Д?йствія надъ простыми дробями.

Въ настоящее время принято во вс?хъ учебникахъ, чтобы д?йствія надъ дробями шли въ такомъ порядк?: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и д?леніе. Прежде было иначе: старинные авторы предпочитали начинать съ умножевія и д?ленія, и потомъ уже они переходили къ сложенію и вычитанію; при этомъ они руководствовались т?мъ, что для умноженія и д?ленія не надо приводить къ общему знаменателю и, сл?д., эти два д?йствія гораздо легче т?хъ двухъ.

Мы будемъ держаться общепринятаго порядка и поэтому скажемъ сперва н?сколько словъ о сложеніи. Изъ его особенностей отм?тимъ только ту, которая касается сложенія н?сколькихъ дробей. Для этого, обыкновенно, складывали сперва только дв? дроби, сумму ихъ сокращали, если только она сокращается; потомъ къ ней прикладывали третью дробь и сумму опять сокращали, если только можно, и т. д. Если сложеніе до посл?дней дроби. Въ XVI ст. по Р. X. ум?ли, впрочемъ, складывать н?сколько дробей сразу, но тогда ужъ принимали за общаго знаменателя произведеніе вс?хъ знаменателей. Для облегченія сложенія придумывались особенныя таблицы, въ которыхъ были пом?щены суммы наибол?е употребительныхъ долей. Напр.: итальянецъ Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. Хр.) даетъ въ своемъ учебник? таблицу сложенія дробей, у которыхъ знаменателемъ служатъ числа: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.

Вычитаніе. Древніе египтяне зам?няли вычитаніе дробей сложеніемъ. Вм?сто того, чтобы привести дроби къ одному знаменателю и потомъ вычесть числителей, какъ это везд? д?лается, они задавались вопросомъ: какое число надо прибавить къ меньшему данному числу, чтобы получить большее данное? Напр., сколько недостаетъ до единицы у

(египтяне, обыкновенно, пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителями, равными единиц?); они р?шали этотъ вопросъ сл?дующимъ образомъ: общій знаменатель 45, складываемъ 11?, 5?, ?, 4?, 1?, 1, будетъ всего 23 ???; до ? не хватаетъ

; всего до 1 не хватаетъ ? ¹/₉ ¹/₄₀ —это есть отв?тъ. Читатель, нав?рное, понялъ, что зд?сь между дробями пропущены знаки сложенія: египтяне ихъ и не ставили и полагали, что достаточно написать дроби рядомъ, чтобы принять ихъ за слагаемыя.

Умноженіе. Умножить какое-нибудь количество на правильную дробь значитъ найти такую долю этого количества, какая выражается множителемъ. Это такъ ясно и понятно. Т?мъ не мен?е нахожденіе частей числа почему-то отд?лялось и отд?ляется отъ умноженія и принимается за какое-то особенное вычисленіе, которое должно яко бы предшествовать 4 ари?м. д?йствіямъ. Почему все это такъ, и гд? кроется корень недоразум?нія, — объяснить трудно, такъ какъ исторія ари?метики не даетъ надежнаго ключа къ разгадк?. Но любопытно сопоставить это д?ло съ другимъ недоразум?ніемъ, которое н?сколько в?ковъ тому назадъ особенно авторитетно выставлялось на первый планъ, считаясь ч?мъ то непреложнымъ, а въ настоящее время оно оставлено и забыто. Касается оно сл?дующаго. Въ вычисленіяхъ съ дробными числами, кром? чиселъ ц?лыхъ и дробей, встр?чались еще такъ наз. доли отъ долей; это были длинныя формулы, состоящія изъ огромнаго ряда дробей, которыя не подлежали упрощенію и въ сыромъ вид? входили въ д?йствіе. Лучше всего пояснить это на прим?р?: сложить ? отъ ⁴/₅ отъ ⁵/₆ съ ? отъ ⁹/₁₀, или еще: изъ 10 вычесть 3? отъ 2? отъ ⁴/₅. Ясно, что зд?сь невычисленныя формулы, и что прежде ч?мъ складывать или вычитать, надо привести слагаемыя или же уменьшаемое съ вычитаемымъ въ обработанный видъ. Получится ? отъ ⁴/₅ ⁵/₆= ⁴⁰/₉₀ = ⁴/₉;

⁵/₆ отъ ? отъ ⁹/₁₀ =

, теперь эти дроби возможно сложить, и въ сумм? будетъ

Такъ же и во второмъ прим?р? приведемъ сперва вычитаемое къ должному виду и тогда уже произведемъ д?йствіе; 3??2??

= 7?, 10 - 7? = 2?. Совершенно нельзя понять, къ чему требовалось математикамъ затруднять сложеніе и вычитаніе дробей особенными правилами, какъ обращаться съ долями долей, а между т?мъ эти правила разсматривались на н?сколькихъ страницахъ, занимавшихъ много параграфовъ, требовали большого количества упражненій и приносили только вредъ, такъ какъ на нихъ безъ пользы уходило много времени и труда. Теперь уже наши д?ти не изучаютъ отд?льныхъ правилъ, какъ складывать или вычитать доли долей, и въ этомъ отношеніи имъ легко. Будемъ же над?яться, что подобно этому отд?лу исчезнетъ въ учебникахъ и другой лишній отд?лъ — нахожденіе частей ц?лаго, и присоединится туда, гд? ему настоящее м?сто, т. е. къ умноженю дробей.

Зам?тимъ, что вычисленія съ долями долей очень древняго происхожденія, они ведутъ свое начало отъ греческаго математика Герона (во II ст. до Р. X.). Были выработаны спеціальные пріемы, какъ обозначать часть дробнаго числа. Напр., у арабовъ прим?нялось такое обозначеше:

,которое должно показывать ⁴/₅ отъ ³/₇ отъ ?, т.-е. окончательно ³/₁₄. У Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. X.) формула

равна, согласна нашему порядку,

всего 22²⁴/₃₅, а формула

равна

Вотъ какая путаница вносилась этимъ отд?ломъ совершенно безъ всякой нужды. Также и въ русскихъ матем. сборникахъ XVII—XVIII в. этотъ отд?лъ давалъ не мало сбивчивости. Онъ назывался «выниманіе дробовое» или «вычитаніе доли изъ долей». Его нельзя было см?шивать съ другимъ д?йствіемъ, которому придано созвучное заглавіе, т.-е. съ «вычитаніемъ въ доляхъ», гд? разсматривается наше вычитаніе дробныхъ чиселъ. Составителю учебника приходилось не мало разъяснять, что-бы предостеречь ученика отъ см?шиванiя вычитанія и нахожденія части, такъ что предъ вычитаніемъ пом?щено было отд?льное разъясненіе «о разум?ніи, что есть доли изъ долей».

Обратимся теперь къ чистому умноженію дробей, какъ отд?льному д?йствію. Обособляться оно стало только въ средніе в?ка, и тогда ему придано было названіе «умноженіе», древняя же математика ограничивалась только нахожденіемъ прост?йшихъ частей числа, т?мъ бол?е, что даже и въ ц?лыхъ числахъ она стремилась привести умноженіе къ сложенію. У Бернелинуса, ученика римскаго папы Сильвестра II (въ XI в.), умноженіе ¹/₃₆ на ? совершается по римскимъ образцамъ сл?дующимъ образомъ: ¹/₃₆ обращается въ доли фунта; въ фунт? 12 унцій, сл?д., унція равна ¹/₁₂, а такъ какъ въ унціи 24 скрупула, то дробь ¹/₃₆ обратилась въ 8 скрупуловъ; ? равна ? фунта, т.-е. 4 унціямъ; множимъ теперь ? фунта на ? унціи, т -е. на 8 скрупуловъ, и получается ¹/₉ унціи, иначе сказать 2? скрупула, а такъ какъ 2 скрупула составляютъ особою м?ру, которая называется «emisescla», то окончательный отв?тъ представится въ вид? 1? «emisescla». Да, можно сказать, что способъ Бернелинуса очень и очень нелегокъ.

У Фибонначи (XIII ст. по Р. X.) подъ вліяніемъ арабскихъ и индусскихъ образцовъ н?тъ вычисленія съ унціями, и д?ло идетъ просто съ отвлеченными долями. Фибонначи пользуется такимъ способомъ. Сперва онъ перемножаетъ числителей, а потомъ получившееся число д?литъ на перваго знаменателя и, зат?мъ, уже это частное д?литъ на второго знаменателя.

Петръ Рамусъ, знаменитый французскій математикъ и философъ XVI стол?тія, даетъ въ глав? о дробяхъ, какъ и въ другихъ отд?лахъ математики, много св?жихъ и новыхъ мыслей. Онъ особенно настаиваетъ на томъ, что ученикамъ надо объяснять правила, а не только принуждать выучивать ихъ наизусть, и что правила надо выводить, а не только прим?нять готовыя къ прим?рамъ. Однако, самъ Рамусъ, всл?дствіе той туманности, которую придавали ари?метик? его предшественники, не всегда одинаково ясно и удачно ведетъ свое изложеніе, такъ что въ случа? умноженія дробей мы находимі, у него такой запутанный выводъ: «дано умножить ? на ?, это значитъ найти ? части отъ дроби ?; разсуждаемъ по тройному правилу—1 относится къ 3, какъ 2 къ 6, и 1 относится къ 4, какъ 3 къ 12, сл?довательно, отв?тъ будетъ : ⁶/₁₂ это и есть произведеніе ? на ?».

Русскіе математики XVII и XVIII в. сл?довали въ глав? объ умноженіи западно-европейскiмъ образцамъ. Они разсматривали 3 случая: a) умноженіе дроби на ц?лое, b) умноженіе дроби на дробь и c) умноженіе см?шанныхъ чиселъ. Въ конц?, въ такъ наз. «строк? генераль» давалось общее правило перемноженія дробей. Неизм?няемость произведенія при перестановк? производителей объяснялась въ такихъ выраженіяхъ:

«в?даи доли изъ доли умноженіе, какъ ? изъ ? умножаи придетъ ¹/₁₂ такожъ ? изъ ? то-жъ ¹/₁₂».

 Знакъ при умноженіи дробей всегда употреблялся такой: одна горизонтальная черта проводилась отъ числителя къ числителю, а другая отъ знаменателя къ знаменателю, и это служило хорошимъ знакомъ д?йствія, такъ какъ этимъ обозначался порядокъ вычисленія.

Зам?чательно м?сто у Магницкаго, въ которомъ онъ трактуетъ объ умноженіи простыхъ дробей. Зд?сь явственно вылилась вся нетребовательность по отношенію ко всякимъ выводамъ и объясненіямъ. Достаточно сообщить правило, а кром? него что же еще надо? такъ, нав?рное, думаетъ Магницкій, и мы не можемъ отказать себ? въ томъ, чтобы не привести отрывка изъ его ари?метики. Стр. 54

«Мултипликаціо или умноженіе въ доляхъ. Что въ семъ пред?леніи достоитъ в?дати. Впервыхъ подобаетъ в?дати яко во умноженіи н?сть потреба да сравняеши доли къ единакому знаменателю: но яковы доли дадутся, таковы и умножати числители чрезъ чиелители, и знаменатели чрезъ знаменатели, якоже ? чрезъ ?. 3 чрезъ 1 будетъ 3, а 8 чрезъ 4, будетъ 32, и еже отъ числителей произыдетъ напиши надъ чертою, а отъ знаменателей произведеное напиши подъ чертою и будетъ ³/₃₂».

Итакъ, въ ари?метик? дается только правило, безъ вывода, зато посл? правила идетъ ц?лый рядъ прим?ровъ, всего 60 номеровъ, съ отв?тами, и предлагается заняться прод?лываніемъ этихъ прим?ровъ, чтобы, такъ сказать, набить руку въ этомъ правил?.

Преемники Магницкаго, т.-е. составители русскихъ учебниковъ XVIII и даже ХІХ в., не оказались счастлив?е его въ этомъ случа?. Они тоже или не даютъ никакихъ объясненій умноженія дробей, или даютъ объясненія спутанныя и трудныя. Такъ, въ ари?метик? Адодурова (1740 г.) про умноженіе дробей объясняется на 29 страницахъ, при чемъ объясненіе дано очень растянутое, многословное и малоуб?дительное. У Румовскаго (1760 г.) передъ дробями расположены пропорціи, и умноженіе дробей выводится изъ общаго свойства пропорцій, именно, что произведеніе крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ членовъ. И сами пропорціи являются для учениковъ темнымъ м?стомъ, а ужъ про выводъ изъ нихъ и говорить нечего, особенно когда он? идутъ на буквахъ, какъ это видимъ у Румовскаго. Порядочное изложеніе встр?чаемъ мы у Загорскаго (1806 г.), но уже у Павла Цв?ткова (1834 г.) опять тянется старая п?сня. «Какъ множится дробь на дробь?» спрашиваетъ онъ, и отв?чаетъ:

«При умноженіи дробей на дроби надлежитъ множить числітелей на числителей, а знаменателей на знаменателей».

Этимъ заканчивается § 34, и авторъ уже бол?е не желаетъ возвращаться къ подобному скучному вопросу, къ которому, вдобавокъ, никакъ еще не придумать подходящаго объясненія. И это въ то время, когда Цв?тковъ для бол?е легкаго вопроса, для умноженія дроби на ц?лое, находитъ нужнымъ и возможнымъ дать толковое объясненіе.

Да, умноженіе на дробь и въ старину, и еще теперь является однимъ изъ самыхъ больныхъ м?стъ начальной ари?метики.

Д?леніе. Д?леніе дробей шло все время правильнымъ путемъ, безъ скачковъ и отклоненій въ сторону. Еще древніе египтяне вполн? логично заключали, что д?леніе обратно умноженію, и что поэтому его можно привести къ умноженію. По своей привычк? къ основнымъ дробямъ, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц?, они и д?леніе разсматривали съ точки зр?нія этихъ дробей. Прим?ръ: 2 : 1? ?. Зд?сь египтяне ставили вопросъ: на какое чиоло надо помножить выраженіе 1? ?, иначе сказать 1 + ? + ?, чтобы получить въ произведеніи 2? Для этого помножаемъ количество 1? ? на ? ? ¹/₆ ¹/₁₂, и получаемъ ²⁸⁵/₁₄₄; при этомъ отд?льно помножается множимое число на ?, на ?, на ¹/₆ и на ¹/₁₂, съ такимъ расчетомъ, чтобы каждое сл?дующее произведеніе было вдвое меньше предыдущаго. Такъ какъ ²⁸⁵/₁₄₄ отличается отъ даннаго числа 2 на ³/₁₄₄, т.-е. на ¹/₇₂ ¹/₁₄₄, то остается р?шить вопросъ: на какое число надо умножить 1 ? ?, или ²⁸⁸/₁₄₄, чтобы получить сперва ¹/₁₄₄? Очевидно, на ¹/₂₂₈. Чтобы получить ¹/₇₂, надо умножить на ¹/₁₁₄ Такимъ образомъ, посл? довольно запутаннаго вычисленія получается итогъ: ? ? ¹/₆ ¹/₁₂ ¹/₁₁₄ ¹/₂₈₈, который и считался у египтянъ вполн? нормальнымъ, какъ составленный изъ основныхъ дробей (дробь ? у нихъ тоже признавалась основной, это единственная изъ дробей съ числителемъ 2, у нея даже былъ свой спеціальный знакъ).

Римскій способъ д?ленія дробей напоминаетъ собой римскій же способъ д?ленія ц?лыхъ чиселъ. Вотъ прим?ръ Бернелинуса (въ XIII ст. по Р. X.). Разд?лить 28 на 1?. Д?лится 28 не на 1?, а на 2, т.-е. д?литель дополняется до ц?лаго числа, 28 : 2=14; теперь надо составить лишекъ или сдачу, которую сл?дуетъ возвратить д?лимому; такъ какъ на каждую часть взято лишняго по ?, то на вс? 14 частей пришлось З?, д?лимъ З? на 2, будетъ въ частномъ 1, въ остатк? 1?; сдачи возвратится ?, всего составится въ д?лимомъ 1?; д?лимъ это количество на 1? и получимъ въ частномъ 1; такимъ образомъ, весь искомый результатъ будетъ 14 + 1 + 1 = 16.

Неморарій, математикъ среднихъ в?ковъ, современникъ Бернелинуса, пользуется для д?ленія аналогіей съ умноженіемъ и даетъ сл?дующій искусственный пріемъ. Задано разд?лить ²/₃ на ⁴/₅. Тогда числитель и знаменатель первой дроби увеличивается въ 4 ? 5 разъ и зат?мъ прим?няется правило: числителя разд?лить на числителя, а знаменателя на знаменателя, подобно тому, какъ въ умноженіи дробей множатся числитель на числителя и знаменатель на знаменателя.

Получается формула:

Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ XIII в?ка, сов?товалъ приводить дроби къ одному знаменателю и потомъ уже д?лить, пользуясь аналогіей съ именованными числами, такъ какъ тамъ, обыкновенно, м?ры раздробляются въ одинаковое наименованіе, и зат?мъ полученныя числа д?лятся. Прим?ръ у Фибонначи сл?дующій:

Въ XVI ст. по Р. X. на сцену вышло новое правило д?ленія дробей: надо д?лимое помножить на обращеннаго д?лителя. Прим?ръ: ? : ?. Для р?шенія его множимъ ? на ³/₂, получимъ ⁹/₈, это и будетъ в?рнымъ отв?томъ. Въ объясненіе этого правила, равно какъ и вс?хъ другихъ, авторы учебниковъ входить не любили. Они только ограничивались т?мъ, что приводили самое правило и потомъ н?сколько прим?ровъ съ р?шеніемъ. Ученики же запоминали правило и практиковались въ прим?неніи его къ вычисленіямъ.

Знакомъ д?ленія до XVIII ст. являлись, обыкновенно, дв? перекрещивающихся черты, которыя шли отъ числителя первой дроби къ знаменателю второй и отъ знаменателя первой къ числителю второй. Только съ развитіемъ алгебры, когда потребовался общій знакъ д?ленія и для ц?лыхъ чиселъ и для дробей, стали обозначать это д?йствіе такъ же въ дробяхъ, какъ и въ ц?дыхъ числахъ, т.-е. двумя точками.

Приведемъ еще неболыпой интересный отрывокъ, который хорошо показываетъ, къ какимъ хитростямъ нужно было приб?гать среднев?ковымъ ученымъ, когда имъ давался трудный прим?ръ съ дробями. Въ Зальцбургскомъ (Австрія) сборник?, отноеящемся къ XVII в?ку^[1], надо было вычислить земной радіусъ по окружности земли. Изв?стно, что окружность въ 3¹/₇ раза больше своего радіуса, и поэтому, чтобы получить радіусъ земли, достаточно ея окружность разд?лить на ²²/₇. Принимая окружность за 252000, составитель находитъ ⁷/₂₂ этого числа, т.-е. умноженіемъ на ⁷/₂₂ зам?няетъ д?леніе на ²²/₇. Умноженіе же онъ ведетъ такъ. Сперва вычисляетъ ¹/₂₂ всего числа, получится 11454?, зат?мъ вычитаетъ эту величину изъ 252000, будетъ 240544? ²¹/₂₂. Треть этого числа и составитъ искомый отв?тъ, т.-е. земной радіусъ, такъ какъ ²¹/₂₂ : 3 = ⁷/₂₂.