Таблица умноженія

Твердое знаніе таблицы умноженія издавна требовалось отъ учениковъ и считалось совершенно необходимымъ. Составителемъ таблицы называютъ греческаго математика Пи?агора или, в?рн?е, одного изъ его поздн?йшихъ учениковъ, новопи?агорейца Никомаха (въ I ст. по Р. X.). Начиная съ Никомаха ни одинъ авторъ не забываетъ напоминать, что «преимущественно передъ вс?мъ сл?дуетъ хорошо знать таблицу». Авторы старинныхъ русскихъ математнческихъ сборниковъ также пом?щаютъ таблиду, или «границу умножалную» подъ титуломъ «граница изустная большему счету разумъ подаетъ хотящему въ нея зр?ти»; они тоже требуютъ заучиванія: «надобе сіи изустныя слова памятовати и въ памяти кр?пко держати, всегда во уст?хъ обносити, чтобы во ум? незабыты были». Вотъ стихи изъ Магницкаго:

«Аще кто не твердитъ,
Таблицы и гордитъ
Не можетъ познати,
Числомъ что множати.
И во всей науки,
Не свободъ отъ муки.
Колико ни учитъ
Туне ся удручитъ.
И въ пользу не будетъ,
Аще ю забудетъ».

Въ римскихъ школахъ таблицу заучивали хоромъ на расп?въ. Въ нашихъ современныхъ учебникахъ по ари?метик? таблица умноженія содержитъ въ себ? обыкновенно произведенія вс?хъ однозначныхъ чиселъ, начиная съ 2?2 и кончая 9?9. Въ средніе в?ка смотр?ли на это д?ло иначе; тогда и въ ари?метик?, и въ другихъ наукахъ давали большой просторъ памяти, а поэтому заучиваніе прим?няли широко; требованія въ этомъ отношеніи простирались такъ далеко, что ученики обязаны были запоминать произведенія вс?хъ первыхъ сорока чиселъ на однозначныхъ множителей, сл?довательно 360 произведеній, кром? того, квадраты вс?хъ чиселъ, выраженныхъ полными десятками, кончая 90X90, и произведенія вс?хъ однозначныхъ чиселъ на полные десятки, кончая 9?90. Всего набирается бол?е 400 произведеній. И такую-то массу должна была поглотить память учащихся! Сколько же труда и сколько времени надо было истратить на это! В?дь учили прямо наизусть, безъ всякихъ разъясненій и въ громадномъ большинств? случаевъ безъ всякаго пониманія. Трудно и теперь ребятамъ, когда ихъ заставляютъ заучивать таблицу умноженія, не напрактиковавши ихъ, какъ она составляется; но неизм?римо трудн?е приходилось ученивамъ среднев?ковой школы, въ которой требовали гораздо больше, а давали гораздо меньше.[7]

Римляне, чтобы облегчить себ? перемноженіе чиселъ, содержащихъ много разрядовъ, пользовались длинн?йшими таблицами умноженія, въ которыхъ множителями служили вс? числа до изв?стнаго пред?ла. Съ такими таблицами—ихъ, конечно, не заучивали, а только держали всегда записанными подъ рукой—римляне довольно быстро вычисляли сложныя и трудныя произведенія.

Письменно таблица представляется въ различныхъ формахъ. Изъ нихъ самая общеизв?стная—Пи?агорова таблица; ея мы не пом?щамъ, она есть въ каждомъ учебник?. Но есть еще фигура треугольника.

Французскій математикъ Chuquet (1484 г.) представляетъ таблицу умноженія въ такой форм?:

Про то, какъ составляется обыкновенная таблица умноженія, говорилось подробно въ большинств? учебниковъ и объяснялось н?сколькими, иногда многими способами. Но пропускался самый главный и простой способъ, когда таблицу составляютъ посл?довательнымъ сложеніемъ, или набираніемъ. Вм?сто него приводились такіе запутанные и искуственные пріемы, что, д?йствительно, гораздо легче было выучить таблицу наизусть, не понимая ея, ч?мъ запомнить эти пріемы и особенно понять ихъ; они представляли изъ себя не столько ари?метическое содержаніе, сколько алгебраическія формулы и пом?щались, какъ видно, больше для того, чтобы придать курсу серьезную, научную окраску. Между прочимъ, встр?чаемъ въ старыхъ ари?метикахъ такое правило: «умножь перваго производителя на 10 и вычти отсюда произведеніе того же перваго производителя на дополненіе второго производителя до десяти»; это ясн?е видно на прим?р?: чтобы составить, наприм?ръ, 4?7, надо 4 умножить на 10, будетъ 40, потомъ 4 на 3, потому что 3 служитъ дополненіемъ 7-ми до 10, будетъ 12, и, наконецъ, изъ 40 вычесть 12, тогда остатокъ 28 и составитъ произведеніе 4 на 7. Какія все это лишнія хлопоты и затрудненія! Они всегда неизб?жны, если на д?ло смотр?ть не прямо и просто, а съ предвзятой точки зр?нія, и въ данномъ случа? съ той ошибочной точки зр?нія, что будто бы ч?мъ объясненіе или способъ трудн?е, т?мъ научн?е. Не можетъ же быть, чтобы авторы учебниковъ, люди довольно искусные въ изобр?теніи разныхъ пріемовъ, не зам?чали среди нихъ самыхъ простыхъ и естественныхъ; но они какъ бы ст?снялись высказать простое слово.

Педагогика римлянъ и грековъ въ этомъ отношеніи гораздо разумн?е среднев?ковой, она смотр?ла на науку практичн?е и старалась сд?лать ее ясной и доступной. Не даромъ римлянамъ принадлежитъ ум?нье составлять таблицу на пальцахъ, о чемъ сказано выше.

Примечания:

7

Вельдоманди, итальянскій математикъ (1380–1428), пом?щаетъ въ своей рукописной ари?метйк? таблицу умноженія вс?хъ чиселъ въ пред?л? 22-хъ. По его словамъ, надо было пойти и дальше, да листа не хватаетъ.