Число и порядокъ д?йствій, знаки и опред?ленія

На вопросъ, сколько ари?метическихъ д?йствій, теперь всякій, даже недоучившійся въ школ?, можетъ отв?тить, что ихъ—четыре: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и д?леніе. Но не всегда было такъ; прежде д?йствій насчитывали больше: 5, 6, 7, и даже 9. Откуда же ихъ столько брали? Очевидно, изъ того же источника, т.-е. изъ ари?метики, но съ разд?леніемъ и дополненіемъ. Во-первыхъ, нумерацію принимали за особое д?йствіе и такимъ образомъ насчитывали 5. Во-вторыхъ, долгое время у большинства писателей выд?лялись еще въ особыя правила удвоеніе и раздвоеніе. Выходитъ д?йствій семь. Къ нимъ иногда присоединяли возвышеніе чиселъ въ степень и извлеченіе корня, и получалось 9.

Происходила эта путаница отъ того, что авторы никакъ не могли согласиться, что разум?ть подъ д?йствіемъ. Мы разум?емъ подъ нимъ составленіе новаго числа по даннымъ числамъ и потому не считаемъ нумерацію за д?йствіе.

Удвоеніе числа и д?леніе пополамъ изстари, съ глубокой древности, еще со временъ египтянъ, считалось не видомъ умноженія и д?ленія, а особымъ д?йствіемъ. Впрочемъ, отъ египтянъ его переняли не столько римляне, сколько арабы. Поэтому въ борьб? новой арабской ари?метики со старой римской, когда въ XIII–XIV вв. столкнулись латинская схоластика съ индусской математикой, удвоеніе и раздвоеніе стояли на знамени новой науки и усиленно рекомендовались въ качеств? очень полезной и важной м?ры для лучшаго усвоенія д?йствій. Ученый англичанинъ Сакро-Боско, жившій въ XIII стол?тіи, рекомендовалъ начинать д?леніе пополамъ справа, т.-е. съ низшихъ разрядовъ, подобно сложенію и вычитанію, а удвоеніе—сл?ва, съ высшихъ разрядовъ, какъ это д?лалъ онъ и въ умноженіи вообще и въ д?леніи. Сейчасъ намъ совершенно непонятно, какія такія удобства могли бы представиться, если бы начинать д?леніе справа, а умноженіе сл?ва; мы, по крайней м?р?, стали бы производить эти д?йствія совершенно наоборотъ. Нав?рное, такія же причины заставили и среднев?ковыхъ математиковъ поглубже вдуматься, есть ли, д?йствительно, польза отъ того, чтобы удвоеніе и раздвоеніе отличать отъ простого умноженія и д?ленія; пришлось сознаться, что это только частные случаи главныхъ д?йствій; первый, кто авторитетно заявилъ объ этомъ, былъ итальянецъ Лука Пачіоло (1500 г.). Онъ перешелъ къ нашему обыкновенному способу д?ленія.

Возвышеніе чиселъ въ квадратъ и кубъ и извлеченіе корней считалось необходимой принадлежностью ари?метики почти до самаго посл?дняго времени. Эти два правила пом?щались въ ари?метик? до 50-хъ и даже 60-хъ годовъ истекшаго[6] стол?тія. Теперь ихъ пропускаютъ, потому что, чтобы ихъ выяснить толково, надо знать алгебру, и, сл?д., лучшее имъ м?сто въ алгебр?.

Арабскій математикъ Аль-Ховаризми (въ IX в. по Р. X.), въ честь котораго и вся система арабской ари?метики получила названіе алгоритма, не считалъ нумерацію за д?йствіе и принималъ только сл?дующія ш?сть: сложеніе, вычитаніе, д?леніе пополамъ, удвоеніе, умноженіе и д?леніе. Посл?довательность д?йствій у него, какъ видимъ, очень оригинальная, хотя ей нельзя отказать въ большой дол? ц?лесобразности, въ смысл? перехода отъ легкаго къ бол?е трудному. Когда удвоеніе и раздвоеніе были оставлены, то многіе математики начали посл? сложенія проходить прямо умноженіе, а потомъ ужъ вычитаніе съ д?леніемъ. И они поступали въ этомъ случа? основательно, потому что умноженіе опирается на сложеніе, а д?леніе можетъ приводиться къ повторительному вычитанію д?лителя изъ д?лимаго.

Въ только что минувшемъ XIX стол?тіи н?которые н?мецкіе педагоги придумали изъ одного д?ленія образовать 2 д?йствія, именно, во-первыхъ, когда требуется разд?лить число на н?сколько равныхъ частей, и, во-вторыхъ, когда надо узнать, сколько разъ одно число содержится въ другомъ. Такое разд?леніе надо признать излишнимъ, тутъ вовсе н?тъ 2-хъ различныхъ д?йствій, а есть только два вида одного д?йствія, при чемъ въ первомъ вид? отыскивается множимое по произведенію и множителю, а во второмъ — множитель по произведенію и множимому. Отд?льные знаки для этихъ 2-хъ видовъ мы также полагали бы лишними: д?лимъ ли мы, наприм., на пятерыхъ или д?лимъ на пятки, и тутъ, и тамъ все д?лимъ, поэтому и можно удовольствоваться однимъ знакомъ.

Поговоримъ теперь о знакахъ ари?метичесвихъ д?йствій и прежде всего отм?тимъ, что потребность въ знакахъ начала чувствоваться такъ же давно, какъ и потребность въ цифрахъ. Какъ цифрами первоначально служили наглядныя фигуры и буквы алфавита, такъ и знаки образовались изъ чертежей и тоже буквъ. Еще древніе египтяне употребляли при сложеніи н?что въ род? нашего плюса. У грековъ знакомъ сложенія являлась косая черта, при вычитаніи писалась кавычка, и знакомъ равенства служила дуга (см. приложеніе 11-е въ конц? книги). Поздн?е (въ IV в. по Р. X.) Діофантъ Александрійскій, знаменитый греческій геометръ; ввелъ вм?сто знака равенства букву і, начальную букву слова «????», что значитъ «равны». Арабы вовсе не употребляли знака сложенія въ томъ случа?, когда количества писались рядомъ, потому что, д?йствительно, зд?сь можно подразум?вать сложеніе само собой. Знакъ вычитанія у нихъ писался въ вид? ц?лаго слова, которое, въ перевод? на русскій языкъ, значитъ «безъ». Вычитаемое арабы ставили нал?во, а уменьшаемое— направо, потому что они, подобно вс?мъ семитическимъ народамъ, располагали слова отъ правой руки къ л?вой, а не отъ л?вой къ правой, какъ мы. Знакомъ равенства у нихъ было S; это есть посл?дняя буква слова «равняется». Нашъ настоящій знакъ равенства введенъ въ алгебру Робертомъ Рекордомъ въ 1556 году. Косой крестъ при умноженіи окончательно предложенъ Уттредомъ въ 1631 году. Но и до него этотъ знакъ употреблялся очень чагсто и считался очень удобнымъ, потому что онъ указывалъ не только д?йствіе, но и порядокъ д?йствія. Именно, старинный употребительный способъ умноженія былъ способъ «крестика», въ такомъ род?:

26

X

34

Чтобы умножить 26 на 34, брали 4 отд?льныхъ произведенія: 20?4, 6?30, 6?4, 20?30, изъ нихъ два вертикально и два крестъ на крестъ. Этотъ способъ иначе называется хіазмомъ, потому что косой крестъ походитъ на греческую букву ? (хи), и самый знакъ умноженія назывался иногда «хи». Зам?чательно, что онъ же продолжительное время служилъ и знакомъ д?ленія дробей, такъ какъ въ этомъ случа? тоже приходится выполнять д?йствіе крестъ накрестъ: числителя одной дроби помножать на знаменателя другой. Христіанъ Вольфъ въ XVIII ст. предложилъ обозначать умноженіе точкой. Наши знаки плюсъ и минусъ въ ихъ нормальной форм? встр?чаются въ первый разъ около 1489 г. въ ари?метик? лейпцигскаго профессора Видмана. Съ 1600 г. уже во вс?хъ четырехъ д?йствіяхъ можно вид?ть настоящіе знаки.

Теперь поведемъ р?чь объ опред?леніяхъ д?йствій. Что показываетъ опред?леніе? Оно указываетъ смыслъ д?йствія и его сущность. Такъ, напр., опред?леніемъ умноженія ц?лыхъ чиселъ служитъ сл?дующее: «умноженіемъ называется такое ари?метическое д?йствіе, въ которомъ составляется сумма столькихъ слагаемыхъ, равныхъ первому даному числу, сколько единицъ заключается во второмъ данномъ числ?». Надо сказать, что опред?ленія въ первоначальной арабской ари?метик? были короткими и понятными и употреблялись только тогда, когда въ нихъ д?йствительно являлась надобность, т.-е. когда д?йствіе безъ опред?ленія представлялось неяснымъ и см?шивалось съ другимъ. Но, въ противоположность этому, среднев?ковая школьная ученость (такъ назыв. схоластика) начала придавать словеснымъ опред?леніямъ слишкомъ большое значеніе, начала требовать опред?леній даже и въ т?хъ случаяхъ, когда и безъ нихъ понятія ясны, просты и не см?шиваются. Къ этому еще присоединилось увлеченіе мнимо-научнымъ языкомъ, когда стремились нарочно выражатьея туманно, тяжелов?сно, нагромождая фразу на фразу, и все это съ ц?лымъ рядомъ придаточныхъ предложеній, въ груд? которыхъ нер?дко было трудно дойти до истиннаго смысла. Излишнія и тяжело выраженныя опред?левія не мало мучили учащихся; среднев?ковая варварская латынь и хитроумная риторика ложились тяжелымъ бременемъ на умственныя силы учениковъ и мало сод?йствовали уясненію основныхъ математическихъ понятій. И въ наши дни зам?тно еще н?которое вліяніе среднев?ковой схоластики, особенно въ н?мецкой школ?. Недаромъ знаменитый русскій педагогъ Ушинскій говоритъ:

«Для н?мца недостаточно понимать вещь: но ему непрем?нно нужно опред?лить ее и дать ей м?сто въ системахъ своихъ знаній. Опред?леніями пуст?йшихъ и ничтожн?йшихъ предметовъ набиты кипы н?мецкихъ учебниковъ. Безъ опред?ленія для н?мца и вещь не вещь».

Приведемъ н?сколько прим?ровъ, которые доказываютъ, какъ иногда трудны и безполезны бываютъ опред?ленія. Въ русской ари?метик? Румовскаго (1760 г.) относительно д?ленія сказано такъ:

«Д?леніе есть способъ изъ данныхъ двухъ чиселъ D и M находить третіе E, въ которомъ бы столько разъ содержалась единица, сколько разъ одно изъ данныхъ двухъ чиселъ D въ другомъ данномъ M содержится».

Какъ это мудрено и непонятно, хотя съ научной точки зр?нія и правильно! Можно думать, что авторъ нарочно, съ ц?лью такъ затемнилъ смыслъ яснаго д?йствія д?ленія; в?дь пятил?тніе ребята, если имъ дать яблоко и вел?ть разд?лить поровну, напр., пополамъ, поймутъ, чего отъ нихъ хотятъ, и съ удовольствіемъ р?шатъ задачу, но авторъ этой ари?метики, должно-быть, думаетъ, что трудный слогъ сод?йствуетъ научности; напрасно: научность состоитъ въ глубокихъ мысляхъ, а не въ туманныхъ фразахъ. Вотъ еще опред?ленія Грамматеуса (XVI в.):

«Сложеніе, или суммированіе, показываетъ сумму н?сколькихъ чиселъ. Умноженіе, или увеличеніе, описываетъ, какъ умножать одно число на другос или увеличивать. Вычитаніе, или отниманіе, открываетъ, какъ число вычитать, или какъ одно число отнимать отъ другого, чтобы вид?ть остатокъ».

Зд?сь только одна зам?на словъ и н?тъ никакой помощи для смысла.

Примечания:

6

19-го, очевидно, т. к. книга писалась в 1906, то истекшее столетие — 19. Примечание авт. док.