Сложеніе ц?лыхъ отвлеченныхъ чиселъ

Это д?йствіе безспорно и безъ всякаго сомн?нія занимаетъ первенствующее м?сто въ ряду четырехъ д?йствій, потому что безъ сложенія не обойтись нигд?. «Что есть аддиціо или сложеніе?» спрашиваетъ славянскій учебникъ ари?метики и отв?чаетъ: «Аддиціо, или сложеніе, есть дву или многихъ числъ во едино собраніе, или во единъ перечень совокупленіе». И продолжаетъ сейчасъ же за этимъ: «Удобн?йшаго же ради, и скораго сложенія, подобаетъ прежде предложенную таблицу им?ти въ разум? твердо, да всякихъ числъ сложеніе творити имаши скоро и изв?стно, безъ всякаго забвеніа и лжи». Табличку надо было выучить непрем?нно наизусть и помнить ее твердо, твердо, иначе все ари?метическое зданіе могло бы рушиться, потому что въ старинныя времена оно гораздо больше основывалось на чистомъ запоминаніи, ч?мъ на сужденіи и вывод?. Учителя кр?пко уб?ждаютъ помнить табличку, и вотъ даже стихи въ одной изъ ари?метикъ:

«Къ двумъ единъ то есть три,
Два же къ тремъ пять смотри,
Такъ и все назирай Таблицу разбирай.
Хотяй же не лгати
Похвально слагати,
Да тщится познати,
Изустно сказати».

Въ нашихъ нын?шнихъ учебникахъ ари?метики таблица сложенія начинается съ 1+1 и кончается 9+9. Но прежде было иначе. Напр., въ ари?метик? Леонардо Фибонначи (1200 г.), первомъ европейскомъ учебник?, составленномъ по арабскому образцу, рекомендуется заучить не только таблицу единицъ, но и ц?лую таблицу десятковъ отъ 10+10 до 90+90. Зд?сь, конечно, видна непосл?довательность: если учить десятки, то отчего же не учить сотни, тысячи и вс? остальные разряды. Въ противоположность такой большой таблиц?, русскіе учебники XVII в. даютъ таблицу маленькую, которая кончается всего на всего суммой 11, а до 18-ти не доходитъ Заглавіе этой таблицы такое: «Граница изустная счетная къ разуму хотящему разум?ти благая и полезная». Подобныхъ высокопарныхъ выраженій ц?лая тьма въ старинныхъ ари?метическихъ пособіяхъ.

Сложеніе большихъ чиселъ, особенно же многозначныхъ чиселъ издавна производилось гораздо чаще на счетныхъ приборахъ, ч?мъ письменно. Разныя наглядныя пособія для счета и придумывались, главнымъ образомъ, для того, чтобы помочь сложенію. У китайцевъ— сванъ-панъ, у грековъ и римлянъ—абакъ, у насъ, русскихъ, торговые счеты, да, кром? того, еще н?сколько видоизм?неній этихъ приборовъ—все это служило ц?лямъ отысканія суммы. И надо сказать, что привычка складывать на приборахъ очень укоренилась въ простомъ народ? во вс?хъ почти странахъ и при томъ настолько сильно, что, наприм?ръ, римскій абакъ употреблялся для сложенія въ Западной Европ? стол?тія 3–4 спустя посл? введенія индусской системы.

Способомъ, переходнымъ отъ абака къ нашему настоящему, является такой. Положимъ, даны намъ два числа: 666 и 144; подписавши 144 подъ 666 и опред?ливъ сумму единицъ 10, мы стираемъ 6 у верхняго слагаемаго и пишемъ вм?сто него 0, а такъ какъ сумма единицъ дала десятокъ, то и цифру десятковъ 6 стираемъ и пишемъ 7, теперь слагаемыя изм?нились: 670 и 144; десятковъ въ сумм? получитея 11, сл?довательно стираемъ 7 и зам?няемъ черезъ 1 и также вм?сто 6-ти сотенъ пишемъ 7; теперь намъ остается тодь-ко сложить 7 сотенъ съ 1, будетъ 8; эта цифра пишется вм?сто 7 сотенъ, и весь отв?тъ получается на м?ст? перваго слагаемаго въ вид? 810. Пять разъ намъ приходилось стирать, прежде ч?мъ добраться до в?рнаго отв?та. Несомн?нно, такимъ путемъ трудно д?йствовать на бумаг?, но онъ былъ ум?стенъ на абак?, покрытомъ пескомъ; еще можно попытаться на грифельной доск?, но эти по-стояннныя стиранія надо?даютъ; почему же они прим?нялись и на бумаг?? в?дь отъ нихъ н?тъ никакой выгоды и одно только неудобство? А потому, что прежняя метода обученія стремилась обратить челов?ка въ машину, не полагалась на его личную сообразительность и предписывала все отм?чать на абак?, но никакъ не удерживать въ ум?. Мы теперь запоминаемъ десятки или сотни, получившіяся отъ единицъ или десятковъ, а тогда вс? мелочи необходимо было писать, чтобы не утерять.

Механическій характеръ цифрового сложенія, безъ всякаго пособія устнаго счета, ясно проглядываетъ у большинства среднев?ковыхъ писателей. Магометъ Бега-эддинъ (XVI в.) подписываетъ слагае-мыя правильно одно подъ другимъ и складываетъ единицы опять же правильно, но когда изъ нихъ образуется десятокъ, то онъ не знаетъ, что съ нимъ д?лать, и пока до поры до времени записываетъ его надъ десятками; дал?е ведетъ сложеніе десятковъ и, только получивъ ихъ сумму, онъ вспоминаетъ про десятокъ, образовавшійся изъ единицъ и тутъ его прикладываетъ. Сложеніе другихъ разрядовъ идетъ подобнымъ образомъ. Прим?ръ:

  1 1 1 1

5 3 7 3 9

2 8 2 6 5

—————————

7 1 9 9 4

  8 2 0 0

Вотъ каково недов?ріе къ соображенію учениковъ и какая подробная механичность.

Въ этомъ род?, иногда съ небольшими улучшеніями, составленъ рядъ учебниковъ по ари?метик? въ XVI–XVIII вв. Въ нихъ даются пространныя правила, какъ надо располагать слагаемыя и какъ зам?чать цифры. Эти правила нисколько не объясняются, и вычисляющій долженъ работать съ ними, какъ машина. Напр., Грамматеусъ, составитель н?мецкаго учебника XVI в., даетъ три такихъ правила: 1-е: Смотри тщательно, чтобы цифры стояли какъ разъ одна надъ другой, такъ, чтобы 1-ая стояла надъ 1-ой, 2-ая надъ 2-ой и т. д.; проведи подъ этимъ линію, подъ которой и надо писать сумму. 2-е правило: Начинай съ правой руки, сложи вс? числа, которыя стоятъ на первомъ м?ст?; если получится отъ сложенія дв? цифры, то первую напиши, а вторую удержи въ ум?, съ т?мъ, чтобы прибавить ее къ сл?дующей; такъ же поступай и со вс?ми остальными. 3-е правило: Въ конц? ничего не надо держать въ ум?, но все надо писать. Все время употребляй слово «и» или «да», наприм?ръ, три да четыре—семь.

Въ настоящее время способъ сложенія тотъ же, что и въ старину. Правда, мы всегда начинаемъ д?йствіе съ правой руки, когда вычисляемъ письменно, въ старину же д?лали и съ л?вой. Кром? того, наши ученики нер?дко относятоя совершенно сознательно къ д?йствію и понимаютъ, что и для чего д?лается. Но въ общемъ характеръ сложенія не изм?нился сь самыхъ т?хъ поръ, какъ установилась индусская система съ ея нулемъ и значеніемъ цифръ по м?сту, ими занимаемому.

Н?которыя особенности можно отм?тить только въ сл?дующихъ трехъ пріемахъ, которые принадлежатъ индусамъ, арабамъ и грекамъ.

Арабскій ученый Алькальцади (XV в.), сов?туетъ писать сумму надъ слагаемыии, а внизу пом?щать т? цифры, которыя мы обыкновенно держимъ въ ум?. Наприм?ръ, дано сложить 48 съ 97-ю. Получится такое вычисленіе:

145

———

 97

 48

  1

Такое записываніе довольно неудобно, потому что при немъ необходимо впередъ приготовить м?сто для суммы.

Греческій монахъ Максимъ Планудесъ (XIV в.), единственный представитель математическихъ знаній во весь византійскій періодъ греческой исторіи и къ тому же ученый не самостоятельный, а черпавшій свои пріемы изъ арабскихъ источниковъ, предлагаетъ записывать сумму надъ слагаемыми, а не подъ ними, въ остальномъ же его cпособъ сходенъ съ нашимъ.

Индусы, какъ бол?е всего расположенные къ устному счету, вводили въ сложеніе, сравнительно съ другими народами, мен?е механичности и cтарались развивать въ ученикахъ сообразительнооть, быстроту вычисленій и ум?нье упрощать д?йствія. При многозначныхъ числахъ они писали слагаемыя въ строку и складывали ихъ по разрядамъ. 365+867+992 индусы вычисляли такъ: 5+7+2=14, 6+6+9=21, 3+8+9=20; всего 2224. Такъ идетъ д?ло у индусскаго писателя Баскары (XII в. по Р. X.).

Заканчивая эту главу, упомянемъ еще о терминахъ сложенія, т.-е. о названіи д?йствія и объ именахъ данныхъ и искомыхъ при немъ чиселъ. Среднев?ковая ари?метика вводила массу терминовъ. Такъ, вм?сто «сумма», говорилось еще: аггрегатъ, коллектъ, продуктъ. Вм?сто «сложить», итальянскій ученый Тарталья приводитъ ц?лыхъ 12 терминовъ. Въ старинныхъ русcкихъ ари?метикахъ слагаемыя назывались перечнями, а сумма — исподнимъ большимъ перечнемъ, очевидно, потому, что принято было писать ее внизу, подъ малыми перечнями.