическую библиотеку, в которой хранилось бы их собрание. Это постепенно развилось в план устройства математического института. Они привлекли еще Брайана Конри — одногруппника Джона в университете Санта-Клары, получившего относительную известность в области теории чисел и чрезвычайно успешно руководившего факультетом в университете штата Оклахома.

В течение нескольких первых лет своего существования АМИ почти целиком финансировался из личных пожертвований Джона Фрая, доходивших до 300 000 долларов в год. Это был тот самый случай, когда добрые дела творятся втихую. Джон — сдержанный и склонный к уединению человек, не выставляющий напоказ того, что он делает. Когда я впервые услышал об АМИ, я принялся искать портрет Фрая в Интернете; но портретов там не нашлось. В своей собственной среде, однако, т.е. среди математиков и людей, любящих математику, до Джона добраться несложно. В ходе конференции в Курантовском институте в Нью-Йорке он пригласил нескольких человек, включая и меня, на ланч. Высокий живой человек с лицом, которое загорается, когда он начинает говорить о математике. Я хотел осторожно поинтересоваться, не приходилось ли ему жалеть о своем решении пойти в бизнес, а не по академической стезе, но все-таки решил, что вопрос не слишком уместный, и я не воспользовался представившейся мне возможностью.

Побывав за несколько дней до конференции в Курантовском институте в штаб-квартире АМИ, я выяснил, что она располагается во вполне рядовых офисных помещениях, соединенных с магазином Фрая в Пало-Альто в Калифорнии. Однако в 2001 году АМИ подал заявку в National Science Foundation[205] на поддержку финансирования центра для конференций на зеленом 200-акровом участке к югу от Сан-Хосе в Калифорнии. Средства были выделены, и исследовательские программы будут осуществляться по новому адресу с декабря 2002 года.

Начало другому предприятию, финансируемому, подобно АМИ, из частных источников, было положено на Восточном побережье Соединенных Штатов в 1998 году, когда бостонский бизнесмен Лэндон Т. Клей и гарвардский математик Артур Джаффе организовали Математический институт Клея (МИК). Если первое крупное мероприятие, проведенное АМИ, было посвящено столетию Теоремы о распределении простых чисел, то в МИК решили отметить годовщину доклада Гильберта на Парижском конгрессе 1900 года.

Для этого в мае 2000 года МИК организовал двухдневное мероприятие, в Коллеж де Франс в Париже, в ходе которого было объявлено о создании фонда в семь миллионов долларов — по миллиону в качестве награды за решение каждой из семи великих математических проблем. Естественно, ГР была включена и значилась как проблема номер 4. (Выбранный порядок определялся длиной фразы, в которой проблема формулируется, чтобы объявление об установленных наградах выглядело приятнее.) Не знаю, как там с шестью остальными проблемами, но миллион долларов нельзя считать значительным дополнительным стимулом, чтобы доказать или опровергнуть Гипотезу. К началу XXI века она твердо заняла свое место в качестве нерешенной проблемы в математике, так что любой, кто бы ни решил ее, в довершение к непреходящей славе получил бы еще и финансовую выгоду в размере, намного превышающем миллион долларов, за одни только лекции, интервью и авторские отчисления.[206]

Так каковы же перспективы доказательства или опровержения ГР? Высказывать прогнозы по предметам подобного рода — прекрасный способ выставить себя дураком. Это остается верным даже и в том случае, если вы великий математик, каковым я, понятно, не являюсь. Семьдесят пять лет назад, читая лекцию нематематической аудитории, Давид Гильберт расположил три задачи в порядке возрастания сложности.

• Гипотеза Римана.

• Последняя теорема Ферма.

• «Седьмая» — другими словами, проблема номер 7 в списке из 23 проблем, которые Гильберт огласил на конгрессе 1900 года. В явной формулировке: если a и b — алгебраические числа, то a^b трансцендентно (см. главу 11.ii), за исключением тех случаев, когда это не так по очевидным и тривиальным причинам.

Гильберт утверждал, что ГР будет решена в течение его жизни, а Последняя теорема Ферма будет доказана в течение жизни младшего поколения из тех, кто присутствовал в аудитории, но «никто в этом зале не доживет до доказательства Седьмой». На самом деле Седьмая проблема была доказана менее 10 лет назад Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером, которые работали независимо. Насчет Последней теоремы Ферма Гильберт был с некоторой натяжкой прав — ее доказал Эндрю Уайлс в 1994 году, когда младшим из слушателей Гильберта должно было стукнуть девяносто с небольшим. Однако он радикально ошибся насчет ГР. Если ГР сыграет и со мной злую шутку — если все то, что я собираюсь сказать, обесценится и «умножится на нуль» из-за того, что доказательство ГР появится в тот момент, когда эта книга будет лежать уже в переплетном цехе, — если такое случится, то я, по крайней мере, буду утешаться тем, что окажусь в неплохой компании.

Итак, я подставляю шею и говорю, что, по моему мнению, доказательство ГР лежит где-то далеко за границами того, что нам сегодня доступно. Обзор новейшей истории попыток доказательства Гипотезы Римана несколько напоминает изложение хода затяжной и тяжелой войны. Случаются внезапные наступления, застающие неприятеля врасплох, масштабные битвы и перемены судьбы, от которых сжимается сердце. Наступают и временные затишья — периоды истощения, когда обе измученных войной стороны почти ничего не предпринимают, но совершают вылазки малыми силами для проверки оборонительных рубежей противника. Случаются и прорывы, за которыми следует всплеск энтузиазма, но также бывают и патовые ситуации, сопровождаемые периодом апатии.

Мое впечатление о состоянии дел на данный момент (середина 2002 года) — хотя надо оговориться, что это лишь впечатление наблюдателя, который сам в бою не участвует, — таково, что исследователи находятся в патовой ситуации. В битве наступило затишье. Мощнейший взрыв интереса, вызванный доказательством гипотез Вейля, предложенным Делинем в 1973 году, и продвижениями Монтгомери-Одлыжко в период с 1972 по 1987 год, как мне кажется, исчерпался.

В мае 2002 года я провел три дня в офисе АМИ в Пало-Альто, занимаясь тем, что просматривал видеозапись конференции 1996 года в Сиэтле. А через месяц после этого я был на рабочем совещании в Институте Куранта. Вычитание числа 1996 из числа 2002 дает шесть лет. «Вычитание» содержания конференции в Сиэтле из курантовского совещания показывает, что математики, собравшиеся в Институте Куранта, смогли показать не так много нового. Вообще-то это не слишком неожиданное заявление, и я никоим образом не придаю ему пренебрежительного или уничижительного оттенка. Деятельность, о которой идет речь, исключительно трудна. Прогресс в ней дается не быстро, а шесть лет — срок в истории математики небольшой. (Доказательство Последней теоремы Ферма потребовало 357 лет!) И кроме того, на совещании в Курантовском институте были яркие доклады молодых математиков, таких как Иван Фесенко.

Но основное впечатление все же свелось к тому, что наблюдается патовая ситуация. Как будто бы ГР представляла собой гору, на которую совершается восхождение, но с какого направления к ней ни подбираешься, рано или поздно застреваешь у края широкой и бездонной расселины. Я сбился со счета, пытаясь прикинуть, сколько раз, будь то в 1996 или в 2002 году, докладчик заканчивал свое выступление, буквально разводя руками: «Это, конечно, очень важное достижение, однако неясно, удастся ли перекинуть отсюда мостик к доказательству классической Гипотезы Римана…»

Сэр Майкл Берри, который знает толк в словах, ввел в обращение концепцию «кларитона», который он определяет как «элементарную частицу внезапного понимания».[207] В области ГР в настоящее время ощущается дефицит кларитонов.

Эндрю Одлыжко: «Сказано, что, кто бы ни доказал истинность Теоремы о распределении простых чисел, тот достигнет бессмертия. И верно: и Адамар, и де ля Валле Пуссен дожили до девяноста с лишним лет. Возможно, ГР не верна; но если кто нибудь сумеет доказать ее ложность — найти нуль вне критической прямой, — то он умрет на месте и о его результате никто никогда не узнает».

Если оставить в стороне вопрос о поиске доказательства, то каковы ощущения математиков насчет ГР? Что им подсказывает их интуиция? Верна ГР или нет? Что они по этому поводу думают? Я специально спрашивал всех математиков, с которыми удавалось поговорить, верят ли они в справедливость Гипотезы. Ответы образовали широкий спектр с довольно разнообразным набором собственных значений.

Для тех математиков, кто верит в ее справедливость (сюда относится, например, Хью Монтгомери), определяющую роль играет совокупная убедительность свидетельств в ее пользу. Но всем профессиональным математикам известно, что веские свидетельства и указания могут сыграть злую шутку. Имелись веские основания полагать, что Li(x) всегда превосходит ?(x), пока Литлвуд не показал в 1914 году, что это не так. Верно, скажут вам те, кто верует в ГР, но ведь то были всего лишь свидетельства, затрагивающие только одну нить, ведущую к ГР. Численные свидетельства вкупе с неподкрепленным предположением, что второй член — т.е. член с интегральным логарифмом ?¹/₂Li(x^1/2) — будет и далее доминировать в разности, которая в силу этого будет оставаться отрицательной. А к самой Гипотезе ведет большее число нитей. На Гипотезе Римана основано огромное количество результатов, большинство из которых весьма разумны и — если использовать слово, которое особенно нравится математикам, — изящны. Имеются сотни теорем, которые начинаются словами «В предположении, что Гипотеза Римана верна…». Если ГР окажется ложной, то все они рассыплются. Это, понятно, было бы нежелательным, так что тех, кто верует, можно упрекнуть в выдавании желаемого за действительное, и, однако же, дело не в нежелании потерять все эти результаты, а в факте их существования. В веских свидетельствах.

Другие математики полагают (как полагал Алан Тьюринг), что ГР, скорее всего, не верна. Мартин Хаксли[208] — один из неверующих наших дней. Его неверие основано исключительно на интуитивных посылках — если процитировать аргумент, впервые выдвинутый Литлвудом, «Остающаяся длительное время не доказанной гипотеза из анализа, как правило, оказывается ложной. Остающаяся длительное время не доказанной гипотеза из алгебры, как правило, оказывается истинной».

Ответ, который мне нравится больше всех, принадлежит Эндрю Одлыжко. Ему я на самом деле задал этот вопрос впервые — он был первым математиком, к кому я обратился, когда вынашивал планы написания этой книги. Мы отправились ужинать в ресторан в городок Саммит в Нью-Джерси. Эндрю в то время работал в Белловских лабораториях (сейчас он в университете Миннесоты). Я в то время был новичком во всем, что касалось ГР, и мне приходилось много всего изучать. Покончив с превосходной итальянской едой и проведя два часа за серьезным разговором о математике, мы подошли к моменту, когда у меня больше не осталось, о чем спрашивать; тогда я сказал:

Дж.Д. Эндрю, вам довелось рассмотреть больше нетривиальных нулей дзета-функции Римана, чем любому другому на нашей планете. И что вы думаете по поводу этой проклятой Гипотезы? Верна она или нет?

Э.О. Она или верна, или нет.

Дж.Д. Да ладно, Эндрю, у вас же должно быть какое-то ощущение по этому поводу. Ну скажите мне, какова вероятность. Скажем, восемьдесят процентов, что она верна, и двадцать, что нет. Или сколько?

Э.О. Она или верна, или нет.

Кроме этого мне ничего не удалось из него вытянуть. Он просто не желал связывать себя никаким утверждением. В другом разговоре, состоявшемся позднее и в другом месте, я спросил Эндрю, имеются ли веские математические причины полагать, что Гипотеза не верна. Да, сказал он, некоторые имеются. Например, можно разбить дзета-функцию на различные части, каждая из которых будет вам говорить что-то свое о поведении дзета-функции. Одна из этих частей — так называемая S-функция (никакого отношения не имеющая к функции, которую мы обозначали как S(x) в главе 9.ii). Во всем интервале, в котором до сих была изучена дзета-функция, — т.е. для аргументов на критической прямой до высоты около 10²³ — S в основном барражирует между ?1 и +1. Наибольшее известное ее значение равно примерно 3,2. Имеются серьезные основания думать, что если S сумеет в какой-то момент добраться до величины около 100, то ГР может оказаться в беде. Ключевое слово здесь — «может»; достижение функцией S значений около 100 — это необходимое условие для того, чтобы с Гипотезой Римана случилась беда, но не достаточное.

Могут ли значения функции S когда-нибудь вообще стать столь большими? Представьте себе, могут. На самом деле Атле Сельберг в 1946 году доказал, что S неограничена; другими словами, рано или поздно, если только забраться достаточно высоко по критической прямой, значение этой функции превысит любое заранее выбранное число! Скорость роста функции S столь чудовищно мала, что соответствующие высоты находятся за пределами воображения, но тем не менее нет сомнений, что S в конце концов дойдет до 100. Докуда надо будет исследовать критическую прямую, чтобы увидеть, как S достигнет такой величины? Эндрю: «Возможно, до T, равного ». Это намного больше, чем современные вычислительные возможности, да? «О да. Серьезно больше».

Вопрос, который всегда задают читатели-нематематики, вопрос, который возникает всякий раз, когда математики обращаются к аудитории из простых людей: какая от всего этого польза? Предположим, что Гипотезу Римана доказали или опровергли. Какие практические следствия отсюда произойдут? Станем ли мы от этого здоровее, повысится ли наш комфорт, станет ли наша жизнь более безопасной? Изобретут ли новые устройства? Сможем ли мы быстрее путешествовать? Получим ли более разрушительное оружие? Колонизируем ли Марс?

Пожалуй, мне пора снять маску и предстать перед вами в образе чистого математика sans melange[209], которого вообще не интересуют подобные вопросы. Для большинства математиков — как и для большинства физиков-теоретиков — стимулом является не какая бы то ни было идея об улучшении здоровья или повышении комфорта человеческой расы, но чистая радость открытия и удовольствие от преодоления сложных проблем. Математикам, в общем, приятно, когда их результаты находят какое-нибудь практическое применение (во всяком случае, если это применение в мирных целях), но мысли о таких вещах не часто проникают в ту сферу их жизни, которая связана с работой. На конференции в Курантовском институте я просидел четыре дня с 9:30 до 18:00 вечера на докладах, где рассказывалось о вопросах, связанных с ГР, и ни разу не слышал, чтобы упоминались практические приложения.

Вот что по этому поводу говорил Жак Адамар в своей книге «Исследование психологии процесса изобретения в области математики»:

Ответ возникает перед нами еще до того, как возник вопрос <…> Практическое приложение обнаруживается, когда его не ищут, и можно сказать, что весь прогресс человечества зиждется на этом принципе <…> Практические вопросы чаще всего удается разрешить с помощью уже существующих теорий <…> Редко случается так, что важные математические изыскания предпринимаются непосредственно ввиду той или иной практической пользы; мотивировкой их является то же стремление, которое служит основой всякой научной деятельности, — стремление узнать и понять.

Г.X. Харди на заключительных страницах своей странной «Апологии» высказался по этому поводу более резко и откровенно:

Я никогда не делал ничего «полезного». Ни одно из моих открытий не произвело и не имеет шансов произвести, будь то явным или неявным образом, к добру или ко злу, ни малейшей перемены в удобствах жизни <…> При оценке по стандартам практики значение моей математической жизни равно нулю.

В отношении теории простых чисел применимо высказывание Адамара «Ответ возникает перед нами еще до того, как возник вопрос», а заявление Харди уже не верно. С конца 1970-х годов простые числа стали приобретать все большее значение в создании методов шифровки — как в военных, так и в гражданских целях. Способы, позволяющие проверить, является ли данное большое число простым, способы разложения больших чисел на простые множители, способы производства простых чисел огромной величины — все эти вопросы действительно приобрели исключительно e практическое звучание в последние два десятилетия XX века. Теоретические результаты, включая и несколько из тех, что получил Харди, сыграли существенную роль на пути к этим достижениям, которые, среди прочего, позволяют использовать кредитную карту для покупки товаров через Интернет. Разрешение вопроса о ГР, несомненно, повлекло бы дальнейшее развитие в этой области, переведя в разряд истинных все те бессчетные теоремы о простых числах, которые начинаются словами «В предположении, что Гипотеза Римана верна…», и подстегнув дальнейшие открытия.[210]

И конечно, если физики и правда преуспеют в идентификации «римановой динамики», то это изменит наше понимание физического мира.

К сожалению, невозможно предсказать, к чему приведет такое изменение. Даже умнейшие люди не в состоянии высказывать подобные предсказания, а тем, кто их все же высказывает, доверять не следует. Вот математик за работой всего около 100 лет назад:

Каждое утро я сажусь перед чистым листом бумаги. В течение дня, с коротким обеденным перерывом, я все смотрю и смотрю на чистый лист. Порой, когда наступает вечер, он все еще пуст. Два лета — 1903 и 1904 годов — останутся в моей памяти как период полного интеллектуального тупика <…>. Вполне вероятно, что весь остаток моей жизни может пройти за разглядыванием этого чистого листа бумаги.

Это из автобиографии Бертрана Рассела. Терзавшая его проблема состояла в попытке найти определение «числа» на языке чистой логики. В самом деле, что именно обозначает «три»? Немецкий логик Готлоб Фреге ранее предложил ответ, но Рассел нашел изъян в рассуждениях Фреге и искал способ заделать дыру.

Если бы вы спросили Рассела в течение одного из этих летних периодов отчаяния, мог ли предмет его затруднений привести к каким-нибудь практическим приложениям, то он бы разразился смехом. Его занятия являли собой чистейший образец чистейшего интеллекта — до такой степени, что даже сам Рассел, математик по образованию, временами недоумевал, чего ради он этим занимается. «Казалось, что негоже взрослому человеку проводить свое время за такими никчемными вещами…» — замечал он. На самом деле работа Рассела в конце концов привела к появлению Principia Mathematica — ключевого момента в современных исследованиях оснований математики. Среди плодов этого исследования к настоящему времени числятся и победа во Второй мировой войне (или, во всяком случае, победа меньшей ценой, чем это в противном случае произошло бы), и машины, подобные той, на которой я набираю эту книгу.[211]

К ГР поэтому следует подходить в духе Адамара и Харди (но желательно без того оттенка меланхолии, который Харди внес в свое «отречение»). Как сказал мне Эндрю Одлыжко, «она или верна, или нет». Когда-нибудь это станет известно. Я представления не имею, какими будут следствия, и я не думаю, что кто бы то ни было другой это знает, однако я уверен, что последствия будут огромными. В конце охоты наше понимание претерпит изменение, а до этого момента радость и очарование заключаются в самой охоте, а для тех из нас, у кого нет подходящего снаряжения, — в наблюдении за энергией, решимостью и изобретательностью охотников. Wir mussen wissen. Wir werden wissen.

Примечания:

1

Никола Орем (Nicole d'Oresme) был не только математиком, но и естествоиспытателем, философом, физиком, астрономом и экономистом, а также воспитателем Дофина, будущего короля Карла V. (Примеч. перев.)

2

Стандартным русским словосочетанием является также математический анализ (или матанализ, как говорят, например, все те студенты, которые не называют его просто матаном). В переводе в подавляющем большинстве случаев оставлен просто «анализ», чего достаточно для передачи сути дела. Соответственно, прилагательное «аналитический» означает «[изучаемый или выраженный] средствами анализа». (Примеч. перев.)

9

Эрвин Нейеншвандер — профессор истории математики в Цюрихском университете. Он является главным авторитетом по жизни и творчеству Бернхарда Римана; он издал письма Римана. Я использовал в этой книге результаты его исследований. Я также многое взял из двух единственных изданных на английском книг, в которых удалось найти сколько-нибудь обстоятельный рассказ о Римане: «Риман, топология и физика» Михаила Монастырского (перевод 1998 г., выполненный Роджером Куком, Джеймсом Кингом и Викторией Кинг) и «Бернхард Риман, 1826-1866» Детлефа Лаугвитца (перевод 1999 г., выполненный Абе Шенитцером). Хотя это математические биографии — т.е. в них больше математики, чем биографических фактов, — обе книги позволяют составить хорошее представление о самом Римане и о его времени и содержат много ценных наблюдений. (См.: Монастырский М.И. Бернхард Риман. Топология. Физика. М.: Янус-К, 1999. — Примеч. перев.)

10

Еще бы не изматывали. 38 миль по прямой — это 10 часов ходьбы быстрым шагом.

11

Ганновер стал королевством только в 1814 г. До этого его правители носили титул курфюрста, означавший их право участвовать в выборах императора Священной Римской империи. Священная Римская империя прекратила свое существование в 1806 г.

12

Эрнст-Август был предпоследним королем Ганновера. В 1866 г. это королевство стало частью Прусской империи, что оказалось поворотным моментом в создании современной Германии. (Носивший титул герцога Камберлендского Эрнст-Август был пятым сыном Георга III. Королева Виктория была дочерью его старшего брата Эдуарда, герцога Кентского, умершего в 1828 г. — Примеч. перев.)

13

Оценки разнятся, но Гаусса почти всегда ставят в число первых трех — как правило, вместе с Ньютоном и Эйлером или Архимедом.

14

Генрих Вебер и Рихард Дедекинд подготовили первое издание в 1876 г. Самое последнее издание «Собрания трудов», составленное Рагаваном Нарасимханом, вышло в 1990 г. Кстати, по-немецки «собрание трудов» — Gesamelte Werke, и эти слова так часто встречаются в математической литературе, что, по моим наблюдениям, англоговорящие математики употребляют их по-немецки, совершенно не отдавая себе в этом отчета.

15

Абелева функция — это многозначная функция, получаемая при обращении интегралов определенного вида. Данное название не имеет широкого распространения в наше время. Мы упомянем многозначные функции в главе 3, теорию функций комплексной переменной в главе 13, а обращение интегралов — в главе 21.

16

Используя уже утвердившийся у нас американизм — «полным профессором». В этих же терминах «экстраординарный профессор» — это Assistant Professor, что до некоторой степени соответствует российскому доценту. (Примеч. перев.)

17

Вот только один пример неожиданного появления числа e. Возьмем случайное число, заключенное между 0 и 1. Теперь возьмем другое и прибавим его к первому. Продолжим так поступать, накапливая случайные числа. Сколько в среднем случайных чисел потребуется, чтобы сумма оказалась больше, чем 1? Ответ: 2,71828….

18

Одно из великих математических открытий Античности, сделанное Пифагором или одним из его учеников около 600 г. до P.X., состояло в том, что не всякое число есть целое или дробь. Например, квадратный корень из 2, без сомнения, не является целым. Грубая арифметика показывает, что он лежит где-то между 1,4 (которое в квадрате дает 1,96) и 1,5 (которое в квадрате дает 2,25). Это, однако, и не дробь. Доказательство таково. Пусть S обозначает множество положительных целых чисел n, для которых выполнено такое свойство: nv2 — также положительное целое число. Если множество S не пусто, в нем есть наименьший элемент. (Любое непустое множество положительных целых чисел имеет наименьший элемент.) Обозначим этот наименьший элемент буквой k. Теперь образуем число u = (v2 ? 1)k. Легко видеть, что (i) u меньше, чем k, (ii) u — положительное целое и (iii) uv2 — также положительное целое, так что (iv) u лежит в множестве S. Это противоречие, поскольку мы определили k как наименьший элемент из S, и, следовательно, предположение, из которого мы исходили, — что S не пусто — должно быть ложным. Следовательно, множество S пусто. Следовательно, нет положительного целого числа n, для которого nv2 — положительное целое число. Следовательно, v2 — не дробь. Число, которое не является ни целым, ни дробным, называется «иррациональным», поскольку оно не есть отношение (ratio) двух целых чисел.

19

Правило знаков: минус умножить на минус дает плюс. Многие люди застревают в арифметике именно на этом месте. Они спрашивают: «Что это значит — умножить отрицательное на отрицательное?» Лучшее объяснение, какое мне приходилось встречать, принадлежит Мартину Гарднеру. Оно таково. Рассмотрим большую аудиторию, в которой находятся два типа людей: хорошие и плохие. Определим «сложение» как «приглашение людей в аудиторию». Определим «вычитание» как «удаление людей из аудитории». Определим «положительный» как «хороший» (имея в виду «хороших людей»), а «отрицательный» — как «плохой». Прибавление положительного числа означает, что в аудиторию приходит сколько-то хороших, что несомненно повышает в ней уровень «хорошести». Прибавление отрицательного числа означает, что в аудиторию приходят плохие парни, что понижает суммарный уровень «хорошести». Вычитание положительного числа означает, что наружу выходит сколько-то хороших, и суммарный уровень «хорошести» понижается. Вычитание отрицательного числа означает уход нескольких плохих, в результате чего суммарная «хорошесть» повышается. Таким образом, прибавление отрицательного числа — это все равно что вычитание положительного, а вычитание отрицательного — все равно что прибавление положительного. Умножение — это просто кратное сложение. Минус три умножить на минус пять? Попросим выйти пятерых плохих парней. Повторим это три раза. Результат? Суммарная «хорошесть» увеличилась на 15… (Когда я проверил это на шестилетнем Дэниеле Дербишире, он сказал: «А что, если ты попросишь плохих парней выйти, а они не выйдут?» Философ-моралист в процессе становления!)

20

В отличие от распространенного американского обозначения log принятое у нас обозначение ln уже содержит напоминание не только о логарифме (буква l), но и о том, что это натуральный (т.е. в некотором смысле естественный) логарифм (буква n). Заметим попутно, что «стандартные» функции типа логарифма записываются, как правило, без скобок вокруг аргумента, если этот аргумент достаточно прост (например, выражается одной буквой N или x). (Примеч. перев.)

21

Георг был последним королем Ганновера. После сделанного в 1866 г. неудачного выбора, на чьей стороне воевать в австро-прусской войне, это королевство было в том же году поглощено Пруссией. Медаль, по-видимому, была отлита лишь к столетию Гаусса в 1877 г.

92

Буквально — «девять зулусских цариц правили Китаем», фраза в русском переводе столь же бессмысленная, как и в оригинале, но, кроме того, еще и бесполезная. Вообще-то одной этой фразой дело в любом случае не ограничивается: в математике встречаются еще и ажурные буквы H и O. В рамках аналогии, приводимой автором в следующем абзаце, это, если угодно, огромные и толстые матрешки, которые по некоторым признакам уже не совсем матрешки. (Примеч. перев.)

93

В наше время фазу чаще называют «аргументом» и обозначают Arg(z). Я использовал старое название (в оригинале «amplitude» и Am(z) — пер.), отчасти из уважения к Г.Х. Харди (см. главу 14.ii), а отчасти чтобы избежать путаницы со словом «аргумент» для обозначения «числа, к которому применяется функция». (В переводе, следуя желанию автора избежать подобной путаницы, использован термин «фаза», который несет в себе некоторые «физические» коннотации, но в целом достаточно ясно указывает на то, что он призван обозначать. — Примеч. перев.)

94

Гильберт родился в 1862 г. в Велау, ныне поселок Знаменск Калининградской области. (Примеч. перев.)

95

Успех, приносящий уважение; скандальный успех (франц). (Примеч. перев.)

96

В мои намерения вовсе не входит выставлять Кронеккера никчемным чудаком. Тезис, который он защищал, хоть я и не согласен с ним, представляет собой весьма тонкий и глубокий математический вопрос. По поводу вдохновенной защиты Кронеккера см. статью Хэролда Эдвардса в: Mathematica Intelligencer. Vol. 9. № 1. Кронеккер, по словам профессора Эдвардса, был человек «вполне разумный и рассудительный, но едкий».

97

Сэмюэл Джонсон (доктор Джонсон, или просто Хан) — английский литератор и филолог XVIII в., прославившийся работоспособностью, широтой интересов и любовью к лондонским кофейням, заменявшим ему рабочий кабинет. (Примеч. перев.)

98

См. однако, высказывание, приписываемое Ландау в главе 14.iv. (Примеч. перев.)

99

Рид К. Гильберт. С приложением обзора Германа Вейля математических трудов Гильберта. М.: Наука, 1977. (Примеч. перев.)

100

Геттисбергская речь Авраама Линкольна 19 ноября 1863 г. на месте одного из сражений войны между Севером и Югом — одна из вершин политического красноречия. Эта короткая (из десяти предложений) речь оказала огромное воздействие на американцев и считается одной из наиболее известных и часто цитируемых речей на английском языке. (Примеч. перев.)

101

На самом деле Гильберт представил аудитории 10 из этих проблем, поскольку те, кто заранее прочел печатный вариант его доклада, посоветовали ему сократить устный вариант. Все 23 проблемы перечислены в печатном варианте, и на них обычно ссылаются именно по номеру в этой работе. Те проблемы, которые он в действительности огласил собравшейся в Сорбонне аудитории, имеют номера 1, 2, 3, 7, 8, 13, 16, 19, 21 и 22. Дополнительная путаница возникает из-за того, что некоторые из 23 пунктов, которые выделил Гильберт, всего лишь очерчивают области исследований и небезоговорочно являются проблемами. Характерен пункт 2: «Исследовать согласованность аксиом арифметики». Этим могут объясняться различные схемы нумерации проблем Гильберта, которые может встретить читатель. Например, Эндрю Ходжес в своей биографии Алана Тьюринга насчитывает 17 проблем Гильберта, а не 23, причем доказательство Гипотезы Римана приводится под номером 4, а не 8. Те из выделенных Гильбертом пунктов, которые составляют четко определенные проблемы, в настоящее время все решены, за единственным исключением Гипотезы Римана.

102

Лучший из таких известных мне рассказов длиною в книгу — это The Hilbert Challenge Джереми Дж. Грея.

103

Хорошее популярное изложение можно найти в книге Джона Л. Касти Mathematical Mountaintops. Oxford University Press (2001).

104

Перевод с немецкого М.Г. Шестопал и А.В. Дорофеевой по изданию: Проблемы Гильберта: Сб. под общ. ред. П.С. Александрова. М.: Наука, 1969. (Примеч. перев.)

105

Большинство математиков того времени присвоили бы этот титул Анри Пуанкаре (1854-1912). Венгерская академия наук так и поступила, наградив Пуанкаре своей первой премией Бойаи как «математика, достижения которого за последние 25 лет внесли наибольший вклад в прогресс математики». Вторая премия Бойаи была присуждена в 1910 г. Гильберту.

106

Джордж Пойа: 1887-1985. Вглядитесь в эти даты — еще один «бессмертный». Пойа был венгром. Еще более удивительным, чем подъем немецкой математики в начале XIX столетия, был подъем венгерской в начале XX. Тогда как немецкие государства (не считая Австрии и Швейцарии) в 1800 г. насчитывали около 24 миллионов жителей, говорящее по-венгерски население Венгрии составляло в 1900 г. около 8,7 миллиона и, как мне кажется, так и не перешло через 10-миллионный рубеж. К этой небольшой и неприметной нации относится потрясающая доля первоклассных математиков мирового уровня: Боллобаш, два Кенигса, Керекярто, Кюрчхак, Лакатош, Радо, Реньи, два Риса, Сас, Сеге, Секефальви-Надь, Туран, Фейер, Хаар, Эрдейи, Эрдеш, фон Нейман — и, наверное, еще нескольких я забыл. На объяснение этого феномена были направлены кое-какие литературные попытки. Сам Пойа считал, что ключевым фактором являлся Фейер (1880–1959), вдохновенный наставник и способный администратор, который привлекал и поощрял математические таланты. Значительная часть великих венгерских математиков (включая Фейера) были евреями — или же, как в случае родителей Пойа, «социально» обращенными в христианство, но исходно еврейского происхождения. (В отечественной литературе более известен венгерский вариант написания имени математика: Дьердь Пойа. — Примеч. перев.)

107

А именно — «четырехмерное спиновое риманово многообразие». (Примеч. перев.)

108

«Для правильного политопа все фигуры примыкания к вершине эквивалентны». Политоп — это n-мерный эквивалент двумерного многоугольника или трехмерного многогранника. Он называется правильным, если все его «клетки» — (n?1)-мерные «грани» — правильные и все его фигуры примыкания к вершине также правильные. Гранями куба являются квадраты, а фигурами примыкания к вершине — равносторонние треугольники. К вопросу о долголетии: «Доналд» Кокстер родился 9 февраля 1907 г. В конце 2002 г. он все еще числился в списке сотрудников университета в Торонто. В 2001 г. он опубликовал статью (совместно с Бранко Грюнбаумом). Про знаменитого своей научной плодовитостью Кокстера один математик в разговоре со мной заметил следующее: «Что-то Доналд в последнее время немного притормозил». (Гарольд Скотт Макдоналд («Доналд») Кокстер умер 31 мая 2003 г. — Примеч. перев.)

109

Положительных целочисленных. (Примеч. перев.)

110

Теория уверяет нас между прочим, что вещественная часть со всей математической точностью равна ¹/₂, а не 0,4999999 или 0,5000001. Мы вернемся к этому в главе 16.

111

Пользуясь случаем, заметим, что «неизвестное» комплексное число чаще всего обозначается буквой z, а не x. Математики, как правило, используют n и m для целых чисел, x и y для вещественных, a z и w для комплексных. Разумеется, можно использовать любые другие буквы, какие нам захочется, — это все не более чем традиция. (Для аргумента дзета-функции я твердо следую другой традиции: он обозначается буквой s, и так делают все математики.) Пойа говаривал своим ученикам, что общепринятое обозначение z для аргумента и w для значения в теории функций комплексной переменной происходят от немецкого Zahl, что означает «число», и Wert — «значение». Я, правда, не знаю, так ли это на самом деле.

112

Эстерман (1902-1991) оставил свой след в математике, доказав в 1929 г., что гипотеза Гольдбаха, согласно которой любое четное число большее 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел, верна почти всегда. Он также был творцов доказательства иррациональности числа v2, приведенного в примечании [18] в главе 3, — «первого нового доказательства после Пифагора», как он любил похвастаться.

113

Кроме нулевого. (Примеч. перев.)

114

С этого момента, конечно, в окошке «функция» выставлено ?(z). (Примеч. перев.)

115

Математики, работающие с функциями комплексной переменной, обычно говорят «плоскость z» и «плоскость w», подразумевая при этом, что в теории функций комплексной переменной z — общее обозначение для аргумента, a w — общее обозначение для значения функции.

116

Иллюстрации и того, и другого типа заняли свое настоящее место лишь с появлением мощных компьютерных рабочих станций и быстродействующих персональных компьютеров. До того построение картинок, подобных изображенным на рисунках с 13.6 до 13.8, было исключительно нелегким делом.

117

Э.В. Барнс — в то время заместитель декана Тринити-колледжа по учебной работе. Позднее он стал англиканским епископом.

118

Автор Calcul des Residus (фр. «Исчисление вычетов») — учебника по теории функций комплексной переменной — Эрнст Линделёф (1870–1946) был главным героем скандинавской математики, развитию которой он уделял много сил, занимаясь преподаванием, научной работой и написанием учебников. Он родился в Хельсинки и в начале своей жизни был подданным русского царя — Финляндия получила независимость от России лишь в 1917 г. Линделёф, однако, был финским патриотом (один из двух финнов в этой книге) и с энтузиазмом принял участие в жизни нового государства. Он высказал гипотезу («гипотезу Линделёфа») — знаменитое предположение о дзета-функции Римана, относящееся к скорости ее роста в критической полосе. Оно описано в приложении.

119

Литлвуд Дж. Математическая смесь. М.: Физматгиз. 1962. Имеются и последующие издания, например: М.: Наука. 1978. (Примеч. перев.)

120

В Тринити это означало должность лектора, что предполагало регулярную стипендию и право занимать квартиру в колледже и ужинать в «зале» (столовой). Это не обязательно включало в себя перспективу получения там постоянной работы. (Речь идет о том, что репутация кембриджского Тринити-колледжа столь высока, что его администрация могла позволить себе не давать обещания постоянной работы при приеме на должности, которые во многих других местах предполагали со стороны университета подобные обязательства. — Примеч. перев.)

121

В середине 1930-х гг. советская разведка завербовала пятерых студентов старших курсов из Кембриджа; это были Гай Берджесс, Доналд Маклин, Ким Филби, Энтони Блант и Джон Кернкросс. Все члены этой «кембриджской пятерки», как их называли в Советском Союзе, со временем заняли высокое положение в британских политических и разведывательных учреждениях в 1940-х и 1950-х гг. и передавали жизненно важные сведения в СССР в течение Второй мировой войны и холодной войны. Четверо из пяти были из Тринити-колледжа, а пятый — Маклин — из Тринити-холл (отдельного и меньшего колледжа).

122

Литтон Стрэчи, Леонард Вулф, Клайв Белл, Десмонд Маккарти, Сэксон Сидни-Тернер и оба брата Стивен (Тоби и Эдриен) — все были из Тринити. Но Джон Мейнард Кейнс, Роджер Фрай и Э.М. Форстер — из Кингс-колледжа. (Созданная в 1906 г. группа «Блумсбери» объединила молодых людей, интересы которых были связаны с искусством. Центром группы была семья Стивен, где кроме Тоби и Эдриена были и две сестры, Ванесса и Вирджиния. Ванесса вскоре вышла замуж за художника Клайва Белла, а Вирджиния (Вирджиния Вулф, 1882-1941) вышла в 1912 г. за известного журналиста Леонарда Вулфа. В 1910 г. в среде блумсберийцев появился Р. Фрай, игравший важную роль в культурной жизни Англии тех лет. — Примеч. перев.)

123

«Курс анализа» (фр.) (Примеч. перев.)

124

Имеется в виду известный всякому английскому школьнику восторженный сонет поэта-романтика Джона Китса (1795-1821), написанный сразу по прочтении «Одиссеи» в далеком от оригинала, но весьма экспрессивном «ренессансном» переводе Джорджа Чапмена (1559?^_1634). Сонет заканчивается строками в переводе С. Сухарева:

Вот так Кортес, догадкой потрясен,
Вперял в безмерность океана взор,
Когда, преодолев Дарьенский склон,
Необозримый встретил он простор.

(Примеч. перев.)

125

Дон — преподаватель, член совета колледжа в Кембридже и Оксфорде. (Примеч. перев.)

126

Сриниваса Рамануджан (1887-1920) — индийский математический гений-самоучка. Он написал письма трем кембриджским математикам с просьбой высказать мнение о его результатах; вник и откликнулся один лишь Харди. Среди многого другого на Харди произвела впечатление следующая найденная Рамануджаном сумма ряда:

1 ? 5(¹/₂)³ + 9(^1?3/_2?4)³ ? 13(^1?3?5/_2?4?6)³ + … = 2/?.

(Примеч. перев.)

127

«Овал» — легендарное поле для игры в крикет в лондонском Кеннингтоне. Игрок выбит, если мяч попал в калитку, когда хотя бы один из бегущих игроков находился между калитками (игрок тогда считается «bowled out») или если игрок подающей команды поймал мяч после того, как игрок бьющей команды коснулся мяча битой, но до удара мяча о землю (игрок считается «cought out»). Иннинг заканчивается, когда выбиты 10 игроков бьющей команды. (Цифра в 211 пробежек колоссально велика при любой схеме подсчета числа пробежек без выбывания). Тест-матч играется по правилам, делающим встречу самым долгим соревнованием в крикете. На два иннинга обычно отводится 5 дней. (Примеч. перев.)

128

Так всегда говорится. Правда, Александерсон в книге о Джордже Пойа утверждает, что дома у Пойа их много больше.

129

Хотя на корешке моего экземпляра (первого издания) написано просто Primzahlen.

130

«О нулях функции Римана ?(s)». Упоминаемая чуть ниже статья Литлвуда: «О распределении простых чисел». (Примеч. перев.)

131

Разумеется, предпочтительнее знать точный ответ; но речь идет о том, что часто удается доказать лишь менее строгое ограничение. (Примеч. перев.)

132

В задачах такого типа имеются еще и нижние границы. Нижняя граница — это такое число N, для которого можно доказать, что, каков бы ни был точный ответ, он заведомо больше, чем N. В случае с литлвудовым нарушением, похоже, сделано куда меньше — можно думать, из-за того, что все знают, что точное значение числа, при котором происходит первое нарушение, необычайно велико. Делеглиз и Риват в 1996 г. установили в качестве нижней границы 10¹⁸, а позднее довели нижнюю границу до 10²⁰, однако ввиду результата Бейса и Хадсона подобные нижние границы почти ничего не значат.

133

Если имена Бейса и Хадсона кажутся знакомыми, то это из-за того, что они упоминались в главе 8.iv в связи с отклонением Чебышева. На самом деле на очень глубоком уровне, определенно слишком глубоком, чтобы здесь о нем говорить, имеется родство между тенденцией функции Li(x) быть больше, чем ?(x), и чебышевскими отклонениями. В теории чисел эти два вопроса обычно рассматриваются совместно. В действительности в работе Литлвуда 1914 г. показано не только, что тенденция функции Li(x) быть больше, чем ?(x), нарушается бесконечно много раз, но и что тоже самое верно для чебышевских отклонений. По поводу некоторых недавних. весьма впечатляющих и глубоких результатов по этому вопросу см. статью Майкла Рубинстейна и Питера Сарнака Chebyshev's bias в журнале: Experimental Mathematics. 1994. Vol. 3. P. 173-197.

134

Читателям популярной литературы по математике фон Кох более известен благодаря «кривой Коха». В этом контексте всегда опускают «фон» — ума не приложу, почему. (Кривая Коха — фрактальная кривая, которая нигде не имеет касательной, хотя всюду непрерывна. Три копии кривой Коха, расположенные вдоль сторон правильного треугольника, образуют «снежинку Коха». — Примеч. перев.)

135

Или не зная о книге Бахманна, или же (что более вероятно) просто решив не использовать новое обозначение с ? большим, фон Кох на самом деле выразил свои результат в более традиционном виде:

|f(x) ? Li(x)| < K•vx•ln x.

136

В этой области ведется немало исследований. Весьма вероятно, что на самом деле ?(x) = Li(x) + ?(vx), что, возможно, и имел в виду Риман в своем замечании насчет «порядка величины». Однако мы ни в какой мере не близки к доказательству этого факта. Некоторые исследователи, между прочим, предпочитают обозначение ?_?(x^1/2+?), чтобы подчеркнуть, что постоянная, подразумеваемая в определении О большого, зависит от ?. Если использовать это обозначение, то логика раздела 15.iii слегка изменяется. Заметим, что квадратный корень из N примерно в два раза короче (я имею в виду, что он содержит примерно в два раза меньше цифр), чем N. Отсюда следует (хотя я и не буду останавливаться ради подробного доказательства), что Li^?1(N) дает для N-го простого числа правильный результат примерно до половины длины (примерно первая половина цифр оказывается правильной). Выражение Li^?1(N) здесь надо понимать в смысле обратной функции, как в главе 13.ix, следующим образом: «число К, для которого Li(K) = N». Миллиардное простое, например, есть 22 801 763 489, a Li^?1(1 000 000 000) равно 22 801 627 415, где мы видим пять, почти шесть правильных цифр из одиннадцати.

137

Мебиуса более всего помнят за ленту (лист) Мебиуса, показанную на рисунке 15.4, которую сам он придумал в 1858 г. (Ранее она была описана другим математиком, Йоханом Листингом, также в 1858 г. Листинг опубликовал свое открытие, а Мебиус — нет, так что, согласно академическим правилам, ее следовало бы называть «лентой Листинга». Мир устроен несправедливо.) Чтобы сделать ленту Мебиуса, надо взять полоску бумаги за концы (один конец в правой руке, другой — в левой), перекрутить один из них на 180 градусов и склеить их друг с другом. Получится односторонняя поверхность — муравей может переползти из любой точки на полосе в любую другую точку, не перелезая при этом через край.

138

Если вам кажется, что выбор буквы, указывающей на свое собственное имя, было проявлением тщеславия со стороны Мебиуса, то сообщу вам, что сам Мебиус при первом описании своей функции в 1832 г. не использовал буквы ?; виновник появления ? — Франц Мертенс, который ввел ее в 1874 г., причем в честь Мебиуса, к тому времени уже скончавшегося, а не в свою.

139

Если подразумеваемая здесь логика от вас ускользает, давайте рассмотрим аналогию. Представим себе, что теорема 15.1 утверждает: «Все люди имеют рост менее 10 футов», а Гипотеза Римана утверждает, что «все граждане США имеют рост менее 10 футов». Если первое утверждение верно, то должно быть верно и второе, поскольку каждый гражданин США — человек. Более слабый результат следует из более сильного. Если человека ростом в 11 футов обнаружат в дебрях Новой Гвинеи, то его существование продемонстрирует ложность теоремы 15.1. Однако Гипотеза Римана будет по-прежнему оставаться открытой, поскольку найденный гигант не является гражданином США. (Хотя, как я подозреваю, довольно быстро им станет.)

140

Утверждение тем более примечательное, что Дюбуа-Реймон (не столько француз, сколько немец швейцарского происхождения) был также признанным физиологом, установившим ряд закономерностей, характеризующих электрические явления в мышцах и нервах. (Примеч. перев.)

141

«Закон об устранении бедственного положения народа и государства», дающий Гитлеру законодательную власть (формально принят как временный до 1 апреля 1937 г.). Закон ограничивал свободу личности и свободу мнений, включая свободу печати, собраний и союзов; позволял нарушать тайну переписки, телеграфной и телефонной связи, устраивать домашние обыски, конфисковывать имущество; правительству рейха предоставлялось право пользоваться полнотой власти в землях, когда это вызывалось необходимостью. (Примеч. перев.)

142

Бернштейн стал профессором только в 1921 г. Мне приходилось читать, что он формально не подпадал под действие декрета в силу гинденбурговских поправок, но я не знаю, на основании чего делается такое утверждение. В период, пока Гитлер находился у власти, Ф. Бернштейн (1874-1956) бежал в США, но в 1948 г. вернулся в Геттинген.

143

Карл Зигель рассказал Хэролду Дэвенпорту следующую историю. В 1954 г. в связи с празднованием 1000-летия основания Геттингена отцы города решили предоставить почетное гражданство трем из изгнанных в 1933 г. профессоров. Из редакции Tageblatt к Реллиху (Франц Реллих, в то время директор математического института при университете) направили корреспондента, который спросил его, сможет ли он написать статью об этих троих. Реллих ответил: «А чего бы вам просто не посмотреть, что вы сами писали про них в 33-м?»

144

Имеется ветвь геометрической теории функций, называемая, быть может не вполне правильно, «теорией Тейхмюллера». Там рассматриваются свойства Римановых поверхностей. Тейхмюллер добровольцем пошел в действующую армию во время Второй мировой войны и пропал без вести в боях на Днепре в сентябре 1943 г.

145

В мире математики другим примером является Людвиг Бибербах, автор знаменитой гипотезы в теории функций комплексной переменной (гипотезу доказал в 1984 г. Луи де Бранж). Устные экзамены у аспирантов в Берлинском университете в 1933 г. Бибербах принимал в полном нацистском облачении.

146

Я не в состоянии придумать никакого удовлетворительного перевода слова Nachlass. Равным образом — если судить по эпизодическому появлению этого слова в написанных по-английски текстах — и никому другому это не удалось. Это «литературные останки», как сообщает мне мой немецкий словарь. В данном контексте это должно означать «неопубликованные записи, найденные среди личных вещей ученого после его смерти».

147

Из нашего обсуждения ? большого мы помним, что оно включает в себя некоторый постоянный множитель. Так, ?(ln T) означает, что «этот член никогда не превосходит некоторого постоянного кратного величины ln T». Характеристика формулы как «очень хорошая» означает, что этот постоянный множитель мал. В данном случае он меньше чем 0,14.

148

Соответствующая теория имеет дело с нулями, расположенными в точности (в математическом смысле) на критической прямой. Это важно для понимания логики происходящего. Теория A говорит вам: «Имеется n нулей в прямоугольнике от T₁ до T₂» (рис. 16.1). Теория B говорит: «Имеется m нулей на критической прямой от T₁ до T₂». Если окажется, что m = n, то, значит, мы проверили Гипотезу Римана между T₁ и T₂, если же m меньше, чем n, то мы опровергли Гипотезу! (Ясно, что ситуация, когда m больше n, логически невозможна.) Теория B имеет дело с тем, что происходит на критической прямой. Рассматриваемые там нули не могут иметь вещественных частей 0,4999999999 или 0,5000000001. Это замечание полезно сравнить с другим замечанием на эту тему, сделанным в главе 12.vii.

149

Похоже, кстати, что все вычисленные до сих пор нули — иррациональные числа. Потрясающим чудом было бы появление среди них целого числа или хотя бы повторов в десятичных знаках (что указывало бы на рациональное число). Причины, по которым такого не может быть, мне неизвестны, однако же этого не происходит.

150

Инициатором присуждения Филдсовской медали, впервые врученной в 1936 г., является канадский математик Джон Чарльз Филдс (1863-1932). В настоящее время она присуждается раз в четыре года и ставит своей главной целью отметить выдающихся молодых математиков. Поэтому она присуждается только тем, кому не исполнилось 40 лет. Некоторые из математиков, упомянутых в данной книге, являются лауреатами Филдсовской медали: это Сельберг (1950), Жан-Пьер Серр (1954), Пьер Делинь (1978), Ален Конн (1982). Эта медаль высоко ценится среди математиков. Если вы филдсовский медалист, то каждый математик знает об этом и упоминает ваше имя с глубоким уважением. (Филдсовским лауреатом является и упомянутый во вступлении Энрико Бомбьери (1974). Лауреатами последних лет стали: 1990 — В. Дринфельд (СССР), В.Ф.Р. Джоунс (Новая Зеландия), Ш. Мори (Япония), Э. Виттен (США); 1994 — Ж. Бурген (Бельгия), П.-Л. Лион (Франция), Ж.-К. Йоккоз (Франция), Е. Зельманов (Россия); 1998 — Р. Борхердс (Великобритания), В.Т. Говерс (Великобритания), М. Концевич (Россия), К.Т. Макмаллен (США), Э. Уайлс (Великобритания, серебряная медаль); 2002 — Л. Лаффорг (Франция), В. Воеводский (Россия); 2006 — А. Окуньков (Россия), Г. Перельман (Россия, отказался от премии), Т. Тао Австралия), В. Вернер (Франция). — Примеч. перев.)

151

Британская школа кодов и шифров — секретный шифроаналитический центр правительства Великобритании. (Примеч. перев.)

152

Не 104, как говорит Ходжес.

153

«Теория дзета-функции Римана» (1951). Ее все еще можно купить. (Титчмарш Э.Ч. Дзета-функция Римана. Пер. с англ. Москва. 1947. — Примеч. перев.)

154

Всего одно только биографическое замечание. Джозеф Бэклунд (1888-1949) — второй финн в этой книге; он родился в рабочей семье в городе Якобстад, расположенном на Ботническом заливе. «Члены семьи были одаренными, но, по-видимому, психически неуравновешенными; три брата Джозефа покончили с собой». (Элфвинг Густав. История математики в Финляндии, 1828-1918. Хельсинки. 1981). Бэклунд был учеником Линделёфа, а после аспирантуры стал актуарием и сделал карьеру в области страхования, как и Грам. Накопленные человечеством знания немало обязаны страховому бизнесу. Грам, кстати, умер нелепой смертью — его сбил велосипед.

155

В книге профессора Эдвардса приведены несколько фотографий страниц из Nachlass, по которым можно судить о масштабе работы, предпринятой Зигелем.

156

В 2004 г. Ксавье Гурдон, используя метод Одлыжко-Шонхаге, проверил, что десять триллионов нетривиальных нулей дзета-функции лежат на критической прямой. Это вычисление показывает, что Гипотеза Римана верна по крайней мере до высоты T, равной 2,4 триллиона. Читателю этой книги может быть небезынтересно, что «техническую» основу метода Гурдона составляет некоторый прием (из теории функций, а не теории чисел), называемый интерполяцией Чебышева. (Примеч. перев.)

157

Например, С. Дж. Паттерсон в своей книге «Введение в теорию дзета-функции Римана» в параграфе 5.11 пишет: «Наиболее убедительные аргументы, которые имеются к настоящему моменту в пользу справедливости Гипотезы Римана, — это справедливость аналогичного утверждения для дзета-функций, связанных с кривыми над конечными полями. Формальное сходство настолько впечатляюще, что трудно представить себе, как оно могло бы не приводить к еще более далеко идущим совпадениям» (курсив мой. — Дж. Д.).

158

Clock (англ). — часы. (Примеч. перев.)

159

Попытаюсь выразить это в афористичной форме: алгебраистов заботит не столько то, чем являются вещи, сколько то, что с ними можно делать. Они — «отглагольные», а не «отсуществительные» люди. Другой интересный концептуальный взгляд на алгебру предложил сэр Майкл Атья в своей лекции в Филдсовском институте в Торонто в июне 2000 г. Тогда как геометрия с очевидностью имеет дело с пространством (говорил сэр Майкл, лауреат Филдсовской премии), алгебраисты имеют дело с временем. «Геометрия по существу статична. Я могу просто сидеть здесь и наблюдать, при этом может ничего не меняться, но это не мешает мне наблюдать. Алгебра, однако, имеет дело с временем, потому что там имеются операции, которые надлежит выполнять последовательно.» (Шенитцер А., Атья М.Ф. Математика в двадцатом столетии. American Mathematical Monthly. Vol. 108. № 7.)

160

Здесь (как и в ряде других случаев в этой книге и повсеместно в математике в целом) название — скажем, «Гипотеза Римана» или «формула Эйлера», — стандартно используемое в некотором устоявшемся контексте, смело применяется расширительно, причем иногда в контекстах, очень далеких от исходного и таких, о существовании которых ученый, давший свое имя названию, и не подозревал. Когда при этом хотят вернуться к исходной теореме, формуле, гипотезе и так далее, иногда используют эпитет «классическая». (Примеч. перев.)

161

Андре Вейль (Andre Weil), один из наиболее прославленных математиков XX века, был братом героини французского Сопротивления и мистического философа Симоны Вейль. Он учился у Адамара в Коллеж де Франс. Следует отличать его от Германа Вейля (Hermann Weyl). (Исчезновение всякой разницы в написании по-русски, очевидно, лишь усложняет задачу «отличать» — и эта проблема в самом деле присутствует в русских математических текстах. — Примеч. перев.)

162

Для получения более ясной картины читателю все же может быть полезна формула, по которой получается характеристический многочлен матрицы 2x2. Общий вид такой матрицы (^a_b ^c_d). Ее характеристический многочлен равен (a ? x)?(d ? x) ? bc. Таким образом и получается x² ? 11x + 28. Далее автор рассматривает характеристические многочлены с точностью до общего ненулевого множителя. (Примеч. перев.)

163

Возможно, лучше было бы говорить «от 1 до N нулей», поскольку нули иногда повторяются. Нули многочлена x² ? 6x + 9 — это числа 3 и 3. Данный многочлен разлагается на множители как (x ? 3)(x ? 3). Поэтому вам может прийтись больше по душе говорить, что он имеет только один нуль, а именно 3. В строгом математическом смысле это «нуль кратности 2». Имеется, между прочим, способ приписывать подобную кратность любому нулю любой функции. Насколько известно, все нетривиальные нули дзета-функции имеют кратность 1, однако это пока не доказано. Если окажется, что какой-то нетривиальный нуль дзета-функции имеет кратность 2 или выше, то это само по себе не опровергнет Гипотезу, но произведет опустошение в некоторой части вычислительной теории.

164

На самом деле, конечно, речь идет об операторах. Математическая модель для описания динамических систем строится в терминах операторов. «Ансамбль» (в данном употреблении, кстати, это слово было введено Альбертом Эйнштейном) означает набор операторов, у которых общими являются некоторые статистические свойства.

165

Точнее говоря, сферой интересов Монтгомери была так называемая «задача числовых классов», доступное изложение которой можно найти в книге Кита Делвина «Математика: Новый золотой век», Columbia University Press, 1999.

166

Хэролд Даймонд — специалист по теории чисел. В настоящее время — профессор математики в Университете Иллинойса в Урбана-Шампейн.

167

Сарвадаман Чоула (1907-1995) — превосходный специалист по теории чисел, в основном работавший в Колорадском университете.

168

Стандартное введение в теорию случайных матриц: Мадан Лал Мехта. Случайные матрицы и статистическая теория энергетических уровней. New York: Academic Press. 1991.

169

Дайсон — еще один человек из Тринити, учившийся в этом колледже в начале 1940-х гг. По его воспоминаниям, состояние Харди, который в то время окончательно впал в депрессию, «было не слишком веселым».

170

Это поднимает интересный вопрос о том, в какой степени они могут являться «настоящими» теоремами. Некий результат, в котором предполагается справедливость ГР, с моей точки зрения, сам, строго говоря, является гипотезой — или, если угодно, подгипотезой, но уж никак не настоящей теоремой. С учетом того, что математика считается наиболее точной из всех наук, математики не слишком последовательны по поводу использования таких терминов, как «предположение», «гипотеза» и «теорема». Почему, например, Гипотеза Римана — «гипотеза», а не «предположение»? Я не знаю, и мне не удалось найти никого, кто мог бы мне это разъяснить. И на беглый взгляд кажется, что эти замечания применимы, по-видимому, и к другим языкам, а не только к английскому. По-немецки, кстати, Гипотеза Римана — Die Riemannsche Vermutung, от глагола vermuten — высказывать догадку. (Неудивительно. Древнегреческое слово «гипотеза» как раз и означает «предположение». — Примеч. перев.)

171

Майкл Берри — профессор физики в Бристольском университете в Англии. Возведен в рыцарское достоинство в июне 1996 г., став таким образом сэром Майклом Берри. Я очень старался упоминать его как Берри при описании его работ, сделанных до 1996 г., и как сэр Майкл после этого, но не гарантирую, что всегда был последователен.

172

Где-то в конце 1980-х Cray-1 был дополнен компьютером Cray X-MP.

173

Самой ранней ссылкой на закон Монтгомери-Одлыжко (именно под таким названием), которую мне удалось найти, является статья Николаса Каца и Питера Сарнака, опубликованная в 1999 г. Слово «закон» здесь, конечно, понимается в физическом, а не в математическом смысле. Это факт, установленный эмпирическим путем, как законы движения планет, сформулированные Кеплером. Это не математический принцип, подобный правилу знаков. В статье Сарнака и Каца на самом деле был доказан закон для дзета-функций над конечными полями (см. главу 17.iii), что позволило перекинуть мост между алгебраическим и физическим подходами к ГР.

174

http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/index.html (Примеч. перев.)

175

Ответ не гласит «половина». Сказать «половина» означало бы перепутать середину и среднее. Среднее из четырех чисел 1, 2, 3, 8 510 294 равно 2 127 575, но половина из них меньше, чем 3.

176

Известного в математике как «распределение Пуассона». Здесь, кстати, повсюду присутствует число e: например, указанное число 6 321 есть 10 000(1 ? 1/e).

177

Уравнение, которым задается изображенная на рисунке 18.5 кривая, имеет вид y = (320 000/?²)x²e^?4х•x/?. Это скошенное распределение, а не симметричное, как гауссовское нормальное. Его пик находится при аргументе ¹/₂v?, т.е. 0,8862269…. Эту кривую для распределения последовательных интервалов ГУА предложил в качестве догадки Юджин Вигнер. Его догадка основывалась на небольшом количестве данных, собранных из экспериментов на атомном ядре. Позднее оказалось, что это не в точности правильная кривая, хотя она и находится в пределах ошибки около 1%. Истинная кривая, которую нашел Мишель Годен, описывается более сложным уравнением. Эндрю Одлыжко пришлось написать целую программу, чтобы ее нарисовать.

178

Свершившийся факт (франц.) (Примеч. перев.)

179

Уравнение живой силы — термин из истории механики. В современной русской научной литературе он мало распространен, и в переводе оставлено оригинальное латинское название. Данное уравнение выражает собой закон сохранения энергии при орбитальном движении. Здесь M — произведение гравитационной постоянной на массу того тела, вокруг которого обращается спутник, r — расстояние до фокуса, а a — главная полуось орбиты. (Примеч. перев.)

180

Хотя слово «хаос» и не применялось к этим теориям, пока физик Джеймс Йорк не ввел его в оборот в 1976 г. Бестселлер Джеймса Глейка 1987 г. «Хаос. Создание новой науки» остается лучшим введением в теорию хаоса для простых людей… если не считать пьесы Тома Стоппарда «Аркадия» 1993 г. (Русский перевод книги Глейка вышел в 2001 г. в издательстве «Амфора». — Примеч. перев.)

181

Лауреат медали имени Макса Планка 2003 г. за развитие квантовой теории металлов. (Примеч. перев.)

182

Чтобы у читателя не возникало ощущение систематического надувательства, стоит, возможно, заметить, что, например, v3 в характеристическом многочлене — это котангенс 30 градусов, т.е. угла поворота. (Примеч. перев.)

183

Курт Хензель (Гензель) (1861-1941) — еще один представитель семейного древа Мендельсонов. Его бабушка Фанни была сестрой композитора, а его отец Себастьян Хензель — ее единственным сыном. Себастьяну было 16 лет, когда Фанни умерла, а его отправили жить с семейством Дирихле (глава 6.vii), где он и оставался до своей женитьбы. Большая часть карьеры Курта прошла в Магдебургском университете в центральной Германии; он вышел на пенсию в 1930 г. Несмотря на свое еврейское происхождение, он, по-видимому, не пострадал при нацистах. «В целом Мендельсоны не испытали на себе весь ужас нюрнбергских антисемитских законов, поскольку большинство представителей семейства были крещены несколько поколений назад» (Купферберг X. Мендельсоны). В 1942 г. невестка Хензеля принесла его обширную математическую библиотеку в дар только что подвергшемуся нацификации Страсбургскому университету в оккупированном Эльзасе — университет заново открылся в ноябре того года под немецкой вывеской Reichsuniversitat Strassburg (сейчас он снова во Франции). (Курт Хензель выступил также соавтором известного конспекта лекций Т. Моммзена о римских императорах; в течение двух зимних и одного летнего семестра эти лекции были «оазисом души» Себастьяна Хензеля, которому «было трудно примириться с тем, что Моммзен не написал истории римских императоров». — Примеч. перев.)

184

И как минимум один математик в письменном виде выразил сдержанный скептицизм. В рецензии на статью Конна 1999 г. «Следовые формулы в некоммутативной геометрии и нули дзета-функции Римана» Питер Сарнак (не являющийся ни математиком X, ни математиком Y) заметил: «Аналогии и вычисления в статье и в приложениях к ней многозначительны, симпатичны и замысловаты, и по этой причине представляется, что предложено нечто большее, чем просто еще одна эквивалентная переформулировка ГР. Однако рецензенту не очевидно, удастся ли на самом деле использовать развитые здесь идеи, в частности пространство X, для получения каких-нибудь новых результатов о нулях функции L(s, ?)». Функция L(s, ?), о которой пишет Сарнак, представляет собой один из тех аналогов дзета-функции Римана, которые упоминались в главе 17.iii.

185

Официально этот подход называется «вероятностная интерпретация Данжуа», по имени французского аналитика Арно Данжуа (1884-1974). Данжуа был профессором математики в Парижском университете с 1922 по 1955 г.

186

Это длинное шведское название буквально и означает: «Шведская компания по страхованию жизни». (Примеч. перев.)

187

«Прикасаясь к скучным формулам своей волшебной палочкой, он превращал их в поэзию», — вспоминал Гуннар Блом в своем очерке, включенном в собрание трудов Крамера. Крамер (1893-1985) — еще один «бессмертный». Он умер спустя несколько дней после своего 92-летия.

188

Я позаимствовал этот мысленный эксперимент из главы 3 книги «Простые числа и их распределение», которую написали Джеральд Тененбаум и Мишель Мендес-Франс (American Mathematical Society publications, 2000).

189

Хорошая статья на эту тему — «Нормально ли ??» Стена Вейгена (Mathematical Intelligencer. Vol. 7. № 3).

190

У меня имеется распечатка недавней статьи Хью Монтгомери и Каннана Сундарараджана «За пределами парных корреляций», которая наносит еще один удар по модели Крамера. Статья заканчивается такими словами: «…по-видимому, здесь происходит нечто такое, что еще предстоит понять». (Эта статья доступна по адресу:

http://arxiv.org/abs/math.NT/0003234 — Примеч. перев.)

191

Математика и правдоподобные рассуждения (1954). (Русский пер. под ред. С.А. Яновской. М.: Наука. 1975. — Примеч. перев.)

192

Фрэнклин написал в 2001 г. прекрасную книгу о нематематической теории вероятностей под названием «Наука догадок». Я рецензировал ее для журнала The New Criterion в июне того же года. (См.:

http://www.newcriterion.com/articles.cfm/franklin-derbyshire-2175 — Примеч. перев.)

193

Ради тех читателей, которых мое изложение воспламенило до такой степени, что они готовы немедленно бежать за покупкой какой-нибудь из математических программ, мне надо, видимо, заметить, что относительно достоинств различных таких программ ведутся яростные споры вполне в духе неувядающих дебатов на тему PC/Macintosh, причем создатель Mathematica Стивен Волфрам играет там роль Билла Гейтса. Будучи простым журналистом, я прошу считать себя на этой войне hors de combat (выбывшим из строя (франц.) — Примеч. перев.). Я определенно не занимаюсь пропагандой от имени Mathematica. Она была первой математической программой, которая мне попалась, и осталась единственной, которой я пользовался. Она всегда делала то, что я ей говорил. Если уж начистоту, то иногда требовалось ее слегка пинать, но мне никогда не попадалась программа, которую не приходилось бы время от времени пинать.

194

По-английски — root; на первый звук в этом слове и указывает буква ро, также представляющая звук «р» — в духе того, как греческая же буква мю (звук «м») использовалась в честь Мебиуса (см. главу 15). Математики часто применяют подобные фонетические соответствия в качестве мнемонических. Здесь может быть уместным упомянуть, наконец, что для англоязычного читателя ? фонетически ассоциируется с буквой z. (Примеч. перев.)

195

Употребительных слов, особенно русских, не хватает, подобно тому как, по замечанию автора в главе 3, не хватает греческих букв; целые функции и целые числа имеют мало общего. (Примеч. перев.)

196

Хотя здесь нет прямой связи с нашими рассуждениями, я не могу удержаться и не сказать, в качестве интересного добавления, что одна из самых знаменитых теорем в теории функций комплексной переменной касается целых функций. Эту теорему сформулировал Эмиль Пикар (1856-1941). Теорема Пикара утверждает, что если целая функция принимает более одного значения — если, иными словами, она не равна просто-напросто постоянной, — то она принимает все (комплексные. — Примеч. перев.) значения, кроме, быть может, одного. Значение, которое не принимает функция e^z, — это как раз нуль.

197

Муравей Арг начинает свой путь из точки ¹/₂ на вещественной оси (а не приходит, например, из «далекого юга» вдоль критической прямой). (Примеч. перев.)

198

Хотя в определении и есть некоторый произвол, для преодоления которого нет общего рецепта. Например, в программе Mathematica 4 функция Li(x) реализована как одна из встроенных функций, Loglntegral[х]. Для вещественных чисел она ровно такая, как я ее описал, — собственно, ее я и использовал для построения графика Li(x) в главе 7.viii. Однако для комплексных чисел определение интеграла, реализованное в Mathematica, слегка отличается оттого, которое использовал Риман. Поэтому для своих комплексных вычислений я не использовал определение Loglntegral[х] из Mathematica, а определил там Li(x^1/2+ir) как ExpIntegralEi[(1/2 + Ir)Log[x]].

199

Одним глазом разглядывая этот список, а другим — рисунок 21.3, можно видеть, что тенденция, согласно которой первые несколько нулей отправляются в числа с отрицательными вещественными частями, представляет собой лишь случайный эффект, и дело вскоре поправляется.

200

На рисунках 21.5 и 21.6 нуль, комплексно сопряженный к k-му нулю, обозначен как (?k)-й нуль. Разумеется, неверно, что ?' = ??.

201

Заметим, что 639:1050 = 0,6085714…. Для больших чисел N вероятность того, что N свободно от квадратов, равна ~ 6/?², т.е. 0,60792710…. Вспоминая из главы 5 найденное Эйлером решение базельской задачи, можно заметить, что эта вероятность равна 1/?(2). Это верно и в общем случае. Вероятность того, что положительное целое число N, выбранное случайным образом, не делится на п-ю степень никакого целого числа, равна ~ 1/?(n). Например, среди всех чисел, не превышающих 1000 000, в действительности 982 954 не делятся ни на какую шестую степень; при этом 1/?(6) равняется 0,98295259226458….

202

На домашней страничке Ульрике на веб-сайте Ульмского университета вывешена фотография, на которой она стоит рядом с надгробным камнем Бернхарда Римана в итальянской Селаске.

203

Джонатан Китинг — профессор прикладной математики в Бристольском университете в Англии. Он тесно сотрудничал с сэром Майклом Берри в исследовании физических аспектов ГР.

204

«Нули преобразования Меллина от функции Эрмита имеют вещественную часть одна вторая» (1986). Соавтором Бампа по доказательству был некто Е.К.-С. Нг, о котором мне больше ничего не известно.

205

Независимое федеральное агентство в США, созданное по решению Конгресса США в 1950 г.; среди его целей первой названа цель способствовать развитию науки. (Примеч. перев.)

206

Мне, по крайней мере, так кажется. Однако один профессиональный математик, познакомившийся с рукописью этой книги, выразил по этому поводу искреннее недоверие. Математикам исключительно сложно всерьез принять мысль о том, что занятиями математикой можно зарабатывать серьезные деньги.

207

От англ. clarity — ясность, прозрачность. (Примеч. перев.)

208

Мартин Хаксли — профессор чистой математики из университета Уэльса в Кардиффе.

209

Без примесей, чистокровный (франц.). (Примеч. перев.)

210

Гипотеза Римана эквивалентна, в частности, ряду утверждений о делителях натуральных чисел, например, такому утверждению: «Для всякого натурального числа n ? 5041 сумма его делителей меньше величины e^?n ln(ln n)». Здесь ? — упоминавшееся число Эйлера-Маскерони, в России чаще называемое просто постоянной Эйлера. (Примеч. перев.)

211

Цепь событий в наикратчайшем изложении такова. Метод, принятый в Principia Mathematica, не давал гарантии от ошибок, подобных той, на которую Рассел обратил внимание в работе Фреге. Программа «метаматематики» Гильберта ставила целью объять и логику, и математику в единый четкий формализм. Это послужило мотивировкой исследований Курта Геделя и Алана Тьюринга. Гедель доказал ряд важных теорем путем построения соответствия между символами типа гильбертовых и числами; Тьюринг закодировал и инструкции, и данные в виде чисел в своей идее «машины Тьюринга». Ухватившись за эту идею, Джон фон Нейман развил концепцию хранящейся в памяти программы — концепцию, на которой основано все современное программное обеспечение и согласно которой и код, и данные можно единообразно представить в памяти компьютера…