Как и многие другие представления, это начинается с колоды карт.

Возьмем обычную колоду из 52 карт; положим ее на стол, подровняв со всех сторон. А теперь сдвинем самую верхнюю карту колоды, не пошевелив при этом ни одну из остальных карт. Насколько можно сдвинуть верхнюю карту, чтобы она еще не упала?

Ответ понятен: на половину длины карты, что мы и видим на рисунке 1.1. Если подвинуть ее так, чтобы на весу оказалось более половины карты, она упадет. Точка опрокидывания находится в центре тяжести карты, т.е. на середине ее длины.

Рисунок 1.1.

Теперь сделаем кое-что еще. Пусть верхняя карта так и лежит, сдвинутая на половину своей длины — т.е. с максимальным нависанием, — а мы начнем осторожно сдвигать следующую карту. Насколько в сумме могут нависать две верхние карты?

Фокус состоит в том, что эти две карты надо рассматривать как единое целое. Где у этого целого находится центр тяжести? Ясно, что посередине общей длины — длины в полторы карты. Значит, центр тяжести расположен на расстоянии в три четверти длины карты от выступающего края верхней карты (см. рисунок 1.2). Суммарное нависание, следовательно, равно трем четвертям длины карты. Заметим, что верхняя карта по-прежнему свисает со второй на половину своей длины. Но две верхние карты мы сдвигали как единое целое.

Рисунок 1.2.

Если теперь начать двигать третью карту и посмотреть, насколько можно увеличить нависание, окажется, что ее можно сдвинуть на одну шестую длины карты. Как и ранее, надо воспринимать три верхние карты как единое целое. Центр тяжести тогда расположен на расстоянии в одну шестую длины карты от выдвинутого края третьей карты (см. рисунок 1.3).

Рисунок 1.3.

За край у нас выдвинута одна шестая третьей карты, одна шестая плюс одна четверть второй карты, а также одна шестая плюс одна четверть плюс одна вторая верхней карты, что в сумме дает полторы карты:

¹/₆ + (¹/₆ + ¹/₄) + (¹/₆ + ¹/₄ + ¹/₂) = 1¹/₂.

Это половина от длины трех карт; вторая половина находится за точкой опрокидывания. На рисунке 1.4 изображено, что у нас получилось после максимально возможного сдвига третьей карты.

Рисунок 1.4.

Полное нависание теперь составляет одну вторую (за счет верхней карты) плюс одна четверть (за счет второй карты) плюс одна шестая (за счет третьей). Всего — одиннадцать двенадцатых длины карты. Потрясающе!

Можно ли добиться нависания, превышающего длину одной карты? Да, можно. Прямо следующая карта — четвертая сверху — при осторожном сдвигании добавит к нависанию одну восьмую длины карты. Я не буду проделывать все эти арифметические выкладки — или поверьте мне, или сделайте их сами, подобно тому как мы это только что сделали для трех первых карт. Вот чему равно полное нависание с четырьмя картами: одна вторая плюс одна четверть плюс одна шестая плюс одна восьмая — все вместе одна и одна двадцать четвертая длины карты (см. рисунок 1.5).

Рисунок 1.5.

Если продолжать действовать в том же духе и целиком использовать всю колоду, то за счет пятидесяти одной карты накопится нависание, равное

¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₆ + ¹/₈ + ¹/₁₀ + ¹/₁₂ + ¹/₁₄ + ¹/₁₆ + … + ¹/₁₀₂

(самую нижнюю карту сдвигать бессмысленно). Такая сумма на самую толику меньше, чем 2,25940659073334. Таким образом, мы добились полного нависания более чем в две с четвертью длины! (Рис. 1.6.)

Рисунок 1.6.

Я был студентом, когда узнал про это. Дело было в летние каникулы, и я занимался подготовкой к следующему семестру, пытаясь несколько опередить программу. Свой вклад в оплату обучения я вносил, нанимаясь на время каникул рабочим на стройки — в Англии в те времена профсоюзы не сильно контролировали этот сектор. На следующий день после того, как я узнал про фокус с картами, мне предстояло в одиночку прибраться во внутренней части строящегося здания, где пачками хранились сотни больших квадратных потолочных панелей. Часа два я с забавлялся со стопкой из 52 панелей, пытаясь добиться нависания в две с четвертью панели. Проходивший мимо прораб застал меня глубоко погруженным в созерцание гигантской колышущейся башни, составленной из потолочных панелей, и он, я думаю, утвердился в своих худших подозрениях относительно целесообразности найма студентов.

Есть одна вещь, которую очень любят делать математики и которая оказывается очень плодотворной, — это экстраполировать, т.е. брать конкретную задачу и распространять ее выводы на более широкую область.

В нашей конкретной задаче у нас было 52 карты. Оказалось, что полное нависание составило более чем две с четвертью карты.

Но почему 52 карты? А если бы было больше? Сотня? Миллион? Триллион? А предположим, что у нас имелся бы неограниченный запас карт — какого максимального нависания мы смогли бы тогда добиться?

Сначала взглянем на нашу постепенно растущую формулу. При 52 картах полное нависание составило

¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₆ + ¹/₈ + ¹/₁₀ + ¹/₁₂ + ¹/₁₄ + ¹/₁₆ + … + ¹/₁₀₂.

Поскольку все знаменатели здесь четные, можно вынести одну вторую за скобки и переписать в виде

¹/₂•(1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ¹/₈ + … + ¹/₅₁).

Если бы у нас была сотня карт, то полное нависание составляло бы

¹/₂•(1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ¹/₈ + … + ¹/₉₉).

Имея в распоряжении триллион карт, мы добились бы нависания величиной в

¹/₂•(1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ¹/₈ + … + ¹/_999999999999).

Чтобы посчитать такое, требуется проделать немало арифметических действий, но у математиков есть способы спрямлять подобные вычисления, и я могу твердо заверить вас, что полное нависание в случае сотни карт будет лишь чуточку меньше, чем 2,58868875882, а для триллиона карт — на самую толику меньше, чем 14,10411839041479.

Полученные числа удивительны вдвойне. Во-первых, тем, что вообще удается добиться нависания в 14 с лишним карточных длин, пусть даже для этого понадобится триллион карт. Четырнадцать карточных длин — это более четырех футов, если брать стандартные игральные карты. А во-вторых, если об этом подумать, тем, что числа оказываются именно такими, а не большими. При переходе от 52 к 100 картам мы заработали дополнительное нависание лишь в одну треть длины карты (даже чуть-чуть меньше, чем в одну треть). А затем переход к триллиону — а колода в триллион стандартных игральных карт будет иметь такую толщину, что покроет большую часть расстояния до Луны, — принес нам всего лишь одиннадцать с половиной карточных длин.

Ну а если бы число карт у нас было неограниченным? Какого максимального нависания мы могли бы достичь? Замечательный ответ на этот вопрос состоит в том, что максимального нависания просто нет. Если в запасе имеется достаточное число карт, можно сделать нависание сколь угодно большим. Желаете получить нависание в 100 карточных длин? Пожалуйста, возьмите что-то около 405 709 150 012 598 триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов карт — колоду, высота которой намного превысит размеры известной нам части Вселенной. А можно сделать и большее нависание, и еще большее — настолько большое, насколько захотите, если только у вас есть желание иметь дело с невообразимо большим числом карт. Нависание в миллион карт? Пожалуйста, но, правда, количество необходимых для этого карт будет таким большим, что только для записи этого числа понадобится нормального размера книга — в этом числе будет 868 589 цифр.

Теперь нам предстоит сосредоточить свое внимание на выражении в скобках, а именно

1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ….

Математики говорят, что это — ряд; ряд означает неограниченно продолжающееся суммирование членов, каждый из которых задается некоторым общим законом. В нашем случае члены ряда 1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄, ¹/₅, ¹/₆, ¹/₇, … — это обратные величины к обычным натуральным числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….

Ряд 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + … играет в математике достаточно важную роль, чтобы иметь собственное название. Он называется гармоническим рядом.

Подведем промежуточный итог. Складывая достаточно большое число членов гармонического ряда, можно получить сколь угодно большой результат. У этой суммы нет предела.

Грубый, но распространенный и доходчивый способ выразить то же самое — это сказать, что гармонический ряд суммируется к бесконечности:

1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + … = ?.

Хорошо воспитанных математиков учат морщиться при виде таких выражений; но я думаю, что с ними вполне можно иметь дело, если знать опасности, которые вас тут подстерегают. Леонард Эйлер, один из величайших математиков всех времен, использовал подобные выражения постоянно и весьма плодотворно. Но все же правильный, профессиональный математический термин, описывающий то, что здесь происходит, звучит так: гармонический ряд расходится.

Сказать-то я это сказал, но смогу ли я это доказать? Всем известно, что в математике каждый результат надо строго логически доказывать. Результат у нас такой: гармонический ряд расходится. Как его доказать?

Доказательство оказывается довольно простым и опирается только на самую элементарную арифметику. В Средние века его нашел французский ученый Никола Орем (ок. 1323-1382).[1] Орем заметил, что сумма ¹/₃ + ¹/₄ больше чем ¹/₂; равным образом и ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ¹/₈ также больше чем ¹/₂; то же верно и для суммы ¹/₉ + ¹/₁₀ + ¹/₁₁ + ¹/₁₂ + ¹/₁₃ + ¹/₁₄ + ¹/₁₅ + ¹/₁₆. Другими словами, будем брать сначала 2, потом 4, потом 8, потом 16 и т.д. членов гармонического ряда и группировать их вместе; получится бесконечное число таких групп, каждая из которых в сумме превосходит одну вторую. Полная сумма, следовательно, должна быть бесконечной. Не стоит переживать из-за того, что размеры этих групп растут очень быстро: «в бесконечности» полно места, и неважно, сколько групп мы уже образовали, следующая все равно окажется на своем месте и к нашим услугам. Всегда есть возможность добавить еще одну а это и означает, что сумма растет неограниченно.

Данное Оремом доказательство расходимости гармонического ряда, по-видимому, пролежало невостребованным в течение нескольких столетий. Пьетро Менголи передоказал этот же результат в 1647 году с помощью другого метода. Сорок лет спустя Иоганн Бернулли дал доказательство еще одним, третьим, способом, а вскоре после того старший брат Иоганна Якоб предложил четвертый способ. Судя по всему, ни Менголи, ни братья Бернулли не знали о найденном в XIV веке доказательстве Никола Орема — одном из хорошо забытых шедевров средневековой математики. Тем не менее доказательство Орема остается наиболее прямым и изящным среди всех доказательств, и его, как правило, и приводят в современных учебниках.

В рядах изумляет не то, что некоторые из них расходятся, а то, что так делают не все ряды. Когда мы складываем бесконечное число слагаемых, разве мы не вправе ожидать, что и ответ будет бесконечен? То, что это не всегда так, легко проиллюстрировать.

Возьмем линейку, на которой делениями отмечены четверти, восьмые, шестнадцатые и т.д. (чем дальше, тем лучше — я изобразил линейку, на которой отмечены доли в одну шестьдесят четвертую). Поставим остро заточенный карандаш у самого первого деления на линейке — нуля. Подвинем карандаш на один дюйм вправо. Теперь карандаш указывает на деление, обозначающее один дюйм, а переместили карандаш мы также на один дюйм (рис. 1.7).

Рисунок 1.7.

Вслед за тем сдвинем карандаш вправо еще на полдюйма (рис. 1.8).

Рисунок 1.8.

Далее сдвинем еще на четверть дюйма вправо, потом на восьмую часть дюйма, потом на шестнадцатую, на тридцать вторую и на шестьдесят четвертую. Где теперь находится карандаш, видно на рисунке 1.9.

Рисунок 1.9.

А полное расстояние, на которое переместился карандаш, равно

1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ¹/₁₆ + ¹/₃₂ + ¹/₆₄

что, как нетрудно посчитать, составляет 1⁶³/₆₄. Понятно, что если продолжать в том же духе, то мы всякий раз будем оказываться все ближе и ближе к двухдюймовой отметке. Точно на нее мы никогда не попадем, но нет предела тому, насколько близко к ней можно подобраться. Можно приблизиться менее чем на миллионную долю дюйма, можно на триллионную; или на триллион триллион триллион триллион триллион триллион триллион триллион триллионную. Этот факт выражается таким образом:

1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ¹/₁₆ + ¹/₃₂ + ¹/₆₄ + ¹/₁₂₈ + … = 2. (1.1)

Здесь имеется в виду, что слева от знака равенства выполняется суммирование бесконечного числа членов.

Важно осознать разницу между гармоническим рядом и этим новым рядом. В случае гармонического ряда сложение бесконечного числа слагаемых дало бесконечный результат. Здесь же сложение бесконечного числа слагаемых дает ответ 2. Гармонический ряд расходится. Наш новый ряд сходится.

В гармоническом ряде есть свое очарование, и он имеет прямое отношение к главной теме данной книги — Гипотезе Римана. Но вообще-то математиков больше интересуют сходящиеся ряды, нежели расходящиеся.

Предположим теперь, что вместо того, чтобы передвигаться направо на один дюйм, потом на полдюйма, потом на четверть дюйма и т.д., мы будем менять направление: дюйм вправо, полдюйма влево, четверть дюйма вправо, одна восьмая дюйма влево… После семи шагов мы попадем в точку, показанную на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10.

С математической точки зрения сдвиг налево означает сдвиг направо на отрицательную величину, и поэтому наши передвижения выражаются такой суммой:

1 ? ¹/₂ + ¹/₄ ? ¹/₈ + ¹/₁₆ ? ¹/₃₂ + ¹/₆₄,

что на самом деле равно ⁴³/₆₄. В действительности несложно доказать — и мы это сделаем в одной из последующих глав, — что если продолжать прибавлять и вычитать до бесконечности, то результат будет таким:

1 ? ¹/₂ + ¹/₄ ? ¹/₈ + ¹/₁₆ ? ¹/₃₂ + ¹/₆₄ ? ¹/₁₂₈ + … = ²/₃. (1.2)

Теперь представим себе, что вместо линейки с делениями, обозначающими половины, четверти, восьмые, шестнадцатые и т.д. доли дюйма, в руках у нас линейка с делениями в третьи, девятые, двадцать седьмые, восемьдесят первые и т.д. доли. Другими словами, вместо половинок, половин от половин, половин от половин от половин… у нас нанесены трети, трети от третей, трети от третей от третей и т.д. Будем теперь упражняться в том же, что и раньше, — переносить карандаш сначала на дюйм, потом на треть дюйма, потом на одну девятую, потом на одну двадцать седьмую (рис. 1.11).

Рисунок 1.11.

Совсем несложно убедиться, что если продолжать такую операцию до бесконечности, то получится полная сумма в 1¹/₂ дюйма. Другими словами,

1 + ¹/₃ + ¹/₉ + ¹/₂₇ + ¹/₈₁ + ¹/₂₄₃ + ¹/₇₂₉ + ¹/₂₁₈₇ + … = 1¹/₂. (1.3)

А можно, конечно, и на нашей новой линейке менять направление движения: направо на дюйм, налево на треть, направо на одну девятую, налево на одну двадцать седьмую и т.д. (рис. 1.12).

Рисунок 1.12.

Соответствующая арифметика, возможно, не так уж прозрачна, но, как бы то ни было, результат имеет вид

1 ? ¹/₃ + ¹/₉ ? ¹/₂₇ + ¹/₈₁ ? ¹/₂₄₃ + ¹/₇₂₉ ? ¹/₂₁₈₇ + … = ³/₄. (1.4)

Итак, у нас имеются четыре сходящихся ряда: первый (1.1) подкрадывается слева все ближе и ближе к 2, второй (1.2) приближается к ²/₃ попеременно то слева, то справа, третий (1.3) подбирается слева все ближе и ближе к 1¹/₂, а четвертый (1.4) приближается к ³/₄ попеременно то слева, то справа. А перед этим мы познакомились с одним расходящимся рядом — гармоническим.

При чтении математической литературы полезно знать, в какой области математики вы находитесь — какую часть из этого обширного предмета изучаете. Та область, где обитают бесконечные ряды, в математике называется анализом[2]. Обычно считается, что анализ занимается изучением бесконечного, т.е. бесконечно большого и бесконечно малого (инфинитезимального). Когда Леонард Эйлер — о котором будет много всего сказано ниже — в 1748 году опубликовал свой превосходный первый учебник по анализу, он назвал его просто Introductio in analys in infinitorum — «Введение в анализ бесконечного».

Однако понятия бесконечного и инфинитезимального привели в начале XIX века к возникновению серьезных проблем в математике и в конце концов были полностью сметены с дороги в ходе большой реформы математики. В современный анализ эти концепции не допускаются.^{A1} Но они застряли в словарном запасе математиков, и в этой книге я нередко буду использовать слово «бесконечность». Надо только помнить, что оно представляет собой просто удобное и выразительное сокращение для более строгих понятий. Каждое математическое утверждение, где присутствует слово «бесконечность», можно переформулировать, не используя этого слова.

Когда мы говорим, что сумма гармонического ряда равна бесконечности, на самом деле имеется в виду, что если задаться сколь угодно большим числом S, то сумма гармонического ряда[3] рано или поздно превысит S. Видите? Никаких «бесконечностей». Во второй трети XIX века анализ был целиком переписан на языке подобного рода. Если какое-то выражение нельзя переписать таким образом, то оно не допускается в современную математику. Далекие от математики люди иногда меня спрашивают: «Раз вы знаете математику, ответьте на вопрос, который меня всегда занимал: сколько будет бесконечность разделить на бесконечность?» На это я могу ответить только: «Вы произносите слова, которые не имеют никакого смысла. Это не математическая фраза. Вы говорите о „бесконечности“ так, как если бы это было число. Но это не число. С таким же успехом вы могли бы спросить „Сколько будет истина разделить на красоту?“ Я ничего не могу по этому поводу сказать. Я умею делить только числа, а „бесконечность“, „истина“, „красота“ — это не числа».

Каково же тогда современное определение анализа? Для наших целей, как мне кажется, подойдет такое определение: это изучение пределов. Понятие предела лежит в основе анализа. Например, все дифференциальное и интегральное исчисление, составляющее наиболее значительную часть анализа, основано на понятии предела.

Рассмотрим такую числовую последовательность: ¹/₁, ³/₂, ⁷/₅, ¹⁷/₁₂, ⁴¹/₂₉, ⁹⁹/₇₀, ²³⁹/₁₆₉, ⁵⁷⁷/₄₀₈, ¹³⁹³/₉₈₅, ³³⁶³/₂₃₇₈, …. Каждая следующая дробь получена из предыдущей по простому правилу: новый знаменатель равен сумме старого числителя и старого знаменателя, а новый числитель равен сумме старого числителя и удвоенного старого знаменателя. Эта последовательность сходится к квадратному корню из числа 2. Например, возведение в квадрат числа ³³⁶³/₂₃₇₈ дает ^11309769/_5654884, что равно 2,000000176838287…. Говорят, что предел этой последовательности равен v2.

Рассмотрим еще один пример последовательности: ⁴/₁, ⁸/₃, ³²/₉, ¹²⁸/₄₅, ⁷⁶⁸/₂₂₅, ⁴⁶⁰⁸/₁₅₇₅, ³⁶⁸⁶⁴/₁₁₀₂₅, ²⁹⁴⁹¹²/₉₉₂₂₅, …. Здесь N-й член последовательности получается так: если N четно, то умножаем предыдущий член на ^N/_{(N + 1)}, а если N нечетно, то умножаем предыдущий член на ^{(N + 1)}/_N. Такая последовательность сходится к числу ?. Последняя из приведенных дробей равна 2,972154… (данная последовательность сходится очень медленно).[4] А вот еще пример: 1¹, (1¹/₂)², (1¹/₃)³, (1¹/₄)⁴, (1¹/₅)⁵, … — эта последовательность сходится к числу, которое примерно равно 2,718281828459. Это необычайно важное число, и мы будем использовать его в дальнейшем.

Стоит заметить, что приведенные только что примеры — это примеры последовательностей, т.е. наборов чисел, записанных через запятую. Это не ряды, члены которых надо складывать. Но с точки зрения анализа ряд — это все-таки слегка замаскированная последовательность. Утверждение «ряд 1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ¹/₁₆ + ¹/₃₂ + … сходится к 2» математически эквивалентно такому утверждению: «последовательность 1, 1¹/₂, 1³/₄, 1⁷/₈, 1¹⁵/₁₆, 1³¹/₃₂, … сходится к 2». Четвертый член этой последовательности представляет собой сумму первых четырех членов ряда и т.д. (Название последовательности такого типа на математическом языке — последовательность частичных сумм данного ряда.) Аналогично, утверждение «гармонический ряд расходится» эквивалентно утверждению «последовательность 1, 1¹/₂, 1⁵/₆, 2¹/₁₂, 2¹⁷/₆₀, 2²⁷/₃₂, … расходится». В этой последовательности N-й член равен предыдущему плюс ¹/_N.

Все это относится к анализу, т.е. к изучению пределов — того, как именно числовая последовательность может приближаться к некоторому предельному числу, никогда точно его не достигая. Когда говорится, что последовательность продолжается неограниченно, имеется в виду, что, сколько бы членов мы уже ни выписали, всегда можно написать следующий. Когда говорится, что последовательность имеет предел, равный a, имеется в виду, что, какое бы малое число x мы ни взяли, начиная с некоторого момента каждый член последовательности будет отличаться от a на величину, меньшую, чем выбранное x. А если вы предпочитаете говорить «Последовательность стремится к бесконечности» или «Предел N-го члена при N, стремящемся к бесконечности, есть a», то вы вправе так выражаться, если вы сами осознаете, что это просто удобная фигура речи.

Традиционное деление на дисциплины внутри математики таково.

• Арифметика — наука о целых числах и дробях. Пример теоремы из арифметики: вычитание нечетного числа из четного дает в ответе нечетное число.

• Геометрия — наука о фигурах в пространстве — точках, линиях, кривых, трехмерных объектах. Пример теоремы: сумма углов треугольника на плоскости равна 180 градусам.

• Алгебра — использование абстрактных символов для представления математических объектов (чисел, линий, матриц, преобразований) и изучение правил, по которым эти символы можно комбинировать. Пример теоремы: для любых двух чисел x и y имеет место равенство (x + y)?(x ? y) = x² ? y².

• Анализ — наука о пределах. Пример теоремы: гармонический ряд расходится (т.е. неограниченно возрастает).

Кроме этого, в современной математике есть, конечно, много всего другого. Например, в ней есть теория множеств, созданная Георгом Кантором в 1874 году а есть «основания» — раздел, который в 1854 году усилиями англичанина Джорджа Буля отделился от классической логики и в котором исследуются логические основы всех математических концепций. Сами традиционные категории также разрослись и стали включать в себя целые новые темы — геометрия вобрала в себя топологию, алгебра — теорию игр и т.д. Еще до начала XIX века происходило значительное просачивание из одной области в другую. Например, тригонометрия (само слово было впервые употреблено в 1595 году) содержит в себе элементы и геометрии, и алгебры. В XVII веке Декарт арифметизировал и алгебраизировал значительную часть геометрии (правда, чисто геометрические доказательства в стиле Эвклида сохранили свою популярность до наших дней за их ясность, изящество и остроумие).

Как бы то ни было, четырехчленное деление сохраняет свою роль в качестве первоначальной ориентировки в математике. Эта классификация полезна и для понимания одного из величайших завоеваний математики XIX столетия, о котором мы далее будем говорить как о «великом соединении» — привязывании арифметики к анализу, что привело к созданию совершенно новой области исследований — аналитической теории чисел. Позвольте познакомить вас с человеком, который одной только публикацией статьи объемом в восемь с половиной страниц дал жизнь аналитической теории чисел, успешно развивающейся и поныне.

О Бернхарде Римане известно немного. Он не оставил никаких документов, позволяющих судить о его внутренней жизни, — за исключением того, что можно почерпнуть из его писем. Его современник и друг Рихард Дедекинд оказался единственным близким к Риману человеком, оставившим подробные воспоминания. Но и они занимают всего 17 страниц и проясняют не так много. Я не могу поэтому даже пытаться охватить в дальнейшем изложении всю личность Римана, но все-таки надеюсь, что читатель вынесет из этого рассказа нечто большее, чем просто имя. В данной главе описание научной деятельности Римана и всего, что с ней связано, сведено к минимуму; об этом мы поговорим более подробно в главе 8.

Сначала опишем время и место жизни нашего героя.

Решив, что Французская революция дезорганизовала нацию и сделала французов в силу пробудившихся в них республиканских и антимонархических идей недееспособными, враги Франции попытались извлечь пользу из сложившейся ситуации. В 1792 году огромные силы, в основном состоящие из австрийских и прусских войск, но включавшие и отряд из 15 тысяч французских эмигрантов, двинулись на Париж. К их удивлению, армия революционной Франции оказала сопротивление, навязав наступавшим артиллерийскую дуэль в густом тумане у деревни Вальми 20 сентября того года. Эдвард Кризи в своем классическом труде «Пятнадцать решающих битв в мировой истории» называет это битвой при Вальми.[5] Немцы называют ее канонадой при Вальми. Под тем или иным именем это событие часто берут за отметку, знаменующую начало серии войн, захлестнувших Европу в последующие 23 года. Эти войны известны как Наполеоновские, хотя есть своя логика в том, чтобы называть их (если бы такое название еще оставалось вакантным) Первой мировой войной, поскольку они в том числе включали столкновения в обеих Америках и на Дальнем Востоке. Когда все в конце концов завершилось мирным договором, выработанным на Венском конгрессе (8 июня 1815 года), Европа перешла в другой долгий (почти в столетие) период — период относительного мира.

Рисунок 9.3.

Затем (мы по-прежнему двигаемся на запад, добравшись теперь до рисунка 9.4) график взбирается на относительно скромную высоту (в действительности до 0,009159890…), а после этого поворачивает вниз и снова пересекает ось при s = ?4. График попадает в неглубокую впадину (?0,003986441…), а после нее снова взбирается вверх и пересекает ось при s = ?6. Еще один невысокий пик (0,004194…), спуск до пересечения с осью при s = ?8 и далее в несколько более глубокую впадину (?0,007850880…), затем пересечение с осью в точке ?10, после чего уже довольно заметный пик (0,022730748…), пересечение с осью при s = ?12, впадина поглубже (?0,093717308…), пересечение с осью при s = ?14 и т.д.

Рисунок 9.4.

Дзета-функция равна нулю при каждом отрицательном четном числе, а по мере продвижения на восток (рисунки от 9.5 до 9.10) последовательные пики и впадины быстро делаются все более и более значительными. Последняя показанная впадина расположена при s = ?49.587622654…, а глубина ее составляет около 305 507 128 402 512 980 000 000. Сами видите, как нелегко изобразить дзета-функцию на одном графике.

Рисунок 9.5.

Рисунок 9.6.

Рисунок 9.7.

Рисунок 9.8.

Рисунок 9.9.

Рисунок 9.10.

Ho как я получил все эти значения ?(s) для s, меньших 1? Мы уже видели, что бесконечный ряд из выражения (9.1) для этого непригоден. А что пригодно? Если бы ради спасения своей жизни мне пришлось вычислить значение ?(?7,5), как бы я к этому подступился?

Я не могу объяснить этого в полной мере, потому что такое объяснение требует слишком значительного погружения в математический анализ. Но я попробую передать общую идею. Сначала определим некоторую новую функцию, используя бесконечный ряд, слегка отличный от ряда в выражении (9.1). Это ?-функция; ? (читается «эта») — седьмая буква греческого алфавита. Определим ?-функцию как

Грубая прикидка подсказывает, что у этой функции перспективы сходимости лучше, чем у выражения (9.1). Вместо непрестанного прибавления чисел здесь мы по очереди то прибавляем, то вычитаем, так что каждое следующее число до некоторой степени сокращает вклад предыдущего. Так оно и выходит. Математики в состоянии доказать — хотя здесь мы этим заниматься не будем, — что этот новый бесконечный ряд сходится всегда, когда s больше нуля. Это существенное улучшение по сравнению с выражением (9.1), которое сходится, только когда s больше единицы.

Но какая нам от всего этого польза в отношении дзета-функции? Для начала заметим, что в силу элементарных алгебраических правил A ? B + C ? D + E ? F + G ? H + … равно (A + B + C + D + E + F + G + H + …) минус 2?(B + D + F + H + …). Поэтому функцию ?(s) можно переписать как

минус

Первая скобка — это, конечно, ?(s). Вторую скобку легко упростить, пользуясь 7-м правилом действий со степенями: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Таким же образом каждое из этих четных чисел можно разбить в произведение вида , после чего можно вынести  в качестве множителя перед всей скобкой. А что останется в скобке? Там останется ?(s)! Коротко говоря,

или, переписав это «наоборот» и слегка причесав, получаем

Вот. Это означает, что если нам удастся узнать какое-то значение ?(s), то мы немедленно будем знать и значение ?(s). А поскольку можно узнать значения ?(s) между 0 и 1, можно получить и значение ?(s) в этом промежутке, несмотря на то что «официальный» ряд для ?(s) там не сходится.

Пусть, например, s равно ¹/₂. Если сложить 100 членов ряда для ?(¹/₂), то получится 0,555023639…; если сложить 10 000 членов, получится 0,599898768…. В действительности значение ?(¹/₂) составляет 0,604898643421630370…. (Существуют определенные приемы позволяющие вычислять такое без необходимости сложения мириад членов.) Вооруженные всем этим, мы можем вычислить значение ?(¹/₂) оно оказывается равным ?1,460354508…, что выглядит очень правдоподобно, если судить по первому графику из приведенного выше набора.

Но задержимся на мгновение. Не устроили ли мы тут игру в наперстки с двумя бесконечными рядами, один из которых сходится при аргументе s = ¹/₂, а другой — нет? Ну, строго говоря, мы действуем не совсем по правилам, и я обошелся довольно безответственно с той математикой, на которой здесь все основано. Однако же я получил правильный ответ, причем этот фокус можно повторить для любого числа между нулем и единицей (не включая ее) и получить правильное значение для ?(s).

За исключением одного только s = 1, где ?(s) не имеет значения, мы можем теперь предъявить значение дзета-функции для любого числа s, большего нуля. А как насчет аргументов равных нулю или меньших нуля? Вот здесь все по-настоящему круто. Один из результатов в работе Римана 1859 года состоит в доказательстве формулы, впервые предложенной Эйлером в 1749 году, которая выражает ?(1 ? s) через ?(s). Таким образом, если мы желаем узнать, например, значение ?(?15), то надо просто вычислить значение ?(16) и подставить его в эту формулу. Это, правда, неслабая формула, и я привожу ее главным образом для полноты картин:[75]

Всюду здесь ? — это магическое число 3,14159265…, sin — добрая старая тригонометрическая функция синус (от аргумента, выраженного в радианах), а знак «!» обозначает факториальную функцию, упоминавшуюся уже в главе 8.iii. В математике, изучаемой в старших классах, вы встречались только с факториальной функцией, аргументами которой являются положительные целые числа: 2! = 1?2, 3! = 1?2?3, 4! = 1?2?3?4 и т.д. В высшей математике, однако, есть способ определить факториальную функцию для всех чисел, кроме отрицательных целых, для чего применяется прием расширения области определения вполне в духе того, которым мы только что пользовались. Например, (¹/₂)! оказывается равным 0,8862269254… (на самом деле — половине квадратного корня из ?), (?¹/₄)! = 1,2254167024… и т.д. Отрицательные целые создают проблемы в этой формуле, но это не критические проблемы, и я ничего о них говорить не буду. На рисунке 9.11 изображена полная факториальная функция для аргументов от ?4 до 4.

Рисунок 9.11. Полная факториальная функция x!.

Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции ?(s) для любого числа s за единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает ?(1 ? s) через ?(s); если вы знаете, как посчитать ?(16), то вы можете тогда вычислить ?(?15); если вам известна ?(4), то вы можете вычислить ?(?3); если вам известна ?(1,2), то вы можете выделить ?(?0,2); если вам известна ?(0,6), то вы можете вычислить ?(0,4); если вам известна ?(0,50001), то вы можете вычислить ?(0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, — это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между ?(1 ? s) и ?(s), потому что если s = ¹/₂, то 1 ? s = s. Очевидно — я хочу сказать, очевидно из рисунка 5.4 и рисунков с 9.3 по 9.10, — что дзета-функция не симметрична относительно аргумента ¹/₂. И тем не менее ее значения при аргументах слева от ¹/₂ связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.

Снова посмотрев на набор графиков, можно заметить кое-что еще: ?(s) равна нулю всегда, когда s — отрицательное четное число. А если при каком-то аргументе значение функции равно нулю, то этот аргумент называется нулем данной функции. Итак, верно следующее:

?2, ?4, ?6 и все остальные отрицательные четные целые числа являются нулями дзета-функции.

А взглянув на утверждение Гипотезы Римана, мы увидим, что в ней говорится про «все нетривиальные нули дзета-функции». Неужели мы у цели? Увы, нет: отрицательные четные числа и в самом деле нули дзета-функции, но все они до единого — тривиальные нули. Чтобы добраться до нетривиальных нулей, нам надо нырнуть поглубже.

В качестве добавления к этой главе еще чуть разовьем наш анализ, применив к выражению (9.2) два результата из тех, что были сформулированы в главе 7. Выпишем это выражение снова:

1/(1 ? x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + …

Все, что я собираюсь сделать, — это проинтегрировать обе части. Поскольку интеграл от 1/x равен ln x, я надеюсь, что не слишком злоупотреблю вашим доверием, если скажу (не останавливаясь на доказательстве), что интеграл от 1/(1 ? x) равен ?ln(1 ? x). С правой частью равенства все еще проще. Можно просто интегрировать один член за другим, используя правила интегрирования степеней, сформулированные в таблице 7.2. Результат (впервые полученный сэром Исааком Ньютоном) имеет вид:

?ln(1 ? x) = x + x²/2 + x³/3 + x⁴/4 + x⁵/5 + x⁶/6 + ….

Будет чуть удобнее, если обе части умножить на ?1:

ln(1 ? x) = ?x ? x²/2 ? x³/3 ? x⁴/4 ? x⁵/5 ? x⁶/6 ? … (9.3)

Несколько странно, хотя для наших целей и несущественно, что выражение (9.3) верно при x = ?1, тогда как выражение (9.2), с которого мы начали, при этом неверно. Действительно, при x = ?1 выражение (9.3) дает следующий результат:

ln 2 = 1 ? ¹/₂ + ¹/₃ ? ¹/₄ + ¹/₅ ? ¹/₆ + ¹/₇ ? … (9.4)

Отметим сходство с гармоническим рядом. Гармонический ряд… простые числа… дзета-функция…. Во всей этой области господствует логарифмическая функция.

Правая часть выражения (9.4) несколько своеобразна, хотя этого и не заметить невооруженным взглядом. Она в действительности является стандартной (из учебников) иллюстрацией того, насколько хитрой вещью являются бесконечные ряды. Этот ряд сходится к ln 2, что составляет 0,6931471805599453…, но только если складывать члены именно в этом порядке. Если складывать в другом порядке, ряд может сойтись к чему-нибудь другому — или может даже вообще не сойтись![76]

Рассмотрим, например, такую перестановку членов ряда: 1 ? ¹/₂ ? ¹/₄ + ¹/₃ ? ¹/₆ ? ¹/₈ + ¹/₅ ? ¹/₁₀ ? …. То же самое, но с расставленными скобками: (1 ? ¹/₂) ? ¹/₄ + (¹/₃ ? ¹/₆) ? ¹/₈ + (¹/₅ ? ¹/₁₀) ? …, т.е. ¹/₂(1 ? ¹/₂ + ¹/₃ ? ¹/₄ + ¹/₅ ? …). Сумма ряда с переставленными членами равна половине сумм исходного ряда![77]

Ряд из выражения (9.4) — не единственный, обладающий таким настораживающим свойством. Сходящиеся ряды разбиваются на две категории: те, у которых есть такое свойство, и те, у которых его нет. Ряды, подобные рассмотренному, сумма которых зависит от порядка суммирования, называются «условно сходящимися». Ряды, ведущие себя получше и сходящиеся к одному и тому же пределу независимо от того, как переставлены слагаемые, называются «абсолютно сходящимися». Большая часть важных в анализе рядов сходятся абсолютно. Тем не менее для нас первоочередной интерес будет представлять еще один ряд, сходящийся лишь условно, подобно ряду из выражения (9.4). Мы встретимся с ним в главе 21.

Работа 1859 года «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» была единственной публикацией Бернхарда Римана по теории чисел, а также единственной из всех написанных им работ, которая вовсе не содержала никаких геометрических идей.

Эта блестящая и основополагающая статья была, однако, неудовлетворительна в некоторых отношениях. Прежде всего, имелась сама великая Гипотеза, которую Риман оставил висеть в воздухе (где она пребывает и поныне). Его собственные слова после формулировки утверждения, эквивалентного Гипотезе, были такими:

Хотелось бы, конечно, иметь строгое доказательство этого факта, но после нескольких недолгих бесплодных попыток (einigen fluchtigen vergeblichen Versuchen) я отложил поиск такого доказательства, поскольку этого не требуется для непосредственных целей моего исследования.

Вполне разумно. Поскольку Гипотеза не имела решающего значения для развиваемых им идей, Риман оставил ее без доказательства. Но это был наименьший из недостатков той статьи. Некоторые другие вещи в ней утверждаются, но их тщательного доказательства не приводится — причем это относится и к основному результату работы! (Сам этот результат мы рассмотрим в одной из последующих глав.)

Бернхард Риман являл собой весьма чистый случай интуитивного математика. Это требует пояснений. Личность математика состоит из двух главных компонент: логической и интуитивной. Обе присутствуют в каждом хорошем математике, но при этом или одна, или другая значительно преобладает. Типичным примером исключительно логического математика является немецкий аналитик Карл Вейерштрасс (1815-1897), создавший свои великие работы в третьей четверти XIX века. Чтение работ Вейерштрасса подобно наблюдению за скалолазом. Каждый шаг, прежде чем будет предпринят последующий, твердо закрепляется доказательством. Пуанкаре говорил, что ни одна из вейерштрассовых книг не содержит ни одного рисунка. На этот счет на самом деле имеется одно исключение, но так или иначе логически выверенное построение работ Вейерштрасса весьма характерно именно для логического математика: каждый тщательно обоснован перед тем, как осуществляется переход к следующему, и при этом не делается никаких воззваний к геометрической интуиции.

Риман воплощал в себе полную противоположность. Если Вейерштрасс — это скалолаз, методично отвоевывающий у утеса каждый дюйм, то Риман — скорее акробат на трапеции, бесстрашно взлетающий в воздух в уверенности (которая зрителю может показаться опасным самообманом), что, когда он достигнет точки своего назначения где-то посреди неба, там будет за что ухватиться. Совершенно ясно, что Риман обладал прекрасно развитым зрительным воображением, а также и то, что его мозг совершал прыжки к результатам настолько мощным, элегантным и плодотворным, что он не мог заставить себя остановиться для доказательства. Он живо интересовался философией и физикой, и набор концепций, накопленных им в результате длительного знакомства с этими двумя дисциплинами, — поток ощущений через наши органы чувств, организация этих ощущений в формы и понятия, поток электричества через проводник, движения жидкостей и газов — просматривается за фасадом его математики.

Поэтому работу 1859 года почитают не за ее логическую чистоту и уж заведомо не за ее ясность, а за одну лишь оригинальность примененного Риманом метода и за величайший размах и мощь его результатов, которые уже обеспечили и продолжают обеспечивать его коллег-математиков материалом на десятилетия работы.

О том, что последовало за статьей 1859 года, пишет в своей книге о дзета-функции[78] Хэролд Эдвардс:

В течение первых 30 лет после опубликования статьи Римана в этой области не наблюдалось практически никакого прогресса. Это выглядело так, как будто именно столько времени потребовалось математическому миру для переваривания римановых идей. Затем в течение промежутка примерно в 10 лет Адамар, фон Мангольдт и де ля Валле Пуссен добились успехов в доказательстве как основной формулы Римана для ?(x), так и теоремы о распределении простых чисел, а также ряда других родственных теорем. Во всех этих доказательствах идеи Римана сыграли ключевую роль.

Работа Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» имела прямое отношение к попыткам доказать Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ). Если бы выяснилось, что Гипотеза Римана верна, то ТРПЧ была бы получена в качестве следствия. Однако Гипотеза представляет собой намного более сильный результат, чем ТРПЧ, и последнюю можно было бы доказать, исходя и из более слабых предпосылок. Основное значение работы Римана для доказательства ТРПЧ состояло в том, что она предоставила средства — результаты, позволяющие глубоко проникнуть в суть аналитической теории чисел, — с помощью которых и была проложена дорога к доказательству.

Это доказательство появилось в 1896 году. Период, прошедший между выходом работы Римана и доказательством ТРПЧ, был отмечен следующими вехами.

• Вырос объем практических знаний о простых числах. Были опубликованы более длинные таблицы простых чисел, среди которых выделяются таблицы Кулика, представленные Венской академии наук в 1867 году, — там были приведены делители всех чисел до 100 330 200. Эрнст Майсель разработал хитрый способ вычисления ?(x) — функции, которая считает количество простых чисел. В 1871 году он нашел правильное значение для ?(100 000 000). В 1885 году он вычислил значение ?(1000 000 000), которое оказалось на 56 меньше правильного результата (хотя это и обнаружили лишь 70 лет спустя).

• В 1874 году Франц Мертенс добился скромного результата, касающегося чисел обратных к простым, используя методы, которые заимствовали кое-что как у Римана, так и у Чебышева. Ряд ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₅ + ¹/₇ + ¹/₁₁ + ¹/₁₃ + … + ¹/_p + … расходится, хотя и более медленно, чем гармонический ряд. Явно выписанная сумма ~ ln(ln p).

• В 1881 году Дж. Дж. Сильвестр из Университета Джонса Хопкинса в Соединенных Штатах улучшил найденные Чебышевым границы отклонений (см. главу 8.iii) с 10 до 4 процентов.

• В 1884 году датский математик Йорген Грам опубликовал статью под названием «Исследования числа простых чисел, меньших данного числа» и получил за нее премию Датского математического общества. (Статья не содержала существенного прогресса, но заложила основы для полученных позднее результатов Грама, которые мы рассмотрим в должный момент.)

• В 1885 году голландский математик Томас Стилтьес заявил, что у него есть доказательство Гипотезы Римана. Подробности этой истории мы опишем чуть ниже.

• В 1890 году французская Академия наук объявила, что главная премия будет присуждена за работу по теме «Определение числа простых чисел, меньших заданной величины». Крайним сроком подачи работ на конкурс был июнь 1892 года. В объявлении было ясно сказано, что академия приветствует работу, которая прояснила бы некоторые доказательства, отсутствовавшие в работе Римана 1859 года. Молодой француз Жак Адамар направил статью о представлении некоторых классов функций в терминах их нулей. Риман опирался на подобный результат при выводе своей формулы для ?(x); именно на этом (математические детали будут подробнее объяснены позже) зиждится связь между простыми числами и нулями дзета-функции, но Риман оставил этот результат без доказательства. Ключевые идеи Адамар взял из своей диссертации, которую защитил в том же году. Он и получил премию.

• В 1895 году немецкий математик Ханс фон Мангольдт доказал основной результат работы Римана, в котором утверждается связь между ?(x) и дзета-функцией, и преобразовал его к более простому виду. Тогда стало ясно, что если бы была доказана некая теорема, намного более слабая, чем Гипотеза Римана, то применение ее к формуле фон Мангольдта дало бы доказательство ТРПЧ.

• В 1896 году два работавших назависимо математика — уже упомянутый Жак Адамар и бельгиец Шарль де ля Валле Пуссен — доказали этот более слабый результат и, следовательно, ТРПЧ.

Уже говорилось, что любой, кто бы ни сумел доказать ТРПЧ, тем самым снискал бы себе бессмертие. Это предсказание едва не сбылось: Шарль де ля Валле Пуссен умер за пять месяцев до своего 96-летия, а Жак Адамар — за два месяца до 98-летия.[79] Они не знали — по крайней мере, достаточно долго не знали, — что соревнуются друг с другом; и, поскольку оба они опубликовали свои результаты в один и тот же год, со стороны математиков было бы нечестно отдавать предпочтение кому-то одному из них за то, что он получил этот результат первым. Как и в случае восхождения на Эверест, они разделили славу.

Судя по всему, де ля Валле Пуссен опубликовался чуть раньше. Статья Адамара — она называлась Sur la distribution des zeros de la fonction ?(s) et ses consequences arithmetiques[80] — вышла в бюллетене Французского математического общества. Адамар добавил замечание о том, что он узнал о результате де ля Валле Пуссена, когда читал гранки своей статьи. И далее: «Однако я полагаю, что никто не сможет отрицать, что преимущество моего метода состоит в его простоте».

Этого никто никогда и не отрицал. Доказательство Адамара проще; из того факта, что он знал об этом до того, как его статья была напечатана, следует, что он не только слышал о результате де ля Валле Пуссена, но и имел возможность ознакомиться с ним. Однако поскольку их работы с очевидностью независимы, поскольку никогда не было ни малейшего намека на нечестную игру и поскольку и Адамар, и де ля Валле Пуссен были настоящими джентльменами, эти одновременные доказательства не стали причиной вражды или полемики. Я удовлетворюсь тем, что скажу, как говорит и весь математический мир: в 1896 году француз Жак Адамар и бельгиец Шарль де ля Валле Пуссен, работая независимо, доказали ТРПЧ.

Доказательство ТРПЧ является великой поворотной точкой в нашей истории — настолько важным моментом, что в соответствии с ним я разбил книгу на две части. Во-первых, оба доказательства 1896 года опирались на некоторый результат в духе Гипотезы. Если бы или Адамар, или де ля Валле Пуссен смогли доказать справедливость Гипотезы, то справедливость ТРПЧ была бы остановлена немедленно. Они, разумеется, этого не смогли, но им этого и не требовалось. ТРПЧ — это орех, а Гипотеза Римана — молоток. ТРПЧ следует из более слабого (и безымянного) утверждения:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, меньшую единицы.

Если доказать такое, то можно воспользоваться основным результатом Римана в форме, которую ему придал фон Мангольдт, и тем самым доказать ТРПЧ. Именно это и сделали двое наших ученых в 1896 году.

Во-вторых, как только ТРПЧ перестала застилать горизонт, Гипотеза стала видна в полный рост. В ней был сосредоточен следующий по очереди ключевой открытый вопрос в аналитической теории чисел; и по мере того, как математики стали уделять ей внимание, выяснилось, что из доказательства ее справедливости последовало бы огромное множество вещей. Если ТРПЧ была гигантским Белым Китом теории чисел в XIX столетии[81], то Гипотеза Римана заняла ее место в XX. Даже больше чем просто заняла ее место, поскольку она зачаровала не только специалистов по теории чисел, но и математиков всех сортов и даже, как мы увидим, физиков и философов.

И в-третьих — сколь бы тривиальным ни казалось такое обстоятельство, подобные вещи некоторым образом откладываются в людских головах, — имелось чистое совпадение, определяемое тем, что идея о ТРПЧ зародилась в конце одного столетия (Гаусс, 1792), а доказана теорема была в конце следующего (Адамар и де ля Валле Пуссен, 1896). И как только с этой теоремой дело было решено, внимание математиков переключилось на Гипотезу Римана, которая и занимала их в течение всего следующего столетия — столетия, которое завершилось, так и не принеся никакого доказательства. И это подтолкнуло любознательных исследователей широкого профиля к написанию книг о ТРПЧ и Гипотезе в начале очередного столетия!

Чтобы наполнить сформулированные выше пункты социальным, историческим и математическим содержанием, я кратко расскажу о Жаке Адамаре; мой выбор определен отчасти тем, что среди многих действующих лиц он играл наиболее важную роль, а отчасти тем, что для меня он — привлекательная и располагающая к себе личность.

В политическом отношении XIX столетие выдалось для Франции не очень счастливым. Если считать вместе со ста днями Наполеона (а также если простить мне незначительные ошибки округления), то с 1800 по 1899 год государственное устройство этой древней нации выглядит следующим образом.

• Первая республика (4¹/₂ года)

• Первая империя (10 лет)

• Реставрация монархии (1 год)

• Реставрация империи (3 месяца)

• Ререставрация монархии (33 года)

• Вторая республика (5 лет)

• Вторая империя (18 лет)

• Третья республика (29 лет)

И даже те 33 года монархии прерывались революцией и сменой династии.

Для французского народа во второй половине столетия величайшей национальной трагедией было поражение, которое французская армия потерпела от Пруссии в 1870 году; затем последовали осада Парижа пруссаками зимой 1870/71 года и мирный договор, по которому Пруссии были уступлены две провинции и выплачена колоссальная денежная контрибуция. Сам этот договор вызвал краткую, но ожесточенную гражданскую войну. Разумеется, последствия всего этого для Франции были огромны. Нация вступила во Франко-прусскую войну империей, а вышла из нее республикой.

Особенно оказалась затронута французская армия. В течение всей оставшейся части столетия, да и позднее, этому гордому институту пришлось не только терпеть унижение из-за поражении 1870 года; в армии воплотились и все надежды нации на реванш и возвращение потерянных земель. Кроме того, армия стала оплотом старомодного французского патриотизма: молодые люди из аристократических, католических и богатых буржуазных семей массово шли служить офицерами. Это склоняло офицерский корпус к консерватизму в старом французском духе «трона и алтаря», до некоторой степени изолируя его от основного направления, в котором развивалась французская жизнь в эти десятилетия. А жизнь шла по направлению к непоседливой и открытой торговой и промышленной республике, занимавшей ведущее положение в искусствах и науках, являвшей средоточие блеска, остроумия и веселья, — к восхитительной, блистательной Франции времен Belle Epoque[82], одной из высших точек в развитии западной цивилизации.

Жак Адамар ребенком пережил осаду Парижа, а дом, который занимала его семья, сожгли во время гражданской войны. Родился он в декабре 1865 года во франко-еврейской семье. Его отец преподавал в старших классах школы, а мать давала уроки игры на фортепиано. (Среди ее учеников был Поль Дюка, написавший симфоническую поэму «Ученик чародея», столь хорошо знакомую поклонникам Диснея.[83]) После получения диплома и недолгого преподавания в школе Адамар в 1892 году защитил диссертацию и в том же году женился. В 1893 году они с женой переехали в Бордо, где он получил должность преподавателя в университете. Их первый ребенок, Пьер, родился в октябре 1894 года, и они занялись созданием одной из тех любящих и деятельных буржуазных семей, где все тесно связаны друг с другом и где каждому полагается играть на музыкальном инструменте и выбрать себе карьеру в бизнесе или науке или же стать врачом или каким-нибудь другим специалистом.

В те дни, как и в наше время, Франция была высокоцентрализованным государством. Получить преподавательскую должность в Париже было необычайно сложно, и подразумевалось, что молодые ученые должны прежде в течение нескольких лет пройти стажировку в провинции. Для Адамара парижский шанс открылся в 1897 году. В том году он вернулся в столицу, оставив свое профессорство в Бордо — его повысили от преподавателя до полного профессора всего за два года, — и стал доцентом в Коллеж де Франс, что представляло собой продвижение с точки зрения престижа — т.е. шаг вверх.

Те шесть лет с 1892-го по 1897-й заложили основу карьеры и славы Адамара. Он был математиком широкого профиля и получал оригинальные результаты в нескольких различных областях. Как правило, студенты, специализирующиеся по математике, впервые встречают его имя в связи с теоремой о трех окружностях в теории функций комплексной переменной — результат, полученный Адамаром в 1896 году; о нем можно прочитать в любой хорошей энциклопедии по математике.[84]

Там будет написано, что Адамар был последним из универсальных математиков — из тех, другими словами, кто охватывал весь предмет целиком, — позже этот самый предмет разрастется до такой степени, что это станет просто невозможно. Однако то же самое будет сказано и о Гильберте, Пуанкаре, Клейне и, наверное, еще об одном или двух математиках того периода. Я не знаю, кто больше заслуживает звания универсального математика, хотя и подозреваю, что правильный ответ — Гаусс.

Получение доказательства ТРПЧ относится к бордоскому периоду жизни Адамара. Отступим чуть в сторону и взглянем на непосредственное математическое окружение, в котором это доказательство было получено.

Главной фигурой во французской математике того времени был Шарль Эрмит (1822-1901) — профессор анализа в Сорбонне до своего ухода на пенсию в 1897 году. Одно из его творений будет играть роль в нашей истории (глава 17.v).

Начиная с 1882 года Эрмит вел математическую переписку с более молодым математиком, голландцем по имени Томас Стилтьес.[85] В 1885 году Стилтьес опубликовал в Comptes Rendus[86] заметку, где утверждал, что доказал нашу теорему 15.1 — результат более сильный, чем Гипотеза Римана, из которого, если Стилтьес действительно его доказал, следует справедливость Гипотезы (однако неверность его не будет опровержением Гипотезы, см. главу 15.v). Однако в той заметке Стилтьес не привел доказательства. Примерно в то же время он написал Эрмиту и в письме повторил свое утверждение, однако добавил: «Мое доказательство слишком сильно закручено; я попробую упростить его, когда вернусь к работе над этими вопросами». Стилтьес был честным человеком и серьезным, уважаемым математиком — его именем назван один вид интеграла. Ни у кого не было причин сомневаться, что у него действительно имелось доказательство, Стилтьес наверняка и сам так считал.

Тем временем работу Римана 1859 года тщательно исследовали и придали его рассуждениям более аккуратный вид. Удостоенный премии результат Адамара также представлял собой значительный шаг в этом направлении. Далее, в 1895 году в Берлине (Германия в то время была империей, правил которой кайзер Вильгельм I) немецкий математик Ханс фон Мангольдт расчистил значительную часть еще не пройденных дебрей и доказал основной результат Римана о связи функции ?(x), подсчитывающей количество простых чисел, с нулями дзета-функции.

Оставались только два ключевых вопроса: Гипотеза и ТРПЧ. К этому времени все заинтересованные наблюдатели понимали, что Гипотеза — более сильное утверждение. Если бы Гипотезу (молоток) удалось доказать, то ТРПЧ (орех) была бы получена как следствие, без всяких дополнительных усилий. Но ТРПЧ можно было установить и исходя из более слабых результатов, без привлечения Гипотезы, причем доказательство ТРПЧ не означало бы справедливости Гипотезы.

Итак, что было делать математику, если учесть широкую распространенность убеждения, что Стилтьес разделался как с первой, так и со второй проблемой? Начать работать над доказательством более слабого результата — путь к которому благодаря работе по расчистке, которую провели Адамар и фон Мангольдт, был теперь довольно ясен? Но стоило ли затрудняться из-за этого, если более сильный результат Стилтьеса по поводу Гипотезы может появиться в тот момент, когда работа сделана лишь наполовину? С другой стороны, к середине 1890-х годов с момента сделанного Стилтьесом заявления прошло 10 лет, и многих, должно быть, начали одолевать сомнения. Эти сомнения никак не касались личности Стилтьеса; в математике нередки случаи, когда математик верит, что доказал некий результат, а потом, просматривая доказательство, обнаруживает (или, чаще, обнаруживают его коллеги), что в нем содержится логический изъян. Так случилось с первым доказательством Последней теоремы Ферма, данным Эндрю Уайлсом в 1993 году. Такое происходит при более драматических обстоятельствах с героем, от лица которого ведется повествование в написанном в 2000 году романе Филиберта Шогта «Дикие числа». Никто не стал бы думать о Стилтьесе хуже, если бы с ним случилось то, что сплошь и рядом случалось в карьерах математиков. Но где все же это доказательство?

И Шарль де ля Пуссен в Лувенском университете в Бельгии, и Жак Адамар в Бордо взялись за более скромную задачу и вскоре добились успеха. Они доказали ТРПЧ. Тем не менее оба, должно быть, гадали, имели ли смысл их усилия, поскольку, даже если бы их статьи были опубликованы раньше статьи Стилтьеса, его гораздо более сильный результат затмил бы их более слабые достижения. Действительно, Адамар пишет в своей статье: «Стилтьес доказал, что все мнимые нули функции ?(s) имеют (в согласии с предсказанием Римана) вид ¹/₂ + ti, где t вещественно; однако его доказательство не было опубликовано. Я просто намереваюсь показать, что ?(s) не может иметь нулей с вещественной частью, равной 1».

Доказательство Стилтьеса так и не было опубликовано; Стилтьес умер в Тулузе в последний день 1894 года. Адамар наверняка знал об этом в ходе работы над своей статьей в 1895-1896 годах, так что он, по-видимому, ожидал появления доказательства в ранее не опубликованных результатах среди наследия Стилтьеса. Но оно так и не появилось. Тем не менее до самого недавнего времени не исключалось, что Стилтьес мог доказать Гипотезу. Однако в 1985 году Эндрю Одлыжко и Херман те Риле доказали результат, который ставит теорему 15.1 под серьезное сомнение. Вера в потерянное стилтьесово доказательство Гипотезы Римана после этого, как я понимаю, в значительной мере улетучилась.^{A3}

Как уже отмечалось, одним из последствий национальной трагедии 1870–1871 годов стало усиление консервативных элементов в офицерской прослойке французской армии, а также определенное дистанцирование этого класса от основного направления развития французского общества. Это повлекло за собой одно колоссального размера последствие в последние годы XIX века — дело Дрейфуса.

Безнадежно пытаться в нескольких абзацах разобраться и восстановить справедливость в этом знаменитом деле. Оно более десятилетия находилось в центре французской общественной жизни, да и поныне может еще распалить страсти. По этому поводу имеется обширная литература, а также фильмы, романы и по крайней мере один телевизионный мини-сериал (на французском). В кратчайшем изложении: офицер Генерального штаба французской армии Альфред Дрейфус, происходивший из богатой еврейской буржуазной семьи, был арестован в конце 1894 года по обвинению в измене. Его судили закрытым военным трибуналом, осудили, разжаловали и пожизненно заключили в тюрьму на Чертовом острове во Французской Гвиане. Дрейфус, который громко заявлял о своей невиновности, не имел никаких явных мотивов для измены — он всегда проявлял безупречный патриотизм и при этом никогда не нуждался в деньгах.

В марте 1896 года полковник Жорж Пикар из французской войной разведки обратил внимание на то, что почерк, которым был написан документ, послуживший основным свидетельством против Дрейфуса, очень похож на почерк не столько Дрейфуса, сколько другого офицера, майора Эстерхази, человека неуравновешенно характера и широких привычек, хронически обремененного карточным долгами. Пикар сообщил об этом вышестоящим командирам. Ему приказали ничего больше об этом не рассказывать а затем перевели его на французскую пограничную заставу в Северной Африке. На следующий год (1897) брат Дрейфуса Матье узнал о находке Пикара и потребовал, чтобы Эстерхази отдали под суд. Эстерхази был оправдан военным трибуналом в январе 1898 года. Писатель Эмиль Золя без промедления опубликовал открытое письмо, знаменитое «Я обвиняю», адресованное президенту республики Феликсу Фору, где заклеймил ряд людей, вовлеченных в осуждение Дрейфуса, как соучастников чудовищного подлога и несправедливости. Против Золя завели уголовное дело о клевете в адрес военного министерства.

Вслед за тем дело Дрейфуса получило широкую огласку, поглощая внимание общества вплоть до момента окончательного и официального провозглашения невиновности Дрейфуса в июле 1906 года. Имели место горячие судебные разбирательства, драматические повороты сюжета, самоубийство одного из заговорщиков и иные многочисленные захватывающие события. (Возможно, самым захватывающим событием, пусть и не вытекающим непосредственно из дела Дрейфуса, однако же повлиявшим на его ход, была смерть президента Фора «на месте преступления» со своей любовницей в одной из дальних спален Елисейского дворца: у него случился обширный инсульт, и в предсмертной агонии он схватил несчастную женщину за волосы с такой силой, что она не могла самостоятельно освободиться. Ее стоны привлекли слуг во дворце, которые освободили даму, одели ее и вытолкали через черный ход.)

Так случилось, что Жак Адамар был троюродным братом жены Альфреда Дрейфуса, урожденной Люси Адамар. Дело Дрейфуса, таким образом, касалось и его лично. В дополнение к этому личному касательству оно поставило перед всеми французскими евреями важные вопросы самосознания и лояльности. До дела Дрейфуса большинство французской еврейской буржуазии — люди типа Адамаров и Дрейфусов — считали себя полностью ассимилированными, патриотически настроенными французами, которые по стечению обстоятельств были евреями. Однако где-то в глубине общества шевелился антисемитизм, причем не только в армии. Антисемитская полемическая книга «Еврейская Франция» имела большой издательский успех в 1886 году; широкое распространение имела и антисемитская газета «Свободное слово». Дело Дрейфуса вытащило все это на поверхность и заставило французских евреев задуматься, не пребывают ли они в мире собственных иллюзий. Но даже если оставить в стороне фактор антисемитизма, был совершен акт чудовищной несправедливости, и ряды дрейфусаров — тех, кто агитировал в пользу обесчещенного капитана, — включали неисчислимое количество граждан-неевреев, возмущенных лживостью армейских чинов и неспособностью политических властей к действию.

До дела Дрейфуса Адамар, судя по всему, был человеком аполитичным и слегка не от мира сего, кем-то вроде «рассеянного профессора» — тип, часто встречающийся среди великих математических умов. Этот шаблон получил широкое распространение, и в нем и вправду что-то есть. Из-за чисто абстрактной природы материала, с которым они работают, а также из-за необходимости по многу часов подряд сосредотачиваться на нем математикам свойственна тенденция некоторого отрешения от более житейских дел. Нет, конечно, ничего невозможного и в отсутствии у математика подобной отстраненности, и имеется множество контрпримеров. Рене Декарт был солдатом и придворным. (Он смог пережить первое, но не второе.[87]) Карл Вейерштрасс проводил свои университетские годы за выпивкой и потасовками и вышел из университета без диплома. Джон фон Нейман, один из величайших математиков XX века, был тем еще гулякой, увлекавшимся красивыми женщинами и быстрыми машинами.

Жак Адамар, по свидетельствам, не относился к числу упомянутых контрпримеров. Даже если не принимать во внимание апокрифы, которые всегда окружают великих, можно утверждать, что Адамар был не в состоянии завязать галстук без посторонней помощи. Его дочь утверждала, что он не умел считать далее четырех: «После этого наступало n». Так что его участие в деле Дрейфуса говорит о глубине чувств, которые всколыхнуло в нем это событие расшевелившее даже таких людей, которые, как он, являли собой воплощенное беспристрастие. Адамар стал страстным дрейфусаром. Он активно участвовал в Лиге прав человека, которую основал Золя. Третьего сына Адамаров, который родился в феврале 1899 года, назвали Матье-Жоржем — Матье в честь брата Дрейфуса, который был его самым неутомимым защитником, а Жоржем в честь полковника Пикара, чья несгибаемая твердость и спокойная нацеленность на правду были ключевыми факторами в окончательном оправдании Дрейфуса (которого Пикар лично не переносил).

Адамар сохранил общественную активность в течение всей своей последующей жизни, которая была не только исключительно долгой, но и необычайно деятельной и продуктивной. Была она сполна отмечена и трагедиями. Великие войны XX века отняли у него всех трех сыновей. Двое старших погибли при Вердене, с интервалом в три месяца один после другого; Матье-Жорж был убит в 1944 году во время службы в войсках свободной Франции в Северной Африке. В горе и отчаянии после Первой мировой войны Адамар обратился к пацифизму и Лиге Наций. Он содействовал избранию правительства Народного фронта в 1936-1938 годах. Как и многих, даже более искушенных, его до некоторой степени захватили коммунизм и Советский Союз.[88] Изгнанный из Парижа немецким наступлением в 1940 году, он в течение четырех лет преподавал в Колумбийском университете в США. Он повсюду путешествовал, читал лекции и встречался со всеми. Он был увлеченным натуралистом, собравшим музейного уровня коллекцию папоротников и грибов. Он одним из первых поддержал Еврейский университет в Иерусалиме (основанный в 1925 году). Среди многих написанных им книг имеется «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» (1945)[89] — книга, которая все еще заслуживает прочтения благодаря глубокому пониманию автором процесса мышления математиков; некоторые из высказанных там мыслей я использовал в данной книге. У себя дома Адамар организовал любительский оркестр; Альберта Эйнштейна, который был его другом на протяжении всей жизни, приглашали туда в качестве скрипача. В течение 68 лет он был женат на одной и той же женщине. Жаку было 94 года, когда она умерла. После этого он боролся за жизнь в течение двух лет; но вслед за тем силы его духа исчерпала смерть его любимого внука из-за несчастного случая в горах, и через несколько месяцев он умер, не дожив лишь немного до своего 98-летия.

Остановившись на Жаке Адамаре, я поддался собственным симпатиям — теплым чувствам к приятному человеку и большому математическому таланту. Это, однако, никоим образом не умаляет моего почтения к другим математикам, внесшим вклад в прояснение великой работы Римана и доказательство ТРПЧ.[90] К концу XIX столетия математический мир перешел от эры, когда поистине великих успехов мог достичь великий ум, работающий в одиночку, к эре, когда математика стала коллективным предприятием, в котором работа даже наиболее блестящих исследователей основывается на работе современников и питается ею.

Одним из признаний этого факта стало устройство периодических международных конгрессов математиков. Первое такое собрание состоялось в Цюрихе в августе 1897 года. Жена Адамара как раз ожидала первого ребенка, а потому Адамар там не присутствовал. Он направил свою работу, с тем чтобы ее прочитал его друг Эмиль Пикар. (Интересно заметить, что как раз в то время в 40 милях от Базеля происходил первый Сионистский конгресс, вызванный, по крайней мере отчасти, делом Дрейфуса.)

2-й конгресс математиков прошел в Париже летом 1900 года, и намерение состояло в том, чтобы проводить конгресс каждые четыре года. Однако у Истории имелись собственные планы. Конгресс не проводился в 1916-м, равно как и в 1940, 1944 и 1948 годах. Система их проведения возродилась с 1950 года, когда конгресс состоялся в Кембридже, штат Массачусетс. Адамар, конечно, получил приглашение, но из-за его просоветских склонностей ему сначала отказали в визе для въезда в США. Потребовалось ходатайство коллег-математиков и личное вмешательство Трумэна чтобы обеспечить его приезд в Гарвард. (Во время написания этой книги, в начале 2002 года, идут приготовления к 24-му конгрессу этим летом в Пекине — всего лишь второму конгрессу, проводимому за пределами Европы, России и Северной Америки.[91])

Первый математический конгресс XX века состоялся в Париже с 6 по 12 августа 1900 года, и это был один из тех конгрессов, о которых все помнят. Парижский конгресс навсегда останется связан с именем Давида Гильберта — немецкого математика, работавшего в Геттингене — университете Гаусса, Дирихле и Римана. Хотя ему было всего 38 лет, Гильберт уже имел репутацию одного из выдающихся математиков своего времени.

Утром 8 августа в актовом зале Сорбонны Гильберт выступал с докладом о «Математических проблемах» перед примерно двумястами делегатами конгресса, среди которых был и Жак Адамар. Цель Гильберта состояла в том, чтобы обратить мысли коллег-математиков к главным проблемам, которые ставило перед ними новое столетие. Ради этой цели он предложил их вниманию несколько наиболее важных тем, требующих исследования, и задач, требующих решения. Он собрал эти темы и задачи в 23 пункта, восьмым из которых значилась Гипотеза Римана.

С этой речи математика XX века началась всерьез.

Примечания:

1

Никола Орем (Nicole d'Oresme) был не только математиком, но и естествоиспытателем, философом, физиком, астрономом и экономистом, а также воспитателем Дофина, будущего короля Карла V. (Примеч. перев.)

2

Стандартным русским словосочетанием является также математический анализ (или матанализ, как говорят, например, все те студенты, которые не называют его просто матаном). В переводе в подавляющем большинстве случаев оставлен просто «анализ», чего достаточно для передачи сути дела. Соответственно, прилагательное «аналитический» означает «[изучаемый или выраженный] средствами анализа». (Примеч. перев.)

3

Точнее, сумма некоторого числа членов гармонического ряда. (Примеч. перев.)

4

То есть для того, чтобы приблизиться к пределу — в данном случае к числу ? — с хорошей точностью, надо брать члены последовательности с достаточно большими номерами. (Примеч. перев.)

5

Силы французской армии «Север» под командованием Франсуа Дюмурье и французской армии «Центр» под командованием Франсуа-Кристофа Келлермана остановили продвижение армии под командованием герцога Брауншвейгского Карла Вильгельма Фердинанда. Артиллерийское сражение оказалось тактически безрезультатным, но стратегически важным как доказательство жизнеспособности Французской революции. Книга «Пятнадцать решающих битв в мировой истории» вышла в 1851 г. (Примеч. перев.)

6

Этот исторический факт я усвоил, когда ходил в Англии в школу, с помощью следующей песенки викторианских времен:

Георг был Первый трусом; даже
Второй был ненамного гаже.
И не сыскал никто на свете
Достойных черт в Георге Третьем.
Когда ж Георг Четвертый помер —
То, к счастью, был последний номер.

((Пер. М. Визеля.))

На самом деле Георги на этом не закончились — в XX веке их было еще двое. (Здесь и далее не отмеченные особо примечания принадлежат автору.)

7

И математик, один из создателей дифференциального и интегрального исчисления (в частности, автор современного обозначения для интеграла). (Примеч. перев.)

8

Другой мощный подъем Эльбы произошел в 1962 г. и вызвал значительные жертвы и разрушения в районе Вендланд. После этого возвели систему крупных дамб. В августе 2002 г., как раз во время завершения моей работы над книгой, Эльба снова вышла из берегов. Однако сооруженные в 1962 г. дамбы выдержали напор, и регион пострадал меньше других, расположенных выше по течению.

9

Эрвин Нейеншвандер — профессор истории математики в Цюрихском университете. Он является главным авторитетом по жизни и творчеству Бернхарда Римана; он издал письма Римана. Я использовал в этой книге результаты его исследований. Я также многое взял из двух единственных изданных на английском книг, в которых удалось найти сколько-нибудь обстоятельный рассказ о Римане: «Риман, топология и физика» Михаила Монастырского (перевод 1998 г., выполненный Роджером Куком, Джеймсом Кингом и Викторией Кинг) и «Бернхард Риман, 1826-1866» Детлефа Лаугвитца (перевод 1999 г., выполненный Абе Шенитцером). Хотя это математические биографии — т.е. в них больше математики, чем биографических фактов, — обе книги позволяют составить хорошее представление о самом Римане и о его времени и содержат много ценных наблюдений. (См.: Монастырский М.И. Бернхард Риман. Топология. Физика. М.: Янус-К, 1999. — Примеч. перев.)

10

Еще бы не изматывали. 38 миль по прямой — это 10 часов ходьбы быстрым шагом.

11

Ганновер стал королевством только в 1814 г. До этого его правители носили титул курфюрста, означавший их право участвовать в выборах императора Священной Римской империи. Священная Римская империя прекратила свое существование в 1806 г.

12

Эрнст-Август был предпоследним королем Ганновера. В 1866 г. это королевство стало частью Прусской империи, что оказалось поворотным моментом в создании современной Германии. (Носивший титул герцога Камберлендского Эрнст-Август был пятым сыном Георга III. Королева Виктория была дочерью его старшего брата Эдуарда, герцога Кентского, умершего в 1828 г. — Примеч. перев.)

13

Оценки разнятся, но Гаусса почти всегда ставят в число первых трех — как правило, вместе с Ньютоном и Эйлером или Архимедом.

14

Генрих Вебер и Рихард Дедекинд подготовили первое издание в 1876 г. Самое последнее издание «Собрания трудов», составленное Рагаваном Нарасимханом, вышло в 1990 г. Кстати, по-немецки «собрание трудов» — Gesamelte Werke, и эти слова так часто встречаются в математической литературе, что, по моим наблюдениям, англоговорящие математики употребляют их по-немецки, совершенно не отдавая себе в этом отчета.

15

Абелева функция — это многозначная функция, получаемая при обращении интегралов определенного вида. Данное название не имеет широкого распространения в наше время. Мы упомянем многозначные функции в главе 3, теорию функций комплексной переменной в главе 13, а обращение интегралов — в главе 21.

16

Используя уже утвердившийся у нас американизм — «полным профессором». В этих же терминах «экстраординарный профессор» — это Assistant Professor, что до некоторой степени соответствует российскому доценту. (Примеч. перев.)

17

Вот только один пример неожиданного появления числа e. Возьмем случайное число, заключенное между 0 и 1. Теперь возьмем другое и прибавим его к первому. Продолжим так поступать, накапливая случайные числа. Сколько в среднем случайных чисел потребуется, чтобы сумма оказалась больше, чем 1? Ответ: 2,71828….

18

Одно из великих математических открытий Античности, сделанное Пифагором или одним из его учеников около 600 г. до P.X., состояло в том, что не всякое число есть целое или дробь. Например, квадратный корень из 2, без сомнения, не является целым. Грубая арифметика показывает, что он лежит где-то между 1,4 (которое в квадрате дает 1,96) и 1,5 (которое в квадрате дает 2,25). Это, однако, и не дробь. Доказательство таково. Пусть S обозначает множество положительных целых чисел n, для которых выполнено такое свойство: nv2 — также положительное целое число. Если множество S не пусто, в нем есть наименьший элемент. (Любое непустое множество положительных целых чисел имеет наименьший элемент.) Обозначим этот наименьший элемент буквой k. Теперь образуем число u = (v2 ? 1)k. Легко видеть, что (i) u меньше, чем k, (ii) u — положительное целое и (iii) uv2 — также положительное целое, так что (iv) u лежит в множестве S. Это противоречие, поскольку мы определили k как наименьший элемент из S, и, следовательно, предположение, из которого мы исходили, — что S не пусто — должно быть ложным. Следовательно, множество S пусто. Следовательно, нет положительного целого числа n, для которого nv2 — положительное целое число. Следовательно, v2 — не дробь. Число, которое не является ни целым, ни дробным, называется «иррациональным», поскольку оно не есть отношение (ratio) двух целых чисел.

19

Правило знаков: минус умножить на минус дает плюс. Многие люди застревают в арифметике именно на этом месте. Они спрашивают: «Что это значит — умножить отрицательное на отрицательное?» Лучшее объяснение, какое мне приходилось встречать, принадлежит Мартину Гарднеру. Оно таково. Рассмотрим большую аудиторию, в которой находятся два типа людей: хорошие и плохие. Определим «сложение» как «приглашение людей в аудиторию». Определим «вычитание» как «удаление людей из аудитории». Определим «положительный» как «хороший» (имея в виду «хороших людей»), а «отрицательный» — как «плохой». Прибавление положительного числа означает, что в аудиторию приходит сколько-то хороших, что несомненно повышает в ней уровень «хорошести». Прибавление отрицательного числа означает, что в аудиторию приходят плохие парни, что понижает суммарный уровень «хорошести». Вычитание положительного числа означает, что наружу выходит сколько-то хороших, и суммарный уровень «хорошести» понижается. Вычитание отрицательного числа означает уход нескольких плохих, в результате чего суммарная «хорошесть» повышается. Таким образом, прибавление отрицательного числа — это все равно что вычитание положительного, а вычитание отрицательного — все равно что прибавление положительного. Умножение — это просто кратное сложение. Минус три умножить на минус пять? Попросим выйти пятерых плохих парней. Повторим это три раза. Результат? Суммарная «хорошесть» увеличилась на 15… (Когда я проверил это на шестилетнем Дэниеле Дербишире, он сказал: «А что, если ты попросишь плохих парней выйти, а они не выйдут?» Философ-моралист в процессе становления!)

20

В отличие от распространенного американского обозначения log принятое у нас обозначение ln уже содержит напоминание не только о логарифме (буква l), но и о том, что это натуральный (т.е. в некотором смысле естественный) логарифм (буква n). Заметим попутно, что «стандартные» функции типа логарифма записываются, как правило, без скобок вокруг аргумента, если этот аргумент достаточно прост (например, выражается одной буквой N или x). (Примеч. перев.)

21

Георг был последним королем Ганновера. После сделанного в 1866 г. неудачного выбора, на чьей стороне воевать в австро-прусской войне, это королевство было в том же году поглощено Пруссией. Медаль, по-видимому, была отлита лишь к столетию Гаусса в 1877 г.

22

Среди разнообразных обстоятельств, позволявших герцогу притязать на славу, стоит, пожалуй, отметить, что он был отцом Каролины Брауншвейгской, вышедшей замуж за английского принца-регента. Брак оказался несчастным, и Каролина уехала из Англии. Но когда принц взошел на трон под именем Георга IV, она вернулась и предъявила свои права в качестве королевы. Это привело к незначительному конституционному кризису и одновременно к значительному увеселению публики по поводу стеснительного положения, в которое попал король, а также из-за довольно надменного характера его королевы, ее своеобразных личных привычек и вопиющих связей. Немалой популярностью пользовалась песенка:

Мадам, мы умоляем Вас
Оставить блуд, покинуть нас;
Но если выбирать одно —
Вы нас покиньте все равно.

((Пер. М. Визеля.))

Одна из теток герцога по материнской линии вышла замуж за императора Священной Римской империи и родила Марию-Терезию, великую императрицу Габсбургского дома. Другая вышла за Алексея Романова и стала матерью Петра II, номинального царя, в то самое время, когда Леонард Эйлер сходил с корабля в Санкт-Петербурге (раздел VI этой главы). Стоит только углубиться в генеалогию всех этих мелких германских правителей, как уже нельзя остановиться.

23

Не забыл ли я упомянуть, что, будучи из ряда вон выходящим математическим гением и первоклассным физиком, Гаусс был еще и блестящим астрономом, первым, кто правильно вычислил орбиту астероида?

24

После кометы Галлея — вторая комета, последовательные зафиксированные появления которой были после трудоемких вычислений связаны с одним и тем же космическим телом. (Примеч. перев.)

25

Чтобы узнать, является ли простым некоторое число N, надо просто делить его по очереди на числа 2, 3, 5, 7, … до тех пор, пока или одно из них не разделит N нацело, что будет означать, что N не простое, или… или что? Как узнать, когда остановиться? Ответ: остановиться надо, когда простое, на которое вы собрались разделить, оказывается больше, чем vN.Если, скажем, N равно 47, то vN = 6,85565…, так что надо проверить только делимость на 2, 3 и 5. Если ни одно из них не делит 47, то, значит, 47 — простое. Почему не надо проверять 7? Потому что 7?7 = 49, так что, если бы число 7 точно делило 47, частное было бы каким-то числом, меньшим 7. Аналогично, v701000 равен 837,2574. Последнее простое число ниже этого равно 829, а следующее простое выше этого есть 839. Если бы 839 делило 701000, то частное было бы числом, меньшим 839 — или некоторым простым, меньшим 839 (которое, следовательно, уже было проверено), или же составным, равным произведению еще меньших простых сомножителей…

26

Лежандр умер в нищете из-за того, что своей принципиальной позицией разгневал политических покровителей. Мне неловко, что я представил его здесь как вечно сердитого и слегка комического персонажа. Лежандр (1752-1833) был прекрасным математиком, одним из лучших во втором ряду, и в течение многих лет получал очень ценные результаты. Его «Элементы геометрии» были главным элементарным учебником по этому предмету в течение более чем столетия. Говорят, что именно эта книга побудила Эвариста Галуа — человека с трагической судьбой (от лица которого ведется повествование в романе Тома Пециниса «Французский математик») — выбрать своим занятием математику. Для нашего рассказа более существенно, что его книгу «Теория чисел» — переименованное третье издание упомянутых «Очерков» — школьный учитель дал почитать юноше Бернхарду Риману, который вернул ее менее чем через неделю со словами «Поистине прекрасная книга. Я теперь знаю ее наизусть». В книге было 900 страниц.

27

Русское издание: М.: Просвещение, 1979. (Примеч. перев.)

28

О числе Эйлера-Маскерони очень хорошо рассказано в главе 9 «Книги чисел», написанной Джоном Конуэем и Ричардом Гаем. Хотя я толком не описал его в данной книге, очень внимательный читатель заметит, как число Эйлера-Маскерони мелькнет за кадром в главе 5.

29

На математическом факультете того английского университета, где я учился, всем студентам старших курсов следовало пройти начальный курс немецкого. Тех, кто, как я, изучал немецкий в школе, отсылали в соседнюю Школу славянских и восточноевропейских исследований, чтобы учить русский, который наши наставники считали наиболее важным для математиков языком после немецкого. Вот вам наследие Петра.

30

Строго говоря, Эрнст Иоганн Бирон (латыш. Ernests Johans Birens, нем. Ernst Johann von Buhren, 1690–1772) был не немцем, а курляндцем, т.е. выходцем с территории современной Латвии; но его родным языком действительно был немецкий. (Примеч. перев.)

31

Я взял эту историю из захватывающего рассказа об отношениях Фридриха с Вольтером написанного в 1915 г. английским остроумцем и сатириком Литтоном Стрэчи вошедшего в его сборник «Книги и характеры: французы и англичане».

32

Латынь Эйлера представляет собой упрощенный, освобожденный от всего лишнего вариант этого языка, приспособленный не для похвальбы тем, как пишущий овладел стилем времен Августа (что Эйлер, наверное, мог бы при желании сделать — он знал «Энеиду» наизусть), но для максимально ясной, с минимумом словесных украшений, передачи идей тем читателям, кто более заинтересован в содержании, нежели обращает внимание на форму. Нам представится пример его латыни в главе 7.v.

33

Швейцарский математик Сэмюэль Кениг обвинил (и, возможно, справедливо) президента Берлинской академии наук Пьера Мопертюи в плагиате работы Лейбница. Мопертюи созвал заседание академии с целью объявить Кенига лжецом, что собравшиеся и исполнили. Стрэчи пишет по этому поводу: «Члены академии были напуганы, ведь их пенсии зависели от благорасположения президента. И даже знаменитый Эйлер не постеснялся принять участие в этом абсурдном и постыдном осуждении».

34

Первое английское издание вышло в 1795 г., первое американское — в 1883-м. По каким-то причинам сейчас эту книгу можно найти только в дорогих изданиях для коллекционеров. (См.: Эйлер Л. Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских историях. СПб.: Наука, 2002. — Примеч. перев.)

35

Сформулирована Пьетро Менголи в 1644 г. Менголи в то время был профессором в университете Болоньи, так что правильнее было бы говорить «болонская задача». Но именно Якоб Бернулли впервые предложил эту задачу вниманию широкой общественности, и название «базельская задача» закрепилось.

36

¹⁸v7776 = 1,64495160…. (Примеч. перев.)

37

log_e x = ln x. (Примеч. перев.)

38

Если форма кривой кажется странно знакомой, то это потому, что сложение друг с другом N членов гармонического ряда (глава 1.iii) дает число, близкое к ln N. В действительности:

1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + … + ¹/_N ~ ln N,

и профиль той едва держащейся колоды карт, если его повернуть на 90 градусов и отразить в зеркале, и есть график функции ln x.

39

Замечание: математики по соглашению используют букву ? (это эпсилон, пятая буква греческого алфавита) для обозначения «некоторого очень маленького числа».

40

Доказательство принадлежит греко-французскому математику Роже Апери, которому в тот момент исполнился 61 год — это по поводу мнения, что математики никогда ничего не создают после тридцатилетнего возраста. В честь этого достижения сумма — которая в действительности равна 1,2020569031595942854… — стала известна как «число Апери». Оно имеет некоторые приложения в теории чисел. Случайным образом выберем три положительных целых числа. Какова вероятность, что у них нет общего делителя? Ответ: около 83 процентов, точнее, 0,83190737258070746868… — число, обратное числу Апери.

41

Очевидно, кроме первого. Читатель, вознамерившийся тем или иным способом проверять утверждения автора, должен делать скидку на подобные, как часто горят математики, «вольности речи». В серьезных математических статьях их, как правило, не меньше, чем в данной книге. (Примеч. перев.)

42

Речь идет о «шестидесятилетнем цикле» — системе, основанной на комбинации десятеричного и двенадцатеричного циклов. Десятеричный цикл называется «Небесные стволы», а двенадцатеричный — «Земные ветви». Система также известна как «гань чжи» — букв. «стволы и ветви». (Примеч. перев.)

43

Что-то вроде «Сколько подарка ты получил?». Невозможность адекватного перевода попытаемся компенсировать следующей историей: когда сыну переводчика этой книги тоже было около 6 лет, он часто спрашивал «Сколько много?» вместо простого «сколько», а как-то раз, выучив в походе, что палатки бывают одноместные, двухместные и т.д., спросил: «Эта палатка какая местная?» (Примеч. перев.)

44

И шесть ртов людей. Определенная логика состоит в том, что, например, для плоских предметов (дверь, стол, лист бумаги…) используется одно счетное слово, а для длинных предметов (река, улица, веревка, рыба, ноги…) — другое (с исходным значением «лента»). (Примеч. перев.)

45

Обсуждающееся употребление во множественном или единственном числе можно сравнить (правда, поверхностно, а не по сути) с высказываниями типа «К нам поступила одна информация, потом еще две информации». (Примеч. перев.)

46

Характерно, что Вильям Ф. Бакли (1925-2008) был виднейшим публицистом, всю жизнь отстаивавшим консервативные политические ценности. Сейчас русскому читателю гораздо больше знаком его сын Кристофер Бакли, автор сатирических романов «Здесь курят» и «День бумеранга». (Примеч. перев.)

47

Русский язык, на котором образованные люди говорили в начале XX века, отчетливо демонстрировал тот же эффект в сочетании «третьего дня» (которое к настоящему моменту практически полностью вытеснилось некогда простонародным «позавчера»). (Примеч. перев.)

48

Английское издание: Uncle Petros and Goldbach's Conjecture. Bloomsbury USA, 2000. Роман впервые вышел на греческом в 1992 г. Как отмечает Доксиадис, в ясных математических терминах эту гипотезу впервые сформулировал Эйлер. (Роман переведен на все основные языки мира и имел успех более чем в 20 странах. Русский перевод: Доксиадис А. Дядя Петрос и проблема Гольдбаха, М.: ACT, 2002. — Примеч. перев.)

49

Относительно вещей типа гипотезы Гольдбаха и Последней теоремы Ферма вы могли бы сказать: «Но это же не арифметика, а теория чисел». Эти два понятия состояли друг с другом в интересных отношениях. Выражение «теория чисел» восходит по крайней мере к Паскалю (1654, в письме к Ферма), но до XIX столетия оно четко не отделялось от арифметики. Великий классический труд Гаусса по теории чисел назывался Disquisitiones Arithmeticae («Арифметические исследования», лат.) (1801). По-видимому, в некоторый момент ближе к концу XIX века термин «арифметика» окончательно закрепился за основными действиями, изучаемыми в начальной школе, тогда как термин «теория чисел» стали использовать в отношении более глубоких изысканий профессиональных математиков. Затем, примерно в середине XX века, произошел поворот в обратном направлении. Быть может, все началось с вышедшей в 1952 г. книги Хэролда Девенпорта «Высшая арифметика», представлявшей собой блестящее популярное изложение серьезной теории чисел; ее заглавие, как эхо, стало время от времени употребляться в качестве синонима для «теории чисел», восходящей по крайней мере к 40-м гг. XIX века. А далее, в некоторый момент в 70-х гг. (тут я исхожу уже из собственных впечатлений), среди специалистов по теории чисел стало считаться особым шиком называть свою сферу деятельности просто «арифметикой». Книга Жана-Пьера Серра «Курс арифметики» (1973) представляет собой курс по теории чисел для старшекурсников и аспирантов, охватывающий такие предметы, как модулярные формы, p-адические поля, операторы Гекке, и (да!) дзета-функцию. Не могу сдержать улыбки, представляя себе сверхзаботливую мамашу, которая выбирает на полке эту книгу для своего третьеклашки, чтобы помочь ему освоить умножение столбиком.

50

Джордж Херберт Ли Мэлори — участник первых трех британских экспедиций к Эвересту. В июне 1924 г., при попытке осуществить первое в истории восхождение на Эверест, пропал вместе с напарником в верхней части северо-восточного гребня в ходе финальной стадии восхождения (или, возможно, уже на спуске). Тело Мэлори было обнаружено в 1999 г. Достигли они вершины или нет, остается загадкой. (Примеч. перев.)

51

Ларри (Louis Feinberg), Керли (Jerome Lester Horwitz), Moy (Harry Moses Horwitz) — американские комедийные актеры первой половины XX века, более всего известные благодаря многочисленным короткометражным фильмам-сценкам с их участием. (Примеч. перев.)

52

Как произносить фамилию Dirichlet — вопрос непростой. Поскольку он был немцем, произносить следовало бы как Дирихлет. Англоговорящие так никогда не делают. Они используют или французское произношение Диришле, или нечто среднее — Дирихле. (Это последнее — стандартное русское произношение. — Примеч. перев.)

53

Константин Каратеодори, хотя и грек по происхождению, родился, получил образование и умер в Германии. Кантор родился в России — у него была русская мать, — но переехал в Германию в возрасте 11 лет и прожил там практически всю свою жизнь. Миттаг-Лефлер был шведом. Согласно математическому фольклору, именно он виноват в отсутствии Нобелевской премии по математике. Рассказывают, что у него был роман с женой Нобеля, а Нобель об этом узнал. История неплохая; правда, Нобель не был женат.

54

Кузина Феликса — Оттилия — вышла замуж за великого немецкого математика Эдуарда Куммера. Их внук Рональд Персиваль Спрейг был соавтором «теории Спрейга-Гранди» в развитой в XX веке теории игр… Мне следует побороть искушение развивать эту тему дальше — это все равно что прослеживать генеалогические линии всяких немецких князей. Другая связь с Мендельсоном возникнет в главе 20.v.

55

Математика допускает бесконечные произведения точно так же, как она допускает бесконечные суммы. Как и бесконечные суммы, некоторые из бесконечных произведений сходятся к определенному значению, а некоторые расходятся к бесконечности. Данное произведение сходится, когда s больше 1. Например, при s = 3 оно равно

⁸/₇?²⁷/₂₆?¹²⁵/₁₂₄?³⁴³/₃₄₂?¹³³¹/₁₃₃₀?²¹⁹⁷/₂₁₉₆?⁴⁹¹³/₄₉₁₂?⁶⁸⁵⁹/₆₈₅₈?….

Сомножители становятся все ближе и ближе к 1, причем делают это очень быстро, так что каждое следующее умножение — это умножение на нечто, лишь на самую малую малость отличающееся от 1, что, конечно, меняет результат очень незначительно. Прибавим к чему-нибудь нуль: никакого эффекта. Умножим что-нибудь на единицу: никакого эффекта. В бесконечной сумме члены должны достаточно быстро приближаться к нулю, чтобы прибавление их сказывалось мало; в бесконечном произведении они должны достаточно быстро приближаться к 1, чтобы умножение них сказывалось мало.

56

Все-таки кроме s = 0. (Примеч. перев.)

57

Золотой Ключ — это исключительно моя номенклатура. «Эйлерова формула произведения» — стандартное название. Стандартные же названия для двух ее частей — «ряд Дирихле» для бесконечной суммы и «эйлерово произведение» для бесконечного произведения. Строго говоря, левая часть — это некоторый ряд Дирихле, а правая часть — некоторое эйлерово произведение. Но в узком контексте данной книги дополнительные уточнения не требуются.

58

Надо полагать, что автор сознательно (и, скорее всего, после некоторых размышлений) остановился перед формулировкой так называемого правила Лейбница для производной произведения. Последуем его примеру и не будем приводить это замечательное правило, обладающее глубоким математическим смыслом, выходящим за рамки собственно математического анализа. (Примеч. перев.)

59

Есть два способа определения Li(x) — к сожалению, оба достаточно распространенные. В данной книге я использую «американское» определение, которое приводят Абрамовиц и Стеган в своем классическом «Справочнике по специальным функциям», опубликованном в 1964 г. Национальным бюро стандартов. В этом определении интеграл берется от 0 до x; в этом же смысле использовал Li(x) и Риман. Но многие математики — среди них великий Ландау (см. главу 14.iv) — предпочитают «европейское» определение, в котором интеграл берется от 2 до x, чтобы избежать неприятностей при x = 1. Два приведенных определения различаются на 1,04516378011749278…. В компьютерной программе Mathematica реализовано американское определение.

60

Неплохое приближение к Li(N) можно получить, складывая 1/ln 2, 1/ln 3, 1/ln 4, …, 1/ln N. Если, например, взять такую сумму для N, равного миллиону, то результат будет равен 78 627,2697299…, тогда как значение интегрального логарифма есть 78 627,5491594…. Так что сумма дает приближение, которое недобирает лишь 0,0004 процента. Этот интеграл вполне оправдывает свое обозначение в виде вытянутой буквы S, указывающей на «сумму».

61

Большая ее часть. Пруссия и Австрия также удерживали исторически польские земли.

62

Речь идет о первом из законодательных актов, сформировавших современную избирательную систему Великобритании. (Примеч. перев.)

63

Алексис де Токвиль (Alexis Charles Henri Clerel de Tocqueville, 1805-1859) — французский историк, социолог и политический деятель, лидер консервативной Партии порядка, министр иностранных дел Франции (1849). Книга, о которой идет речь, произвела сильное впечатление на Пушкина, который писал о ней: «Уважение к сему новому народу и к его уложению, плоду новейшего просвещения, сильно поколебалось. С изумлением увидели демократию в ее отвратительном цинизме, в ее жестоких предрассудках, в ее нестерпимом тиранстве». (Примеч. перев.)

64

Он проработал полтора года в качестве ассистента в физической лаборатории Beбера, за что могли платить кое-какое скромное жалованье, так что, возможно, все же не был совершенно лишен средств.

65

Топология представляет собой «геометрию резинового листа» — изучение тех свойств фигур, которые остаются неизменными при растяжениях, но без разрезов и склеек. Поверхность сферы топологически эквивалентна поверхности куба, но не поверхности бублика или кренделя. Слово «топология» было введено в обиход Йоханом Листингом в 1836 г. в письме к своему старому школьному учителю. В 1847 г. Листинг написал небольшую книгу, озаглавленную «Предварительные наброски по топологии». Он был профессором математической физики в Геттингене в то же время, когда там находился Риман, и Риман, без сомнения, знал и его самого, и его работы. Однако Риман, по-видимому, никогда не использовал слово «топология», всегда употребляя для этой цели латинский термин, который предпочитал Гаусс, analysis situs («анализ положения»).

66

Московский университет, как мы помним, был основан Ломоносовым и Шуваловым еще в 1755 г. (Примеч. перев.)

67

Кроме того, он явился персонажем шуточной песни «Лобачевский», написанной в 1959 г. математиком и музыкантом Томом Лерером. (Нельзя сказать, чтобы содержание этой достаточно известной песни популярного исполнителя добавляло математической славы ее герою. Впрочем, Николай Иванович в этом и не нуждается. — Примеч. перев.)

68

Русским исследователям по понятным причинам не приходится сталкиваться с этой проблемой, но зато многие (если не все) русскоязычные математики произносят эту фамилию не «Чeбышев», а «Чебышoв». (Примеч. перев.)

69

В 1849 г. Чебышев написал работу «Теория сравнения», которая была его диссертацией. Работы о простых числах — «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1851; первый доклад на эту тему был сделан Чебышевым в 1848) и «О простых числах» (1852). Помимо математических исследований Чебышев занимался конструированием механизмов, среди которых — «стопоходящая машина», имитирующая движение животного при ходьбе. На постановку математической задачи о наилучшем приближении функций его натолкнуло изучение параллелограмма Уатта. Он был избран членом Санкт-Петербургской, Берлинской, Полонской и Шведской академий наук, членом-корреспондентом Парижской академии наук, а также членом Лондонского королевского общества. (Примеч. перев.)

70

Атле Сельберг, великий гуру теории чисел нашего времени, на момент написания этих строк (июнь 2002) все еще работает в институте и не прекращает занятий математикой. Связанная с ним история будет рассказана в главе 22. Он родился в Лангесунде, Норвегия, 14 июня 1917 г. (Атле Сельберг умер 6 августа 2007 г. — Примеч. перев.)

71

Риман, Гаусс, Дирихле и Эйлер все удостоены этого отличия. Кратер Римана расположен на 87°E 39°N.

72

Возможно, следует объяснить, что у математиков особый подход к изучению иностранных языков. Для чтения математических текстов не на своем родном языке глубокое знание этого языка вовсе не требуется. Достаточно выучить несколько десятков распространенных слов и конструкций, используемых при изложении математической канвы: «отсюда следует, что…», «достаточно показать, что…», «без потери общности…» и т.д. Остальное составляют обозначения, такие как v и ?, единые во всех языках (хотя и с незначительными «диалектными» отклонениями в зависимости от традиций, принятых в данной стране). Разумеется, некоторые математики — превосходные лингвисты. Андре Вейль (см. главу 17.iii) говорил и читал по-английски, по-немецки, по-португальски, по-гречески, на латыни и на санскрите, помимо своего родного французского. Но я имею в виду обычных математиков.

73

Двое из шести детей Гаусса эмигрировали в Соединенные Штаты, где приняли участие в заселении штата Миссури.

74

Горы Гарц (Харц) — самые высокие горы Северной Германии, располагаются на территории земель Нижняя Саксония, Саксония-Анхальт и Тюрингия. Наивысшая точка — Брокен, 1142 м. — считается самым известным местом встреч ведьм в Европе. Эта гора описана также в «Фаусте» Гете. (Примеч. перев.)

75

«Неслабая формула» на самом деле не столь уж и страшна. Если, конечно, вы не забыли математику из старших классов. За исключением дзета-функции, там нет ничего такого, чего бы не проходили, по крайней мере частично, в школе. Синус и факториал — это, как говорят математики, «элементарные» функции, так что выписанная формула «элементарно» связывает значение дзета-функции при аргументе 1 ? s со значением при аргументе s. Такая формула, кстати сказать, называется «функциональным уравнением».

76

К слову, этот факт был впервые доказан Бернхардом Риманом.

77

Чтобы суммировать ряд к другому значению, необходимо переставить бесконечное число слагаемых; в отношении конечных сумм, разумеется, верен закон перестановочности для сложения. (Примеч. перев.)

78

Эдвардс Х.М. Дзета-функция Римана. 1974. Перепечатано изд-вом Dover в 2001 г.

79

Несмотря на некоторое число печальных примеров, — как, скажем, Риман — математики высокого уровня демонстрируют потрясающее здоровье. При написании этой книги меня поразило число математиков, доживших до значительного возрасту и продолжавших активно трудиться практически до конца своих дней. «Математика — очень тяжелая работа, и ее корифеи имеют тенденцию быть выше среднего в том, что касается энергии и здоровья. Ниже определенного предела человек сдает, но выше этого предела напряженная умственная работа способствует сохранению энергии и здоровья (а также — как можно судить из многочисленных исторических свидетельств на протяжении многих лет — способствует долголетию)» (Литлвуд Дж. И. Искусство работы математика. 1967). Литлвуд, о котором еще много будет сказано в главе 14, стал иллюстрацией своего собственного тезиса, дожив до 92 лет. В 1972 г. его коллега X.А. Холлонд сделал о нем следующую запись: «Ему идет 87-й год, а он продолжает работать по нескольку часов подряд, занимаясь написанием статей для публикации и помогая математикам, которые прислали ему свои задачи». (Цит. по Беркил Дж. Ч. в кн.: Математика: Люди, проблемы, результаты. Brigham Young University. 1984.)

80

О распределении нулей функции ?(s) и их арифметических следствиях. (Примеч. перев.)

81

Имеется в виду роман-притча Г. Мелвилла «Моби Дик, или Белый Кит» (1851). (Примеч. перев.)

82

«Прекрасная эпоха» — название, закрепившееся за периодом 1890–1914 гг., характеризовавшимся стабильностью жизни, расцветом культуры и техники. Впрочем надо заметить, что название это появилось после Первой мировой войны и носило отчетливо ностальгический характер. (Примеч. перев.)

83

Эта музыка — наряду с музыкой Баха, Бетховена, Чайковского, Мусоргского, Понкьелли и Стравинского — была использована в классической полнометражной анимационной ленте «Фантазия» (1940). (Примеч. перев.)

84

Нет, не могу сдержаться. «Если f — аналитическая функция в кольце 0 < r₁ < |z| < r₂ < ?, r — некоторое число строго между r₁ и r₂, а M₁, M₂ и M — максимумы функции f на трех окружностях, соответствующих r₁, r₂ и r, то выполняется неравенство:

M^ln(r2/r1) ? M₁^ln(r2/r)M₂^ln(r/r1)».

85

Годы жизни Стилтьеса — 1856-1894.

86

«Полученные доклады». Этот термин столь распространен в научной библиографии, что часто сокращается до C.R.

87

В 1627 г. Декарт присутствовал при осаде Ла-Рошели, а еще до этого, во время Тридцатилетней войны, служил наемником, отчасти из желания «посмотреть мир». Одной же из вероятных причин смерти Декарта в 49-летнем возрасте (в 1650 г. в Стокгольме называется необходимость раннего подъема по утрам для занятий со шведкой королевой Кристиной. (Примеч. перев.)

88

Он не вступил в коммунистическую партию, но его дочь Жаклин вступила.

89

Русский перевод этой книги вышел в Москве в 1970 г. в издательстве «Советское радио». (Примеч. перев.)

90

Хотя слава доказательства ТРПЧ принадлежит в равной мере Адамару и де ля Валле Пуссену, я написал массу всего о первом и почти ничего о втором. Отчасти это вызвано тем, что я нахожу Адамара интересным и симпатичным человеком. Отчасти же тем, что о де ля Валле Пуссене имеется гораздо меньше материалов. Будучи прекрасным математиком, он, по-видимому, не проявлял себя ни в каких других сферах. Я спросил об этом у Атле Сельберга, единственного из тех математиков, с кем я разговаривал, который мог знать обоих. Адамар? «А, да. Я встречал его на Кембриджском конгрессе» (т.е. в 1950 г). Де ля Валле Пуссен? «Нет. Я никогда его не встречал, и не знаю никого, кто бы встречал. Не думаю, что он много путешествовал».

91

В 2006 г. конгресс прошел в Мадриде (собрав более 4500 участников), а конгресс 2010 г. планируется провести в Хайдерабаде (Индия). (Примеч. перев.)