Примечания и дополнения автора, сделанные в середине 2003 года

«В современный анализ эти концепции не допускаются». На самом деле существует «нестандартный» анализ, построенный на основе строгого определения «бесконечно малой величины». Это направление связано главным образом с работами А. Робинсона в 1960-х годах (хотя некоторые идеи восходят к Гильберту). Нестандартный анализ полностью обоснован и сам по себе достаточно интересен, но он не оказал большого влияния на текущую работу математиков в той области, о которой я пишу. И более того, моя книга направлена на объяснение обычного анализа для неспециалистов, и поэтому я не собирался отклоняться от темы в эту сторону. Наверное, следовало бы сказать «В современный стандартный анализ…», но и это уже до некоторой степени замутило бы воду. В общем, примечание с объяснением тут вполне уместно…

Что касается подробностей запутанной истории с Сельбергом и Эрдешем, то мои намерения состояли в том, чтобы сохранять некоторую дистанцию, дабы самому не стать ее участником. Вокруг этой темы все еще накаляются страсти. Я столкнулся с ней только при написании книги, и, если не считать двух прочитанных (и отрецензированных) мною биографий Эрдеша, единственной точкой соприкосновения был разговор с Атле Сельбергом, состоявшийся в 2002 году. Несмотря на прошедшие 53 года, эта история явно его расстраивала.

После выхода в свет «Простой одержимости» я получил несколько бумажных и электронных писем по поводу данного раздела. Один мой корреспондент воспринял мой рассказ как «едкий сарказм» — характеристика, которая привела меня в недоумение. Всякий, кто думает, что предпоследний абзац в главе 8.iii представляет собой «едкий сарказм», просто не много оттуда понял. Я совершенно не собирался излагать это с каким бы то ни было сарказмом, а, наоборот, сохранял в споре полный нейтралитет. Однако мой собственный нейтралитет не может помешать мне сообщить следующий простой факт: большинство из тех, кто мне писал по данному поводу, выбирают сторону Сельберга, несмотря на не подлежащий сомнению факт, что Эрдеша практически все буквально обожали.

Например, нижеследующее написано заслуженным профессором в отставке из Сиракузского университета Эриком Хеммингсеном (приводится с его разрешения). Профессор Хеммингсен сначала обращает внимание на то, что, хотя Сельберг действительно работал в Институте высших исследований в то время, когда его статья вышла из печати, всю работу он в действительности проделал, пока был в Сиракузском университете. Профессор Хеммингсен далее пишет:

Сельберг находился с визитом в Институте в течение академического 1947/48 года, когда он пересекся с одним из моих коллег, который в тот год также находился там с визитом. Сиракузский университет был первым, кто предложил Сельбергу исследовательскую работу в Америке, и вместе с женой они приехали в Сиракузы как раз перед началом осеннего семестра 1948 года. Они вернулись в Принстон летом 1950 года.

Когда я приехал в Сиракузы в сентябре 1947 года, Эрдеш уже находился там. Он был моим старым знакомым по Пенсильванскому университету, где он уже работал, когда я там появился в 1941 году в качестве аспиранта. Мы оба провели в Пенсильванском университете несколько лет, и он был очень любезен по отношению ко мне.

Сельберг, естественно, был очень рад, что ему удалось найти свое доказательство Теоремы о распределении простых чисел, и примерно равный ему по возрасту коллега, выказывавший серьезный интерес к теории чисел, представлялся подходящей фигурой для того, чтобы говорить с ним о своей работе. К сожалению, это было огромной ошибкой, настолько печальной [sic], что теперь некоторые люди считают, что доказательство принадлежит Эрдешу. После смерти Эрдеша появилась статья в Notices of the Amer. Math. Soc., автор которой дошел до того, что утверждал, будто Теорема о распределении простых чисел — это лучшая из работ, сделанных Эрдешем. Меня это исключительно покоробило, и я решил записать свои собственные впечатления о том, что имело место. Этот рассказ в настоящее время хранится в математической библиотеке Сиракузского университета.

«…до самого недавнего времени не исключалось…» Специалист по аналитической теории чисел Сид Грэм из Мичиганского университета замечает, что имелись гораздо более ранние результаты, ставящие под сомнение теорему 15.1. Это, в первую очередь, результат Ингэма 1942 года (О двух предположениях в теории чисел. Amer. J. Math. Vol. 64. P. 313-319). Упомянутый в тексте результат Одлыжко и Риле основан на работе Ингэма. Сид пишет: «Хотя гипотеза Мертенса была опровергнута только в 1985 году, к ней относились скептически уже задолго до этого».

«…у муравья Арга есть брат-близнец…» Один из читателей заметил, что рабочие муравьи, строго говоря, самки, так что это должна быть «сестра».

«Майкл Берри показал…» Сэр Майкл написал мне очень любезное и занятное письмо, в котором поблагодарил за книгу и добавил в мое собрание математических баек парочку новых. Кроме того, он подверг критике один момент, который, как мне кажется, самое место обсудить именно здесь. С его разрешения я в точности воспроизвожу его письмо. Вот что он пишет:

<…> написанное вами, хотя и верно само по себе, упускает из виду весьма существенное обстоятельство, которое следует из квантовой аналогии. А именно — предсказание и детальное описание^(1),(2) отклонений от ГУА-статистики в корреляциях между сильно разнесенными нулями. Эти отклонения заметил Эндрю Одлыжко (он наблюдал их в численной дисперсии положений нулей); он задался вопросом, не являются ли они результатом ошибки в его программе. Он чрезвычайно любезно предоставил мне полученные им данные, из которых получалось, что отклонения точно соответствуют «квантовой» теории, за исключением некоторых осцилляций малого масштаба, объяснение которым теперь нашли Джон Китинг и Эжен Богомольни⁽³⁾. С моей точки зрения, данное ими объяснение этих отклонений является сильнейшим свидетельством в пользу гипотезы Римана; оно, кроме того, помещает неуловимый оператор в класс квантовых систем с классическим хаосом, а не в класс случайных матриц.

(1) Berry M.V. Semiclassical formula for the number variance of the Riemann Zeros, in: Nonlinearity Vol. 1. 1988. P. 399-407.

(2) Berry M.V. and Keating J.P. The Riemann Zeros and Eigenvalue Asymptotics, in: the SIAM Review. Vol. 41. №2. 1999. P. 236-266. [SIAM означает Society for Industrial and Applied Mathematics.]

(3) Bogomolny E. and Keating J.P. Asymptotics of the pair correlation of Riemann zeros. 1999.

В то время, когда я работал над книгой, я не знал о книге Джулиана Хейвила «Гамма: Изучение константы Эйлера», которая вышла примерно в то же время, что и «Простая одержимость», и целиком посвящена этой загадочной гамме. Она прекрасно написана и содержит много интересной математики, хотя и на несколько более высоком уровне, чем в моей книге. Я рекомендую ее каждому, кто хочет узнать, почему число 0,577215664901532860606512… так чертовски важно.

Книга Титчмарша вышла в переработанном (Роджером Хит-Брауном) издании в 1986 году.

Сэр Майкл Атья повторил тут вещь довольно известную: идеи о том, что алгебра = время, а геометрия = пространство, восходят по крайней мере к Гамильтону (т.е. к 1840-м годам).

«„Ансамбль“ (в данном употреблении, кстати, это слово было введено Альбертом Эйнштейном)…» Это, по-видимому, неверно. Один физик обратил мое внимание, что одна из глав в книге Уилларда Гиббса «Основные принципы статистической механики» называется «О движении систем или ансамблей систем на длительных промежутках времени». Эта книга опубликована в 1902 году, т.е. за три года до того, как Эйнштейн с блеском ворвался в физику, написав три статьи в Annalen der Physik. По-видимому, Гиббс был первым, кто употреблял этот термин таким образом. Однако я был бы весьма благодарен, если бы кто-нибудь смог дать более точную привязку.

Оглавление