Геометрические задачи

254. Построение пятиугольника. «Я собираюсь сшить одеяло из кусочков материи, имеющих форму пятиугольника, — сказала одна леди. — Как мне лучше вырезать из картона правильный пятиугольник со стороной 10 см? Разумеется, я могу начертить окружность и затем с помощью циркуля отметить на ней 5 равноотстоящих точек. Но если мне не известен точный размер окружности, у моего пятиугольника стороны всегда будут получаться либо немного больше, либо немного меньше 10 см».

Не могли бы вы подсказать леди простой и надежный способ, с помощью которого можно было бы построить нужный пятиугольник с первого раза?

255. С помощью одного циркуля. Можете ли вы построить 4 вершины квадрата с помощью лишь одного циркуля? У вас имеется только лист бумаги и циркуль. Прибегать к разного рода трюкам, вроде складывания бумаги, не разрешается.

256. Прямые и квадраты. Вот один простой вопрос. Чему равно наименьшее число прямых линий, с помощью которых можно построить ровно 100 квадратов? На помещенном здесь рисунке слева с помощью девяти прямых построено 20 квадратов (12 со стороной, равной АВ, 6 со стороной, равной АС, и 2 со стороной, равной AD). На том же рисунке справа прямых на одну больше, а число квадратов возросло до 17. Таким образом, важно не то, сколько всего прямых, а то, как они проведены. Помните, что требуется получить ровно 100 квадратов (не больше и не меньше).

257. Сад мистера Гриндла. Однажды за чашкой чая мистер Гриндл сказал:

— Мой сосед был так щедр, что пожертвовал для моего сада столько своей земли, сколько я смог огородить с помощью четырех прямых заборов длиной 70, 80, 90 и 100 м соответственно.

— Какую же наибольшую площадь ты смог огородить? — спросил мистера Гриндла приятель.

Быть может, читатель сумеет правильно ответить на этот вопрос. Дело в том, что площадь треугольника с тремя известными сторонами определяется однозначно, но в случае четырехугольника все обстоит совершенно иначе. Так, вполне очевидно, что площадь четырехугольника А больше площади четырехугольника В, хотя стороны в обоих случаях одинаковы.

258. Садовая ограда. Вот одна старая часто встречающаяся головоломка. Многим она кажется трудной, но на самом деле решить ее проще, чем представляется на первый взгляд.

У одного человека был прямоугольный сад со сторонами 55 и 40 м, и ему захотелось проложить в нем по диагонали дорожку шириной в 1 м, как показано на рисунке.

Чему равна площадь дорожки?

Обычно приводятся такие размеры сада, при которых получается лишь приближенный ответ. Однако я специально подобрал размеры, чтобы ответ был точный. Для большей наглядности ширина дорожки на рисунке изображена без соблюдения масштаба.

259. Садовая клумба. Вот очень простая маленькая головоломка.

У одного человека был треугольный газон, стороны которого пропорциональны сторонам треугольника, изображенного на рисунке. Человеку захотелось разбить на газоне предельно большую прямоугольную клумбу, на задев дерева.

Как ему следует поступить?

Эта головоломка поможет нам освоить простое правило, которое в некоторых случаях оказывается весьма полезным. Например, его с успехом можно приложить к задаче, в которой столяру требуется, не захватив сучка, вырезать из треугольной доски наибольшую прямоугольную крышку для стола.

260. Землемерная задача. В каждом деле есть свои маленькие хитрости, а в науке о числах их бесконечное множество. Почти в каждой профессии имеются полезные приемы, позволяющие быстро находить нужные ответы и очень помогающие тем, кто с ними знаком. Приведем пример. Один человек купил небольшое поле, карта которого в масштабе 1 : 10000, попавшая мне в руки, изображена на рисунке. Я попросил своего знакомого землемера сказать мне, какова площадь поля, однако землемер ответил, что этого нельзя сделать без дополнительных измерений — знать длину лишь одной из сторон недостаточно. Каково же было его удивление, когда я через несколько минут сообщил, чему равна площадь поля, располагая длиной только одной его стороны, равной 70 м.

Не могли бы вы сказать, как это можно сделать?

261. Изгородь. Вот задача, которая трудна в общем случае, однако в том виде, в каком я ее здесь привожу, решение ее не составит труда для искушенного человека.

Некто имел квадратное поле 60 на 60 м и, кроме того, владел примыкавшей к шоссе землей (см. рисунок). По каким-то соображениям ему пришлось соединить изгородью три дерева, причем длина участка изгороди от среднего дерева до дерева на шоссе оказалась равной 91 м.

Чему равно (в целых метрах) точное расстояние от среднего дерева до калитки на шоссе?

262. Четыре шашки. Вот одна необычная головоломка, которая, я надеюсь, заинтересует моих читателей.

Четыре шашки стоят на клетках какой-то шахматной доски (не обязательно 8x8) точно в том положении, как это изображено на рисунке. Клетки доски нарисованы симпатическими чернилами, поэтому они не видны.

Сколько квадратов содержит доска и как их восстановить? Известно, что каждая из шашек стоит в середине своего квадрата, что шашки расположены по одной на каждой стороне доски и что все углы доски свободны.

Эта головоломка действительно трудна до тех пор, пока вы не угадаете метод решения; после этого получить ответ будет невероятно легко.

263. Военная головоломка. Офицер приказал солдатам построиться в 12 шеренг по 11 человек в каждой таким образом, чтобы самому встать в точке, равноотстоящей от каждой шеренги.

— Но нас всего 120 человек, сэр, — сказал один из солдат.

Возможно ли было выполнить приказ офицера?

264. Спрятанная звезда. На приведенном здесь рисунке вы видите скатерть, сшитую из шелковых лоскутов. Ее сшила вся семья в подарок одному из своих членов ко дню его рождения. Один из даривших сшил свою часть в виде совершенно симметричной звезды, точно подошедшей к остальной части скатерти. Но от треугольных лоскутков так рябит в глазах, что обнаружить эту спрятанную звезду не так-то просто.

Не могли бы вы найти звезду и, выдернув нужные нитки, отделить ее от остальной части скатерти?

265. Сад. Четыре стороны сада равны 20, 16, 12 и 10 м, а его площадь при таких размерах максимальна.

Чему она равна?

266. Головоломка с треугольником. В ответе к головоломке 227 мы говорили, что «существует бесконечно много рациональных треугольников, стороны которых выражаются последовательными целыми числами, как, например, 3, 4 и 5 или 13, 14 и 15». На помещенном здесь рисунке изображены эти два треугольника. В первом случае площадь (6) равна половине 3x4; во втором случае высота равна 12, а площадь (84) половине 12x14.

Было бы интересно найти треугольник со сторонами, выражающимися тремя наименьшими последовательными целыми числами, площадь которого делилась бы на 20 без остатка.

267. Окно темницы. Сэр Хьюг де Фортибус призвал к себе своего главного строителя и, показав на окно в башне, сказал:

— Мне кажется, что стороны вон того квадратного окна имеют по футу, а стороны просветов между прутьями в нем — по полфута (см. на рисунке случай А). Я хочу прорубить еще одно окно чуть повыше тоже с четырьмя сторонами тоже по футу каждая, но разделить его прутьями на восемь просветов, у которых все стороны тоже были бы равны.

Мастер не смог этого сделать, и тогда сэр Хьюг начертил окно сам (случай В), при этом он добавил:

— Я ведь не говорил тебе, чтобы новое окно непременно было квадратным, каждому как божий день ясно, что квадратным в данном случае оно не может быть.

Однако в условиях сэра Хьюга кое-что подразумеваемое явно не оговаривается, так что, следуя букве его распоряжения, можно сделать требуемое окно квадратным.

Каким образом?

268. Квадратное окно. Однажды за чашкой чая полковник Крэкхэм рассказал, что у одного человека было квадратное окно площадью 1 м², которое пропускало слишком много света. Владелец окна загородил половину его, но при этом у него снова осталось квадратное окно в метр шириной и метр высотой.

Как это могло получиться?

269. Как разделить доску? У столяра имеется доска длиной 120 см, ширина одного ее конца 6 см, а другого 12 см. На каком расстоянии от В следует произвести разрез А, чтобы разделить доску на два куска равной площади?

270. Головоломка с бегунами. ABCD —квадратное поле площадью в 19,36 га. BE — прямая дорожка, а Е отстоит от D на 110 м. Во время соревнований Адамc бежал по прямой от А к D, а Браун начинал бег в В, добегал до E и далее устремлялся к D. Каждый бежал с постоянной скоростью, и когда Браун достиг Е, он увидел Адамса на 30 м впереди себя.

Кто выиграл соревнование и с каким преимуществом?

271. Три скатерти. Однажды за завтраком миссис Крэкхэм объявила во всеуслышание, что подруга подарила ей три восхитительные скатерти, все они квадратные со стороной 144 см. Миссис Крэкхэм попросила присутствующих назвать максимальные размеры квадратного стола, который можно покрыть всеми тремя скатертями одновременно. Скатерти можно класть на стол как угодно, лишь бы вся его поверхность оказалась покрытой. Ответ требовалось дать с точностью до сантиметра.

272. Головоломка художника. Один художник решил приобрести холст для миниатюры, площадь которой должна составлять 72 см². Чтобы натянуть миниатюру на подрамник, сверху и снизу должны быть полосы чистого холста шириной 4 см, а по бокам 2 см.

Каковы наименьшие размеры необходимого холста?

273. В саду. Однажды за чашкой чая полковник Крэкхэм сказал:

— Мой приятель Томпкинс любит озадачивать нас неожиданными головоломками при всяком удобном случае, но они не слишком глубоки. Как-то мы гуляли с ним по саду, как вдруг, указав на прямоугольную клумбу, он заметил:

— Если бы я сделал ее на 2 м шире и на 3 м длиннее, то она стала бы на 64 м² больше; но если бы я сделал ее на 3 м шире и на 2 м длиннее, то она увеличилась бы на 68 м².

Чему равны длина и ширина клумбы?

274. Перепись треугольников. Однажды профессор Рэкбрейн предложил мне головоломку, которая очень заинтересовала его гостей.

Нарисуйте пятиугольник и соедините все его вершины между собой, как показано на рисунке. Сколько в полученной фигуре содержится треугольников?

Чтобы пояснить задачу, укажем 6 таких треугольников: AFB, AGB, ACB, BFG, BFC и BGC. Ответ нетрудно получить, применив определенный метод; в противном случае вы рискуете потерять часть треугольников или сосчитать некоторые из них дважды.

275. Головоломка с загоном. Ответы к хорошо известным головоломкам, которые даются в старых книгах, часто бывают совершенно неверными. Тем не менее создается впечатление, что никто и никогда не замечает этих ошибок. Вот один пример подобного рода.

У фермера был загон, имевший ограду длиной в 50 жердей, в котором помещалось только 100 овец. Допустим, фермер захотел расширить загон настолько, чтобы в нем поместилось вдвое большее число овец.

Сколько фермеру потребуется дополнительных жердей?

276. Розарий. Однажды, попивая чай, профессор Рэкбрейн сказал:

— У моего приятеля есть сад прямоугольной формы, половину которого он хочет занять под розарий, окружив его гравиевой дорожкой постоянной ширины. Не могли бы вы найти общее правило, которое в равной степени было бы применимо к любому саду прямоугольной формы независимо от соотношения между его сторонами? Все измерения следует производить в самом саду. Единственным инструментом служит веревка, длина которой должна быть не меньше длины сада.

277. Исправьте ошибку. Математика — наука точная, но и первоклассные математики, как и все простые смертные, порой допускают ошибки. Заглянув в ценную работу Питера Барлоу «Теория чисел», мы вдруг встречаем следующую задачу:

«Найдите треугольник, у которого все стороны, а также высота и медиана, проведенные из вершины на основание, выражались бы рациональными числами».

В качестве ответа приводится треугольник со сторонами 480, 299, 209, что не только не верно, но и совершенно непонятно.

Быть может, читателю захочется найти правильнее решение, если мы скажем, что все пять измеряемых величин выражаются целыми числами, каждое из которых меньше ста. Такой треугольник, очевидно, не должен быть прямоугольным.

278. Мотоциклисты. Два мотоциклиста решили попасть из пункта А в пункт В. Один из них решил проехать 6 км до D, а затем еще 15 км прямо до В. Второй мотоциклист решил отправиться в В через С. К великому своему удивлению, проверив пройденное расстояние по спидометрам, мотоциклисты обнаружили, что в обоих случаях оно оказалось одинаковым. А смогли бы они быстро ответить на простой вопрос: чему равно расстояние от А до С?

Зная, как следует действовать, можно моментально получить ответ. Сумеет ли сделать это читатель?

279. Снова мотоциклисты. Вот еще один случай, происшедший с мотоциклистами, о которых говорилось в предыдущей головоломке. На участке карты (см. рисунок) показаны три дороги, образующие прямоугольный треугольник. Когда у мотоциклистов спросили, каково расстояние между A и В, один из них ответил, что, после того как он проехал от A до В, а оттуда к С и назад к A, на спидометре было 60 км. Второй мотоциклист добавил, что ему случайно известно о том, что С расположено в 12 км от дороги, соединяющей A с В, то есть от точки D (штриховая линия на рисунке). Тогда спросивший, проделав в уме очень простую выкладку, сказал:

— Все понятно, от A до В...

А не смог бы читатель столь же быстро определить это расстояние?

280. Стоимость сада. Однажды профессор Рэкбрейн поведал своим ученикам о том, что его соседу предложили садовый участок. Участок имеет форму треугольника, размеры которого указаны на рисунке.

Сколько соседу придется заплатить за него, если один квадратный метр стоит 10 долларов?

281. Выбор места. Один человек купил земельный участок, расположенный между тремя прямыми дорогами, которые образуют равносторонний треугольник. Ему захотелось построить дом таким образом, чтобы с каждой из дорог к нему вели три прямые подъездные аллеи, На рисунке изображен один из возможных вариантов.

Где следует построить дом, чтобы по возможности уменьшить расход на прокладку аллей?

282. Крест из фишек. Расположите 20 фишек в форме креста, как показано на рисунке. Сколько вы насчитаете различных случаев, когда четыре фишки сами по себе образуют правильный квадрат?

Например, квадраты образуют фишки, составляющие концы креста, фишки, расположенные в центре, а также фишки, которые отмечены буквами А и В.

Какие 6 фишек следует убрать, чтобы никакая четверка оставшихся фишек не располагалась в вершинах какого-нибудь квадрата?

283. Треугольные посадки. У одного человека было 21 дерево. Деревья были посажены в форме треугольника (см. рисунок).

Если владелец деревьев захочет огородить какой-нибудь треугольный участок своей земли с деревьями по углам, то сколькими способами он сможет это сделать?

Пунктирные линии показывают три возможных способа. А сколько их всего?

284. Круг и диски. Как-то на ярмарке мы увидели человека, который сидел за столом, покрытым клеенкой с большим красным кругом в центре. Человек предлагал публике закрыть круг пятью тонкими дисками, которые лежали рядом, обещая тому, кто сумеет это сделать, ценный приз. Все диски были одинакового размера, разумеется, меньшего, чем красный круг (на рисунке для наглядности изображены только три диска).

Человек утверждал, что справиться с заданием очень легко, и сам, играючи, покрывал круг дисками. Те же, кто пытался сделать это после него, неизменно терпели неудачу. Я забыл вам сказать об одном существенном уcловии: раз положив диск, его нельзя было больше сдвигать, иначе справиться с заданием удалось бы довольно просто. Предположим, что диаметр красного круга равен 6 дм. Каким должен быть наименьший диаметр (скажем, с точностью до ? дм) пяти дисков, чтобы с их помощью можно было бы закрыть круг?

285. Три изгороди. Однажды за чашкой чая полковник Крэкхэм сказал:

— У одного человека было круглое поле, и он захотел разделить его на 4 равные части тремя изгородями равной длины. Как это можно сделать?

— А для чего ему нужны были заборы одинаковой длины? — спросила Дора.

— Сведений об этом не сохранилось, — ответил полковник. — Нам не известно также ни того, зачем он делил поле на 4 части, ни того, деревянными или железными были изгороди, ни того, пастбище или пашню представляло собой поле. Я не могу даже назвать имя этого человека, не то что сказать, каков цвет его волос. Можно показать, что для решения головоломки все эти сведения не существенны.

286. Квадратура круга. Задача о квадратуре круга сводится к отысканию отношения диаметра к длине окружности. Его нельзя найти с абсолютной, но можно определить с достаточной точностью, чтобы использовать для практических целей.

Точно так же в евклидовой геометрии нельзя построить отрезок прямой, равный длине заданной окружности. Конечно, можно получить достаточно точный результат, поставив на ребро монету и аккуратно прокатив ее по прямой на листе бумаги, но прокатить подобным образом сад круглой формы не так-то просто.

На рисунке изображена ломаная линия, длина которой очень близка к длине изображенной окружности. Горизонтальное звено этой ломаной равно половине длины окружности. Не могли бы вы найти ее с помощью простого метода, в котором использовались бы только карандаш, циркуль и линейка?

287. Автомобиль и круг. Автомобиль едет по кругу. Его колеса, расположенные с внешней стороны круга, движутся вдвое быстрее колес, расположенных с внутренней стороны.

Чему равна длина окружности, которую проходят внешние колеса, если расстояние между колесами на обеих осях 1,5 м?

288. Точильный круг. Три человека купили точильный круг диаметром 20 см. Сколько должен сточить каждый из компаньонов, чтобы круг был разделен поровну, если исключить 4 см диаметра, которые пошли на отверстие? Практическая ценность каждой доли не учитывается, речь идет лишь о равном дележе общей массы круга.

289. Автомобильные колеса. «Видите ли, сэр, — сказал продавец автомобилей, — переднее колесо автомобиля, который вы покупаете, каждые 360 футов делает на 4 оборота больше заднего; но если бы вы уменьшили длину окружности каждого колеса на 3 фута, то переднее колесо на таком же расстоянии делало бы на целых 6 оборотов больше заднего».

Почему покупателю не захотелось, чтобы разность числа оборотов возрастала, нас не касается. Головоломка состоит в том, чтобы найти длину окружности каждого колеса. Это очень легко сделать.

290. Недоразумение с колесом. Вот одно любопытное недоразумение, которое многих крайне озадачивает. Колесо делает полный оборот, пройдя расстояние от А до В. Очевидно, что отрезок АВ равен именно длине окружности колеса. Хотя для произвольного диаметра мы не сможем точно определить эту длину[16], тем не менее мы сумеем найти для нее приближенное значение с достаточной степенью точности. Так, если у нас колесо диаметром 28 см, мы можем умножить диаметр на 22, разделить на 7 и получим искомую длину — 88 см. Это, конечно, слишком грубое приближение, но если мы умножим его на 355 и разделим на 113, то получим 87,9646, что уже лучше, а умножив на 3,1416, мы получим 87,9648 — еще лучшее приближение. Но это между прочим.

Теперь заметим, что внутренний круг (ступица) тоже делает полный оборот вдоль воображаемой пунктирной линии CD, а так как CD равно АВ, длины меньшей и большей окружностей равны! Разумеется, даже младенцу с первого взгляда ясно, что это не верно. И все же, где именно допущена ошибка?

Попытайтесь ее найти. Не может быть и тени сомнения в том, что ступица за один полный оборот проходит расстояние от С до D. Тогда почему же CD не равно длине ее окружности?

291. Знаменитый парадокс. Есть такой вопрос, который задают постоянно, но на который я никогда не слышал удовлетворительного или достаточно убедительного для неискушенного человека ответа. Он состоит в следующем: «Движется ли на ходу верхняя часть велосипедного колеса быстрее нижней?»

Люди, не привыкшие к точному мышлению, неизменно встречают такой вопрос смехом и отвечают: «Разумеется, нет!» Они считают подобный вопрос совершенно нелепым и не достойным даже того, чтобы всерьез над ним призадуматься. «Колесо, —говорят они, — это твердое тело, вращающееся вокруг центральной оси, и если одна из его частей стала бы двигаться быстрее другой, то оно разлетелось бы вдребезги».

Тогда вы обращаете внимание .вашего скептика на проезжающий мимо экипаж и просите его заметить, что спицы в нижней части колеса ясно видны, их даже можно пересчитать; а вот в верхней части они движутся так быстро, что становятся неразличимыми. Движущееся колесо выглядит примерно так, как оно изображено на рисунке. Наш друг вынужден признать очевидное, но поскольку он не может дать объяснение тому, что видит, и не хочет отказываться от своей прежней точки зрения, то, вероятно, ответит: «Ну, возможно, это обман зрения».

Итак, повторяем вопрос: «Движется ли верхняя часть колеса быстрее нижней?»

292. Еще один парадокс с колесом. Два велосипедиста остановились на железнодорожном мосту где-то в Сассексе, когда мимо них проходил поезд.

— Этот поезд идет из Лондона в Брайтон, — сказал Хендерсон.

— Большая его часть, — заметил Бэнкс, — а остальная — движется по направлению к Лондону.

— О чем это, скажи на милость, ты говоришь?

— Я говорю, что если поезд идет из Лондона в Брайтон, то часть этого поезда все время движется в противоположном направлении — из Брайтона в Лондон.

— И ты всерьез утверждаешь, что, когда я еду из Кройдона в Истбурн, то часть моего велосипеда несется назад в Кройдон?

— Не горячись, старина, — сказал спокойно Бэнкс. — Я ничего не говорил о велосипедах. Мое утверждение касалось только железнодорожных поездов.

Хендерсон решил, что это просто шутка и речь идет о дыме или паре, но его приятель заметил, что сильный ветер может быть и в направлении движения поезда. Тогда он высказал предположение, что имелись в виду мысли пассажиров, но проверить этого не удалось и, кроме того, вряд ли их можно было назвать частью поезда! Наконец Хендерсон сдался.

Не смог бы читатель объяснить этот любопытный парадокс?

293. Механический парадокс. Знаменитый механический парадокс, придуманный Джеймсом Фергюсоном[17] где-то около 1751 г., следовало бы знать каждому. Он предложил его скептику-часовщику в момент спора.

— Предположим, — сказал Фергюсон, — что я сделаю одно колесо толщиной в три других и на всех их нарежу зубцы. Затем я свободно надену три колеса на одну ось и помещу толстое колесо так, чтобы оно приводило их в движение и его зубцы входили в зубцы трех тонких колес. Если я поверну толстое колесо, то как повернутся тонкие колеса?

Часовщик ответил, что, очевидно, три колеса повернутся в противоположном направлении. Тогда Фергюсон смастерил простой механизм, который под силу сделать каждому, и показал, что при вращении толстого колеса в любом направлении одно из тонких колес вращается в том же самом направлении, другое — в противоположном, а третье остается неподвижным. Хотя часовщик и взял механизм домой, он так и не смог найти объяснение этому странному парадоксу.

294. Четыре домовладельца. Вы видите на рисунке квадратный участок земли с четырьмя домами, четырьмя деревьями, колодцем (W ) в центре, а также изгородями с четырьмя калитками (G).

Можете ли вы разделить этот участок так, чтобы каждому домовладельцу досталось поровну земли, по одному дереву, по одной калитке, по куску изгороди равной длины и по свободному проходу к колодцу, который не пересекал бы участок соседа?

295. Пять заборов. У одного человека было большое квадратное огороженное поле, на котором росло 16 дубов (см. рисунок). Владелец из каких-то эксцентричных соображений пожелал поставить на нем 5 прямых заборов таким образом, чтобы каждое дерево оказалось на отдельном участке.

Как он сможет это сделать? Возьмите карандаш и перечеркните поле пятью прямыми так, чтобы каждое дерево было отделено от всех остальных.

296. Сыновья фермера. У одного фермера был квадратный участок земли, на котором росли 24 дерева. В своем завещании он пожелал, чтобы каждый из его восьми сыновей получил одинаковое количество земли и равное число деревьев.

Как наипростейшим образом разделить землю?

297. Минуя мины. Перед нами небольшой заминированный участок моря. Крейсер, благополучно минуя мины, прошел его с юга на север двумя прямыми курсами.

Проведите от нижнего края до любой точки на карте прямую линию, а затем от этой точки до верхнего края карты еще одну прямую, проложив путь между минами.

298. Шесть прямых заборов. У одного человека была небольшая плантация, состоявшая из 36 деревьев, посаженных в виде квадрата. Часть из них засохла (на рисунке засохшие деревья изображены точками) и должна быть спилена.

Как можно поставить 6 прямых заборов, чтобы каждое из оставшихся 20 деревьев оказалось отгороженным от остальных? Кстати говоря, подобным образом можно было бы разгородить шестью прямыми заборами 22 дерева, если бы они были расположены поудобнее, но нам приходится иметь дело с деревьями, посаженными регулярным образом, и в этом вся разница.

Возьмите карандаш и подумайте, сумеете ли вы провести 6 прямых так, чтобы каждое дерево оказалось отгороженным от остальных.

299. Разрезание полумесяца. На какое максимальное число частей можно разрезать пятью прямыми разрезами полумесяц? Куски полумесяца нельзя ни складывать стопкой, ни передвигать.

300. Начертите прямую. Если нам нужно провести окружность, мы пользуемся циркулем. Однако, если мы хотим провести прямую, нам требуется линейка или какой-нибудь другой предмет с прямолинейным краем. Иными словами, чтобы начертить прямую, мы ищем другую прямую, что эквивалентно тому, как если бы мы использовали монетку, блюдце или другой круглый предмет при проведении окружности. Представьте теперь, что у вас под рукой нет ни прямолинейных предметов, ни даже куска нитки. Не могли бы. вы придумать простой инструмент, который позволял бы проводить прямые линии подобно тому, как проводятся циркулем окружности?

Этот вопрос интересен сам по себе, но не имеет практической ценности. Мы по-прежнему будем пользоваться прямолинейным краем.

301. Начертите эллипс. Я думаю, что многие читатели знакомы со способом построения эллипса, о котором сейчас пойдет речь. Он весьма полезен, если вы хотите сделать рамку для портрета или разбить овальную клумбу. Вы вбиваете два гвоздя или две булавки (а если делаете клумбу — два колышка) и надеваете на них кольцо из нитки или веревки, как показано на рисунке (булавки прикреплены в точках А и В, а кончик карандаша С натягивает петлю из нитки). Если, не ослабляя нитки, вы обведете карандашом вокруг булавок, возвратив его в исходное положение, то кончик карандаша начертит правильный овал.

Некоторые считают, что этот метод не слишком удачен, поскольку начертить эллипс нужного размера удается после нескольких попыток. Однако это заблуждение, и небольшая головоломка состоит в том, чтобы выяснить, чему должны равняться расстояние между булавками и длина нити, чтобы получился эллипс, ну скажем, 12 см в длину и 8 см в ширину.

Не сумеете ли вы найти соответствующее простое правило, позволяющее строить эллипс заранее заданных размеров?

302. Задача каменщика. Некий владелец поместья договорился о строительстве каменной стены. Обнаружилось, что она частично шла по ровному месту, а частично по холму, как показано на рисунке, откуда видно, что расстояние от А до В совпадает с расстоянием от В до С. Подрядчик требовал, чтобы за ту часть стены, которая шла по холму, ему заплатили больше, чем за ту, что проходила по ровному месту, поскольку (так он во всяком случае считал) материалов на нее пошло больше. А заказчик, напротив, считал, что за эту часть стены следует заплатить меньше. Дискуссия была столь оживленной, что дело едва не дошло до суда.

Кто же из них был прав?

303. Ширина реки. Путник подошел к реке в точке А и захотел измерить расстояние до точки В. Как ему проще всего узнать ширину реки, не переплывая ее?

304. Пэт и его свинья. Вы видите на рисунке квадратное поле размером 100 ? 100 м. Пэт и свинья, которую он хочет поймать, находятся в противоположных углах на расстоянии 100 м друг от друга. Свинья бежит прямо к калитке в левом верхнем углу. Так как Пэт бегает вдвое быстрее свиньи, то вы, вероятно, решите, что он первым успеет добежать до калитки, чтобы закрыть ее. Но надо знать Пэта: он все время бежит прямо на свинью, описывая при этом кривую линию.

Успеет убежать свинья или Пэт схватит ее? А если схватит, то какое расстояние она пробежит к тому времени?

305. Лестница. Однажды, только зашел разговор о лестнице, которая требовалась для каких-то домашних нужд, как профессор Рэкбрейн внезапно прервал дискуссию, предложив ее участникам маленькую головоломку:

— Лестница стоит вертикально у высокой стены дома. Кто-то оттаскивает ее за нижний конец на 4 м от стены. Оказывается, что верхний конец лестницы опустился на ? её длины.

Чему равна длина лестницы?

306. Громоотвод. Порывом сильного ветра сломало шест громоотвода, так что его верхушка ударилась о землю на расстоянии 20 м от основания шеста. Шест починили, но он вновь сломался под порывом ветра на 5 м ниже, чем раньше, и ударился верхушкой о землю на расстоянии 30 м от основания.

Какова высота шеста? В обоих случаях сломанная часть шеста не отрывалась полностью от остальной его части.

307. Веревка. Веревка спускается с потолка, касаясь пола. Если, сохраняя веревку в натянутом состоянии, коснуться ею стены, конец веревки окажется на расстоянии 3 см от пола. Расстояние же от свободно свисающей веревки до стены 48 см.

Какова длина веревки?

308. Гонец. Гонец (см. рисунок) как можно скорее должен доставить депешу в место, отмеченное палаткой. Расстояния указаны. Известно, что по мягкому торфу (заштрихованная часть) гонец скачет в два раза быстрее, чем по песку.

Не могли бы вы указать гонцу правильный путь? Это как раз одна из тех практических задач, с которыми постоянно сталкиваются в армейской обстановке. От того, какой путь выберет гонец, может зависеть очень многое.

Как бы вы поступили на его месте? Разумеется, торфяник и участок с песчаным грунтом везде имеют одинаковую ширину, так что в этой головоломке нет подвоха.

309. Шесть подводных лодок. Читатели, быть может, помнят головоломку, в которой требовалось расположить 5 одинаковых монет так, чтобы каждая касалась всех остальных. Один читатель предположил, что то же можно сделать и с шестью монетами, если мы расположим их так, как показано на рисунке, то есть с А, В и С в форме треугольника и с D, Е и F поверх А, В и С. Он считал, что если рассечь монеты по линии XY (см. нижнюю часть рисунка), то Е и С, а также В и F сойдутся в «математической точке» и, следовательно, коснутся друг друга. Но он не прав, так как если Е касается С, то они тем самым образуют барьер между В и F. Если же В касается F, то Е не может коснуться С.

Думаю, что это небольшое заблуждение заинтересует многих читателей. Когда мы говорим, что несколько предметов соединяются друг с другом в некоторой точке (как спицы колеса), то всего лишь три из них могут касаться друг друга (каждый каждого), находясь в одной плоскости.

Это навело меня на мысль предложить следующую «задачу о касании». Если 5 подводных лодок затонуло в один день в одном и том же месте, где до них затонула еще одна лодка, как они могут лечь на дно, чтобы каждая из шести лодок касалась всех остальных? Дабы упростить задачу, мы вместо лодок возьмем 6 спичек и расположим их так, чтобы каждая спичка касалась всех остальных. Спички нельзя ни сгибать, ни ломать.

310. Короткая веревка. Одна леди оказалась в затруднительном положении: ей хотелось отправить посылку сыну, а веревки у нее было всего 3 м 60 см, если не считать узлов! Веревка должна один раз охватывать посылку вдоль и два раза поперек (см. рисунок).

Какую наибольшую посылку в форме прямоугольного параллелепипеда она сможет отправить при таких условиях?

311. Гранитный пьедестал. При сооружении квадратного фундамента и кубического пьедестала для памятника были использованы гранитные кубические блоки размером 1 ? 1 м. На пьедестал пошло ровно столько блоков, сколько и на квадратный фундамент, в центре которого он стоял, причем все блоки использовались целиком, нераспиленными.

Взгляните на рисунок и попытайтесь определить общее число использованных блоков. Фундамент имеет толщину в один блок.

312. Парадокс с кубом. У меня было два сплошных свинцовых куба, причем один из них чуть-чуть больше другого (см. рисунок). В одном кубе я проделал дырку таким образом, чтобы второй куб мог в нее пройти. Взвесив затем оба куба, я обнаружил, что больший куб все еще тяжелее меньшего! Как это могло получиться?

313. Картонная коробка. Читатель, наверное, замечал, что есть много задач и вопросов, ответ на которые, казалось бы, должен быть известен уже многим поколениям до нас, но которые, однако, никогда, по-видимому, даже и не рассматривались. Вот один пример такой задачи, пришедший мне на ум.

Допустим, у меня имеется закрытая картонная коробка в форме куба. Разрезав ее бритвой вдоль 7 из 12 ребер (их обязательно должно быть 7), я сумею развернуть коробку на плоскость, причем развертка может принять разные формы. Так, если я проведу бритвой вдоль ребер, показанных на рисунке жирной линией, и по невидимому ребру, обозначенному пунктиром, то получу развертку А. Разрезав коробку иначе, можно получить развертку В или С. Нетрудно заметить, что развертка D есть просто перевернутая развертка С, поэтому такие две развертки мы считаем тождественными.

Сколько всего различных разверток можно получить таким образом?

314. Венский крендель. На рисунке изображен фигурный венский крендель. Узел, похожий на свернутые свиные хвостики, служит только украшением. Этот крендель обречен на то, что его либо разрежут, либо разломят; но вот интересно, на сколько частей?

Допустим, перед вами на столе лежит этот крендель. На какое максимальное число частей вы. сможете его разрезать одним прямым взмахом ножа? В каком направлении следует провести этот разрез?

315. Разрежьте сыр. Вот один простой вопрос, на который можно получить правильный ответ, подумав всего лишь несколько секунд. У меня есть кусок сыра в форме куба. Как мне следует провести один прямой разрез ножом, чтобы две новые грани оказались правильными шестиугольниками?

Разумеется, если мы разрежем сыр в направлении пунктирной линии на рисунке, то получим два квадрата. Попробуйте получить шестиугольники.

316. Путешествие мухи. Муха, отправляясь из точки А, может обойти четыре стороны основания куба за 4 мин. За какое время она доберется из А в противоположную вершину В?

317. Головоломка с баком. Площадь дна бака равна 6 м², глубина воды в нем 75 см.

1. На сколько поднимется уровень воды, если в бак поместить куб с ребром 1 м?

2. На сколько еще поднимется уровень воды, если рядом с первым поместить второй такой же куб?

318. Головоломка с нугой. Кусок нуги имеет в длину 16 см, в ширину 8 и в толщину 7? см.

Какое наибольшее число кусков размером 5 ? 3 ? 2? см можно из него вырезать?

319. Задача с пасхальными яйцами. Однажды профессор Рэкбрейн спросил:

— Если у меня имеется одно пасхальное яйцо длиной ровно 3 дюйма и три других яйца, содержимое которых вместе равно содержимому большего яйца, то какова длина каждого из трех меньших яиц?

320. Головоломка с подставкой. Один эксцентричный человек попросил мастера выточить из деревянного бруса размером 30 ? 10 ? 10 см подставку. При этом рассчитываться он предпочел за каждый удаленный кубический сантиметр дерева. Сообразительный мастер взвесил брус и обнаружил, что тот весит 3 кг. После того как подставка была готова, он ее тоже взвесил и нашел, что она весит 2 кг. Поскольку в первоначальном брусе было 3 дм³ и он потерял ? своего веса, то мастер потребовал, чтобы ему заплатили за 1 дм³. Но джентльмен возражал, считая, что сердцевина бруса могла быть тяжелее или легче наружной части.

Какие доводы приводил изобретательный мастер, пытаясь убедить заказчика, что он снял ровно 1 дм³ дерева, не больше и не меньше?

321. Белка на дереве. Белка взбирается на ствол дерева по спирали, поднимаясь за один виток на 2 м.

Сколько метров она преодолеет, добравшись до вершины, если высота дерева равна 8 м, а окружность 1,5 м?

322. Упаковка сигарет. Сигареты рассылаются фабрикой по 160 штук в коробке. Они уложены в 8 рядов по 20 штук в каждом и целиком заполняют коробку.

Можно ли при ином способе упаковки поместить в ту же коробку больше 160 сигарет? Если можно, то какое наибольшее число сигарет удастся добавить?

На первый взгляд нелепо рассчитывать, что в целиком заполненную коробку можно добавить лишние сигареты, но после минутного размышления вы могли бы найти ключ к этому парадоксу.

323. Еще одна головоломка с разрезанием. Разрежьте изображенную здесь фигуру на 4 части так, чтобы они подходили друг к другу, образуя квадрат.

324. Квадратная крышка стола. У одного человека было три квадратных куска ценной древесины со сторонами 12, 15 и 16 см соответственно. Ему захотелось разрезать их на минимальное число кусков, из которых можно было бы сложить крышку маленького столика размером 25 ? 25 см.

Как ему следовало поступить? Мне легко удалось найти несколько простых решений с шестью кусками, но я потерпел неудачу с пятью. Быть может, в последнем случае решение вообще отсутствует. Думаю, что моих читателей заинтересует этот вопрос.

325. Фанерные квадраты. У одного человека было два квадратных куска дорогой фанеры, каждый размером 25 ? 25 см. Один кусок он разрезал, как показано на рисунке, на четыре части, из которых можно составить два квадрата, один 20 ? 20 см, а другой 15 ? 15 см. Приставьте просто С к A, a D к В. Как ему следует разрезать второй кусок фанеры на четыре части, чтобы из них можно было составить два других квадрата со сторонами в целое число сантиметров, но не в 20 и 15, как раньше?

326. Разрежьте букву. Можно ли разрезать букву Е на пять частей так, чтобы из них можно было составить квадрат?

На рисунке все размеры приведены в сантиметрах, чтобы не было сомнений относительно истинных пропорций данной буквы. В нашем случае части не разрешается перевертывать оборотной стороной вверх.

После того как вы решите эту задачу, подумайте, нельзя ли обойтись четырьмя кусками, если разрешить переворачивать части на другую сторону.

327. Из шестиугольника — квадрат. Можно ли разрезать правильный шестиугольник так, чтобы из полученных частей удалось составить квадрат?

328. Испорченный крест. Перед вами симметричный греческий крест, некоторого вырезан квадратный кусок, в точности равный одному из концов креста. Задача состоит в том, чтобы оставшуюся часть разрезать на четыре куска, из которых можно составить квадрат. Это приятная, хотя и удивительно простая, головоломка на разрезание.

329. Мальтийский крест. Огромное количество головоломок связано с греческим, или георгиевским, крестом, составленным из пяти одинаковых квадратов. Однако не менее интересно познакомиться и с мальтийским, или викторианским, крестом. Разрежьте такой крест, показанный на рисунке, на 7 частей так, чтобы из них можно было составить квадрат. Разумеется, это следует сделать без каких-либо потерь материала. Чтобы читатель не сомневался в точности пропорций, введены пунктирные линии. Поскольку из частей А и В можно составить один маленький квадратик, очевидно, что площадь креста равна 17 таким квадратикам.

330. Звезда и мальтийский крест. Можете ли вы разрезать изображенную здесь четырехконечную звезду на 4 части и расположить их внутри рамки таким образом, чтобы получился правильный мальтийский крест?

331. Пиратский флаг. Перед вами флаг, захваченный в схватке с пиратами где-то в южных морях. Двенадцать полос символизируют 12 членов пиратской шайки, если появляется новый или гибнет старый ее член, добавляется или убирается одна полоса.

Как следует разрезать флаг на возможно меньшее число частей, чтобы, вновь сложив их вместе, получить флаг всего лишь с 10 полосами? При этом следует помнить, что пираты ни за что не поступятся и самым малым кусочком ткани и считают, что флаг непременно должен сохранить свою продолговатую форму.

332. Задача плотника. Это широко известная головоломка, которая часто встречается в старых книгах.

Корабельному плотнику надо было заделать квадратную дыру размером 12 ? 12 см, а единственный, оказавшийся у него под рукой кусок доски имел 9 см в ширину и 16 см в длину. Как следует разрезать этот кусок на две части, чтобы ими можно было точно закрыть дыру? Ответ основан на методе, который я назвал бы «методом лестницы» (см. рисунок). Если передвинуть кусок В на одну ступеньку влево, то вместе с А он образует квадрат 12 ? 12.

Все это просто и очевидно. Но, насколько я знаю, никто не пытался рассмотреть эту задачу в общем виде. В результате широко распространилось мнение, будто данный метод применим к любому прямоугольнику с разумным соотношением сторон. Однако дело обстоит иначе, и я попытался выявить грубые ошибки в некоторых опубликованных головоломках, показав, что в действительности они не имеют решения. Предлагаю читателям рассмотреть прямоугольник с другим соотношением сторон и попытаться выяснить, в каких случаях можно прибегать к методу лестницы.

333. Лоскутное одеяло. Перед вами лоскутное одеяло, которое две юные леди сшили с благотворительными целями. Когда они начали сшивать два куска, изготовленные каждой из них в отдельности, в один, то оказалось, что форма и размеры этих кусков в точности совпадают. Интересно выяснить, где именно соединены куски одеяла.

Сумеете ли вы распороть одеяло по шву на две части одинаковой формы и одних размеров? Быть может, вам это покажется делом нескольких минут, но... посмотрим!

334. Импровизированная шахматная доска. Несколько английских солдат в короткий час отдыха решили поиграть в шашки. Монетки и камешки служили им шашками, а импровизированную доску они сделали из куска линолеума, изображенного на рисунке, на котором было как раз нужное число квадратов. Сначала было решено разрезать кусок на части и, замазав положенные квадраты, составить из них шахматную доску. Однако кто-то вовремя подсказал, как можно разрезать доску лишь на две части, чтобы из них получился квадрат 8 ? 8, Не знаете ли и вы, как это сделать?

335. Мостовая. Глядя на мостовую или паркет, читатель, должно быть, нередко замечал, что некоторые их квадратные участки иногда покрывают квадратными плитками, при этом какие-то плитки приходится делить на части. На нашем рисунке показан один такой квадратный участок, покрытый 10 квадратными плитками. Поскольку число 10 не является квадратом, некоторое количество плиток пришлось разрезать. Таких плиток в нашем случае 6. Можно заметить, что кусочки 1 и 1 получились из одной плитки, 2 и 2 — из другой и т. д.

Если бы вам понадобилось покрыть квадратный участок 29 одинаковыми квадратными плитками, то как бы вы это сделали? Какое наименьшее число плиток вам надо было бы разделить надвое?

336. Квадрат квадратов. Если условием предусмотрено, что разрезы следует проводить только по линиям, то на какое наименьшее число квадратов можно разрезать квадрат, изображенный на нашем рисунке? Наибольшее число, разумеется, равно 169 — числу отдельных клеточек. Однако нас интересует именно наименьшее число. Мы могли бы отрезать по полоске с двух сторон, оставив квадраты 12 ? 12, и разрезать эти полоски в свою очередь на 25 маленьких квадратиков, которых всего окажется 26 штук. Конечно, 26 — это не 169, но все еще существенно больше наименьшего возможного решения.

337. Звездочки и крестики. Для решения этой головоломки требуется определенная изобретательность, так как подвох заключается в угловом расположении одного из крестиков.

Головоломка заключается в том, чтобы разрезать данный квадрат вдоль линий на 4 части так, чтобы все части были одинакового размера и одной формы и чтобы каждая из частей содержала по звездочке и по крестику.

338. Квадрат и крест. Разрежьте симметричный греческий крест на 5 частей таким образом, чтобы одна из частей представляла собой симметричный греческий крест меньшего размера, а из остальных частей можно было сложить квадрат.

339. Три греческих креста из одного. На помещенном здесь рисунке вы видите изящное решение задачи, в которой требуется вырезать из большего симметричного греческого креста два одинаковых греческих креста меньшего размера. Часть А вырезается целиком, и сложить аналогичный крест из оставшихся 4 частей не составляет труда.

Однако вот вопрос потруднее: каким образом из одного греческого креста получить три. креста той же формы, но меньших размеров, разрезав большой крест на возможно меньшее число частей? Заметим, что эту задачу можно решить, использовав всего 13 частей. Я полагаю, что многие читатели, поднаторевшие в геометрии, будут рады поломать над этой задачей голову. Разумеется, все три креста должны быть одинаковых размеров.

340. Как составить квадрат? Вот одна изящная, но простая головоломка на разрезание. Разрежьте изображенную здесь фигуру на 4 части одинаковых размеров и формы, из которых можно было бы составить квадрат.

341. Крышка стола и табуреты. Многие знакомы со старой головоломкой, где требуется распилить крышку круглого стола на части, из которых можно было бы составить два овальных табурета с отверстием для руки в каждом. Старое решение содержит 8 частей. В решении Сэма Лойда крышку достаточно распилить лишь на 4 части.

Сумеете ли вы разрезать круг на 4 части, из которых можно было бы получить две овальные крышки табуретов (по 2 части на каждую) с отверстиями для руки?

342. Треугольник и квадрат. Можете ли вы разрезать каждый из изображенных здесь равносторонних треугольников на 3 части так, чтобы из полученных 6 частей удалось составить квадрат?

343. Измените масть. Разрежьте изображенный здесь символ масти пик на 3 части так, чтобы из них можно было составить символ червовой масти. Разумеется, для этого следует использовать весь материал, так как в противном случае достаточно было бы лишь отрезать нижнюю часть.

344. Исчезнувшая клеточка. Вы видите здесь похожий на шахматную доску квадрат, который разделен на 4 части.

Можете ли вы расположить эти части таким образом, чтобы новая фигура содержала на одну клетку меньше, то есть 63 клетки?

Подумайте хорошенько, может ли количество хлеба или сыра в куске уменьшиться лишь из-за того, что, разрезав этот кусок, мы иначе расположим его части?

345. Головоломка с подковой. Вот одна нехитрая головоломка, решить которую, однако, не так-то просто.

Вырежьте из бумаги подкову, изображенную на нашем рисунке. Не могли бы вы, взмахнув два раза прямыми ножницами, разрезать ее на 7 частей, в каждой из которых содержалась бы дырка для гвоздя? После первого разреза можно даже передвигать куски и складывать их один на другой. Однако сгибать или складывать бумагу каким-либо другим способом не разрешается.

346. Квадратная крышка для стола. Из квадратного листа бумаги или картона, разделенного на квадраты 7 ? 7, вырежьте 8 кусков и удалите те куски, которые на рисунке заштрихованы.

Представьте себе, что столяру из этих 8 кусков фанеры необходимо изготовить квадратную крышку для небольшого стола 6 ? 6 и что он по глупости разрезал кусок 8 на 3 части.

Как можно составить нужный квадрат, не разрезая ни одного из 8 кусков?

347. Два квадрата в одном. Два квадрата произвольных размеров можно разрезать на 5 частей, как показано на рисунке, и составить из них квадрат больших размеров. В этом случае приходится разрезать меньший из двух квадратов. Однако не могли бы вы указать простой способ, позволяющий вовсе не разрезать меньший квадрат?

348. Задача краснодеревщика. У краснодеревщика был кусок шахматной доски 7 ? 7, сделанный из превосходной фанеры, который он хотел разрезать на 6 частей так, чтобы из них можно было составить 3 новых квадрата (все разных размеров).

Как ему следовало поступить, не теряя при этом материала и проводя разрезы строго вдоль линий?

349. Импровизированная шахматная доска. Хорошие головоломки на разрезание фигуры лишь на две части встречаются нечасто. Однако вот одна из таких головоломок, которая, как мне кажется, привлечет внимание читателей.

Разрежьте изображенный здесь кусок клетчатого линолеума на две части, из которых можно было бы составить правильную шахматную доску, не перекрашивая клетки. Разумеется, проще всего было бы отрезать два выступающих белых квадратика, но при этом частей получилось бы три, а не две, как требует условие.

350. Лоскутная подушка. У некой леди было 20 кусочков шелка одинаковой треугольной формы и одного размера. Она обнаружила, что из четырех таких кусочков можно сшить квадрат (см. рисунок).

Как ей следует сшить между собой все эти 20 кусочков, чтобы получилась верхняя часть квадратной диванной подушки? При этом не должно оставаться никаких отходов материала, равно как не следует оставлять по краям припуск на швы.

351. Испорченный ковер. У одной леди был дорогой персидский ковер размером 12 ? 9 м, который сильно пострадал от пожара. Поэтому ей пришлось вырезать в середине ковра дыру размером 8 ? 1 м (см. рисунок), а затем оставшуюся часть разрезать на два куска, из которых она сшила квадратный ковер размером 10 ? 10 м.

Как ей это удалось сделать? Разумеется, припуски на швы оставлять не следует.

352. Как сложить шестиугольник? Головоломки, в которых требуется что-либо сложить из бумаги, одновременно и интересны и поучительны. Я имею в виду не всевозможные коробочки, кораблики и лягушки, сложенные из бумаги, поскольку это скорее игрушки, чем головоломки, а решение некоторых геометрических задач, так сказать, «голыми руками».

Приведу один сравнительно простой пример. Допустим, что у вас есть квадратный лист бумаги. Как его следует согнуть, чтобы сгибы очертили правильный шестиугольник (см. рисунок)? Разумеется, вы не должны прибегать ни к карандашу, ни к линейке, ни к другим подобным инструментам. Шестиугольник может располагаться внутри квадрата произвольно.

353. Как сложить пятиугольник? Вот еще одна головоломка на складывание, значительно более трудная, чем предыдущая задача с шестиугольником. Если у вас имеется квадратный лист бумаги, то как следует его согнуть, чтобы сгибы образовали правильный пятиугольник (см. рисунок)? Сделать это вы должны «голыми руками», не прибегая к измерениям и инструментам.

354. Как сложить восьмиугольник? Сумеете ли вы из квадратного листа бумаги вырезать правильный восьмиугольник (см. рисунок) с помощью одних только ножниц, не пользуясь циркулем и линейкой? Разрешается лишь сложить предварительно лист бумаги, чтобы затем разрезать по сгибам.

355. Квадрат и треугольник. Возьмите квадратный лист бумаги и сложите его таким образом, чтобы получился наибольший из возможных равносторонний треугольник. Треугольник на рисунке, у которого все стороны равны стороне квадрата, не будет наибольшим. Разумеется, при этом производить измерения и пользоваться какими-либо инструментами не следует.

356. Пятиугольник из полоски. Изображенную на рисунке полоску бумаги произвольной длины (скажем, длина ее более чем в 4 раза превышает ширину) сложите в правильный пятиугольник так, чтобы все ее части лежали внутри заданной фигуры. Единственное условие состоит в том, что угол ABC должен совпадать с внутренним углом правильного пятиугольника.

357. Задача о кратчайшем сгибе. Перегните страницу так, чтобы нижний внешний угол коснулся внутреннего края, а сгиб оказался бы наикратчайшим из возможных. Это, пожалуй, наиболее простой вопрос, какой только можно задать, однако многие читатели призадумаются, где именно нужно перегнуть страницу. Здесь показаны два примера сгибов такого рода. Вы видите, что сгиб АВ больше сгиба CD, но последний не самый короткий из возможных.

358. Почтовые марки. Если у вас имеется блок из восьми почтовых марок 4 ? 2 (см. рисунок), то очень интересно найти различные способы сложить все марки так, чтобы они оказались под первой. Скажу сразу же, что всего существует 40 таких способов, когда первая марка обращена лицевой стороной кверху, а остальные располагаются под ней. Марки 5, 2, 7 к 4 всегда будут лежать лицевой стороной вниз, но вы можете добиться того, чтобы любая марка, кроме 6, лежала непосредственно под 1, хотя существует только по два способа расположить так марки 7 и 8. Пользуясь одним небольшим открытым мной законом, я пришел к убеждению, что марки можно сложить в порядке 1, 5, 6, 4, 8, 7, 3, 2 и 1, 3, 7, 5, 6, 8, 4, 2 с первой маркой, расположенной лицевой стороной кверху; однако мне пришлось поломать голову, прежде чем удалось осуществить это на практике.

Сумеет ли читатель сложить марки таким образом, не разрывая, конечно, перфорации? Попробуйте это сделать с листком бумаги, на котором марки отмечены сгибами, а номера для удобства поставлены с обеих сторон. Это очень интересная задача. Не откладывайте ее в сторону, считая неразрешимой!

359. Упрощенный солитер. Вот один упрощенный вариант старинной игры солитер, который поможет во многих случаях приятно провести досуг.

Нарисуйте на листе бумаги или картона простую диаграмму и разместите на ней 16 пронумерованных фишек так, как показано на рисунке. Одна фишка может перепрыгивать через другую на свободный квадрат, расположенный сразу за этой последней, причем та, через которую перепрыгнули, удаляется. Однако перепрыгивать по диагонали запрещено.

Задача заключается в том, чтобы, последовательно совершая «прыжки», удалить все фишки, кроме одной.

Вот решение в восемь ходов: 5—13, (6—14, 6—5), 16—15, (3—11, 3—6), 2—10, (8—7, 8—16, 8—3), (1—9, 1— 2, 1—8), (4—12, 4—1). Приведенная запись означает, что фишка 5 перепрыгивает через фишку 13 и фишку 13 снимают с доски; фишка 6 перепрыгивает через фишку 14, после чего фишку 14 снимают с доски, и т. д. Прыжки в скобках рассматриваются как один ход, поскольку они совершаются подряд одной и той же фишкой. Легко заметить, что последний прыжок совершает фишка 4.

Постарайтесь теперь найти решение в семь ходов, при котором последний прыжок совершит фишка 1.

360. Еще одна головоломка с прыжками. Начертите доску и разместите на ней 17 фишек, как показано на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы удалить все фишки, кроме одной, совершая ряд таких же прыжков, как и в упрощенном солитере. Одна фишка может перепрыгнуть через другую на ближайший квадрат, если он свободен, причем фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Нетрудно видеть, что первый прыжок обязана совершить фишка под номером 9, и сделать это можно восемью различными способами[18]. Последовательная серия прыжков, совершаемых одной фишкой, рассматривается как один ход. Требуется убрать 16 фишек за четыре хода таким образом, чтобы фишка 9 осталась в своей первоначальной позиции в центральном квадрате. Каждый ход состоит только из прыжков.

361. Перемещение фишек. Разделите лист бумаги на 6 квадратов и поместите в квадрат А (см. рисунок) стопку из 15 фишек с номерами 1, 2, 3, ..., 15, идущими сверху вниз. Головоломка состоит в том, чтобы переместить всю стопку за возможно меньшее число ходов в квадрат F. Перемещать можно по одной фишке за ход в любой квадрат, но больший номер нельзя класть на меньший. Так, если вы поместите фишку 1 в квадрат В, а фишку 2 в квадрат С,то затем можно положить фишку 1 поверх фишки 2, но не фишку 2 поверх фишки 1.

362. Игра в 15. На рисунке перед вами знаменитая головоломка — игра в 15 Сэма Лойда, в которой требовалось, передвигая фишки в коробке, расположить 14 и 15 в правильном порядке.

Можно ли, передвигая фишки, составить из них правильный магический квадрат, у которого сумма чисел, стоящих в любом столбце, строке и на любой из двух диагоналей, равнялась бы 30?

Вместо квадратных удобнее использовать перенумерованные круглые фишки. Чему равно наименьшее число ходов?

363. Как перестроить фишки? Расставьте 10 фишек в углу шахматной доски и переместите их в противоположный угол, как показано крестиками на рисунке. Фишке разрешается перепрыгивать по горизонтали или вертикали через другую фишку на ближайший квадрат, если он свободен. Прыжки по диагонали запрещены. Фишки с доски не снимаются. Передвигать фишки на пустые соседние клетки тоже запрещается — фишки должны только прыгать.

Чтобы не тратить попусту ваше время, скажу сразу же, что можно доказать неразрешимость этой головоломки. Однако, если добавить две фишки, головоломка станет разрешимой. Если в исходной позиции вы поместите две новые фишки, например на клетки А, А, то в конце они должны оказаться в клетках В, В.

Куда следует поместить две новые фишки?

364. Четные и нечетные фишки. Поместите стопку из восьми фишек в центральный круг, как показано на рисунке, таким образом, чтобы сверху вниз номера шли по порядку от 1 до 8. Требуется переместить фишки 1, 3, 5, 7 в круг с надписью НЕЧЕТ, а 2, 4, 6, 8 — в круг с надписью ЧЕТ. За один раз разрешается перемещать из круга в круг лишь одну фишку, причем больший номер нельзя класть на меньший, запрещается также помещать номера разной четности одновременно в один и тот же круг. Так, например, вы можете положить фишку 1 на фишку 3, 3 — на 7, 2 — на 6 или 2 — на 4, но нельзя класть фишку 1 на 2, 4 — на 7, поскольку при этом четные номера окажутся в одном круге с нечетными.

Чему равно наименьшее число ходов?

365. Железнодорожная стрелка. Каким образом два поезда смогут разминуться с помощью изображенной здесь стрелки и продолжать движение дальше вперед паровозами? Небольшой боковой тупик достаточен лишь для того, чтобы принять либо паровоз, либо один вагон одновременно. Никаких трюков с канатами и перелетами не допускается. Каждое изменение направления, совершаемое одним паровозом, считается за один ход. Чему равно наименьшее число ходов?

Для более удобного решения нарисуйте на листе бумаги железнодорожные пути и положите на них гривенник и три двухкопеечные монеты (вверх гербами), изображающие левый поезд, и гривенник с двумя двухкопеечными монетами (вниз гербами), изображающими правый поезд.

366. Как упорядочить фишки? Расставьте фишки внутри квадрата так, как показано на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы расположить их по порядку (в первой строке фишки 1, 2, 3, 4, 5, во второй — 6, 7, 8, 9, 10 и т. д.), беря по фишке в каждую руку и меняя их местами. Например, вы можете взять фишки 7 и 1 и расположить их в порядке 1 и 7. Поменяв затем местами фишки 24 и 2, вы расположите в правильном порядке первые две фишки. Задача заключается в том, чтобы выстроить фишки по порядку за наименьшее число ходов.

367. Девять человек в окопе. Представьте себе, что на рисунке изображены 9 человек в одном окопе. Сержант под номером 1 хочет оказаться на другом конце окопа (в точке 1), но чтобы при этом все остальные солдаты остались на своих местах. Окоп слишком узок, и двоим в нем не разойтись, а перебираться по чужим спинам — занятие довольно опасное. Однако с помощью трех ниш (каждая на одного человека) добиться желаемого совсем нетрудно.

Как это можно сделать за наименьшее число ходов? Человек за один ход может передвигаться на любое доступное расстояние.

368. Черное и белое. Однажды за чашкой чая профессор Рэкбрейн показал своим друзьям следующую старую головоломку.

Расположите 4 белые и 4 черные фишки в ряд через одну, как показано на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы переставить две соприкасающиеся фишки в один из концов, затем переставить две другие соприкасающиеся фишки на освободившееся место и т. д. до тех пор, пока через 4 хода все фишки не образуют прямую без пробелов, в которой сначала идут 4 черные, а за ними 4 белые фишки. Помните, что перемещать можно только соприкасающиеся фишки.

— Теперь, — сказал Рэкбрейн, — поскольку вы научились играть в эту игру, попробуйте другой вариант. Условия остаются теми же, но, передвигая две соприкасающиеся фишки, вы должны менять их местами. Так, если вы переносите фишки 5, 6 в конец, то должны расположить их в порядке 6, 5. Сколько потребуется ходов теперь?

369. Анжелика. Проведите 3 прямые вертикально и 3 горизонтально таким образом, чтобы они образовали квадрат (см. рисунок), и поместите в точки пересечения восемь фишек с буквами.

Головоломка состоит в том, чтобы, передвигая фишки вдоль прямых на свободные места, составить из них слово АНЖЕЛИКА:

Попытайтесь сделать это за наименьшее число ходов. Записывать ходы очень просто. Для этого надо только выписывать по очереди те буквы, которые вы передвигаете, например АЕЛН и т. д.

370. Фландрское колесо. Разместите на колесе 8 фишек с буквами, как показано на рисунке. Затем передвигайте их по одной вдоль линий от кружка к кружку, пока у вас не получится слово ФЛАНДРИЯ, расположенное, как и теперь, по ободу колеса, но только буква Ф должна оказаться в верхнем кружке на месте буквы Н. Разумеется, две фишки не могут одновременно находиться в одном кружке.

Найдите решение с наименьшим числом ходов.

371. Погоня. Начертите на листе бумаги поле, которое изображено на нашем рисунке, и воспользуйтесь фишками, представляющими двух охранников (люди в высоких шапках) и двух узников. Вначале разместите фишки так, как показано на рисунке. Первый игрок передвигает каждого охранника через дверь из одной камеры в любую соседнюю. Затем второй игрок передвигает каждого узника через дверь в любую соседнюю камеру и т. д. до тех пор, пока каждый охранник не схватит своего узника. Если какой-либо охранник хватает узника, то он вместе со своей жертвой выбывает из игры, а другая пара продолжает игру.

Например, охранник может пойти в камеру F (для простоты мы рассмотрим лишь одну пару охранник — узник), затем узник перейдет в камеру D, охранник — в камеру Е, узник — в камеру А, охранник — в камеру В, узник — в камеру D и т. д. Может показаться, что погоня охранника за узником безнадежно затянется, но, проявив немного смекалки, вы сумеете настичь беглеца.

372. Кадриль кузнечиков. Поменяйте местами белые шашки с черными за возможно меньшее число ходов. Нельзя ходить по диагонали или «есть» шашки противника. Белые шашки могут ходить только вправо или вверх, а черные — только влево или вниз, но они могут перепрыгивать через шашки другого цвета, как при обычной игре в шашки. Решить задачу очень легко, если вам удастся нащупать метод решения.

373. Четыре монеты. Возьмите 4 одинаковые монеты и расположите их на столе без помощи другой монеты или других вспомогательных средств таким образом, чтобы пятую монету можно было точно подогнать к четырем данным, не сдвигая последних (на рисунке заштрихованный кружок изображает пятую монету).

Положившись лишь на собственный глазомер, вы, вероятнее всего, потерпите неудачу. В то же время условие можно выполнить с абсолютной точностью. Но как?

374. Шесть монет. Положите 6 одинаковых монет на стол, а затем разместите их, как показано на рисунке белыми кружками, так, чтобы, опустив седьмую монету (черный кружок) в центр, вы привели бы ее тем самым в соприкосновение со всеми шестью монетами. Задание требуется выполнить совершенно точно, а не «на глазок». Приподнимать какую-либо монету со стола (иначе вообще не получилось бы никакой головоломки) или совершать какие-либо измерения не разрешается. В вашем распоряжении только шесть монет.

Примечания:

1

В США находятся в обращении следующие мелкие монеты: полдоллара, четверть доллара, 10 центов, 5 центов и 1 цент. — Прим. перев.

16

Точнее говоря, не сможем выразить ее рационально через диаметр. — Прим. перев.

17

Дж. Фергюсон — шотландский астроном-самоучка XVIII в.

18

В данном случае разрешается прыгать и по диагонали. — Прим. перев.