Пов?рка д?йствій.

Въ чемъ состоитъ пов?рка д?йствій, и ч?мъ она вызывается? Пов?рить д?йствіе значитъ произвести такое дополнительное вычисленіе, которое вселило бы н?которую ув?ренность, что данный намъ нрим?ръ р?шенъ правильно. Въ наши времена пов?рка прим?няется не очень часто, и даже начинающіе школьники на столько бываютъ ув?рены въ своихъ силахъ и въ своемъ ум?ньи вычислять, что изб?гаютъ пов?рки.

Это съ одной стороны вредно, такъ какъ д?ти пріучаются съ малыхъ л?тъ искать опоры не тамъ, гд? надо бы, т.-е. не въ своемъ искусств? и ум?ньи. а на сторон?: они надо?даютъ учителю вопросами «такъ ли?» и постоянно засматриваютъ въ задачники: сходится ли съ отв?томъ?

Этимъ наша школа разслабляетъ д?тей, вм?сто того, чтобы помогать имъ становиться на ноги.

Старинная школа была счастлив?е въ выработк? характера и самимъ родомъ своихъ занятій закаляла его. Да и какъ было не закалять, когда, напр., въ средніе в?ка та самая работа требовала отъ д?тей усиленныхъ трудовъ, которая теперь едва-едва оставляетъ въ нихъ впечатл?ніе. Въ среднев?ковой школ? какое-нибудь д?леніе многозначныхъ чиселъ требовало массы времени, настойчивости, терп?нія и т. п. Понятно, что затративши много труда и положивши не мало силъ, счетчику интересно было уб?диться, хорошо ли онъ исполнилъ работу, и годится ли результатъ. Этимъ и вызывалась потребность пов?рки. Еще индусы, творцы ари?метики, любили поль-зоваться пов?ркой; впрочемъ, у нихъ была на то своя особенная, спеціальная причина, именно они, какъ ужъ упоминалось не разъ выше, вели вс? вычисленія на песк? и стирали вс? лишнія цифры по м?р? того, какъ подходили къ концу, такъ что въ самомъ конц? у нихъ оставались только данныя числа и отв?тъ; всл?дствіе этого имъ нельзя было просмотр?ть д?йствіе еще разъ и уб?диться, на-сколько в?рно оно сд?лано, поэтому имъ приходилось изобр?тать особенные способы пов?рки, которыхъ они и предложили н?сколько. Самымъ уиотребительнымъ способомъ, не только у индусовъ, но и вообще во всей школ? до ХVIII-го в?ка была пов?рка числомъ 9. Она основана на сл?дующемъ. Если мы возьмемъ 2 слагаемыхъ, напр., 370 и 581, и разд?лимъ каждое изъ нихъ на 9, зат?мъ сложимъ остатки отъ д?ленія, то эта сумма остатковъ будетъ такою же, какъ если бы мы прямо разд?лили на 9 сумму данныхъ чиселъ.

Д?йствительно, остатокъ отъ 370:9 будетъ 1, отъ 581 остатокъ будетъ 5 и отъ суммы данныхъ чиселъ, т.-е. отъ 951, остатокъ будетъ тоже 5+1 = 6 (иногда, впрочемъ, изъ суммы остатковъ приходится выкидывать одну или н?сколько девятокъ, напр., если бы слагаемыми были 375 и 581, то сумма остатковъ составила бы 11. а остатокъ суммы равнялся бы 2, т.-е. 11—9). Эти числа 1, 5, 6 носятъ названіе пов?рочныхъ чиселъ, сл?д. 1 будетъ пов?рочнымъ числомъ для 370-ти, 5 для 581 и 6 для 951. Огсюда ясно вытекаетъ правило: пов?рочное число суммы равно сумм? пов?рочныхт чиселъ вс?хъ слагаемыхъ. Точно также при вычитаніи: пов?рочное число разности соотв?тствуетъ разности пов?рочныхъ чиселъ уменынаемаго и вычитаемаго; или иначе: пов?р. число уменьшаемаго равно сумм? пов?рочныхъ чиселъ вычитаемаго и разности. При умноженіи правило такое: пов?р. число произведенія соотв?тствуетъ произведенію пов?р. чиселъ множителей; и, наконецъ, при д?леніи нов?р. число д?лимаго со-отв?тствуетъ произведенію пов?рочныхъ чиселъ д?лителя и частнаго.

За исключеніемъ сложенія, при каждомъ д?йствіи им?ется 4 по-в?рочныхъ числа, и они, обыкновенно, располагались такъ, что получалась фигура косого креста. Прим?ръ: 525 разд?лить на 15, получится въ частномъ 35. Тогда пов?рка представляется сл?дующимъ крестомъ:

 \ 3 /

6 \ / 8

  / \

  / 3 \

Н?которые математики, приверженцы совершенной точности и полной безошибочности, находили, что пов?рка числомъ 9 далеко не безупречна и можетъ повести къ ошибкамъ. Завис?ть он? могутъ отъ такихъ причинъ. Во-первыхъ, различныя по величин? числа, но только отличающіяся другъ отъ друга на ц?лое число девятокъ, им?ютъ пов?рочныя числа одинаковыя; напр., числа 172 и 1081. Во-вторыхъ, этой пов?ркой нельзя открыть пропуска нулей или же излишка нулей: числа 105, 1050, 15 даютъ одинаковыя пов?рочныя числа. Въ третьихъ, перестановка цифръ точно также не можетъ быть открыта этой пов?ркой, такъ какъ, напр., числа 78932 и 87932 даютъ одинаковыя пов?рочныя числа. Итакъ, пов?рка числомъ 9 ненадежна. Поэтому, лучшіе авторы XVI—XVII в. рекомендуютъ еще пов?рку числомъ 7. Она основана на томъ же, на чемъ и предыдущая, и сл?д. при ней изъ данныхъ и иекомыхъ чиселъ выкидываютъ возможное число семерокъ, а съ остатками поступаютъ точно такимъ же образомъ, какъ и при пов?рк? числомъ 9. Въ этомъ случа? ужъ можно обнаружить и перестановку цифръ, и пропускъ нулей.

Казалось бы, что вполн? достаточно пов?рки числомъ 9 и числомъ 7 для того, чтобы можно было успокоиться и уб?диться, что отв?тъ в?ренъ. Но н?тъ, Рудольфъ и Апіанъ (въ XVI ст.) объясняютъ, что пов?рять можно такимъ же путемъ, какъ и выше, еще съ помощью чиеелъ 8, 4, 6.

Фишеръ (въ 1559 г.) пров?ряетъ свои вычисленія числами 5, 6, 7, 8, 9, 11.

Но такое большое количество искусственныхъ пов?рокъ приводило многихъ авторовъ прямо къ отрицанію ихъ необходимости и пользы. Петръ Рамусъ, изв?стный французскій ученый и математикъ (ум. 1572 г.), говоритъ, что вс? эти ухищренія излишни и ненужны, и что если кому требуется пов?рить д?йствіе, то пусть онъ перед?лаетъ его снова и больше ничего; такъ будетъ лучше и въ томъ отношеніи, что, перед?лывая снова, мы можемъ не только открыть присутствіе ошибки, но и исправить ее.

Лука де-Бурго смотритъ на д?ло хладнокровн?е. Онъ не отрицаетъ совершенно пров?рки, но только сов?туетъ д?лать ее, по возможности, проще. Именно онъ указываетъ для этого 2 способа. Во-первыхъ, можно то же д?йствіе произвести еще разъ и только изм?нить его порядокъ, напр., при сложеніи н?сколькихъ чиселъ, если мы сперва складывали сверху внизъ, то потомъ надо пересложить снизу вверхъ. Во-вторыхъ, всякое д?йствіе пов?ряется своимъ обратнымъ: вычитаніе сложеніемъ, д?леніе умноженіемъ и т. п.