Игровые головоломки

457. Крестики-нолики. В эту старинную игру умеет играть каждый ребенок. Квадрат расчерчивают на 9 клеточек. Каждый игрок по очереди ставит в свободную клеточку свой знак (крестик или нолик), стараясь выстроить три своих знака по одной прямой. Тот, кто сумеет добиться этого, выигрывает. Если играют два хороших игрока, то каждая партия у них неизменно должна оканчиваться вничью, поскольку никто из них не сможет выиграть (если только его соперник не допустит случайный промах).

Можете ли вы доказать это утверждение? Можете ли вы быть уверены, что не проиграете встречу с самым лучшим игроком?

458. Игра в подкову. Вот небольшая игра под стать крестикам-ноликам. В нее играют двое. У одного игрока имеются две белые фишки, у другого — две черные. Играя по очереди, каждый из игроков ставит фишку на свободный кружок (см. рисунок), где она и остается. Когда все фишки расставлены, игроки могут их только передвигать вдоль линий от точки к точке, а проигрывает тот из них, чьим фишкам некуда ходить. На нашем рисунке играющий черными только что поставил свою фишку вниз. Теперь играющий белыми передвигает свою нижнюю фишку в центр и выигрывает. Черным следовало бы поставить свою вторую фишку в центр и добиться тем самым победы.

Какой из игроков должен победить в этой игре?

459. Перевертывание кости. Для этой игры нужна одна игральная кость. Первый игрок называет любое число от 1 до 6, а второй бросает кость. Затем они по очереди перевертывают кость в любую сторону, но не больше, чем на четверть полного оборота за один раз. К числу очков, названному первым игроком, прибавляется число очков, выпавших на верхней грани после бросания кости и каждого ее поворота. Выигрывает тот из игроков, которому удается при очередном повороте достичь суммы 25 очков или вынудить противника при следующем повороте превзойти 25 очков.

Приведу примерную партию. Игрок А называет 6, а игрок В, подбросив кость, получает 3 очка (как на рисунке), после чего сумма очков становится равной 9. Затем A повертывает кость вверх гранью с 1 очком, сумма становится равной 10 очкам, игрок В повертывает кость вверх гранью с 3 очками (сумма равна 13 очкам). Игрок А повертывает кость вверх гранью с 6 очками (сумма очков 19). Игрок В повертывает кость с 3 очками (сумма очков 22). Игрок А повертывает кость вверх гранью с 1 очком (сумма очков 23). Наконец, игрок В переворачивает кость вверх гранью с 2 очками, достигает суммы 25 очков и выигрывает.

Какое число должен назвать А, чтобы выиграть с наибольшими шансами? Помните, что числа на противоположных гранях кости всегда дают в сумме 7, то есть расположены парами 1—6, 2—5, 3—4.

460. Три кости. Мэйсон и Джексон играли в кости. У них было три кости, и выигрывал тот игрок, у которого сумма выпавших очков равнялась одному из двух чисел, названных им перед началом игры. Мэйсон назвал 7 и 13, и один из его удачных бросков показан на рисунке.

Каковы шансы Мэйсона на выигрыш при очередном бросании? Какие два числа должен назвать Джексон, чтобы шансы игроков на успех сравнялись?

461. Игра в 37. Вот красивая игра-головоломка, которая проста и в то же время чрезвычайно увлекательна. Большинству из вас может показаться, что у обоих игроков равные шансы на выигрыш и кто победит — дело случая. Однако в этой игре есть одна тонкость, зная которую, можно выигрывать с уверенностью.

Положите на стол пять костяшек домино, у которых число очков равно соответственно 1, 2, 3, 4, 5 (см. рисунок). Двое игроков играют по очереди. Первый игрок кладет монету на произвольную костяшку, например на 5, что дает ему 5 очков; затем второй игрок перекладывает монету, скажем, на 3 и, прибавив 3 к 5, получает при этом 8 очков; затем первый игрок кладет монету на 1 и получает сумму очков, равную 9, и т. д. Тот игрок, который наберет 37 или принудит своего противника превзойти эту сумму, выигрывает. Помните, что при каждом ходе вы обязаны класть монету на другую костяшку.

462. Игра в 22. Разложите 16 карт, как показано на рисунке. Двое игроков по очереди переворачивают по одной карте, прибавляя ее значение к общей сумме очков. Выигрывает тот, кому удастся набрать 22 или вынудить соперника превзойти эту сумму. Например, игрок А переворачивает четверку, игрок В переворачивает тройку (набрав 7 очков), игрок А переворачивает четверку (набрав 11 очков), игрок В переворачивает двойку (счет становится равным 13 очкам). Затем игрок А переворачивает туза (14 очков), игрок В — тройку (17 очков). При любом ходе игрока А игрок В на следующем ходу набирает 22 очка и выигрывает.

Другой вариант. Предположим, что партия развивалась следующим образом: 3—1, 1—2, 3—3, 1—2, 1—4, счет стал 21, и второй игрок снова должен выиграть, поскольку не осталось ни одной карты с 1 очком и первый игрок на следующем ходу вынужден превзойти сумму 22 очка.

Кто из игроков может всегда выиграть и как он должен при этом действовать?

463. Игра в девять квадратов. Начертите простую диаграмму, изображенную на рисунке, и возьмите коробок спичек. Длина стороны большого квадрата равна трем спичкам. Игра состоит в том, чтобы, выкладывая поочередно по одной спичке, окружить большее число малых квадратиков, чем окружит ваш противник. Замкнув маленький квадратик, вы не только получаете одно очко, но и ходите снова вне очереди[26]. Здесь изображена одна из партий. Я и мой противник выложили по шесть спичек, а поскольку начинал я, то теперь моя очередь ходить.

Какой ход будет для меня наилучшим? Если я пойду на FG, то мой противник пойдет на BF и выиграет очко. Далее, поскольку он получает право внеочередного хода, то он пойдет на EF, а затем на IJ и на GK. Если теперь он пойдет на CD, то мне не останется ничего лучшего, как пойти на DH (получив при этом одно очко); но, поскольку я должен буду снова ходить вне очереди, все остальные квадратики достанутся моему противнику. В результате я проиграю с «разгромным» счетом 8 : 1.

Как я должен пойти вместо «рокового» хода на FG? Во многих партиях игры в 9 квадратов есть над чем подумать. Ни одна из партий не может закончиться вничью.

464. Десять карт. Разложите десять игральных карт, как показано на рисунке. Играют двое. Первый игрок может перевернуть любую карту. Затем второй игрок может перевернуть две соседние карты или одну карту и т. д. Выигрывает тот из игроков, который перевернет последнюю карту.

Помните, что вначале первый игрок должен перевернуть одну карту, а затем каждый из игроков перевертывает либо одну, либо две соседние карты.

Примечания:

2

Метродор (330–278/277 г. до н. э.) — древнегреческий философ, ученик и друг Эпикура. — Прим. перев.

26

Если у вас есть возможность замкнуть какой-нибудь квадратик, но вы считаете это нецелесообразным, вы имеете право этого не делать, однако, замкнув квадратик, вы обязаны ходить. — Прим. перев.