Пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней.

Не только въ одной ари?метик?, но и почти во вс?хъ другихъ наукахъ идетъ постоянная разработка вопроса, что должно служить ихъ содержаніемъ, и изъ чего долженъ слагаться ихъ матеріалъ. Въ зависимости отъ способовъ изсл?дованія и отъ пріемовъ обученія содержаніе учебнаго предмета то увеличиваетея, то уменьшается, то зам?няется другимъ. Ари?метика не мало за свою многов?ковую жизнь потерп?ла изм?неній. Началась она съ вычисленій надъ ц?лыми числами, потомъ къ ней присоединились дроби и именованныя числа, зат?мъ рядъ другихъ отд?ловъ и среди нихъ пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней. Поговоримъ о нихъ въ отд?льности.

Пропорціи первоначально разрабатывались въ геометріи и занимали въ ней видное м?сто, он? прим?нялиеь къ подобію фигуръ; и такъ какъ геометрія составляла любимый предметъ греческихъ математиковъ, то естественно вышло, что разработка пропорцій является заслугой греческихъ ученыхъ. Знаменит?йшій геометръ Эвклидъ (III ст. до Р. X.), система котораго вдохновляла вс?хъ поздн?йшихъ геометровъ, и европейскихъ и азіатскихъ, и труды котораго считаются классичеекями и незам?нимыми по настоящее время, далъ среди другихъ искусно разработанныхъ отд?ловъ отд?лъ о пропорціяхъ. Вліяніе Эвклида на посл?дующія покол?нія было громадно, и оно даетъ себя чувствовать и теперь, поэтому то направленіе, которое придалъ пропорціямъ Эвклидъ, преобладаетъ и теперь въ болышинств? учебниковъ. Вкратц? по отношенію къ ари?метик? его можно охарактеризовать т?мъ, что пропорціямъ отводится въ ари?метик? бол?е высокое м?сто, ч?мъ он? заслуживаютъ, и на нихъ бол?е обращаютъ вниманія, ч?мъ это должно было бы вызываться содержаніемъ ари?метияи и ея ц?лями. Всякій, кто проходилъ ари?метику въ школ? и изучалъ пропорціи, вспомнитъ нав?рное, что этотъ отд?лъ вызывалъ въ немъ недоум?ніе, казался какимъ-то чуждымъ и даже труднымъ. И д?йствительно, пропорціи надо бы, по настоящему, исключить изъ курса элеиентарной ари?метики и ввести въ составъ буквеиной, общейари?метики, т.-е. теоріи чиселъ. Пропорціи не учатъ вычисленіямъ, которыя одни только и составляюгь матеріалъ элементарной ари?метики, но он? излагаютъ н?которыя общія свойства, которыя, въ силу своей общности, подлежатъ ари?метик? не вычисляющей, а обобщающей, т.-е. теоріи чиселъ и алгебр?: тамъ ихъ естественное и законное м?сто. Надо пожелать, чтобы глава о пропорціяхъ была исключена изъ ари?метическаго курса средней школы. Въ геометріи она необходима, тамъ она пусть останется, и пусть геометрическое ученіе о пропорціяхъ послужитъ иачаломъ для алгебраическаго, какъ бол?е наглядное должно служить фундаментомъ для отвлеченнаго. Напрасно думаютъ иные, что пропорціи нужны для задачъ на тройное правило, на правило процентовъ и т. д. Вс? эти задачи могутъ прекрасно обойтись безъ пропорцій и р?шаться приведеніемъ къ единиц?, а еще лучше различными искусственными упрощающиии пріемами, которые скор?е ведутъ къ ц?ли и могутъ бол?е изощрить мышленіе учениковъ. Практическая жизнь сильно суживаетъ прим?неніе пропорцій, сравнительно съ т?ыъ, какое имъ дается въ ари?метик?, Напр., бываютъ въ ари?метик? задачи: «1 арш. стоитъ 2 руб. Сколько стоятъ 1000 аршинъ»? Всякій торговый челов?къ, даже неучившійся ари?метик?, знаетъ, что при большихъ партіяхъ товара обязательно д?лается уступка и сл?д. 1000 арш. обойдутся не въ 2000 руб., а н?сколько дешевле. Подобныхъ задачъ, гд? расходится ари?метіческая точность съ житейской практикой, можно привести массу, и поэтому не удивительно, если при н?которой неосторожности ученики вм?сто полезныхъ выводовъ получаютъ отъ цропорцій н?что сумбурное и несообразное, доходящее даже до изв?стныхъ курьезовъ, въ род?: «одинъ челов?къ пройдетъ весь путь во столько-то времени, сколько времени потребуется, если пойдутъ вм?ст? два челов?ка». Мы, конечно, см?емся надъ несообразительностью маленькаго ученика, но мы несправедливы,когда объясняемъ нел?пый отв?тъ только тупостью ученика; н?тъ, виноваты и мы, потому что заставляемъ изучать въ ари?метик? отд?лъ чуждый, отвлеченный, не вытекающій изъ предыдущихъ отд?ловъ.

Прогрессіи. Прогрессіей, какъ изв?стно, называютъ рядъ чиселъ, расположенныхъ въ оцред?ленномъ порядк? уменьшенія или увеличенія. Напр., рядъ 2, 4, 6, 8, 10 и т. д. составляетъ ирогрессію, потому что входящія въ него числа все увеличиваются на 2; точно также прогрессіей будетъ называться и рядъ такой: 4, 2, 1, ?, ?, ,?, 1/16, и такъ дал?е, потому что пом?щенныя зд?сь числа цостепенно все уменьшаютея вдвое. Въ старинныхъ учебникахъ ари?метики прогрессіи считались необходимой главой и пом?щались въ нихъ всегда, и это было до средины прошлаго ХІХ-го в?ка. При этомъ, изложеніе часто отличалось неясностью и сбивчивостью, такъ что, напр., прогрессія см?шивалась съ пропорціей, какъ у Магницкаго на стр. РОФ

«Что есть прогрессіо: Прогрессіо есть пропорціо, или подобенство числъ къ числамъ въ примноженіи или во уменьшеніи яковыхъ либо перечневъ и разд?ляются на три вида, иже суть: ари?метическое, геометрическое и армоническое. О армоническомъ иди муссикiйскомъ н?сть треба намъ глаголати. Въ ари?метическомъ прогреесіи въ примножительномъ егда къ первому числу приложиши разнство тогда исполнится другое, егда же ко другому чнслу тожде разнство приложиши, тогда будетъ третіе число. А во умалительномъ прогрессіи аще вычтеши разнство отъ перваго числа останется другое, а отъ другого третье и прочая».

И т. дал?е.

 Въ иныхъ старинныхъ ари?метивахъ къ прогрессіямъ еще присоединялось вычисленіе рядовъ. Такъ, напр., арабскiй математикъ Алькархи (въ XI в. по Р. Христ.) далъ правило, какъ вычислять сумму кубовъ ряда посл?довательныхъ чиселъ, начиная съ единицы.

Прим?ры на правило Алъкархи можно привести такіе:

1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)², такъ какъ 1 + 8 + 27 =6 X 6

1³+2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)², такъ какъ 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 15 X 15

и т. д.

Въ настоящее время прогрессіи и ряды не встр?чаются въ учебникахъ ари?метики и не входятъ въ школьную программу по этому предмету. Теперь признано, что для полнаго объясненія этихъ отд?ловъ нужна общая количественная наука, а не частная, числовая, т.-е. не ари?метика, а алгебра.

Извлеченіе корней до самаго посл?дняго времени входило въ составъ ари?метики и содержалось даже въ н?которыхъ учебникахъ 60-хъ годовъ прошлаго стол?тія, напр., въ задачник?, изданномъ департаментомъ народнаго просв?щенія, им?лись задачи на квадратные и кубическіе корни. Этотъ отд?лъ, д?йствительно, вполн? числовой, и процессъ извлеченія корня очень подходилъ бы къ курсу ари?метики, но только въ томъ б?да, что трудно провести хорошее объяененіе этого д?йствія безъ помощи алгебры, поэтому теперь извлеченіе корней признается обыкновенно частью алгебры.

Ум?ли извлекать корни индусскіе и арабскіе математики, также и греческіе ученые. Индусамъ и арабамъ были изв?стны начала алгебры и даже въ такой м?р?, что они могли р?шать квадратныя уравненія. Поэтому вполн? сл?довало ожидать того, что уже въ ХІІ в. по Р. X. извлеченіе корней шло почти такъ же, какъ идетъ оно сейчасъ у насъ.