Десятичныя дроби.

Первые намеки на десятичныя дроби можно просл?дить у творцовъ ари?метики,—индусовъ. Они пользовались ими при извлеченіи квадратныхъ корней, въ т?хъ случаяхъ, когда корень не извлекается точно; тогда они прписывали столько паръ нулей, сколько желательно им?ть лишнихъ знаковъ въ корн?. Индусы писали десятичныя дроби со знаменателями, и имъ не удалось распространить общей десятичной нумераціи также и на дроби. Заслуга въ этомъ отношеніи принадлежитъ арабамъ, и въ частности т?мъ арабамъ, которые жили въ Испаніи. Между 1130 и 1150 г. по Р. X. появилось въ Толедо сочиненіе «Практическая ари?метика алгоризма», принадлежащее Іоанну Севильскому. У него уже зам?тны явственные сл?ды десятичныхъ дробей, и при томъ съ такимъ характеромъ, какой он? носятъ у насъ.

Посл? Іоанна Севильскаго десятичныя дроби какъ-то стушевываются, т?мъ бол?е, что т? времена были не особенно благопріятны вообще для западно-европейской науки. Но идея не пропала, и ее мы видимъ возрожденной у Кардана (XVI ст.). Между прочимъ, он? стали прим?няться въ тригонометріи для вычисленія синусовъ. Кр-м? того, стали ими пользоваться при д?леніи съ остаткомъ, чтобы выразить отв?тъ точн?е и дать въ частномъ не только ц?лыя числа, но и рядъ долей съ десятичными знаменателяии. Грамматеусъ въ 1523 году сов?туетъ прим?нять десятичныя дроби къ такому случаю. Пусть требуется сравнить ? съ ? и узнать, которая величина больше. Тогда мы къ каждому числителю приписываемъ по нулю, иначе сказать—раздробляемъ въ десятыя доли, и д?лимъ на знаменателя, получимъ 62? и 66?, сл?д., вторая величина бол?е первой.

Честь полнаго введенія десятичныхъ дробей и ихъ толковаго объясненія приписывается Симону Стевину изъ Брюгге (въ Бельгіи), жившему съ 1548 по 1620 г. Заглавіе его сочиненія такое: «La disme ensignant facilement expedier par nombres entiers sans rompouz tous comptes se rencontrans aux affaires des hommes». Вм?сто запятой, отд?ляющей ц?лыя числа отъ долей, это сочиненіе рекомендуетъ ставить нуликъ. заключенный въ скобки. Точно также и у долей былъ при каждомъ разряд? значекъ, напр., 34,7605 писалось сл?дующимъ образомъ: 34 (°) 7 (¹) 6 (²) 0 (³) 5 (⁴). Съ такимъ обозначеніемъ десятичныя дроби входили и въ д?йствія. Положимъ, требовалось умножить 0,0426 на 0,28; тогда вычисленіе располагалось такъ:

Сочиненіе Стевина появилось первоначально въ 1585 г. на фламандскомъ нар?чіи, а потомъ уже оно было переведено и на французскій языкъ. Десятыя, сотыя и т. д. доли назывались долями первыми, вторыми и т. д. (primes, secondes). Стевинъ ясно вид?лъ, что десятичныя дроби были бы особенно полезны въ томъ случа?, если бы везд? была принята десятичная система м?ръ; поэтому онъ энергично настаивалъ на введеніи десятичной системы м?ръ. Впрочемъ, его сочиненіе не сд?лалось изв?стнымъ за пред?лами отечества, и, напр., въ Германіи заслуга введенія десятичныхъ дробей приписывается Бейеру (1563—1625).

Самъ Бейеръ такимъ образомъ излагаетъ путь, которымъ онъ дошелъ до мысли о десятичныхъ дробяхъ: «въ свободное отъ своей службы (Бейеръ былъ врачомъ) время любилъ я иногда заняться астрономіей и математикой; и я обратилъ вниманіе на то, что техники и ремесленники, когда изм?ряютъ какую-нибудь длину, то очень р?дко и лишь въ исключительныхъ случаяхъ выражаютъ ее въ ц?лыхъ числахъ одного наименованія; обыкновенно имъ приходится или брать мелкія м?ры, или обращаться къ дробямъ; точно также астрономы изм?ряютъ величины не только въ градусахъ, но и въ доляхъ градусовъ, т. е. въ минутахъ, секундахъ и т. д.; но мн? кажется, что ихъ д?леніе на 60 частей не такъ удобно, какъ д?леніе на 10, на 100 частей, потому что въ посл?днемъ случа? гораздо легче складывать, вычитать и вообще производить ари?метическія д?йствія; мн? кажется, что десятичныя доли, если бы ихъ ввести вм?сто шестидесятеричныхъ, пригодились бы не только для астрономіи, но и для всякаго рода вычисленій». Для наглядности Бейеръ д?литъ прямую линію на 10 равныхъ частей и называетъ каждый отр?зокъ примой, т.-е. первой долей, или долей перваго порядка; и каждая прима д?лится, въ свою очередь, на 10 равныхъ частей и даетъ 10 секундъ, т.-е. долей второго порядка; изъ секун-ды получается 10 терцій и т. д. Такимъ образомъ ясно видно, что Бейеръ воспользовался для десятичныхъ дробей т?ми же названіями, какія были въ употребленіи въ шестидесятеричныхъ дробяхъ. Такое же заимствованіе сд?лалъ онъ и въ записываніи дробей, потому что, напр., 123, 459872 Бейеръ пишетъ такъ:

т.-е. приводя доли въ трехразрядные классы, или же, наконецъ,

—зд?сь отм?ченъ римской цифрой VI только посл?дній разрядъ. По этой систем? 0,000054 пишется такъ:

VI

54.

Для умноженія дается такое правило: поставь надъ посл?днимъ справа разрядомъ отв?та такой значекъ, который равнялся бы сумм? значковъ множимаго и множителя, стоящихъ надъ ни ми съ праваго края; вс? остальные разряды произведенія опред?лятся по этому крайнему разряду. Прим?ръ:

VI

124 385

умножить на

IV

643

; умноживъ 124385 на 643, получимъ въ отв?т? 79979555. и остается только поставить надъ посл?дней цифрой справа значекъ X, потому что VІ+IV = Х. Результатъ можно прочитать такъ: 79979555 десятаго порядка (десятыхъ скрупуловъ, по выраженік Бейера). Для д?ленія дается такое правило: сд?лай такъ, чтобы в д?лимомъ было столько же знаковъ, сколько и въ д?лител?, или даже больше; если въ д?лимомъ мало знаковъ, то припиши столько нулей, сколько теб? нужно, и это не изм?нитъ величины дроби. Потомъ произведи д?леніе, какъ будто бы это были ц?лыя числа, и у посл?дняго разряда отв?та поставь справа такой значекъ, который бы равнялся разности значковъ д?лимаго и д?лителя. Если при д?леніи получится остатокъ, и если надо частное найти точн?е, то можно приписывать къ д?лимому нуль за нулемъ, сколько угодно разъ, и въ результат? получатся разряды, которыхъ номеръ постепенно понижается на единицу. Въ конц? своей брошюры Бейеръ говоритъ подробно о томъ, какъ изъ десятичныхъ дробей можно получить шестидесятеричныя, и наоборотъ; также о томъ, какъ прим?нять десятичныя дроби къ р?шенію задачъ.

Скоро и англійскій авторъ I. Неппиръ (Nepper) сп?шитъ под?литься съ своими читателями св?д?ніями о новыхъ дробяхъ. Въ его книжк? (1626 г.) дробь пишется такъ: 28°6’7’’5’’’ и читается такъ: 28 ц?лыхъ 6 примъ 7 секундъ 5 терцій. Кром? того, разряды иногда у него разд?ляются точками; 27°:0’:5’’ и т. п. Сложеніе и вычитаніе идетъ у него обыкновеннымъ порядкомъ, такъ же, какъ и у насъ; вотъ прим?ръ сложенія;

При умноженіи не считается необходимымъ, чтобы цифры одинаковыхъ разрядовъ стояли другъ подъ другомъ; надо умножать такъ. какъ будто бы это были все ц?лыя числа, и потомъ сл?дуетъ отсчитать съ правой стороны столько разрядовъ, сколько ихъ вм?ст? въ обоихъ производителяхъ; это будутъ скрупулы — десятичныя доли. Прим?ры:

Въ первомъ прим?р? множимое раздроблено въ десятыя доли, множитель въ сотыя, произведеніе поэтому содержитъ 2671 ц?лую единицу, 6 десятыхъ, 9 сотыхъ и 5 тысячныхъ. Во второмъ прим?р? мы видимъ запятую между ц?лыми и десятыми. Введеніе ея приписывается изв?стному астроному Кеплеру (1571—1630).

Правило д?ленія сл?дующее: д?лить надо, какъ ц?лыя числа, и кром? того надо вычесть изъ значка д?лимаго значекъ д?лителя, тогда остатокъ опред?литъ собой значекъ частнаго. Прим?ръ: разд?лить 5' 7" на 8° 6' 5" 6'". Р?шеніе:

Въ ари?метик? Беклера (1661) десятичныя дроби прим?няются только къ м?рамъ длины, поверхности и объема; поэтому имъ дается названіе геометрическихъ долей. Ц?лыя отд?ляются отъ долей запятой или черточкой; кром? того, употребляются еще отм?тки: для сажени 0, для фута 1, для дюйма 2 и для линіи 3; у посл?дней доли ставится значекъ, который опред?ляетъ ея разрядъ, и отд?ляется этотъ значекъ скобкой. Прим?ръ: 123,6543 (4; это значитъ 123 сажени, 6 футовъ, 5 дюймовъ, 4 линіи и 3 точки. Какъ видно, Беклеръ проэктируетъ ввести десятичную зависимость между м?рами, т. е. считать въ сажени 10 футовъ, въ фут? 10 дюймовъ и т. д. Сочиненіе англичанина Вингата (1668) еще бол?е приблизило теорію десятичныхъ дробей къ тому виду, какой она им?етъ сейчасъ. Онъ прим?няетъ дроби къ тригонометріи, къ вычисленію сложныхъ процентовъ и къ д?йствіямъ съ именованными числами. Онъ хорошо видитъ всю громадную пользу, которая получилась бы для науки, если бы вс? м?ры были приведены къ десятичной систем?, иначе сказать всякая м?ра содержала бы въ себ? ровно 10 сл?дующихъ низшихъ. Разряды десятичныхъ дробей идутъ, по мн?нію Вингата, такъ же безпред?льно, какъ и разряды ц?лыхъ чиселъ, такъ что за десятыми долями, сотыми, тысячными идутъ десятитысячныя, стотысячныя, милліонныя и т. д. до безконечности. Знаменателя десятичной дроби вполн? возможно не писать, если только условиться отд?лять ц?лое число отъ десятыхъ долей точкой или запятой. Вингатъ пишетъ по нашему 285,82 или 285.82, но у него вм?сто 0,5 встр?чается .5 и вм?сто 0,25 пишется .25, сл?д., ц?лыхъ онъ въ этомъ случа? не пишетъ. Три первыхъ д?йствія онъ проходитъ совершенно аналогично съ нами, а для д?ленія у него взятъ такой порядокъ: къ д?лимому можно приписать сколько угодно нулей и по-томъ произвести д?йствіе такъ, какъ если бы это были ц?лыя числа; чтобы опред?лить значеніе первой цифры частнаго, по которой уже можно разсчитать и вс? остальные разряды, стоитъ только подписать д?лителя подъ т?ми же разрядами д?лимаго, которые были отчеркнуты для перваго д?ленія; подъ какимъ разрядомъ д?лимаго находятся единицы д?лителя, таковъ и будетъ высшій разрядъ частнаго. Прим?ръ: 2,34 : 52,125. Д?лимъ 23400000 на 52125 и получаемъ 448. Теперь подписываемъ 52,125 подъ 2,34 такъ, чтобы д?литель стоялъ подъ т?мъ числомъ, которое на него д?лилось въ первый разъ, именно

2,34000

52,125

и такъ какъ единицы д?лителя оказались подъ сотыми долями д?лимаго, то первая цифра частнаго 448, т. е. 4, выражаетъ собой сотыя доли и, сл?д., результатъ д?йствія долженъ быть такой: 0,0448. Иногда нужно бываетъ при этомъ способ? приписать съ л?вой стороны д?лимаго н?сколько нулей, потому что иначе д?литель не можетъ пом?ститься подъ д?лимымъ. Прим?ръ—0,0758 : 0,000064, тогда для удобства мы напишемъ такъ: 0000,0758 и выведемъ изъ этого, что при д?леніи на 0,000064 высшій разрядъ частнаго составитъ тысячи, такъ какъ единицы д?лителя оказались подъ тысячами д?лимаго. И д?йствительно, если произвести вычисленіе, то получится въ отв?т? 1184,375.

Если сопоставить вс? способы, какими писались десятичныя дроби въ математ. работахъ ХVIII в?ка, то получится всего пять видоизм?неній, и если по нашему пишется 0,784, то у Бейера

III

784

, у Неппира 0°7'8"4'", у Вингата .784, у Беклера 784 (3 и у Валлиса 0<784.

Мы разсмотр?ли до сихъ поръ, к?мъ и какъ было положено начало десятичнымъ дробямъ, и какіе усп?хи он? сд?лали въ XVII стол?тіи. Въ сл?дующеvъ в?к?, въ ХVIII-мъ, шестидесятеричныя дроби мало по малу исчезаютъ, и ихъ м?сто занимаютъ десятичныя дроби. Напр., въ ари?метик? н?мецкаго педагога Париціуса, въ первомъ изданіи, которое вышло въ 1706 году, разсматриваются дроби шестидесятеричныя, но во второмъ изданіи этой же ари?метики он? уже зам?нены десятичными. Впрочемъ Париціусъ, подобно Беклеру, прим?няетъ десятичныя дроби только къ м?рамъ длины. Самое трудное изъ д?йствій — д?леніе онъ производитъ по такому правилу: надо д?лить, какъ ц?лыя числа, а чтобы узнать номеръ разряда частнаго, надо изъ номера д?лимаго вычесть номеръ д?лителя. Вотъ прим?ръ. 4269342 (5 : 321 (2 (согласно нашему обозначенію это было бы 42,69342 : 3,21).

При такомъ пріем? получается въ отв?т? дв? дроби: десятичная 3 и обыкновенная⁴²/₃₂₁, такъ какъ въ остатк? получилось 42.

Чтобы частное состояло только изъ одной десятичной дроби, Париціусъ сов?туетъ приписывать къ д?лимому постепенно нули, до т?хъ поръ, пока, наконецъ, д?леніе не выйдетъ безъ остатка. Если же оно безъ остатка никакъ не выходитъ, то Париціусъ рекомендуетъ совс?мъ бросить небольшой остатокъ, по латинской пословиц? «minima non curat praetor», т.-е. «о пустякахъ не стоитъ толковать». Періодическія дроби принадлежатъ уже 19-му в?ку.