Вычитаніе ц?лыхъ отвлеченныхъ чиселъ

До настаящаго времени изв?стно всего на всего 5 способовъ письменнаго вычитанія многозначныхъ чиселъ, считая въ томъ числ? и тотъ, который у насъ общепринятъ теперь. Начнемъ съ него. Мы производимъ письменное отниманіе отъ правой руки къ л?вой, чтобы удобн?е было занимать, а это приходится д?лать всякій разъ, когда какой-нибудь разрядъ вычитаемаго не отнимается отъ разряда уменьшаемаго. Въ противоположноеть этому порядку, арабскій математикъ Бенъ-Муза, жившій при двор? халифа Аль-Мамума въ IX в. по Р. X., настаиваетъ на вычитаніи съ высшихъ разрядовъ, т.-е. отъ л?вой руки къ правой; причины онъ не объясняетъ, а просто говоритъ «такъ полезн?е и легче». Вовсе не легче, прибавимъ мы отъ себя, потому что, если случается занимать, то нужно бываетъ перетирать цифры. Впрочемъ, весьма возможно, что Бенъ — Муза вычислялъ на песк?, на абак?, и ему ничего не стоило перем?нить лишній разъ цифру; но очень неразсчетливо поступаютъ т? авторы, которые ведутъ вычисленія на бумаг?, а правила даютъ такія, какія пригодны толькодля абака: в?дь на абак? все можно стереть и все зам?нить новымъ, а на бумаг? постоянныя перечеркиванья приводятъ къ путаниц?, сбивчивости и къ лишнимъ усложненіямъ. Вотъ прим?ръ, взятый изъ одного н?мецкаго сборника XIII в?ка. Дается вычесть 144 изъ 810; отнимаемъ 4 отъ 810, получится 806; при этомъ цифры 1 и 0 мы зам?няемъ цифрами 0 и 6. Дал?е, вычитаемъ 4 десятка изъ 0, надо занять сотню, остатокъ будетъ всего 766; при этомъ цифры 8 и 0 зам?нились другими: 7 и 6. Когда, наконецъ, вычтемъ 100 изъ 766, то получимъ искомый отв?тъ 666. Такимъ путемъ посл? трехъ изм?неній цифръ приходимъ мы къ отв?ту 666.

Максимъ Планудесъ, византійскій математикъ XIV в?ка, вычитаетъ точно такъ, какъ мы, но пишетъ вс? вычисленія гораздо подробн?е, такъ какъ не над?ется на устный счетъ и приводитъ все д?ло къ механическому записыванію. Если бы потребовалось вычесть 26158 изъ 35142, то по Планудесу мы, во-первыхъ, должны были бы остатокъ записать вверху, надь чертой, точно такъ, какъ и сумму онъ же рекомендуетъ писать вверху надъ слагаемыми:

08984

—————

24031

35142

26158;

во-вторыхъ, надъ уменьшаемымъ появляется какой-то странный рядъ цифръ 24031. Объясняется онъ такъ. Когда мы начинаемъ д?йствіе справа и хотимъ вычесть 8 изъ 2, то, конечно, намъ вычесть нельзя, и мы должны къ 2 единицамъ еще занять 1 десятокъ изъ 4-хъ; вотъ этотъ — то одинъ занятой десятокъ и пишется надъ цифрой единицъ и образуетъ вм?ст? съ ней 12; 8 изъ 12=4, сл?довательно, простыхъ единицъ въ отв?т? 4. Вычитая дал?е десятки, мы должны считать ихъ въ уменьшаемомъ не 4, а 3, такъ какъ одинъ десятокъ раздробленъ въ простыя единицы; и вотъ, чтобы не сбиться, Планудесъ ставитъ надъ цифрой десятковъ 4 новую цифру 3 и продолжаетъ находить отв?тъ также для сотенъ, тысячъ и десятковъ тысячъ. Изъ этого видно, что рядъ цифръ 24031 представляетъ собою исправленные разряды числа, когда въ нихъ произошло заниманіе.

Во вс?хъ разобранныхъ прим?рахъ, начиная съ Бенъ-Музы, проявляется, несмотря на видимое разнообразіе подробностей, одинъ и тотъ же основной пріемъ, и очевидно тотъ самый, который прим?няется и въ нашемъ настоящемъ способ? вычитанія. Это не важно, съ какой руки начинать д?йствіе, и гд? записывать цифры, которыя мы привыкли держать въ ум?, но важно то, какъ производить заниманіе, потому что оно составляетъ самое трудное и сбивчивое м?сто во всемъ вычитаніи. Во вс?хъ прим?рахъ, взятыхъ выше, заниманіе производилось нормальнымъ путемъ: если, напр., единицъ внизу больше, ч?мъ вверху, то берется десятокъ, прикладывается къ единицамъ, и такимъ образомъ д?йствіе становится возможнымъ. Въ виду одинаковости заниманія, мы относимъ вс? предыдущіе прим?ры къ одному виду, или способу, который мы и называемъ первымъ способомъ вычитанія.

Чтобы объяснить второй способъ, беремъ прим?ръ: 5975—497. Такъ какъ 7 изъ 5 не отнимается, то отнимаемъ 7 изъ 15, будетъ 8. Но, вычитая 7 изъ 15-ти вм?сто 5-ти, мы этимъ къ уменьшаемому прибавляемъ лишній десятокъ. такъ какъ въ немъ простыхъ единицъ всего только 5, а мы говоримъ 15. Но не будемъ занимать этого десятка отд?льно въ десяткахъ уменьшаемаго, потому что такимъ путемъ мы опять придемъ къ 1-му способу; вм?сто того, мы отнимаемъ этотъ занятой десятокъ отъ 7 десятковъ уменьшаемаго тогда, когда будемъ отнимать десятки вычитаемаго, и намъ вм?сто 9 придется отнять 10 десятковъ; такъ какъ 10 изъ 7-ми не вычитается, то надо занять сотню; ее мы опять-таки не будемъ занимать отд?льно и не будемъ отнимать прямо отъ 9 сотъ уменьшаемаго, а вычтемъ вм?ст? съ 4-мя стами. Тогда, отнявши отъ 9 сотъ 5, получимъ 400. Теперь легко понять, ч?мъ отличается второй способъ вычитанія отъ перваго. По второму способу тотъ десятокъ или та сотня, которые мы занимаемъ, не отнимаются сейчасъ же отъ десятковъ или сотенъ умевьшаемаго, а придаются къ десяткамъ или сотнямъ вычитаемаго, и тогда уже вычитаются вм?ст? съ ними; сл?довательно, не цифры уменьшаемаго понижаются на единицу, а наоборотъ цифры вычитаемаго повышаются на единицу, если только, конечно, изъ соотв?тетвующаго разряда занимаютъ. Вотъ еще прим?ръ: 1236—879. Р?шеніе: 9 изъ 16-ти—7, 8 изъ 13-ти—5, 9 изъ 12-ти—3, всего 357. Чтобы отм?тить, какія цифры вычитаемаго повышаются, надъ ними ставятъ точки. Этотъ второй способъ получилъ начало уже давно, еще со времени М. Планудеса и ран?е, прим?няется же онъ теперь иногда во французскихъ школахъ. Въ немъ видятъ даже н?которое удобство, сравнительно съ нашимъ пріемомъ, потому что въ немъ занятая единица всегда прикладывается, а у насъ отнимается, прикладывать же вообще проще и естественн?е, ч?мъ отнимать, такъ какъ и сама ари?метика начинается съ элементарнаго прикладыванія, т.-е. счета по единиц?. Но, разум?ется, это выгода довольно призрачная, и все д?ло зависитъ отъ привычки: насъ пріучали съ малыхъ л?тъ ставить точку надъ уменьшаемымъ, а не надъ вычитаемымъ, и это насъ не затрудняетъ, а даже кажется бол?е легкимъ.

Третій способъ, предложенный Адамомъ Ризе, н?мецкимъ педагогомъ XVI в?ка, примыкаетъ къ первому. Объяснимъ его на прим?р?: 85322—67876. Ведемъ вычитаніе съ простыхъ единицъ. По обыкновенному пріему надо бы 6 вычесть изъ 12-ти, а мы по этому третьему способу вычтемъ 6 не изъ 12-ти, а изъ 10-ти, и этотъ 1 десятокъ занимаемъ у 2 десятковъ уменьшаемаго. 6 изъ 10 составитъ 4, да 2 единицы въ уменьшаемомъ, всего будетъ 6. Дал?е вычитаемъ десятки. Такъ какъ 7 не вычитается изъ двухъ, или в?рн?е изъ одного, потому что одинъ десятокъ мы уже заняли, то надо намъ занять сотню и раздробить ее въ десятки; сотня даетъ 10 десятковъ, вычтемъ изъ нихъ 7, тогда получимъ въ разности 3; да еще въ уменынаемомъ 1 десятокъ, итого накопится въ остатк? 4. Такъ же поступаемъ и съ остальными разрядами: 10—8=2, да 2, всего 4 сотни; 10—7=3, да 4 тысячи, всего 7 тысячъ; 10—6=4, да 8, всего 12 десятковъ тысячъ; но изъ этихъ 12 десятковъ тысячъ надо исключить 1 сотню тысячъ, потому что мы ее какъ бы заняли, а между т?мъ занять-то было не у чего, то мы ее теперь и счеркиваемъ у остатка. Выводъ относительно третьяго способа получается сл?дующій. Онъ основанъ на отниманіи каждаго разряда вычитаемаго отъ 10-ти и прибавленіи разрядовъ уменьшаемаго, а такъ какъ разность между какимъ-нибудь однозначнымъ числомъ и десятью называется дополненіемъ этого числа до 10-ти, то способъ Адама Ризе можно еще выразить такъ: къ разрядамъ уменьшаемаго надо прикладывать дополненія разрядовъ вычитаемаго до 10-ти. Еще прим?ръ:

1 9 0 3 3 0 9 1

  2 7 8 5 3 0 6

———————————————

1 6 2 4 7 7 8 5;

Р?шается онъ такъ: 4, дополненіе 6-ти до 10-ти, да 1, будетъ 5; 10, дополненіе нуля до 10-ти, да 8, потому что 1 занята, составитъ 18, изъ нихъ 8 пишемъ, а 1 сотню отбрасываемъ, потому что, когда мы брали дополненіе, то для этого намъ необходимо было им?ть сотню, а такъ какъ мы ея не занимали въ уменьшаемомъ, то и счеркиваемъ ее въ остатк?. Такъ же поступать надо и въ другихъ подобныхъ случаяхъ, именно когда дополненіе вычитаемаго вм?ст? съ разрядомъ уменьшаемаго дастъ бол?е 10-ти, то десятокъ счерки-вается. Способъ Адама Ризе былъ знакомъ его современникамъ, но особаго развитія и распространеиія онъ не получилъ. Онъ очень на-поминаетъ новый, пятый способъ, который пом?щаемъ ниже.

Четвертое правило вычитанія принадлежитъ арабскому ученому Алькальцади изъ Андалузіи (XV в.). Чтобы, наприм?ръ, вычесть 287 изъ 573, надо сперва 7 простыхъ единицъ вычесть изъ 3-хъ. Конечно, 7 изъ 3-хъ не вычитается, но прежде ч?мъ занимать десятокъ, Алькальцади задается вопросомъ: много ли недостаетъ къ тремъ для того, чтобы изъ нихъ можно было вычесть семь? Оказывается, недостаетъ четырехъ. И вотъ мы занимаемъ теперь десятокъ изъ 7 десятковъ, раздробляемъ его въ единицы и вычитаемъ столько, сколько не хватало, т.-е. 4, въ остатк? будетъ 6. Такимъ же образомъ идетъ вычисленіе и съ десятками, и съ сотнями: 8 изъ 6, недостаетъ двухъ, вычитаемъ 2 изъ 10-ти, будетъ 8 десятковъ; на-конецъ, 2 сотни изъ 4 сотенъ дадутъ 2 сотни, веего 286.

Связь между способами первымъ, третьимъ и четвертымъ мы представимъ для ясности еще разъ на двузначныхъ числахъ. Возьмемъ 41–27. По первому способу необходимо 7 вычитать изъ 11-ти, по третьему 7 вычитается изъ десяти, и къ полученному прибавляется 1, а по четвертому изъ 10-ти вычитается недостатокъ единицы противъ 7-ми. Что касается второго способа, то въ немъ, какъ и въ первомъ, 7 вычитается изъ 11-ти, но за то потомъ, когда идетъ отниманіе десятковъ, не 2 десятка отнимается изъ 3-хъ, а 3 изъ 4-хъ.

Пятый и посл?дній способъ сходенъ по своей основной мысли со способомъ Адама Ризе. Въ немъ прибавляется къ разрядамъ уменьшаемаго дополненіе разрядовъ вычитаемаго, при чемъ дополненіе берется то до 10-ти, то до 9-ти: до десяти тогда, когда надъ цифрой уменьшаемаго не стоитъ точки, которая бы показывала, что зд?сь единица занята, а до 9-ти тогда, когда стоитъ точка. Прим?ръ: 731–264. Чтобы произвести это вычитаніе по пятому способу, прибавляемъ къ одной простой единиц? уменьшаемаго 6, т.-е. дополненіе 4-хъ единицъ вычитаемаго до 10-ти; получится 7. Дал?е беремъ десятки: 3 да 3 составитъ 6, при чемъ вторая тройка представляетъ собой дополненіе 6 десятковъ вычитаемаго до 9-ти, а до 9-ти потому, что надъ десятками уменьшаемаго стоитъ точка, какъ знакъ заниманія. Наконецъ, опред?ляемъ сотни: 7 да 7-мь 14, 4 беремъ, а 1 скидываемъ. Окончательный отв?тъ будетъ 467. Теперь надо объяснить, почему мы такъ д?лаемъ, и на чемъ основанъ этотъ способъ. Намъ требовалось отнять 264, а мы не только не стали отнимать, но даже начали прикладывать и приложили всего 7 сотенъ 3 десятка 6 единицъ. На сколько же мы ошиблись, благодаря тому, что вм?сто отниманія 264-хъ прибавили 736? Очевидно, на 736+264, т. е. ровно на тысячу.

Эту свою ошибку мы и исправляемъ въ самомъ конц?, отчеркивая у отв?та тысячу. Если бы намъ данъ былъ прим?ръ 34985322— 12467876, то вычисленіе получилось бы такое: 2+4=6, 2+2=4, 3+1=4, 5+2=7, 8+3=11, изъ этого л?вая единица скидывается, 9+6=15, 4+8=12, 9+3=12, вс? л?выя единины окидываются. Если нужно д?йствіе производить поскор?е, то лучше точки ставить не надъ уменьшаемымъ, а надъ вычитаемымъ. И вообще этотъ пятый способъ напоминаетъ собою второй епособъ т?мъ, что занимаемую единицу можно считать приложенной къ вычитаемому, а не отнятой отъ уменьшаемаго.