Прочія правила: см?шенiя, д?вичье и другiя.

Правило см?шенія было въ употребленіи, очевидно, очень давно, такъ какъ потребности въ см?шеніи л?карствъ и какихъ - нибудь составовъ, а также въ сплавленіи металловъ им?ли м?сто еще въ древнемъ мір?. Формулы см?шенія были найдены, в?роятно, отчасти путемъ опыта, отчасти алгебраическими выкладками; потомъ он? были перенесены въ ари?метику, запоминались учениками и прим?нялись къ р?шенію задачъ.

Леонардо Фибонначи въ ХIII в. даетъ такіе пріемы, которые надо признать совершенно механическими; и вся забота ?го направлена только къ тому, чтобы расположить данныя числа какъ сл?дуетъ; задачи у него разд?ляются на 2 вида, т?хъ самыхъ, какіе сейчасъ и у насъ: въ первомъ вид? узнается, какого достоинства выйдегъ см?сь, если изв?стно количество см?шиваемыхъ веществъ и ихъ достоинство; въ второмъ вид? надо опред?лить, сколько сл?дуетъ взять каждаго вещества, чтобы получить см?сь такого достоинства, какое требуетса. У Леонардо встр?чаются задачи на см?шеніе н?сколькихъ сортовъ, и есть прим?ры бол?е отвлеченнаго характера, въ такомъ род?: «Стоимость 30, количество 30, стоимость единицы— 3, 2, ? р?шеніе: I:III =1 : 4, II : III = 1 : 2, положимъ на I съ III всего 15 единицъ, изъ нихъ 3 на I, 12 на III; на II съ III кладемъ тоже 15 единицъ, изъ которыхъ 5 на II, и 10 на III; всего тогда получится на I=3, на II=5 и на III =22». Эта задача, какъ видно, неопред?ленная.

Въ 15—16 в?к? задачи на см?шеніе р?шались н?сколько иначе, ч?мъ мы ихъ р?шаемъ; он? приводились къ тройному правилу, и для каждаго неизв?стнаго составлялась отд?льная строка, отд?льная пропорція.

Въ русскихъ учебникахъ XVII в?ка правилу см?шенія соотв?тствовала «статья о нечисти во всякихъ овощахъ и въ товарехъ», въ ней говорилось о см?шеніи чистаго товара съ нечистымъ и о сплав? золота, серебра и м?ди. У Магницкаго статья «третья надесять» въ тройномъ правил?, подъ заглавіемъ «о соединеніи вещей», начинается прямо съ задачи, безъ всякаго предисловія и объясненія: «Н?кій винопродавецъ имяше четыре разныя вины, ихъ же продаяше разною ц?ною, по 10 алтынъ, по 8 алтынъ, по 6 алтынъ и по 5 алтынъ по 2 денги галенокъ, и хощетъ отъ т?хъ разноц?нныхъ винъ бочку наліяти въ 80 галенковъ, чтобы галенокъ былъ ц?ною въ 6 алтынъ 4 денги, и в?дательно есть, колико галенковъ котораго вина вліяти достоитъ во ону бочку, придетъ 16, 8, 16, 40. Зри како изобр?тати:

По толику галенковъ таковыхъ разныхъ винъ въ бочк? оной вина его же ц?на по 20 коп. галенокъ»

Понятно, зач?мъ Магницкій пом?щалъ задачи на см?шеніе, и зач?мъ он? были въ старинныхъ ари?метикахъ: учебникъ считался тогда сборникомъ всевозможныхъ правилъ, пригодныхъ для разныхъ житейскихъ случаевъ, къ нему, какъ къ какому-нибудь справочнику, и обращались за указаніями и искали практическаго отв?та. Теперь же техника и ремёсла, равно какъ и гражданская жизнь, настолько развились и расширились, что нечего и думать сообщить ученику запасъ предписаній на всевозможные житейскіе случаи. Кром? того, см?шеніе прим?няется теперь не настолько часто, чтобы считать его употребительнымъ д?йствіемъ и пріучать къ нему учениковъ и ученицъ изъ разныхъ классовъ общества и изъ разныхъ состояній. Такимъ образомъ, практическое значеніе правила см?шенія можно считать въ настоящее время за нуль, особенно если им?ть ввиду задачи второго рода. Но и образовательное, развивающее его значеніе тоже очень не велико, потому что т? же задачи второго рода, по самой своей сущности, принадлежатъ алгебр?, съ большимъ удобствомъ и пониманіемъ р?шаются въ ней, въ ари?метик? же он? явдяются какимъ-то оторваннымъ кускомъ и потому не могутъ быть проработаны вполн? сознательно. Гораздо лучше было бы и для учениковъ и для науки, если бы задачи второго рода на см?шеніе были отнесены къ алгебр?.

Д?вичье правило. Оригинальное и странное названіе, получившееся оттого, что прежде (впрочемъ бываетъ это и теперь) задачи располагались и назывались не по способамъ ихъ р?шенія, а по вн?шнему виду. Къ д?вичьему правилу относились задачи, въ которыхъ говорилось о д?вицахъ. Правда, вс? он? въ cтарыхъ сборникахъ пріурочивались къ одному типу, именно къ отд?лу неопред?ленныхъ задачъ. Типической задачей можеть служить сл?дующая, заимствованная изъ Адама Ризе, составившаго учебникъ въ XVI ст. «26 персонъ издержали вм?ст? 88 марокъ, при чемъ мужчина издерживалъ по 6 марокъ, женщина по 4 и д?вушка по 2; сколько было мужчинъ, женщинъ и д?вушекъ?» Адамъ Ризе учитъ р?шать такимъ образомъ: пусть, говоритъ онъ, вс? 26 персонъ были бы д?вушки, тогда он? издержали бы 2.26=52 марки, сл?довательно, остается 88 — 52 = 36 марокъ. Разложимъ теперь 36 на такія два слагаемыхъ, чтобы одно состояло изъ четверокъ, другое изъ паръ, наприм?ръ, 8 четверокъ и + 2 пары, или 5 четверокъ + 8 паръ, или еще 2 четверки + 14 паръ; такое расположеніе удобно т?мъ, что 32 марки въ первомъ случа? мы отнесемъ на долю мужчинъ и 4 марки на долю женщинъ и расчислимъ такъ: мужчина тратитъ больше д?вушки на 4 марки, ихъ можно принять всего 8 челов?къ, такъ какъ 32:4 = 8; женщина тратитъ больше д?вушки на 2 марки, и женщинъ можно полагать 2, потому что 4: 2=2; сл?довательно, получается въ отв?т? 8 мужчинъ, которые заплатятъ вм?ст? 48 марокъ, 2 женщины—8 марокъ и 16 д?вушекъ 32 марки, всего 88 марокъ. Другой рядъ отв?товъ можно бы получить, съ помощью этого же способа, такой: 5 мужч., 8 женщ. и 13 д?вушекъ; и много другихъ р?шеній, такъ какъ эта задача неопред?ленная.

Первая неопред?ленная задача на латинскомъ язык? изъ т?хъ, которыя дошли до насъ, содержится въ сборник? Алькуина (въ VIII ст. по Р. X.) и выражается такъ: «100 шеффелей разд?лить между мужчинами, женщинами и д?тьми и дать при этомъ мужчин? по 3 шеффеля, женщин? по 2 и ребенку по ? шефф.» Р?шеніемъ этой задачи могло бы быть, напр., 24, 40 и 36; у Алькуина дано 11, 15, 74. Кром? названія «д?вичье», это правило им?ло иногда титулъ «сл?пого» правила и опять по той же самой причин?, именно, что въ неопред?лешшхъ задачахъ этого рода упоминалось о сл?пцахъ. Кстати скажемъ, что были и другія курьезныя правила, въ род? правила «крокодиловъ», правила «роговъ» и т. п., и назывались они по той своей особенности, что въ задачахъ, которыя являлись характеристичными, упоминалось про крокодидовъ, рога и т. д.

Многое множество т?хъ задачъ, которыми наполняются современные намъ сборники, идутъ изъ глубокой древности, пережили многія тясячел?тія и терп?ливо переписываются однимъ составителемъ изъ другого.

Напр., изв?стная задача о бассейнахъ, которые наполняются трубами, и изъ которыхъ вода выливается, пользовалась вниманіем уже во времена Герона Александрійскаго (во 2 в. до Р. X.). Метрдоръ, жившій при Константин? Великомъ, даетъ задачу съ 4 трубами изъ которыхъ 1-я можетъ наполнить бассейнъ въ день, 2-я—въ 5 3-я—въ 3 и 4-я—въ 4 дня. Эту же задачу мы видимъ и у индусовъ во времена математика Аріабгатты, въ 5 в. по Р. X. Она же встр?чается въ русскихъ старинныхъ ари?метикахъ, и она же пом?щается во вс?хъ нов?йшихъ сборникахъ. Точно также задача о собак? догоняющей зайца, им?ется уже въ сборник? Алькуина (въ 8 ст. по Р. X.). Заяцъ впереди собаки на 150 футовъ, и онъ проб?гает 7 футовъ въ то время, какъ собака 9; для р?шенія 150 предлагается разд?лить пополамъ.

Р?шеніе ари?метическихъ задачъ всегда было несвободно от разныхъ недочетовъ, которые им?ютъ м?сто и въ наше время и объясняются исторически. Во-первыхъ, даются ученикамъ иногда такія задачи, которыя псрежили самихъ себя и утеряли смыслъ, пс тому что времена изм?нились; прим?ромъ можетъ служить задача о курьерахъ; теперь уже везд? телеграфы, телефоны, сообщенія по жел?знымъ дорогамъ, и поэтому н?тъ никакой надобности посылать конныхъ курьеровъ, это было 50—100 л?тъ тому назадъ, а сейчас это анахронизмъ. Во-вторыхъ, р?шеніе задачъ никакъ не можетъ освободиться отъ того элемента механичности, который сжился съ ним въ теченіе многихъ сотенъ л?тъ. Прежде всякая школа была главнымъ образомъ школой спеціальной и им?ла ввиду сообщить ученику навыки и ум?нья, пригодные ему для изв?стной отрасли жизненной д?ятельности. Теперь, наоборотъ, школа проникла въ масс народа, сд?лалась общедоступной и должна быть поэтому общеобразовательной, развивающей душевныя силы д?тей и воспитывающей.

Съ этой точки зр?нія не такъ важно количество задачъ, и не такъ важны ихъ отд?лы, какъ важенъ путь ихъ р?шенія. Надо чтобы р?шеніе задачъ основывалось на соображеніи и развивало сообразительность, а не строило свою опору только на привычк? и простомъ запоминаніи.

Все вниманіе составителей сборниковъ должно сосредоточиваться на томъ, чтобы расположить работу строго посл?довательно и систематично, съ переходомъ отъ простого къ сложному и отъ нагляднаго къ отвлеченному, безъ р?зкихъ скачковъ отъ легкаго къ трудному. Если такъ расположить задачи, то ученикъ самъ, своимъ личнымъ мышленіемъ будетъ доходить до р?шенія все бол?е и бол?е сложныхъ задачъ. Въ такомъ случа? учителю не придется на каждомъ шагу наставлять ученика и помогать ему: все д?ло учителя сосредоточится на подбор? матеріала, расположеннаго ц?лесообразно. Методъ самостоятельнаго вывода—идеальный методъ въ математик?, и ему въ ней предстоитъ будущность.

Между т?мъ, въ посл?дніе годы, отчасти подъ вліяніемъ строгихъ экзаменныхъ требованій, вошло въ моду д?леніе ари?метическихъ задачъ на мелкіе типы. Это вредное увлеченіе. Оно ведетъ къ выучк? и встряхиваетъ опять т? порядки, которые стали было затягиваться пылью с?дой старины[9]. Не дробленіе на типы, главнымъ образомъ по вн?шнему виду, но строго постепенный подборъ сослужитъ службу при р?шеніи задачъ, подводить же подъ типы—д?ло ученика, и тотъ, кто снимаетъ съ него эту работу мысли, т?мъ самымъ лишаетъ его значительной части той пользы, какая происте-каетъ отъ занятій математикой.

Примечания:

9

Изобр?теніемъ всевозможныхъ типовъ и многочисленныхъ правилъ отличился еще въ средніе в?ка германскій педагогь Видманнъ (въ 15 ст.). Съ него пошли эти порядки.