Триплеты «GEB» и «EGB»

Рис. 54. М. К. Эшер. «Лист Мёбиуса II» (гравюра на дереве, 1963).

Ахилл и Черепаха пришли в гости к Крабу, чтобы познакомиться с его другом Муравьедом. После того, как новые знакомые представлены друг другу, вся четверка садится за чай.

Черепаха: Мы вам кое-что принесли, мистер Краб.

Краб: Очень любезно с вашей стороны, но зачем же было утруждаться?

Черепаха: О это так, мелочь — в знак нашего уважения. Ахилл, отдайте, пожалуйста, подарок м-ру К.

Ахилл: С удовольствием. С наилучшими пожеланиями, м-р К. Надеюсь, что вам понравится.

(Ахилл протягивает Крабу элегантно завернутый пакет, квадратный и плоский Краб начинает его разворачивать).

Муравьед: Интересно, что это такое?

Краб: Сейчас узнаем (Кончает разворачивать и вытаскивает подарок). Две пластинки! Прекрасно! Но погодите-ка здесь нет этикетки. Неужели это снова ваши «особые» записи, г-жа Ч?

Черепаха: Если вы имеете в виду разбивальную музыку, на этот раз нет. Но эти записи действительно уникальны, так как они сделаны по персональному заказу. На самом деле, их еще никто никогда не слышал — кроме, конечно Баха, когда тот их играл.

Краб: Когда Бах их играл? Что вы имеете в виду?

Ахилл: Вы будете вне себя от счастья, м-р Краб, когда г-жа Ч объяснит вам, что это за пластинки.

Черепаха: Почему бы вам самому этого не рассказать, Ахилл? Не стеснятесь, говорите!

Ахилл: Можно? Вот здорово! Но я лучше загляну сначала в свои записи (Вытаскивает бумажку и откашливается ) Кхе-кхе. Желаете послушать рассказ о замечательных новых результатах в математике — результатах, которым ваши пластинки обязаны своим существованием?

Краб: Мои пластинки восходят к каким-то математическим выкладкам? Как интересно! Что ж, теперь, когда вы задели мое любопытство, я просто обязан об этом узнать.

Ахилл: Отлично! (Делает паузу, чтобы отхлебнуть чай, затем продолжает) Кто-нибудь из вас слышал о печально известной «Последней Теореме» Ферма?

Муравьед: Не уверен. Звучит знакомо, но не могу припомнить.

Рис. 55. Пьер Де Ферма

Ахилл: Идея очень проста. Пьер де Ферма, адвокат по профессии и математик по призванию, однажды, читая классический текст Диофанта «Арифметика», наткнулся на следующее уравнение:

a² + b² = c²

Он тут же понял, что это уравнение имеет бесконечно много решений для а, b, и с, и написал на полях свою знаменитую поправку:

Уравнение:

а ⁿ+ b ⁿ = с ⁿ

имеет решение в положительных целых числах а, b, с, и n только при n = 2 (и в таком случае имеется бесконечное множество a, b, и c, удовлетворяющих этому уравнению), но для n>2 решений не существует. Я нашел замечательное доказательство этого, которое, к несчастью, не помещается на полях.

С того дня и в течение почти трехсот лет математики безуспешно пытаются сделать одно из двух: либо доказать утверждение Ферма и таким образом очистить его репутацию, в последнее время слегка подпорченную скептиками, не верящими, что он действительно нашел доказательство — либо опровергнуть его утверждение, найдя контрпример: множество четырех целых чисел а, b, с, и n, где n > 2, которое удовлетворяло бы этому уравнению. До недавнего времени все попытки в любом из этих двух направлений проваливались. Точнее, теорема доказана лишь для определенных значений n — в частности, для всех n до 125 000.

Ахилл: Не лучше ли тогда называть это Гипотезой вместо Теоремы, поскольку настоящее доказательство еще не найдено?

Ахилл: Строго говоря, вы правы, но по традиции это зовется именно так.

Краб: Удалось ли кому-нибудь в конце концов разрешить этот знаменитый вопрос?

Ахилл: Представьте себе, да: это сделала г-жа Черепаха, как всегда, в момент гениального озарения. Она не только нашла ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Последней Теоремы Ферма (оправдав, таким образом, ее название и очистив репутацию Ферма), но и КОНТРПРИМЕР, показав, что интуиция скептиков их не подвела!

Краб: Вот это да! Поистине революционное открытие.

Муравьед: Прошу вас, не тяните: что это за магические числа, удовлетворяющие уравнению Ферма? Мне особенно любопытно узнать значение n.

Ахилл: Ах, какой ужас! Какой стыд! Верите ли, я оставил все выкладки дома на громаднейшем листе бумаги. К несчастью, он был слишком велик, чтобы принести его с собой. Хотел бы я, чтобы он был сейчас здесь и чтобы можно было вам все показать. Но кое-что я все же помню: величина n — единственное положительное число, которое нигде не встречается в непрерывной дроби числа π.

Краб: Какая жалость, что у вас нет с собой ваших записей. Так или иначе, у нас нет оснований сомневаться, что все, что вы нам сказали — чистая правда.

Муравьед: Да и кому, в конце концов, нужно видеть n в десятичной записи? Ахилл же объяснил нам, как найти это число. Что ж, г-жа Черепаха, примите мои сердечные поздравления по поводу вашего эпохального открытия!

Черепаха: Благодарю вас. Однако практическая польза, которую немедленно принес мой результат, кажется мне еще важнее теоретического открытия.

Краб: Смерть как хочется услышать об этом — ведь я всегда считал, что теория чисел — Царица Чистой Математики, единственная ветвь математики, не имеющая НИКАКОГО практического приложения.

Черепаха: Вы не единственный, кто так думает; однако на деле почти невозможно предсказать, когда и каким образом какая-либо ветвь чистой математики — или даже какая-либо индивидуальная Теорема — повлияет на другие науки. Это происходит совершенно неожиданно, и данный случай — хороший тому пример.

Ахилл: Обоюдоострый результат г-жи Черепахи прорубил дверь в область акусто-поиска.

Муравьед: Что такое акусто-поиск?

Ахилл: Название говорит само за себя: это поиск и извлечение акустической информации из сложных источников. Например, типичная задача акусто-поиска — восстановить звук, произведенный упавшим в воду камнем, по форме расходящихся по воде кругов.

Краб: Но это невозможно!

Ахилл: Почему же? Это весьма похоже на то, что делает наш мозг, когда он восстанавливает звук, произведенный голосовыми связками другого человека, по колебаниям, переданным барабанной перепонкой далее по лабиринту ушной раковины.

Краб: Ясно. Но я все еще не вижу связи этого ни с теорией чисел, ни с моими новыми пластинками.

Ахилл: Видите ли, в математике акусто-поиска часто возникают вопросы, связанные с числом решений неких Диофантовых уравнений. А г-жа Ч годами занималась тем, что пыталась восстановить звуки игры Баха на клавесине (что происходило более двухсот лет тому назад), основываясь на расчетах движения всех молекул в атмосфере в настоящее время.

Муравьед: Но это же совершенно невозможно! Эти звуки утрачены навсегда, утеряны невозратимо!

Ахилл: Так думают непосвященные — но г-жа Ч посвятила много лет этой проблеме и пришла к выводу, что все зависит от количества решений уравнения:

а ⁿ+ b ⁿ = с ⁿ

в положительных числах, при n > 2.

Черепаха: Я могла бы объяснить, при чем здесь это уравнение, но не хочу наскучить присутствующим.

Ахилл: Оказалось, что теория акусто-поиска предсказывает, что звуки Баховского клавесина могут быть восстановлены по движению всех молекул атмосферы при одном из двух условий ЛИБО у этого уравнения есть хотя бы одно решение.

Краб: Удивительно!

Муравьед: Фантастика да и только!

Черепаха: Кто бы мог подумать!

Ахилл: Я хотел сказать, «ЛИБО такое решение существует, ЛИБО существует доказательство, что уравнение НЕ имеет решений!» Итак, г-жа Ч начала кропотливую работу с обоих концов проблемы одновременно Оказалось, что нахождение контрпримера было ключом к нахождению доказательства, так что одно прямо вело к другому.

Краб: Как же это возможно?

Черепаха: Видите ли, мне удалось показать, что структуру любого доказательства Последней Теоремы Ферма — если таковое существует — возможно описать с помощью элегантной формулы, которая зависела бы от величин решения некоего уравнения. Когда я нашла это второе уравнение, к моему удивлению оно оказалось не чем иным как уравнением Ферма. Забавное случайное соотношение между формой и содержанием. Так что, когда я нашла контрпример, мне осталось только использовать эти числа как план для построения доказательства того, что это уравнение не имеет решения. Замечательно просто, если подумать. Не знаю, почему никто не нашел этого результата раньше.

Ахилл: В результате этого неожиданного блестящего математического успеха, г-же Ч удалось провести акусто-поиск о котором она столько лет мечтала. Подарок полученный м-ром Крабом представляет собой осязаемую реализацию этой абстрактной работы.

Краб: Не говорите мне пожалуйста что это запись Баха, играющего на клавесине собственные сочинения!

Ахилл: Сожалею, но приходится поскольку это именно она и есть! Это набор из двух записей Себастиана Баха исполняющего весь Хорошо Темперированный Клавир. На каждой пластинке записана одна из двух его частей, это значит что каждая запись состоит из 24 прелюдий и фуг по одной в каждом мажорном и минорном ключе.

Краб: В таком случае мы должны немедленно прослушать эти бесценные пластинки! Как я смогу вас отблагодарить?

Черепаха: Вы уже нас отблагодарили сполна этим превосходным чаем, который вы для нас приготовили.

(Краб вынимает одну из пластинок из конверта и ставит ее на свой патефон. Комната наполняется звуками потрясающей, мастерской игры на клавесине, при этом качество записи самое высокое, какое можно вообразить. Можно даже разобрать — или это только воображение слушателя? — тихий голос Баха, подпевающего собственной игре)

Краб: Хотите следить по нотам? У меня есть уникальное издание Хорошо Темперированною Клавира, проиллюстрированное одним из моим учителей, который также был необыкновенным каллиграфом.

Черепаха: Это было бы чудесно.

(Краб подходит к элегантному книжному шкафу с застекленными дверцами, открывает его и достает два больших тома.)

Краб: Вот, пожалуйста, г-жа Черепаха. Я сам еще не видел всех прекрасных иллюстраций в этом издании, все никак клешни не доходят. Может быть, ваш подарок меня наконец на это подвигнет.

Черепаха: Надеюсь.

Муравьед: Вы заметили, что во всех этих произведениях прелюдия точно определяет настроение следующей фуги?

Краб: О, да. Хотя это трудно объяснить, но между ними всегда есть некая таинственная связь. Даже если у прелюдии и фуги нет общей музыкальной темы, в них всегда присутствует неуловимое абстрактное нечто, которое их прочно связывает.

Черепаха: И в кратких моментах тишины, которые отделяют прелюдию от фуги, есть что-то необыкновенно драматическое. Это тот момент, когда тема фуги готова вступить в свои права, сначала в отдельных голосах, которые потом сплетаются, создавая все более сложные уровни странной, изысканной гармонии.

Ахилл: Я знаю, что вы имеете в виду. Я слышал еще далеко не все прелюдии и фуги, но меня очень волнует этот момент тишины; в это время я всегда пытаюсь угадать, что старик Бах задумал на этот раз. Например, я всегда спрашиваю себя, в каком темпе будет следующая фуга? Будет ли это аллегро или адажио? Будет ли она на 6/8 или на 4/4? Будет ли в ней три голоса, или пять — или четыре? И вот звучит первый голос… Потрясающий момент!

Краб: Да, я помню давно ушедшие дни моей юности, дни, когда я трепетал от счастья, слушая эти прелюдии и фуги, возбужденный их новизной и красотой, и теми сюрпризами, которые они скрывают.

Ахилл: А теперь? Неужели это счастливый трепет прошел?

Краб: Он перешел в привычку, как всегда и бывает с подобными чувствами. Но в привычке также есть своя глубина, и это приносит определенное удовлетворение. Кроме того, я всегда обнаруживаю какие-нибудь новые сюрпризы, которых раньше не замечал.

Ахилл: Повторения темы, которых вы раньше не слышали?

Краб: Может быть; в особенности, когда эта тема проходит в обращении, спрятанная среди нескольких других голосов, или когда она поднимается на поверхность, словно возникая из ничего. Есть там также и удивительные модуляции, которые приятно слушать снова и снова, спрашивая себя, как это старик Бах смог создать подобное.

Ахилл: Приятно слышать, что все эти радости останутся у меня после того, как пройдет моя первая влюбленность в Хорошо Темперированный Клавир, жаль, однако, что это блаженное состояние не может длиться вечно.

Краб: Не бойтесь, влюбленность не пройдет бесследно. Эта юношеская влюбленность хороша тем, что ее всегда можно оживить именно тогда, когда вы считаете, что она уже умерла. Для этого необходим лишь толчок извне в нужном направлении.

Ахилл: Правда? Что же это за толчок?

Краб: Например, прослушивание этой музыки ушами того, кто слушает ее в первый раз; такой человек здесь вы, Ахилл. Каким-то образом, ваш трепет передается мне, и я снова полон блаженного восторга!

Ахилл: Звучит интригующе. Восторг спит где-то внутри вас, но сами вы не в состоянии вытащить его из глубин подсознания.

Краб: Именно так. Возможность оживить это чувство «закодирована» каким-то образом в структуре моего мозга, но я не могу осуществить это по желанию; я должен ждать счастливого случая, который запустит этот механизм.

Ахилл: У меня вопрос насчет фуг; мне стыдно об этом спрашивать, но, поскольку я новичок в искусстве слушания фуг, не может ли кто-нибудь из вас, матерых слушателей, научить меня кое-чему?

Черепаха: Я с удовольствием поделюсь с вами своими скудными познаниями, если это может вам чем-то помочь.

Ахилл: О, благодарю вас. Позвольте мне начать издалека. Знакомы ли вы с гравюрой М. К. Эшера под названием «Куб с магическими лентами»?

Рис. 56. М. К. Эшер «Куб с магическим лентами» (литография, 1957)

Черепаха: На которой изображены изогнутые ленты с искривлениями в виде пузырей, которые кажутся попеременно то выпуклыми, то вогнутыми?

Ахилл: Она самая.

Краб: Я помню эту картину. Кажется, что пузыри на ней все время перескакивают из одного состояния в другое: они то выпуклые, то вогнутые, в зависимости от того, с какого угла на них посмотреть. Невозможно одновременно увидеть их и выпуклыми, и вогнутыми — почему-то мозг этого просто не позволяет. У нас просто есть два разных способа воспринять эти пузыри.

Ахилл: Вы совершенно правы Знаете, мне кажется, что я открыл два способа слушать фугу, в чем-то аналогичных этому Вот они: либо следить лишь за одним отдельным голосом в каждый момент, либо слушать общее звучание, не пытаясь распутать голоса. Я пробовал оба эти способа и, к моему разочарованию, оказалось, что каждый из них исключает другой. Это просто не в моей власти слушать каждый индивидуальный голос и в то же время слышать общий эффект. Я все время перескакиваю с одного способа на другой, более или менее спонтанно и непроизвольно.

Муравьед: Так же, как когда вы смотрите на магические ленты?

Ахилл: Да. Но скажите… мое описание двух способов слушания фуги безошибочно указывает на меня, как на наивного, неопытного слушателя, не способного уловить более глубокие уровни восприятия?

Черепаха: Вовсе нет, Ахилл Я могу говорить только за себя, но я тоже постоянно перепрыгиваю с одного способа на другой, не контролируя этот процесс и не пытаясь сознательно решить, какой из двух способов должен господствовать. Не знаю, испытывали ли остальные наши друзья что-нибудь подобное.

Краб: Безусловно. Это весьма мучительное состояние, поскольку вы чувствуете, что дух фуги витает где-то близко — но вы не можете охватить его полностью, так как не в состоянии слушать сразу двумя способами.

Муравьед: У фуг есть интересная особенность: каждый из голосов является музыкальной пьесой сам по себе, так что фугу можно рассматривать как набор нескольких различных музыкальных произведений, основанных на одной и той же теме и исполняемых одновременно. И слушатель (или его подсознание) должен сам решать, воспринимать ли фугу как целое или как набор отдельных частей, гармонирующих друг с другом.

Ахилл: Вы говорите, что эти части «независимы», однако это не может быть совершенно верным. Между ними должна существовать какая-то координация, иначе, когда они исполняются вместе, мы слышали бы беспорядочное столкновение звуков — а это далеко не так!

Муравьед: Наверное, лучше сказать так: если бы вы слушали каждый голос в отдельности, вы обнаружили бы, что он имеет смысл сам по себе. Он может быть исполнен в одиночку, и именно это я имел в виду, говоря, что голоса независимы. Но вы совершенно правы, указывая, что каждая из этих индивидуальных мелодий соединяется с остальными совсем не случайным образом, сливаясь в изящное целое. Искусство создания прекрасных фуг заключается именно в умении соединять несколько линий, каждая из которых кажется написанной ради своей собственной красоты — но когда они взяты все вместе, целое звучит вполне естественно. Между прочим, двойственность между слушанием фуги как целого и слушанием составляющих её голосов — это частный пример более общей двойственности, приложимой к разным структурам, построенным, начиная с нижних уровней.

Ахилл: Правда? Вы хотите сказать, что мои два «способа» приложимы не только к ситуации со слушанием фуг?

Муравьед: Совершенно верно.

Ахилл: Интересно, как это может быть? Наверное, это связано с попеременным восприятием чего-либо как целого, или как собрания его частей. Но я сталкивался с этой дихотомией только слушая фуги

Черепаха: Вот это да! Посмотрите-ка! Я только что перевернула страницу следя за музыкой, и нашла великолепную иллюстрацию на странице перед титульным листом.

Краб: Я раньше никогда не видел этой иллюстрации. Будьте добры, передайте книгу по кругу.

(Черепаха передает книгу. Каждый из четырех приятелей рассматривает книгу по-своему — кто издалека, кто поднося прямо к глазам, при этом каждый из них качает головой в удивлении. Наконец, книга обходит всех и возвращается к Черепахе, которая смотрит в нее очень внимательно)

Ахилл: Мне кажется, прелюдия почти кончилась. Хотелось бы знать, удастся ли мне, слушая фугу, найти ответ на этот опрос «как нужно слушать фугу — как целое или как сумму частей?»

Черепаха: Слушайте внимательно и вы поймете!

(Прелюдия заканчивается. Следует пауза, и затем… )

У ГЁДЕЛЕВОЙ СТРОЧКИ G и у фуги Баха есть одно и то же свойство: их можно понять на нескольких уровнях. Все мы знакомы с подобным явлением; иногда оно нас озадачивает, а иногда мы не видим в нем ничего особенного. Например, все мы знаем, что человеческие существа сделаны из огромного количества (около 25 триллионов) клеток и, следовательно, все, что мы делаем, может быть в принципе описано на клеточном — или даже на молекулярном — уровне. Большинство из нас воспринимает этот факт как нечто само собой разумеющееся. Когда мы идем к доктору, он смотрит на нас на более низком уровне, чем воспринимаем себя мы сами. Мы читаем о ДНК и «генетической инженерии», попивая при этом кофе. По-видимому, нам удалось примирить эти два несовместимых восприятия нас самих, просто разъединив их в сознании. Для нас практически невозможно соотнести собственное микроскопическое описание с восприятием себя как личности, и поэтому мы храним эти две разные картины в разных «отделениях» мозга. Изредка мы пытаемся соотнести эти два восприятия, спрашивая себя: «Как это так, что эти две совершенно разные вещи — не что иное, как один и тот же человек?»

Возьмите, например, последовательность образов на экране телевизора, показывающего улыбающуюся Мэрилин Монро. Глядя на эту последовательность, мы знаем, что на самом деле видим не женщину, а множество мерцающих точек на плоской поверхности. Однако в данный момент это нас совершенно не волнует. У нас в голове совмещаются две абсолютно разные картины того, что мы видим на экране, но это нас не смущает. Мы можем легко «выключить» одну из них и начать следить за другой и делаем это постоянно. Какая из них «реальнее»? Это зависит от того, кто вы такой: человек, собака, компьютер или телевизионный аппарат.

Одна из самых трудных задач, стоящих перед исследователями искусственного интеллекта — найти способ соединить эти два описания и создать систему, которая могла бы принимать один уровень описания и производить другой. Эта проблема хорошо иллюстрируется прогрессом в создании компьютерных программ, играющих в шахматы. В 1950-х и 1960-х годах считалось, что ключом к созданию хорошо играющей машины является ее умение заглянуть вперед в разветвляющуюся сеть возможных продолжений игры дальше, чем любой шахматный мастер. Однако, когда программы стали мало-помалу приближаться к этой цели, обнаружилось, что никакого скачка в качестве игры шахматных компьютеров не произошло, и они не обогнали человеческих экспертов. Фактом остается то, что по сегодняшний день шахматные мастера-люди все еще регулярно обыгрывают самые лучшие программы.

Объяснение этого факта давно уже опубликовано В 1940 году датский психолог Адриан де Грот исследовал то, как шахматные мастера, в отличие от новичков, оценивают позицию. Его исследования показали, что мастера воспринимают расположение фигур блоками. Существует более высокий уровень описания доски, чем прямолинейное «белая пешка на е5, черная ладья на д6», и мастер каким-то образом создает мысленный образ доски на высшем уровне. Это доказывается тем, как быстро, по сравнению с новичком, мастер может восстановить какую-либо позицию из партии, после того, как обоим показали доску в течение пяти секунд. Весьма показателен тот факт, что ошибки мастера касались целых групп фигур, которые он ставил в неправильное место; при этом стратегически позиция оставалась почти той же самой — но не на взгляд новичка! Окончательным доказательством этого факта послужил тот же эксперимент, в котором на этот раз вместо настоящих позиций фигуры были расставлены как попало. В реконструкции таких случайных позиций мастера показали себя ничуть не лучше новичков.

Из этого следует, что в шахматных партиях повторяются некие типы ситуаций, некие определенные схемы и что именно эти схемы высшего уровня воспринимаются мастером. Он думает на ином уровне, чем новичок, и оперирует другим набором понятий. Почти все бывают удивлены, узнав, что во время партии мастер редко заглядывает вперед дальше, чем новичок — более того, мастер обычно рассматривает всего лишь горстку возможных ходов. Трюк заключается в том, что его восприятие доски подобно фильтру, глядя на позицию, он буквально не видит плохих ходов, подобно тому, как любители не видят ходов, противоречащих правилам. Любой, кто хотя бы немного играл в шахматы, организует свое восприятие таким образом, что диагональные ходы ладьей, вертикальное взятие пешками и тому подобное просто не приходят ему в голову. Подобно этому, мастера создали высшие уровни организации в их восприятии позиции; в результате, рассматривать плохие ходы для них так же маловероятно, как для большинства людей — рассматривать незаконные ходы. Это можно назвать явной обрезкой гигантского разветвленного дерева возможностей. С другой стороны, неявная обрезка включает рассмотрение хода и, после поверхностного анализа, решение этот ход больше не анализировать.

Это различие приложимо также и к другим видам интеллектуальной деятельности — например, к занятиям математикой. Способный математик обычно не обдумывает всяческие ложные пути к доказательству нужной теоремы, как это могли бы делать менее одаренные люди; скорее, он «нюхом чувствует» многообещающие пути и сразу направляется по ним.

Компьютерные шахматные программы, основанные на заглядывании далеко вперед, не научены думать на высшем уровне; стратегией таких машин была «грубая сила» просчета вариантов, в надежде таким образом сокрушить любое сопротивление. Однако оказалось, что эта стратегия не работает. Может быть, когда-нибудь и удастся создать такую программу, которая, основываясь только на грубой силе — умению считать варианты — действительно сможет обыгрывать лучших человеческих игроков. Однако это будет небольшим выигрышем в области интеллекта, по сравнению с открытием того, что важнейшей составляющей разума является его умение создавать многоуровневые описания сложных схем, таких, как шахматные доски, телевизионные экраны, печатные страницы или картины.

Обычно нам не приходится держать в уме больше одного уровня понимания ситуации. Более того, как мы уже сказали ранее, различные описания одной и той же системы бывают настолько далеки друг от друга концептуально, что у нас не возникает проблемы одновременного восприятия обоих; они просто хранятся в разных мысленных отделениях. Трудности возникают тогда, когда одна и та же система допускает два или более описаний, в чем-то похожих друг на друга. Тогда нам бывает трудно, думая о системе, не смешивать различные уровни — и при этом мы легко можем запутаться.

Вне сомнения, это происходит, когда мы думаем о нашей собственной психологии — скажем, когда мы пытаемся понять мотивы различных человеческих поступков. В структуре человеческого разума есть множество уровней — безусловно, это система, которую мы пока понимаем недостаточно хорошо. Существуют сотни соперничающих друг с другом теорий, объясняющих различное поведение; они основаны на предположениях о том, насколько глубоко в этой иерархии уровней расположены те или иные психологические «силы». Поскольку в настоящее время мы используем почти один и тот же язык для описания различных уровней, это приводит к немалой путанице и, наверняка, к рождению множества ложных теорий. Например, мы говорим о стимулах — сексе, власти, славе, любви — понятия при этом не имея, где именно в структуре человеческого интеллекта они зарождаются. Я не буду останавливаться на этом подробно; скажу лишь, что наше непонимание того, кто мы есть, безусловно связано с тем фактом, что мы состоим из большого количества уровней и используем один и тот же язык для описания нас самих на разных уровнях.

Существует еще одно место, где многие уровни описания сосуществуют в единой системе и все уровни концептуально близки один к другому. Я имею в виду компьютерные системы. Работающую компьютерную программу можно рассматривать на нескольких уровнях. На каждом уровне описание дается на языке вычислительных машин, что делает все описания в какой-то мере схожими — в то же время между нашим восприятием разных уровней есть крайне важные различия. На низшем уровне описание настолько сложно, что его можно сравнить с описанием образа на экране телевизора в виде набора точек; однако для определенных целей нужен именно такой взгляд на вещи. На высшем уровне описание представлено в форме крупных блоков и воспринимается совершенно по-другому, несмотря на то, что многие понятия повторяются как на низшем так и на высшем уровнях. Блоки описания на высшем уровне можно сравнить с блоками шахматного мастера и с блочным описанием образа на экране: они суммируют в сжатой форме те вещи, которые на низших уровнях представлены как отдельные. (См. рис. 57.)

Рис. 57. Идея «укрупнения» группа предметов воспринимается как единый «блок» Граница этого блока работает как клеточная мембрана или национальная граница, она устанавливает индивидуальность группы предметов внутри нее. В зависимости от контекста, внутренняя структура блока может приниматься во внимание или игнорироваться.

Чтобы предмет нашего разговора не стал слишком абстрактным, обратимся к конкретным фактам из области вычислительной техники; для начала бросим взгляд на то, что представляет собой компьютерная система на низшем уровне. Низший уровень? Не совсем, конечно — но я не буду здесь говорить об элементарных частицах, так что для нас это будет низшим уровнем.

В основании компьютерной системы находится память, центральный процессор (ЦП), и некоторые вводно-выводные устройства. Сначала давайте опишем память. Она состоит из отдельных физических единиц, называемых словами. Для конкретности скажем что в памяти есть 65 536 слов (это типичное число — 2 в 16-ой степени). Слово далее подразделяется на то что мы будем считать атомами информатики — биты. В типичном слове — около тридцати шести битов. Физически бит представляет собой магнитный «выключатель» который может быть в одном из двух положений.

00X0XXX0X00XX00X0XXXXXX0XX00XXX0000

— слово из 36 битов —

Вы можете называть эти положения «вверх» и «вниз», или «x» и «o», или «1» и «0». Последнее — общепринятое название, оно вполне адекватно, но может запутать читателя, заставив его думать, что на самом деле в памяти компьютера хранятся числа. Это неверно. У нас столько же оснований думать о наборе из тридцати шести битов, как о числе, как и считать, что два четвертака — это цена мороженого. Так же, как деньги могут быть использованы по-разному так и слово в памяти может выполнять разные функции. Строго говоря, иногда эти тридцать шесть битов действительно могут представлять число в двоичной записи. В другой раз они могут представлять тридцать шесть точек на экране телевизора, или же несколько букв текста. Наша интерпретация слова в памяти целиком зависит от той роли, которую это слово играет в использующей его программе. Разумеется, оно может играть несколько ролей — как нота в каноне.

Существует еще одна интерпретация слова, о которой я пока не упоминал слово может интерпретироваться как команда. Слова памяти содержат не только данные, на основании которых действует компьютер, но и программу, действующую на эти данные. Существует ограниченное количество операций, которые могут быть выполнены центральным процессором — ЦП — и часть некоего слова (обычно несколько первых битов) интерпретируются как название типа команды, которая должна быть выполнена. Что же означают остальные биты в слове-команде? Чаще всего, они говорят, на какие другие слова памяти надо воздействовать. Иными словами, остальные биты являются указателем на какое-либо другое слово (или слова) памяти. Каждое слово в памяти имеет свое расположение, как дом на улице; это расположение называется адресом. Память может иметь одну «улицу» или много «улиц» — они называются страницами. Таким образом, адрес любого слова — это номер страницы (если память подразделена на страницы) и его расположение на этой странице. Итак, «указатель» — это часть команды, содержащая числовой адрес какого-либо слова (или слов) в памяти. На указатель нет никаких ограничений, так что команда может даже указывать сама на себя — в этом случае, когда она действует, она изменяет саму себя.

Откуда компьютер знает, в какой момент надо выполнять ту или иную команду? Об этом заботится ЦП. В нем есть специальный указатель, который указывает (то есть хранит соответствующий адрес) на следующее слово-команду. ЦП извлекает это слово из памяти и копирует его на специальное слово в самом ЦП. (Слова в ЦП обыкновенно называют не словами, а регистрами.) После этого ЦП выполняет эту команду. Команда может вызывать любую из большого количества возможных операций; типичные операции включают:

ДОБАВИТЬ слово, указанное в команде, к регистру. (В этом случае данное слово интерпретируется как число.)

НАПЕЧАТАТЬ слово, указанное в команде, в виде букв. (В этом случае данное слово интерпретируется не как число, а как строчка букв.)

ПЕРЕЙТИ к слову, указанному в команде. (В этом случае ЦП интерпретирует данное слово, как следующую команду.)

Если первоначальная команда не содержит явного указания поступить иначе, ЦП просто обращается к следующему слову и интерпретирует его, как команду. Иными словами, ЦП предполагает, что он должен двигаться вдоль по «улице» последовательно, как почтальон, интерпретируя слово за словом как команды. Однако это последовательное движение может быть прервано некоторыми командами, такими как, например, ПЕРЕХОД.

Вы только что прочитали очень краткий обзор машинного языка. В этом языке типы существующих операций составляют конечный репертуар, который не может быть расширен. Таким образом любая программа, какой бы большой и сложной она не была, должна состоять из этих типов команд. Рассматривать программу, написанную на машинном языке, это все равно что рассматривать молекулу ДНК атом за атомом. Если вы вернетесь к рис. 41, где изображена последовательность нуклеотидов молекулы ДНК (и имейте в виду, что в каждом нуклеотиде около двух дюжин атомов) и представите себе, что вам надо записать, атом за атомом, ДНК крохотного вируса (уж не говоря о человеке!), то вы получите представление о том, что такое создание сложной программы на машинном языке и каково пытаться понять, что происходит в этой программе, если у вас есть доступ только к ее описанию на машинном языке.

Надо сказать, что первоначально программирование делалось на еще более низком уровне, чем машинный язык: соединялись определенные провода, так что нужные операции как бы «телеграфировались» машине. Этот процесс настолько примитивен по современным понятиям, что теперь его трудно себе вообразить. И все же люди, впервые это сделавшие, безусловно испытали такую же радость, какую когда-либо чувствовали создатели современных компьютеров…

Перейдем теперь на более высокую ступень иерархии уровней описания программ — уровень языка ассемблера. Между машинным языком и языком ассемблера дистанция не так уж велика; скорее, это маленький шажок. Главное здесь то, что между командами на языке машины и командами на языке ассемблера существует взаимно однозначное соответствие. Язык ассемблера представляет отдельные команды машинного языка в виде «блоков», так что, желая например, записать команду сложения, вместо последовательности битов «010111000» вы пишете просто ДОБАВИТЬ, и вместо того, чтобы давать адрес в двоичном коде, вы можете указать на слово в памяти, назвав его по имени. Следовательно, программа на языке ассемблера — это что-то вроде программы на машинном языке, сделанной более удобной для людского чтения. Машинную версию программы можно сравнить с деривацией ТТЧ, записанной в туманной нотации Гёделевых номеров, в то время как версия на языке ассемблера сравнима с изоморфной деривацией ТТЧ, записанной в более легкой для понимания первоначальной нотации самой ТТЧ. Или, возвращаясь к образу ДНК: разница, существующая между машинным языком и языком ассемблера подобна разнице между определением нуклеотидов при помощи их кропотливого, атом за атомом, описания и определением нуклеотидов по именам (как, например, «A», «G», «С» или «Т»). Подобная операция «превращения в блоки» представляет собой огромную экономию труда, хотя концептуально почти ничего при этом не меняется.

Возможно, что самое важное в языке ассемблера — не его отличие от машинного языка, которое не столь уж велико, но сама идея того, что программы вообще могут быть написаны на различных уровнях. Ведь компьютерная аппаратура построена так, чтобы «понимать» программы на машинном языке — последовательности битов — а не буквы и не числа в десятичной записи! Что происходит, когда в эту аппаратуру вводится программа на языке ассемблера? Это напоминает попытку заставить клетку узнать бумажку с записанном буквами нуклеотидом, вместо самого нуклеотида со всеми его химическими компонентами. Что делать клетке с этой бумажкой? Что делать компьютеру с программой на языке ассемблера?

Здесь мы подошли к главному: возможно написать на машинном языке программу-переводчик. Эта программа, под названием ассемблер, берет имена, десятичные числа и другие сокращения, которые программист может легко запомнить, и превращает их в монотонные, но необходимые последовательности битов. После того, как программа на языке ассемблера собрана (то есть переведена), она — точнее, ее эквивалент на машинном языке — выполняется компьютером. Однако здесь это лишь вопрос терминологии; программа какого уровня выполняется машиной? Вы не ошибетесь, сказав, что выполняется программа на машинном языке поскольку в выполнении любой программы всегда задействована аппаратура — но вполне разумно также предположить, что выполняется программа на языке ассемблера. Например, вполне можно сказать: «В данный момент ЦП выполняет команду „ПЕРЕХОД“», вместо того, чтобы говорить «В данный момент ЦП выполняет команду „111010000“». Пианист, играющий ноты G-E B-E-B-G. в то же время играет арпеджио в ми миноре. Нет причин отказываться от описания вещей с точки зрения высших уровней. Таким образом, можно считать, что программа на языке ассемблера выполняется одновременно с программой на машинном языке то, что происходит в ЦП, можно описать двумя способами.

На следующем уровне иерархии крайне важная идея о том, что сами компьютеры можно заставить переводить программы с высших на низшие уровни, развивается еще далее. В начале 1950-х годов, когда программа ассемблера уже использовалась в течение нескольких лет, было подмечено, что существуют несколько характерных структур, появляющихся в программе за программой. По-видимому, так же как и в шахматах, это были некие характерные структуры, естественно возникающие тогда, когда люди пытаются найти алгоритмы — точные описания процессов, которые они хотят осуществить. Иными словами, кажется, что в алгоритмах есть некие компоненты высшего уровня, при помощи которых они могут быть описаны с большей легкостью и эстетизмом, нежели на весьма ограниченном машинном языке или языке ассемблера. Обычно такой компонент высшего уровня в алгоритме представляет собой не одну-две машинных команды, но целый конгломерат; при этом эти команды не обязательно соседствуют в памяти. Подобный компонент может быть представлен на языке высшего уровня как некое единство, или блок.

Оказывается, что кроме стандартных блоков (только что открытых компонентов, из которых могут быть построены все алгоритмы), почти все программы содержат еще большие блоки — так сказать, суперблоки. Эти суперблоки меняются от программы к программе, в зависимости от типа задания на высшем уровне, которое данная программа должна выполнить. Мы уже говорили о суперблоках в главе V, употребляя общепринятые названия, «подпрограммы» и «процедуры». Ясно, что если бы удалось определить новые единицы высшего уровня в терминах уже известных единиц и затем вызывать их по имени, это было бы важнейшим дополнением к любому языку программирования. Таким образом разделение на блоки оказалось бы включено в сам язык. Вместо определенного репертуара команд, из которых пришлось бы кропотливо собирать каждую программу, программист смог бы создавать свои собственные модули. Каждый из них имел бы собственное имя и мог бы использоваться в любом месте программы, как если бы он был неотъемлемой характеристикой языка. Разумеется, невозможно избежать того, что внизу, на уровне машинного языка, все будет состоять из прежних команд на этом языке; но они будут неявны и не будут видны программисту, работающему на высшем уровне. Новые языки, основанные на этих идеях, были названы языки-компиляторы. Один из самых первых и элегантных получил имя «АЛГОЛ» (от английского Algorithmic Language — алгоритмический язык). В отличие от языка ассемблера, здесь нет взаимно-однозначного соответствия между высказываниями на АЛГОЛе и командами на машинном языке. Однако некий тип соответствия между АЛГОЛом и машинным языком все же существует, хотя оно гораздо более запутано, чем соответствие между языком ассемблера и машинным языком. Грубо говоря, перевод программы на АЛГОЛе в ее машинный эквивалент сравним с переводом словесного выражения алгебраической проблемы на язык формул. (На самом деле, переход от словесного выражения задачи к её выражению в формулах гораздо более сложен, но он дает определенное представление о типе «распутывания», необходимом при переводе с языка высшего уровня на язык низшего уровня ) В середине 1950-х годов были созданы удачные программы под названием компиляторы, функцией которых был перевод с языка-компилятора на машинный язык.

Были изобретены также интерпретаторы. Подобно компиляторам, интерпретаторы переводят с языков высших уровней на машинный язык, но вместо того, чтобы сначала переводить все высказывания и затем выполнять машинный код, они считывают одну строчку и тут же ее выполняют. Преимущество здесь в том, что для использования интерпретатора не обязательно иметь полную программу. Программист может придумывать свою программу строчка за строчкой и проверять ее в процессе создания. Интерпретатор по сравнению с компилятором — то же, что устный переводчик по сравнению с переводчиком письменных текстов. Один из самых интересных и важных языков программирования — это ЛИСП (от английского List Processing — обработка списка), изобретенный Джоном Маккарти примерно тогда же когда был изобретен АЛГОЛ. Впоследствии ЛИСП приобрел большую популярность среди специалистов по искусственному интеллекту.

Между принципом работы интерпретаторов и компиляторов есть одно интересное различие. Компилятор берет входные данные (к примеру, законченную программу на Алголе) и производит некий результат (длинную последовательность команд на машинном языке). На этом его работа закончена и результат вводится в компьютер для обработки. Интерпретатор, напротив работает непрерывно, пока программист вводит одно за другим высказывания ЛИСПа, каждое из них немедленно выполняется. Однако это не означает что каждое высказывание сначала переводится и затем выполняется — тогда интерпретатор был бы всего лишь построчным компилятором. Вместо этого в интерпретаторе операции считки новой строчки, ее «понимания» и выполнения переплетены — они происходят одновременно.

Поясню эту идею немного подробнее. Как только новая строчка ЛИСПа вводится в интерпретатор, он пытается ее обработать. Это означает, что интерпретатор начинает действовать, и в нем выполняются некие машинные команды. Какие именно — это зависит, разумеется, от данного высказывания ЛИСПа. Внутри интерпретатора много команд типа ПЕРЕХОД, так что новая строчка ЛИСПа может заставить контроль двигаться довольно сложным путем вперед, назад, затем опять вперед и т. д. Таким образом, каждое высказывание ЛИСПа превращается в некий «маршрут» внутри интерпретатора, и следование по этому маршруту приносит нужный эффект.

Иногда бывает полезно интерпретировать высказывания ЛИСПа как некие блоки данных, которые постепенно вводятся в непрерывно действующую программу машинного языка (интерпретатор ЛИСПа). Думая об этом таким образом, вы по-иному видите отношения между программой, написанной на языке высшего уровня, и исполняющей эту программу машиной.

Разумеется, компилятор, будучи программой, должен быть сам написан на каком-либо языке. Первые компиляторы были созданы на языке ассемблера вместо машинного языка; таким образом полностью использовались преимущества подъема на одну ступеньку над машинным языком. Краткое описание этих довольно сложных понятий представлено на рис. 58.

РИС. 58. Как ассемблеры, так и компиляторы — это переводчики на машинный язык. Это указано прямыми линиями. Более того, поскольку они сами являются программами, они первоначально также создаются на каком-либо языке программирования. Волнистые линии указы указывают на то, что компилятор может быть написан на языке ассемблера, а ассемблер — на машинном языке.

По мере того, как программирование становилось более изощренным, было замечено, что частично законченный компилятор может быть использован для того, чтобы компилировать собственные продолжения. Иными словами, когда создано определенное минимальное ядро компилятора, это минимальное ядро может переводить большие компиляторы на машинный язык, пока таким образом не создастся окончательный, полный компилятор. Этот процесс известен под именем «самонастройки»; он несколько напоминает достижение ребенком критического уровня владения своим родным языком, после чего его словарь и грамматическое мастерство растут как снежный ком, так как для изучения языка он может использовать сам язык.

Языки компиляторов обычно не отражают структуры машин, на которых будут выполняться написанные на этих языках программы. Это одно из их основных преимуществ по сравнению с весьма специализированными языками ассемблера и машинным языком. Разумеется, когда программа на языке компилятора переводится на язык машины, получается программа, зависящая от машины. Таким образом, возможно описать программу, которая исполняется либо зависящим от машины путем, либо не зависящим, подобно тому, как мы можем описать абзац в книге по его содержанию (описание, не зависящее от издания) или по номеру страницы и его расположению на ней (описание, зависящее от издания).

Пока программа работает хорошо, то, как мы ее описываем и что мы о ней думаем, не столь важно. Но как только возникают неполадки, становится важным умение увидеть программу на разных уровнях. Если, например, компьютеру дана задача в какой-то момент разделить на нуль, он остановится и сообщит пользователю о возникшей проблеме, указав при этом, в каком месте программы произошло это неприятное событие. Однако эти детали часто сообщаются на более низком уровне, чем тот, на котором написана сама программа. Вот три параллельных описания забуксовавшей программы:

Уровень машинного языка:

«Выполнение программы прекратилось по адресу 1110010101110111»

Уровень языка ассемблера:

«Выполнение программы прекратилось, когда она дошла до команды РАЗДЕЛИТЬ».

Уровень языка компилятора:

«Выполнение программы прекратилось в момент оценки алгебраического выражения „(А + B)/Z“».

Одна из основных задач программистов (людей, которые создают компиляторы, интерпретаторы, ассемблеры и другие программы, которые затем используются многими людьми) — это создание находящих ошибки подпрограмм. Необходимо, чтобы информация, которую эти подпрограммы выдают пользователю, в чьей программе обнаружен дефект, представляла бы описание проблемы на высшем, а не на низшем, уровне. Интересно, что если сбой обнаруживается в генетической «программе» (например, мутация), то происходит обратное, ошибка бывает заметна только на высшем уровне, то есть на уровне фенотипа, а не генотипа. На самом деле, современная биология использует мутации, как одно из основных окон в мир генетических процессов, поскольку они могут быть прослежены на многих уровнях.

В современных компьютерных системах есть несколько других уровней иерархии. Например, некоторые системы — часто называемые «микрокомпьютерами» — используют еще более рудиментарные команды на машинном языке, чем добавка числа в памяти к числу в регистре. Пользователь должен сам решать, какой тип команд на обычном машинном языке он хочет запрограммировать; он «микропрограммирует» эти команды в терминах имеющихся у него «микрокоманд» После этого разработанные им команды на языке высшего уровня могут быть включены в схему компьютера и стать частью аппаратуры, хотя это и не обязательно. Подобное микропрограммирование позволяет пользователю спуститься немного ниже уровня обычного машинного языка. Одним из следствий этого является то, что какой-либо компьютер одной фирмы может, путем микропрограммирования, быть снабжен такой аппаратурой, что она повторяет машинные команды другого компьютера той же (или даже иной) фирмы. При этом говорится, что компьютер с микропрограммой имитирует другой компьютер.

Далее, у нас имеется уровень операционной системы, который расположен между уровнями программы на машинном языке и следующим уровнем, на котором программирует пользователь. Операционная система — это программа, предотвращающая доступ пользователей к самой машине (и таким образом защищающая систему); эта программа избавляет пользователя от многих сложных и запутанных проблем, таких, как прочтение программы, вызов программы-переводчика, выполнение переведенной программы, направление результата по нужным каналам в нужное время и передача контроля следующему пользователю. В случае, когда с ЦП говорят сразу несколько пользователей, операционная система переключает внимание ЦП в определенном порядке. Операционные системы удивительно сложны; здесь я только намекну на эти сложности при помощи следующей аналогии.

Рассмотрим первую телефонную систему. Александр Грэхем Белл мог позвонить своему ассистенту в соседнюю комнату: электронная передача голоса! Это сравнимо с простым компьютером без операционной системы: электронные вычисления!

Рассмотрим теперь современную телефонную систему. У вас есть выбор, с каким телефоном соединиться; к тому же, можно отвечать на многие звонки одновременно. Вы можете добавить код и соединиться с другими районами. Вы можете позвонить прямо или через оператора; так, что звонок будет оплачен вашим собеседником или по вашей кредитной карточке. Можно говорить с одним человеком или сразу с несколькими; можно «перенаправить» или проследить звонок. Существует сигнал «занято», сигнал, говорящий вам, что набранный номер не является «хорошо сформированным» и сигнал, говорящий вам, что вы набирали номер слишком долго. Вы можете установить местный коммутатор, соединяющий несколько телефонов, — и так далее, и тому подобное. Это удивительный список, если подумать, сколько возможностей он представляет, в особенности, по сравнению с былым чудом «голого» телефона. Вернемся теперь к компьютерам: сложные операционные системы выполняют примерно те же операции направления трафика и переключения уровней по отношению к пользователям и их программам. Мы можем быть практически уверены в том, что у нас в мозгу происходят некие параллельные процессы, одновременная обработка многих стимулов; решения о том, что должно выйти на первый план и на какое время; мгновенные «перерывы» из-за неожиданных событий и критических положений и так далее.

Многие уровни сложной компьютерной системы, взятые вместе, облегчают пользователям их работу, позволяя им не думать о процессах, происходящих на низших уровнях (которые, скорее всего, для них совершенно неважны). Пассажир в самолете обычно не интересуется уровнем горючего в баках, скоростью ветра, количеством куриных крылышек, которые будут поданы на ужин пассажирам, или воздушным трафиком около места назначения. Все это — дело служащих на разных уровнях иерархии авиакомпании; пассажир же хочет только одного: чтобы его доставили из одного места в другое. Только когда случается что-нибудь непредвиденное, например, потеря багажа, пассажир понимает, с какой запутанной системой уровней он имеет дело.

Одной из основной целей в нашем стремлении к высшим уровням всегда было желание сообщать компьютеру о том. чего мы от него хотим, самым естественным для нас образом. Безусловно, конструкции высшего уровня в языках компиляторах ближе к категориям, в которых обычно думают люди, чем конструкции низшего уровня, такие, как в машинных языках. Но в этом стремлении к легкости общения с компьютерами мы обычно забываем об одном из аспектов «естественности», — а именно, том факте, что общение между людьми имеет намного меньше ограничений, чем общение между человеком и машиной. Например, мы зачастую произносим бессмысленные словосочетания, ища, как бы получше выразить свою мысль, кашляем в середине фразы, перебиваем друг друга, используем двусмысленные описания и «неправильный» синтаксис, придумываем выражения и искажаем смысл — но наши сообщения обычно все же достигают цели. В языках программирования, напротив синтаксис должен быть стопроцентно строгим, в них не должно быть двусмысленных выражений и конструкций. Интересно, что печатный эквивалент кашля разрешен, но только если он предварен условным знаком (например, словом КОММЕНТАРИЙ), после него также должен иметься условный знак (например, точка с запятой). Ирония в том, что эта небольшая уступка гибкости создает свои проблемы: если точка с запятой (или любой другой условный знак, отмечающий конец комментария) встречается внутри комментария, программа переводчик интерпретирует ее, как сигнал окончания комментария, после чего следует полная неразбериха.

Представьте, что в программе определена процедура под названием ПОНИМАНИЕ, и эта процедура затем вызвана семнадцать раз. Если в восемнадцатый раз это слово ошибочно написано ПОМИНАНИЕ, горе программисту! Компилятор взбунтуется и напечатает весьма неприятное послание ОШИБКА, сообщая, что он никогда не слыхал ни о каком ПОМИНАНИИ. Часто, когда компилятор обнаруживает подобную ошибку, он пытается продолжить работу, но из-за отсутствия у него поминания, он не может понять, что имел в виду программист. На самом деле, он может даже вообразить, что тот имел в виду нечто совершенно другое, и начать действовать согласно этой ошибочной интерпретации. В результате, остальная программа будет усеяна посланиями «ошибка», потому что компилятор — а не программист — запутался. Вообразите, какая путаница получится, если, переводя с английского на русский, переводчик услышит фразу по-французски и попытается переводить остальной английский текст, как французский! Компиляторы часто запутываются таким жалким образом. C'est la vie.

Может быть, это звучит как приговор компьютерам, — но я вовсе не имел это в виду. В некотором смысле, такое положение вещей необходимо. Если подумать, для чего обычно используются компьютеры, становится ясно, что они выполняют весьма определенные и точные задания, которые слишком сложны для людей. Чтобы мы могли доверять компьютерам, необходимо, чтобы они совершенно точно, без следа двусмысленности, понимали, что от них требуется. Необходимо также, чтобы компьютер делал не больше и не меньше того, что ему приказано. Если между компьютером и программистом стоит программа, предназначенная угадывать, чего тот хочет или имеет в виду, то весьма вероятно, что, когда программист попытается сообщить машине задачу, она будет понята совершенно неверно. Таким образом важно, чтобы программы высшего уровня хотя и удобные для людей, тем не менее были бы недвусмысленными и точными.

Несмотря на это, возможно создать язык программирования который допускает некоторый тип неточности и программу, переводящую его на низшие уровни. Можно сказать, что программа-переводчик при этом будет пытаться интерпретировать нечто, сделанное «вне правил языка». Но если в языке допускаются некие «нарушения» правил, подобные нарушения уже нельзя назвать настоящими нарушениями, поскольку они включены в правила! Если программисту разрешено допускать определенный тип ошибок, он может использовать эту черту, зная, что при этом он оперирует строго в рамках правил, несмотря на видимость обратного. Иными словами, если пользователь знает о всех трюках, делающих программу-переводчика более гибкой и удобной для пользования, то он знает и предел, который он не может перейти; следовательно, ему эта программа все равно кажется жесткой и негибкой, хотя она и дает ему гораздо большую свободу по сравнению с ранними версиями, не включавшими «автоматическую компенсацию человеческих ошибок.»

По отношению к «эластичным» языкам подобного типа может быть две альтернативы: (1) пользователь знает о встроенных в язык и в программу-переводчика уступках; (2) пользователь о них не знает. В первом случае, язык может быть использован для точного сообщения программ, поскольку программист может предсказать, как компьютер будет интерпретировать программы, написанные на этом языке. Во втором случае, в языке есть скрытые черты, могущие выкинуть что-нибудь непредсказуемое с точки зрения пользователя, не знающего о том, как работает программа-переводчик. Результатом этого могут быть грубые ошибки в интерпретации программы, поэтому такой язык не годится для использования компьютеров за их быстроту и надежность.

На самом деле, есть и третья альтернатива; (3) пользователь знает о встроенных в язык и в программу-переводчик отклонениях от правил, но их так много и они взаимодействуют таких сложным путем, что что он не может предсказать, как будут интерпретированы программы. Это может быть сказано о человеке, написавшем переводящую программу; он, разумеется, знает ее структуру как никто другой — и все же он не может предсказать того, как она будет реагировать на данный тип необычной конструкции.

Одна из основных областей исследования в сегодняшней науке об искусственном интеллекте называется автоматическим программированием; автоматическое программирование работает над созданием языков еще более высоких уровней, языков, переводящие программы которых смогут проделывать хотя бы некоторые из следующих удивительных вещей: обобщать на основе примеров, исправлять типографские или грамматические ошибки, пытаться понять двусмысленные описания, при помощи упрощенной модели пытаться угадывать, что на уме у пользователя, задавать вопросы, когда машине что-то непонятно, использовать человеческий язык и т. д. Может быть, со временем удастся найти компромисс между гибкостью и строгостью.

Удивительно, насколько прогресс в исследовании компьютерной техники (и в частности, искусственного интеллекта) связан с развитием новых языков. В последнее десятилетие возникла ясная тенденция: воплощать новые открытия в новых языках. Один из ключей к пониманию и созданию интеллекта лежит в постоянном развитии и улучшении языков, описывающих процессы манипуляции символами. На сегодняшний день имеется около трех-четырех дюжин экспериментальных языков, созданных исключительно для исследований по искусственному интеллекту. Важно понимать, что любая программа, написанная на одном из этих языков, в принципе может быть переведена на языки низших уровней, хотя это и потребовало бы от людей огромных усилий; получившаяся программа была бы такой длинной, что она оказалась бы за пределами человеческого понимания. Это не означает, что каждый высший уровень увеличивает потенциал компьютера; весь этот потенциал уже существует в наборе команд машинного языка. Просто новые понятия на языках высшего уровня по самой своей природе наводят на мысль о новых путях и перспективах.

«Пространство» всех новых программ настолько обширно, что никто не может представить себе всех возможностей. Каждый язык высшего уровня предназначен для исследования определенных районов «программного пространства», таким образом, используя данный язык, программист оказывается в соответствующем районе. Язык не заставляет его писать программы именно такого типа, но облегчает для него выполнение определенных задач. Близость к понятию и небольшой толчок — вот все, что обычно требуется здесь для крупного открытия; именно поэтому исследователи стремятся к языкам еще более высоких уровней.

Программирование на разных языках подобно сочинению музыкальных произведений в различных тональностях, особенно если вы работаете на клавиатуре. Если вы уже выучили или написали произведения во многих ключах, каждая клавиша будет иметь для вас свою собственную эмоциональную окраску. Некоторые мелодии кажутся естественными в одном ключе, но неловкими в другом. Таким образом, ваше направление определяется выбором тональности. В некотором роде, даже энгармонические тональности, такие как до-диез и ре-бемоль, весьма отличаются по настроению. Это говорит о том, что система нотации может играть важную роль в том, как будет выглядеть конечный продукт.

«Стратифицированная» схема искусственного интеллекта показана на рис. 59; внизу лежат компоненты аппаратуры, такие, как транзисторы, а на вершине расположены «думающие программы». Эта иллюстрация взята из книги «Искусственный интеллект» Патрика Генри Винстона (Patrick Henry Winston, «Artificial Intelligence»), она представляет собой общепринятый среди специалистов взгляд на искусственный интеллект. Хотя я согласен с идеей, что ИИ должен быть стратифицирован подобным образом, мне не кажется, что с таким небольшим количеством уровней возможно получить думающие программы.

РИС. 59. Для создания думающих программ необходимо построить серию уровней аппаратуры и программного обеспечения, чтобы избежать мучений работы со всеми процессами только на низшем уровне. Описания одного и того же процесса на разных уровнях весьма отличаются друг от друга, и только самый высший уровень представлен в блоках, достаточно крупных для нашего понимания. [Взято из книги «Искусственный интеллект» П. Г. Винстона (Р.Н. Winston, «Artificial Intelligence»).]

Между уровнем машинного языка и уровнем, на котором может быть достигнут настоящий интеллект, должна, по-моему убеждению, лежать еще дюжина (или даже несколько дюжин!) уровней, каждый следующий из которых, базируясь на предыдущем, в то же время был бы более гибким. Сейчас мы с трудом можем себе вообразить, как это будет выглядеть…

Схожесть уровней в компьютерной системе может привести к странному их смешению. Однажды я был свидетелем того, как пара моих приятелей — оба новички в компьютерном деле — забавлялись на терминале с программой «PARRY». PARRY — это печально известная программа, симулирующая параноика весьма простеньким образом: она выдает заранее заготовленные английские фразы, выбранные из широкого репертуара. Правдоподобие достигается тем, что программа может определить, какие именно «заготовки» могут звучать разумно в ответ на фразы, введенные в компьютер человеком.

В какой-то момент PARRY надолго задумалась, и я объяснил друзьям, что задержка, скорее всего, связана с большой нагрузкой на систему разделения времени. Я сказал им, что они могут узнать, сколько человек подключены к системе в данный момент; для этого нужно напечатать специальный символ «контроль», который пойдет прямо в операционную систему, минуя PARRY. Один из моих приятелей нажал на соответствующую клавишу, после чего некие данные о статусе операционной системы отпечатались на экране поверх фраз PARRY. При этом PARRY об этом понятия не имела, поскольку это программа, «понимающая» только в скачках и пари, но ничего не знающая об операционных системах, терминалах и специальных символах контроля. Для моих друзей, однако, PARRY и операционная система были одним и тем же — «компьютером», загадочным, аморфным, далеким существом, которое отвечало на то, что они печатали. Так что для них было вполне естественно, когда один из них с улыбкой напечатал «Почему вы пишете поверх того, что на экране?» Идея о том, что PARRY может ничего знать об операционной системе, при помощи которой она действует, была непонятна моим друзьям. Идея что «мы» знаем все о «нас самих» казалась им настолько естественной из их опыта людских контактов, что они просто распространили ту же идею на компьютер — в конце концов, он же был достаточно умен, чтобы «разговаривать» с ними по-английски! Их вопрос похож на то, как если бы вы спросили кого-нибудь: «Почему вы сегодня производите так мало красных кровяных шариков?» Люди не знают об этом уровне — «уровне операционных систем» — их тела.

Главная причина этого смешения уровней была в том, что общение со всеми уровнями компьютерной системы происходило на одном и том же экране, на одном и том же терминале. Хотя наивность моих друзей может показаться преувеличенной, даже опытные компьютерные специалисты часто допускают подобные ошибки, когда несколько уровней сложной системы бывают одновременно представлены на одном и том же экране. Они забывают, кто их «собеседник» и печатают что-то, не имеющее смысла на данном уровне, хотя и вполне приемлемое на другом. Может показаться, что хорошо было бы заставить саму систему сортировать уровни — интерпретировать команды согласно тому, какая из них «имеет смысл». К несчастью, подобная интерпретация требует от машины немалой толики здравого смысла и совершенного знания намерений программиста, а это требует настолько развитого искусственного интеллекта, которого на сегодняшний день у компьютеров нет.

Путаница может также возникнуть из-за того, что одни уровни гибки, а другие — строги и жестки. Например, в некоторых компьютерах есть замечательные программы-редакторы, которые позволяют переводить куски текста из одного формата в другой, почти так же, как жидкость может быть перелита из одного сосуда в другой. Узкую страницу можно превратить в широкую, и наоборот. При такой мощи можно ожидать, что поменять шрифт, скажем, на курсив, также не представит никакого труда. Однако у программы может быть только один шрифт, что делает подобные изменения невозможными. Бывает также, что нужный шрифт можно получить на экране, но не на принтере — или наоборот. Долго работая с компьютерами, легко избаловаться и считать, что программированию должно поддаваться все; не должно быть негибких принтеров, имеющих только один шрифт, или даже конечный набор шрифтов, шрифты должны определяться пользователем! Но достигнув этой степени гибкости, мы начинаем расстраиваться, что принтер не печатает разноцветными чернилами на бумаге любой формы и размера или что он не чинит сам себя…

Проблема в том, что в какой-то момент вся эта гибкость должна, используя фразу из главы V, «коснуться дна». Должен существовать жесткий уровень аппаратуры, на котором основано все остальное. Он может быть спрятан под гибкими уровнями так глубоко, что немногие пользователи чувствуют ограничения, налагаемые аппаратурой — однако эти ограничения неизбежны.

В чем именно состоит разница между программным обеспечением и аппаратурой? Это разница между программами и машинами — между длинными и сложными последовательностями команд и физическими аппаратами, которые эти команды выполняют. Я сказал бы, что программное обеспечение — это «то, что можно передать по телефону», а аппаратура — это «все остальное». Пианино — это аппаратура, а ноты — программное обеспечение. Телефонный аппарат — это аппаратура, а телефонный номер — программное обеспечение. К сожалению, это полезное различие далеко не всегда так ясно.

В нас, человеческих существах, тоже есть аспекты «аппаратуры» и «программного обеспечения» и разница между ними для нас настолько естественна, что мы перестаем ее замечать. Мы привыкли к негибкости нашей физиологии: то, что мы не можем усилием воли вылечить себя от всех болезней или заставить расти у нас на голове волосы любого цвета — лишь два простых примера. Однако мы можем «перепрограммировать» наш мозг, чтобы оперировать в рамках новых понятий. Удивительная гибкость интеллекта кажется почти несовместимой с тем фактом, что наш мозг сделан из «аппаратуры», подчиняющейся строгим правилам, аппаратуры, которую невозможно изменить. Мы не можем заставить наши нейроны реагировать быстрее или медленнее, не можем «поменять проводку» у себя в мозгу, не можем изменить внутренность нейрона — короче, у нас нет никакого выбора относительно нашей «аппаратуры» — и тем не менее, мы можем контролировать собственные мысли.

Однако существуют аспекты нашего мышления, не поддающиеся контролю. Мы не можем, по желанию, стать сообразительнее; не можем выучить новый язык так быстро, как бы нам хотелось; не можем заставить себя думать о нескольких вещах сразу и так далее. Это знание о нашей природе столь изначально, что его даже трудно заметить; это все равно, что постоянно сознавать, что вокруг нас — воздух. Мы никогда не думаем о возможной причине подобных «дефектов» нашего интеллекта — устройстве нашего мозга. Основная цель этой книги — предложить пути примирения между аппаратурой — мозгом и программным обеспечением — интеллектом.

Мы видели, что в компьютерных системах есть множество довольно четко определенных уровней, и что работающая программа может быть описана в терминах любого из них. Таким образом, существуют не только низший и высший уровни — есть самые различные степени низкого и высокого. Типичны ли промежуточные ступени для всех систем с низшими и высшими уровнями? Рассмотрим для примера систему, аппаратурой которой является земная атмосфера, а программным обеспечением — погода. Проследить за движением всех молекул одновременно было бы способом «понимания» природы на весьма низком уровне — что-то вроде работы с огромной сложной программой на машинном языке. Ясно, что эта задача лежит далеко за пределами человеческих возможностей. Однако у нас есть наш особый, человеческий способ наблюдения за погодными явлениями и их описания. Мы воспринимаем природные явления на высоком уровне — крупными блоками, такими, как дождь, снег, туман, ураганы, холодные фронты, времена года, атмосферное давление, ветры, течения, кучевые облака, грозы, уровни инверсии и так далее. Во всех этих явлениях участвует астрономическое число молекул, которые каким-то образом действуют вместе, давая крупномасштабный эффект. Этот метод сравним с использованием для анализа погоды языка компилятора.

Существует ли аналог исследованию погоды при помощи промежуточных языков, таких, как язык ассемблера? Бывают ли, к примеру, очень маленькие местные «мини-штормы», как те крохотные смерчи, крутящие пыльные столбы максимум пару метров в диаметре? Является ли порыв ветра блоком промежуточного уровня, играющим роль в создании погодных явлений более крупного масштаба? Или же не существует практического способа использовать наши знания о подобных явлениях с тем, чтобы получить более полное объяснение погоды?

Тут возникают еще два вопроса. Первый такой: «Может ли быть, что погодные явления, воспринимаемые нами как смерчи и засухи, на самом деле — лишь явления промежуточных уровней, составляющие часть каких-то более общих, медленно протекающих явлений?» В таком случае, погодные явления настоящего высшего уровня были бы глобальными, и их время измерялось бы по геологической шкале. Ледниковый период был бы погодным событием такого высшего уровня. Второй вопрос: «Есть ли такие погодные явления промежуточного уровня, которых люди до сих пор не замечали, но которые могли бы дать нам более глубокое понимание погоды?»

Последнее предположение может звучать, как чистая фантазия, но это не совсем так. Стоит только взглянуть на точнейшую из точных наук, физику, чтобы найти необычные примеры систем, описанных в терминах взаимодействия таких «частей», которые сами по себе невидимы. В физике, как и в любой другой дисциплине, системой считается группа взаимодействующих частей. В большинстве известных нам систем части сохраняют свою индивидуальность при взаимодействии, так что мы можем различить их внутри системы. Например, когда собирается футбольная команда, ее игроки продолжают быть отдельными личностями, они не сливаются, теряя свою индивидуальность, в какое-то составное существо. И все же — и это очень важно — определенные процессы в их мозгу вызваны именно контекстом команды, вне которого эти процессы не происходили бы. Таким образом, в некотором смысле индивидуальность игроков меняется, когда они становятся частью большей системы — команды. Такой тип системы называется почти разложимой системой (термин взят из статьи Г. А. Саймона «Архитектура сложности» (H. А. Simon, «Architecture of complexity»). Подобная система состоит из слабо взаимодействующих модулей, которые сохраняют свою собственную индивидуальность во время взаимодействия, но, слегка меняясь по сравнению с тем, какими они бывают вне системы, тем самым способствуют связному поведению целой системы. Изучаемые в физике системы обычно принадлежат именно к такому типу. Считается, например, что атом состоит из ядра, положительный заряд которого удерживает на орбите, или в связанном состоянии, некоторое количество электронов. Связанные электроны весьма похожи на свободные электроны, несмотря на то, что они находятся внутри сложной системы.

Некоторые системы, изучаемые в физике, представляют собой контраст по сравнению с относительно простым атомом. В таких системах взаимодействие частей необычайно сильно, в результате чего они проглатываются большей системой и частично или полностью теряют свою индивидуальность. Примером является ядро атома, которое обычно описывается как «набор протонов и нейтронов». Но силы, удерживающие вместе частицы, составляющие ядро, так велики, что эти частицы становятся совершенно непохожи на самих себя в «свободной» форме (то есть когда они находятся вне ядра). На самом деле, ядро во многих смыслах более похоже на единую частицу, чем на набор взаимодействующих частиц. Когда ядро расщепляется, при этом обычно освобождаются протоны и нейтроны, но также и другие частицы, такие как пи-мезоны и гамма-лучи. Находятся ли все эти частицы внутри ядра до его расщепления, или же они — что-то вроде «искр», летящих при расщеплении ядра? Возможно, что искать ответа на подобный вопрос не имеет смысла. На уровне физики частиц разница между возможностью «высекать искры» и действительным наличием субчастиц не столь ясна.

Таким образом, ядро — это система, «части» которой, хотя они и невидимы внутри системы, могут быть извлечены и сделаны видимыми. Однако есть и более патологические случаи, такие, как протон и нейтрон, взятые как системы. Существует предположение, что каждый из них состоит из тройки «кварков» — гипотетических частиц, которые могут соединяться по две или по три, образуя при этом многие из известных основных частиц. Однако взаимодействие между кварками настолько сильно, что их не только невозможно увидеть внутри протонов и нейтронов, но и невозможно извлечь оттуда! Таким образом, хотя кварки помогают теоретически объяснить некоторые свойства протонов и нейтронов, их собственное существование, возможно, никогда не будет установлено с достоверностью. Здесь перед нами — антипод «почти разложимой системы», система, которую скорее можно назвать «почти неразложимой». Интересно, однако, что теория протонов и нейтронов (и других частиц), основанная на «модели кварков», дает хорошее количественное объяснение многих экспериментальных результатов, касающихся частиц, предположительно составленных из кварков.

В главе V мы обсуждали то, как ренормализованные частицы возникают из своих голых центров в результате рекурсивно накапливающихся взаимодействий с виртуальными частицами. Ренормализованную частицу можно рассматривать либо как это сложное математическое построение, либо как некий «бугорок», чем она и является физически. Одно из самых странных и впечатляющих последствий этого способа описания частиц — это объяснение, которое оно дает знаменитому явлению сверхпроводимости (свободному от сопротивления течению электронов в некоторых твердых телах при очень низких температурах).

Оказывается, что электроны в твердых телах ренормализованы в результате их взаимодействия с некими странными квантами вибраций, называемыми фононами (которые, в свою очередь, ренормализованы!). Такие ренормализованные электроны называются поляронами. Вычисления показывают, что при низких температурах два полярона с противоположным спином начинают притягивать друг друга и могут стать определенным образом связанными. При некоторых условиях все поляроны, переносящие ток, связываются по два, образуя так называемые куперовы пары. Парадоксально то, что образование этих пар происходит именно потому, что электроны — голые центры спаренных поляронов — электрически отталкиваются друг от друга. В отличие от электронов, куперовы пары не притягиваются и не отталкиваются; поэтому они могут свободно перемещаться в металле, словно в вакууме. Изменив математическое описание подобного металла с такого, чьими основными единицами являются поляроны, на такое, чьи основные единицы — куперовы пары, вы получите значительно упрощенный набор уравнений. Эта математическая простота указывает на то, что деление на «блоки» куперовых пар — естественный взгляд на сверхпроводимость.

Здесь есть несколько уровней частиц: сама куперова пара, пара составляющих ее поляронов с противоположным спином, электроны и фотоны из которых составлены поляроны; внутри электронов — виртуальные фононы и позитроны… и так далее, и тому подобное. Мы можем смотреть на каждый уровень и воспринимать происходящие там явления согласно нашему пониманию лежащих ниже уровней.

Точно так же, к счастью, нам не нужно знать о кварках всего, чтобы понимать многое в поведении частиц, составной частью которых они могут быть. Специалист по ядерной физике может разрабатывать теории о ядрах, основанные на протонах и нейтронах, и игнорировать как теории о кварках, так и теории, оспаривающие последние. Ядерный физик работает с блочной картиной протонов и нейтронов — описанием, основанным на теориях низших уровней, которое при этом не требует понимания этих теорий. Подобно этому, атомный физик работает с блочной картиной атомного ядра, основанной на теории ядра. Химик работает с блочной картиной электронов и их орбит, создавая на этом основании теории небольших молекул, которые, в свою очередь, могут быть использованы как блоки специалистом по молекулярной биологии, который интуитивно понимает, как соединяются маленькие молекулы, но специализируется в области крупных молекул и их взаимодействий. Далее, специалист по биологии клеток берет блочную картину единиц, усердно изучаемых молекулярным биологом, и пытается использовать ее для объяснения клеточного взаимодействия. Думаю, что вам понятно, к чему я веду. Каждый уровень в каком-то смысле «запечатан» — изолирован от уровней, находящихся ниже его. Это еще один из выразительных терминов Саймона, напоминающий о том, как подводная лодка делится на секции; если одна из частей разгерметизируется, проблема не распространяется на остальные секции, так как двери испорченной секции закрываются, изолируя ее от соседних помещений.

Хотя некоторая «утечка» между иерархическими уровнями наук присутствует всегда, и химик не может полностью игнорировать низшие уровни физики, или биолог — полностью игнорировать химию, утечки между далекими уровнями почти не происходит. Именно поэтому мы можем понимать других людей, не имея при этом глубокого понимания модели кварков, структуры ядра, природы орбит электронов, химических связей, структуры белков, органоидов в клетках, путей межклеточного сообщения, физиологии различных органов человеческого тела, или сложных взаимодействий между органами. Все, что нам необходимо, — это блочная модель действия высших уровней; и, как мы все знаем, подобные модели весьма реалистичны и успешны.

Однако у блочной модели есть и значительная негативная сторона; обычно она не дает точных предсказаний. Это значит, что хотя блочные модели спасают нас от невыполнимой задачи воспринимать людей как набор кварков (или того, что в них имеется на низшем уровне), они дают нам только вероятностные оценки того, как другие люди чувствуют, реагируют на наши слова и поступки и так далее. Короче, используя блочную модель, мы приносим в жертву детерминизм и выигрываем в простоте. Несмотря на то, что мы не знаем, как люди среагируют на наш анекдот, мы все же рассказываем его; при этом мы скорее ожидаем, что они засмеются (или не засмеются), чем, скажем, полезут на ближайший столб. (Конечно, мастер дзена запросто мог бы сделать именно это!) Блочная модель определяет «интервал» возможного поведения и вероятность того, что определенное поведение будет лежать в той или иной области этого интервала.

Эти идеи могут быть приложены не только к сложным физическим системам, но и к компьютерам. Известно высказывание: «Компьютеры могут делать только то, что им приказано». В каком-то смысле это верно, но при этом не учитывается следующий факт: последствия ваших инструкций неизвестны вам заранее, поэтому поведение компьютера может быть так же удивительно и непредсказуемо для вас, как и поведение человека. Обычно вам заранее известен тот приблизительный промежуток, в рамки которого уложится результат, но неизвестны детали того, где именно этот результат будет расположен. Например, вы можете написать программу для того, чтобы вычислить первый миллион цифр числа π. Ваша программа начнет выдавать эти цифры гораздо быстрее, чем могли бы это сделать вы сами — но то, что компьютер обгоняет программиста, не удивительно. Вы знаете заранее, в каком интервале будет лежать результат — а именно, цифры от 0 до 9; то есть у вас имеется блочная модель поведения программы; если бы вы знали все остальное, вам не нужно было бы писать программу.

Это старое высказывание неверно и в другом смысле. Дело в том, что, программируя на языках все высших уровней, вы все с меньшей и меньшей точностью можете сказать, что именно вы приказываете компьютеру! Многие прослойки переводов могут отделять «передний конец» сложной программы от действительных команд на машинном языке. На уровне, на котором вы думаете и программируете, ваши высказывания могут быть более похожи на утверждения и предложения, чем на команды. При этом внутренняя «возня», вызванная вводом высказывания высшего уровня, обычно остается для вас невидима, так же, как, когда вы едите бутерброд, вы не думаете о пищеварительных процессах, которые при этом начинаются у вас внутри.

Так или иначе, мнение, что «компьютеры могут делать только то, что им приказано», впервые высказанное лэди Лавлэйс в ее знаменитых мемуарах, настолько распространено и так связано с мнением о том, что «компьютеры не могут думать», что мы вернемся к нему в следующих главах, когда сможем обсудить этот вопрос на более высоком уровне.

Системы, построенные из многих частей, бывают двух типов. Первый их них характеризуется тем, что поведение одних частей аннулирует поведение других. В подобных системах не столь важно, что делается на низшем уровне, поскольку результатом любых происходящих там событий будет почти одинаковое поведение высшего уровня. Примером такой системы может служить баллон с газом, молекулы которого сталкиваются друг с другом в результате множества сложных микроскопических процессов; однако макроскопическое целое — это стабильная система в спокойном состоянии, в которой определены температура, давление и объем. В системах второго типа микроскопические изменения на низшем уровне могут возрасти до такой степени, что в результате заметно изменится макроскопический уровень. Примером такой системы является сборочный конвейер. Если один из сборщиков ошибется, с конвейера сойдет бракованная деталь.

Компьютер — это сложная комбинация систем обоих типов. Его провода представляют собой предсказуемую систему: они проводят электричество в соответствии с законом Ома. Этот весьма точный закон похож на законы, описывающие поведение газа в баллоне, поскольку он зависит от статистических эффектов: хаотическое поведение биллионов частиц дает в результате предсказуемое общее поведение системы. Компьютер также содержит макроскопические части, такие как печатающее устройство, чье поведение задается определенными электрическими импульсами. То, что печатает это устройство, ни в коей мере не является результатом мириад взаимоуничтожающих микроскопических эффектов. В большинстве компьютерных программ значение каждого бита играет важную роль в том, что напечатает компьютер. От изменения любого бита информации значительно изменяется и конечный результат.

Системы, состоящие только из «надежных» подсистем, — то есть таких подсистем, чье поведение может быть с уверенностью предсказано на основании описания их частей, — играют важнейшую роль в нашей повседневной жизни, поскольку они являются оплотом стабильности. Мы можем быть уверены, что стены не упадут нам на голову, что тротуар окажется сегодня там же, где вчера, что солнце не исчезнет с небосвода, что часы показывают правильное время и так далее. Блочные модели подобных систем практически полностью детерминисткие. Разумеется, другой тип системы, играющей важную роль в нашей жизни, это система, чье поведение варьируется в зависимости от внутренних микроскопических параметров, — зачастую огромного множества таких параметров, — которые не поддаются прямому наблюдению. Наша блочная модель подобной системы будет выражаться в терминах некоего «пространства» ее действия и будет включать вероятностные оценки того, в каком месте этого пространства «приземлится» система в данный момент.

Баллон с газом, который, как я уже сказал, является надежной системой в результате множества взаимоуничтожающих микроскопических эффектов, подчиняется точным, детерминистким законам физики. Это блочные законы, поскольку они рассматривают газ как единое целое, игнорируя его составляющие части. Более того, микроскопическое и макроскопическое описания газа используют совершенно разные термины. Первое требует определения положения и скорости каждой из молекул газа; второе требует определения только трех новых величин температуры, давления и объема. Две первые величины вообще не имеют соответствия на микроскопическом уровне. Математическое соотношение этих трех величин, выраженное в следующем простом уравнении: pV=cT, где с — постоянная, — это закон, который одновременно зависит и не зависит от событий на низшем уровне. Если говорить менее парадоксально, этот закон может быть выведен из законов, управляющих молекулярным уровнем, в этом смысле он зависит от низшего уровня. С другой стороны, этот закон позволяет, при желании, полностью игнорировать низший уровень; в этом смысле он от него не зависит.

Важно иметь в виду, что закон высшего уровня не может быть выражен в терминах низших уровней. «Давление» и «температура» — новые термины, которые не могут быть поняты только на основании низшего уровня. Мы, люди, прямо воспринимаем температуру и давление, поскольку мы так устроены, не удивительно, что мы открыли этот закон. Но существа, которые воспринимали бы газы как абстрактные математические конструкции, должны были бы обладать умением выводить новые понятия, чтобы открыть подобный закон.

В завершение этой главы я хотел бы рассказать забавную историю о сложных системах. Однажды я беседовал с двумя программистами, работавшими с операционной системой компьютера, который я использовал. Они сказали, что она запросто справляется со своей задачей, когда к ней подключено менее тридцати пяти человек; но когда это число достигает тридцати пяти, время ответа внезапно замедляется настолько, что с таким же успехом можно отключиться от системы, пойти домой и вернуться попозже. Шутя, я сказал: «Эту проблему решить ничего не стоит — для этого нужно только отыскать то место в операционной системе, где записано число „35“, и поменять его на „60“!» Все рассмеялись. Дело, разумеется, в том, что такого места просто не существует. Откуда же, в таком случае, появляется это критическое число — 35 пользователей? Это видимое следствие общей организации системы — так называемый «эпифеномен».

Так же вы можете спросить о бегуне. «Где в нем содержится число „10“, позволяющее ему пробегать 100 метров за 10 секунд?» Ясно, что оно не содержится ни в каком специальном месте. Время, которое бегун показывает на стометровке, — результат его физического состоянии, быстроты его реакций, и миллиона других факторов, взаимодействующих между собой, когда он бежит. Это время вполне воспроизводимо, но оно не записано нигде в его теле. Оно распределено по всем клеткам его тела и проявляется только во время бега.

Рис. 60. Картина «МУ» (Рисунок автора. Русский графический вариант выполнен переводчиком.)

(… тут, один за другим, вступают четыре голоса фуги)

Ахилл: Вы не поверите, но ответ на этот вопрос — прямо у вас перед носом: он спрятан в картинке. Это всего лишь одно слово, но преважное: «МУ»!

Краб: Вы не поверите, но ответ на этот вопрос — прямо у вас перед носом: он спрятан в картинке. Это всего лишь одно слово, но преважное: «ХОЛИЗМ»!

Ахилл: Погодите-ка… вам, наверное, почудилось. Ясно, как день, что на картине написано «МУ», а не «ХОЛИЗМ».

Краб: Прошу прощения, но у меня отличное зрение. Взгляните-ка еще раз, прежде чем говорить, что на картинке нет моего слова.

Муравьед: Вы не поверите, но ответ на этот вопрос — прямо у вас перед носом: он спрятан в картинке. Это всего лишь одно слово, но преважное: «РЕДУКЦИОНИЗМ»!

Краб: Погодите-ка… вам, наверное, почудилось. Ясно, как день, что на картине написано «ХОЛИЗМ», а не «РЕДУКЦИОНИЗМ».

Ахилл: Еще один фантазер! На картинке написано не «ХОЛИЗМ» и не «РЕДУКЦИОНИЗМ», а «МУ» — в этом я совершенно уверен!

Муравьед: Прошу прощения, но у меня великолепное зрение. Взгляните-ка еще раз, прежде чем говорить, что на картинке нет моего слова.

Ахилл: Вы что, не видите, что картинка состоит из двух частей, и каждая из них — одна буква?

Краб: Вы правы насчет двух частей, но в остальном вы ошибаетесь. Левая часть состоит из трех копий одного и того же слова — «ХОЛИЗМ», а правая часть — из многих маленьких копий того же слова. Не знаю, почему буквы в одной части больше, но то, что передо мной «ХОЛИЗМ», ясно как день!

Муравьед: Вы правы насчет двух частей, но в остальном вы ошибаетесь. Левая часть состоит из многих маленьких копий одного и того же слова: «РЕДУКЦИОНИЗМ», а правая — из того же слова, написанного большими буквами. Не знаю, почему буквы в одной части больше, но то, что передо мной «РЕДУКЦИОНИЗМ», ясно как день! Не понимаю, как здесь можно увидеть что-либо иное.

Ахилл: Я понял, в чем здесь дело. Каждый из вас видит буквы, которые либо составляют другие буквы, либо сами из них состоят. В левой части действительно есть три «ХОЛИЗМА», но каждый из них состоит из маленьких копий слова «РЕДУКЦИОНИЗМ». И наоборот, «РЕДУКЦИОНИЗМ» в правой части составлен из маленьких копий слова «ХОЛИЗМ». Все это замечательно, но пока вы ссорились из-за пустяков, вы оба пропустили самое главное, не увидев за деревьями леса. Что толку спорить о том, что правильно, — «ХОЛИЗМ» или «РЕДУКЦИОНИЗМ», — когда гораздо лучше взглянуть на дело извне, ответив «МУ».

Краб: Теперь я вижу картинку так, как вы ее описали, Ахилл, — но что вы подразумеваете под этим странным выражением «взглянуть на дело извне»?

Муравьед: Теперь я вижу картинку так, как вы ее описали, Ахилл, — но что вы подразумеваете под этим странным выражением «МУ»?

Ахилл: Буду счастлив вас просветить, если вы будете так любезны и скажете мне, что значат эти странные выражения, «ХОЛИЗМ» и «РЕДУКЦИОНИЗМ».

Краб: Нет ничего проще ХОЛИЗМА Это всего-навсего означает, что целое больше, чем сумма его частей. Ни один человек, если он в здравом уме, не может отрицать холизма.

Муравьед: Нет ничего проще РЕДУКЦИОНИЗМА. Это всего-навсего означает, что целое может быть полностью понято, если вы понимаете его части, и природу их «суммы». Ни один человек, если он в твердой памяти, не может отрицать редукционизма.

Краб: Я отрицаю редукционизм. К примеру, можете ли вы объяснить мне, как понять мозг с помощью редукционизма? Любое редукционистское описание мозга неизбежно столкнется с трудностями, пытаясь объяснить, откуда в мозгу берется сознание.

Муравьед: Я отрицаю холизм. К примеру, можете ли вы объяснить мне, как холистское описание муравьиной колонии может помочь понять ее лучше, чем описание отдельных муравьев, их взаимоотношений и ролей внутри колонии. Любое холистское описание муравьиной колонии неизбежно столкнется с трудностями, пытаясь объяснить, откуда в ней берется сознание.

Ахилл: О, нет! Я вовсе не хотел быть причиной еще одного спора. Я понимаю, в чем суть несогласия, но думаю, что мое объяснение «МУ» вам поможет. Видите ли, «МУ» — это старинный ответ дзен-буддизма, «развопросивающий» вопрос. Нашим вопросом было: «Должны ли мы понимать мир холистским или редукционистским способом?» Ответ «МУ» отрицает самую постановку этого вопроса — предположение, что необходимо выбрать лишь один из двух способов. Развопросивая этот вопрос, «МУ» открывает нам истину высшего порядка: существует более широкий контекст, куда вписываются и холистский и редукционистский подходы.

Муравьед: Чепуха! В вашем «МУ» не больше смысла, чем в коровьем мычаньи. Я не собираюсь глотать эту буддистскую бурду.

Краб: Чушь! В вашем «МУ» не больше смысла, чем в кошачьем мяукании. Я не намерен слушать эту буддистскую белиберду.

Ахилл: Ах, боже мой. Так мы ни до чего не дойдем. Почему вы все молчите, г-жа Черепаха? Это меня нервирует. Вы-то наверняка знаете, как распутать этот клубок!

Черепаха: Вы не поверите, но ответ на этот вопрос — прямо у вас перед носом: он спрятан в картинке. Это всего лишь одно слово, но преважное: «МУ»!

(В этот момент вступает четвертый голос фуги, точно на октаву ниже первого голоса.)

Ахилл: Эх, г-жа Ч, на этот раз вы меня разочаровали. Я был уверен, что вы, с вашей проницательностью, сможете разрешить эту дилемму — но, к сожалению, вы увидели ничуть не больше меня. Что же делать, — наверное, я должен быть счастлив, что хотя бы один раз мне удалось увидеть столько же, сколько и г-же Черепахе.

Черепаха: Прошу прощения, но у меня превосходное зрение. Взгляните-ка еще раз, прежде чем говорить, что на картинке нет моего слова.

Ахилл: Разумеется — вы просто повторили мою первоначальную идею.

Черепаха: Может быть, «МУ» существует на картине на более глубоком уровне, чем вам кажется, Ахилл — образно говоря, на октаву ниже. Но я сомневаюсь, что мы сумеем разрешить наш спор таким абстрактным способом. Я хотела бы увидеть обе точки зрения, и холистскую, и редукционистскую, выраженные более конкретно. Тогда у нас будет больше оснований для решения вопроса — хотя бы на примере редукционистского описания муравьиной колонии.

Краб: Может быть, д-р Муравьед поделится своим опытом на этот счет? Благодаря своей профессии, он должен быть экспертом по этой теме.

Черепаха: Я уверена, что нам есть чему у вас поучиться, д-р Муравьед. Можете ли вы нас просветить, рассказав нам, что собой представляет муравьиная колония с редукционистской точки зрения?

Муравьед: С удовольствием. Как уже говорил Краб, моя профессия позволила мне весьма глубоко понять муравьиные колонии.

Ахилл: Представляю себе! Любой муравьед должен быть экспертом по муравьиным колониям.

Муравьед: Прошу прощения: муравьед — это не моя профессия, это мой класс. По профессии я колониальный хирург. Я специализируюсь в излечении нервных расстройств колоний путем хирургического вмешательства.

Ахилл: Вот оно что… Но что вы имеете в виду под «нервными расстройствами» в муравьиной колонии?

Муравьед: Большинство моих пациентов страдает каким-либо расстройством речи. Представьте себе колонии, которым приходится каждый день мучиться в поисках нужного слова. Это может быть довольно трагично. Я пытаюсь исправить ситуацию путем… э-э-э… удаления пораженной части колонии. Эти операции иногда бывают очень сложными и приходится учиться годами прежде чем приняться за их выполнение.

Ахилл: Но… мне кажется, что чтобы страдать расстройством речи, сначала необходимо иметь дар речи?

Муравьед: Совершенно верно.

Ахилл: Поскольку у муравьиных колоний нет дара речи, должен признаться, что я слегка сбит с толка.

Краб: Жаль, Ахилл, что вас здесь не было на прошлой неделе, когда у меня в гостях вместе с д-ром Муравьедом была г-жа Мура Вейник. Надо было пригласить и вас.

Ахилл: Кто такая эта Мура Вейник?

Краб: Писательница и моя старая знакомая.

Муравьед: Она всегда настаивает, чтобы все звали ее полным именем (и это вовсе не псевдоним!); это одна из ее забавных причуд.

Краб: Верно, Мура Вейник — особа эксцентрическая, но при этом она так мила… Какая жалость, что вы с ней не встретились.

Муравьед: Она, безусловно, одна из самых образованных муравьиных колоний, с которыми я когда-либо имел счастье общаться. Мы с ней скоротали множество вечеров, беседуя на самые разнообразные темы.

Ахилл: Я-то думал, муравьеды — пожиратели муравьев, а не покровители колоний!

Муравьед: На самом деле, одно не исключает другого. Я в самых лучших отношениях с муравьиными колониями. Я ем всего лишь МУРАВЬЕВ, и это приносит пользу как мне, так и колонии.

Ахилл: Как это возможно, чтобы —

Черепаха: Как это возможно, чтобы —

Ахилл: — пожирание ее муравьев шло колонии на пользу?

Краб: Как-это возможно, чтобы —

Черепаха: — лесной пожар пошел лесу на пользу?

Ахилл: Как это возможно, чтобы —

Краб: — прореживание ветвей шло дереву на пользу?

Муравьед: — стрижка волос пошла Ахиллу на пользу?

Черепаха: Наверное, вы были так поглощены спором, что пропустили мимо ушей прелестную стретту, только что прозвучавшую в Баховской фуге.

Ахилл: Что такое стретта?

Черепаха: Ох, извините пожалуйста: я думала, вы знакомы с этим термином. Стретта — это когда голоса вступают почти сразу один за другим, исполняя одну и ту же тему.

Ахилл: Если я буду слушать фуги часто, вскоре я буду знать все эти штуки и смогу услышать их сам, без подсказки.

Черепаха: Простите, что перебила, друзья мои. Д-р Муравьед как раз пытался объяснить, как, поедая муравьев, можно при этом оставаться другом муравьиной колонии.

Ахилл: Что ж, я могу, пожалуй, кое-как понять, как подъедание некоторого ограниченного количества муравьев может быть полезным для здоровья всей колонии — но что действительно приводит меня в замешательство, это рассказы о разговорах с муравьиными колониями. Это невозможно! Муравьиная колония — это не более, чем куча муравьев, снующих туда и сюда в поисках еды и строящих себе гнезда.

Муравьед: Можете считать так, если вы настаиваете на том, чтобы смотреть на деревья, но не видеть за ними леса. На самом деле, муравьиная колония, видимая как одно целое, — это весьма определенная единица, с собственными качествами, иногда включающими владение речью.

Ахилл: Трудно представить, что если я закричу где-нибудь в лесу, то в ответ до меня донесется голос муравьиной колонии.

Муравьед: Не говорите глупостей, мой друг, это происходит совсем не так. Муравьиные колонии не говорят вслух, они общаются письменно. Вы, наверное, видели, как муравьи прокладывают тропы туда и сюда?

Ахилл: Да, конечно; обычно они ведут из кухонной раковины прямиком в мой любимый торт «Птичье молоко».

Муравьед: Оказывается, что некоторые такие тропы содержат закодированную информацию. Если вы знаете эту систему, вы можете читать то, что они говорят, словно книгу.

Ахилл: Потрясающе. И вы можете, в свою очередь, что-нибудь им сообщить?

Муравьед: Без проблем. Именно так Мура Вейник и я беседуем друг с другом часами. Я беру прутик, черчу на влажной земле тропинки и смотрю, как муравьи по ним направляются. Вдруг где-то начинает формироваться новая тропинка… я получаю большое удовольствие, наблюдая за их появлением. Я пытаюсь предсказать, в каком направлении пойдет та или иная тропа (мои предсказания по большей части бывают ошибочны). Когда тропа заканчивается, я знаю, о чем думает Мура Вейник, и тогда я, в свою очередь, могу ей ответить.

Ахилл: Ручаюсь, что в этой колонии есть необыкновенно умные муравьи.

Муравьед: По-моему, вы еще не научились видеть различие между уровнями. Подобно тому, как вы не спутаете отдельное дерево с лесом, вы не должны принимать отдельного муравья за всю колонию. Видите ли, Мура Вейник состоит из массы муравьев, каждый из которых глуп как пробка. Они не смогли бы разговаривать даже ради спасения своих жалких хитиновых покровов!

Ахилл: В таком случае, откуда берется это умение беседовать? Оно должно находиться где-то внутри колонии! Не понимаю, как это получается: все муравьи глупы как пробка, а Мура Вейник часами занимает вас своей остроумной беседой.

Черепаха: Мне кажется, что эта ситуация напоминает человеческий мозг, состоящий из нейронов. Чтобы объяснить человеческую способность к разумной беседе, никто не стал бы утверждать, что отдельные нервные клетки — разумные существа.

Ахилл: Разумеется, нет. Тут вы совершенно правы. Но мне кажется, что муравьи — это совершенно из другой оперы. Они снуют туда и сюда по собственному желанию, совершенно беспорядочно, иногда натыкаясь на съедобный кусочек… Они вольны делать все, что им угодно. Из-за этой свободы я совершенно не понимаю, как может их поведение в целом порождать нечто осмысленное, сравнимое с поведением мозга, необходимым для беседы.

Краб: Я думаю, что муравьи свободны только до определенных пределов. Например, они свободны бродить где угодно, трогать друг друга, строить тропинки, поднимать небольшие предметы и так далее. Но они никогда не выходят из этого ограниченного мирка, так сказать, мура-системы, в которой они находятся. Это им никогда не пришло бы в голову, так как у них для этого не хватает ума. Таким образом, муравьи — весьма надежные компоненты, в том смысле, что они всегда делают определенные вещи определенным образом.

Ахилл: И все же, внутри этих пределов они остаются свободными и бегают без толку, не выказывая никакого уважения к мыслительным процессам существа высшего порядка, составными частями которого они, по утверждению д-ра Муравьеда, являются.

Муравьед: Да, но вы, Ахилл, упускаете из вида одну вещь: регулярность статистики.

Ахилл: Как это?

Муравьед: Хотя отдельные муравьи снуют туда-сюда беспорядочно, тем не менее из этого хаоса можно выделить общие тропы, по которым идет большое количество муравьев.

Ахилл: Понятно. Действительно, муравьиные тропы — отличный пример этого явления. Хотя движения каждого отдельного муравья непредсказуемы, сама тропа выглядит весьма постоянной и определенной. Безусловно, это означает, что на самом деле муравьи движутся не так уж хаотично.

Муравьед: Точно, Ахилл. Муравьи сообщаются между собой достаточно, чтобы внести в их движение некоторую упорядоченность. При помощи этой минимальной связи они напоминают друг другу, что они — части одного целого и должны сотрудничать с товарищами по команде. Чтобы выполнить любую задачу, такую, например, как прокладывание тропинок, требуется множество муравьев, передающих то же сообщение друг другу в течении определенного времени. Хотя мое понимание того, что происходит в мозгу, весьма приблизительно, я предполагаю, что нечто подобное может происходить при сообщении нейронов. Не правда ли, м-р Краб, что необходимо несколько нервных клеток, передающих сигнал другому нейрону, чтобы тот, в свою очередь, передал тот же сигнал?

Краб: Совершенно верно. Возьмем, к примеру, нейроны в мозгу у Ахилла. Каждый из них принимает сигналы от нейронов, присоединенных к их «входу», и если сумма этих сигналов в какой-то момент превышает критический порог, то нейрон посылает свой собственный сигнал, идущий к другим нейронам, которые в свою очередь, могут «возбудиться»… и так далее, и тому подобное. Нейронный луч устремляется, неутомимый, по Ахиллесовой тропе, по маршруту более причудливому, чем погоня голодной ласточки за комаром. Каждый поворот и изгиб определяется нейронной структурой Ахиллова мозга, пока не вмешиваются новые послания от органов чувств.

Ахилл: Я-то думал, что сам осуществляю контроль над своими мыслями — но ваше объяснение ставит все с ног на голову, так что теперь мне кажется, что «Я» — это лишь результат комбинации всей этой нейронной структуры с законами природы. Получается, что то, что я считал «СОБОЙ» — это, в лучшем случае, побочный продукт организма, управляемого законами природы, а в худшем случае, искусственное понятие, порожденное неверной перспективой. Иными словами, после вашего объяснения я уже не уверен, кто я такой (или что я такое).

Черепаха: Чем больше мы беседуем, тем лучше вы это будете понимать. Д-р Муравьед, а что вы думаете об этом сходстве?

Муравьед: Я подозревал, что в этих разных системах происходят похожие процессы; теперь я гораздо лучше понимаю, в чем дело. По-видимому, осмысленные групповые явления, такие, например, как прокладывание тропинок, начинают происходить только тогда, когда достигается определенное критическое количество муравьев. Когда несколько муравьев собираются вместе и начинают, может быть, чисто случайно, прокладку тропы, может произойти одно из двух: либо после короткого хаотического старта их деятельность быстро сойдет на нет —

Ахилл: Когда муравьев собирается недостаточно, чтобы продолжать тропу?

Муравьед: Именно так. Однако может случиться и так, что количество муравьев достигнет критической массы и начнет расти, как снежный ком. В этом случае, возникает целая «команда», работающая над одним проектом. Это может быть прокладка тропы, или поиски пищи, или ремонт муравейника. Несмотря но то, что в малом масштабе эта схема чрезвычайно проста, в большом масштабе она может привести к весьма сложным последствиям.

Ахилл: Я могу понять общую идею порядка, по вашим словам, возникающего из хаоса, но это еще очень далеко от умения беседовать. В конце концов, порядок возникает из хаоса и тогда, когда молекулы газа беспорядочно сталкиваются друг с другом — и результатом этого бывает лишь аморфная масса, характеризуемая всего тремя параметрами: объем, давление и температура. Это очень далеко от умения понимать мир и о нем разговаривать!

Муравьед: Это подчеркивает весьма важную разницу между объяснением поведения муравьиной колонии и поведения газа в контейнере. Поведение газа можно объяснить, рассчитав статистические особенности движения его молекул. При этом не требуется обсуждать никаких высших, чем молекулы, элементов его структуры, кроме самого газа целиком. С другой стороны, в случае муравьиной колонии невозможно понять происходящие там действия без анализа нескольких уровней ее структуры.

Ахилл: А, теперь понимаю. В случае газа, всего один шаг переносит нас с низшего уровня — молекулы — на высший уровень — сам газ. Там нет промежуточных уровней. Но как возникают промежуточные уровни организованного действия в муравьиной колонии?

Муравьед: Это связано с тем, что в колонии есть несколько разных типов муравьев.

Ахилл: Кажется, я что-то об этом слышал. Это называется «касты», да?

Муравьед: Верно. Кроме царицы-матки, там есть самцы-трутни, совершенно не занимающиеся работой по поддержанию муравейника, и еще —

Ахилл: И, разумеется, там есть воины — Славные Борцы Против Коммунизма!

Краб: Гм-м-м… В этом-то я сомневаюсь, Ахилл. Муравьиная колония весьма коммунистична по своей структуре, так что ее солдатам незачем бороться против коммунизма. Правильно, д-р Муравьед?

Муравьед: Да, насчет колоний вы правы, м-р Краб: они действительно основаны на принципах, смахивающих на коммунистические. Но Ахилл в своих представлениях о солдатах весьма наивен. На самом деле, так называемые «солдаты» едва умеют сражаться. Это медлительные неуклюжие муравьи с гигантскими головами; они могут цапнуть своими мощными челюстями, но прославлять их не стоит. Как в настоящих коммунистических государствах, прославлять надо, скорее, хороших работников. Именно они выполняют большинство работ: собирают пищу, охотятся и ухаживают за детишками. Даже сражаются в основном они.

Ахилл: Гм-м. Это просто абсурд, солдаты, которые не сражаются!

Муравьед: Как я только что говорил, на самом деле они не солдаты. Роль солдат выполняют работники, в то время как солдаты — просто разжиревшие лентяи.

Ахилл: О, какой позор! Если бы я был муравьем, я бы навел у них дисциплину! Я вдолбил бы ее в головы этим бесстыдникам!

Черепаха: Если бы вы были муравьем? Как вы могли бы стать муравьем? Нет никакой возможности спроецировать ваш мозг на мозг муравья, так что и нечего беспокоиться о таком пустом вопросе. Больше смысла имело бы попытаться отобразить ваш мозг на всю муравьиную колонию… Но не будем отвлекаться; позволим д-ру Муравьеду продолжить его ученое объяснение каст и их роли в высших уровнях организации.

Муравьед: С удовольствием. Есть множество работ, необходимых для жизни колонии, и муравьи развивают «специализацию». Обычно специальность муравья меняется с возрастом, но она также зависит и от его касты. В каждый данный момент в любой маленькой области колонии можно найти муравьев всех типов. Разумеется, в некоторых местах какая-либо каста может быть представлена всего несколькими муравьями, тогда как в другом месте муравьев той же касты может быть очень много.

Краб: Скажите, а «плотность» касты или специальности случайна? Почему муравьев определенного типа собирается больше в одном месте и меньше в другом?

Муравьед: Я рад, что вы об этом спросили, поскольку это очень важно для понимания того, как думает колония. Со временем в колонии развивается очень точное распределение каст. Именно это распределение отвечает за сложность колонии, необходимую, чтобы вести беседы.

Ахилл: Мне кажется, что постоянное движение муравьев туда-сюда делает абсолютно невозможным какое бы то ни было точное распределение. Любое такое распределение было бы тут же нарушено беспорядочным движением муравьев, так же как любые сложные структуры молекул газа не живут больше мгновения из-за беспорядочной бомбардировки со всех сторон.

Муравьед: В муравьиной колонии ситуация совершенно обратная. На самом деле, именно постоянное снованье муравьев туда-сюда сохраняет и регулирует распределение каст в различных ситуациях. Оно не может оставаться одним и тем же. Оно должно непрерывно меняться, в некотором смысле отражая реальную ситуацию, с которой имеет дело колония в данный момент. Именно передвижение муравьев внутри колонии помогает приспособить распределение каст к нужной ситуации.

Черепаха: Приведите, пожалуйста, пример.

Муравьед: С удовольствием. Когда я, муравьед, прихожу в гости к г-же М. Вейник, глупенькие муравьи, учуяв мой запах, начинают паниковать — а это значит, что они принимаются бегать кругами, как сумасшедшие, совершенно иначе, чем они двигались до моего прихода.

Ахилл: Ну, это-то понятно, поскольку вы — смертельный враг колонии.

Муравьед: Ну нет. Повторяю, нет ничего дальше от истины. Мура Вейник и я — лучшие друзья. Я ее любимый собеседник, она — моя любимая Мурочка. Конечно, вы правы — муравьи по отдельности меня до смерти боятся. Но это совершенно другое дело! Так или иначе, как видите, в ответ на мой приход внутреннее распределение муравьев в колонии полностью изменяется.

Ахилл: Ясно.

Муравьед: Новая дистрибуция отражает новую ситуацию — мое присутствие. Видите ли, все зависит от того, как вы решите описывать распределение каст. Если вы продолжаете думать в терминах низших уровней — отдельных муравьев — то не видите леса за деревьями. Это слишком микроскопический уровень, а мысля микроскопическими категориями, вы обязательно упустите из виду некоторые крупномасштабные явления. Вы должны найти подходящую систему крупномасштабного описания кастовой дистрибуции; только тогда вы поймете, каким образом в распределении каст закодировано так много информации.

Ахилл: Как же найти единицы нужного размера для описания состояния колонии?

Муравьед: Что ж, начнем с самого начала. Когда муравьям нужно что-то сделать, они составляют маленькие «команды», которые работают вместе. Маленькие группы муравьев постоянно разваливаются и снова образуются. Те, что держатся вместе дольше — настоящие команды; они не разбегаются, так как у муравьев есть общее дело.

Ахилл: Вы говорили, что группа остается вместе, если количество муравьев достигает некоторого критического порога. Теперь вы утверждаете, что группа держится вместе, если у них есть какое-то дело.

Муравьед: Эти утверждения эквивалентны. Возьмем, например, собирание еды: если какой-то муравей находит небольшое количество пищи и в своем энтузиазме сообщает об этом товарищам, число муравьев, которые ответят на зов, будет пропорционально количеству найденной еды. Если еды мало, она не привлечет критического количества муравьев. Именно это я и имел в виду, говоря об общем деле: со слишком маленьким кусочком пищи нечего делать, его надо просто игнорировать.

Ахилл: Понятно. Значит, эти команды — промежуточный уровень структуры между отдельными муравьями и колонией в целом.

Муравьед: Совершенно верно. Существует специальный тип команды, который я называю «сигналом». Все высшие уровни структуры основаны на сигналах. На самом деле, все высшие существа являются набором сигналов, действующих согласованно. На высшем уровне существуют команды, составленные не из муравьев, а из команд низших уровней. Рано или поздно вы достигаете команд низшего уровня, то есть сигналов, а затем — отдельных муравьев.

Ахилл: Чему же команды-сигналы обязаны своим именем?

Муравьед: Своей функции. Задача сигналов — переправлять муравьев разных «профессий» в нужные места колонии. Типичная история сигнала такова: он формируется, когда перейден критический порог, необходимый для выживания команды, затем мигрирует на какое-то расстояние внутри колонии, и в определенный момент распадается на индивидуальных членов, предоставляя их своей судьбе.

Ахилл: Это похоже на волну, несущую издалека ракушки и водоросли и оставляющую их на берегу.

Муравьед: Действительно, это в чем-то аналогично, поскольку команда на самом деле должна оставить что-то, принесенное издалека, но волна отходит обратно в море, в то время как в случае сигнала аналогичной переносящей субстанции не существует, поскольку его составляют сами же муравьи.

Черепаха: И, вероятно, сигнал начинает распадаться именно в том месте колонии, где нужны муравьи данного типа.

Муравьед: Естественно.

Ахилл: Естественно? МНЕ вовсе не так ясно, почему сигнал должен направляться именно туда, где он требуется. И даже если он идет в нужном направлении, откуда он знает, когда надо расходиться? Откуда он знает, что он прибыл на место своего назначения?

Муравьед: Это очень важный вопрос. Он касается целенаправленного поведения — или того, что кажется целенаправленным поведением — сигналов. Из моего описания следует, что поведение сигналов можно охарактеризовать как направленное на выполнение некой задачи, и назвать его «целенаправленным». Но можно посмотреть на это и иначе.

Ахилл: Подождите-ка. Либо поведение целенаправленно, либо НЕТ. Не понимаю, как можно иметь сразу обе возможности.

Муравьед: Позвольте мне объяснить мою позицию и, может быть, тогда вы со мной согласитесь. Видите ли, когда сигнал сформирован, он понятия не имеет о том, что должен идти в каком-то определенном направлении. Но здесь решающую роль играет точное распределение каст. Именно оно определяет движение сигналов по колонии и то, как долго сигнал будет существовать и когда ему придет время «раствориться».

Ахилл: Так что все зависит от дистрибуции каст?

Муравьед: Верно. Предположим, сигнал движется вперед. В это время составляющие его муравьи сообщаются, либо путем прямого контакта, либо путем обмена запахов, с муравьями тех областей, где они проходят. Контакты и запахи передают информацию о местных необходимостях, как, скажем, построение гнезда или уход за детьми. Сигнал будет держаться вместе и продвигаться вперед до тех пор, пока местные нужды будут отличны от того, что он способен дать; но если его помощь ВОЗМОЖНА, он распадается на отдельных муравьев, которые могут быть использованы как дополнительная рабочая сила. Понимаете, каким образом распределение каст «ведет» сигналы внутри колонии?

Ахилл: Да, теперь вижу.

Муравьед: Вы понимаете, что, рассматривая вещи с подобной точки зрения, нельзя приписать сигналу какую-либо цель?

Ахилл: Думаю, вы правы. На самом деле, я начинаю видеть ситуацию с двух сторон. С точки зрения муравьев, у сигнала нет никакой цели. Типичный муравей в сигнале просто бродит по колонии, не ища ничего особенного, пока не почувствует, что надо бы остановиться. Обычно его товарищи по команде согласны, и тогда команда «разгружается», и муравьи начинают действовать сами по себе. Для этого не нужно ни планов, ни заглядывания вперед, ни поиска нужного направления. Но с точки зрения КОЛОНИИ команда только что ответила на сообщение, написанное на языке кастовой дистрибуции. С этой точки зрения деятельность команды кажется целенаправленной.

Краб: Что произошло бы, если бы распределение каст было совершенно случайным? Команды все равно бы формировались и расформировывались?

Муравьед: Безусловно. Но благодаря бессмысленному распределению каст, колония не просуществовала бы долго.

Краб: Именно к этому я и веду. Колонии выживают потому, что их кастовая дистрибуция имеет смысл, и этот смысл — холистский аспект, невидимый на низших уровнях. Существование колонии невозможно объяснить, не принимая в расчет высшего уровня.

Муравьед: Я понимаю вас, но мне кажется, вы смотрите на вещи слишком узко.

Краб: Почему же?

Муравьед: Муравьиные колонии эволюционировали в течение биллионов лет. Несколько механизмов прошли отбор, но большинство было забраковано. Конечным результатом явился набор механизмов, позволяющих колониям функционировать так, как мы только что описали. Если бы мы могли увидеть весь этот процесс в виде фильма, ускоренного в биллионы раз, возникновение новых механизмов выглядело бы как естественная реакция на внешние стимулы, подобно тому, как пузыри в кипящей воде — реакция на внешний источник тепла. Я сомневаюсь, что вы могли бы увидеть некий «смысл» и «цель» в пузырях в кипящей воде — или я ошибаюсь?

Краб: Нет, но —

Муравьед: Хорошо; а вот МОЯ точка зрения. Как бы ни был велик такой пузырь, он обязан своим существованием процессам на молекулярном уровне, и вы можете забыть о «законах высшего уровня». То же самое верно и в случае колоний и команд. Глядя на картину с точки зрения эволюции, вы можете лишить всю колонию смысла и цели существования. Эти понятия становятся лишними.

Ахилл: В таком случае, д-р Муравьед, почему же вы говорите мне, что беседуете с мадам Вейник? Теперь мне кажется, что вы отказываете ей в каком-либо умении мыслить или говорить.

Муравьед: Здесь нет никакого противоречия, Ахилл. Видите ли, мне так же трудно, как и другим, видеть вещи в таком грандиозном временном масштабе. Для меня гораздо легче поменять угол зрения. Когда я забываю об эволюции и вижу вещи такими, какими они являются здесь и сейчас, термины телеологии вновь обретают смысл: ЗНАЧЕНИЕ кастовой дистрибуции и ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННОСТЬ сигналов. Это происходит не только тогда, когда я думаю о муравьиных колониях, но и когда я думаю о моем собственном мозге. Однако, сделав небольшое усилие, я всегда могу вспомнить и о другой точке зрения и увидеть эти системы как лишенные смысла.

Краб: Эволюция, безусловно, творит чудеса. Никогда не знаешь, какой новый фокус она выкинет. Например, я не удивился бы, если бы существовала теоретическая возможность того, что два или более «сигналов» могли бы пройти сквозь друг друга, понятия не имея, что другой при этом тоже является сигналом; каждый из них считает, что другой — лишь часть местного населения.

Муравьед: Это возможно не только теоретически; именно так обыкновенно и происходит!

Ахилл: Гм-м… Какая странная картина мне пришла в голову. Я вообразил муравьев, двигающихся в четырех разных направлениях; некоторые муравьи белые, некоторые — черные; они перекрещиваются, образуя упорядоченный узор, почти как… почти как…

Черепаха: Фуга, может быть?

Ахилл: Ага! Именно: муравьиная фуга!

Краб: Интересный образ, Ахилл. Кстати, все эти разговоры о кипятке навели меня на мысль о чае. Кто хочет еще чашечку?

Ахилл: Не откажусь, м-р Краб.

Краб: Отлично.

Ахилл: Как вы думаете, можно ли выделить разные зрительные «голоса» в такой «муравьиной фуге»? Я знаю, как мне бывает трудно —

Черепаха: Мне не надо, благодарю вас.

Ахилл: — проследить отдельный голос —

Муравьед: Мне тоже немного, м-р Краб —

Ахилл: — в музыкальной фуге —

Муравьед: — если нетрудно.

Ахилл: — когда все они —

Краб: Нисколько. Четыре чашки чая —

Черепаха: Три!

Ахилл: — звучат одновременно.

Краб: — почти готовы!

Муравьед: Это интересная мысль, Ахилл. Но мне кажется маловероятным, чтобы кто-нибудь мог создать таким образом убедительную картину.

Ахилл: Очень жаль…

Черепаха: Может быть, вы могли бы мне ответить, д-р Муравьед. Сигнал, от своего рождения и до роспуска, всегда состоит из одних и тех же муравьев?

Муравьед: На самом деле, отдельные муравьи в сигнале иногда «откалываются» и заменяются на муравьев той же касты, если какие-либо из них оказываются поблизости в данный момент. Чаще всего, сигналы прибывают к месту своего «назначения», не сохранив ни одного из первоначальных муравьев.

Краб: Я вижу, что сигналы постоянно воздействуют на распределение каст на всем протяжении колонии, и это происходит в ответ на внутренние нужды колонии — которые, в свою очередь отражают внешние ситуации в жизни колонии. Таким образом, как вы сказали, д-р Муравьед, кастовая дистрибуция постоянно изменяется в соответствии с нуждами момента, отражая внешний мир.

Рис. 61. М. К. Эшер «Муравьиная фуга» (1953)

Ахилл: Но как же насчет промежуточных уровней структуры? Вы говорили, что распределение каст лучше всего описывать не в терминах отдельных муравьев или сигналов, но в терминах команд, состоящих из меньших команд, которые, в свою очередь, состоят из других команд — и так далее, пока мы не спустимся до уровня муравьев. И вы утверждали, что это — ключ к пониманию того, как распределение каст может заключать закодированную информацию о мире.

Муравьед: Да, я к этому и веду. Я предпочитаю называть команды достаточно высокого уровня «символами». Но, видите ли, значение, которое я вкладываю в это слово, несколько отличается от обычного. Мои «символы» — АКТИВНЫЕ ПОДСИСТЕМЫ сложной системы, и они состоят из активных подсистем низших уровней. Таким образом они совершенно отличны от пассивных символов, находящихся вне системы, таких, как буквы алфавита или музыкальные ноты, которые совершенно инертны и ждут, чтобы активная система их обработала. 

Ахилл: Как все это сложно… Я и не знал, что у муравьиных колоний такая абстрактная структура.

Муравьед: О да, она весьма замечательна. Но все эти слои структуры необходимы для хранения того типа знаний, которые позволяют организму быть «разумным» в любом приемлемом значении этого слова. У любой системы, владеющей языком, уровни структуры примерно одинаковые.

Ахилл: Ну-ка постойте минутку… Черт побери! Вы что же, хотите сказать, что мой мозг по сути состоит из кучи муравьев, бегающих взад и вперед?

Муравьед: Ни в коем случае. Вы поняли меня слишком буквально. Самые низшие уровни этих систем могут быть совершенно различны. Скажем, мозг муравьедов вовсе не сделан из муравьев. Но когда вы поднимаетесь на несколько ступеней, элементы нового уровня имеют точное соответствие в других системах той же интеллектуальной мощи, таких, например, как муравьиная колония.

Черепаха: Именно поэтому имеет смысл, Ахилл, пытаться отобразить ваш мозг на муравьиную колонию, но не на мозг отдельных муравьев.

Ахилл: Благодарю за комплимент. Но как же возможно осуществить подобное отображение? Например, что в моем мозгу соответствует командам низших уровней, которые вы называете сигналами?

Муравьед: Я всего лишь любитель в области мозга и не могу описать для вас всех замечательных подробностей. Но — поправьте меня, если я ошибаюсь, м-р Краб — мне кажется, что мозговое соответствие сигналам муравьиных колоний — это действие нейрона; или, может быть, в более крупном масштабе, это схема действия нескольких нейронов.

Краб: С этим я бы согласился. Конечно, найти точные отображения было бы желательно. Но не думаете ли вы, что для нашей дискуссии это не столь важно? Мне кажется, что главная идея здесь та, что такое соответствие в принципе существует, даже если мы пока еще точно не знаем, как его описать. Из всего, что вы сказали, д-р Муравьед, я не понимаю только одного: как мы можем быть уверены в том, что соответствие начинается именно на каком-то данном уровне? Вы, кажется, считаете, что сигналы имеют прямое соответствие в мозгу; однако мне думается, что соответствие должно существовать только на уровне ваших АКТИВНЫХ СИМВОЛОВ и выше.

Муравьед: Ваша интерпретация вполне может оказаться аккуратнее моей, м-р Краб. Благодарю за то, что вы подметили эту тонкость.

Ахилл: Что может сделать символ, чего не дано сделать сигналу?

Муравьед: Это что-то вроде разницы между словом и буквой. Слова — единицы смысла — состоят из букв, которые сами по себе лишены смысла. Это является хорошим примером, помогающим понять разницу между символом и сигналом. Надо только помнить, что буквы и слова ПАССИВНЫ, в то время как символы и сигналы АКТИВНЫ.

Ахилл: Боюсь, я не понимаю, почему так важна разница между активными и пассивными символами.

Муравьед: Дело в том, что значение, которое мы приписываем любому пассивному символу, например, слову на странице, в действительности восходит к значению, создаваемому соответствующими активными символами у нас в мозгу. Таким образом, значение пассивных символов можно понять полностью, только соотнеся его со значением активных символов.

Ахилл: Хорошо. Но что же придает значение СИМВОЛУ, если СИГНАЛ, сам по себе полноправная единица, лишен значения?

Муравьед: Дело в том, что одни символы могут вызвать к жизни другие символы. Когда какой-либо символ активизируется, он при этом не изолирован, а двигается в среде, характеризующейся определенной кастовой дистрибуцией.

Краб: Разумеется, в мозгу нет никакой кастовой дистрибуции — ей соответствует «состояние мозга» — то есть состояние всех нейронов, все взаимосвязи между ними и порог, достигнув которого, нейрон активизируется.

Муравьед: Ну что ж, мы может объединить «кастовую дистрибуцию» и «состояние мозга» под одним и тем же названием и именовать их просто «состоянием». Состояние можно описать на низшем или на высшем уровне. Описанием состояния на низшем уровне в случае муравьиной колонии будет кропотливое определение положения каждого муравья, его возраста и касты, и тому подобная информация. Но такое подробное описание не проливало бы ни малейшего света на то, ПОЧЕМУ колония находится в данном состоянии. С другой стороны, описание на высшем уровне определяет, какие именно символы могут быть «пущены в ход», какие комбинации других символов действуют при этом как пусковой механизм, при каких условиях это происходит, и так далее.

Ахилл: А как насчет описания на уровне сигналов или команд?

Муравьед: Описание на этом уровне располагалось бы где-то между низшим уровнем и уровнем символов. Оно содержало бы довольно много информации о том, что происходит в разных местах колонии, хотя и меньше, чем содержало бы описание всех муравьев в отдельности, поскольку команды состоят из нескольких муравьев. Описание на уровне команд — нечто вроде конспекта описания на уровне муравьев. Однако туда приходится добавить некоторые вещи, которых не было в описании отдельных муравьев — такие, как отношение между командами и наличие различных каст в разных районах. Это усложнение — та цена, которую мы платим за право давать суммированные описания.

Ахилл: Интересно сравнить достоинства описаний на разных уровнях. Описание на высшем уровне, по-видимому, обладает наибольшей способностью к объяснению явлений в колонии, поскольку оно дает наиболее интуитивную картину того, что в ней происходит, хотя, как ни странно, оставляет в стороне самое, казалось бы, важное — самих муравьев.

Муравьед: На самом деле, как ни странно, муравьи — не самое важное в колонии. Разумеется, если бы их не было, колония не существовала бы; но нечто эквивалентное ей, мозг, может существовать без единого муравья. Так что, по-крайней мере с точки зрения высших уровней, можно вполне обойтись без муравьев.

Ахилл: Я уверен, что ни один муравей не поддержал бы эту теорию.

Муравьед: Мне еще не приходилось встречать муравья, который смотрел бы на свой муравейник с точки зрения высших уровней.

Краб: Картинка, которую вы нарисовали, д-р Муравьед, противоречит здравому смыслу. Кажется, что, если вы правы, то чтобы понять структуру муравьиной колонии, приходится описывать ее, не упоминая об основных ее составляющих.

Муравьед: Может быть, вам станет яснее моя точка зрения на примере аналогии. Представьте себе, что перед вами — роман Диккенса.

Ахилл: Как насчет «Пиквикского клуба»?

Муравьед: Превосходно! Теперь вообразите следующую игру: вы должны отыскать соответствие между буквами и идеями так, чтобы каждой букве соответствовала какая-либо идея; таким образом, весь «Пиквикский клуб» имел бы смысл, если читать его буква за буквой.

Ахилл: Гм-м… Вы имеете в виду, что каждый раз, когда я вижу слово «что», я должен думать о трех различных понятиях, одно за другим, и что при этом у меня нет никакого выбора?

Муравьед: Именно так. У вас будет «понятие „ч“», «понятие „т“» и «понятие „о“», и эти понятия остаются теми же на протяжении всей книги.

Ахилл: Тогда чтение «Пиквикского клуба» превратилось бы в неописуемо скучный кошмар. Это было бы упражнением в бессмысленности, какую бы идею я ни ассоциировал с каждой буквой.

Муравьед: Верно. Естественного отображения отдельных букв на реальный мир просто не существует. Это отображение происходит на высшем уровне — между словами и частями реального мира. Если вы хотите описать эту книгу, вы не должны делать это на уровне букв.

Ахилл: Разумеется, нет! Я буду описывать сюжет, героев и так далее.

Муравьед: Ну вот, видите! Вы не будете упоминать о минимальных кирпичиках, из которых построена книга, хотя она и существует благодаря им. Они являются способом передачи сообщения, а не самим сообщением.

Ахилл: Ну хорошо — а как насчет муравьиных колоний?

Муравьед: Здесь вместо пассивных букв у нас имеются активные сигналы, а вместо пассивных слов — активные символы; но в остальном идея остается та же.

Ахилл: Вы хотите сказать, что нельзя установить соответствия между сигналами и вещами реального мира?

Муравьед: Оказывается, это не удается сделать таким образом, чтобы активизирование новых сигналов имело бы смысл. Невозможно это и на низших уровнях — например, уровне муравьев. Только на уровне символов эти схемы активизирования имеют смысл. Вообразите, например, что в один прекрасный день вы наблюдаете за тем, чем занимается Мура Вейник, и в это время я тоже захожу в гости. Сколько бы вы ни смотрели, вряд ли вы увидите нечто большее, чем простое перераспределение муравьев.

Ахилл: Я уверен, что вы правы.

Муравьед: И тем не менее я, наблюдая за высшим уровнем вместо низшего уровня, увижу, как «просыпаются» несколько дремлющих символов, которые затем становятся мыслью «А вот и очаровательный д-р Муравьед — какое удовольствие!»

Ахилл: Это напоминает мне, как мы нашли различные уровни на картинке «МУ» — по-крайней мере, их увидели трое из нас…

Черепаха: Какое удивительное совпадение, что между странной картинкой, на которую я наткнулась в «Хорошо темперированном клавире», и темой нашей беседы обнаружилось сходство.

Ахилл: Вы думаете, это просто совпадение?

Черепаха: Конечно.

Муравьед: Что ж, я надеюсь, теперь вы понимаете, каким образом в г-же М. Вейник зарождаются мысли при помощи манипуляции символами, составленными из сигналов, составленных из команд низшего уровня… — и так до самого низшего уровня — муравьев.

Ахилл: Почему вы называете это «манипуляцией символами»? Кто это делает, если сами символы активны? Что является этой действующей силой?

Муравьед: Это возвращает нас к вопросу о цели, который вы уже поднимали раньше. Вы правы, символы активны. Но тем не менее, их действия не совсем свободны. Действия всех символов строго определяются общим состоянием системы, в которой они находятся. Таким образом, все система ответственна за то, каким образом ее символы вызывают к жизни один другого; поэтому мы можем с полным правом сказать, что «действующая сила» — вся система. По мере того, как символы действуют, состояние системы медленно меняется, приходя в соответствие с новыми условиями. Однако многие черты остаются неизменными. Именно эта, частично меняющаяся и частично стабильная, система является действующей силой. Мы можем дать имя этой системе. Например, Мура Вейник — это та сила, которая манипулирует ее символами. И про вас, Ахилл, можно сказать то же самое.

Ахилл: Какое странное описание того, кто я такой. Не уверен, что полностью его понимаю… Я еще подумаю над этим.

Черепаха: Было бы очень интересно проследить за символами в вашем мозгу в тот момент, когда вы думаете о символах в вашем мозгу.

Ахилл: Это для меня слишком сложно. У меня хватает проблем, когда я пытаюсь представить себе, как можно смотреть на муравьиную колонию и «читать» ее на уровне символов. Я прекрасно понимаю, как можно воспринимать ее на уровне муравьев и, с небольшим усилием, пожалуй, могу понять, каким было бы восприятие колонии на уровне сигналов; но на что было бы похоже восприятие колонии на уровне символов?

Муравьед: Это умение достигается долгой практикой. Когда вы достигнете мастерства, подобного моему, вы сможете читать высший уровень муравьиной колонии с такой же легкостью, с какой прочли «МУ» на той картинке.

Ахилл: Правда? Это, должно быть, удивительное ощущение.

Муравьед: В каком-то смысле — но оно также хорошо знакомо и вам, Ахилл.

Ахилл: Знакомо мне? Что вы имеете в виду? Я никогда не рассматривал муравьиных колоний кроме как на уровне муравьев.

Муравьед: Может быть. Но муравьиные колонии во многих смыслах не слишком-то отличаются от мозга.

Ахилл: И мозгов никогда не видел и не читал!

Муравьед: А как же ВАШ СОБСТВЕННЫЙ мозг? Разве вы не замечаете своих собственных мыслей? Разве не в этом заключается эссенция сознания? Что же еще вы делаете, как не читаете ваш мозг прямо на уровне символов?

Ахилл: Никогда так об этом не думал. Вы хотите сказать, что я игнорирую все промежуточные уровни и вижу только самый высший?

Муравьед: Именно так функционируют сознательные системы. Они воспринимают себя только на уровне символов и понятия не имеют о низших уровнях, таких, как сигналы.

Ахилл: Значит ли это, что в мозгу есть активные символы, постоянно меняющиеся так, чтобы отразить состояние самого мозга в данный момент, оставаясь при этом всегда на уровне символов?

Муравьед: Безусловно. В любой разумной системе есть символы, представляющие состояние мозга, и сами они — часть именно того состояния, которое они символизируют. Поскольку сознание требует большого самосознания.

Ахилл: Очень странная идея. Значит, хотя в моем мозгу происходит бурная деятельность, я способен воспринять ее только на одном уровне — уровне символов; при этом я полностью нечувствителен к низшим уровням. Это похоже на чтение романов Диккенса при помощи прямого зрительного восприятия, при полном незнании букв. Не могу себе представить, чтобы такая странная штука на самом деле могла случиться.

Краб: Но именно это и произошло, когда вы прочитали «МУ», не замечая низших уровней, «ХОЛИЗМА» и «РЕДУКЦИОНИЗМА».

Ахилл: Вы правы — я действительно упустил из вида низшие уровни и заметил только самый высший. Интересно, не пропускаю ли я какие-нибудь типы значения также и на низших уровнях моего мозга, когда «считываю» только уровень символов? Как жаль, что высший уровень не содержит всей информации о низших уровнях. Прочитав его, мы могли бы узнать также о том, что сообщается на низших уровнях. Но, полагаю, было бы наивно надеяться, что на вершине закодировано что-либо о низе — скорее всего, эта информация не просачивается наверх. Картинка «МУ», пожалуй, самый выразительный пример, там на верхнем уровне написано только «МУ», которое не имеет никакого отношения к уровням ниже!

Краб: Совершенно верно. (Берет книгу, чтобы взглянуть на иллюстрацию поближе.) Гм-м-м… В самых маленьких буквах есть что-то странное; они какие-то дрожащие…

Муравьед: Дайте-ка взглянуть. (Подносит книгу к глазам.) Кажется, здесь есть еще один уровень, который мы все пропустили!

Черепаха: Говорите только за себя, д-р Муравьед.

Ахилл: Ох, не может быть! Можно мне посмотреть? (Пристально глядит на картинку.) Я знаю, что никто из вас в это не поверит, но значение этой картинки у нас прямо перед носом, только спрятанное у нее в глубине. Это всего-навсего одно слово, повторенное снова и снова, на манер мантры — но слово весьма важное: «МУ»! Вот видите! То же самое, что и на высшем уровне! И никто из нас об этом не догадывался!

Краб: Мы бы никогда не заметили, Ахилл, если бы не вы.

Муравьед: Интересно, это совпадение между высшим и низшим уровнем случайно? Или это целенаправленный акт, кем-то совершенный?

Краб: Как же мы это можем узнать?

Черепаха: Я не вижу, как это можно сделать — мы даже не знаем, почему эта иллюстрация оказалась у м-ра Краба в его издании «Хорошо темперированного клавира».

Муравьед: Хотя мы и увлеклись интересной беседой, мне все же удалось следить краем уха за этой четырехголосной фугой, такой длинной и сложной. Она удивительно прекрасна.

Черепаха: Бесспорно; и вскоре вы услышите органный пункт.

Ахилл: Органный пункт? Это то, что происходит, когда музыкальная пьеса слегка замедляется, останавливается на минуту-другую на одной ноте или аккорде, и после короткой паузы продолжается в нормальном темпе?

Черепаха: Нет, вы путаете с «ферматой» — нечто вроде музыкальной точки с запятой. Вы заметили, что одна такая была в прелюдии?

Ахилл: Кажется, я ее пропустил.

Черепаха: Ничего, у вас еще будет случай услышать фермату — в конце этой фуги их целых две.

Ахилл: Отлично. Предупредите меня заранее, хорошо?

Черепаха: Если вам угодно.

Ахилл: Но скажите пожалуйста, что же такое органный пункт?

Черепаха: Это когда какая-то нота продолжается одним из голосов (чаще всего, самым низким) полифонической пьесы, пока другие голоса ведут свои независимые темы. Здесь органный пункт — нота ля. Слушайте внимательно!

Муравьед: Ваше предложение понаблюдать за символами в мозгу Ахилла, когда они думают о себе самих, напомнило мне один случай, который произошел со мной, когда я в очередной раз навещал мою старую знакомую, М. Вейник.

Краб: Поделитесь с нами, пожалуйста.

Муравьед: Мура Вейник чувствовала себя в тот день очень одинокой и была рада с кем-нибудь поболтать. В благодарность она пригласила меня угоститься самыми сочными муравьями, которых я мог найти. (Она всегда очень великодушна, когда дело доходит до муравьев.)

Ахилл: Удивительно, кЛЯнусь честью!

Муравьед: В тот момент я как раз наблюдал за символами, образующими ее мысли, поскольку именно там заметил особенно аппетитных муравьишек.

Ахилл: Вы меня удивЛЯете!

Муравьед: Так что я отобрал себе самых толстых муравьев, бывших частью символа высшего уровня, который я в тот момент читал. Так случилось, что именно эти символы выражали мысль: «Не стесняйтесь, выбирайте муравьев потолще!»

Ахилл: О-ЛЯ-ЛЯ!

Муравьед: К несчастью для них, но к счастью для меня, букашечки и не подозревали о том, что они, все вместе, сообщали мне на уровне символов.

Ахилл: Несчастная доЛЯ… Какой удивительный оборот иногда принимают события. Они понятия не имели о том, в чем участвовали. Их действия были частью определенной схемы высшего уровня, но сами они об этом не подозревали. О, какая жалость — и какая ирония судьбы — что они пропустили это мимо ушей.

Краб: Вы правы, г-жа Ч — это был прелестный органный пункт.

Муравьед: Я раньше ни одного не слыхал, но этот был настолько очевиден, что его невозможно было прослушать. Замечательно!

Ахилл: Что? Органный пункт уже был? Как же я мог его не заметить, если он был так очевиден?

Черепаха: Возможно, вы были так увлечены своим рассказом, что не обратили на него внимания. О, какая жалость — и какая ирония судьбы — что вы пропустили это мимо ушей.

Краб: Скажите мне, а что, Мура Вейник живет в муравейнике?

Муравьед: О, ей принадлежит большой кусок земли. Раньше им владел кто-то другой — но это весьма грустная история. Так или иначе, ее владения довольно обширны. Она живет роскошно по сравнению со многими другими колониями.

Ахилл: Как же это совместить с коммунистической природой муравьиных колоний, которую вы нам раньше описали? Мне кажется, что проповедовать коммунизм, живя при этом в роскоши и изобилии, довольно непоследовательно!

Муравьед: Коммунизм там только на уровне муравьев. В муравьиной колонии все муравьи работают на общее благо, иногда даже себе в ущерб. Это — врожденное свойство М. Вейник, и, насколько я знаю, она может ничего не знать об этом внутреннем коммунизме. Большинство людей не знают ничего о своих нейронах; они, возможно, даже довольны тем, что ничего не знают о собственном мозге. Люди — весьма брезгливые создания! Мура Вейник тоже довольно брезглива — она начинает нервничать, стоит ей только подумать о муравьях. Так что она пытается этого избежать всегда, когда только возможно. Я, честное слово, сомневаюсь, что она догадывается о коммунистическом обществе, встроенном в саму ее структуру. Она сама — ярый приверженец полной свободы. Знаете, laissez-faire, и тому подобное. Так что я нахожу вполне естественным, что она живет в роскошном поместье.

Черепаха: Я только что перевернула страницу, следя за этой прелестной фугой «Хорошо темперированного клавира», и заметила, что приближается первая из двух фермат — приготовьтесь, Ахилл!

Ахилл: Я весь внимание.

Черепаха: На соседней странице здесь нарисована престранная картинка.

Краб: Еще одна? Что там на этот раз?

Черепаха: Поглядите сами. (Передает ноты Крабу.)

Рис. 62. Рисунок автора. (Русский графический вариант выполнен переводчиком.)

Краб: Ага! Да это всего лишь буквы. Посмотрим, что здесь есть… по нескольку штук «И», «С», «Б», «м» и «а». Как странно, первые три буквы растут, а последние две опять уменьшаются.

Муравьед: Можно мне взглянуть?

Краб: Разумеется.

Муравьед: Рассматривая детали, вы совершенно упустили из виду главную картину. На самом деле, эти буквы — «ф», «е», «р», «А», «X» — и они вовсе не повторяются. Сначала они становятся меньше, а потом опять вырастают. Ахилл, а как ваше мнение?

Ахилл: Погодите минутку. Гм-м… Я вижу несколько заглавных букв, которые увеличиваются слева направо.

Черепаха: Это какое-то слово?

Ахилл: Э-э-э… «И. С. Бах». О! Теперь я понимаю. Это имя Баха!

Черепаха: Как странно, что вы видите это именно так. Мне кажется, это несколько прописных букв, уменьшающихся слева направо, и составляющих… имя… (Темп ее речи все замедляется, особенно на последних словах; потом она останавливается на мгновение, и вдруг начинает говорить снова, будто ничего необычного не произошло.) — «фермата.»

Ахилл: Вы, видно, все никак не можете выбросить из головы Ферма. Вы видите Последнюю Теорему Ферма даже здесь.

Муравьед: Вы были правы, г-жа Черепаха: я только что заметил премилую маленькую фермату в фуге.

Краб: И я тоже!

Ахилл: Вы говорите, что все это слышали, кроме меня? Я начинаю чувствовать себя совсем дураком.

Черепаха: Ну что вы, Ахилл, не надо так говорить. Я уверен, что вы не пропустите Последнюю Фермату Фуги — она прозвучит очень скоро. Но, д-р Муравьед, возвращаясь к нашему разговору, что это за печальная история, о которой вы упомянули, говоря о прежнем владельце поместья М. Вейник?

Муравьед: Прежний его владелец был удивительной личностью, одной из самых творчески одаренных муравьиных колоний, которые когда-либо существовали. Его звали Иогей Себастей Фермовей; он был мураматиком по профессии, но мурзыкантом по призванию.

Ахилл: Муравительно!

Муравьед: Он был в расцвете творческих сил, когда его постигла безвременная кончина. Однажды, жарким летним днем, он грелся на солнышке. Вдруг с ясного неба грянула гроза, одна из тех, что бывают раз в сто лет. И. С. Ф. промок до последнего муравья. Гроза началась совершенно неожиданно и застала муравьев врасплох. Сложная структура, создававшаяся годами, погибла за какие-то минуты. Какая трагедия!

Ахилл: Вы хотите сказать, что все муравьи утонули, и это было концом И. С. Ф.?

Муравьед: Нет, не совсем. Муравьям удалось выжить: все они уцепились за травинки и щепки, крутящиеся в бешеных потоках. Но когда вода спала и оставила муравьев на их территории, там не оставалось никакой организации. Кастовая дистрибуция была совершенно разрушена, и муравьи оказались не способны своими силами восстановить прежнюю отлаженную структуру. Они были так же беспомощны, как кусочки Шалтая-Болтая, если бы те попытались собрать себя самих. Подобно всей королевской коннице и всей королевской рати, я пытался собрать бедного Фермовея. Я подкладывал сахар и сыр, в сумасшедшей надежде на то, что Фермовей появится опять… (Вынимает носовой платок, вытирает глаза и сморкается.)

Ахилл: Как великодушно с вашей стороны. Я и не знал, что у Муравьедов такое доброе сердце…

Муравьед: Но все мои усилия были бесполезны. Он ушел из жизни, и ничто не могло вызвать его обратно. Однако тут начало происходить что-то странное: в течение следующих месяцев муравьи, бывшие компонентами И. С. Ф., перегруппировались и сформировали новую организацию. Так родилась Мура Вейник.

Краб: Потрясающе! Мура Вейник состоит из тех же муравьев, что прежде И. С. Ф.?

Муравьед: Сначала так и было, но теперь некоторые старые муравьи умерли и были заменены новыми муравьями. Однако там все еще остаются муравьи эпохи И. С. Ф.

Краб: Скажите, а проявляются ли время от времени черты старика И. С. Ф. в мадам М. Вейник?

Муравьед: Ни одной. У них нет ничего общего. И я не вижу, откуда бы тут взяться сходству. В конце концов, есть несколько различных способов перегруппировать отдельные части, чтобы получить их «сумму». Мура Вейник как раз и была новой суммой старых частей. Не БОЛЬШЕ суммы, заметьте — просто определенный ТИП суммы.

Черепаха: Кстати о суммах — это мне напомнило теорию чисел. Там тоже бывает возможно разложить теорему на составляющие ее символы, расположить их в новом порядке и получить новую теорему.

Муравьед: Никогда об этом не слышал; хотя должен признаться, что в этой области я полнейший невежда.

Ахилл: Я тоже в первый раз слышу — а ведь я прекрасно осведомлен в этой области, хотя и не должен сам себя хвалить. Думаю, что г-жа Ч готовит один из своих сложных розыгрышей — я ее уже хорошо изучил.

Муравьед: Кстати о теории чисел — это мне напомнило опять об И. С. Ф. Как раз в этой области он прекрасно разбирался. Теория чисел обязана ему несколькими важными открытиями. А Мура Вейник, наоборот, удивительно несообразительна, когда речь заходит о чем-то, имеющем даже отдаленнейшее отношение к математике. К тому же, у нее довольно банальные вкусы в музыке, в то время как Себастей был необычайно одарен в этой области.

Ахилл: Мне очень нравится теория чисел. Не расскажете ли вы нам о каком-нибудь из открытий Себастея?

Муравьед: Отлично. (Делает паузу, чтобы отхлебнуть свой чай, и снова начинает.) Слышали ли вы о печально известной «Хорошо Проверенной Гипотезе» Фурми?

Ахилл: Не уверен. Это звучит знакомо, но я не могу вспомнить, что это такое.

Муравьед: Идея очень проста Француз Льер де Фурми, мураматик по призванию, но адвокей по профессии, читая классическую «Арифметику» Диофантея, наткнулся на страницу с уравнением

2 ^a + 2 ^b = 2 ^c

Он тут же понял, что это уравнение имеет бесконечное множество решений a, b и с, и записал на полях следующий замечательный комментарий.

Уравнение

n ^a + n ^b = n ^c

имеет решение в положительных целых числах а, b, с, и n только при n = 2 (и в таком случае имеется бесконечное множество а, b, и с, удовлетворяющих этому уравнению), но для n>2 решений не существует. Я нашел совершенно замечательное доказательство этого — к несчастью, такое крохотное, что оно будет почти невидимо, если написать его на полях.

С того года и в течение почти трехсот дней мураматики безуспешно пытаются сделать одно из двух либо доказать утверждение Фурми и таким образом очистить его репутацию — в последнее время она слегка подпорчена скептиками, не верящими, что он действительно нашел доказательство — или опровергнуть его утверждение, найдя контрпример множество четырех целых чисел а, b, с, и n, где n > 2, которое удовлетворяло бы этому уравнению. До недавнего времени все попытки в любом из этих двух направлений проваливались. Точнее, Гипотеза доказана лишь для определенных значений n — в частности, для всех n до 125 000. Но никому не удавалось доказать ее для ВСЕХ n — никому, пока на сцене не появился Иогей Себастей Фермовей. Именно он нашел доказательство, очистившее репутацию Фурми. Теперь это известно под именем «Хорошо Проверенной Гипотезы Иогея Себастея Фермовея».

Рис. 63. Когда происходят перемещения колоний, муравьи иногда строят из собственных тел живые мосты. На этой фотографии (Льера Фурми) изображен подобный мост. Муравьи-работники колонии Eciton Burchelli сцепляются лапками и тарзальными челюстями; таким образом создается что-то вроде цепей. Видно, как по центру мосту переходит симбиотическая чешуйница, Trichatelura manni. (E. О. Вильсон, «Общества насекомых» (Е.О. Wilson, «The Insect Societies», стр. 62.)

Ахилл: Не лучше ли тогда называть это «Теоремой» вместо «Гипотезы,» поскольку настоящее доказательство уже найдено?

Муравьед: Строго говоря, вы правы, но по традиции это зовется именно так.

Черепаха: А какую музыку писал Себастей?

Муравьед: Он был очень талантливым композитором. К несчастью, его лучшее сочинение покрыто тайной, поскольку оно никогда не было опубликовано. Некоторые думают, что Себастей держал свое сочинение в голове. Но те, кто настроены менее благожелательно, говорят, что на самом деле он никогда не писал подобного сочинения, а только хвастался направо и налево.

Ахилл: И что же это было за великое сочинение?

Муравьед: Это должно было быть гигантской прелюдией и фугой; в фуге предполагалось двадцать четыре голоса и двадцать четыре различных темы, по одной в каждом мажорном и минорном ключе.

Ахилл: Было бы весьма трудно слушать такую двадцатичетырехголосную футу как целое!

Краб: Уже не говоря о том, чтобы ее сочинить!

Муравьед: Все, что нам о ней известно, это ее описание, оставленное Себастеем на полях его экземпляра «Прелюдий и фуг для органа» Букстехуде. Последними словами, которые он написал перед своей трагической кончиной, были следующие:

Я сочинил замечательную фугу. В ней я соединил силу 24 тональностей с силой 24 тем, получилась фуга с мощью в 24 голоса. К несчастью, она не помещается на полях.

Этот несостоявшийся шедевр известен под именем «Последняя Фуга Фермовея».

Ахилл: О, как это невыносимо трагично!

Черепаха: Кстати о фугах: та фуга, которую мы слушаем, скоро закончится. Ближе к концу в ее теме происходит странная вариация. (Переворачивает страницу «Хорошо темперированного клавира».) Что это у нас тут? Еще одна иллюстрация, да какая интересная! (Показывает ее Крабу.)

Рис. 64. (Рисунок автора. Русский графический вариант выполнен переводчиком.)

Краб: Что это у нас тут? О, вижу это «ХОЛИЗМИОНИЗМ», написанное большими буквами, которые сначала уменьшаются, а затем снова возрастают до того же размера. Но в этом нет никакого смысла, поскольку это не настоящее слово. Надо же, подумать только! (Передает ноты Муравьеду)

Муравьед: Что это у нас тут? О, вижу: это «РЕДУКЦХОЛИЗМ», написанное маленькими буквами, которые сначала увеличиваются, а затем снова уменьшаются до того же размера. Но в этом нет никакого смысла, поскольку это не настоящее слово. Подумать только, надо же! (Передает ноты Ахиллу.)

Ахилл: Я знаю, что никто из вас в это не поверит, но на деле эта картинка состоит из слова «ХОЛИЗМ», написанного дважды, причем буквы в нем уменьшаются слева направо.

Черепаха: Я знаю, что никто из вас в это не поверит, но на деле эта картинка состоит из слова «РЕДУКЦИОНИЗМ», написанного один раз, причем буквы в нем увеличиваются слева направо.

Aхилл: Наконец-то! На этот раз я услышал новую вариацию темы! Я так рад, что вы мне на нее указали, г-жа Черепаха. Мне кажется, что я наконец начинаю понимать кое-что в искусстве слушания фуг.

С ПОЯВЛЕНИЕМ компьютеров люди начали работать над созданием «думающих машин», при этом они стали свидетелями престранных вариаций на тему мысли. Были созданы программы, чье мышление так же походило на человеческое, как движение заводной куклы — на движение человека. Все странности нашего мышления, его слабые и сильные стороны, причуды и изменчивость вышли на поверхность, когда мы получили возможность экспериментировать с самодельными формами мышления — или приближений к мышлению. В результате в течение последних двадцати лет мы развили новый взгляд на то, чем является и чем не является мысль. За это время выяснилось много нового о малом и о большом масштабах «аппаратуры» нашего мозга. Эти исследования пока не смогли ответить на вопрос о том, как мозг работает с идеями, но они, тем не менее, дают нам некоторое представление о биологических механизмах, управляющих нашим мышлением.

В следующих двух главах мы попытаемся соединить наши знания об искусственном интеллекте с некоторыми фактами, которые нам удалось узнать благодаря хитроумным экспериментам с мозгом животных и исследованиям процессов мышления, проведенных специалистами в области психологии. Мы начали разговор об этом в «Прелюдии» и в «Муравьиной фуге»; теперь поговорим о том же на более глубоком уровне.

Мысль должна зависеть от отражения действительности аппаратурой мозга. В предыдущих главах мы разработали формальные системы, отражающие области математической действительности с помощью символов. До какой степени подобные формальные системы могут служить моделями обращения мозга с идеями?

В системе pr и затем в других, более сложных системах мы видели, как значение, в ограниченном смысле этого слова, возникает из изоморфизма, соотносящего типографские символы с числами, арифметическими действиями и отношениями, а строчки типографских символов — с высказываниями. В мозгу нет никаких типографских символов, но есть кое-что получше: активные элементы, которые могут хранить информацию, а также передавать ее и получать новую информацию от других активных элементов. Таким образом, у нас есть активные символы вместо пассивных типографских символов. В мозгу правила смешаны с самими символами, в то время как на бумаге символы — это статичные единицы, а правила находятся у нас в голове. Благодаря строгости формальных систем, которые мы до сих пор рассматривали, читатель может заключить, что изоморфизм между символами и реальными вещами — это жесткое взаимно однозначное соответствие, что-то вроде ниток, соединяющих марионетку с ведущей ее рукой. Однако важно понимать, что это вовсе не так. В той же ТТЧ понятие «пятьдесят» может быть выражено различными символами, скажем:

((SSSSSSSO*SSSSSSSO)+(SO*SO))

и

((SSSSSO*SSSSSO)+(SSSSSO*SSSSSO))

То, что обе эти записи обозначают один и тот же номер, вовсе не ясно априори. Вы можете работать с каждым из этих выражений независимо, пока не наткнетесь на какую-нибудь теорему, которая заставит вас воскликнуть: «Да это же то самое число!»

В вашей голове могут соседствовать различные мысленные образы одного и того же человека, например:

Человек, чью книгу я послал несколько дней тому назад другу в Польшу.

Незнакомец, заговоривший со мной и моими приятелями в кафе сегодня вечером.

То что оба эти образа обозначают одного и того же человека, вовсе не ясно априори. Они могут находиться в вашей голове раздельно, пока, разговаривая с незнакомцем, вы не наткнетесь на тему, которая поможет вам понять, что эти образы относятся к одному и тому же человеку: «Да, вы же тот самый человек!»

Не все мысленные описания человека обязательно соединяются с неким центральным символом, хранящим его имя. Описания могут рождаться и использоваться независимо. Мы можем изобретать несуществующих людей, придумывая их описания, совместить два описания, обнаружив, что они относятся к одному и тому же человеку, разделить одно описание на два, если обнаружим, что оно относится не к одному, а к двум предметам, и так далее. Это «исчисление описаний» находится в самом сердце мышления. Считается, что оно интенсионально, а не экстенсионально: это означает, что описания могут свободно «плавать на поверхности», а не стоять на якоре, привязанные к определенным, известным предметам. Интенсиональность мышления связана с его гибкостью, она дает нам возможность изобретать воображаемые миры, соединять разные описания в одно, разделять одно описание на два, и так далее.

Представьте себе, что подруга, взявшая у вас на время машину, звонит и говорит, что произошла авария машину занесло на мокрой дороге и она перевернулась, упав в кювет «Я чудом избежала смерти,» — говорит она. В голове у вас появляются, одна за другой, соответствующие образы, которые становятся все реальнее по мере того как собеседница добавляет все новые детали; в конце рассказа вся картина стоит у вас перед глазами. Вдруг она, смеясь, сообщает вам что все это — первоапрельская шутка, и что ни с ней, ни с машиной ничего не случилось! В некотором смысле, это ничего не меняет. История и образы вызванные ею не теряют своей жизненности и надолго остаются у вас в памяти. В дальнейшей вы можете считать вашу подругу плохим водителем, поскольку впечатление оставленное ее рассказом, не пропало, когда вы узнали, что это — неправда. Выдумка и факт тесно переплетаются в нашем сознании, и это происходит потому, что мышление предполагает способность к изобретению сложных описаний и манипуляции ими, эти описания совсем не обязательно должны быть привязаны к реальным фактам или вещам.

В основе мышления — гибкое, интенсиональное представление о мире. Как же физиологическая система, такая как мозг, позволяет производить подобное представление?

Самые важные клетки мозга — это нервные клетки или нейроны; их в мозгу около десяти миллиардов. (Интересно, что количество глиальных клеток, или глий, превосходит это число почти в десять раз. Считается, что глии играют второстепенную роль по сравнению с нейронами, поэтому мы не будем на них останавливаться.) У каждого нейрона есть несколько синапсов (на компьютерном жаргоне, «портов ввода»), расположенных на дендритах (и иногда — на теле клетки), и один аксон («канал вывода»). Ввод и вывод представляют собой электрохимические потоки, то есть движущиеся ионы. Между портом ввода и выводным каналом находится тело клетки, где принимаются «решения».

Эти решения, которые нейрону приходится принимать иногда до тысячи раз в секунду, следующего типа: нужно ли ему возбудиться — то есть, послать по аксону ионы. Эти ионы рано или поздно достигнут входных портов других нейронов, которым придется тогда принимать такое же решение. Решение принимается очень просто: если сумма всех входных импульсов превышает некий порог, то нейрон возбуждается; в противном случае этого не происходит.

Рис. 65. Схема нейрона. (Взято из книги Д. Вулдриджа «Механика мозга» (D.Woold-ridge, «The Machinery of the Brain», стр. 6).)

Некоторые входные импульсы могут быть негативными; они аннулируют позитивные импульсы, полученные из другого места. Так или иначе, на низшем уровне нашего разума царит простое сложение. Перефразируя знаменитое изречение Декарта, «я мыслю, значит я суммирую» (от латинского Cogito, ergo summo).

Хотя манера принятия решений кажется простой, ситуацию осложняет то, что у нейрона может быть до 200 000 отдельных входов; это означает, что для принятия решения нейрон должен манипулировать иногда 200 000 слагаемых. Как только решение принято, поток ионов устремляется по аксону к выходу. Однако они могут встретить на пути развилку или даже несколько. Тогда единый импульс разделяется и идет по нескольким ветвям аксона. Выхода достигают уже несколько импульсов, которые при этом могут прибыть к месту своего назначения в разное время, так как ветви аксона, по которым они двигаются, могут быть разной длины и иметь разное сопротивление. Важно, однако, то, что все они начались как единый импульс, испущенный телом клетки. После того, как нейрон возбудится, ему необходимо некоторое время, чтобы «восстановить силы»— обычно это время измеряется миллисекундами, так что нейрон может возбуждаться до тысячи раз в секунду.

Мы только что описали «муравьев» мозга. А как насчет «команд» или «сигналов»? А насчет «символов»' Мы заметили, что, несмотря на сложность входных импульсов, каждый нейрон может ответить одним из двух способов — либо возбуждаясь, либо нет. Это дает весьма небольшое количество информации. Безусловно, чтобы передавать и обрабатывать большой объем информации, необходимо участие множества нейронов. Можно предположить, что существуют более крупные структуры, состоящие из многих нейронов, которые работают с понятиями высшего уровня. Это, несомненно, верно; однако наивное предположение о том, что каждой идее соответствует определенная группа нейронов, скорее всего, неправильно.

Мозг состоит из различных анатомических частей, таких как головной мозг, мозжечок и гипоталамус (см. рис. 66). Головной мозг — это самая большая часть человеческого мозга; он разделен на правое и левое полушария. Снаружи каждое из них покрыто слоями «коры», достигающей толщины в несколько миллиметров; эта оболочка так и называется корой головного мозга. С анатомической точки зрения, именно размеры коры головного мозга — наиболее бросающееся в глаза отличие между мозгом человека и мозгом менее разумных биологических видов. Мы не будем здесь подробно описывать различные части мозга, поскольку оказывается, что соотношение, которое можно установить между этими крупномасштабными органами и деятельностью, за которую они отвечают, весьма приблизительно.

Известно, например, что языковыми способностями в основном управляет одно из полушарий — обычно левое. Мозжечок — это область, управляющая двигательной активностью. Но каким образом эти области выполняют свои функции, остается загадкой.

Рис. 66 Человеческий мозг, вид слева. Странно, что зрительная область находится ближе к затылку. (Взято из книги Стивена Роуза «Мыслящий мозг» (Steven Rose, «The Conscious Brain»), стр. 50.)

Возникает очень важный вопрос: если мысли рождаются в мозгу, то чем отличается один мозг от другого? Чем отличается мой мозг от вашего? Безусловно,  вы не думаете точно так же, как я — да и нет двух людей, которые бы думали одинаково. Но при этом все мы имеем одинаковое анатомическое строение мозга. Насколько идентичны наши мозги? Распространяется ли это сходство на уровень нейронов? Для животных, стоящих на низшем уровне «иерархии мышления», таких, например, как земляной червь, ответ будет положительным. Процитирую по этому поводу выступление нейрофизиолога Дэвида Хубеля на конференции по общению с внеземными культурами:

Количество нервных клеток у червя измеряется, я думаю, тысячами. Интересно то, что мы можем указать на какой-либо нейрон определенного червя и затем найти точно соответствующий ему нейрон у другого червя того же вида.[30]

Оказывается, мозги земляных червей изоморфны! Можно сказать, что существует всего один земляной червь.

Однако такое взаимооднозначное соответствие исчезает, как только мы обращаемся к высшим уровням иерархии мышления и количество нейронов возрастает, это подтверждает наше подозрение о том, что на свете — не только один человек! И все же между человеческими мозгами существует большое сходство, если сравнивать их на уровне, промежуточном между нейронами и более крупными составляющими мозга. Какой из этого можно сделать вывод относительно того, как индивидуальные различия представлены в физиологии мозга? Можно ли, рассматривая связи между нейронами моего мозга, найти такие структуры, в которых закодированы мои знания, убеждения, надежды, страхи, симпатии и антипатии? Если мы считаем, что мысленный опыт расположен в мозгу, можно ли наши те места или те физические подсистемы мозга, где расположены знания и другие аспекты интеллектуальной жизни? Это будет основным вопросом этой и следующей глав.

В попытке найти ответ на этот вопрос, невролог Карл Лашли провел длинную серию экспериментов. В этих экспериментах, начавшихся около 1920 года и продолжавшихся много лет, он попытался обнаружить, где в мозгу у крысы хранится ее опыт по прохождению лабиринтов. В своей книге «Мыслящий мозг» Стивен Роуз описывает злоключения Лашли:

Лашли хотел определить где в коре головного мозга расположена память. Для этого он сначала тренировал крыс находить дорогу в лабиринте, а затем удалял у них различные районы коры. После того как крысы выздоравливали он снова пускал их по лабиринту. К его удивлению, ему не удалось найти определенное место в мозгу ответственное за умение крыс находить дорогу к выходу. Вместо этого все крысы, у которых была удалена какая-либо часть коры, начинали страдать от тех или иных физических недостатков, серьезность которых была прямо пропорциональна количеству удаленной коры. Удаление коры повредило моторные и сенсорные способности животных, крысы начали хромать, подскакивать шататься или кататься по полу, но все они каким то образом, находили дорогу в лабиринте. Казалось что память расположена равномерно по всей коре. В своей последней статье «In Search of the Engram», опубликованной в 1950 году, Лашли мрачно заключил, что память вообще невозможна.[31]

Интересно, что в конце 1940-х годов, примерно в то же время, когда Лашли проводил свои эксперименты, в Канаде было найдено подтверждение противоположной точки зрения. Нейрохирург Вильдер Пенфильд изучал реакции пациентов во время операции над мозгом, вводя в различные области открытого мозга электроды и посылая слабые электрические импульсы, стимулирующие нейрон или нейроны, которых касался данный электрод. Эти импульсы были подобны импульсам, исходящим от других нейронов. Пенфильд обнаружил, что стимуляция определенных нейронов регулярно вызывает у пациентов специфические образы или чувства. Искусственно вызванные таким образом впечатления были самые разнообразные иногда пациенты испытывали странный, необъяснимый страх, иногда они видели цвета и слышали звуки — но самыми впечатляющими были случаи когда пациенты вспоминали целую цепь событий из далекого прошлого, как, например, детский праздник дня рождения. Набор точек способных вызвать подобную реакцию, был весьма мал: практически речь шла об одном-единственном нейроне. Очевидно что результаты, полученные Пенфильдом разительно отличаются от заключения Лашли, поскольку из них вытекает, что специфические воспоминания хранятся в строго определенных зонах мозга.

Какой вывод можно из этого сделать? Возможным объяснением было бы то, что одно и то же воспоминание закодировано одновременно в нескольких местах, расположенных по всей коре — стратегия, которая могла развиться в процессе эволюции, как защита от возможной потери части коры в бою — или во время экспериментов, проводимых нейрофизиологами. Другое возможное объяснение — то, что воспоминания могут восстанавливаться на основе динамических процессов, распространенных по всему мозгу, но при этом могут вызываться возбуждением местных точек. Эта теория основана на современных телефонных сетях, где распределение междугородных звонков не известно заранее, а выбирается в момент данного звонка в зависимости от загруженности телефонных сетей по всей стране. Поломка части сетей не остановит звонки — они будут просто направлены в обход испорченного места. В этом смысле любой звонок потенциально невозможно локализовать. И в то же время любой звонок соединяет всего две точки; в этом смысле локализовать его вполне возможно.

Одно из самых интересных исследований по локализации мозговых процессов проводилось в последние пятнадцать лет Дэвидом Хюбелем и Торстеном Визелем из Харвардского университета. Они проследили путь зрительных впечатлений в мозгу у кошки: сначала возбуждаются нейроны на сетчатке, возбуждение распространяется по направлению к затылку, проходит через боковое коленчатое тело, работающее в качестве «ретрансляционной станции», и прибывает к зрительной коре в задней половине мозга. Прежде всего, в свете результатов Лашли кажется удивительным, что существуют определенные мозговые пути; но еще более замечательными оказались свойства нейронов, расположенных на различных участках этого пути.

Оказывается, что нейроны сетчатки прежде всего воспринимают контраст. Это происходит следующим образом, обычно каждый из этих нейронов возбуждается с постоянной скоростью. Когда на него падает свет, нейрон может начать возбуждаться быстрее, замедлиться, или совсем перестать возбуждаться. Однако это происходит только в том случае, когда соседние участки сетчатки менее освещены. Это означает, что существуют два типа нейронов: «центральные» и «периферийные». Первые посылают сигналы с большей скоростью, когда центр небольшой круглой зоны сетчатки, к которой они принадлежат, освещен, а периферия находится в темноте. Вторые, напротив, увеличивают скорость посылки импульсов тогда, когда центр круга находится в темноте, а внешнее кольцо освещено. «Увидев» светлый центр, периферийные нейроны замедляются, и наоборот. Равномерное освещение не затрагивает ни тот, ни другой тип — нейроны обоих типов продолжают посылать сигналы с обычной скоростью.

С сетчатки сигналы, посланные этими нейронами, направляются по оптическому нерву к боковому коленчатому телу, расположенному близко к центру мозга. Там мы находим прямое соответствие поверхности сетчатки, в том смысле, что нейроны коленчатого тела отвечают только на некоторые стимулы, падающие на определенные места сетчатки. В этом смысле коленчатое тело не представляет особого интереса — это всего-навсего «ретрансляционная станция», и сигналы там не подвергаются дальнейшей обработке (хотя надо все же отдать ему должное — коленчатое тело, по-видимому, усиливает чувствительность к световым контрастам). Образ на сетчатке закодирован в схеме сигналов, посылаемых нейронами бокового коленчатого тела, несмотря на то, что нейроны там расположены не на плоскости сетчатки, а в трехмерном блоке. Таким образом, хотя два измерения здесь соответствуют трем, информация тем не менее сохраняется: еще один пример изоморфизма. Возможно, у этого изменения количества измерений есть некий глубинный смысл, которого мы еще не понимаем полностью. Так или иначе, в нашем знании о зрении пока еще так много пробелов, что мы должны не расстраиваться, а радоваться, что нам удалось, хотя бы до определенного предела, понять данный этап.

Из бокового коленчатого тела сигналы поступают обратно в зрительную кору. Здесь они обрабатываются по-новому. Клетки зрительной коры подразделяются на три категории: простые, сложные, и сверхсложные. Простые клетки весьма похожи на клетки сетчатки или бокового коленчатого тела они реагируют на освещенные и неосвещенные точки, когда те находятся в контрасте с окружением в определенных местах сетчатки. Сложные клетки, с другой стороны, получают информацию от более чем сотни других клеток, и «видят» светлые и темные полосы , расположенные на сетчатке под определенными углами (см. рис. 67). Сверхсложные клетки замечают углы, полосы и даже «языки», двигающиеся в определенных направлениях (еще раз см. рис. 67). Эти клетки настолько специализированы, что их иногда называют «сверхсложными клетками высшего порядка».

Рис. 67. Ответ на некоторые схемы стимулов различных типов нейронов. (а) Этот нейрон, видящий контуры, ищет вертикальные грани, освещенные слева и находящиеся в тени с правой стороны. Первая колонка показывает, как нейрон реагирует на угол наклона граней. Вторая колонка показывает, что позиция грани внутри «поля зрения» данного нейрона для него неважна (б) Сверхсложная клетка отвечает на стимулы более выборочно, в данном случае — только когда спускающийся «язык» находится в центре поля зрения (в) Реакция гипотетической «клетки-бабушки» на различные типы стимулов, читатель может позабавиться, представив себе, как на те же стимулы отвечала бы «клетка-осьминог».

В связи с открытием в зрительной коре клеток, отвечающих на стимулы возрастающей сложности, некоторые исследователи стали задаваться вопросом, не соответствуют ли понятия отдельным клеткам — скажем, у вас была бы «клетка-бабушка», возбуждающаяся только при виде вашей бабушки. Этот забавный пример «ультрасверхсложной клетки», разумеется, никем всерьез не принимается. Однако неясно, какая альтернативная теория более разумна. Одна возможность заключается в том, что на достаточно сложные зрительные стимулы отвечают некие более обширные комплексы нейронов. Разумеется, такие группы нейронов будут возбуждаться от комплекса сигналов, исходящих от многих сверхсложных клеток. Как конкретно это может происходить, пока является загадкой. Когда нам кажется, что мы приближаемся к порогу, за которым из «сигналов» рождается «символ», мы теряем след в этой дразняще неоконченной истории. Мы, впрочем, скоро к ней вернемся и постараемся дать еще кое-какие детали.

Ранее я упомянул о приблизительном, на анатомическом уровне, изоморфизме между человеческими мозгами и точном, на нейронном уровне, изоморфизме между мозгами земляных червей. Интересно, что можно проследить изоморфизм «среднего масштаба» между обрабатывающими зрительную информацию аппаратами кота, обезьяны и человека. Этот изоморфизм работает следующим образом. Во-первых, у всех трех видов обработка зрительной информации происходит в затылочной части коры головного мозга — в области, так и называющейся зрительной корой. Во-вторых, у каждого вида зрительная кора разделена на три подучастка, называющиеся участками 17,18 и 19. Эти участки могут быть найдены в мозгу у любого нормального индивида каждого из этих трех видов. Внутри каждого участка можно пойти еще дальше и достигнуть «колонной организации» зрительной коры. Зрительные нейроны, расположенные перпендикулярно поверхности коры и направляющиеся по радиусу внутрь, к центру мозга, организованы в «колонки»; все сигналы поступают по радиусу — в направлении колонок, а не между ними. Каждой колонке соответствует определенный небольшой участок сетчатки. Число колонок варьируется у разных индивидов, так что найти «ту же самую» колонку не удается. Наконец, внутри колонок есть слои, где обычно расположены простые нейроны, и слои, где расположены сложные нейроны. (Сверхсложные нейроны обычно находятся на участках 18 и 19, в то время как простые и сложные — на участке 17.) По-видимому, на этом уровне изоморфизм кончается. На уровне отдельных нейронов, каждый кот, каждая обезьяна и каждый человек имеют уникальную структуру — такую же уникальную, как отпечаток пальца или подпись.

Одно небольшое, но значительное различие между обработкой зрительной информации мозгом кота и мозгом обезьяны присутствует на этапе, на котором информация, полученная от обоих глаз, соединяется и образует единый сигнал высшего уровня. Оказывается, что у обезьян это происходит немного позднее, чем у котов; это дает сигналам каждого глаза больше времени для независимой обработки. Это неудивительно, поскольку мы предполагаем, что чем выше стоит данный тип в иерархии интеллекта, тем сложнее будут проблемы, решаемые его зрительным аппаратом; поэтому сигналы должны проходить более долгую обработку, прежде чем получить окончательный «ярлык». Это предположение было весьма убедительно подтверждено наблюдениями за зрительными способностями новорожденного теленка, рожденного, по-видимому, с полностью развитым зрительным аппаратом. Теленок пугается людей и собак, но прекрасно чувствует себя в окружении других телят. Возможно, его зрительная система целиком закодирована в мозгу еще до рождения и требует сравнительно небольшой работы коры. С другой стороны, человеческой зрительной системе, так сильно зависящей от коры, требуется несколько лет, чтобы развиться полностью.

Открытия, сделанные до сих пор в области организации мозга, интересны тем, что пока не удалось найти соответствия между крупномасштабной «аппаратурой» и «программным обеспечением высшего уровня» Например, зрительная кора — это крупномасштабная часть аппаратуры, полностью посвященная обработке зрительной информации; однако все известные нам процессы, происходящие там, все еще протекают на низших уровнях. Ничего похожего на узнавание предметов пока в зрительной коре не обнаружено. Это значит, что никто пока не знает, где и каким образом информация, исходящая от сложных и сверхсложных клеток, превращается в узнанные формы, комнаты, картины, лица и так далее. Исследователи пытаются описать способ, при помощи которого множество реакций на низшем, нейронном уровне, словно проходя через воронку, сводится к меньшему числу реакций на высших уровнях, что, в конце концов, приводит к знаменитой «клетке-бабушке» или некоторой сложной нейронной сети, как та, о которой мы упомянули выше. Очевидно этот способ не может быть обнаружен на уровне анатомических частей мозга, скорее, его надо искать на более микроскопическом уровне.

Возможной альтернативой клетки-бабушки может быть постоянный набор нейронов — скажем, несколько дюжин — на узком конце «воронки», любой из них реагирует на появление бабушки в поле зрения. Подобно этому, для каждого отдельного предмета существовала бы специфическая сеть нейронов и некая «воронка», сводящая сложные впечатления к этой сети. Существуют более сложные альтернативы, основанные на той же идее, они включают сеть нейронов, которая может отвечать на стимул по-разному, вместо одного строго определенного способа. Такие сети соответствовали бы «символам» в нашем мозгу.

Необходим ли подобный процесс сужения? Возможно, что наш мозг узнает предметы по их «подписи» на зрительной коре — то есть, по коллективным ответам простых, сложных и сверхсложных клеток. Может быть, мозгу не требуется никакое дальнейшее «сужение» впечатлений, чтобы узнать данный предмет. Однако эта теория представляет следующее затруднение Представьте себе, что вы смотрите на некую сцену. В вашем мозгу появляется «подпись»-отпечаток этой сцены; однако как вы перейдете от этого отпечатка к словесному описанию данной сцены? Например, когда вы смотрите на картины Эдуарда Вийара, французского постимпрессиониста, зачастую требуется несколько секунд, прежде чем вы различите человеческую фигуру. Предположительно, отпечаток увиденного появляется на зрительной коре в первую долю секунды — при этом вы понимаете картину только через несколько секунд. Это только один пример весьма обычного явления — чувства, что в момент узнавания у вас в мозгу что-то «кристаллизуется»; это происходит не тогда, когда свет попадает на сетчатку, но позднее, после того как какая-то часть вашего интеллекта обработала сигналы на сетчатке.

Сравнение с кристаллизацией приводит на ум еще один замечательный образ, взятый из статистической механики: мириады микроскопических, не связанных между собой событий в некоей среде, которые формируют медленно растущие согласованные области. В результате эти мириады крохотных событий полностью изменяют среду: из хаотического множества независимых элементов она превращается в большую, стройную и связную структуру. Если считать, что первичные реакции нейронов представляют собой независимые события, в результате множества отдельных сигналов производящие определенный крупный «модуль» нейронов, то слово «кристаллизация» отлично сюда подходит.

Еще один аргумент в пользу «воронки» основан на факте, что существует множество различных сцен, которые обычно воспринимаются как один и тот же объект: бабушка может улыбаться или хмуриться, быть в шляпе или без, стоять в освещенном солнцем саду или в темной комнате, стоять далеко или близко, в профиль или в анфас и так далее. Все эти сцены производят весьма различные «подписи» на зрительной коре — но все они заставляют вас сказать: «Здравствуй, бабуля.» Следовательно, некий сужающий процесс все же происходит в какой-то момент после образования зрительного отпечатка и перед тем, как вы произносите первое слово. Можно возразить, что этот процесс относится не к узнаванию бабушки, но к превращению этого впечатления в слова. Однако это разделение кажется искусственным, поскольку можно узнать бабушку и без необходимости выражать это знание словами. Было бы весьма неудобно обрабатывать всю информацию, полученную зрительной корой, так как большая часть этой информации может быть отброшена за ненадобностью, нам неинтересно знать, как падают на бабушкино лицо тени и сколько пуговиц у нее на блузке.

Другая проблема с теорией, отрицающей необходимость воронки — это объяснение многих возможных интерпретаций для одной и той же «подписи» — как, например, происходит с картиной Эшера «Выпуклое и вогнутое» (Рис. 23). Нам кажется очевидным то, что мы воспринимаем образ на экране телевизора не как набор точек, но как определенные блоки; было бы странным, если бы восприятие происходило в момент появления гигантской точечной «подписи» в зрительной коре. Более вероятным кажется некое сужение, в результате которого возбуждаются специфические модули нейронов, каждый из которых ассоциируется с определенным понятием — блоком — в данной сцене.  

Таким образом, мы приходим к заключению, что каждому понятию соответствует определенный модуль, некий «нейронный комплекс», состоящий из небольшой группы клеток. Однако, если принять эту теорию полностью, то возникает следующая проблема: эта теория предполагает, что расположение в мозгу подобных модулей может быть точно указано. Пока этого сделать не удалось, и некоторые данные, такие, например, как эксперименты Лашли, говорят против локализации. И все же, принимать окончательное решение еще рано. Могут существовать несколько копий одного модуля, расположенные в разных местах; кроме того, модули могут накладываться друг на друга. Обе эти возможности затруднили бы четкое разделение нейронов на группы. Может быть, нейронные комплексы подобны очень тонким блинчикам, уложенным слоями, которые иногда проходят друг сквозь друга — а может быть, они похожи на длинных змей, закрученных друг вокруг друга, и иногда сплющенных, наподобие головы кобры. Они могут быть похожи на паутину — или на электрические цепи, в которых сигналы перемещаются по траекториям, более причудливым, чем погоня голодной ласточки за комаром. Пока мы этого не знаем. Возможно даже то, что эти модули являются скорее программой, чем частью аппаратуры — мы обсудим эту возможность в дальнейшем.

В связи с этими гипотетическими нейронными комплексами возникает множество вопросов. Например:

Распространяются ли они на низшие районы мозга, такие, как средний мозг, гипоталамус, и т. д.?

Может ли один и тот же нейрон принадлежать более, чем к одному комплексу?

К скольким комплексам может одновременно принадлежать один и тот же нейрон?

Сколько нейронов могут одновременно принадлежать к разным комплексам?

Совпадают ли комплексы в мозгах разных людей?

Находятся ли соответствующие комплексы в одинаковом месте в мозгах разных людей?

Перекрещиваются ли они одинаковым образом у разных людей?

С философской точки зрения самым важным вопросом является следующий: что означало бы наличие подобных модулей, например, клетки-бабушки? Обеспечило ли бы это более глубокое понимание нашего сознания? Или это знание приблизило бы нас к пониманию сознания не более, чем тот факт, что наш мозг состоит из нейронов и глий? Читая «Муравьиную фугу», вы, возможно, догадались, что мне кажется, что такое знание далеко продвинуло бы нас в понимании феномена сознания. Важнейшим шагом здесь является переход от описания состояния мозга на низшем уровне, нейрон за нейроном, к описанию этого состояния на высшем уровне, модуль за модулем. Или, возвращаясь к выразительной терминологии «Муравьиной фуги», мы хотим перенести описание состояния мозга с уровня сигналов на уровень символов.

В дальнейшем давайте называть эти гипотетические нейронные комплексы, нейронные модули, нейронные группы, нейронные сети и мультинейронные единицы символами, как бы они не выглядели — как блинчики, грабли, гремучие змеи, снежинки или даже как волны на воде. Описание состояния мозга в терминах символов уже было упомянуто в Диалоге. На что походило бы подобное описание? Какие типы понятий можно представить себе в виде символов? Каким образом подобные символы были бы связаны между собой? И как вся эта картина поможет нам понять, что такое сознание?

Во-первых, важно подчеркнуть, что символы бывают либо дремлющие, либо активированные. Активированный символ — это тот, нейроны которого возбудились, когда внешние стимулы превысили определенный порог. Поскольку символ может быть возбужден различными способами, став активным, он может действовать по-разному. Это значит, что мы должны думать о символе не как о застывшей, но как о меняющейся, динамической единице. Таким образом, описывая состояние мозга, недостаточно сказать «символы А, В,… N в данный момент активны»; вместо этого необходимо представить набор параметров для каждого активного символа, характеризуя некоторые аспекты того, как этот символ работает «изнутри». Интересен следующий вопрос: есть ли у каждого символа некие центральные нейроны, посылающие сигналы каждый раз, когда символ активизируется? Если такая «сердцевина» существует, мы могли бы называть ее «неизменной сердцевиной» символа. Соблазнительно предположить, что каждый раз, когда вы думаете, скажем, о водопаде, повторяется некий один и тот же нейронный процесс, хотя и видоизмененный немного в зависимости от контекста. Однако неясно, так ли это происходит на самом деле.

Что происходит, когда символ «просыпается»? Описывая этот процесс на низшем уровне, мы сказали бы, что возбуждаются многие из его нейронов. Однако подобные описания нас больше не интересуют. Описание на высшем уровне должно полностью игнорировать нейроны и сосредотачиваться исключительно на символах. Таким образом, на высшем уровне описание активного символа, в отличие от его дремлющего собрата, было бы следующим: «Он посылает сигналы, призванные разбудить, или активизировать, другие символы.» Разумеется, эти послания будут передаваться в виде потока нервных импульсов именно нейронами, но мы постараемся не использовать эту терминологию, чтобы избежать описания на низшем уровне. Иными словами, мы надеемся описать мыслительные процессы как отделенные непроницаемой переборкой от нейронных событий, так же, как поведение часов отделено от законов квантовой механики, или биология клетки — от законов кварков.

Какие же преимущества предоставляет нам подобное описание на высшем уровне? Почему лучше сказать «Символы А и В активировали символ С», чем «Нейроны с 183 по 612 возбудили нейрон 75, и тот послал сигнал»? На этот вопрос мы уже ответили в «Муравьиной фуге»: это лучше, потому что символы символизируют вещи, а нейроны — нет. Символы — отражения понятий в аппаратуре мозга. В то время, как возбуждение группой нейронов какого-то другого нейрона не соответствует никакому внешнему событию, активацию символов другими символами можно соотнести с событиями в реальном (или придуманном) мире. Символы соотносятся друг с другом при помощи посланий таким образом, что схема их возбуждения весьма напоминает действительные события, происходящие в масштабе реального мира, или могущие произойти в мире воображаемом. По сути, значение возникает здесь таким же образом, как оно возникало в системе pr — при помощи изоморфизма; только тут этот изоморфизм несравненно сложнее, тоньше, деликатнее и интенсиональнее.

Кстати, требования, чтобы символы были способны передавать сложные сообщения, вероятно, достаточно, чтобы исключить возможность того, что эту роль играют нейроны. Поскольку нейрон может посылать информацию только единственным путем и не может по желанию менять направление сигналов, у него просто не хватает мощи и гибкости, необходимых символу, чтобы действовать подобно объекту реального мира. В своей книге «Общества насекомых» Е. О. Вильсон высказывает похожую мысль о том, как сообщения распространяются внутри муравьиных колоний:

(Массовая коммуникация определяется как передача от группы к группе той информации, которую один индивид не способен передать другому.)[32]

Кажется, что сравнение мозга с муравьиной колонией не так уж плохо! Следующий, очень важный вопрос касается природы и «размера» понятий, представленных в мозгу символами. О природе символов возникают такие вопросы: существует ли один символ для общего понятия водопада, или же разные символы для разных типов водопадов? Или верно и то и другое? О «размере» символов возникают такие вопросы: существует ли символ для целого рассказа? Или мелодии? Или шутки? Или же символы существуют на уровне слов, а фразы и предложения выражаются при помощи последовательной активации различных символов?

Рассмотрим проблему размера символов подробнее. Большинство мыслей, выраженных в предложениях, состоят из основных, сравнимых с атомами компонентов, которые мы дальше не анализируем. Обычно эти компоненты бывают размером со слово, иногда немного длиннее, иногда немного короче. Существительное «водопад», название «Ниагарский водопад», глагольный суффикс «-л», отмечающий прошедшее время, выражение «добро пожаловать», как и более длинные идиоматические выражения, являются примерами языковых атомов. Все это типичные мазки, которыми мы рисуем портреты более сложных понятий, таких, как сюжет фильма, обаяние города, природа сознания, и так далее. Подобные сложные идеи нельзя сравнить с отдельными мазками кисти. Кажется разумным предположить, что мазки языка — это также и мазки мысли, и что символы представляют понятия приблизительно такого же размера. Таким образом, символ — это нечто такое, для чего вы знаете слово, или готовую фразу, или с которым вы ассоциируете какое-либо имя собственное. Представлением же в мозгу более сложной идеи, такой, как неприятность в личной жизни, будет активация нескольких символов другими символами.

Описывая мышление, мы отмечаем общее различие между категориями и индивидуумами, или классами и примерами. (Иногда также используются термины «типы» и «образцы».) С первого взгляда может показаться, что каждый символ должен обязательно представлять либо класс, либо пример — но это слишком большое упрощение. На самом деле, большинство символов могут представлять и то, и другое, в зависимости от контекста, в котором происходит их активация. Взгляните, например, на список приведенный ниже:

(1) печатное издание

(2) газета

(3) «Вечерняя Москва»

(4) Экземпляр «Вечорки» от 3 мая

(5) Мой экземпляр «Вечорки» от 3 мая

(6) Мой экземпляр «Вечорки» от 3 мая, в тот момент, когда я его купил (по сравнению с тем, каким он стал, полежав под плошкой с кошачьей едой).

Здесь строчки со второй по пятую играют обе роли. Строчка 4 — пример общего класс строчки 3, и строчка 5 — пример строчки 4. Строчка 6 — это особый случай примера данного класса: проявление. Разные состояния одного и того же предмета в разные моменты его жизни — это его проявления. Интересно было бы узнать, понимают ли коровы, что веселый фермер, скармливающий им каждое утро щедрую порцию сена — это один и тот же индивидуум, несмотря на его разные проявления?

Приведенный список кажется списком иерархии общности — на вершине находится весьма широкая концептуальная категория, а внизу — скромная конкретная вещь, локализованная во времени и пространстве. Однако идея о том, что «класс» должен обязательно быть очень широким и абстрактным, слишком ограничена. Дело в том, что наше мышление пользуется хитроумным принципом, который можно назвать принципом прототипа:

Любой частный случай может служить примером некого класса случаев.

Каждый знает, что отдельные события бывают настолько впечатляющими, что они надолго остаются в памяти и могут впоследствии служить моделями событий, в какой-то мере на них похожих. Таким образом, в каждом специфическом случае заложено семя целого класса подобных случаев. Идея о том, что в частном заложено общее, очень важна.

Возникает естественный вопрос: что представляют собой символы в мозгу, классы или примеры? Есть ли символы, представляющие исключительно классы, в то время как другие символы представляют только примеры? Или один и тот же символ может быть то символом класса, то символом примера, в зависимости от того, какие его части были активизированы? Последняя теория кажется привлекательной; можно предположить, что «слегка» активизированный символ может представлять класс, в то время как более глубокое и сложное возбуждение вызовет большее количество внутренних нейронных сигналов, и, следовательно, символ будет представлять частный пример. Однако если подумать хорошенько, это довольно странная идея: это означало бы, что активизировав символ «печатное издание» достаточно глубоко, можно прийти к сложному символу, соответствующему газете, лежащей под плошкой с минтаем для кошки Муськи. И что любое возможное проявление любого печатного издания может быть представлено в мозгу путем активации одного и того же символа «печатного издания». Это, пожалуй, слишком тяжелая ноша для одного единственного символа. Следовательно, можно заключить, что бок о бок с символами классов должны существовать и символы примеров, и что последние — не просто разные способы активации символов класса, но самостоятельные единицы.

С другой стороны, символы-примеры часто наследуют многие черты от классов, к которым эти примеры принадлежат. К примеру, если я скажу вам, что видел какой-нибудь фильм, вы начнете производить свежий символ для данного фильма; однако за отсутствием достаточной информации, вам придется опираться на уже существующий у вас символ-класс «фильм». Подсознательно вы будете предполагать, что фильм продолжался от одного до трех часов, что он показывался в местном кинотеатре, что в нем рассказывалась история о каких-то людях, и так далее. Эти предположения «встроены» в символ класса и служат для связи его с другими символами (возможности возбуждать другие символы); это, говоря на компьютерном жаргоне, параметры, выбираемые по умолчанию или стандартный выбор. В любом новоиспеченном символе-примере эти параметры легко можно обойти; однако если это не оговорено специально, они будут унаследованы новым символом от символа-класса. Если эти параметры специально не исключены, они дадут вам предварительную информацию, чтобы представлять новый пример — например, фильм, который я посмотрел — с помощью вероятных допущений, основанных на неком «стереотипе», или символе-классе.

Новый символ-пример похож на ребенка, у которого еще нет собственных идей и опыта — он старается имитировать родителей, надеясь во всем на их опыт и мнения. Но постепенно он приобретает собственный опыт и неизбежно начинает отдаляться от родителей. Спустя некоторое время, ребенок превращается во взрослого. Подобно этому, новорожденный символ-пример может постепенно отойти от класса-родителя и превратиться в самостоятельный класс, или прототип.

Чтобы лучше понять, как это происходит, представьте себе, что однажды вечером вы включаете радио и слышите трансляцию футбольного матча между незнакомыми вам командами. Сначала вы не знаете имен игроков ни в одной команде. Когда комментатор говорит: «Голяшкина сбивают с ног в тот момент, когда он собирался бить по воротам», вы понимаете только то, что одного из игроков незаконно атаковали. В вашей голове при этом активизируется символ класса «футболист», одновременно с символом «грубое действие». Затем, слыша фамилию Голяшкина еще несколько раз, вы начинаете создавать для него специальный символ, возможно, используя его имя как опорный пункт. Этот символ зависит, как ребенок, от символа-класса «футболист»; рождающийся у вас образ Голяшкина основан на вашем стереотипе футболиста, заложенном в соответственном символе. Но постепенно, пока вы слушаете репортаж, у вас накапливается новая информация о Голяшкине, и его символ становится все более независимым, меньше и меньше нуждаясь в возбуждении символа класса-родителя. Это может произойти за несколько минут, если Голяшкин отличится, сделав несколько удачных пасов и забив гол. Его товарищи по команде, однако, могут быть все еще представлены активацией класса-символа. Через несколько дней, после того, как вы прочитали несколько отчетов о матче, пуповина рвется, и Голяшкин может стоять на своих двоих. Теперь вы знаете, из какого он города и в какой команде играл раньше, узнаете его лицо, и так далее. В этот момент, Голяшкин для вас уже не абстрактный игрок, но человек, профессия которого — футболист. Символ «Голяшкин» может быть активным, в то время как его родитель, символ-класс «футболист», может оставаться в пассивном состоянии. Когда-то символ «Голяшкин» был спутником, вращавшимся вокруг материнского символа, подобно тому, как искусственные спутники кружатся по орбите вокруг Земли, которая намного больше и массивнее их. Затем наступила промежуточная стадия, когда один символ был важнее другого, но при этом их можно было рассматривать как вращающиеся друг вокруг друга — что-то вроде Земли и Луны. Наконец, новый символ становится автономным и может в свою очередь служить символом-классом, вокруг которого могут начать кружиться новые спутники — символы, возникающие у других людей, не знакомых с Голяшкиным. Он может служить временным стереотипом — пока у них не появится больше информации, и их символы-спутники также не станут независимыми.

Эти этапы роста и отделения примера от класса можно различить по тому, как связаны между собой задействованные символы. Без сомнения, иногда будет очень трудно с уверенностью сказать, где начинается один символ и где кончается другой. Насколько «активен» какой-либо символ по сравнению с другим? Если они могут быть возбуждены отдельно друг от друга, то мы по праву можем называть их независимыми.

 Выше мы использовали метафору из области астрономии. Интересно то, что проблема движения планет весьма сложна; в действительности, общая проблема трех гравитационно взаимодействующих тел, таких, например, как Земля, Луна и Солнце, все еще не разрешена, даже после нескольких столетий поиска. Однако можно получить довольно точное приближение результата, когда одно из тел гораздо массивнее других (в нашем примере это Солнце). Тогда имеет смысл считать это тело неподвижным, а два других — вращающимися вокруг него; после этого можно учесть взаимодействие двух спутников между собой. Это приближение требует разбивания системы две части: Солнце и некий «блок» — систему Земля-Луна. Это, разумеется, только приближение, но оно помогает нам намного глубже понять всю систему. Так до какой же степени этот блок — часть реальности, и до какой степени он — измышление человеческого разума, наложение людьми определенной схемы на вселенную? Проблема «реальности» границ между «автономными» и «полуавтономными» блоками, как мы их воспринимаем, доставит нам немало забот, когда мы попытаемся соотнести эти понятия с символами в мозгу.

Весьма затруднительным вопросом, например, является вопрос о множественном числе. Как мы себе представляем, скажем, трех собак в чайной чашке? Или нескольких человек в лифте? Начинаем ли мы с символа-класса «собака» и затем снимаем с него три «копии»? Иными словами, используем ли мы символ «собака» как форму для отливки трех свежих символов-примеров? Или же мы одновременно активируем символы «собака» и «три»? Чем больше деталей мы добавляем к воображаемой сцене, тем менее приемлемыми кажутся обе эти теории. Скажем, у нас нет отдельного символа-примера для всех носов, усов или крупинок соли, которые мы когда-либо видели. Для таких множественных объектов мы пользуемся классами-символами; когда на улице мимо нас проходят люди с усами, мы активируем лишь класс-символ «усы», обычно не создавая при этом новых индивидуальных символов.

С другой стороны, как только мы начинаем различать людей, мы уже не можем опираться на общий символ-класс «человек». Очевидно, что необходимы отдельные символы-примеры для каждого отдельного человека. Смешно было бы воображать, что это может быть достигнуто путем «жонглирования» единственным символом, перебрасывая его между различными способами активации (по способу на каждого нового человека).

Между крайностями должно быть место для многих промежуточных случаев. Возможно, что в мозгу есть целая иерархия путей различения между классами и примерами, иерархия, порождающая символы — и организации символов — различной степени специфичности:

(1) несколько различных типов и степеней интенсивности активации символов-классов;

(2) одновременная согласованная активация нескольких символов-классов;

(3) активация одного символа-класса;

(4) активация одного символа-примера одновременно с активацией нескольких символов-классов;

(5) одновременная согласованная активация нескольких символов-примеров и символов-классов.

Это снова приводит нас к вопросу «когда символ является различимой подсистемой мозга?» Посмотрим, скажем, на второй пример — одновременная согласованная активация нескольких символов-классов. Вполне возможно, что именно это и происходит, когда мы рассматриваем понятие «соната для фортепиано» (при этом активируются по-крайней мере два символа: «фортепиано» и «соната»). Но если эта пара символов активируется вместе достаточно часто, то разумно предположить, что рано или поздно между ними установится такая тесная связь, что они начнут действовать как некая единица каждый раз, когда они активированы соответствующим образом. Таким образом, в соответствующих условиях два или более символов могут действовать как один — а это значит, что проблема подсчета символов в мозгу еще сложнее, чем нам казалось.

При некоторых условиях два ранее не связанных символа могут одновременно активироваться координированным путем. При этом они могут так подойти друг другу, что образуется новый символ, тесно связующий два прежних. Справедливо ли в таком случае утверждать, что новый символ «всегда был в мозгу, но до сих не был активирован» — или же мы должны сказать, что он только что «создан»?

Если это звучит для вас слишком абстрактно, давайте рассмотрим конкретный пример: Диалог «Крабий канон». При написании этого Диалога два существующих символа — «музыкальный канон-ракоход» и «словесный диалог» — должны были быть активированы одновременно и им пришлось взаимодействовать. Как только это произошло, остальное было почти неизбежно: родился новый символ-класс, который в дальнейшем мог активироваться самостоятельно. Был ли он в моем мозгу всегда, в пассивном состоянии? В таком случае то же должно быть верно для любого человека, в чьем мозгу когда-либо имелись составляющие символы, даже если новый символ-класс никогда не был там активирован. Тогда, чтобы подсчитать количество символов в мозгу любого человека пришлось бы учитывать все пассивные символы — все возможные комбинации и комбинации всех возможных типов активации всех известных символов. Это включало бы даже фантастические создания, которые наш мозг изобретает во время сна — странные смеси идей, которые просыпаются, когда их «хозяин» засыпает… Существование этих «потенциальных символов» показывает, что представлять мозг, как строго определенную коллекцию символов в хорошо определенных состояниях, было бы слишком большим упрощением. Точно охарактеризовать состояние мозга на уровне символов гораздо сложнее.

Думая о громадном и непрерывно растущем количестве символов в мозгу, вы можете задаться вопросом — а не наступит ли такой момент, когда мозг насытится, и в нем просто не окажется больше места для нового символа? Предположительно, такое могло бы произойти, если бы символы не пересекались и не накладывались бы один на другой — если бы данный нейрон никогда не выступал бы в разных ролях. Тогда символы были бы подобны людям в лифте: «Осторожно. максимальная вместимость 350 275 символов!»

Однако это вовсе не обязательная черта моделей функционирования мозга. На самом деле, пересечение и сложная связь символов между собой скорее являются правилом; вероятно, каждый нейрон, вместо того, чтобы быть членом единственного символа, функционирует, как часть сотен различных символов.

Это звучит немного тревожно — если дело обстоит именно так, почему бы тогда не считать, что каждый нейрон — часть каждого существующего символа? Если так, то символы было бы невозможно локализовать — каждый символ идентифицировался бы с целым мозгом. Это объяснило бы результаты, полученные Лашли при удалении частей коры головного мозга у крыс; однако нам пришлось бы отказаться от нашего первоначального намерения разделить мозг на отдельные физические подсистемы. Наша характеристика символов как «реализации понятий на уровне аппаратуры» оказывалась бы, в лучшем случае, слишком упрощенной. Ведь если бы каждый символ состоял из тех же нейронов, что и все остальные символы, то какой смысл был бы вообще говорить о различных символах? Какой была бы тогда «подпись» активации данного символа — иными словами, как можно было бы отличить активацию символа А от активации символа В? Не разрушило ли бы это всю нашу теорию? Даже если полного совпадения символов и не происходит, все же, чем больше они пересекаются, тем труднее будет нам поддерживать жизнь нашей теории. (Одна из возможностей пересечения символов представлена на рис. 68.)

Существует возможность спасти теорию, основанную на символах, даже когда те физически в значительной степени или даже полностью совпадают. Представьте себе поверхность пруда, на которой могут возникать самые различные типы волн. Аппаратура — сама вода — остается неизменной, но она может быть «возбуждена» по-разному. Подобные различные состояния — программы — одной и той же аппаратуры могут быть отличены друг от друга.

Предлагая эту аналогию, я не утверждаю, что все символы — не что иное, как различные типы «волн», распространяющихся в однородной нейронной среде, которая не может быть подразделена на физически различимые символы. Однако вполне возможно, что для того, чтобы отличить активацию одного нейрона от активации другого, важно не только локализовать эти нейроны, но и точно определить соответствующие моменты их активации. Какой нейрон активировался раньше, и насколько? Сколько сигналов в секунду послал данный нейрон? Таким образом, разные символы могут сосуществовать в одном и том же наборе нейронов — они характеризуются различными схемами активации. Разница между теорией, предполагающей физически различные символы, и теорией пересекающихся символов, различающихся друг от друга типом активации, в том, что первая предполагает реализацию понятий на уровне аппаратуры, а вторая — частично на уровне аппаратуры и частично на уровне программ.

Рис. 68. На этой схематической диаграмме нейроны изображены в виде точек на плоскости. Два пересекающиеся пути нейронов отмечены разными оттенками серого цвета. Может случиться так, что два независимых нейронных сигнала одновременно устремляются по этим путям, проходя друг сквозь друга, как две волны на поверхности пруда (Рис. 52). Это иллюстрирует идею о том, что два активных символа могут частично состоять из одних и тех же нейронов, которые могут быть активированы одновременно. (Из книги Джона К. Экклса «Лицом к лицу с реальностью» (John С. Eccles, «Facing Reality»), стр. 21.)

Итак, в наших попытках понять процессы мышления мы столкнулись с двумя основными проблемами. Одна состоит в том, чтобы понять, каким образом активация нейронов на низшем уровне вызывает активацию символов на высшем уровне. Другая проблема — в том, чтобы объяснить активацию символов на высшем уровне, не прибегая при этом к терминологии низшего, нейронного уровня. Если последнее возможно (как утверждает рабочая гипотеза, лежащая в основе большинства современных исследований по искусственному интеллекту), то интеллект может возникнуть и в других, отличных от мозга, типах аппаратуры. Таким образом, можно представить интеллект как характеристику, отделимую от аппаратуры, в которой она заключается — иными словами, интеллект был бы заключен не в аппаратуре, а в программе. Это означало бы, что явления сознания и интеллекта — это явления высшего порядка в том же смысле, как и многие другие сложные явления природы; они управляются своими законами высшего уровня, которые, разумеется, зависят от низшего уровня, но, тем не менее, могут быть от него отделены.

С другой стороны, если бы схемы активации символов оказались совершенно неосуществимыми без нейронов аппаратуры (или их симуляции), это означало бы, что интеллект неотделим от мозга, и что его гораздо труднее объяснить, чем какую-либо другую систему, основанную на иерархии законов на нескольких различных уровнях.

Вернемся к удивительному коллективному поведению, наблюдаемому в муравьиных колониях, поведению, в результате которого строятся огромные, сложные муравейники, хотя в приблизительно 100 000 нейронах муравьиного мозга почти наверняка не заложена никакая информация о структуре муравейника. Каким же образом, в таком случае, строится муравейник? Где находится нужная информация? Подумайте, например, над тем, где может находиться информация, необходимая для постройки арок, подобных тем что показаны на рис. 69. Она должна быть каким-то образом распространена по колонии, выражаясь в распределении каст, возрастов — а также, возможно, в физических характеристиках самого муравьиного тела. То-есть, взаимодействие между муравьями настолько же определяется их шестиногостью, размером, и т. п., насколько оно определяется информацией, хранящейся у них в мозгу. Возможно ли создать Искусственную Муравьиную Колонию?

Рис. 69. Конструирование арки термитами-рабочими Macrotermes bellicosus. Каждая колонна надстраивается путем добавления шариков, сделанных из земли и экскрементов. С внешней стороны левой колонны можно видеть термита откладывающего на колонну такой шарик Другие работники, уже поднявшие в челюстях шарики на верх колонны, укладывают их на растущих концах. Когда колонна достигает определенной высоты, термиты, видимо, ориентируясь по запаху начинают наращивать колонну под углом к соседней. Законченная арка показана на заднем плане. (Рисунок Турида Холлдоблера из книги Е. О. Вильсона «Общества насекомых» (Е. О. Wilson, «The Insect Societies») стр. 230)

Можно ли активировать один единственный символ не активируя при этом никаких других? Вероятно, нет. Подобно тому, как все вещи в мире существуют в контексте других вещей символы всегда пребывают в контакте с целыми созвездиями других символов. Это не означает, что символы невозможно отличить один от другого. Приведу простой пример в большинстве видов имеются мужские и женские особи, чьи роли тесно взаимосвязаны, однако это не значит что мужчину невозможно отличить от женщины. Каждый из них отражен в другом подобно стеклянным сферам в сети Индры. Рекурсивная связь функций F(n) и M(n) в главе V не мешает каждой функции иметь свои собственные характеристики. Связь между этими функциями сравнима с отношением между парой СРП вызывающих одна другую. Отсюда мы можем перейти к целой сети тесно взаимосвязанных схем — гетерархии взаимодействия рекурсивных процедур. Связи здесь настолько сильны что ни одна схема не может быть активирована в изоляции но при этом активация каждой схемы своеобразна и легко отличима от активации других схем. Кажется что сравнение мозга с колонией СРП не так уж плохо!

Таким же образом символы со всеми их сложными связями между собой прочно сцеплены друг с другом и тем не менее различимы. Возможно что для этого необходимо идентифицировать нейронную сеть или ту же сеть плюс тип активации или же что нибудь совершенно в другом роде. В любом случае если символы — части реальности то должен существовать способ их аккуратного отображения в мозгу. Однако если бы нам и удалось идентифицировать некоторые символы это еще не означало бы что их можно активировать по отдельности.

Способность производить примеры на основе классов и классы на основе примеров лежит в основе нашего интеллекта это одно из основных различий между процессом мышления человека и процессом мышления других животных. Конечно я сам никогда не принадлежал к другим видам и мне не приходилось испытывать на собственном опыте их способ мышления — но со стороны очевидно что никакой другой вид не формирует общие понятия как это делаем мы и не воображает гипотетические миры — варианты действительности помогающие нам принимать решения. Рассмотрим для примера, ставший знаменитым язык пчел — танцы возвращающихся в улей пчел-работников при помощи которых они сообщают своим собратьям о том где есть нектар. Хотя у каждой пчелы может иметься рудиментарный набор символов, которые активируются этим танцем, нет основания предполагать, что запас символов в пчелином мозгу может быть расширен. Пчелы и другие насекомые по видимому не умеют обобщать — то есть развивать новые символы классы на основе примеров, которые показались бы человеку почти идентичными.

Классический эксперимент с осами описан в книге Дина Вулдриджа «Механический человек» (Dean Wooldridge Mechanical Man):

Когда приходит время откладывать яйца, оса Sphex делает себе для этого нору и ищет сверчка, которого она жалит так чтобы не убить а парализовать. Она относит сверчка в нору, откладывает около него яйца закрывает нору и затем улетает чтобы никогда не вернуться. Через некоторое время из яиц вылупляются личинки осы, они питаются парализованным сверчком, который таким образом сохранялся свежим — нечто вроде осиного эквивалента холодильника. С человеческой точки зрения, подобные сложно организованные и кажущиеся целенаправленными действия убедительно говорят о логике и осмысленности — пока мы не обращаем внимание на некоторые детали. Например рутинные действия осы следующие: она относит парализованного сверчка к норе оставляет его у входа, заползает внутрь, проверить все ли в порядке, выходит наружу и лишь затем затаскивает сверчка в нору. Если отодвинуть сверчка на несколько сантиметров в сторону, пока оса занимается предварительным осмотром норы, она, выйдя наружу, снова подтащит сверчка к норе и оставит его на пороге, после чего она снова войдет в нору, проверить, все ли в порядке. Если снова отодвинуть сверчка на несколько сантиметров, пока оса внутри, она опять подтащит его к порогу и снова войдет проверять, все ли в порядке в норе. Она никогда не догадается затащить сверчка внутрь сразу. Однажды этот опыт был повторен сорок раз с тем же самым результатом.[33]

Кажется, что это поведение заложено в самой аппаратуре осиного мозга. В мозгу осы могут существовать рудиментарные символы, способные активировать друг друга; но там нет ничего похожего на человеческую способность видеть несколько примеров, как членов возможного класса и затем создавать этот символ-класс; нет там и ничего подобного человеческой способности спрашивать себя: «А что, если я сделаю так — что из этого получится в моем гипотетическом мире?» Этот тип мышления требует способности создавать символы-примеры и затем обращаться с ними так, словно они представляют предметы в реальной ситуации, хотя эта ситуация может никогда не возникнуть на самом деле.

Вернемся к первоапрельской шутке о взятой взаймы машине и к картинам, возникшим у вас в голове во время телефонного разговора. Для начала вы должны были активировать символы дороги, машины, человека за рулем. Понятие «дороги» весьма общее; у вас могут иметься в запасе некие «дремлющие» примеры, которые вы можете при случае вспомнить. «Дорога» — это скорее символ-класс, чем символ-пример. Слушая рассказ, вы быстро активируете символы, представляющие все более конкретные примеры. Например, когда вы слышите, что дорога была мокрая, вы представляете себе некую конкретную картину, хотя вы знаете, что настоящая дорога, где произошла авария, может весьма отличаться от той, что встает перед вашим мысленным взором. Однако это неважно; необходимо только, чтобы ваш символ достаточно хорошо вписывался в историю — то есть чтобы он, в свою очередь, мог активировать символы нужного типа.

По мере того, как рассказ продолжается, вы дополняете ваш мысленный образ дороги: там есть глубокий кювет, куда машина могла упасть. Значит ли это, что вы активируете символ «кювет» или что вы уточняете некоторые параметры в символе «дорога»? Без сомнения, верно и то и другое. Дело в том, что сеть нейронов, составляющих символ «дорога», может быть активирован разными путями, и вы выбираете, какая из его подсистем будет активирована в данный момент. Одновременно с этим, вы активируете символ «кювет», что, в свою очередь, влияет на способ активации символа «дорога», поскольку нейроны этих двух символов могут обмениваться сигналами друг с другом. (Это может показаться немного запутанным, поскольку я смешиваю здесь два уровня описания, пытаясь представить одновременно как символы, так и составляющие их нейроны.)

Не менее важными, чем имена существительные, являются глаголы, предлоги, и так далее. Они также активируют символы, которые начинают затем обмениваться сигналами. Схемы активации символов для глаголов и символов для имен существительных, разумеется, отличны друг от друга, что означает, что физически эти символы могут быть организованны по-разному. Например, символы для существительных могут быть расположены в каких-то определенных местах, в то время как символы для глаголов и предлогов могут иметь «щупальца» по всей коре; существует множество разных возможностей.

Когда рассказ окончен, вы узнаете, что вас разыграли, — все это было только шуткой. Наше умение производить символы-примеры на основе символов-классов, подобно тому, как мы можем получить изображение монетки, заштриховав положенную на нее бумагу, позволяет нам представлять ситуации, не будучи при этом рабами действительности. Тот факт, что одни символы могут служить базой для создания других символов, дает нам некую мысленную свободу от окружающей реальности; мы можем создавать искусственные вселенные, где возможны любые события, которые мы можем описать как угодно детально. Но при этом у символов-классов, на ветвях которых расцветают эти воображаемые цветы, глубокие корни в реальной жизни.

Обычно символы играют изоморфные роли по отношению к возможным событиям, хотя иногда активируются символы, представляющие невозможные ситуации, — например, туба, откладывающая яйца, или говорящая кошка. Граница между возможным и невозможным весьма нечетка. Воображая некое гипотетическое событие, мы приводим определенные символы в активное состояние и, в зависимости от того, насколько хорошо они взаимодействуют между собой (что, предположительно, отражается в том, насколько легко нам довести данную мысль до конца), мы говорим, что это событие «возможно» или «невозможно».

Таким образом, термины «возможно» и «невозможно» весьма субъективны. На самом деле большинство людей легко соглашаются с тем, какие события могут случиться и какие менее вероятны; это объясняется тем, что все мы имеем схожие структуры в мозгу. Однако существует пограничная зона, в которой субъективный характер воображаемых миров становится очевидным. Глубокое изучение того, какие именно воображаемые события люди считают «возможными» или «невозможными», пролило бы свет на поведение символов, лежащих в основе человеческой мысли.

Когда рассказ был окончен, у вас в голове сложилась детальная модель того, что случилось; все предметы в этой модели повинуются физическим законам. Это значит, что те же законы скрыто присутствуют в самой схеме активации символов. Разумеется, фраза «физические законы» не означает здесь физических законов в том виде, как они излагаются учеными; скорее, имеются в виду интуитивные, блочные законы, которым мы повинуемся с тем, чтобы выжить.

Интересно то, что мы можем по желанию выдумать целую серию событий, идущих вразрез с законами физики. Например, если я попрошу вас вообразить, что две машины, идущие навстречу друг другу, вместо того, чтобы столкнуться, проходят одна сквозь другую, вы представите себе соответствующую сцену без труда. Интуитивные физические законы могут быть «отменены» законами воображаемыми; но то, как это происходит, как рождаются в мозгу подобные последовательности событий — даже сама сущность всякого зрительного образа — все еще является для нас глубочайшей загадкой.

Нет нужды говорить, что в нашем мозгу существуют интуитивные законы, описывающие поведение не только неодушевленных предметов, но и растений, животных, людей и государств — иными словами, блочные законы биологии, психологии, социологии и так далее. Все внутренние представления подобных понятий с необходимостью включают черты блочных, обобщенных моделей: детерминизм здесь приносится в жертву ради простоты Наша модель реального мира способна предсказать только вероятность того или иного гипотетического события — но она не предсказывает ничего с точностью физики.

В науке об искусственном интеллекте различаются два типа знания: процедурное и декларативное. Знание называется декларативным, если оно хранится в памяти явно, так что к нему имеют доступ не только программист, но и сама программа его можно «прочитать», словно энциклопедию или альманах. Обычно это значит, что такое знание локализовано, а не распространено по всей памяти. С другой стороны, процедурное знание закодировано не в форме фактов, а в форме программ. Программист может взглянуть на них, и сказать: «Я знаю, что благодаря этим процедурам, программа „умеет“ писать русские предложения,» — но сама программа может понятия не иметь, как именно она это делает. Например, ее словарь может вообще не включать слова «русский», «предложение», и «писать»! Такое процедурное знание обычно разбросано по памяти в виде кусков, и на него невозможно указать пальцем. Это не отдельная деталь, но общее следствие работы программы. Иными словами, кусок процедурного знания — это эпифеномен.

У большинства людей, наряду с глубоким процедурным знанием грамматики их родного языка, существует более слабое декларативное представление о ней. Эти два типа знания могут легко вступать в конфликт; например, носитель языка может пытаться научить иностранца выражениям, которые он сам не стал бы употреблять, но которые находятся в согласии с декларативным «книжным представлением», которому его когда-то научили в школе. Интуитивные, блочные законы физики и других дисциплин, о которых мы упомянули выше, представляют собой в основном процедурное знание; тот факт, что у паука восемь ног — это в основном знание декларативное.

Между процедурным и декларативным существует множество переходных типов знания. Представьте себе, что вы пытаетесь вспомнить какую-то мелодию. Записана ли она у вас в мозгу нота за нотой? Сможет ли нейрохируг вынуть нервное волокно из вашего мозга и указать на нем, словно на магнитной ленте, каждую из последовательно записанных нот? Это означало бы, что мелодии хранятся в виде декларативного знания. Или же при попытке вспомнить мелодию в мозгу активируется множество символов, представляющих тональные соотношения, эмоциональные характеристики, ритмические особенности и так далее? Это означало бы, что мелодии хранятся в виде процедурного знания. На самом деле, возможно, что в записи мелодий в нашем мозгу участвуют оба эти типа знания.

Интересно то, что вспоминая мелодию, большинство людей не различают между возможными тональностями; им все равно, пропеть ли «В лесу родилась елочка» в до или в ми мажоре. Это означает, что в мозгу записаны не сами абсолютные тональности, а их соотношение. Однако у нас нет причин полагать, что это соотношение тональностей не может быть закодировано в декларативной форме. С другой стороны, некоторые мелодии запоминаются очень легко, в то время как другие никак не удается запомнить. Если бы все мелодии были закодированы в виде последовательности нот, сохранение в памяти любой мелодии должно было бы быть одинаково легким делом. Тот факт, что одни мелодии запоминаются легко, а другие — нет, указывает, по-видимому, на существование в мозгу неких хорошо знакомых нам схем, которые активируются, когда мы слышим ту или иную мелодию. Чтобы воспроизвести данную мелодию, эти схемы должны быть активированы в том же порядке. Это возвращает нас к символам, активирующим один другого, вместо простой линейной последовательности закодированных декларативным образом нот или тональностей.

Откуда мозгу известно, когда кусок знания закодирован декларативным образом? Вообразите, например, что вас спрашивают. «Сколько человек живет в Санкт-Петербурге?» Каким-то образом вам сразу приходит на ум число пять миллионов; при этом вам нет нужды спрашивать себя: «Батюшки, как же я их всех смогу подсчитать?» Теперь представьте себе, что я вас спрашиваю: «Сколько стульев стоит у вас в столовой?» Здесь происходит обратное: вместо того, чтобы пытаться вытащить ответ из вашей мысленной картотеки, вы либо идете в столовую и считаете там стулья, либо мысленно представляете себе столовую и считаете стулья в воображаемой столовой. Вопросы были одного типа — «сколько?..» — но один из них заставил вас вытащить «кусок» декларативного знания, в то время как другой привел в действие процедурный метод нахождения ответа. Этот пример показывает, что у нас есть знания о том, как мы классифицируем наши собственные знания; более того, некоторые из этих метазнаний в свою очередь могут быть закодированны процедурно, так что вы используете их автоматически, не отдавая себе отчета в том, как именно вы это делаете.

Одним из самых замечательных и трудно описуемых свойств сознания является его способность создавать зрительные образы. Как мы создаем мысленный образ нашей гостиной? Или бурного горного ручья? Или апельсина? Как нам удается создавать эти образы бессознательно — образы, которые дают нашим мыслям выразительность, цвет и глубину? С какого мысленного склада они достаются? С помощью какого волшебства нам удается смешивать два или три образа в один, даже не думая о том, как мы это делаем? Знания о том, как это делается, — один из самых ярких примеров процедурных знаний, поскольку мы почти ничего не знаем о том, что такое зрительные образы.

Возможно, что мысленные образы основаны на нашей способности подавлять моторную деятельность. Я имею в виду следующее: когда вы воображаете себе апельсин, в коре вашего мозга могут возникнуть команды взять его, понюхать, осмотреть, и так далее. Ясно, что эти команды не могут быть исполнены, поскольку апельсин находится только у вас в воображении. Но они могут быть направлены по обычным каналам в мозжечок или другие подсистемы мозга, пока в некий критический момент «мысленный кран» не закрывается, предотвращая действительное исполнение команд. В зависимости от того, насколько далеко расположен этот «кран», образы могут казаться более или менее жизненными и натуральными. В гневе мы легко можем вообразить, что хватаем какой-то предмет и швыряем его, или пинаем что-то, хотя на самом деле мы этого не делаем, но чувствуем, что были весьма близки к этому. Возможно, «кран» перекрыл нервные импульсы в самый последний момент.

Вот еще один способ различить между доступным и недоступным видами знания при помощи образов. Вспомните, как вы представляли себе машину, скользящую на мокрой горной дороге. Без сомнения, в вашем воображении гора рисовалась намного большей, чем машина. Почему это происходит? Потому ли, что когда-то вы заметили, что машины обычно бывают меньше, чем горы, запомнили это наблюдение, и воспользовались им, при восстановлении в вашем воображении данной истории? Маловероятное предположение. Или же это случилось благодаря невидимым нам взаимодействиям неких символов, активированных в вашем мозгу? Ясно, что последнее кажется гораздо более вероятным. Знание о том, что машины меньше гор — это не кусок запомненного материала; оно может быть получено дедуктивным путем. Следовательно, оно, скорее всего, закодировано не в одном единственном символе, а является результатом активации и последующего взаимодействия многих символов, таких, например, как «сравнивать», «размер», «гора», «машина» и других. Это означает, что знания хранятся в мозгу не явно, не в каких-либо определенных местах — скорее, они распространены по большим участкам коры. Такие простые факты, как размер предметов, должны быть «собраны по частям», а не просто вынуты из памяти. Итак, даже в знании, которое может быть выражено словами, есть некие сложные, недоступные нашему взгляду процессы, которые подготавливают это знание к тому моменту, когда оно сможет быть выражено словесно.

Мы продолжим исследование объектов под названием «символы» еще в нескольких главах. В главах XVIII и XIX, посвященных искусственному интеллекту, мы будем говорить о возможных способах включения активных символов в программы. В следующей главе мы рассмотрим объяснения, которые модель мозговой деятельности, основанная на символах, предлагает сравнению мозгов разных людей.

By Lewis Carroll [34]…

… et Frank L. Warrin [35]…

… und Robert Scott [36]…

… и Д. Г. Орловской.

'Twas brillig, and the slithy toves
Did gyre and gimble in the wabe:
All mimsy were the borogoves,
And the momeraths outgrabe.

Il brilgue: les tôves lubricilleux
Se gyrent en vrillant dans le guave.
Enmimés sont les gougebosqueux
Et le momerade horsgrave.

Es brillig war. Die schlichten Toven
Wirrten und wimmelten in Waben;
Und aller mumsige Burggoven
Die mohmen Rath' ausgraben.

Воркалось. Хливкие шорьки
Пырялись по наве,
И хрюкотали зелюки,
Как мюмзики в мове.

«Beware the Jabberwock, my son!
The jaws that bite, the claws that catch!
Beware the Jubjub bird, and shun
The frumious Bandersnatch!»

«Garde-toi du Jaseroque, mon fils!
La gueule qui mord; la griffe qui prend!
Garde-toi de l'oiseau Jube, évite
Le frumieux Band-à-prend!»

»Bewahre doch vor Jammerwoch!
Die Zahne knirschen, Krallen kratzen!
Bewahr' vor Jubjub-Vogel, vor
Frumiosen Banderschnätzchen!«

«О бойся Бармаглота, сын!
Он так свирлеп и дик,
А в глуще рымит исполин —
Злопастный Брандашмыг.»

He took his vorpal sword in hand:
Long time the manxome foe he sought —
So rested he by the Tumtum tree,
And stood awhile in thought.

Son glaive vorpal en main, il va-
T-à la recherche du fauve manscant;
Pius arrivé à l'arbre Té-té,
Il у reste, réfléchissant.

Er griff sein vorpals Schwertchen zu,
Er suchte lang das manchsam' Ding;
Dann, stehend unterm Tumtum Baum,
Er an-zu-denken-fing.

Но взял он меч, и взял он щит,
Высоких полон дум,
В глущобу путь его лежит,
Под дерево Тумтум.

And, as in uffish thought he stood,
The jabberwock, with eyes of flame,
Came whiffling through the tulgey wood,
And burbled as it came!

Pendant qu'il pense, tout uffusé,
Le Jaseroque, à l'oeil flambant,
Vient siblant par le bois tullegeais,
Et burbule en venant.

Als stand er tief in Andacht auf,
Die Jammerwochen's Augen-feuer
Durch turgen Wald mit Wiffek kam
Ein burbelnd Ungeheuer!

Он встал под дерево и ждет,
И вдруг граахнул гром —
Летит ужасный Бармаглот
И пылкает огнем!

One, two! One, two! And through and through
The vorpal blade went snicker-snack!
He left it dead, and with its head
He went galumphing back.

Un deux, un deux, par le milieu,
Le glaive vorpal fait pat-à-pan!
Le bête défaite, avec sa tête,
Il rentre gallomphant.

Eins, Zwei! Eins, Zwei! Und durch und durch
Sein vorpals Schwert zerschnifer-schnuck,
Da blieb es todt! Er, Kopf in Hand,
Gelaumfig zog zuruck.

Раз-два! Раз-два! Горит трава,
Взы-взы — стрижает меч.
Ува! Ува! И голова
Барабардает с плеч.

«And hast thou slain the Jabberwock?
Come to my arms, my beamish boy!
О frabjous day! Callooh! Callay!»
He chortled in his joy.

«As-tu tué le Jaseroque?
Viens à mon coeur, fils rayonnais!
Ô jour frabbejais! Calleau! Callai!»
Il cortule dans sa joie.

»Und schlugst Du ja den Jammerwoch?
Umarme mich, mein Bohm'sches Kind!
О Freuden-Tag! О Halloo-Schlag!«
Er schortelt froh-gesinnt.

О, светозарный мальчик мой,
Ты победил в бою!
О, храброславленный герой,
Хвалу тебе пою!

'Twas brilhg, and the slithy toves
Did gyre and gimble in the wabe:
All mimsy were the borogoves,
And the momeraths outgrabe.

Il brilgue: les tôves lubncilleux
Se gyrent en vrillant dans le guave.
Enmimés sont les gougebosqueux
Et le momerade horsgrave.

Es brillig war. Die schlichten Toven
Wirrten und wimmelten in Waben;
Und aller mumsige Burggoven
Die mohmen Rath' ausgraben.

Воркалось. Хливкие шорьки
Пырялись по наве,
И хрюкотали зелюки,
Как мюмзики в мове.

Теперь, когда мы выдвинули предположение о существовании в мозгу активных подсистем высшего уровня (символов), мы можем вернуться к вопросу о возможном изоморфизме, полном или частичном, между двумя мозгами. Вместо изоморфизма на нейронном уровне (которого наверняка не существует), или на макроскопическом уровне составляющих мозг органов (который наверняка существует, но не говорит нам многого), мы попытаемся найти изоморфизм между мозгами на уровне символов, причем такой изоморфизм, который не только соотносит символы в одном мозгу с символами в другом мозгу, но также сопоставляет схемы активации этих символов. Это значит, что соответствующие символы в этих мозгах соотносятся соответствующим образом. Это было бы настоящим функциональным изоморфизмом — о нем мы уже говорили, пытаясь определить, что общего между различными бабочками.

С самого начала ясно, что стопроцентного изоморфизма между любой парой человеческих существ не существует, так как это означало бы, что мысли одного из них полностью совпадают с мыслями другого. Чтобы это было так, их память также должна быть идентичной — то есть они должны вести абсолютно одинаковую жизнь. Даже однояйцевые близнецы весьма далеки от такой идеальной ситуации.

А как насчет одного-единственного индивида? Когда вы перечитываете то, что сами написали несколько лет назад, то зачастую думаете: «Какой ужас!» — и улыбаетесь, удивляясь тому, какими когда-то были. Хуже того, иногда вы реагируете таким образом на то, что сказали или написали пять минут тому назад. Когда это происходит, это значит, что вы не совсем понимаете того человека, каким были несколько мгновений назад. Изоморфизм вашего мозга сейчас и вашего мозга тогда несовершенен. Как же тогда быть с изоморфизмом вашего мозга с мозгами других людей или других биологических видов?

Другую сторону медали представляет общение, которое иногда возникает между самыми несхожими собеседниками. Подумайте о барьерах, которые вы преодолеваете, читая строки стихов, написанные в тюремной камере Франсуа Вийоном, французским поэтом начала пятнадцатого века. Их создал другой человек, в другую эпоху, заключенный, говорящий на другом языке… Как можно ожидать, что его слова, переведенные на русский, вызовут у вас нужные ассоциации? И все же чувства Франсуа Вийона прорываются к вам сквозь все эти барьеры.

Таким образом, с одной стороны, мы можем оставить всякую надежду найти абсолютный изоморфизм между людьми; однако с другой стороны ясно, что некоторые люди мыслят более похоже, чем другие. Кажется естественным заключить, что между мозгами людей, которые мыслят схожим образом, существует некий частичный изоморфизм на уровне программ — в частности, изоморфизм между (1) репертуаром символов и (2) способами их активации.

Рис. 70. Крохотный фрагмент семантической сети автора.

Что же такое частичный изоморфизм? Это очень трудный вопрос, в частности, потому, что никто еще не сумел адекватно описать сети взаимосвязанных символов и схемы их активации. Иногда делаются попытки дать схематическое изображение небольшой части этой сети, где каждый символ представлен в виде узла, с входящими и исходящими ребрами. Эти линии иллюстрируют возможность взаимного возбуждения. Подобные схемы — это попытка отобразить интуитивно возникающую у нас идею «близости понятий». Однако существуют различные типы близости, которые выходят на первый план в зависимости от различных контекстов. Крохотный фрагмент моей собственной «семантической сети» показан на рис. 70. Проблема заключается в том, что практически невозможно представить сложную взаимную зависимость множества символов всего лишь при помощи нескольких линий, соединяющих узлы.

Другая проблема с подобными диаграммами заключается в том, что неверно думать, что символ может быть лишь в одном из двух состояний — активном или пассивном. То, что верно на уровне нейронов, не распространяется на их группы — символы. Символы гораздо сложнее нейронов — что естественно, поскольку каждый символ состоит из множества отдельных нейронов. Сообщения, которыми обмениваются символы, — это не простая информация типа «Я активирован»; такая связь принадлежала бы, скорее, уровню нейронов. Каждый символ может быть активирован множеством различных способов, и именно способ активации определяет то, какие символы он попытается в свою очередь активировать. Неясно, однако, каким образом эти сложные взаимосвязи могут быть представлены на схеме и возможно ли это вообще.

Но давайте представим на минутку, что эта проблема решена. Предположим, что мы согласны, что существуют некие рисунки узлов, соединенных между собой таким образом, что получившаяся картина верно отображает схему активации символов (пусть эти соединительные линии будут разноцветными, чтобы отразить различные типы активации). Когда можно считать, что два изображения изоморфны между собой? Поскольку мы имеем здесь дело с наглядным изображением сети символов, давайте обратимся к аналогичной зрительной проблеме Каким образом вы можете определить, сплетены ли две различные паутины пауками одного и того же вида? Будете ли вы пытаться найти точное соответствие между отдельными вершинами, сравнивая одну паутину с другой вершина за вершиной, нить за нитью, даже угол за углом? Это было бы пустой тратой времени. Две паутины никогда не совпадают точно, и все же существует некий «стиль», «форма», которая безошибочно указывает на работу пауков одного и того же вида. В любой сетеобразной структуре, скажем, такой, как паутина, можно различить глобальные и местные черты. Чтобы заметить местные черты, надо рассматривать паутину вблизи: такой близорукий наблюдатель может увидеть только одну вершину одновременно. Наоборот, чтобы увидеть глобальные черты, надо охватить взглядом сразу всю паутину. Таким образом, общая форма паутины — это глобальная черта, а количество паутинок, исходящих из каждой вершины — местная черта. Предположим, что мы решили считать две паутины «изоморфными», если они сплетены пауками одного вида. Какие черты — глобальные или местные — послужат для нас более надежным критерием определения изоморфности двух паутин? Вместо того, чтобы пытаться ответить на вопрос о паутинах, давайте вернемся к вопросу о близости (или, если хотите, «изоморфизости») двух сетей символов.

Представьте себе людей, чьими родными языками являются, соответственно, английский, французский, немецкий и русский — все они прекрасно владеют своими языками и любят игру слов Как вы думаете, схожи ли сети символов у них в мозгах на глобальном, или на местном уровнях? Имеет ли вообще смысл задаваться подобным вопросом? Однако вопрос становится конкретным, когда вы рассматриваете разные переводы знаменитого стихотворения «Jabberwocky» Льюиса Кэрролла.

Я выбрал этот пример потому, что он, возможно, лучше, чем обыкновенные тексты, иллюстрирует проблему нахождения «того же самого узла» в двух различных системах, которые в определенном смысле крайне неизоморфны. В обыкновенном языке задача переводчика гораздо проще, поскольку для каждого слова или фразы на языке оригинала обычно можно найти их соответствие на новом языке. С другой стороны, в поэме подобного типа многие «слова» не имеют собственного значения, они лишь активируют близлежащие символы. Однако то, что близко в одном языке, может лежать весьма далеко в другом.

Так, в голове англоговорящих читателей придуманное слово «slithy», скорее всего, активирует символы «slimy» (слизистый, скользкий), «slither» (скользить), «slippery» (увертливый, скользкий), «lithe» (гибкий) и «sly» (хитрый, ловкий).

Рождает ли «lubricilleux» подобные ассоциации в мозгу француза? И что вообще означает в данном случае «подобные ассоциации»? Активация символов, соответствующих переводам всех этих слов? А если во французском не окажется такого термина, реального или даже выдуманного? Или же найденное слово будет ученого, латинизированного вида («lubricilleux»), в отличие от разговорного английского «slithy»?

Интересная черта французского перевода — это употребление в нем настоящего времени. Чтобы сохранить прошедшее время, пришлось бы вставить во французский текст довольно неуклюжие конструкции, кроме того, настоящее время звучит гораздо более живо. Переводчик интуитивно почувствовал, что это будет более соответствовать духу оригинала. Кто мог бы с уверенностью сказать, что было бы лучше сохранить прошедшее время оригинала?

В немецком варианте мы находим забавную фразу «er an-zu-denken-fing», которая не соответствует ничему в английском оригинале. Это игривая перестановка слов, что-то вроде английского «he out-to-ponder set» или русского «и думался-он-за», если я могу позволить себе обратный перевод. Скорее всего, на этот потешный перевертыш переводчика вдохновила забавная инверсия в предыдущей строке оригинала «So rested he by the Tumtum tree» В одно и то же время этот перевод и соответствует оригиналу, и далек от негою

Кстати, почему «Tumtum tree» оказалось заменено во французском переводе на «arbre Тé-Тé»? Предоставляю читателю догадаться самому.

Слово «manxome» в оригинале, которому звук «x» сообщает множество богатых нюансов значения, неубедительно переведено по-немецки как «manchsam», что можно перевести обратно на английский словом «maniful». Французскому «manscant» также недостает разнообразных обертонов Кэрроллова «manxome».

Русский вариант отходит от оригинала дальше, чем все остальные. Хотя в нем сохраняется как размер, так и приблизительное количество забавных неологизмов, эти неологизмы фонетически совершенно не похожи на английские. Эти слова-нелепики, пожалуй, вызывают у читателя «Бармаглота» более определенные образы, чем их английские аналоги — у читателя «Jabberwocky», поскольку каждое из этих слов может активировать лишь небольшое количество символов. Так, вместо пяти символов, «соответствующих» слову «lithy», «хливкий» напоминает нам прежде всего о слове «хлипкий» — и только с некоторой натяжкой можно было бы упомянуть еще о «ловком», «склизком» и «липком». «Шорьки» — что-то вроде сказочных хорьков. Большинство неологизмов представляют собой прозрачную комбинацию из двух слов: хрюкотали = хрюкали и клекотали (или, может быть, «хохотали»), свирлеп = свиреп и нелеп, граахнул = грохнул и ахнул. Главное соответствие оригиналу заключается, пожалуй, в общем ощущении «Зазеркалья» — слегка измененной действительности, ставшей от этого волшебной.

Сталкиваясь с подобным примером, мы понимаем, что точный перевод оригинала здесь абсолютно невозможен. Однако даже в таком патологически трудном случае можно достичь приблизительного соответствия. Как это возможно, если между мозгами разноязыких читателей нет изоморфизма? На самом деле, между мозгами людей, читающих все четыре стихотворения, все же существует некий приблизительный изоморфизм, частично на глобальном и частично на местном уровнях.

Некоторое понятие о подобном почти-изоморфизме может дать забавная географическая фантазия. (Этот пример слегка похож на географическую аналогию, приведенную М. Мински в его статье о «рамках», опубликованной в книге П. Г. Винстона «Психология компьютерного зрения» (P.H. Winston, «The Psychology of Computer Vision»).) Представьте себе, что вам дали странную карту Российской Федерации, на которой отмечены все черты рельефа — горы, реки, озера и так далее — но нет ни одного названия. Реки показаны как голубые линии, горы — как цветные пятна и так далее. Вы должны превратить эту немую карту в дорожный атлас для путешествия, которое вам предстоит совершить. Вам надо отметить на карте границы и названия всех областей, все районы, города, деревни, шоссе, аэропорты, достопримечательные места и так далее. Получившаяся карта должна быть так же детальна, как хороший дорожный атлас. При этом вы не можете пользоваться никакими материалами и должны делать все по памяти.

Вам говорят, что в ваших интересах сделать карту как можно более точной — а почему, вы поймете позже. Разумеется, вы начнете с того, что знаете лучше всего — области и большие города. Когда вы исчерпаете все свои знания, вам придется призвать на помощь воображение, чтобы хотя бы приблизительно показать особенности данной области. Вместо действительных данных, вы начнете заполнять карту воображаемыми городками, дорогами и парками… Этот кропотливый труд длится несколько месяцев; чтобы облегчить работу, вы призываете на помощь картографа, который красиво оформляет новую карту. Результатом этих титанических усилий будет ваша личная карта Фантастической России — «ФР».

Ваша ФР будет очень похожа на РФ в том месте, где вы родились и выросли Кроме того, в тех районах ФР, о которые вы что-то знаете из собственных путешествий или просто из интереса, будут иногда места, почти точно совпадающие с РФ. Например, несколько городов Поволжья и вся Московская область могут быть верно представлены на вашей карте.

Когда ваша ФР закончена, вас ожидает сюрприз. Словно по мановению волшебной палочки, страна на карте оживает, и вы переноситесь туда. Члены комитета по вашей встрече, дружески улыбаясь, дарят вам автомобиль, и объясняют: «В награду за ваши усилия, можете насладиться полностью оплаченным путешествием по фантастической матушке России. Можете ехать куда хотите, делать все, что вам заблагорассудится, и потратить на это столько времени, сколько вашей душеньке угодно — это подарок от Географического Общества ФР. И чтобы помочь вам ориентироваться в дороге, вот вам дорожный атлас.» Тут, к вашему удивлению, вам вручают не ту карту, которую вы составили, а… обыкновенный атлас РФ.

В пути вас ожидает множество забавных происшествий. Атлас ведет вас по стране, которая совпадает с ним только частично. Если вы будете держаться основных магистралей, возможно, вам удастся пересечь страну без особых проблем. Но как только вы заедете куда-нибудь в район Сыктывкара или Великого Устюга, вас наверняка будут ожидать приключения. Местные жители будут только пожимать плечами, не узнавая ни городов, ни дорог, о которых вы спрашиваете. Они будут знать только самые крупные города, но дороги туда, скорее всего, не совпадут с дорогами на вашей карте. Может оказаться, что города, которые местные жители считают огромными, будут вообще отсутствовать на вашей карте, или же их население будет отличаться там на целый порядок.

Почему ФР и РФ, различающиеся в таком количестве деталей, все же похожи между собой? Это происходит потому, что их основные города и магистрали могут быть отображены друг на друга. Разница между картами касается меньших городов, второстепенных дорог и так далее. Заметьте, что это не может быть названо ни местным, ни глобальным изоморфизмом. Некоторые районы совпадают до мельчайших деталей: например, в обеих Москвах на Красной площади стоит собор Василия Блаженного и Мавзолей; однако, вы можете не найти ни одного совпадающего города в Архангельских областях. Таким образом, дихотомия местного-глобального здесь не играет роли. Вместо этого, важна центральность городов в смысле населения, экономики, транспорта, сообщений и т. д. Чем важнее город, тем скорее вы найдете его как на карте РФ, так и на карте ФР.

В этой географической аналогии весьма важен один аспект: на обеих картах обязательно будут определенные абсолютные ориентиры, такие, например, как Москва, Санкт-Петербург, Черное море и т. д. Исходя из этого, вы сможете ориентироваться. Иными словами, начав сравнивать мою ФР с вашей, я смогу использовать известные нам обоим большие города, чтобы установить местонахождение меньших городов в моей ФР. Если я захочу проехать, предположим, из Тольятти в Актюбинск, и вы не знаете, где находятся эти города, я смогу сослаться на то, что у нас на картах совпадает, и, таким образом, помочь вам сориентироваться. Путешествие из Новгородской области в Самару может проходить по разным дорогам, но оно возможно в обеих странах. И если вы задумали съездить из Колтыша в Пряшву, я могу вообразить аналогичный маршрут на карте моей ФР, несмотря на то, что на ней нет городов с таких названием. Для этого вам придется ориентировать меня, описывая ваше местоположение по отношению к ближайшим большим городам, совпадающим на обеих картах. Мои дороги будут отличны от ваших, но даже с разными картами мы сможем добраться от одного места в стране до другого. Это происходит, благодаря внешним, заранее установленным геологическим фактам — горным цепям, рекам и т. д., которые были даны нам в начале работы над картами. Без них у нас не было бы никаких общих ориентиров. Например, если бы вам дали карту Украины, а мне — Казахстана, то, даже заполнив их со всеми подробностями, мы не смогли бы найти «одно и то же место» в наших воображаемых странах. Необходимо, чтобы исходные данные были одними и теми же — иначе совпадения будут невозможны.

Теперь, когда мы подробно рассмотрели нашу географическую аналогию, давайте вернемся к вопросу об изоморфизме между мозгами. Вы можете спросить, почему я придаю этому такое значение. Почему так важно, являются ли два мозга изоморфными, или почти изоморфными, или не изоморфными вообще? Ответ в том, что мы интуитивно чувствуем, что, хотя другие люди сильно отличаются от нас, они все же «такие же» как мы на неком глубоком и важном уровне. Было бы очень заманчиво найти эту неизменную квинтэссенцию человеческого интеллекта и затем описать все возможные «украшения», которые делают каждого из нас единственным и неподражаемым воплощением этого загадочного качества под названием «разум».

В нашей географической фантазии большие и маленькие города были аналогиями символов, а дороги — аналогиями возможных способов их взаимной активации. Тот факт, что все ФР имеют нечто общее (Волга, Уральские горы, Онежское озеро, многие большие города и магистрали и т. д.) аналогичен тому, что всем нам приходится по не зависящим от нас обстоятельствам создавать определенные символы-классы и дороги-связи между ними одинаковым образом. Эти центральные символы подобны большим городам, на которые каждый может сослаться без двусмысленности (Кстати, тот факт, что города — локализованные единицы, вовсе не означает, что символы в мозгу на самом деле являются маленькими, точкообразными единицами. Они просто символически представлены так в сети.)

В действительности, большая часть любой человеческой сети символов универсальна. Мы принимаем это сходство как должное, настолько к нему привыкнув, что нам уже трудно заметить, сколько у нас общего с другими людьми. Приходится сделать сознательное усилие, чтобы увидеть, как много — или мало — у нас общего с другими объектами, такими, как камни, машины, рестораны, муравьи и так далее, чтобы оценить то огромное сходство, которое существует между любыми выбранными наугад людьми. Мы не замечаем в другом человеке тех стандартных общих качеств, которые принимаем за должное, признавая его «человечность»; игнорируя это основное сходство, мы обычно находим важные различия, а иногда — неожиданное дополнительное сходство.

Иногда вы обнаруживаете, что у другого человека не хватает того, что вы считали стандартным минимумом — словно на его карте нет Санкт-Петербурга, хотя такое трудно себе представить. Например, кто-то может не знать, что такое слон, или кто сейчас президент России, или что Земля круглая. Сеть символов такого человека настолько отлична от вашей, что сколько-нибудь значительное общение между вами будет очень трудным. С другой стороны, тот же самый человек может разделять с вами какое-либо специальное знание — как, например, умение играть в преферанс. В таком случае, вы сможете прекрасно общаться в ограниченной области. Это было бы похоже на встречу двух земляков, скажем, из Кинельского района, их ФР в данном районе совпадают до мельчайших деталей, и они могут легко описать, как там добраться от одного села до другого.

Сравнивая нашу сеть символов с сетью француза или немца, мы надеемся найти у них некий похожий стандартный набор символов, несмотря на разницу в языках. Мы не думаем обнаружить сходства в высоко специализированных районах сети, но ведь такого сходства мы не ищем и у случайно выбранного носителя нашего родного языка! Пути активации символов у человека, говорящего на другом языке, будут чем-то отличны от наших, но при этом основные символы-классы и основные «дороги» между ними будут универсальны, таким образом, используя их как ориентиры, можно описать множество более мелких дорог.

А что, если каждый из этих трех людей говорит также и на двух других языках, причем без заметного акцента? В чем разница между действительным владением языком и способностью объясняться на нем? Прежде всего, русский человек использует большинство русских слов в согласии с их средней частотностью в языке. С другой стороны, человек, для которого русский язык не родной, запоминает из словарей, уроков или романов многие слова, которые когда-то могли использоваться очень часто, но сейчас уже устарели — например, «весьма» вместо «очень», «иной» вместо «другой» и тому подобное. Хотя мы понимаем такую речь без труда, в ней, тем не менее, присутствует оттенок «иностранности», объясняющийся необычным выбором слов.

Предположим теперь, что иностранец научится употреблять соответствующие слова примерно с той же частотой, что и мы. Будет ли его речь тогда звучать, как речь русского человека? Скорее всего, нет. Над уровнем слов существует уровень ассоциаций, связанный с культурой как целое — историей страны, ее географией, религией, детскими сказками, литературой, технологией и так далее. Например, чтобы по-настоящему бегло говорить на современном иврите, надо хорошо знать Библию на языке оригинала, поскольку в современном языке есть множество библейских фраз и аналогий. Подобная система ассоциаций глубоко заложена в каждом языке. Однако возможны бесконечные варианты беглости — иначе лучше всего на родном языке говорили бы люди, чьи мысли самые стереотипные!

Хотя мы должны признать, что на мышление в большой степени влияет культура, мы не должны переоценивать роль языка в формировании мыслей. Например, то, что мы можем назвать двумя «столами», для англичанина может быть объектами двух разных классов «table» и «desk» (стол и письменный стол). Люди, чей родной язык английский, острее, чем мы, воспринимают эту разницу, с другой стороны, люди, выросшие в деревне, острее воспринимают разницу между мерином и жеребцом, в то время как горожанин может назвать их одним словом — «конь». Разница в восприятии возникает из-за разницы не столько в языке, сколько в культуре (или субкультуре).

С полным основанием можно ожидать, что отношения между центральными символами людей, говорящих на разных языках, очень похожи, так как все они живут в одном и том же мире. Если при этом рассмотреть связи между символами более детально, то обнаружится, что на этом уровне сходства меньше, — словно вы сравниваете Рязанскую область на картах ФР, сделанных людьми, никогда под Рязанью не бывавшими. Однако, пока существует согласие по поводу основных городов и дорог, эти различия не столь важны, поскольку у всех карт есть общие ориентиры.

Не говоря об этом прямо, в аналогии с ФР я использовал понятие «мысли»: мысль соответствовала поездке, а города обозначали активированные символы. Хотя эта аналогия не совершенна, она довольно хорошо передает суть дела. Одна из проблем с подобной аналогией — это то, что когда одна и та же мысль приходит человеку в голову много раз, она может превратиться в единое понятие-блок. Это соответствовало бы престранному событию в ФР: часто предпринимаемая поездка превращалась бы каким-то образом в новый город! Если мы хотим продолжать пользоваться этой метафорой, нам необходимо помнить, что города представляют не только элементарные символы, такие как «трава», «дом» и «машина», но и символы, созданные в результате обобщающей, блочной способности мозга: символы таких сложных понятий как «крабий канон», «палиндром» или «ФР».

Решив, что понятие поездки достаточно близко соответствует понятию мысли, мы сталкиваемся со следующей проблемой: можно вообразить себе существование практически любой дороги, ведущей от одного города к другому, к третьему и так далее, если помнить, что она также пройдет через какие-то промежуточные города. Это будет соответствовать последовательной активации произвольного числа символов; при этом попутно будут активированы дополнительные символы, попадающиеся по дороге. Если верно, что практически любая последовательность символов может быть активирована в любом порядке, то может показаться, что мозг — вовсе не организованная система, и что он может усвоить и породить любую мысль. Однако все мы знаем, что это не так. В действительности, существует некий тип мыслей, который мы называем знанием или убеждениями — такие мысли весьма отличаются от случайных фантазий и забавных абсурдных миров. Как можно охарактеризовать разницу между мечтами, случайными мыслями, убеждениями и знаниями?

Некоторые дороги — вы можете представлять себе дороги либо в ФР, либо в мозгу — используются для путешествия из одного пункта в другой постоянно. По другим дорогам можно пройти только тогда, когда нас ведут за руку. Это — «вероятные дороги», по которым нас заставляют идти специальные обстоятельства. Те дороги, по которым мы уверенно идем снова и снова, представляют знание. Я имею здесь в виду не только знание фактов (декларативное знание), но и знание того, что с ними делать (процедурное знание). Эти устойчивые, надежные дороги и есть то, что мы называем знанием. Знания постепенно сливаются с убеждениями, тоже представленными надежными дорогами — с той разницей, что, возможно, эти дороги более подвержены изменениям (скажем, мы можем построить «мост», чтобы преодолеть какое-либо препятствие). Теперь остается объяснить фантазии, ложь и всевозможные нелепицы. Они будут соответствовать разным причудливым и нелепым дорогам, вроде путешествия из Санкт-Петербурга в Москву через Новосибирск, Самару и Архангельск. Разумеется, эти дороги тоже возможны, но они вряд ли станут проторенными путями.

Забавным и интересным следствием этой модели является то, что все «отклонения» мысли, которые мы только что рассмотрели, в основе своей состоят из знаний и убеждений. Иными словами, любой причудливый маршрут можно разбить на прямые, естественные отрезки пути, и эти отрезки, напрямую соединяющие города-символы, представляют простые и надежные мысли — наши убеждения и знания. Если подумать, то это неудивительно, поскольку вполне разумно, что все наши фантазии, какими бы странными они ни казались, основаны на действительном опыте. Сны и мечты, возможно, не что иное, как беспорядочные путешествия по ФР нашего мозга.

Стихотворение «Jabberwocky» подобно такому сумасбродному путешествию по ФР, следуя причудливому маршруту и перескакивая из одной области в другую. Переводы передают именно этот аспект стиха, а не точную последовательность активированных символов, хотя, конечно, переводчики стараются сделать в этом отношении все, что в их силах. В обычной прозе подобные прыжки и скачки случаются не так часто; однако и там переводчики иногда встречаются с подобными проблемами. Представьте себе, что, переводя некий роман с английского на русский, вы встречаете предложение, которое дословно переводится: «Она съела тарелку „Кампбелла“.» Однако немногие из читателей знают, что «Кампбелл» — это распространенная в Америке марка супов-полуфабрикатов. Можно попытаться исправить дело, заменив «Кампбелл» на знакомый читателю борщ. Если вы думаете, что я преувеличиваю, взгляните на первое предложение «Преступления и наказания» Достоевского, и затем на несколько английских переводов. Сравнив три различных перевода, я обнаружил следующую интересную ситуацию.

В первом предложении встречается название улицы — «С. переулок». Что это значит? Внимательный читатель Достоевского, хорошо знающий Санкт-Петербург, может изучить географию романа (тоже, кстати, данную инициалами) и обнаружить, что речь, скорее всего, идет о Столярном переулке. Достоевский, возможно, хотел, чтобы его история звучала реалистично, но не настолько, что люди буквально воспринимали адреса тех мест, где происходили события романа. Так или иначе, здесь переводчик сталкивается с проблемой, — точнее, с несколькими проблемами на разных уровнях.

Прежде всего, должен ли он сохранить сокращение, чтобы воспроизвести некий налет загадочности, появляющийся уже с первой строки книги? Результатом этого явилось бы «S. Lane» («lane» — стандартный перевод слова «переулок»). Ни один из трех переводчиков не пошел по этой дороге. Одним из решений, однако, было «S. Place» («place» — «местечко»). В переводе «Преступления и наказания», который я читал еще школьником, тоже было что-то подобное. Помню, как меня сбивали с толку все эти буквы вместо названий улиц. С самого начала книги у меня было какое-то неопределенное неприятное чувство по поводу начала книги; мне казалось, что я пропускаю что-то очень важное, но что именно — я не знал. Тогда я решил, что все русские романы — очень странная штука.

С другой стороны, переводчик мог бы быть откровенен с читателем (который, скорее всего, все равно не имеет понятия о том, выдумана ли эта улица или существует на самом деле!) и разделить с ним свои знания, написав «Stoliarny Lane» (или «Place»). Именно так решил второй переводчик, выбравший «Stoliarny Place».

А как насчет третьего перевода? Там мы читаем «Carpenter's Lane». Действительно, почему бы и нет? В конце концов, «carpenter» означает «столяр», а «s» здесь эквивалентно окончанию прилагательного, «-ный». Теперь читатель английского перевода романа может вообразить себя в Лондоне, а не в Петербурге, переживая ситуации, придуманные не Достоевским, а Диккенсом. То ли это, чего он хотел? Может быть, вместо этого лучше было бы прочесть роман Диккенса, имея в виду, что это — «соответствующее произведение по-английски»? На достаточно высоком уровне, его можно назвать «переводом» романа Достоевского — на самом деле, лучшим возможным переводом! Кому нужен какой-то Достоевский?

Как видите, перед переводчиком встает вопрос, следовать ли ему букве оригинала, его стилю или общему духу книги? И это решение он должен принять уже в первой строчке — вообразите себе, с какими трудностями он сталкивается, переводя всю книгу! Как насчет того места, где хозяйка-немка начинает кричать на своем онемеченном русском? Как можно перевести на английский ломаный русский с немецким акцентом?

Другая проблема возникает при переводе жаргонных и разговорных выражений. Что лучше — найти «аналогичное» выражение или привести дословный перевод? Если переводчик пытается найти аналогичную фразу, то он рискует «накормить борщом» типичную американку (которая, возможно, в жизни о борще не слыхала), но если он переводит все дословно, то в его переводе появится «акцент». Возможно, что это даже желательно, поскольку русская культура для английского читателя экзотична. Однако благодаря странным выражениям и неестественным оборотам он будет постоянно чувствовать некую искусственность, которая не была задумана автором, и которую не ощущают читатели оригинала.

Подобные проблемы заставляют нас усомниться, прав ли был Уоррен Уивер, один из пионеров компьютерного перевода, когда в конце 1940-х годов он сказал. «Глядя на статью, написанную по-русски, я говорю себе: „На самом деле, это написано по-английски, но закодировано какими-то странными символами. Сейчас я начну их расшифровывать.“»[37] Замечание Уивера не должно пониматься буквально; скорее, он хотел сказать, что в символах спрятан некий объективный или близкий к объективному смысл, и что хорошо запрограммированный компьютер вполне может этот смысл оттуда извлечь.

Уивер имел в виду переводы с одного человеческого языка на другой. Давайте теперь рассмотрим проблему перевода между компьютерными языками. Предположим, что два человека написали программы для разных компьютеров и мы хотим выяснить, выполняют ли они одно и то же задание. Как это возможно? Для этого нужно сравнить данные программы. Но на каком уровне? Что, если один программист написал программу на машинном языке, а другой — на языке компилятора? Сравнимы ли подобные программы? Безусловно. Но как именно это сделать? Одним способом было бы скомпилировать вторую программу, получив таким образом соответственную программу на машинном языке второго компьютера.

Теперь перед нами две программы на машинном языке. Но тут возникает другая проблема: у нас два компьютера и, следовательно, два различных машинных языка, которые могут очень сильно отличаться друг от друга. В одном компьютере могут быть слова из шестнадцати битов, а в другом — из тридцати шести. В один компьютер могут быть встроены инструкции по управлению стеком (проталкиванию и выталкиванию данных), а в другом их может не быть. Разница между аппаратурой двух компьютеров может привести к тому, что их программы могут показаться несравнимыми — и все же мы подозреваем, что они выполняют одно и то же задание, и нам бы хотелось это проверить. Очевидно, мы рассматриваем программы со слишком близкого расстояния.

Необходимо отойти подальше, перейдя от уровня машинного языка к более высокому, блочному уровню. С этой точки зрения мы можем надеяться заметить те блоки, которые делают программу разумно спланированной на глобальном, а не на местном уровне — блоки, которые подходят к друг другу таким образом, что становятся видны цели программы. Давайте предположим, что обе программы были первоначально написаны на языках высших уровней; значит, определенные блоки там уже есть. Однако теперь возникает другая проблема: существует множество блочных языков, таких, как ФОРТРАН, АЛГОЛ, ЛИСП, АПЛ и многие другие. Как можно сравнить программу на Алголе с программой на АПЛ? Безусловно, мы не будем сравнивать их строчка за строчкой; вместо этого попытаемся опять мысленно разделить эти программы на блоки в поисках неких совпадающих функциональных единиц. Таких образом, мы сравниваем не аппаратуру и не программы, но некую «эфирную сущность» — абстрактные понятия, лежащие в основе программ. Прежде чем сравнивать между собой программы, написанные на различных компьютерных языках, или два предложения на разных человеческих языках, или двух животных, необходимо выделить из нижних уровней определенный «концептуальный костяк».

Это возвращает нас к вопросу о компьютерах и мозгах: какой смысл описывать их на нижних уровнях? Можно ли в таких сложных системах каким-то объективным образом перейти от такого описания к описанию на высших уровнях? В случае компьютера мы можем легко получить распечатку содержимого памяти, так называемый дамп. На заре работы с ЭВМ, дампы использовались в том случае, когда с программой что-то не ладилось. Программист уносил такую распечатку домой и корпел над ней часами, пытаясь понять, что собой представляет каждая крохотная часть памяти. В таком случае, программист делал нечто обратное компиляции: он переводил с машинного языка на язык высшего уровня, концептуальный язык. В конце концов, он понимал цель программы и мог описать ее в терминах высших уровней: «Эта программа переводит романы с русского на английский» или «Эта программа пишет восьмиголосные фуги, основанные на любой данной ей теме».

Попытаемся теперь ответить на подобный вопрос в отношении мозгов: «Можно ли „прочитать“ человеческий мозг на высшем уровне? Существует ли некое объективное описание „содержимого мозга“?» В «Муравьиной фуге» Муравьед утверждал, что он может заключить, о чем думает Мура Вейник, глядя на беготню муравьев. Могло бы какое-нибудь сверхсущество, скажем, Нейронъед, посмотреть на наши нейроны, обобщить увиденное и сказать, о чем мы думаем?

Ответ на это, наверняка, должен быть положительным — ведь мы сами способны в любой момент с легкостью описать наши мысли в блочных (не нейронных) терминах. Это означаем, что у нас есть некий механизм, позволяющий нам до некоторой степени обобщать состояние нашего мозга и таким образом давать его функциональное описание. Точнее, мы превращаем в блоки не все состояние мозга, а только те его активные участки. Однако если нас спросят о чем-либо, хранящемся в пассивной области, мы сможем почти мгновенно активировать нужный участок и дать блочное описание требуемого предмета, высказав наше мнение о нем. При этом мы не имеем ни малейшего понятия о состоянии нервных клеток в данной области; наше описание настолько обобщено, что мы даже не знаем, какую область нашего мозга только что описали. В противоположность этому, программист, дающий блочное описание программы, основывается на сознательном анализе содержимого памяти компьютера.

Если мы можем дать блочное описание любой части нашего мозга, то логично предположить, что сторонний наблюдатель, способный проникнуть в наш мозг, мог бы дать блочное описание не только определенных частей мозга, но и всего целого — иными словами, полное описание всех мыслей и убеждений того человека, в чей мозг он заглядывает. Очевидно, что подобное описание имело бы астрономические размеры, но нас это сейчас не волнует. Мы хотим знать, возможно ли, в принципе, хорошо определенное, полное описание мозга на высшем уровне. Или же описание на нейронном уровне — либо что-нибудь такое же физиологическое и невдохновляющее — на самом деле является наилучшим возможным описанием? Ответ на этот вопрос очень важен, если мы хотим знать, удастся ли нам понять самих себя.

Я считаю, что блочное описание возможно; однако это не означает, что когда мы его получим, все мгновенно станет ясно. Дело в том, что чтобы «извлечь» это описание из мозга, нам потребуется некий язык для описания наших находок. Может показаться, что лучший способ описания мозга — это перечисление мыслей, которые возможны, и мыслей, которые невозможны — или, может быть, возможных и невозможных верований и убеждений. Если, давая наше блочное описание, мы будем стремиться к этой цели, легко увидеть, с какими проблемами мы при этом столкнемся.

Представьте себе, что вы хотите перечислить все возможные вояжи в ФР. Их существует бесконечное множество. Как вы определите, какие из них вероятны? Что вообще значит «вероятны»? Такая же трудность возникнет, если мы захотим установить, что является «возможными дорогами» от символа к символу в мозгу. Мы можем вообразить собаку, летящую вверх ногами с сигарой в зубах или столкновение двух гигантских омлетов на загородном шоссе — и еще сколько угодно подобных забавных картин. Количество таких невероятных дорог в нашем мозгу неограниченно, так же как и количество нелепых маршрутов, возможных в ФР. Но что считать «нормальным» маршрутом в данной ФР? И что считать «разумной» мыслью в данном состоянии мозга? Само по себе состояние мозга не запрещает никакой дороги, так как всегда могут существовать обстоятельства, которые заставят нас по ней пойти. Физическое состояние мозга, правильно «прочитанное», говорит нам не то, по каким дорогам возможно пройти, но то, с каким сопротивлением мы столкнемся на том или ином пути.

Многие путешествия по ФР могут проходить по двум или более вероятным маршрутам; скажем, из Москвы в Орел можно проехать через Калугу или через Рязань. Каждый из этих маршрутов вполне разумен, и выбор одного из них зависит от обстоятельств. Глядя на карту в данный момент, вы не можете сказать, какой из этих маршрутов будет предпочтительнее в будущем — это зависит от обстоятельств, при которых будет проходить поездка. Подобно этому, «прочтение» мозга покажет нам несколько возможных путей между данными символами; однако путешествие между этими символами совсем не обязательно, это лишь одно из миллиардов «возможных» путешествий, фигурирующих в вашем прочтении. Отсюда следует важное заключение: само состояние мозга в данный момент не содержит никакой информации о том, какая именно дорога будет выбрана. Это в большой степени определяется внешними обстоятельствами.

Из этого следует, что в зависимости от обстоятельств один и тот же мозг может породить две полностью противоречивые мысли. Любое заслуживающее внимания прочтение мозга на высшем уровне должно содержать все эти конфликтные версии. На самом деле, совершенно ясно, что мы — не что иное, как ходячие мешки противоречий, и наша целостность зависит от того, что в каждый данный момент мы способны сконцентрироваться только на чем-то одном. На чем именно — этого предсказать невозможно, поскольку обстоятельства, определяющие выбор, заранее не известны. Правильное прочтение состояния мозга может дать нам лишь условное описание выбора маршрутов.

Рассмотрим, например, положение Краба в «Прелюдии». Слушая музыкальное произведение, он может реагировать по-разному. Хорошо знакомая музыка обычно не вызывает у него особых эмоций; однако при наличии некоторых внешних стимулов, таких, например, как восхищение человека, слушающего эту музыку в первый раз, та же самая пьеса может снова привести его в восторг. Скорее всего, прочтение состояния мозга Краба будет указывать как на возможность испытывать восторг (и на необходимые для этого условия), так и на возможность оставаться безразличным (и на необходимые для этого условия). Однако само состояние его мозга не скажет нам, как он среагирует на следующую пьесу; мы знаем только то, что «при таких-то обстоятельствах он испытает восторг; в противном случае…»

Таким образом, блочное описание состояния мозга представляет собой список возможных мыслей и эмоций, которые могут возникнуть в зависимости от обстоятельств. Поскольку невозможно перечислить все возможные обстоятельства, нам приходится удовольствоваться теми, которые мы считаем наиболее «вероятными». Более того, самим обстоятельствам тоже придется давать блочное описание, поскольку ясно, что они не могут — и не должны — быть описаны на уровне атомов! Таким образом, нам не удастся с детерминистской точностью предсказать, какую именно идею произведет на свет мозг в определенном состоянии, под влиянием определенных обстоятельств. В итоге блочное описание мозга выглядело бы как некий относительный каталог состояний, которые с наибольшей вероятностью могут быть вызваны (и символов, которые с наибольшей вероятностью могут быть активированы) наиболее вероятными обстоятельствами, в свою очередь представленными на блочном уровне. Пытаться обобщить чьи-нибудь идеи и убеждения, не учитывая при этом контекста, так же наивно, как рассуждать о возможном потомстве одного человека, не упоминая о его партнере.

Похожая проблема возникает при попытке перечислить все имеющиеся в мозгу данного человека символы. Потенциально в мозгу имеется не только неограниченное количество маршрутов, но и неограниченное количество символов. Как мы уже сказали, на основе старых понятий всегда можно сформировать новые, и можно утверждать, что эти новые понятия на самом деле всегда были в мозгу, только в дремлющем состоянии. Возможно, что эти символы останутся пассивными всю жизнь данного человека; но можно считать, что они, тем не менее, всегда были там, ожидая стечения обстоятельств, благоприятного для их активации и синтеза. Однако, когда вероятность такого стечения обстоятельств невелика, употребление слова «дремлющий» кажется нереалистичным. Поясним это на примере: представьте себе все «дремлющие сны», находящиеся у вас в мозгу во время бодрствования. Можете ли вы вообразить такую разрешающую процедуру, которая, основываясь на состоянии вашего мозга, была бы способна отличить «возможные сны» от «невозможных»?

Оглядываясь на то, что мы только что обсудили, вы можете сказать себе: «Все эти рассуждения о мозге и разуме, конечно, замечательны — но как же насчет чувств, участвующих в сознании? Все эти символы могут сколько угодно активировать друг друга, но пока кто-то не воспримет всю систему целиком, никакого сознания не возникнет»

На первый взгляд кажется, что в этом есть смысл. Однако если мы попытаемся проанализировать ситуацию логически, то возникает вопрос: что это за механизм, воспринимающий все активные символы, но сам не укладывающийся в рамки описанной нами системы? Разумеется, что человеку, верящему в наличие души, не пришлось бы ломать над этим голову — он мог бы утверждать, что наблюдателем нейронной деятельности является душа, которая сама не может быть описана в физических терминах — все ясно, и говорить больше не о чем! Однако мы попытаемся найти явлению сознания иное объяснение.

У объяснения сознания наличием души есть следующая, правда, немного сбивающая с толку альтернатива: можно остановиться на уровне символов и считать, что именно это и есть сознание. Это значило бы, что сознание — это свойство, возникающее в системах символов с такой схемой активации, как та, что мы только что описали. Однако это определение может показаться неадекватным, поскольку оно не отвечает на вопрос о том, откуда берется наше чувство самосознания, наше «Я»

Нет причин считать, что наше «Я» не может быть представлено символом; в действительности, это, возможно, самый сложный символ в мозгу. Поэтому я решил поставить его на новый уровень иерархии и назвать подсистемой. Под «подсистемой» я понимаю группу символов, каждый из которых может быть активирован под контролем самой этой подсистемы. Такая подсистема действует внутри нашего мозга как независимый «подмозг», с собственной системой взаимно активирующихся символов. Разумеется, подсистема и «внешний мир» — остальной мозг — постоянно сообщаются между собой. «Подсистема» — это просто другое название для разросшегося символа, который стал так сложен, что у него появились взаимодействующие между собой подсимволы. Таким образом, между символами и подсистемами нет четкой границы.

Поскольку подсистема тесно связана с остальным мозгом (некоторые из этих связей будут описаны в дальнейшем), ее трудно четко отграничить; но хотя границы подсистемы расплывчаты, она, тем не менее, вполне реальна. Интересно то, что когда подсистема активирована и предоставлена себе самой, она может работать самостоятельно. Таким образом, в мозгу одного и того же человека две или три подсистемы могут работать одновременно. Я сам испытывал нечто подобное, иногда, например, у меня в мозгу одновременно звучат две разные мелодии, каждая из которых пытается привлечь «мое» внимание. Каждая из мелодий каким-то образом вырабатывается или «проигрывается» отдельной секцией мозга. По-видимому, каждая из секций, отвечающая за появление у меня в голове какой-то мелодии, активирует один за другим ряд символов, совершенно не обращая внимания на то, что другая подсистема делает то же самое. После этого обе они пытаются вступить в контакт с третьей подсистемой моего мозга — символом «Я» — именно в этот момент мое «Я» осознает, что происходит, и начинает воспринимать блочные описания деятельности этих двух подсистем.

Типичными подсистемами могут быть те, что представляют хорошо знакомых нам людей. Эти люди представлены в нашем мозгу таким сложным образом, что их символы вырастают в отдельные подсистемы, которые, пользуясь ресурсами мозга, начинают действовать автономно. Я хочу сказать, что подсистема, представляющая моего друга, может активировать в моем мозгу многие символы так же, как это могу сделать я сам. Например, я могу активировать подсистему «мой лучший друг» и на какое-то время почувствовать себя на его месте, перебирая мысли, которые могут у него возникнуть, активируя символы в той последовательности, которая более аккуратно отражает особенности его мышления, чем моего собственного. Можно сказать, что модель этого человека, воплощенная в некой подсистеме моего мозга, представляет собой мое собственное блочное описание его мозга.

Есть ли в этой подсистеме символ для каждого символа, который, по моему мнению, имеется у него в голове? Это было бы излишним. Скорее всего, эта подсистема вовсю пользуется уже имеющимися в моем мозгу символами. Например, символ «гора» может быть позаимствован подсистемой, когда он находится в активном состоянии; при этом он может быть использован там иначе, чем вне подсистемы. Представьте себе, что я разговариваю с моим другом о горах Тянь Шаня в Средней Азии, где ни один из нас не бывал; при этом я знаю, что несколько лет назад он прекрасно провел время в Альпах. Восприятие его замечаний будет окрашено для меня образами его пребывания в Альпах, поскольку я буду пытаться понять, как он представляет себе Тянь Шань.

Пользуясь терминами, введенными в этой главе, можно сказать, что активация в моем мозгу символа «гора» была под контролем подсистемы, представляющей моего друга. Благодаря этому, я по-иному подхожу к содержимому своей памяти: мой стандартный выбор смещается с набора моих собственных воспоминаний на воспоминания о его воспоминаниях. Нет нужды говорить, что мое представление о его воспоминаниях неполно и весьма отличается от тех действительных картин, которые вызывают у него в мозгу недоступные для меня схемы активации символов.

Таким же образом, мои представления о его воспоминаниях вызваны сложными схемами активации моих собственных символов: понятий «трава», «деревья», «снег», «небо», «облака» и так далее. Мне приходится предполагать, что эти понятия представлены у него в мозгу «идентичным» образом, так же как и еще более основные понятия — «сила тяжести», «дыхание», «усталость», «цвет»… Менее изначальной, но, возможно, почти универсальной является способность человека радоваться достижению вершины и наслаждаться открывшимся перед ним видом; так что я могу довольно верно понять, что почувствовал в тот момент мой друг, активировав для этого соответствующую собственную подсистему.

Можно пойти еще дальше и попытаться описать, как я пойму весь рассказ моего друга, рассказ полный сложных человеческих отношений и опыта. Однако наша терминология вскоре станет недостаточной. Мы столкнемся со сложной рекурсией, связанной с его представлениями о том, как я представляю себе его представления о той или иной вещи или событии. Если бы в рассказе фигурировали общие знакомые, я подсознательно попытался бы найти компромисс между моим представлением о том, как их видит мой друг, и собственным представлением о них. Простая рекурсия была бы совершенно неадекватна в обращении с подобной сложной амальгамой символов. А ведь мы только начали углубляться в эту проблему! На сегодняшний день у нас просто не хватает слов, чтобы описать сложнейшие взаимодействия, возможные между символами. Так что придется нам остановиться, пока мы окончательно не увязли.

Надо заметить, однако, что компьютерные системы уже начинают сталкиваться с подобными трудностями, и поэтому некоторые из этих проблем получили свое название. Например, мой символ «гора» аналогичен тому, что на компьютерном жаргоне называется общим (или повторным) кодом — кодом, который может быть использован двумя или более программами, работающими одновременно на одном и том же компьютере. Тот факт, что активация одного и того же символа может иметь разные результаты в различных подсистемах, можно объяснить тем, что его код был обработан разными интерпретаторами. Таким образом, схема активации символа «гора» не абсолютна, но зависит от системы, в которой символ активируется.

Некоторые читатели могут усомниться в реальности подобных подсистем. Возможно, что следующая цитата из М. К. Эшера, где он описывает создание своих периодических, заполняющих пространство рисунков, пояснит, что за явление я имею в виду.

Рисуя, я иногда чувствую себя чем-то вроде спиритического медиума, контролируемого созданиями, которые он же вызывает к жизни. Рисуемые мною создания словно бы сами выбирают форму, в которой они появляются на свет. Они не обращают внимания на мои критические замечания, и я почти не могу влиять на их развитие. Обычно они бывают очень упрямыми и трудными созданиями.[38]

Это превосходный пример почти полной автономности некоторых подсистем мозга, как только они активированы. Эшеру казалось, что его подсистемы были почти способны на то, чтобы игнорировать его собственные эстетические критерии. Разумеется, его заявление надо принимать с долей скептицизма, поскольку эти могучие подсистемы возникли в результате многолетней тренировки и подчинения именно тем силам, которые сформировали его эстетические критерии. Короче, неверно было бы отделять подсистемы в мозгу Эшера от него самого или от его эстетических взглядов. Эти подсистемы составляют жизненно важную часть его эстетического чувства; местоимение «он» здесь относится ко всему существу артиста.

Важный побочный эффект подсистемы «Я» заключается в том, что она в определенном смысле может играть роль «души»: непрерывно сообщаясь с остальными подсистемами и символами мозга, она следит за тем, какие из них активированы и каким образом. Это означает, что в подсистеме «Я» должны существовать символы, обозначающие умственную деятельность — иными словами, символы для символов и символы для деятельности символов.

Разумеется, это не поднимает сознание или самосознание на какой-то «магический», сверхъестественный уровень. Сознание — это прямое следствие сложной аппаратуры и программного обеспечения мозга, которые мы только что описали. И все же, несмотря на свое прозаическое происхождение, способ описывать сознание как наблюдение над мозгом его же собственной подсистемы, по-видимому, довольно верно улавливает то трудноописуемое чувство, которое мы зовем «самосознанием». Ясно, что при системе такого уровня сложности могут легко возникнуть неожиданные побочные эффекты. Например, вполне возможно, что сложный компьютер может, подобно человеку, начать производить высказывания о себе самом. Он может заявить, что он обладает свободой воли, что его невозможно объяснить как «сумму частей» и так далее. (По этому поводу см. статью Мински «Материя, разум и модели» в его книге «Обработка семантической информации» (M.Minsky, «Matter, Mind and Models». Semantic Information Processing.).

Есть ли гарантия того, что нечто вроде только что описанной мною подсистемы «Я» действительно существует у нас в мозгу? Может ли такой сложный комплекс символов, как тот, что находится у нас в голове, развиться, не породив при этом символа самого себя? Каким образом подобные символы и их деятельность могли бы быть «изоморфны» с окружающим миром, если бы они не включали символа самого организма-носителя? Все стимулы, входящие в эту систему, сконцентрированы на крохотном участке пространства; было бы очень странным, если бы в структуре символов мозга отсутствовал бы символ самого физического объекта, содержащего этот мозг и играющего главную роль в событиях, которые он отражает. На самом деле, кажется, что единственный способ понять локализованный одушевленный предмет состоит в том, чтобы понять его роль по отношению к остальным окружающим его предметам. Для этого необходим символ «Я»; переход же от символа к подсистеме — изменение не качественное, а количественное, просто показывающее важность этого символа.

Философ из Оксфорда Дж. Р. Лукас (не имеющий никакого отношения к описанным выше числам Лукаса) написал в 1961 году достойную внимания статью под названием «Разум, машины и Гёдель» (J.R. Lucas, «Minds, Machines, and Godel»). Высказанные там взгляды диаметрально противоположны моим, хотя для обоснования своей точки зрения Лукас часто использует те же самые факты. Следующая цитата имеет прямое отношение к предмету нашего анализа:

При первой простейшей попытке рассуждать философски, человек запутывается в таких вопросах, когда он что-то знает, то знает ли он, что он что-то знает? О чем именно он думает, когда думает о себе самом? Что именно порождает эти мысли? Промучившись с этими вопросами достаточно долго, человек понимает, что их лучше оставить в покое он интуитивно доходит до того, что сознательное существо отличается от существа бессознательного. Когда мы говорим, что сознательное существо что-то знает, мы подразумеваем, что оно знает о том, что оно это знает, и что оно знает о том, что оно знает о том, что оно это знает, и так далее, и тому подобное. Хотя здесь и присутствует бесконечность, но это не бесконечный регресс в плохом смысле, поскольку в этом случае постепенно становятся бессмысленными сами вопросы, а не ответы на них. Мы чувствуем, что вопросы бессмысленны, потому что само понятие «сознания» заключает в себе идею того, что на эти вопросы можно отвечать бесконечно. Хотя разумные существа могут продолжать таким образом до бесконечности, мы не желаем представить это в виде простой последовательности задач, которые мы способны выполнять: наш разум для нас — это не бесконечный ряд «Я», «супер-Я», и «супер-супер-Я». Вместо этого мы считаем, что разумное существо — это единство и, говоря о разных частях мозга, употребляем это выражение только в качестве метафоры и не позволяем себе понимать его буквально.

Парадоксы интеллекта возникают потому, что разумное существо может воспринимать самого себя, так же как другие вещи, но при этом оно не является делимым на части. Это означает, что разумное создание может обращаться с Гёделевыми вопросами так, как не может делать этого машина, поскольку разумное существо может осознавать себя и свои действия, будучи при этом неотделимым от этих действий. Можно создать такую машину, которая, в каком-то смысле, сможет «осознать» свои действия, но она не сможет учитывать этого осознания, не становясь при этом другой машиной, — а именно, прежней машиной, к которой добавлена «новая часть». С другой стороны, одним из основных свойств нашего разума является его способность размышлять о себе самом и критически воспринимать собственные действия — и для этого не требуется никакая дополнительная часть; наш мозг совершенен, и в нем нет никакой Ахиллесовой пяты.

Таким образом, эта тема становится скорее объектом концептуального анализа, чем математического открытия. Подтверждением этому служит аргумент, выдвинутый Тюрингом. До сих пор нам удавалось построить только очень простые и предсказуемые аппараты. Когда мы увеличим сложность наших машин, нас, возможно, будут ожидать сюрпризы. Он приводит в пример атомный реактор, пока не достигнута «критическая» масса, ничего не происходит; но как только перейден порог критической массы, начинается реакция. Возможно, что то же самое верно и в отношении разума и машин. Большинство мозгов и никакие машины в данный момент не достигли этого порога — они реагируют на внешние стимулы тяжеловесным и неинтересным образом, не рождают новых идей и производят только готовые ответы; однако некоторые мозги уже сейчас «достигли критической массы» и функционируют независимо — то же может быть верно и в отношении будущих машин. Тюринг утверждает, что это только вопрос сложности, и что когда перейден некий критический порог сложности, происходит качественный скачок; таким образом, сложные машины будущего могут оказаться совершенно непохожими на простые аппараты настоящего.

Возможно, что это верно. Сложность часто порождает качественную разницу. Хотя это кажется маловероятным, может случиться, что достигнув определенного уровня сложности, машина перестанет быть даже в принципе предсказуемой и начнет действовать самостоятельно — используя весьма показательное выражение, у нее может появиться собственный интеллект. У нее может появиться собственный интеллект. Этот собственный интеллект появится тогда, когда машина перестанет быть полностью предсказуемой и послушной и начнет делать вещи, которые мы воспринимаем как разумные, а не как ошибки или случайности, и которые не были никем запрограммированы. Тогда она перестанет быть машиной в обычном смысле этого слова. Главным вопросом спора о машинном интеллекте является не то, как возникает разум, а то. как он оперирует. Основным тезисом механистов является то, что модель интеллекта должна действовать согласно «механическим принципам»; это означает, что действие целого может быть понято, исходя из действия его частей, и что действие каждой отдельной части должно либо определяться ее начальным состоянием и конструкцией машины, либо быть случайным выбором между определенным числом определенных операций. Если машина становится такой сложной, что это определение перестает действовать, тогда мы уже не можем считать ее машиной, как бы она ни была построена. Тогда пришлось бы сказать, что мы создали разум, в том же смысле, как сейчас мы говорим о рождении нового человека. В таком случае, было бы два способа давать миру новый разум, традиционный способ — рождение детей от женщин и новый способ — конструкция сложнейших систем клапанов и переключателей. Говоря о втором способе мы должны подчеркнуть что хотя наши создания выглядели бы как машины, они, тем не менее, таковыми бы не являлись, поскольку они были бы большим, чем сумма их частей. Было бы невозможным предсказать их поведение на основе знания их конструкции и начального состояния их частей, мы не знали бы границ того на что они способны поскольку они отвечали бы верно даже на заданные им вопросы Геделева типа. На самом деле, нужно отметить что любая система, которую не сбить с толку Геделевым вопросом это ео ipso не машина Тюринга, то есть не машина в обычном смысле слова.[39]

Когда я читаю этот отрывок, моя мысль пытается уследить за быстрой сменой тем, ссылок, ассоциаций, путаницы и заключений. Она перепрыгивает от парадокса Кэррола к Геделю а затем к Тюрингу, к искусственному интеллекту, к холизму и редукционизму — и все это на двух страничках. Поистине Лукас заставляет нас задуматься! В следующих главах мы вернемся ко многим темам, мимоходом затронутым в этом интересном отрывке.

Черепаха пришла составить компанию своему другу Ахиллу, который в последнее время стал страдать бессоницей.

Черепаха: Сочувствую вам, Ахилл; бессоница — пренеприятная вещь! Надеюсь, мое общество немного отвлечет вас от тех невыносимых мыслей, что не дают вам забыться сном. Может быть, мне удастся навеять на вас такую скуку, что вы, наконец, сможете заснуть — в таком случае, мой визит принесет вам безусловную пользу.

Ахилл: Увы… на мне уже пробовали руку чемпионы нудности и скуки — вы им и в подметки не годитесь — и все, к сожалению, без толку. Нет, г-жа Ч, я пригласил вас с тем, чтобы вы развлекли меня своими рассказами о теории чисел — надеюсь, что это скрасит мне долгие ночные часы. Видите ли, я обнаружил, что немного теории чисел весьма успокоительно действует на мои расстроенные нервы.

Черепаха: Хорошенькая мысль, ничего не скажешь! Знаете, это мне напоминает о бедном графе Кайзерлинге.

Ахилл: Кто это такой?

Черепаха: О, был такой саксонский граф в восемнадцатом веке — захудалый график, говоря по правде, но благодаря ему… История довольно забавная — хотите послушать?

Ахилл: Прошу вас!

Черепаха: Однажды наш добрый граф заболел бессоницей. Случилось так, что в том же городе жил тогда известный музыкант; граф Кайзерлинг решил заказать ему серию вариаций с тем, чтобы его придворный клавесинист играл бы их графу, когда тот не мог заснуть. Граф надеялся, что так время пролетит быстрей и приятней.

Ахилл: И как, удалось местному композитору выполнить это требование?

Черепаха: Кажется, да, поскольку граф его щедро вознаградил: он подарил ему золотой бокал с сотней луидоров внутри.

Ахилл: Невероятно! Интересно, где сам граф раздобыл этот бокал с луидорами?

Черепаха: Может быть, он увидел такой бокал в музее и тот ему понравился?

Ахилл: Вы намекаете на то, что граф его попросту украл?

Черепаха: Ну, зачем же так грубо… Знаете, в те дни на это смотрели не так, и графам многое позволялось. Так или иначе, графу музыка явно пришлась по вкусу, поскольку он беспрестанно просил своего клавесиниста — совсем еще мальчишку, по имени Гольдберг, — сыграть ту или иную из этих тридцати вариаций. В результате, по иронии судьбы, вариации стали связаны с именем молодого Гольдберга, а не графа.

Ахилл: Вы имеете в виду, что композитором был Бах, и что это произведение — так называемые «Гольдберг-вариации»?

Черепаха: Вы угадали! На самом деле, эта пьеса сначала именовалась «Ария с различными вариациями»; в ней тридцать вариаций. Знаете ли вы, как Бах построил эти великолепные вариации?

Ахилл: Я весь внимание.

Черепаха: Каждая из пьес, кроме последней, построена на одной и той же теме, которую он назвал «арией». В действительности, пьесы связаны скорее не общей мелодией, а одинаковым гармоническим фоном. Мелодии могут варьироваться, но в их основе — одна и та же тема. Только в последней вариации Бах позволил себе некоторую вольность — это что-то вроде «конца после конца». Там содержатся странные музыкальные идеи, почти не связанные с первоначальной темой — а именно, две немецкие народные песенки. Эта вариация называется «quodlibet».

Ахилл: А что еще необыкновенного в «Гольдберг-вариациях»?

Черепаха: Каждая третья вариация построена в форме канона; в первом из них оба голоса вступают на одной и той же ноте; во втором, один из голосов вступает НА ОДНУ ступень ВЫШЕ, в третьем — НА ДВЕ, и так далее, до последнего канона, в котором голоса отстоят ровно на девять интервалов. Десять канонов, и все они —

Ахилл: Подождите минутку. Мне помнится, я что-то слышал о том, что недавно обнаружили еще четырнадцать Гольдберг-канонов!

Черепаха: Вы, случайно, прочли это не в том самом журнале, что недавно оповестил мир о сенсационном открытии четырнадцати новых дней в ноябре?

Ахилл: Да нет, это правда. Некий музыковед по имени Вольф прослышал о том, что в Страсбурге хранится специальная копия «Гольдберг-вариаций»; он поехал туда и, к своему удивлению, на задней обложке этой копии, что-то вроде «конца после конца», он нашел четырнадцать новых канонов, основанных на первых восьми нотах темы. Так что на самом деле Гольдберговых вариаций сорок четыре, а не тридцать.

Черепаха: Сорок четыре, пока какой-нибудь музыковед не обнаружит еще нескольких в самом невероятном месте. И хотя это кажется маловероятным, все еще возможно, что найдутся новые вариации, и затем еще новые, и еще… Это может продолжаться до бесконечности! Мы можем так никогда и не узнать, когда у нас будут полные «Гольдберг-вариаций».

Ахилл: Престранная идея. На самом деле, все считают, что это последнее открытие было просто счастливой случайностью, и что теперь у нас есть все существующие вариации. Но если предположить, что вы правы, и что найдутся еще какие-нибудь, мы должны быть к этому готовы. Тогда название «Гольдберг-вариаций» изменит свое значение и будет означать не только уже известные вариации, но и те, которые могут быть найдены в дальнейшем. Это число — назовем его «g» — разумеется, не бесконечно, но знать то, что g конечно, — это не то же самое, что знать его величину. Следовательно, этой информации недостаточно, чтобы определить, когда найденная вариация окажется действительно последней.

Черепаха: Это верно.

Ахилл: Скажите мне, когда Бах создал эти знаменитые вариации?

Черепаха: В 1742 году, когда он был кантором в Лейпциге.

Ахилл: 1742? Гмм… Это число мне о чем-то напоминает…

Черепаха: Естественно, так как это очень интересное число: это сумма двух нечетных простых чисел, 1729 и 13.

Ахилл: Вот это да! Удивительно, ничего не скажешь! Интересно, как часто можно встретить четное число, обладающее тем же свойством. Посмотрим…

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

16 = 3 + 13 = 5 + 11

18 = 5 + 13 = 7 + 11

20 = 3 + 17 = 7 + 13

22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11

24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13

26 = 3 + 23 = 7 + 19 = 13 + 13

28 = 5 + 23 = 11 + 17

30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17

Смотрите-ка, согласно моей табличке это кажется весьма обычным явлением. Но я пока не вижу в таблице никакой простой закономерности.

Черепаха: Может быть, здесь никакой закономерности и нет.

Ахилл: Что вы, конечно есть! У меня просто не хватает проницательности, чтобы ее заметить.

Черепаха: Вы кажетесь совершенно в этом уверенным.

Ахилл: У меня нет ни малейших сомнений. Интересно… может ли быть, что все четные числа, за исключением 4, могут быть представлены в виде суммы двух нечетных простых чисел?

Черепаха: Гмм… этот вопрос мне о чем-то напоминает… Ах, да! Вы не первый, кто задает мне этот вопрос. Теперь припоминаю, в 1742 году меня о том же спрашивал математик-любитель в —

Ахилл: Вы сказали, в 1742 году? Простите, что перебиваю, но мне кажется, что 1742 — очень интересное число, это разность двух нечетных простых чисел: 1745 и 3.

Черепаха: Вот это да! Удивительно, ничего не скажешь! Интересно, как часто можно встретить четное число, обладающее тем же свойством.

Ахилл: Прошу вас, не позволяйте мне отвлекать вас.

Черепаха: Ах, да — я говорила, что в 1742 году один математик-любитель — к сожалению, не могу вспомнить его имени — послал письмо Эйлеру, который в то время находился в Потсдаме при дворе короля Фридриха Великого, и… История довольно забавная, хотите послушать?

Ахилл: Я весь внимание!

Черепаха: Так вот, в своем письме тот любитель предложил Эйлеру следующую недоказанную гипотезу «Любое четное число, большее двух, можно представить как сумму двух простых чисел.» Как же бишь его звали…

Ахилл: Я припоминаю, что уже читал об этом в какой-то математической книге. Кажется, его звали Купфергёдель.

Черепаха: Гмм… Нет, это звучит слишком длинно.

Ахилл: Может, тогда Зильберэшер?

Черепаха: Да нет, это все не то. У меня то имя прямо на языке вертится… ах, да! Гольдбах! Гольдбах была его фамилия.

Ахилл: Так я и думал.

Черепаха: Да, и ваши попытки мне здорово помогли. Странно, как иногда нам приходится искать в памяти, словно в библиотеке, когда пытаешься найти книгу, не зная ее шифра. Но вернемся к числу 1742.

Ахилл: Действительно. Я хотел спросить, доказал ли Эйлер, что догадка Гольдбаха верна?

Черепаха: Он никогда не считал, что на нее стоит тратить время. Однако не все математики разделяли это пренебрежение. В действительности, многие пытались доказать «Гипотезу Гольдбаха» — она стала известна под этим именем.

Ахилл: И удалось кому-нибудь ее доказать?

Черепаха: Пока нет, но некоторые математики были очень близки к успеху. Например, в 1931 году Шнирельман, русский специалист по теории чисел, доказал, что любое число, четное или нечетное, может быть представлено как сумма не более чем 300 000 простых чисел.

Ахилл: Какой странный результат. Какая же от него польза?

Черепаха: Он ограничил проблему, переведя ее в финитную область. До Шнирельмановского доказательства думали, что если брать большие и большие четные числа, то чтобы их представить, понадобится все большее количество простых чисел. Для того, чтобы представить некоторые четные числа, мог понадобиться миллиард простых чисел! Теперь известно, что это не так — суммы 300 000 (или меньше) простых чисел всегда оказывается достаточно.

Ахилл: Теперь понимаю.

Черепаха: Вскоре, в 1937 году, один хитроумный тип по имени Виноградов — тоже русский — еще больше приблизился к желанному результату: он доказал, что любое достаточно большое нечетное число может быть представлено в виде суммы не более чем ТРЕХ нечетных простых чисел. Например, 1937 = 641 + 643 + 653. Можно сказать, что нечетное число, которое может быть представлено как сумма трех нечетных простых чисел, имеет «свойство Виноградова». Таким образом, все достаточно большие нечетные числа обладают свойством Виноградова.

Ахилл: Хорошо — но что означает «достаточно большие»?

Черепаха: Это значит, что некоторое количество нечетных чисел могут не иметь этого свойства, но существует некое число — назовем его «v» — после которого все нечетные числа обладают свойством Виноградова. Однако сам Виноградов не знал величины этого v. Так что, в каком-то смысле, v похоже на g — конечное, но неизвестное число «Гольдберг-вариаций». Знать, что v конечно, — это не то же самое, что знать его величину. Следовательно, этой информации недостаточно, чтобы определить, когда нечетное число, представимое более, чем тремя простыми числами, окажется действительно последним.

Ахилл: А-а, понятно. Значит, любое достаточно большое число 2N может быть представлено как сумма ЧЕТЫРЕХ простых чисел, если сначала представить 2N - 3 в виде суммы трех простых, и затем снова прибавить 3.

Черепаха: Совершенно верно. Другая попытка, близко подошедшая к доказательству этой гипотезы, представлена следующей Теоремой: «Все четные числа могут быть представлены в виде суммы простого числа и произведения по меньшей мере двух простых чисел».

Ахилл: Как я погляжу, этот вопрос о сумме двух простых чисел завел нас с вами в настоящие дебри. Интересно, а куда бы мы забрались, если бы стали исследовать РАЗНОСТИ двух нечетных простых чисел? Держу пари, что мне удастся кое-что понять в этой головоломке, если я опять составлю табличку, на этот раз представляя четные числа в виде разности двух нечетных простых чисел. Посмотрим…

2 = 5 — 3, 7 — 5, 13 — 11, 19 — 17 и т. д.

4 = 7 — 3, 11 — 7, 17 — 13, 23 — 19 и т. д.

6 = 11—5, 13 — 7, 17 — 11, 19 — 13 и т. д.

8 = 11—3, 13 — 5, 19 — 11, 31 — 23 и т. д.

10 = 13 — 3, 17 — 7, 23 — 13, 29—19 и т. д.

Батюшки мои! Кажется, что различным вариантам нет конца! Но я пока не вижу в таблице никакой простой закономерности.

Черепаха: Может быть, здесь никакой закономерности и нет.

Ахилл: Ах, опять эти ваши туманные рассуждения о хаосе! Увольте, прошу вас — на этот раз я не хочу об этом слышать.

Черепаха: Вы считаете, что любое четное число может каким-то образом быть представлено в виде разности двух нечетных простых чисел?

Ахилл: Из моей таблички следует, что да. Но может быть, и нет… Однако так мы далеко не уедем!

Черепаха: Со должным уважением позволю себе заметить, что в эти материи можно проникнуть и поглубже.

Ахилл: Забавно, насколько эта проблема схожа с первоначальным вопросом Гольдбаха. Надо бы назвать ее «Гольдбах-вариации».

Черепаха: И правда. Однако позвольте мне указать вам на огромную разницу между Гипотезой Гольдбаха и этой Гольдбах-вариацией. Предположим, что некое четное число 2N обладает «свойством Гольдбаха», если оно равняется СУММЕ двух нечетных простых чисел, и «свойством Черепахи», если оно равняется РАЗНОСТИ двух нечетных простых чисел.

Ахилл: Мне кажется, справедливей называть это «свойством Ахилла». В конце концов, эту задачу предложил я!

Черепаха: Я собиралась предложить, чтобы мы считали, что число, у которого НЕТ свойства Черепахи, обладает «свойством Ахилла».

Ахилл: А, ну ладно…

Черепаха: Как вы думаете, обладает ли триллион свойством Гольдбаха или свойством Черепахи? Разумеется, он может иметь оба свойства…

Ахилл: Я, конечно, могу над этим подумать, но сомневаюсь, чтобы я мог ответить на ваши вопросы.

Черепаха: Не сдавайтесь так быстро. Представьте, что я попросила вас ответить на один из них. Над каким вопросом вы предпочли бы подумать?

Ахилл: Наверное, мне пришлось бы бросить монетку. По-моему, между этими вопросами нет особой разницы.

Черепаха: Ага! Вот тут вы и ошибаетесь. Между ними огромная разница! Если вы выберете свойство Гольдбаха, где идет речь о СУММАХ, то вам придется иметь дело только с простыми числами между двумя и триллионом, не так ли?

Ахилл: Разумеется.

Черепаха: А раз так, то ваш поиск рано или поздно ОБЯЗАТЕЛЬНО КОНЧИТСЯ…

Ахилл: А-а-а… Понятно. С другой стороны, если я начну работать над представлением триллиона в форме РАЗНОСТИ двух простых чисел, я могу использовать сколь угодно большие числа. Они могут быть так велики, что мне придется просидеть за работой триллион лет.

Черепаха: Хуже того, они могут вообще НЕ СУЩЕСТВОВАТЬ! В конце концов, именно в этом и состоял вопрос: существуют ли такие простые числа? Нас не интересовало, как велики они могут оказаться.

Ахилл: Вы правы. Если бы они не существовали, мой поиск мог продолжаться вечно, и я не ответил бы ни да ни нет. И тем не менее, ответ был бы отрицательным.

Черепаха: Таким образом, если у вас есть какое-то число и вы хотите проверить, обладает ли оно свойством Гольдбаха или свойством Черепахи, разница будет заключаться в следующем: поиск свойства Гольдбаха ОБЯЗАТЕЛЬНО ЗАКОНЧИТСЯ, в то время как поиск свойства Черепахи ПОТЕНЦИАЛЬНО БЕСКОНЕЧЕН — у нас нет никаких гарантий. Он может запросто тянуться до бесконечности, не давая нам никаких ответов. И тем не менее, в некоторых случаях он может закончиться на первом же шаге.

Ахилл: Я вижу, что между свойством Гольдбаха и свойством Черепахи действительно существует огромная разница.

Черепаха: Вы правы; эти проблемы, столь схожие по виду, на самом деле имеют дело с весьма различными свойствами. Гипотеза Гольдбаха утверждает, что все четные числа обладают свойством Гольдбаха; вариация Гольдбаха — что все четные числа обладают свойством Черепахи. Обе задачи еще не решены, и интересно то, что хотя они звучат очень похоже, в них идет речь об очень разных свойствах целых чисел.

Ахилл: Я понимаю, что вы имеете в виду. Для любого четного числа свойство Гольдбаха — вполне определенная вещь, так как мы знаем, что если поискать, всегда можно узнать, обладает ли данное число этим свойством. Свойство Черепахи, с другой стороны, гораздо менее определенно, так как одной грубой силой тут не возьмешь — сколько ни ищи, а ответа можешь так и не найти.

Черепаха: Все же мне кажется, должны существовать какие-нибудь способы получше; может быть с помощью одного из них мы смогли бы всегда доходить до конца, устанавливая, есть ли у данного числа свойство Черепахи.

Ахилл: Но и тогда поиск кончался бы только в случае положительного ответа.

Черепаха: Не обязательно. Должно существовать доказательство того, что если поиск продолжается дольше определенного времени, ответ должен быть отрицательным. Мне кажется, что можно найти и совершенно ИНОЙ способ поиска простых чисел, способ, не требующий грубой силы. Он гарантировал бы, что если такие числа существуют, мы их найдем. А если нет — сможем это доказать. Так или иначе, в любом случае поиск завершался бы даже в случае отрицательного ответа. Но я не уверена, что все это можно доказать. Поиск в бесконечных пространствах — дело непростое, знаете ли…

Ахилл: Значит, на данный момент вы не знаете ни одного способа конечного поиска для нахождения свойства Черепахи — но тем не менее, такой способ МОЖЕТ существовать.

Черепаха: Верно. Можно бы, конечно, начать поиск такого поиска — но я не гарантирую, что подобный «мета-поиск», в свою очередь, окажется конечным.

Ахилл: Удивительно то, что если у какого-нибудь четного числа — скажем, у триллиона — не оказалось бы свойства Черепахи, то этим оно было бы обязано бесконечному числу единиц информации. Забавно подумать, что все эта информация может быть собрана в пучок и названа, согласно вашему галантному предложению, «свойством Ахилла» одного триллиона. На самом деле, это свойство всей системы, а не одного числа.

Черепаха: Это интересное наблюдение, Ахилл, но я все-таки думаю, что правильнее относить этот факт именно к триллиону. Представьте себе для примера простенькое утверждение «29 — простое число». На самом деле это означает, что 2, умноженное на 2, не равно 29; 5, умноженное на 6, не равно 29, и так далее. Вы согласны?

Ахилл: Ну, предположим…

Черепаха: Тем не менее вы спокойно можете собрать все эти факты вместе, связать их в пучок и привязать к числу 29, сказав «29 — простое число», не так ли?

Ахилл: Да…

Черепаха: И при этом число фактов бесконечно, поскольку мы можем также сказать, что «4444, умноженное на 3333, не равно 29».

Ахилл: Строго говоря, вы правы. Однако мы оба знаем, что 29 не может равняться произведению двух чисел, каждое из которых больше него самого. А раз так, то, говоря «29 — простое число», мы учитываем только ограниченное количество из всех фактов, известных нам об умножении.

Черепаха: Вы можете смотреть на это и так, но учтите, что сам факт, что 29 не может быть произведении двух чисел, больших чем оно само, основан на структуре численной системы в целом. В этом смысле, этот факт сам включает в себя бесконечное множество фактов. Вам, Ахилл, никуда не деться от того, что, говоря «29 — простое число», вы на самом деле утверждаете бесконечное множество фактов.

Ахилл: Не знаю, не знаю — мне это кажется лишь одним фактом.

Черепаха: Это происходит потому, что эти бесконечные факты составляют часть вашего предыдущего знания; они косвенно влияют на то, как вы смотрите на вещи. Вы не замечаете бесконечности, так как она скрыта внутри образов, возникающих в вашем сознании.

Ахилл: Наверное, вы правы. И все-таки мне кажется весьма странным объединить свойства системы чисел как целого и именовать результат «простотой числа 29».

Черепаха: Может, оно и выглядит странным, но это весьма полезный способ смотреть на вещи. Давайте теперь вернемся к вашей гипотезе. Если, как вы предположили, триллион обладает свойством Ахилла, то какое бы простое число мы к нему ни прибавили, мы никогда не получим другого простого числа. В таком положении дел было бы виновато бесконечное количество отдельных математических «событий». Исходят ли все эти «события» из одного и того же источника? Имеют ли они общую причину? Если нет, то значит, за наш факт ответственно некое «бесконечное совпадение» , а не какая-либо закономерность.

Ахилл: «Бесконечное совпадение»? В царстве натуральных чисел НИЧТО не бывает случайно — любое событие там основано на некой регулярности, скрытой или явной. Возьмите вместо триллиона семерку — она меньше и с ней полегче обращаться. У 7 есть свойство Ахилла.

Черепаха: Вы уверены?

Ахилл: Конечно, и вот почему. Если к 7 добавить 2, то вы получите 9 — число не простое; если же добавить к 7 любое другое простое число, то вы будете складывать два нечетных простых числа, результатом чего будет четное число — так что простого числа снова не получается. Так что здесь, если можно так выразиться, «Ахильность» семерки объясняется не бесконечным числом причин, но всего двумя, что весьма далеко от «бесконечного совпадения». Это только подтверждает то, что я уже сказал: для того, чтобы объяснить какую-либо арифметическую истину, нам никогда не понадобится бесконечное число причин. Если бы существовал такой арифметический факт, который был результатом бесконечного числа не связанных между собой совпадений, то мы никогда не смогли бы найти конечное доказательство этой истины — а это просто смешно.

Рис. 71. М. К. Эшер. «Порядок и хаос» (литография, 1950).

Черепаха: Это звучит вполне разумно, и вы не первый, кто высказывает подобное мнение. Однако —

Ахилл: Неужели есть кто-нибудь, кто не согласен с этой точкой зрения? Такие люди должны верить в «бесконечные совпадения», в наличие хаоса среди самого совершенного, гармонического и прекрасного среди всех творений — системы натуральных чисел.

Черепаха: Может, так они и считают — но задумывались ли вы когда-нибудь о том, что хаос может быть неотъемлемой частью красоты и гармонии?

Ахилл: Хаос — часть совершенства? Порядок и хаос в приятном единении? Да это же ересь!

Черепаха: Ваш любимый художник, М. К. Эшер, как-то провел эту еретическую идею в одной из своих картин. Кстати, раз уж мы заговорили о хаосе, я думаю, вам будет интересно услышать о двух различных категориях поиска, каждая из которых непременно закончится.

Ахилл: Разумеется.

Черепаха: Пример первого — нехаотичного — вида поиска мы находим в проверке на свойство Гольдбаха. Надо просто перебирать простые числа, меньшие 2N, и если какая-нибудь пара таких чисел при сложении дает 2N, то следовательно 2N обладает свойством Гольдбаха; в противном случае, оно им не обладает. Подобная проверка не только наверняка закончится — вы даже можете предсказать, КОГДА она закончится.

Ахилл: Значит, это ПРЕДСКАЗУЕМО КОНЧАЮЩАЯСЯ проверка. Теперь вы, наверное, скажете мне, что некоторые теоретико-числовые свойства нуждаются в другого рода проверке, которая когда-либо кончится, но неизвестно, когда?

Черепаха: Вы как в воду глядите, Ахилл. И существование подобного типа проверки доказывает, что системе натуральных чисел в некотором роде присущ хаос.

Ахилл: Я бы сказал, что об этой проверке просто слишком мало известно. Если как следует поработать, я уверен, что можно было бы определить, как долго она продлится, прежде чем придет к концу. Ведь должен же быть какой-то смысл в структурах целых чисел! Никогда не поверю, что эта система хаотична и непредсказуема.

Черепаха: Ваша интуитивная вера понятна, но не всегда оправдана. Разумеется, во многих случаях вы совершенно правы — если мы чего-то не знаем, из этого еще не следует, что это вообще непознаваемо! Но есть и такие свойства целых чисел, для которых можно доказать существование конечной процедуры проверки, а также — что невозможно заранее определить, как долго эта процедура будет продолжаться.

Ахилл: В это трудно поверить. Словно сам черт забрался в божественно прекрасное здание натуральных чисел!

Черепаха: Может быть, вам будет приятно узнать, что совсем не легко определить свойства, для которых существует конечная, но не ПРЕДСКАЗУЕМО конечная процедура проверки. Большинство «естественных» свойств целых чисел допускают предсказуемо конечные процедуры. Например, так можно проверить, является ли число простым, квадратом или десятой степенью какого-либо числа.

Ахилл: Да, это нетрудно. Но мне любопытно узнать, что это за свойство, для которого существует конечная, но непредсказуемая процедура проверки?

Черепаха: Это для меня слишком сложно, в особенности, когда я такая сонная. Лучше приведу вам пример свойства, которое весьма легко определить, но для которого неизвестна конечная процедура проверки. Заметьте, я не хочу сказать, что она никогда не будет открыта, — просто пока она еще не найдена. Для начала надо выбрать какое-нибудь число — предоставляю эту честь вам, Ахилл!

Ахилл: Как насчет 15?

Черепаха: Превосходно. Вы начинаете с вашего числа; если оно НЕЧЕТНО, вы умножаете его на три и прибавляете 1. Если оно ЧЕТНО, вы берете его половину. После этого мы повторяем процесс. Назовем число, которое таким образом рано или поздно превратится в 1, ИНТЕРЕСНЫМ, и число, которое не станет 1, НЕИНТЕРЕСНЫМ.

Ахилл: Интересное ли число 15? Посмотрим:

15 НЕЧЕТНО, так что я превращаю его в 3n + 1: 46

46 ЧЕТНО, так что я делю его на два: 23

23 НЕЧЕТНО, так что я превращаю его в Зn + 1: 70

70 ЧЕТНО, так что я делю его на два: 35

35 НЕЧЕТНО, так что я превращаю его в Зn + 1: 106

106 ЧЕТНО, так что я делю его на два: 53

53 НЕЧЕТНО, так что я превращаю его в Зn + 1: 160

160 ЧЕТНО, так что я делю его на два: 80

80 ЧЕТНО, так что я делю его на два: 40

40 ЧЕТНО, так что я делю его на два: 20

20 ЧЕТНО, так что я делю его на два: 10

10 ЧЕТНО, так что я делю его на два: 5

5 НЕЧЕТНО, так что я превращаю его в Зn + 1: 16

16 ЧЕТНО, так что я делю его на два: 8

8 ЧЕТНО, так что я делю его на два: 4

4 ЧЕТНО, так что я делю его на два: 2

2 ЧЕТНО, так что я делю его на два: 1.

Ух ты! Ничего себе путешествьице, от 15 до 1! Но я все же достиг цели. Это значит, что 15 обладает свойством «интересности». Хотелось бы узнать, какие числа НЕинтересные…

Черепаха: Вы заметили, что в этом простом процессе числа то возрастают, то уменьшаются?

Ахилл: Я особенно удивился, когда после 13 шагов я получил 16 — число, всего на 1 большее того , с которого я начал! В каком-то смысле, я почти вернулся к началу — но в другом смысле, я был весьма далек от начала. Странно и то, что чтобы решить задачку, мне пришлось добраться до 160. Интересно, почему так получилось?

Черепаха: Потому что потолок у этой задачки бесконечно высок, и заранее невозможно сказать, как высоко нам придется забраться. На самом деле, возможно, что вам придется все время карабкаться вверх, и вверх, и вверх, и никогда не спускаться больше, чем на несколько шагов.

Ахилл: Правда? Наверное, такое возможно — но что за странным совпадением это было бы! Для этого нам должны все время попадаться нечетные числа, за редким исключением. Сомневаюсь, чтобы такое было возможно, хотя, конечно, я не мог бы в этом поклясться.

Черепаха: Проверьте-ка число 27. Имейте в виду, я ничего не обещаю. Но все-таки попробуйте когда-нибудь — просто так, для развлечения. И я посоветовала бы вам запастись для этого большим листом бумаги.

Ахилл: Гммм… Интересно… Знаете, мне все еще кажется странным ассоциировать интересность (или неинтересность) с начальным числом, поскольку совершенно ясно, что это — свойство всей системы чисел.

Черепаха: Я понимаю, что вы имеете в виду, но это ничем не отличается от высказывания «29 — простое число» или «золото — дорогой металл». Оба утверждения приписывают единственному объекту свойство, которым тот обязан контексту целой системы.

Ахилл: Вы, наверное, правы. Проблема «интересности» весьма непроста, так как величина чисел все время колеблется, то возрастая, то уменьшаясь. Здесь ДОЛЖНА быть какая-то регулярность, хотя на вид это выглядит довольно хаотично. Прекрасно понимаю, почему еще никто до сих пор не нашел для «интересности» такой процедуры проверки, которая обязательно кончается.

Черепаха: Кстати о кончающихся и некончающихся процедурах — это мне напоминает об одном из моих друзей; он сейчас работает над своей книгой.

Ахилл: Ах, как занимательно! Как же она называется?

Черепаха: «Медь, серебро, золото — этот неразрушимый сплав». Не правда ли, звучит интересно?

Ахилл: Честно говоря, я что-то не совсем понимаю. Что общего между собой у меди, серебра и золота?

Черепаха: Это ясно, как день.

Ахилл: Вот если бы книга называлась «Гориллы, серебро, золото» или «Эму, золото…» — тогда бы я еще мог понять…

Черепаха: Может быть, вы предпочли бы «Медь, серебро, бабуины»?

Ахилл: Безусловно! Но это действительное название какое-то совсем слабенькое. Никто его не поймет.

Черепаха: Я скажу моему другу. Он (как и его издатель) будет только рад поменять название на более завлекательное.

Ахилл: Приятно слышать. Но почему наш разговор напомнил вам об этой книге?

Черепаха: Ах, да. Видите ли, там будет Диалог, в котором автор постарается запутать читателей, заставив их искать конец.

Ахилл: Забавно. Как же он это сделает?

Черепаха: Вы, безусловно, замечали, как некоторые писатели стараются наращивать напряжение поближе к концу своих историй — но читатель, держа книгу в руках, ЗНАЕТ, что рассказ подходит к концу. Таким образом, у него есть дополнительная информация, которая действует как предупреждение. Напряжение и неизвестность немного подпорчены физической сущностью книги. Было бы гораздо лучше, если бы в конце романов писатели оставляли прокладку потолще.

Ахилл: Прокладку?

Черепаха: Именно; я имею в виду кучу печатных страниц, не имеющих никакого отношения к истории, но маскирующих ее скорое окончание.

Ахилл: А-а, понятно. Таким образом конец истории может отстоять на, скажем, пятьдесят или даже сто страниц от последней страницы книги?

Черепаха: Да. Это привнесло бы некоторый элемент сюрприза, поскольку читатель не будет знать заранее, сколько страниц относятся к прокладке и сколько — собственно к истории.

Ахилл: Такая система была бы эффективной, если бы не есть одна проблема. Представьте себе, что ваша прокладка была бы очевидной — скажем, чистые страницы, куча «А» или случайные буквы. Тогда она была бы совершенно бесполезной.

Черепаха: Согласна. Она должна быть похожа на обычные печатные страницы.

Ахилл: Но даже беглого взгляда на страницу из какой-либо истории зачастую хватает, чтобы отличить ее от страницы из другой истории.

Черепаха: Это верно. Я всегда представляла это так: вы кончаете одну историю и тут же пишете еще что-то, что весьма похоже на продолжение — но в действительности это только прокладка, никак не соотносящаяся с вашей историей. Эта прокладка — что-то вроде «конца после конца». В ней могут быть странные литературные идеи, совершенно не имеющие отношения к первоначальной теме.

Ахилл: Ловко! Но тогда вам не удастся сказать, где находится действительный конец. Он сольется с прокладкой.

Черепаха: Вот и мы с моим другом-писателем пришли к такому же заключению. Жаль, эта идея мне очень нравилась.

Ахилл: Послушайте, у меня есть предложение. Переход между историей и прокладкой может быть написан таким образом, что внимательный читатель сможет сказать, где кончается одна и начинается другая. Может быть, ему придется над этим посидеть. Может быть, будет вообще невозможно предсказать, сколько времени это у него отнимет. Но издатель сможет дать гарантию, что достаточно тщательный поиск всегда придет к концу, даже если мы и не знаем наперед, как долго он будет продолжаться.

Черепаха: Прекрасно; но что означает «достаточно тщательный»?

Ахилл: Это значит, что читатель должен будет искать в тексте некую крохотную, но важную деталь, которая укажет на действительный конец. И ему придется исхитриться, чтобы среди множества подобных деталей найти настоящую.

Черепаха: Что-то вроде изменения частоты букв или длины слов? Внезапная россыпь грамматических ошибок?

Ахилл: Совершенно верно. Какое-то шифрованное послание, которое поможет внимательному читателю найти конец книги. Еще можно вывести новых персонажей или придумать события, несоответствующие остальной истории. Наивный читатель проглотит это, не задумываясь, в то время как умудренный опытом человек сможет точно указать, где проходит граница.

Черепаха: Какая оригинальная идея, Ахилл. Я расскажу о ней другу и, может быть, он захочет вставить ее в свой Диалог.

Ахилл: Этим он окажет мне честь.

Черепаха: Знаете, боюсь, что я совсем засыпаю, Ахилл. Пойду-ка, пожалуй, пока я еще в силах добраться до дому.

Ахилл: Мне было очень приятно, что вы просидели у меня так долго в такой поздний час только лишь с тем, чтобы составить мне компанию. Уверяю вас, что ваши теоретико-численные рассказы явились прекрасным противоядием против моего обычного верчения в постели. Кто знает, может быть, мне даже удастся сегодня заснуть. В знак благодарности позвольте преподнести вам подарок.

Черепаха: Ах, Ахилл, что за глупости…

Ахилл: Для меня это одно удовольствие, г-жа Ч. Подойдите-ка к комоду; на нем лежит маленькая старинная шкатулка.

(Черепаха подходит к комоду.)

Черепаха: Неужели вы имеете в виду эту золотую шкатулку?

Ахилл: Ее самую. Пожалуйста, примите ее в знак нашей дружбы.

Черепаха: Премного вам благодарна, Ахилл. Гмм… Что это за имена математиков на крышке, да еще по-английски? Что за интересный список…

D e  M o r g a n

A b e l

B o o l e

В r о u w e r

S i e r p i n s k i

W e i e r s t r a s s

Ахилл: По идее, это должно быть Полным Списком Всех Великих Математиков. Только я никогда не мог понять, почему буквы, идущие вниз по диагонали, написаны жирным шрифтом.

Черепаха: Смотрите, тут внизу написано: «Отнимите 1 от диагонали, и вы найдете Баха в Лейпциге».

Ахилл: Я это тоже видел, но не могу сообразить, что бы это значило. Так я не запутывался с тех пор, когда пытался заниматься философией. Особенно меня тогда смутил Кант — оригинально, но уж больно туманно…

Черепаха: Прошу вас, ни слова о философии — я слишком устала. Лучше поползу-ка я домой. (Машинально открывает шкатулку.) Ах! Глядите, здесь внутри куча золотых монет! Да это же луидоры!

Ахилл: Вы доставите мне огромное удовольствие, приняв эти деньги, г-жа Ч.

Черепаха: Но… Но…

Ахилл: Пожалуйста, без возражений. Шкатулка и золото — ваши. И спасибо вам за несравненный вечер.

Черепаха: Как мило с вашей стороны. Надеюсь, вам удастся заснуть: выпейте стаканчик теплого молока, поставьте на патефон вашу любимую пластинку, и пусть вам приснится эта странная Гипотеза Гольдбаха и ее Вариации… Спокойной вам ночи. (Она берет золотую шкатулку, полную луидоров, и направляется к двери. В этот момент раздается громкий стук.) Кто бы это мог быть в такой поздний час, Ахилл?

Ахилл: Понятия не имею. Все это весьма подозрительно… Знаете что, спрячьтесь-ка на всякий случай за комодом!

Черепаха: Отличная мысль. (Заползает за комод.)

Ахилл: Кто там?

Голос: Откройте, полиция!

Ахилл: Входите, дверь не заперта!

(Входят два дюжих полицейских в новеньких, с иголочки, формах, со сверкающими кокардами на фуражках.)

Полицейский: Я — лейтенант Сильвер, а это — копертан Гулд. Проживает ли здесь некто по имени Ахилл?

Ахилл: Это я.

Полицейский: Мистер Ахилл, у нас есть все основания подозревать, что в вашей квартире находится золотая шкатулка с сотней луидоров. Она была украдена сегодня вечером из музея.

Ахилл: Ах, батюшки!

Полицейский: Она должна находиться здесь, потому что, кроме вас, подозревать некого. Придется вам пройти с нами… (Достает ордер на арест.)

Ахилл: Господи, как я счастлив, что вы наконец пришли! Весь вечер я мучился, слушая Черепашьи вариации на тему золотых шкатулок. Надеюсь, вы меня освободите! Прошу вас, господа, загляните за комод, и вы увидите там настоящего преступника!

(Полицейские заглядывают за комод; там, среди пыли и паутины, они видят дрожащую Черепаху с золотой шкатулкой в лапах.)

Полицейский: Ага! Вот она, злодейка! Никогда бы на нее не подумал — но поскольку она поймана с поличным…

Ахилл: Уведите поскорее отсюда эту преступницу, любезные господа. Слава Богу, мне уже никогда не придется слышать ни о ней, ни о ее Золотых Вариациях.

Блуп, Флуп и Глуп — это не имена гномов, не разговоры лягушек в пруду и не бульканье воды в засорившейся раковине. Это компьютерные языки, каждый из которых имеет особое предназначение. Они были придуманы специально для этой главы. Мы воспользуемся ими для того, чтобы объяснить новые значения слова «рекурсивный» — в частности, понятия примитивной рекурсивности и общей рекурсивности. Эти понятия помогут нам лучше объяснить механизм автореферентности в ТТЧ.

Здесь мы совершаем скачок от человеческого мозга и интеллекта к миру математики, техники и компьютеров. Этот переход, каким бы резким он не казался, все же имеет смысл. Мы только что убедились в том, что в сердце интеллекта лежит самосознание. Давайте теперь рассмотрим «самосознание» в более формальных контекстах, таких, как ТТЧ. Между ТТЧ и разумом — огромная дистанция; тем не менее, некоторые идеи окажутся весьма поучительными и, может быть, даже приложимыми к нашим рассуждениям о сознании.

Удивительно то, что самосознание в ТТЧ тесно связано с вопросом о порядке и хаосе среди натуральных чисел. В частности, мы увидим, что упорядоченная система, достаточно сложная, чтобы отразить саму себя, не может быть полностью упорядоченной — в ней обязательно окажутся некие странные, хаотические черты. Читателям, в которых есть что-то от Ахилла, трудно будет в это поверить. Однако здесь существует и некая «магическая» компенсация, что-то вроде порядка внутри хаоса; этот «хаотический порядок» изучается так называемой «теорией о рекурсивных функциях». К несчастью, здесь мы сможем дать только самое поверхностное понятие об этой интереснейшей теме.

Мы с вами уже довольно часто натыкались на такие выражения, как «достаточно сложный», «достаточно мощный» и тому подобное. Что именно они означают? Давайте вернемся к «войне» Краба с Черепахой и подумаем, какие качества необходимы предмету, чтобы его можно было бы назвать патефоном? Почему бы Крабу не сказать, что его холодильник — это «совершенный» патефон? В доказательство он мог бы положить на холодильник любую пластинку и сказать: «Вот видите, он ее проигрывает!» Если бы Черепаха захотела что-то противопоставить этому дзен-буддйстскому акту, она должна была ответить: «Нет, ваш холодильник такого низкого качества, что его нельзя назвать патефоном: он вообще не может воспроизводить звуков (а тем более, саморазбивальных звуков)». Черепаха может записать пластинку под названием «Меня нельзя сыграть на патефоне X», только если патефон X действительно является патефоном! Метод Черепахи весьма хитер, так как он играет не на слабости системы, а на ее силе. Поэтому, чтобы он подействовал, необходимы патефоны достаточно высокого качества.

То же самое верно и для формальных вариантов теории чисел. ТТЧ является формализацией теории чисел (Ч) именно потому, что ее символы действуют «так как надо»: они не молчат, как холодильник, а выражают существующие в теории чисел истины. Конечно, так же ведут себя символы системы pr. Можно ли и эту систему считать за формализацию Ч, или же она больше похожа на холодильник? На самом деле, она чуть получше холодильника, но все еще очень слаба. Система pr не включает достаточного количества основных истин Ч и поэтому не может считаться за «теорию чисел».

Что же такое «основные истины» Ч? Это примитивно рекурсивные истины, что означает, что они включают только предсказуемо конечные вычисления. Эти основные истины являются для Ч тем же, чем четыре постулата Эвклида для геометрии: они позволяют нам забраковать некоторых кандидатов еще до начала игры, на основании того, что они «недостаточно мощные». В дальнейшем, критерием «достаточной мощности» системы будет представимость в ней всех примитивно рекурсивных истин.

Важность этого понятия видна из следующего факта; если у вас есть достаточно мощная формализация теории чисел, то к ней приложим метод Гёделя — следовательно, ваша система неполна. С другой стороны, если ваша система недостаточно мощна (то есть, если не все примитивно рекурсивные истины являются ее теоремами), то она, именно в силу этого недостатка, все равно является неполной. Здесь перед нами тот же «Гантов топор», перенесенный в метаматематику: что бы система не делала, Гёделев Топор отсечет ее голову! Заметьте, что это положение дел также напоминает спор о высоком и низком качестве патефонов в «Акростиконтрапунктусе».

На самом деле оказывается, что метод Гёделя приложим даже к намного более слабым системам: критерий мощности, по которому все примитивно рекурсивные истины должны быть теоремами системы, оказывается слишком строгим. Это похоже на вора, который грабит только «достаточно богатых» людей — его жертва должна иметь в кармане по меньшей мере миллион долларов. К счастью, в случае ТТЧ, мы сможем стать такими грабителями, так как миллион у нее есть — иными словами, ТТЧ действительно содержит все примитивно рекурсивные истины в виде теорем.

Прежде чем углубиться в подробное обсуждение примитивно рекурсивных функций и предикатов, я постараюсь связать эту тему с темами предыдущих глав, чтобы дать читателю определенную перспективу.

Мы уже с самого начала столкнулись с тем, что формальные системы могут вести себя как неукротимые и опасные бестии, когда в них есть удлиняющие и укорачивающие правила, поскольку это может привести к бесконечному поиску среди строчек. Открытие Гёделевой нумерации показало, что у любого поиска строчки с определенным типографским свойством есть арифметический кузен: изоморфный поиск целого числа с соответствующим арифметическим свойством. Следовательно, чтобы найти разрешающий алгоритм для формальных систем, необходимо решить проблему непредсказуемо длинного поиска — хаоса — среди строчек. Возможно, что в «Арии с различными вариациями» я преувеличил хаос в задачах о целых числах. В действительности, математикам удалось укротить гораздо худшие случаи кажущегося хаоса, чем проблема «интересности»; в конце концов, все они оказались довольно милыми зверями. Нерушимая вера Ахилла в регулярность и предсказуемость чисел достойна немалого уважения по крайней мере потому, что она отражает взгляды, которых придерживались почти все математики до 1930-х годов. Чтобы показать, почему противопоставление порядка и хаоса такая деликатная и важная тема, и связать ее с вопросом о местоположении и извлечении значения, я хотел бы процитировать здесь замечательный и памятный отрывок из диалога «Реальны ли числа?» написанного в Галилеевом стиле покойным Ж. М. Джочем (J.M. Jauch. Are quanta real?):

САЛВИАТИ: Представьте, что я даю вам два ряда чисел, например:

7 8 5 3 9 8 1 6 3 3 9 7 4 4 8 3 0 9 6 1 5 6 6 0 8 4 …

и

1, -1/3, +1/5, -1/7, +1/9, -1/11, +1/13, -1/15, …

Если бы я спросил вас, СИМПЛИЦИО, какое следующее число в первом ряду, что бы вы сказали?

СИМПЛИЦИО: Я бы не мог ответить. На мой взгляд, это случайный набор чисел, и в нем нет никакого закона.

САЛИВИАТИ: А как насчет второго ряда?

СИМПЛИЦИО: Это проще простого. Следующим числом будет +1/17.

САЛВИАТИ: Верно. Но что бы вы сказали, узнав, что первый ряд также построен по закону, причем точно по такому же, какой вы только что открыли для второго ряда?

СИМПЛИЦИО: Это мне кажется маловероятным.

САЛВИАТИ: На самом деле, это так и есть, поскольку первый ряд — просто начало десятичной дроби суммы второго ряда. Она равняется π/4.

СИМПЛИЦИО: У вас в запасе всегда есть какой-нибудь математический трюк, но я не понимаю, какое отношение это имеет к абстракции и реальности.

САЛВИАТИ: Для абстракции это легко заметить. Первый ряд выглядит случайным, пока мы не разовьем с помощью абстрагирования несложный фильтр, позволяющий нам замечать простую закономерность за кажущейся хаотической абстракцией.

Именно таким образом были открыты законы природы. Явления природы предстают перед нами как хаотические, пока мы не выберем некие значительные события и абстрагируемся от мелких, незначительных обстоятельств, в которых они происходили, так что эти события становятся идеализированными. Только тогда они предстают во всем блеске своей регулярности.

САГРЕДО: Чудесная мысль! Выходит, что пытаясь понять природу, мы должны воспринимать события так, словно это сообщения, которые надо расшифровать. Каждое сообщение выглядит случайным, пока мы не найдем кода для его прочтения. Этот код принимает абстрактную форму, поскольку мы сознательно игнорируем некоторые неважные детали; таким образом, отчасти мы сами выбираем содержание сообщения. Эти неважные сигналы — что-то вроде «шумового фона», который ограничит аккуратность нашего прочтения.

Но поскольку код не абсолютен, в нашем сыром материале может содержаться несколько сообщений, так что перемена кода позволит нам прочесть как значительное сообщение то, что прежде было просто шумом. И наоборот: в новом коде прежнее сообщение может стать бессмысленным.

Таким образом, код предполагает свободный выбор между разными, дополняющими друг друга аспектами, каждый из которых с одинаковым правом может именоваться реальностью, если я позволю себе использовать это сомнительное слово.

О некоторых из этих аспектов мы, возможно, на сегодняшний день даже не подозреваем, но они могут стать явными для наблюдателя с иной системой абстракций.

Но скажите мне, Салвиати, как в таком случае можно утверждать, что мы что-то открыли в реальном мире? Не значит ли это, что мы просто создаем вещи в согласии с нашими внутренними образами, и что действительность находится только у нас в голове?

САЛВИАТИ: Я не думаю, что это так — тем менее, этот вопрос требует более глубокого размышления.[40]

Джоч говорит здесь о «сообщениях», посланных не разумными существами, но самой природой. Однако вопрос об отношении смысла и сообщения, на который мы пытались ответить в главе VI, может быть задан и здесь. Хаотична ли природа, или же в ней имеется некая закономерность? И какова роль интеллекта в поисках ответа на этот вопрос?

Теперь оставим в стороне философию и подумаем над вопросом регулярности рядов, выглядящих хаотическими. Может ли быть; что у функции Q(n) из главы V есть также и простое, нерекурсивное объяснение? Можно ли увидеть любую проблему, как фруктовый сад, с такого угла, что ее секрет становится явным? Или же в теории чисел есть проблемы, остающиеся загадкой, с какого бы угла мы их не рассматривали?

После этого вступления мне кажется, что настало время точно определить термин «предсказуемо длинный поиск». Для этого мы воспользуемся языком БЛУП.

Мы займемся здесь поисками натуральных чисел с различными свойствами. Чтобы мы могли говорить о длине поиска, нам необходимо определить некие основные шаги, из которых состоит каждый поиск. Тогда мы сможем измерять длину поиска количеством шагов. Вот некоторые шаги, которые можно считать основными:

сложение двух натуральных чисел;

умножение двух натуральных чисел;

определение равенства двух чисел;

определение того, какое из двух чисел больше.

Если мы попытаемся сформулировать некий тест, — например, на простоту чисел, — в терминах таких шагов, мы вскоре увидим, что нам необходимо включить в него управляющую структуру — описание того, в каком порядке надо действовать: когда надо отойти назад и попытаться сделать что-то снова, или пропустить несколько шагов, или остановиться и т. п.

Любой алгоритм — описание того, как выполнить определенное задание — обыкновенно состоит из смеси (1) набора конкретных операций и (2) контрольных высказываний. Таким образом, разрабатывая наш язык для описания предсказуемо длинных вычислений, мы должны включить в него также основные контрольные структуры. Отличительное свойство Блупа — это ограниченное количество его контрольных структур. В нем нельзя совершать произвольные шаги или повторять группы шагов до бесконечности. Практически единственная контрольная структура Блупа — это ограниченные петли: набор команд, которые можно повторять снова и снова, но лишь ограниченное число раз; это число называется верхней границей, или потолком петли. Если потолок данной петли 300, то она может быть выполнена 0,7 или 300 раз — но не 301.

Программист не должен вводить в программу точной величины всех верхних границ; в действительности, он может и не знать этого заранее. Вместо этого, каждый потолок может быть вычислен до того, как программа начинает выполнять соответствующую петлю. Например, если вы собираетесь вычислить величину 2 ^{3 n}, у вас будут две петли. Сначала вы подсчитаете 3 ⁿ; для этого вам придется применить умножение n раз. Затем вы возьмете полученное число и возведете два в эту степень. Таким образом, верхняя граница второй петли — результат вычислений, произведенных вами в первой петле.

В программе Блуп это выражается следующим образом:

ОПРЕДЕЛИТЬ ПРОЦЕДУРУ «ДВА-В-СТЕПЕНИ-ТРИ-В-СТЕПЕНИ»[N]:

БЛОК 0:НАЧАЛО

      ЯЧЕЙКА(О)<=1;

      ЦИКЛ N РАЗ;

      БЛОК 1: НАЧАЛО

           ЯЧЕЙКА(О)<= 3 * ЯЧЕЙКА(О);

      БЛОК 1:КОНЕЦ;

      ЯЧЕЙКА(1) <= 1;

      ЦИКЛ ЯЧЕЙКА(О) РАЗ:

          БЛОК 2:НАЧАЛО

               ЯЧЕЙКА(1)<= 2 * ЯЧЕЙКА(1);

          БЛОК 2:КОНЕЦ;

          ВЫХОД <= ЯЧЕЙКА(1);

БЛОК 0:КОНЕЦ.

Умение читать программу, написанную на компьютерном языке, и понимать, что она делает, приходит со временем. Но надеюсь, что этот алгоритм достаточно прост, чтобы его можно было понять без особого труда. В нем определяется процедура, имеющая одно входное значение — N; выходом этой процедуры будет искомая величина.

Данное определение процедуры имеет блочную структуру; это означает, что некоторые его порции должны рассматриваться как единицы, или блоки. Все действия в блоке выполняются как одно целое. Каждый блок пронумерован (внешний блок получает номер 0) и ограничен НАЧАЛОМ и КОНЦОМ. В нашем примере в БЛОКЕ 1 и БЛОКЕ 2 было всего по одной инструкции, но вскоре мы будем иметь дело с более длинными блоками. Инструкция ЦИКЛ означает, что нужно повторить несколько раз блок, следующий ниже. Как вы видели выше, блоки могут быть вставлены один в другой.

Стратегия этого алгоритма ничем не отличается от той, которую я описал выше. Сначала вы берете вспомогательную переменную под названием ЯЧЕЙКА(0); для начала, вы придаете ей значение 1 и затем, исполняя цикл, вы несколько умножаете ее на 3 и повторяете это ровно N раз. Потом вы повторяете ту же процедуру для ЯЧЕЙКИ(1): придаете ей значение 1 и умножаете на 2 ровно ЯЧЕЙКА(0) раз; после этого вы останавливаетесь. Наконец, вы придаете выходу значение, полученное вами для ЯЧЕЙКИ(1). Именно эта величина достигает внешнего мира — это единственное действие процедуры, заметное извне.

Необходимо отметить кое-что относительно нотации. Прежде всего, значение указывающей налево стрелки следующее:

Вычислить выражение справа, взять результат и придать это значение ЯЧЕЙКЕ (или ВЫХОДУ) слева.

Таким образом, команда ЯЧЕЙКА(1) <= 3 * ЯЧЕЙКА(1) означает что вы должны утроить величину ЯЧЕЙКИ(1). Каждую ЯЧЕЙКУ можно представить как отдельное слово в памяти компьютера. Единственная разница между ЯЧЕЙКОЙ и настоящим словом заключается в том, что последнее может содержать только целые числа до определенного конечного предела, в то время как в ЯЧЕЙКЕ может храниться сколь угодно большое натуральное число.

Каждая процедура в Блупе, будучи вызванной, производит определенную величину — а именно, величину переменной под названием ВЫХОД. В начале выполнения любой процедуры мы предполагаем, что при отсутствии дополнительных указаний ВЫХОДОМ будет 0. (Подобное предположение называется выбором по умолчанию, или стандартным выбором.) Благодаря этому, даже если процедура не установит никакого иного ВЫХОДА, мы тем не менее всегда будем знать его величину.

Давайте теперь посмотрим на другую процедуру, которая покажет нам некоторые черты Блупа, делающие эту программу более общей. Каким образом можно найти значение M-N, если мы умеем только складывать? Трюк состоит в том, чтобы прибавлять различные числа к N до тех пор, пока мы не получим таким образом М. Но что, если М меньше N? Что, если нам нужно отнять 5 от 2? В области натуральных чисел ответа на этот вопрос нет. Но мы хотим, чтобы наша процедура Блуп все равно дала бы нам ответ — скажем, 0. Вот процедура Блупа, которая выполняет вычитание:

ОПРЕДЕЛИТЬ ПРОЦЕДУРУ «ВЫЧИТАНИЕ»[M,N]:

БЛОК 0: НАЧАЛО

      ЕСЛИ M < N, ТО;

      ВЫЙТИ ИЗ БЛОКА 0;

           ПОВТОРИТЬ ЦИКЛ НЕ БОЛЬШЕ ЧЕМ M + 1 РАЗ;

           БЛОК 1:НАЧАЛО

                ЕСЛИ ВЫХОД + N = M, ТО:

                ПРЕРВАТЬ ЦИКЛ 1;

                ВЫХОД <= ВЫХОД + 1;

           БЛОК 1:КОНЕЦ;

БЛОК 0:КОНЕЦ.

Здесь мы предполагаем, что ВЫХОД начинается с нуля. Если М меньше N, то вычитание становится невозможным, и мы сразу перескакиваем к БЛОКУ 0; в таком случае, ответ равняется 0. Именно это означает строчка ВЫЙТИ ИЗ БЛОКА 0. Но если М не меньше N, то мы пропускаем эту строчку и выполняем следующую команду (здесь это повторение цикла). Так работают в Блупе команды типа ЕСЛИ.

Итак, мы входим в ЦИКЛ 1, называющийся так потому, что он предлагает нам повторить БЛОК 1. Мы пробуем добавить к N сначала 0, затем 1, 2 и т. д., пока не находим числа, дающего в результате М. В этот момент мы ПРЕРЫВАЕМ цикл, в котором мы находимся, то есть переходим к команде, сразу следующей за КОНЦОМ этого цикла. В данном случае, мы попадаем к команде БЛОК 1: КОНЕЦ. Это последняя команда нашего алгоритма. ВЫХОД теперь содержит правильный ответ.

Заметьте, что у нас есть две различных команды, позволяющие нам перепрыгнуть вниз: ВЫЙТИ и ПРЕРВАТЬ. Первая относится к блокам, вторая — к циклам. ВЫЙТИ ИЗ БЛОКА н означает перейти к его последней строчке, в то время как ПРЕРВАТЬ ЦИКЛ н значит перепрыгнуть к строчке, сразу следующей за последней строчкой БЛОКА N. Это различие важно только тогда, когда вы находитесь внутри цикла и хотите его продолжить — но при этом хотите выйти из соответствующего блока; это исполняет команда ВЫЙТИ.

Заметьте также, что слова НЕ БОЛЬШЕ ЧЕМ теперь находятся перед верхней границей цикла; это говорит нам, что цикл может быть прерван до того, как достигнута его верхняя граница.

Остается объяснить две важные особенности Блупа. Первая из них состоит в том, что однажды определенная процедура может быть вызвана при определении следующих процедур. Она рассматривается в таком случае как нечто целое, как основной шаг. Эту черту Блупа можно назвать автоматическим созданием блоков. Это сравнимо с тем, как хороший фигурист выучивает новые движения: вместо длинной последовательности основных мускульных действий, он повторяет ранее выученные движения, которые, в свою очередь, состоят из ранее выученных движений — и так далее. Возможно, что нам придется отступить на несколько уровней, пока мы не придем к уровню «основных мускульных действий». Так же, как репертуар движений фигуриста, репертуар петель и прыжков Блупа растет очень быстро.

Другая важная черта Блупа — это то, что выходом некоторых процедур в нем может быть ДА или НЕТ вместо числового значения. Такие процедуры являются не функциями, но тестами. Чтобы указать на эту разницу, в конце названия теста ставится вопросительный знак. Кроме того, стандартным выбором ВЫХОДА здесь, разумеется, будет не 0, а НЕТ.

Давайте посмотрим, как работают эти черты Блупа в алгоритме, проверяющем, какие числа являются простыми.

ОПРЕДЕЛИТЬ ПРОЦЕДУРУ «ПРОСТОЕ?» [N]:

БЛОК 0:НАЧАЛО

     ЕСЛИ N = О, ТО:

     ВЫЙТИ ИЗ БЛОКА 0;

     ЯЧЕЙКА(0) <= 2;

     ПОВТОРИТЬ ЦИКЛ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ МИНУС [N,2] РАЗ:

     БЛОК 1: НАЧАЛО

          ЕСЛИ ОСТАТОК [N, ЯЧЕЙКА(0)] = 0, ТО;

          ВЫЙТИ ИЗ БЛОКА 0;

          ЯЧЕЙКА(0)<= ЯЧЕЙКА(0) +1;

     БЛОК 1: КОНЕЦ;

     ВЫХОД <= ДА;

БЛОК 0: КОНЕЦ.

Заметьте, что в этом алгоритме я вызвал две процедуры: МИНУС и ОСТАТОК. (Имеется в виду, что последняя была определена раньше; вы можете попробовать найти ее определение сами.) Этот тест на простоту чисел работает, перебирая один за другим потенциальные множители N, начиная с двух и кончая не более чем N-1. Если при делении N на любое из этих чисел остаток равняется нулю, то мы перескакиваем к концу алгоритма, поскольку на этой стадии ВЫХОД еще стандартный — НЕТ. Только если N не делится ни на одно из этих чисел, оно сможет пройти весь ЦИКЛ 1; тогда мы придем к команде ВЫХОД <= ДА, и после ее выполнения процедура будет закончена.

Мы только что видели, как определяются процедуры в Блупе; однако, определение процедуры — лишь часть программы. Программа состоит из цепи определений процедур, каждая из которых вызывает определенные ранее процедуры. За этим может следовать один или несколько вызовов определенных таким образом процедур. Таким образом, примером полной программы Блупа было бы определение процедуры ДВА В СТЕПЕНИ ТРИ В СТЕПЕНИ, с последующим вызовом

ДВА В СТЕПЕНИ ТРИ В СТЕПЕНИ [2].

результатом чего было бы 512.

Если у вас есть только цепь определений процедур, то ни одна из них не исполняется; для этого необходим некий вызов, вводящий специфические числовые величины. Только тогда процедуры начинают действовать. Это напоминает мясорубку, ждущую, чтобы в нее заложили порцию мяса — или, скорее, целую цепь мясорубок, связанных таким образом, что каждая из них получает сырье от предыдущих. Сравнение с мясорубками, возможно, не слишком аппетитно; однако в случае программ Блупа это понятие очень важно. Такие программы мы будем называть «программами без вызова». Пример подобной программы показан на рис. 72.

Блуп — язык для определения предсказуемо конечных вычислений. Стандартное название функций, которые можно просчитать на Блупе, — примитивно-рекурсивные функции; стандартное название свойств, которые можно обнаружить с помощью тестов на Блупе, — примитивно-рекурсивные предикаты. Так, функция 2³ⁿ — примитивно-рекурсивная функция, а утверждение «n — простое число» — примитивно-рекурсивный предикат.

Интуиция подсказывает нам, что свойство Гольдбаха — примитивно-рекурсивное; чтобы сделать это яснее, я приведу определение процедуры Блупа, которая показывает, как можно проверить наличие или отсутствие этого свойства:

ОПРЕДЕЛИТЬ ПРОЦЕДУРУ «ГОЛЬДБАХ?» [N]:

БЛОК 0: НАЧАЛО

     ЯЧЕЙКА(О) <= 2;

     ПОВТОРИТЬ ЦИКЛ НЕ БОЛЬШЕ N РАЗ;

     БЛОК 1: НАЧАЛО

          ЕСЛИ {ПРОСТОЕ? [ЯЧЕЙКА(О)]

              И ПРОСТОЕ? [МИНУС [N, ЯЧЕЙКА(0)]]},

                ТОГДА:

          БЛОК 2:НАЧАЛО

                 ВЫХОД 2: <= ДА;

                 ВЫЙТИ ИЗ БЛОКА 0;

          БЛОК 2: КОНЕЦ

          ЯЧЕЙКА(0) <= ЯЧЕЙКА(0) + 1;

     БЛОК 1:КОНЕЦ;

БЛОК 0: КОНЕЦ.

Как обычно, мы предполагаем, что выходом будет НЕТ, если не доказано обратное, и мы просто ищем при помощи «грубой силы» такие пары чисел, которые в сумме дают N. Если они оба — простые числа, то мы выходим из внешнего блока; в противном случае, мы пробуем снова, пока не исчерпаем все возможности.

(Внимание: тот факт, что свойство Гольдбаха — примитивно-рекурсивное, не означает, что вопрос «все ли числа обладают свойством Гольдбаха» прост. Это далеко не так!)

Рис. 72. Структура программы без вызова в Блупе. Чтобы такая программа была самодостаточная, каждое определение процедуры может вызывать только те процедуры, определенные выше него.

Сможете ли вы написать похожую процедуру Блупа, которая проверяла бы наличие у числа свойства Черепахи (или Ахилла)? Попытайтесь! Если вам это не удается, то только лишь потому, что вы не знаете, какой будет верхняя граница? Возможно ли, что существует какое-то фундаментальное препятствие, вообще не позволяющее формулировать подобные алгоритмы в Блупе? А что, если задать те же вопросы касательно свойства интересности, определенного в Диалоге?

Ниже я привожу некоторые функции и свойства; попробуйте определить для каждого из них, является ли оно примитивно-рекурсивным (то есть, программируемым на Блупе). Для этого вы должны будете хорошенько подумать, какой тип операций потребуется для соответствующих вычислений и можно ли определить потолок для всех циклов данной процедуры.

ФАКТОРИАЛ [N] = N! (ФАКТОРИАЛ ОТ N)

      (например, ФАКТОРИАЛ [4] = 24)

ОСТАТОК [M.N] = остаток после деления М на N

      (например, ОСТАТОК [24,7] = 3)

ЦИФРА π [N] = N-ная цифра π после запятой  

      (например, ЦИФРА π [1] = 1, 

                 ЦИФРА π [2] = 4,

                 ЦИФРА π [1 000 000] = 1)

ФИБО[М] = N-ное число ряда Фибоначчи

     (например, ФИБО [9] = 34)

ПРОСТОЕ ЧИСЛО ЗА [N] = наименьшее простое число, следующее за N

     (например, ПРОСТОЕ ЧИСЛО ЗА [33] = 37)

СОВЕРШЕННОЕ [N] = N-ное «совершенное» число, такое как, например, 28, чьи множители в сумме дают само это число: 28 =1+2+4+7+14

     (например, СОВЕРШЕННОЕ [2] = 28)

ПРОСТОЕ? [N] = ДА если N простое число, в противном случае, НЕТ.

СОВЕРШЕННОЕ [N]? = ДА если N совершенное число, в противном случае, НЕТ.

ОБЫКНОВЕННОЕ? [А, В, С, N] = ДА, если A ^N+ В ^N= С ^N верно; в противном случае, НЕТ.

    (например, ОБЫКНОВЕННОЕ ? [3, 4, 5, 2] = ДА,

                      ОБЫКНОВЕННОЕ ? [3, 4, 5, 3] = НЕТ)

ПЬЕР? [А,В,С] = ДА, если A ^N+ В ^N= С ^N верно для N > 1; в противном случае, НЕТ.

     (например, ПЬЕР? [3, 4, 5] = ДА,

                      ПЬЕР? [1,2,3] = НЕТ)

ФЕРМА? [N] == ДА, если А ^N + В ^N = С ^N верно для неких положительных величин А, В, и С; в противном случае, НЕТ.

      (например, ФЕРМА? [2] = ДА)

ЧЕРЕПАШЬЯ ПАРА? [M, N] = ДА если M и M + N простые числа; в противном случае, НЕТ.

     (например, ЧЕРЕПАШЬЯ ПАРА? [5, 1742] = ДА

                      ЧЕРЕПАШЬЯ ПАРА? [5, 100] = НЕТ)

ЧЕРЕПАХА [N] = ДА, если N - разность двух простых чисел, в противном случае, НЕТ.

     (например, ЧЕРЕПАХА [1742] = ДА,

                       ЧЕРЕПАХА [7] = НЕТ)

ХОРОШО СФОРМИРОВАННАЯ MIU? [N] = ДА, если N, в качестве строчки MIU, хорошо сформировано; в противном случае, НЕТ.

      (например, ХОРОШО СФОРМИРОВАННАЯ MIU? [310] = ДА,

                       ХОРОШО СФОРМИРОВАННАЯ MIU? [415] = НЕТ)

ПАРА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА MIU? [М, N] = ДА. если М, рассматриваемое как  последовательность  строчек MIU, является деривацией N, рассматриваемого  как строчка системы MIU; в противном случае, НЕТ.

     (например, ПАРА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА MIU? [3131131111301, 301] = ДА,

                       ПАРА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА MIU? [311130, 30] = НЕТ)

ТЕОРЕМА MIU? [N]= ДА, если N, в качестве строчки MIU, является теоремой; в противном случае, НЕТ.

      (например, ТЕОРЕМА MIU? [311] = ДА,

                       ТЕОРЕМА MIU? [30]= НЕТ,

                       ТЕОРЕМА MIU? [701]= НЕТ)

ТЕОРЕМА ТТЧ? [N]= ДА, если N, в качестве строчки ТТЧ, является теоремой; в противном случае, НЕТ.

        (например, ТЕОРЕМА ТТЧ? [666111666] = ДА,

                          ТЕОРЕМА ТТЧ?[123666111666] = НЕТ,

                          ТЕОРЕМА ТТЧ? [7014] = НЕТ)

ЛОЖНО? [N)= ДА, если N, в качестве строчки ТТЧ, представляет собой ложное утверждение теории чисел; в противном случае, НЕТ.

       (например,  ЛОЖНО? [666111666]= НЕТ,

                         ЛОЖНО? [223666111666]= ДА,

                         ЛОЖНО? [7014]= НЕТ)

Последние семь примеров особенно важны для наших будущих метаматематических исследований, поэтому они заслуживают самого пристального внимания.

Прежде, чем рассмотреть еще несколько интересных вопросов, касающихся Блупа, и перейти к его родственнику, Флупу, давайте вернемся к тому, зачем нам вообще понадобился Блуп, и к его связи с ТТЧ. Ранее я сказал, что критическая масса, необходимая формальной системе для приложения метода Гёделя, достигается тогда, когда в этой системе представимы все примитивно-рекурсивные понятия. Что это означает? Прежде всего, мы должны различать между понятиями представимости и выразимости. Выразить предикат означает просто перевести его с русского языка на язык формальной системы. Это не имеет ничего общего с теоремностью. С другой стороны, если предикат представлен, это означает, что

(1) Все истинные примеры этого предиката — теоремы;

(2) Все ложные примеры этого предиката — не теоремы.

Под «примером» я имею в виду строчку, которая получается при замене всех свободных переменных на числовые величины. Например, предикат m + n = k представлен в системе рr, поскольку каждый истинный пример этого предиката — теорема, и каждый ложный — не теорема. Таким образом, каждый частный случай сложения, истинный или ложный, переводится в разрешимую строчку системы рr. Однако система pr не способна выразить — и меньше того, представить — никакие другие свойства натуральных чисел. Она была бы слабеньким кандидатом в соревновании систем, способных символизировать теорию чисел.

ТТЧ, со своей стороны, способна выразить практически любой теоретико-численный предикат; например, легко написать строчку ТТЧ, выражающую предикат «b имеет свойство Черепахи». Таким образом, в смысле выразительной мощи ТТЧ — это именно то, что нам требуется.

Однако вопрос «Какие свойства представлены в ТТЧ?» эквивалентен вопросу «Насколько мощной аксиоматической системой является ТТЧ?» Можно ли сказать, что в ней представлены все возможные предикаты? Если это так, то ТТЧ может ответить на любой вопрос теории чисел — то есть она полна.

Хотя вскоре выяснится, что ее полнота не более чем химера, ТТЧ полна, по крайней мере, в отношении примитивно-рекурсивных предикатов. Иными словами, любое высказывание теории чисел, чья истинность или ложность могут быть разрешены компьютером за некое предсказуемое время, разрешимо также в ТТЧ. Иными словами,

Если на Блупе можно написать тест для некого свойства натуральных чисел, то это свойство представлено в ТТЧ.

Свойства чисел, которые можно обнаружить с помощью тестов Блупа, широко варьируются: это простота чисел, их совершенность, наличие у них свойства Гольдбаха, то, является ли число степенью двух и т. д. Логично было бы спросить, всякое ли свойство чисел может быть обнаружено соответствующей программой Блупа. Нас не должно смущать, что мы пока не можем проверить число на его интересность. Это может означать лишь то, что у нас не хватает знаний; возможно, если как следует поискать, нам удалось бы найти верхнюю границу соответствующего цикла. Тогда мы могли бы тут же написать тест Блупа. То же самое можно сказать и о свойстве Черепахи.

Следовательно, вопрос в том, можно ли найти потолок для любого цикла — или же теории натуральных чисел присуща некая беспорядочность, мешающая нам предсказать заранее длину некоторых вычислений? Удивительно то, что верно второе, и сейчас мы увидим, почему. Наверное, именно такой тип рассуждений свел с ума Пифагора, впервые доказавшего иррациональность корня из двух. В нашем доказательстве мы будем использовать знаменитый диагональный метод, изобретенный основателем теории множеств Георгом Кантором.

Для начала представим себе забавное понятие: некий клуб, членами которого являются все возможные программы Блупа. Нет нужды говорить, что число членов этого клуба (назовем его клубом Б) бесконечно. Рассмотрим часть этого клуба, так сказать, подклуб, полученный после трех последовательных фильтрующих операций. Первый фильтр оставит нам только программы без вызова. Из этого подклуба мы уберем все тесты, оставив только функции. (Кстати, последняя процедура программ без вызова определяет, является ли программа тестом или функцией.) Третий фильтр удержит только функции с единственным входным параметром. Что у нас остается?

Полный набор всех безвызовных программ Блупа, вычисляющих функции с единственным входным параметром.

Назовем такие специальные функции Белыми Программами.

Следующим шагом будет установление для каждой Белой Программы определенного номера-индекса. Как это можно сделать? Легче всего составить список Белых Программ согласно их длине: самая короткая возможная программа будет #1, вторая по длине — #2 и т. д. Разумеется, некоторые программы окажутся одинаковой длины — в этом случае мы будем пользоваться также алфавитным порядком. Термин «алфавитный порядок» здесь употребляется в широком смысле: алфавит включает как кириллические, так и латинские буквы, а также все специальные символы Блупа в неком произвольно установленном порядке, как, например, следующий:

А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П

Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Э Ь Ю Я

A B C D E F G H I J K L M N

O P Q R S T U V W X Y Z + Х

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 <= = <  >

( ) [ ] { } - ' ? : ; , .

В конце находится скромный интервал, пустое место! Всего 88 символов. Для удобства, мы можем поместить все Белые Программы длины 1 в том 1, программы их двух символов — в том 2 и т. д. Ясно, что первые несколько томов будут совершенно пустыми, в то время как все последующие тома будут заполнены (каждый том будет содержать конечное количество записей). Самой короткой Белой Программой будет следующая:

ОПРЕДЕЛИТЬ ПРОЦЕДУРУ «А» [В]:

БЛОК 0:НАЧАЛО

БЛОК 0: КОНЕЦ.

Эта глупенькая мясорубка выдает 0, что бы в нее ни засунули. Эта программа находится в томе 59, поскольку в ней 59 символов (считаются все необходимые интервалы, включая те, что разделяют строчки).

Тома, следующие за томом 59, вскоре станут претолстыми, поскольку существуют миллионы различных способов комбинировать символы и составлять Белые Программы. Однако мы не будем печатать здесь весь этот бесконечный каталог; нам важно знать только то, что он четко определен и что каждая Белая Программа Блупа имеет свой собственный, неповторяющийся индекс. Именно в этом — основная идея.

Давайте определим функцию, вызываемую k-нон Белой Программой следующим образом:

Belprogram {#k}[N]

Здесь k — индекс программы, и N — единственный параметр входа. Например, Белая Программа #12 может выдать результат, вдвое больший ее входа:

Belprogram {#12}[N] = 2 * N

Смысл вышеприведенного уравнения в том, что программа, приведенная слева, выдает такую же величину, которую получил бы человек, пользуясь обыкновенным алгебраическим выражением справа. Еще один пример: Белая Программа # 5000 может сосчитать куб числа на основании входного параметра:

Belprogram {#5000}[N] = N³

Давайте теперь применим обещанный трюк — Канторов диагональный метод. Возьмем каталог всех Белых Программ и используем его для определения новой функции с одной переменной — Beldiag [N]. Этой функции не окажется нигде в нашем списке (поэтому ее название выделено курсивом). Тем не менее, Beldiag будет хорошо определенной, Вычислимой функцией с одной переменной; таким образом, нам придется заключить, что некоторые функции просто невозможно запрограммировать на Блупе. Вот определение Beldiag [N]:

Уравнение (1) … Beldiag [N]: = 1 + Belprogram {#N}[N]

Стратегия здесь следующая: в каждую «мясорубку» закладывается ее собственный индекс, и к результату прибавляется 1. Для примера, давайте найдем Beldiag [12]. Мы знаем, что Belprogram [N] — это функция 2N; следовательно, Beldiag [12] должна иметь значение 1 + 2 * 12, то есть 25. Так же, Beldiag [5000] имела бы значение 125 000 000 001, поскольку она на единицу больше куба 5000. Подобным образом можно найти Beldiag любого аргумента.

Интересно то, что сама Beldiag [N] не представлена в каталоге Белых Программ. Она просто не может там быть — и вот почему: чтобы быть одной из Белых Программ, каждая программа должна иметь индекс. Возьмем, к примеру, Белую Программу #X. Этот факт выражается следующим уравнением:

Уравнение (2) … Beldiag [N]: = Belprogram {#X}[N]

Однако между уравнениями (1) и (2) есть противоречие, которое становится явным, когда мы пытаемся вычислить величину Beldiag [X]. Для этого мы должны заменить N на X в обоих уравнениях. В случае уравнения (1) мы получим:

Beldiag [X] = 1 + Belprogram {#X}[X]

С другой стороны, произведя замену в уравнении (2), мы получаем:

Beldiag [X] = Belprogram {#X}[X]

Но Beldiag [N] не может быть равен одновременно и числу, и его последователю, как утверждают эти два уравнения. Нам придется вернутся назад и избавиться от допущения, на котором основано это противоречие. Единственным кандидатом оказывается уравнение (2), утверждающее, что Beldiag [N] может быть закодировано как Белая Программа Блупа. И это доказывает, что Beldiag не является примитивно-рекурсивной функцией. Таким образом, нам удалось достигнуть своей цели и разрушить милое, но наивное убеждение Ахилла о том, что любая теоретико-числовая функция может быть вычислена за предсказуемое количество шагов.

С Beldiag [N] происходят довольно интересные вещи. Например, вы можете пораздумывать над следующим фактом: для каждого конкретного N можно предсказать число необходимых шагов, но при этом невозможно найти общий рецепт для предсказания длины вычислений Beldiag [N]. Перед нами — бесконечный заговор, родственный идее Черепахи о «бесконечных совпадениях», а также ω-неполноте. Здесь, однако, мы не будем подробно останавливаться на этих отношениях.

Почему этот прием называется диагональным аргументом? Этот термин восходит к первоначальному диагональному аргументу Кантора, на котором впоследствии были основаны многие другие доводы (в том числе наш). Объяснение первоначального аргумента Кантора немного отвлечет нас от нашей темы, но все же это стоит сделать. Кантор тоже хотел показать, что некий предмет не состоит в определенном списке. Конкретнее, он хотел доказать, что если бы был создан список действительных чисел, то некоторые действительные числа неизбежно очутились бы вне этого списка; таким образом, понятие полного списка действительных чисел уже само по себе противоречиво.

Необходимо иметь в виду, что это верно не только для конечных, но и для бесконечных списков. Это гораздо более важный результат, чем утверждение типа: «Количество действительных чисел бесконечно, следовательно, оно не может содержаться ни в каком конечном списке.» Основная мысль Канторова результата заключается в том, что существуют два типа бесконечности: одна из них описывает, сколько отдельных записей может быть в бесконечном списке, в то время как другая — сколько существует действительных чисел (или сколько есть точек на линии или ее отрезке). Вторая бесконечность «больше», в том смысле, что действительные числа невозможно уместить в таблице, длина которой описана с помощью первой бесконечности. Посмотрим теперь, как аргумент Кантора использует диагональ в буквальном смысле.

Возьмем действительные числа между 0 и 1. Предположим, что возможно составить такой бесконечный список, в котором каждое положительное число N сопоставлено с действительным числом r(N) между 0 и 1, и где встречается каждое число между нулем и единицей. Поскольку действительные числа представлены бесконечными дробями, мы можем предположить, что начало списка выглядит так:

r(1): ,1  4  1  5  9  2  6  5  3  .  .  .  .  .  .  .

r(2): ,3  3  3  3  3  3  3  3  3  .  .  .  .  .  .  .

r(3): ,7  1  8  2  8  1  8  2  8  .  .  .  .  .  .  .

r(4): ,4  1  4  2  1  3  5  6  2  .  .  .  .  .  .  .

r(5): ,5  0  0  0  0  0  0  0  0  .  .  .  .  .  .  .

Цифры, идущие вниз по диагонали, выделены жирным шрифтом. Они будут использованы для получения того действительного числа d, которое находится между 0 и 1, но которое, как мы увидим, не состоит в списке. Чтобы получить d, вы берете диагональные цифры по порядку и меняете каждую из них на какую-либо иную цифру. После этого вы добавляете слева запятую, указывающую на десятичную дробь, и ваше число d готово! Разумеется, есть множество способов поменять одну цифру на другую и, соответственно, множество различных d. Предположим, например, что мы решили отнять от каждой диагональной цифры 1 (будем считать, что 0-1=9). Тогда нашим числом d будет:

,0 2 7 1 9 …

Мы построили его таким образом, что

первая цифра d отличается от первой цифры r (1);

вторая цифра d отличается от второй цифры  r (2);

третья цифра d отличается от третьей цифры r (3);

… и так далее.

Следовательно,

d отличается от r (1);

d отличается от r (2);

d отличается от r (3);

… и так далее.

Иными словами, d не находится в списке!

Основное различие между методом Кантора и нашим методом заключается в том, какое предположение мы решили изменить. В Канторовском методе этим предположением была сомнительная идея, что подобный список вообще возможен. Построение d доказало, что полную таблицу действительных чисел составить невозможно; иными словами, множество целых чисел не достаточно велико, чтобы пронумеровать множество всех действительных чисел. С другой стороны, в нашем доказательстве мы знаем, что список Белых Программ можно составить: множество целых чисел достаточно велико, чтобы пронумеровать множество всех Белых Программ. Поэтому нам приходится искать другую сомнительную идею. Ею оказывается предположение, что Beldiag [N] может быть закодировано как Белая Программа Блупа. Именно в этом — тонкое различие в приложении диагонального метода.

Это может стать понятнее, если мы применим тот же метод к «Списку Всех Великих Математиков» в Диалоге. Диагональ этого списка читается «Dboups». Заменив каждую букву на предыдущую букву латинского алфавита, мы получим «Cantor». Из этого возможны два заключения. Если вы твердо убеждены в том, что список полон, то вам приходится заключить, что Кантор — не Великий Математик, поскольку его имени нет в списке. С другой стороны, если вы убеждены в том, что Кантор — Великий Математик, то должны заключить, что Список Всех Великих Математиков неполон, поскольку этого имени там нет! (Горе тем несчастным, кто твердо убежден и в том, и в другом!) Первый случай соответствует нашему доказательству того, что Beldiag [N] — не примитивно-рекурсивная функция; второй — канторовскому доказательству того, что список действительных чисел неполон.

Канторовское доказательство использует диагональ в буквальном смысле слова. Другие «диагональные» доказательства основаны на более общем понятии, абстрагированном от геометрического смысла слова. В сердце диагонального метода лежит использование одного и того же целого числа двумя разными способами — можно сказать, что одно и то же число используется на двух разных уровнях — благодаря чему удается построить некий объект, не состоящий в определенном списке. Первый раз это число служит как вертикальный индекс, второй раз — как горизонтальный индекс. В Канторовском построении это хорошо видно. Что касается функции Beldiag [N], то там мы используем одно и то же число на двух различных уровнях: сначала как индекс Белой Программы и потом как входной параметр.

Рис. 73. Георг Кантор.

С первого взгляда, аргумент Кантора может показаться не очень-то убедительным. Нельзя ли его как-нибудь обойти? Может быть, если добавить к списку наше число d, то список окажется полным? Однако если подумать, то становится ясно, что это ничем не поможет, поскольку, как только это число займет свое место в списке, к последнему снова можно будет применить диагональный метод, результатом чего будет недостающее в новом списке число d'. Сколько бы раз вы не конструировали новые числа d и не добавляли их к списку в надежде его дополнить, вы все еще находитесь на крючке Канторовского метода. Вы даже можете попытаться построить такую таблицу действительных чисел, которая перехитрила бы диагональный метод, каким-то образом учитывая все его трюки вместе с самой повторяемостью. Это довольно интересное упражнение; однако, занявшись этим, вы очень скоро поймете, что, как бы вы не исхитрялись, вам не удастся сорваться с крючка Канторовского метода. Можно сказать, что любая так называемая «таблица всех действительных чисел» обязательно запутается в своих же сетях.

Повторяемость диагонального метода Кантора похожа на повторяемость дьявольского метода Черепахи, которым она разбивала Крабьи патефоны по мере того, как они становились все качественнее и — по мнению Краба — все «совершеннее». Ее метод заключался в создании для каждого патефона специальной записи, которую тот был не в состоянии воспроизвести. Эта любопытная повторяемость не случайно является общей чертой обоих методов; в действительности, «Акростиконтрапунктус» вполне мог бы называться «Акростиканторпунктусом». Более того, как Черепаха намекала наивному Ахиллу, события в «Акростиконтрапунктусе» — перифраз построения, которое Гёдель использовал для доказательства своей Теоремы Неполноты; из этого следует, что Гёделево построение сродни диагональному методу. Это станет очевидным в следующих двух главах.

Мы определили примитивно-рекурсивные функции и примитивно-рекурсивные свойства натуральных чисел с помощью программ, написанных на языке Блуп. Мы также показали, что Блуп не описывает всех функций натуральных чисел, которые можно выразить словами. Мы даже построили, пользуясь Канторовским методом, «не-Блупабельную» функцию Beldiag [N]. Что же именно в Блупе делает невозможным представить в нем функцию Beldiag [N]? Можно ли улучшить Блуп таким образом, что Beldiag [N] станет в нем представимой?

Определяющей чертой Блупа была ограниченность его циклов. Что, если мы опустим это требование и создадим второй язык, под названием Флуп? Флуп будет идентичен Блупу во всем, кроме одного: в нем можно будет иметь циклы как с потолком, так и без потолка (на самом деле, потолок здесь будет включаться в циклы исключительно для элегантности). Эти новые циклы будут называться MU-циклы, следуя обозначению, принятому в математической логике, где «свободный (неограниченный) поиск» обычно обозначается символом «μ — оператор». Таким образом, цикл в Флупе может выглядеть так:

MU-ЦИКЛ:

БЛОК n: НАЧАЛО

.

.

. 

БЛОК n: КОНЕЦ

Эта характеристика позволит нам написать на Флупе тесты для свойства Черепахи и свойства интересности — тесты, которые мы не могли создать на Блупе из-за того, что поиск там мог оказаться потенциально бесконечным. Интересующиеся читатели могут попробовать написать на Флупе следующий тест на интересности:

(1) Если вводной параметр N оказывается интересным числом, программа останавливается и выдает ответ ДА.

(2) Если N — неинтересное число, порождающее любой закрытый цикл, отличный от 1-4-2-1-4-2-1-…, программа останавливается и выдает ответ НЕТ.

(3) Если N — неинтересное число, порождающее «бесконечно возрастающую прогрессию», программа никогда не останавливается. Это «не-отвечание» и есть ответ Флупа. He-ответ Флупа странным образом напоминает не-ответ Джошу — «МУ».

Ирония (3) заключается в том, что ВЫХОД всегда принимает значение НЕТ, но при этом он недоступен, поскольку программа все еще работает. Неприятная третья альтернатива — это та цена, которую нам приходится платить за право писать свободные циклы. Незаконченность всегда будет теоретической альтернативой для всех программ Флупа, включающих вариант MU-цикла. Разумеется, множество программ Флупа будут заканчиваться для всех возможных величин вводного параметра. Например, как я уже говорил, большинство людей, изучавших свойство интересности, считают, что программы Флупа, подобные описанной выше, всегда будут заканчиваться — и, более того, всегда ответом ДА.

Было бы очень хорошо, если бы нам удалось разделить все процедуры Флупа на два класса: оканчивающиеся (терминаторы) и неоканчивающиеся (не-терминаторы). Первые всегда будут рано или поздно останавливаться, независимо от входных параметров и от наличия в нем MU-циклов. Вторые будут работать до бесконечности по крайней мере при одном из возможных выборов входного параметра. Если бы всегда можно было, внимательно рассмотрев данную программу Флупа, определить к какому типу она принадлежит, это привело бы к важным последствиям (как мы скоро увидим). Нет нужды говорить, что сама операция определения классов должна была 6ы принадлежать к оканчивающемуся типу, иначе бы от нее было мало пользы.

Может быть, нам удастся заставить какую-нибудь из процедур самого Флупа заняться этой проверкой? Загвоздка здесь в том, что процедуры Флупа принимают в качестве вводных параметров только числа, а не программы. Однако это препятствие можно обойти … закодировав программы с помощью чисел! Этот ловкий трюк — не что иное, как Гёделева нумерация в одной из многих своих манифестаций. Каждый из 88 символов алфавита Флупа получит свой «кодон»: 901, 902, …988. Таким образом, каждая программа Флупа приобретает некий длинный Гёделев номер. Например, самая короткая функция Блупа (которая в то же время является оканчивающейся программой Флупа)

ОПРЕДЕЛИТЬ ПРОЦЕДУРУ «А» [В]:

БЛОК 0:НАЧАЛО

БЛОК 0: КОНЕЦ.

получит Гёделев номер, частично показанный ниже:

915,916,917,906,905,906,912,909,919,929,....... 911, 915,914,906,923,987

О   П   Р   Е   Д   Е   Л   И   Т   Ь           К    О   Н   Е   Ц   .

Теперь нам нужен тест Блупа под названием ТЕРМИНАТОР?, который отвечал бы ДА, если входной параметр являлся бы кодом оканчивающейся программы Флупа, и НЕТ — в противном случае. Таким образом, если нам повезет, мы сможем заставить машину отличать терминаторы от не-терминаторов. Однако хитроумный аргумент, придуманный Аланом Тьюрингом, доказал, что никакая программа Блупа не сможет безошибочно находить это различие. Его идея весьма напоминает Гёделев метод и, таким образом, находится в близком родстве с диагональным методом Кантора. Не буду приводить ее здесь; достаточно сказать, что идея Тьюринга заключалась в том, чтобы ввести в программу ее собственный Гёделев номер. Это, однако, весьма непросто, все равно что ухитриться процитировать какое-то предложение внутри него самого. Для этого пришлось бы процитировать также и саму цитату… и так далее, и тому подобное. Очевидно, что это приводит к бесконечному регрессу. Однако Тьюринг придумал ловкий трюк, позволяющий скормить программе ее собственный Гёделев номер. В следующей главе я приведу решение этой проблемы в ином контексте. Однако сейчас мы пойдем к той же цели другой дорогой — а именно, постараемся доказать, что такой тест невозможен. Читатели, которые хотят ознакомиться с элегантной и простой версией метода Тьюринга, могут обратиться к статье Хоара и Аллисона (Hoar and Allison), упоминающейся в библиографии.

Прежде, чем окончательно распроститься с этим понятием, давайте посмотрим, почему иметь такую программу было бы так замечательно. Такой тест был бы чем-то вроде волшебной палочки, которая могла бы одним взмахом разрешить все проблемы теории чисел. Предположим, мы захотели бы узнать, является ли Вариация Гольдбаха истинным предположением — иными словами, все ли числа обладают свойством Черепахи. Для начала мы написали бы тест на Флупе под названием ЧЕРЕПАХА?, который проверял бы, есть ли у вводного параметра данное свойство. Дефект этой программы — то, что она не кончается, если ввод не обладает свойством Черепахи — здесь превращается в достоинство, поскольку теперь мы можем проверить процедуру ЧЕРЕПАХА? на ее кончаемость. Если наш тест отвечает ДА, это значит, что ЧЕРЕПАХА? кончается для всех вводных параметров — иными словами, все числа обладают свойством Черепахи. Ответ НЕТ означал бы, что имеется некое число, обладающее свойством Ахилла. Ирония заключается в том, что мы никогда не используем саму программу ЧЕРЕПАХА? — мы только ее проверяем.

Идея решения любой проблемы теории чисел путем кодирования ее в программу и затем проверки этой программы на кончаемость сродни идее о проверке подлинности буддистского коана путем кодирования его в сложенную цепочку и затем проверяя на наличие буддистской природы уже эту цепочку. Может быть, Ахилл был прав, предполагая, что нужная информация может лежать ближе к поверхности в одном отображении, чем в другом.

Довольно мечтать — пора заняться делом! Как можно доказать, что тест на кончаемость в принципе невозможен? Для этого мы попытаемся применить диагональный аргумент к Флупу, так же, как мы это делали с Блупом. Мы увидим, что между этими двумя случаями есть небольшая, но решающая разница.

Так же, как в случае Блупа, вообразим клуб, членами которого являются все программы Флупа. Мы будем называть его «Клубом Ф». Теперь проведем с ним те же три фильтрующих операции, после чего мы получим:

Полный клуб всех безвызовных программ Флупа, которые вычисляют функции с одним вводным параметром.

Давайте назовем эти специальные программы Флупа Зелеными Программами (поскольку они могут идти, никогда не останавливаясь, словно машины на зеленый свет).

Теперь, точно так же как мы это сделали с Белыми Программами, дадим каждой Зеленой Программе индекс и организуем их в каталог, каждый том которого состоит из программ определенной длины, расположенных в алфавитном порядке.

До сих пор мы просто повторяли с Флупом то, что ранее проделали с Блупом. Посмотрим теперь, удастся ли нам скопировать последнюю часть — диагональный метод. Попробуем определить диагональную функцию:

Zeldiag [N] = 1 + Zelprogram {#N}[N]

Тут получается заминка: функция Zeldiag [N] может не иметь определенного значения выхода для всех значений входного параметра N. Это происходит потому, что при «фильтровании» мы не очистили Клуб Ф от всех неоканчивающихся программ — таким образом, у нас нет гарантии, что мы сможем вычислить Zeldiag [N] для всех значений N. Иногда мы можем ввести вычисления, которые никогда не окончатся. Диагональный аргумент в этом случае не годится, так как для его успешного приложения диагональная функция должна иметь значение для всех возможных входных параметров.

Чтобы поправить положение, мы могли бы использовать тест на кончаемость — если бы таковой существовал. Давайте предположим на минуту, что такой тест имеется, и используем его в качестве нашего четвертого фильтра. Идя по списку Зеленых Программ, мы начинаем отбрасывать одну за другой все не-терминаторы, так что в конце у нас остается:

Полный клуб всех безвызовных программ Флупа, которые вычисляют функции с одним входным параметром и которые оканчиваются для всех его значений.

Давайте назовем эти специальные программы Флупа Красными Программами (поскольку они всегда должны останавливаться, как машины на красный свет). Теперь мы можем применить диагональный аргумент. Определим:

Krasdiag [N] = 1 + Krasprogram {#N}[N]

Точно так же, как в случае с функцией Белдиаг, мы должны заключить, что Krasdiag [N] — хорошо определенная, вычисляемая функция одной переменной, которая не находится в списке Красных Программ и, следовательно, ее невозможно вычислить даже с помощью мощного языка Флуп. Не пора ли нам перейти к Глупу?

Что же такое Глуп? если Флуп — это освобожденный от цепей Блуп, то Глуп должен, в свою очередь, быть освобожденным от цепей Флупом. Но как же можно снять цепи дважды? Как можно создать язык, более мощный, чем Флуп? Krasdiag [N] оказалась функцией, значение которой умеем вычислять только мы, люди, поскольку мы подробно описали всю процедуру на русском языке — однако эту функцию, по-видимому, невозможно запрограммировать на языке Флуп. Это — весьма серьезная проблема, поскольку никто пока не нашел компьютерного языка, более мощного, чем Флуп.

Мощность компьютерных языков в последнее время была объектом тщательных исследований. Нам самим не придется этим заниматься; упомянем только, что существует целый класс компьютерных программ с точно такой же выразительной мощностью, как Флуп, в том смысле, что любое вычисление, программируемое на одном языке, может быть запрограммировано на всех остальных языках. Интересно то, что почти любая попытка создать достойный внимания компьютерный язык приводит к созданию языка этого класса, то есть языка с выразительной мощностью Флупа. Приходится попотеть, чтобы создать достаточно интересный компьютерный язык слабее этих языков. Блуп, разумеется, пример более слабого языка, но это — скорее исключение, чем правило. Дело в том, что существует некий естественный путь создания алгоритмических языков, так что разные люди, работая независимо друг от друга, обычно создают эквивалентные языки, отличающиеся скорее стилем, чем степенью мощности.

В действительности, большинство специалистов считают, что для описания вычислений не может существовать более мощных языков, чем языки, эквивалентные Флупу. Эта гипотеза была сформулирована в 1930-х годах двумя людьми, работавшими независимо друг от друга. Об одном из них, Алане Тьюринге, мы еще будем говорить; другим был один из ведущих логиков этого столетия, Алонзо Чёрч. Гипотеза получила название Тезис Чёрча-Тьюринга. Принимаем Тезис Ч-Т за истину, мы должны заключить, что Глуп — не более, чем миф, поскольку во Флупе нет никаких ограничений, которые можно было бы снять; его мощность невозможно усилить, «сняв с него цепи», как мы это сделали с Блупом.

Это ставит нас в неудобное положение: нам приходится заключить, что люди могут вычислить Krasdiag [N] для любого N, в то время как компьютер этого сделать не может. Дело в том что если бы это было в принципе возможно, это было бы возможно на Флупе — однако мы только что выяснили, что на Флупе этого нельзя сделать по определению. Это такое странное заключение, что нам придется как следует рассмотреть, на чем оно основано. Одним из краеугольных камней нашего построения было, если вы помните, сомнительное предположение о существовании разрешающей процедуры, способной отличить заканчивающиеся программы Флупа от незаканчивающихся. Возможность такой процедуры показалась подозрительной уже тогда, когда мы увидели, что она помогла бы разрешить все проблемы теории чисел одинаковым путем. Теперь у нас есть две причины, чтобы считать тест на кончаемость мифом; видимо, невозможно, пропустив программы Флупа через центрифугу, отличить терминаторы от не-терминаторов.

Скептики могут возразить: а где же строгое доказательство невозможности подобного теста? Это возражение имеет смысл. Однако в подходе Тюринга мы находим более строгое обоснование того, что на языке класса Флупа невозможно написать программу, проверяющую программы Флупа на кончаемость.

Посмотрим, что представляет из себя этот Тезис. Мы будем говорить о нем во всех подробностях в главе XVII; до тех пор мы воздержимся от его обсуждения, а здесь дадим лишь пару версий Тезиса. Далее следуют три родственных способа его выражения:

(1) То, что могут вычислить люди, могут вычислить и машины.

(2) То, что могут вычислить машины, может быть вычислено с помощью Флупа.

(3) То, что могут вычислить люди, может быть вычислено с помощью Флупа.

В этой главе мы дали довольно широкий обзор некоторых понятий теории чисел и их соотношения с вычисляемыми функциями. Это очень плодотворное поле для исследований, поле, где переплетается теория вычислительной техники и современная математика. Прежде, чем заключить эту главу, я хочу ввести стандартные термины для понятий, с которыми мы здесь познакомились.

Как я уже говорил, выражение «вычислимый на Блупе» эквивалентно выражению «примитивно-рекурсивный». С другой стороны, функции, вычислимые на Флупе, можно подразделить на две категории. Функции, вычислимые с помощью кончающихся программ Флупа, называются общерекурсивными; функции, вычислимые только с помощью не кончающихся программ Флупа, называются частично рекурсивными. (То же самое применимо и к предикатам.) Многие, говоря о «рекурсивных» функциях, на самом деле имеют в виду их «общерекурсивную» разновидность.

Интересно, что ТТЧ настолько мощна, что в ней представлены не только все примитивно-рекурсивные предикаты, но и все общерекурсивные предикаты. Мы не будем приводить здесь доказательство обоих фактов, поскольку это увело бы нас в сторону от нашей цели — показать, что ТТЧ неполна. Если бы ТТЧ не могла выразить какие-либо примитивно-рекурсивные или общерекурсивные предикаты, ее неполнота была бы неинтересна — так почему бы нам не согласиться с тем, что все эти предикаты в ней выразимы, и не доказать, что она неполна в другом, более интересном смысле?

Черепаха и Ахилл возвращаются с экскурсии по фабрике консервных ключей.

Ахилл: Вы не возражаете, если я поменяю тему?

Черепаха: Ради Бога.

Ахилл: Хорошо. Я хотел вам рассказать, что несколько дней тому назад меня разбудил хулиганский телефонный звонок.

Черепаха: Как интересно!

Ахилл: Да уж… Дело в том, что нахал сказал что-то совершенно бессмысленное. Он крикнул мне в ухо какую-то идиотскую фразу и повесил трубку… хотя, кажется, прежде чем повесить трубку, он повторил эту бессмыслицу дважды.

Черепаха: Вы помните, что именно он сказал?

Ахилл: Наш разговор проходил так:

Я: Алло?

Таинственный голос (дико орет): Предваренное цитатой себя самого, порождает ложь! Предваренное цитатой себя самого, порождает ложь!

(Щелчок. Короткие гудки)

Черепаха: Для хулиганского звонка это довольно необычно.

Ахилл: Вот и я так подумал.

Черепаха: Может быть, в этой кажущейся чепухе все же есть какой-то смысл.

Ахилл: Кто знает…

(Они входят в небольшой дворик, окруженный прелестными трехэтажными домами. В центре двора растет пальма; сбоку стоит башня. Около башни — ступеньки, на которых сидит мальчик, занятый беседой с девушкой в окне.)

Черепаха: Куда это вы меня привели, Ахилл?

Ахилл: Я хочу показать вам замечательный вид, открывающийся с этой башни.

Черепаха: Ах, как мило!

(Они приближаются к мальчику, который смотрит на них с любопытством и говорит что-то девушке; оба хихикают. Вместо того, чтобы подниматься по лестнице, где сидит мальчишка, Ахилл и г-жа Ч поворачивают налево и спускаются по ступенькам, ведущим к небольшой деревянной двери.)

Ахилл: Вот и вход. Следуйте за мной.

(Ахилл открывает дверь. Они входят и начинают подниматься по крутой винтовой лесенке.)

Черепаха (сопя и отдуваясь): Я не гожусь для таких упражнений, Ахилл. Еще далеко?

Ахилл: Несколько пролетов… но у меня есть идея. Вместо того, чтобы карабкаться по верхней стороне лестницы, почему бы вам не попробовать идти по нижней стороне?

Рис. 74. М. К. Эшер. «Сверху и снизу» (литография, 1947).

Черепаха: Как же ТАКОЕ возможно?

Ахилл: Запросто, держитесь покрепче и переползайте на обратную сторону ступеней — места там достаточно. Вы увидите, что по этой лестнице можно ходить так же хорошо снизу, как и сверху…

Черепаха (переползая на обратную сторону ступенек): Ну как, правильно?

Ахилл: Все верно, молодец!

Черепаха (слегка приглушенным голосом): Это упражнение меня слегка запутало. Куда мне теперь идти — вверх или вниз?

Ахилл: Держитесь того же направления, как раньше. На вашей стороне ступенек это будет ВНИЗ, а на моей — ВВЕРХ.

Черепаха: Надеюсь, вы не хотите сказать, что спускаясь по лестнице, я могу попасть на вершину башни?

Ахилл: Почему-то получается именно так.

(И они начинают карабкаться по лестнице, одновременно описывая спирали — Атлетический Ахилл на одной стороне, и Тяжеловесная Черепаха Тортилла на другой. Вскоре лестница кончается)

Теперь вылезайте обратно, г-жа Черепаха. Дайте-ка я вам помогу.

(Он подает Черепахе руку и помогает ей забраться на верхнюю сторону ступенек)

Черепаха: Спасибо. Залезть обратно наверх было полегче.

(И они выходят на крышу, откуда открывается вид на город)

Какая красота, Ахилл. Я рада, что вы привели меня наверх — или, скорее, ВНИЗ.

Ахилл: Я так и знал, что вам понравится.

Черепаха: Знаете, возвращаясь к тому хулиганскому звонку, — мне кажется, теперь я лучше понимаю, в чем дело.

Ахилл: Да? Надеюсь, вы со мной поделитесь.

Черепаха: С удовольствием. Вам не кажется, что выражение «предваряемый цитатой самого себя» звучит немного рекурсивно?

Ахилл: Да. Немного Самую малость…

Черепаха: Можете ли вы вообразить себе что-либо, предваряемое собственной цитатой?

Ахилл: Пожалуй, например, Мао, входящий в банкетный зал, где уже повешен плакат с каким-либо его изречением. Получается Мао, предваряемый цитатой самого себя.

Черепаха: Какое у вас богатое воображение. Но давайте договоримся, что слово «предваряемый» будет относиться только к идее предварения на листе бумаги, а не к цитатам из государственных мужей.

Ахилл: Ну ладно. Но тогда заодно скажите, что вы имеете в виду под «цитатой»?

Черепаха: Когда вы говорите о каком-то слове или фразе, вы обычно заключаете их в кавычки. Например, я могу сказать:

В слове «философ» пять букв.

Я поставила «философ» в кавычки, чтобы указать, что я имею в виду СЛОВО «философ», а не философа собственной персоной. Это пример различия между «ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ» и «УПОМИНАНИЕМ».

Ахилл: Что?

Черепаха: Позвольте мне объяснить. Когда я говорю:

Философы зарабатывают кучу денег, —

я ИСПОЛЬЗУЮ слово, чтобы создать у вас в голове образ седобородого мудреца, окруженного мешками денег. Но заключая это — или любое другое — слово в кавычки, я тем самым лишаю его собственного значения и набора связанных с ним ассоциаций, и у меня остаются только значки на бумаге или звуки. Это называется «УПОМИНАНИЕ». При этом важен только типографский аспект слова, а его значение полностью игнорируется.

Ахилл: Это похоже на использование скрипки в качестве мухобойки. Или, может быть, точнее было бы сказать «упоминание скрипки»? Тут в скрипке важна только ее твердость — любое другое ее значение и возможное использование полностью игнорируются. Если подумать, то при этом мы обходимся ничуть не лучше и с мухой.

Черепаха: Ваши сравнения не лишены смысла, хотя они и являются весьма нестандартной интерпретацией различия между ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ и УПОМИНАНИЕМ. Теперь, пожалуйста, представьте что-либо, предваряемое собственной цитатой.

Ахилл: Ну что ж… Как насчет:

«ГИП-ГИП УРА» ГИП-ГИП УРА

Черепаха: Здорово! А еще что-нибудь?

Ахилл: Ладно:

«„ПЛЮХ“ — ЭТО НЕ НАЗВАНИЕ КНИГИ»

«ПЛЮХ» — ЭТО НЕ НАЗВАНИЕ КНИГИ.

Черепаха: Этот пример станет гораздо интереснее, если убрать из него «Плюх».

Ахилл: Правда? Посмотрим:

«ЭТО НЕ НАЗВАНИЕ КНИГИ»

ЭТО НЕ НАЗВАНИЕ КНИГИ.

Черепаха: Видите, у вас получилось предложение.

Ахилл: И правда! Это предложение о фразе «это не название книги» — и предложение преглупое.

Черепаха: Почему преглупое?

Ахилл: Потому, что оно совершенно бессмысленно. Вот вам еще одно в том же духе:

«ЗАВИСИТ ОТ ТОГО, СКОЛЬКО ДЕНЕГ У КОГО»

ЗАВИСИТ ОТ ТОГО, СКОЛЬКО ДЕНЕГ У КОГО.

Ну, и что это означает? Право слово, что за глупая игра.

Черепаха: Ну что вы — напротив, это очень серьезно. В действительности, эта операция предварения некоей фразы ее собственной цитатой настолько важна, что я дам ей специальное имя.

Ахилл: Да? Какого же названия удостоится эта глупая операция?

Черепаха: Думаю, что я назову это «квайнированием» фразы.

Ахилл: «Квайнирование»? Что это еще за слово?

Черепаха: Если не ошибаюсь, это слово из тринадцати букв.

Ахилл: Я имел в виду, почему вы выбрали именно эти тринадцать букв и именно в таком порядке.

Черепаха: Ага, теперь я понимаю, что вы хотели сказать, спросив меня: «Что это еще за слово?» Видите ли, эту операцию изобрел философ по имени «Виллард Ван Орман Квайн», так что я назвал ее в его честь. К сожалению, подробнее объяснить не могу. Почему его имя состоит именно из этих букв, и именно в таком порядке — на этот вопрос у меня пока нет ответа. Но я готова попытаться —

Ахилл: Прошу вас, не утруждайтесь! Меня совсем не интересуют эти детали. Так или иначе, теперь я умею квайнировать фразы. Это довольно занимательно… Вот еще одна квайнированная фраза:

«ЭТО ФРАГМЕНТ ПРЕДЛОЖЕНИЯ» ЭТО ФРАГМЕНТ ПРЕДЛОЖЕНИЯ.

Разумеется, это глупо, зато интересно. Вы берете кусочек предложения, квайнируете его, и оп-ля! перед вами что-то новое! В данном случае, это настоящее предложение.

Черепаха: Попробуйте квайнировать фразу «это фуга без темы».

Ахилл: Фуга без темы была бы —

Черепаха: — аномалией, разумеется. Но не отвлекайтесь. Сначала квайны, а потом пьесы. Как говорится, сделал дело — играй смело!

Ахилл: Квайны, говорите? Хорошо:

«ЭТО ФУГА БЕЗ ТЕМЫ» ЭТО ФУГА БЕЗ ТЕМЫ

Мне кажется, что больше смысла было бы говорить о «предложении» вместо «фуги». Ну да ладно… Дайте мне еще пример!

Черепаха: Хорошо, вот вам напоследок такая фраза:

«ПОСЛЕ КВАЙНИРОВАНИЯ ДАЕТ ЛЮБОВНУЮ ПЕСНЬ ЧЕРЕПАХИ».

Ахилл: Это совсем нетрудно:

«ПОСЛЕ КВАЙНИРОВАНИЯ ДАЕТ ЛЮБОВНУЮ ПЕСНЬ ЧЕРЕПАХИ».

ПОСЛЕ КВАЙНИРОВАНИЯ ДАЕТ ЛЮБОВНУЮ ПЕСНЬ ЧЕРЕПАХИ.

Гмм… Что-то здесь не то. О, понятно — это предложение говорит о себе самом! Видите?

Черепаха: Что вы хотите сказать? Предложения не умеют говорить.

Ахилл: Да, но они упоминают о каких-то вещах, и это предложение упоминает прямо, недвусмысленно и безошибочно о самом себе! Чтобы это увидеть, вы должны вспомнить, что такое квайнирование.

Черепаха: Мне совсем не кажется, что это предложение говорит о себе самом. Покажите мне хотя бы одно «Я», или «это предложение», или что-нибудь в этом роде.

Ахилл: Вы нарочно придуряетесь. Его красота как раз и заключается в том, что оно относится к себе самому, не называя себя при этом прямо.

Черепаха: Придется вам разложить это для меня по полочкам — я женщина простая и таких сложностей не понимаю.

Ахилл: Вы ведете себя как Фома Неверующий. Ну ладно, постараюсь… Представьте себе, что я придумываю предложение — назовем его «предложением П» — и оставляю в нем прочерк.

Черепаха: Например?

Ахилл: Вот так:

« ___ ПОСЛЕ КВАЙНИРОВАНИЯ ДАЕТ ЛЮБОВНУЮ ПЕСНЬ ЧЕРЕПАХИ».

Теперь тема предложения П зависит от того, как вы заполните прочерк. Как только вы сделали выбор, тема определена: Это будет фраза, которую вы получите, кзайнировав то, что оказалось на месте прочерка. Назовем это «предложением К», поскольку оно получается в результате квайнирования.

Черепаха: Что ж, это имеет смысл. Если бы на месте прочерка мы поставили бы «написано на старых банках горчицы, чтобы сохранять ее свежей», тогда предложением К было бы:

«НАПИСАНО НА СТАРЫХ БАНКАХ ГОРЧИЦЫ, ЧТОБЫ СОХРАНЯТЬ ЕЕ СВЕЖЕЙ»

НАПИСАНО НА СТАРЫХ БАНКАХ ГОРЧИЦЫ, ЧТОБЫ СОХРАНЯТЬ ЕЕ СВЕЖЕЙ.

Ахилл: Значит, Предложение П утверждает (не знаю, правда, насколько это верно), что Предложение К —- Любовная Песнь Черепахи. Так или иначе, Предложение П здесь говорит не о себе самом, но о Предложении К. Согласны ли вы с этим?

Черепаха: Безусловно — и что за прелестная Песнь!

Ахилл: Но теперь я хочу заполнить прочерк чем-то другим, а именно:

«ПОСЛЕ КВАЙНИРОВАНИЯ ДАЕТ ЛЮБОВНУЮ ПЕСНЬ ЧЕРЕПАХИ».

Черепаха: Ах, боже мой! Вы слишком все усложняете. Боюсь, этот орешек окажется мне не по зубам…

Ахилл: О, не волнуйтесь — я уверен, что скоро вы все поймете. Теперь Предложением К становится:

«ПОСЛЕ КВАЙНИРОВАНИЯ ДАЕТ ЛЮБОВНУЮ ПЕСНЬ ЧЕРЕПАХИ»

ПОСЛЕ КВАЙНИРОВАНИЯ ДАЕТ ЛЮБОВНУЮ ПЕСНЬ ЧЕРЕПАХИ.

Черепаха: Постойте-ка, я, кажется, поняла! Предложение К теперь стало совершенно таким же, как и предложение П.

Ахилл: И, поскольку Предложение К — всегда тема предложения П, у нас получается петля: Предложение П теперь указывает на самого себя. Как видите, автореферентность здесь получилась вполне случайно. Обычно Предложения П и К совершенно не похожи — но при правильном выборе темы в предложении П, квайнирование покажет вам этот магический трюк.

Черепаха: Ловко, ничего не скажешь! Странно, почему я сама до этого не додумалась. Скажите, а следующее предложение тоже автореферентно?

«СОСТОИТ ИЗ ЧЕТЫРЕХ СЛОВ»

СОСТОИТ ИЗ ЧЕТЫРЕХ СЛОВ.

Ахилл: Гм-м… Трудно сказать. Это предложение относится не себе самому, но скорее ко фразе «состоит из четырех слов». Хотя, разумеется, эта фраза — ЧАСТЬ предложения.

Черепаха: Так что предложение говорит о своей части — и что же?

Ахилл: Это можно тоже рассматривать как автореференцию, не так ли?

Черепаха: По моему мнению, отсюда еще далеко до настоящей автореферентности. Но не забивайте себе сейчас голову этими сложностями — у вас еще будет время о них поразмыслить.

Ахилл: Правда?

Черепаха: Безусловно, будет. А пока, почему бы вам не попробовать квайнировать фразу «Предваряемый цитатой себя самого, производит ложь»?

Ахилл: А, вы имеете в виду тот хулиганский звонок. Квайнирование этой фразы дает:

«ПРЕДВАРЯЕМЫЙ ЦИТАТОЙ СЕБЯ САМОГО, ПРОИЗВОДИТ ЛОЖЬ»

ПРЕДВАРЯЕМЫЙ ЦИТАТОЙ СЕБЯ САМОГО, ПРОИЗВОДИТ ЛОЖЬ.

Так вот что говорил тот негодяй! Я тогда его не понял. И правда, какое неприличное замечание! Да за такое надо в тюрьму сажать!

Черепаха: Это почему же?

Ахилл: Я от него просто заболеваю, в отличие от предыдущих высказываний, я не могу сказать, истинно ли оно или ложно. И чем больше я о нем думаю, тем больше запутываюсь. У меня от этой путаницы голова идет кругом. Интересно, что за лунатик изобрел подобный кошмар и мучает им по ночам честных людей?

Черепаха: Кто знает… Ну что, пора спускаться?

Ахилл: В этом нет нужды — мы уже на первом этаже. Зайдите обратно, и вы в этом убедитесь (Они заходят в башню и видят небольшую деревянную дверь) Вот и выход — следуйте за мной.

Черепаха: Вы уверены? Я вовсе не хочу свалиться с третьего этажа и сломать себе панцирь.

Ахилл: Разве я вас когда-нибудь обманывал?

(И он открывает дверь. Прямо перед ними сидит, по всей видимости, тот же самый мальчуган, болтающий с той же самой девушкой. Ахилл и г-жа Ч поднимаются по тем же ступенькам, по которым, как кажется, они раньше спускались, чтобы зайти в башню, и выходят во двор, кажущийся тем же самым двориком, в котором они уже побывали раньше.)

Благодарю вас, г-жа Ч, за ваше объяснение по поводу того хулиганского звонка.

Черепаха: А я вас — за прелестную прогулку. Надеюсь, мы скоро увидимся опять.

ГЛАВА XIV: О формально неразрешимых суждениях ТТЧ и родственных систем[41]

НАЗВАНИЕ ЭТОЙ ГЛАВЫ — адаптация заглавия знаменитой статьи Гёделя, опубликованной в 1931 году; я заменил «Principia mathematica» на ТТЧ. Гёдель написал эту статью строго техническим языком, стараясь дать безупречное доказательство своей теоремы; в этой главе я постараюсь изложить его идеи более интуитивно. Сосредоточусь на двух идеях, лежащих в основе Гёделева доказательства. Первая идея — это открытие того факта, что некоторые строчки ТТЧ могут быть интерпретированы как суждения о других строчках ТТЧ; иными словами, ТТЧ оказалась языком, способным к самоанализу. Этот факт вытекает из Гёделевой нумерации. Вторая идея — это то, что данное свойство может быть сконцентрировано полностью в одной строке: в фокусе такой строки — она сама. Этот прием восходит, в принципе, к диагональному методу Кантора.

По моему мнению, всякий, кто желает достичь глубокого понимания Гёделева доказательства, должен признать, что в его основе лежит слияние этих двух идей. Каждая из них по отдельности уже является шедевром, но чтобы соединить их, потребовался гений. Однако если бы мне предложили выбрать, какая из двух идей важнее, я, безусловно, указал бы на первую — Гёделеву нумерацию, поскольку эта идея приложима к понятию значения и упоминания во всех системах, имеющих дело с символами. Эта идея выходит далеко за пределы математической логики, в то время как Канторов прием, как бы значим он ни был для математиков, почти не связан с реальной жизнью.

Не откладывая дела в долгий ящик, приступим к рассмотрению самого доказательства. В IX главе мы уже объяснили довольно подробно идею Гёделева изоморфизма. Здесь мы постараемся описать математическое понятие, позволяющее нам перевести предложение типа «Строчка 0=0 — теорема ТТЧ» в высказывание теории чисел. Для этого мы воспользуемся парами доказательства. Пара доказательства — это пара натуральных чисел, соотносящихся между собой таким образом:

Два натуральных числа m и n (в данном порядке) являются парой доказательства в ТТЧ тогда и только тогда, если m — Гёделев номер такой деривации ТТЧ, последняя строчка которой имеет Гёделев номер n.

Аналогичное понятие существует и для системы MIU; пожалуй, интуитивно легче понять именно этот случай. Так что давайте на минуту оставим пары доказательства ТТЧ и обратимся к парам доказательства в системе MIU. Их определение почти такое же:

Два натуральных числа m и n (в данном порядке) являются парой доказательства в MIU тогда и только тогда, если m — Гёделев номер такой деривации MIU, последняя строчка которой имеет Гёделев номер n.

Давайте рассмотрим несколько примеров пар доказательства в системе MIU. Пусть m — 3131131111301, n = 301. Эти значения тип составляют пару доказательства, поскольку m — Гёделев номер следующей деривации MIU:

MI

MII

MIIII

MUI

где последняя строчка — MUI — имеет Гёделев номер 301, то есть n.

С другой стороны, при m = 31311311130, и n = 30 пары доказательства не получается. Чтобы понять, почему, рассмотрим деривацию, кодом которой должно было бы являться m:

MI

MII

MIII

MU

В этой предположительной деривации есть неверный шаг. Это — переход от второй к третьей строке: от MII к MIII. В системе MIU нет правила, которое позволяло бы подобный типографский шаг. Соответственно — и это очень важно — нет такого арифметического шага, который позволил бы вам перейти от 311 к 3111. Возможно, что, после того как вы прочли главу IX, это покажется вам тривиальным, но именно подобные наблюдения лежат в основе Гёделева изоморфизма. Все, что мы делаем в формальных системах, имеет свою параллель в арифметических действиях.

Так или иначе, величины m = 31311311130, и n = 30, безусловно, не являются парой доказательства MIU. Само по себе, это еще не означает, что 30 — не номер MIU. Могло бы найтись другое число, составляющее пару доказательства с 30. (На самом деле, мы уже выяснили ранее, что 30 — не теорема MIU. Следовательно, ни одно число не может составлять пару доказательства с 30.)

А как насчет пар доказательства в ТТЧ? Я приведу вам два параллельных примера, лишь один из которых является действительной парой доказательства. Можете ли вы определить, какой именно? (Кстати, именно здесь появляется кодон «611», функция которого — отделять Гёделевы номера последующих строк в деривации ТТЧ. В этом смысле, «611» служит в качестве знака препинания. В системе MIU эту роль выполняет начальное «3» каждой строки; там не нужна никакая дополнительная пунктуация.)

1) m = 626,262,636,223,123.262,111,666,611,223,123,666,111,666

    n = 123,666,111,666

(2) m = 626,262,636,223,123,262,111.666,611,223.333,262,636123,262,111,666

     n = 223,333,262,636,123.262,111,666

Легко обнаружить, какая из этих дериваций настоящая, переведя их в традиционную нотацию и произведя стандартный анализ. При этом выясняется:

(1) является ли предполагаемая деривация, кодом которой является m, «законной»;

(2) если это так, то совпадает ли последняя строка деривации со строчкой, кодом которой является n.

Шаг (2) тривиален; шаг (1) тоже довольно прямолинеен, поскольку для него не нужен бесконечный поиск и в нем не спрятаны никакие петли. Вспомните примеры из системы MIU и просто мысленно замените правила MIU и ее аксиому на правила и аксиомы ТГЧ. В обоих случаях алгоритм один и тот же:

Следить за деривацией, переходя от строчки к строчке.

Отмечать строчки, являющиеся аксиомами.

Для каждой строчки, НЕ являющейся аксиомой, проверять, следует ли она из предыдущих строчек предполагаемой деривации.

Если все не-аксиомы следуют по правилам вывода из предыдущих строчек, значит, перед вами — законная деривация; в противном случае, перед вами — фальшивка.

На каждой ступени здесь совершается ограниченное число вполне определенных действий.

Я делаю такой упор на ограниченность петель потому, что, как вы могли догадаться, я собираюсь доказать

ОСНОВНОЙ ФАКТ 1: Свойство пара-доказательности — это примитивно рекурсивное свойство теории чисел; следовательно, оно может быть проверено на программе Блупа.

Необходимо отличать это свойство от его близкого теоретико-численного родственника: свойства числа-теоремы. Если мы говорим, что n — число-теорема, мы имеем в виду. что существует некое число m, такое, что оно составляет с n пару доказательства. (Кстати, это приложимо как к ТТЧ, так и к системе MIU; пожалуй, полезно иметь в виду обе системы, пользуясь MIU как прототипом.) Чтобы проверить, является ли n числом-теоремой, вам придется проверить всех потенциальных пара-доказательных «партнеров» m — и именно тут вы вполне можете запутаться в бесконечной петле. Невозможно определить, сколько вам придется искать, пока вы наткнетесь на число, составляющее пару доказательства с n. Эта проблема возникает во всех системах, сочетающих удлиняющие и укорачивающие правила; подобная комбинация сообщает системе некоторую непредсказуемость.

Нам может пригодиться сейчас пример Вариации Гольдбаха. Проверить является ли пара чисел (m, n) Черепашьей парой нетрудно; это значит, что как m так и n+m должны быть простыми числами. Эта проверка несложна, потому что свойство простоты — примитивно рекурсивно, то есть может быть обнаружено при помощи конечного теста. Но если мы хотим узнать, обладает ли n свойством Черепахи, тогда нам нужно ответить на вопрос «существует ли некое число m, формирующее вместе с n Черепашью пару?» Это снова уводит нас в область неведомого, в страну бесконечной MU-петельности.

Таким образом, из Основного Факта 1 мы можем вывести

ОСНОВНОЙ ФАКТ 2: Свойство формировать пару доказательства может быть проверено на Блупе — следовательно, оно представлено в ТТЧ некоей формулой с двумя свободными переменными.

Как и ранее, мы не упоминаем точно, к какой именно системе относятся данные пары доказательств; оказывается, что это не столь важно, потому что оба Основных Факта действительны для любой формальной системы. Это — общее свойство формальных систем: мы всегда можем определить при помощи предсказуемо конечного теста, является ли данная последовательность строк доказательством, или нет. То же верно и для соответствующих арифметических понятий.

Для конкретности предположим, что мы имеем дело с системой MIU. Вы, наверное, помните строчку, которую мы назвали МУМОН'ом. На одном из уровней эта строчка интерпретировалась как утверждение «MU — теорема системы MIU.» Можно показать, как МУМОН выражается в ТТЧ с помощью формулы, выражающей понятие пар доказательства в MIU. Давайте сократим эту формулу, в существовании которой нас уверяет Основной Факт 2, следующим образом:

ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-MIU{а, а'}

Поскольку это — свойство двух чисел, оно представлено формулой с двумя свободными переменными. (В этой главе мы будем пользоваться строгой версией ТТЧ и нам надо будет различать между переменными а, а', а'' и т. д.) Чтобы сказать: «MU — теорема системы MIU», нам придется взять изоморфное высказывание «30 — число-теорема системы MIU» и перевести его в нотацию ТТЧ. Это несложно, если призвать на помощь наше условное сокращение (вспомните главу VIII, в которой, чтобы указать замену каждого а' на, символ числа, слева от этого символа мы писали «/а'»):

Eа: ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-MIU{a,SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS0/a'}

Посчитайте С: их 30 штук. Заметьте, что это — закрытое высказывание ТТЧ, поскольку одна свободная переменная квантифицированна, а другая заменена на символ числа. То, что мы здесь проделали, весьма интересно. Благодаря Основному Факту 2 мы получили возможность говорить о парах доказательства: теперь мы выяснили, как мы можем говорить о числах-теоремах: для этого нужно всего лишь добавить в начале квантор существования! Более точным переводом данной выше строчки было бы «существует некое число а, которое составляет пару доказательства с 30 в качестве второго элемента».

Предположим, что мы захотели бы проделать нечто похожее в ТТЧ — например, выразить высказывание «0=0 — это теорема ТТЧ». Мы можем сократить существующую (согласно Основному Факту 2) формулу аналогичным образом (опять с двумя свободными переменными):

ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{а, а'}

(Эта сокращенная формула ТТЧ читается так: «Натуральные числа а и а' являются парой доказательства».) Следующим шагом является перевод нашего высказывания в теорию чисел, следуя модели МУМОН. Получается высказывание «существует некое число а, которое составляет пару доказательства с 666,111,666 в качестве второго элемента». Это выражается следующей формулой ТТЧ:

Ea:ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{a, SSSSS … SSSSS0/а'}

.                                                         |________| 

.                                 (Очень много S - целых 666,111.666!)

Это — закрытое высказывание ТТЧ. (Давайте назовем его Джошу — скоро узнаете, почему.) Мы убедились, что возможно говорить не только о примитивно рекурсивном понятии пар доказательства ТТЧ, но и о родственном, хотя и более сложном понятии чисел-теорем ТТЧ.

Чтобы убедиться, насколько хорошо вы поняли эти идеи, попробуйте перевести в ТТЧ следующие высказывания мета-ТТЧ:

(1) 0=0 не является теоремой ТТЧ.

(2) ~0=0 — теорема ТТЧ.

(3) ~0=0 не является теоремой ТТЧ.

Каким образом решения отличаются от примеров, данных выше, и друг от друга? Вот еще несколько упражнений на перевод:

(4) ДЖОШУ — теорема ТТЧ. (Получившуюся строчку ТТЧ назовите МЕТА-ДЖОШУ.)

(5) МЕТА-ДЖОШУ — теорема ТТЧ. (Получившуюся строчку ТТЧ назовите МЕТА-МЕТА-ДЖОШУ.)

(6) МЕТА-МЕТА-ДЖОШУ — теорема ТТЧ.

(7) МЕТА-МЕТА-МЕТА-ДЖОШУ — теорема ТТЧ.

(и т. д., и т. п.)

Пример (5) показывает, что высказывания мета-мета-ТТЧ могут быть переведены в нотацию ТТЧ; пример (6) показывает то же самое для мета-мета-мета-ТТЧ, и т. д.

Важно помнить о разнице между выражением свойства, и его представлением. Например, свойство численно-теоремности ТТЧ выражено следующей формулой:

Eа: ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ {а, а'}

Перевод: «а' — число-теорема ТТЧ». Однако у нас нет гарантии того, что эта формула действительно представляет данное понятие, поскольку у нас нет гарантии того, что это свойство примитивно рекурсивно — на самом деле, у нас есть некоторые основания полагать, что это не так! (Наши подозрения вполне обоснованы. Свойство являться числом-теоремой ТТЧ — НЕ примитивно рекурсивно, и такой формулы ТТЧ, которая могла бы его выразить, не существует!) С другой стороны, свойство являться парой доказательства, являясь примитивно рекурсивным, одновременно выразимо и представимо с помощью формулы, данной выше.

Предыдущее обсуждение показало нам, как ТТЧ может «анализировать» понятие теоремности ТТЧ. Это — основа первой части доказательства. Перейдем теперь ко второй идее доказательства, путем развития понятия, позволяющего сконцентрировать этот «самоанализ» в одной единственной формуле. Для этого давайте посмотрим, что случается с Гёделевым номером какой-либо формулы, когда ее структура слегка меняется. Рассмотрим следующее изменение:

замена всех свободных переменных на определенные символы чисел.

Ниже, в левой колонке, даны два примера этой операции; в правой колонке показаны параллельные изменения в Гёделевых номерах.

Формула                                                         Геделев номер

a=a                                                                 262,111,262

теперь заменим все свободные переменные на символ числа 2                      

SS0=SS0                                                          123,123,666,111,123,123,666

                                                         *******

~Ea:Ea':Ea''=(SSa*SSa')                                      223,333,262,636,333,262,163,636,

.                                                                    262,163,163,111,362,123,123,262,

.                                                                    236,123,123,262,163,323

теперь заменим заменим свободные переменные на символ числа 4                      

~Ea:Ea':SSSS0=(SSa*SSa')                                  223,333,262,636,333,262,163,636,

.                                                                   123,123,123,123,666,111,362,123,

.                                                                   123,262,236,123,123,262,163,323,

В правой колонке происходит изоморфный арифметический процесс, в котором один большой номер превращается в другой, еще больший номер. Функцию, которая производит этот новый номер из старого, несложно описать арифметически в терминах сложения, умножения, возведения в десятую степень и так далее — но нам это не нужно. Важно здесь то, что отношения между (1) первоначальным Гёделевым номером, (2) номером, чей символ мы вставили и (3) Гёделевым номером, при этом получающимся — это примитивно рекурсивные отношения. Это значит, что на Блупе может быть написана программа-тест, которая, если мы введем в нее эти три номера, сможет ответить ДА. если между ними существуют такие отношения, и НЕТ — в противном случае. Вы можете проверить себя на способность проводить такие тесты (и в то же время убедиться, что в этом процессе нет спрятанных открытых петель), проверив следующие два случая:

(1) 362,262,112,262,163,323,111,123,123,123,123,666;

.     2;

.    362,123,123,666,112,123,123,666,323,111,123,123,123,123,666.

(2) 223,362,262,236,262,323,111,262,163;

.     1;

.     223,362,123,666,236,123,666,323,111,262,163.                            

Как обычно, один из примеров проходит проверку, а другой — нет. Назовем эти отношения между тремя номерами отношениями замены. Поскольку они примитивно рекурсивны, они могут быть представлены некоей формулой ТТЧ с тремя свободными переменными. Давайте запишем эту формулу сокращенно:

   ZAM{a, a', a"}

Поскольку эта формула представляет отношения замены, нижеследующая формула ТТЧ должна являться теоремой:

ZAM{SSSSS..... SSSSS0/a, SS0/a', SSSSSS..... SSSS0/a"}

.           |________|                          |________|

.         262,111,262-«S»          123,123,666,111,123,123,666 «S»

(Это основано на первом примере отношений замены, показанном ранее в виде параллельных колонок.) С другой стороны, поскольку формула ZAM представляет собой отношения замены, формула, данная ниже, не является теоремой ТТЧ:

ZAM{SSS0/a, SS0/a', S0/a"}

Пора соединить все эти части в одно гармоничное целое. Мы попробуем использовать технику ПАР-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ и формул ZAM для построения суждения ТТЧ, интерпретирующегося как «Эта строчка ТТЧ — не теорема ТТЧ». Как это возможно? Даже теперь, когда у нас есть все необходимые инструменты, ответ на этот вопрос найти нелегко.

Интересный и на вид довольно несерьезный прием состоит в подстановке в формулу ее собственного Гёделева номера. Это весьма похоже на другое, тоже легкомысленное на вид понятие «квайнирования», о котором вы прочли в «Арии в ключе G». Однако квайнирование оказалось важным, поскольку оно представляет из себя новый способ создания автореферентных суждений. Автореферентность подобного типа сначала кажется весьма странной, но, поняв ее принцип, вы найдете ее простой и изящной. Арифметическая версия квайнирования — назовем ее арифмоквайнированием — позволит нам получать суждения ТТЧ, «говорящие о себе самих».

Давайте рассмотрим пример арифмоквайнирования. Нам нужна формула, по меньшей мере, с одной переменной. Для этого годится следующая формула:

a=S0

Гёделев номер этой формулы — 262,111,123,666; теперь мы подставим этот номер в саму формулу — или, точнее, мы подставим в нее символ этого номера. У нас получится:

SSSSS.....SSSSSO=S0

|____________|

262,111,123,666 «S»

Эта новая формула очень глупа: она утверждает, что 262,111,123,666 равняется 1. Если бы мы начали со строчки ~a=S0, и затем арифмоквайнировали ее, у нас получилось бы верное высказывание, в чем вы сами можете убедиться.

Разумеется, арифмоквайнируя, вы проделываете специальную операцию замены, о которой мы упомянули ранее. Чтобы говорить об арифмоквайнировании в ТТЧ, нам понадобилась бы формула:

ZAM{a'',a'',a'}

где две первые переменные совпадают. Это происходит потому, что мы используем один и тот же номер двумя разными способами (эхо Канторовского диагонального метода!) Номер а' является одновременно (1) первоначальным Гёделевым номером и (2) номером-заменой. Давайте сократим вышеприведенную формулу:

ARITHMOQUINE{a'', a'}

В переводе на русский это означает, что:

а' — Гёделев номер формулы, полученной арифмоквайнированием формулы с Гёделевым номером а''.

Предыдущее предложение — длинное и запутанное. Давайте попробуем выразить то же самое с помощью краткого и элегантного термина:

а' — арифмоквайнификация а''

Например, арифмоквайнификацией формулы 262,111,123,666 был бы следующий невероятный гигант:

123,123,123, ...... 123,123,123,666,111,123,666

|_________________________|

«123» повторяется 262, 111, 123,666 раз.

(Это всего-навсего Гёделев номер формулы, полученной, когда мы арифмоквайнировали a=S0.) Как видите, мы можем довольно легко говорить об арифмокваинировании в ТТЧ.

Если вы снова перелистаете «Арию в ключе G», то увидите, что последний трюк, необходимый для получения автореференции по Квайну, заключается в том, чтобы квайнировать высказывание, само говорящее о квайнировании. Одного квайнирования оказывается недостаточно — вы должны квайнировать предложение о квайнировании! Нам придется использовать параллельный трюк и арифмоквайнировать формулу, саму упоминающую квайнирование. Давайте запишем эту формулу; назовем ее дядей G.

~Eа:Eа':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-

TTЧ{a,a'}Λ ARITHMOQUINE{a",a'}>

Легко увидеть, насколько здесь замешано арифмоквайнирование. У этого «дяди», разумеется, есть Гёделев номер — мы будем называть его d. Начало и конец d и даже кое-какие фрагменты его середины мы можем прочитать без труда:

d = 223,333,262,636,333,262,163,636,212..... 161,.... 213

Для остального нам только нужно знать, как выглядят в записи формулы ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ и ARITHMOQUINE. Приводить здесь эту запись слишком сложно, да и не нужно.

Теперь осталась самая малость — нужно арифмоквайнировать самого дядю! Для этого надо избавиться от свободных переменных, которых у нас только одна — а'' — и заменить их на символ числа d. Мы получим:

~Ea:Ea':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{a,a'}

ΛARITHMOQUINE{SS…SSS0/a'',a'}>

.                       |___|

.                       d «S» 

Именно это и есть Гёделева строчка, которую мы называем «G». Теперь у нас возникают два вопроса, на которые необходимо ответить без промедления. Вот они:

(1) Каков Гёделев номер G?

(2) Какова интерпретация G?

Сначала ответим на первый вопрос. Как мы получили G? Мы начали с дяди и арифмоквайнировали его, так что, по определению арифмоквайнирования, Гёделев номер G — это:

арифмоквайнификация d.

Теперь второй вопрос. Постараемся перевести G на русский постепенно, шаг за шагом проясняя значение этой строчки. Нашей первой попыткой будет дословный перевод:

«Не существует чисел а и а' таких, что они оба:

(1) составляют пару доказательства ТТЧ и

(2) а' является арифмоквайнификацией d».

Мы знаем, однако, что существует число а', являющееся арифмоквайнификацией d. Следовательно, дело в другом числе, в а. Это позволяет нам перефразировать наш перевод:

«Не существует такого числа а, которое составляло бы пару доказательства ТТЧ с арифмоквайнификацией d»

(Этот шаг может быть немного сложным для понимания; ниже мы остановимся на нем подробнее.) Видите ли вы, что происходит? G утверждает, что:

«Формула, чей Гёделев номер — арифмоквайнификация d, не является теоремой ТТЧ».

Но — и это уже не должно нас удивлять — эта формула не что иное, как сама строчка G! Следовательно, нашим окончательным переводом будет:

«G — не теорема ТТЧ»;

или, если вам так больше нравится —

«Я — не теорема ТТЧ».

Начав с интерпретации на низшем уровне — суждения теории чисел, мы постепенно дошли до интерпретации на высшем уровне — суждения мета-ТТЧ.

В главе IX мы уже упоминали о главном следствии этого удивительного построения: это неполнота ТТЧ. Давайте вспомним, как мы при этом рассуждали:

Является ли G теоремой ТТЧ? Если это так, то она должна утверждать истинный факт. Но что именно утверждает G? Свою собственную нетеоремность. Следовательно, из ее теоремности вытекала бы ее нетеоремность. Противоречие!

С другой стороны, что, если G не теорема? Это можно принять, так как противоречия здесь не возникает. Но G утверждает именно собственную нетеоремность — следовательно, G утверждает истинный факт. Значит, поскольку G не теорема, мы можем заключить, что существует по меньшей мере один истинный факт, не являющийся теоремой ТТЧ.

Теперь — обещанное объяснение сложного шага нашего перевода. Я воспользуюсь для этого похожим примером. Возьмем строчку

~Eа:Eа':<ЧЕРЕПАШЬЯ ПАРА{а, а'}ΛДЕСЯТАЯ СТЕПЕНЬ{SS0/а'',а'}>

где оба сокращения обозначают строчки ТТЧ, которые вы можете дописать сами. ДЕСЯТАЯ СТЕПЕНЬ{а'',а'} представляет высказывание «а' равняется а'' в десятой степени». Таким образом, дословный перевод на русский получается такой:

«Не существует чисел а и а' таких, что они (1) составляют Черепашью пару, и (2) а' — 2 в десятой степени».

Но мы знаем, что десятая степень 2 существует — это 1024. Таким образом, эта строчка на самом деле утверждает, что:

«Не существует числа а, которое составляет Черепашью пару с числом 1024».

Это высказывание, в свою очередь, сводится к:

«1024 не обладает Черепашьим свойством».

Нам удалось заменить символ числа на его описание. Это было возможно, благодаря использованию дополнительной квалифицированной переменной (а' ), В данном случае, число 1024 было описано как «десятая степень двух»— выше это было числом, описанным как «арифмоквайнификация d».

Переведем дыхание и посмотрим, что мы сделали до сих пор. Для этого сравним арифмоквайнирование с парадоксом Эпименида. Вот схема этого соответствия:

ложность <==> нетеоремность

цитата фразы <==> Геделев номер строки

предварение предиката цитатой фразы <==> подстановка символа (или определенного терма) в открытую формулу

предварение предиката цитатой фразы <==> подстановка Гёделева номера строчки в открытую формулу

предварение предиката им самим в кавычках (квайнирование) <==> Подстановка Гёделева номера открытой формулы в саму эту формулу (арифмоквайнирование)

После квайнирования производит ложное высказывание (предикат без подлежащего) <==> «дядя» G (открытая формула ТТЧ)

«После квайнирования производит ложное высказывание» (тот же предикат, квайнированныи) <==> номер d (Гёделев номер предыдущей открытой формулы)

«После квайнирования производит ложное высказывание» После квайнирования производит ложное высказывание <==> строчка G (высказывание ТТЧ, полученное путем подстановки d в «дядю», то есть, путем его арифмоквайнирования)

Поскольку интерпретация G истинна, интерпретация ее отрицания ~G — ложна. Мы знаем, что в ТТЧ невозможно вывести ложные утверждения. Следовательно. ни G, ни ее отрицание ~G не могут быть теоремами ТТЧ. Мы нашли в нашей системе «дыру» — неразрешимое суждение. Из этого следуют несколько фактов. Вот один из них, довольно любопытный: несмотря на то, что ни G, ни ее отрицание ~G не являются теоремами ТТЧ, формула — теорема, поскольку из правил исчисления высказываний следует, что все правильно построенные формулы типа <P V ~P> - теоремы.

Это — простой пример того случая, когда утверждение внутри системы и утверждение о системе противоречат друг другу. Возникает вопрос: действительно ли система верно отражает саму себя? Соответствует ли «отраженная метаматематика», существующая внутри ТТЧ, «обыкновенной», повседневной математики? Это было одним из вопросов, интересовавших Гёделя, когда он писал свою статью. В частности, он был заинтересован в том, возможно ли доказать в «отраженной метаматематике» непротиворечивость ТТЧ. Вспомните, что доказательство непротиворечивости систем было важным философским вопросом того времени. Гёдель нашел простой способ выразить высказывание «ТТЧ непротиворечива» в виде формулы ТТЧ; после чего он показал, что эта формула (как и все другие формулы, выражающие похожую идею) является теоремой ТТЧ только при одном условии: если ТТЧ противоречива. Этот еретический результат был тяжелым ударом для оптимистов, считавшим, что возможно найти строгое доказательство непротиворечивости математики.

Как можно выразить высказывание «ТТЧ непротиворечива» в самой ТТЧ? Опираясь на простой факт: противоречивость означает, что две формулы, x и ~x, одна из которых — отрицание другой, одновременно являются теоремами. Но если они обе — теоремы, тогда, согласно исчислению высказываний, все правильно сформированные формулы — теоремы. Таким образом, чтобы доказать непротиворечивость ТТЧ, достаточно доказать нетеоремность единственного высказывания ТТЧ. Следовательно, один возможный способ выразить непротиворечивость ТТЧ - это высказывание типа «формула ~0=0 не является теоремой ТТЧ». Такое высказывание уже было предложено в качестве упражнения несколькими страницами ранее. Вот что у нас должно получиться:

~Eа:ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{а,SSSSS…SSSSSO/a'}

.                                                     |_________|

.                                                  «S» 223666111666 раз

Путем длинных, но несложных рассуждений можно доказать, что пока ТТЧ остается непротиворечивой, ее клятва в собственной непротиворечивости — не теорема. Таким образом, ТТЧ весьма сильна в выражении идей, но слабовата в их доказательстве. Это очень интересный результат, если метафорически приложить его к проблеме человеческого самосознания.

От какой именно разновидности неполноты «страдает» ТТЧ? Мы вскоре увидим, что речь идет о неполноте типа «омега», определенной в главе VIII. Это означает, что существует некая бесконечная пирамидальная семья строчек, каждая из которых является теоремой — но при этом соответствующая «итоговая» строчка теоремой не является. Эту итоговую не-теорему найти нетрудно:

~Aа:~Eа':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{а,а'}

ΛARITHMOQUINE{SS… SSSO/a'',a'}>

.                       |_____|

.                     «S» d раз

Чтобы понять, почему эта строчка — не теорема ТТЧ, заметьте, что она крайне напоминает саму G — на самом деле, согласно правилу замены ТТЧ, от нее до G — лишь один шаг. Следовательно, если бы она была теоремой, то нам бы пришлось признать теоремность G. Теперь постараемся показать, что все строчки в пирамидальной семье на самом деле являются теоремами. Мы можем легко их записать:

~Eа':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{O/а,а}ΛARITHMOQUINE{SSS…SSSO/а",а}>

~Eа':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{SO/а,а}ΛARITHMOQUINE{SSS…SSSO/а",а}>

~Eа':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{SSO/а,а}ΛARITHMOQUINE{SSS…SSSO/а",а}>

~Eа':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{SSSO/а,а}ΛARITHMOQUINE{SSS…SSSO/а",а}>

*   *

*   *

*   *

Что утверждает каждая из этих строчек? Вот их соответствующие переводы.

«0 и арифмоквайнификация d — не пара доказательства ТТЧ».

«1 и арифмоквайнификация d — не пара доказательства ТТЧ».

«2 и арифмоквайнификация d — не пара доказательства ТТЧ».

«3 и арифмоквайнификация d — не пара доказательства ТТЧ».

«4 и арифмоквайнификация d — не пара доказательства ТТЧ».

*   *

*   *

*   *

Каждое из этих утверждений говорит о том, формируют ли два определенных числа пару доказательства, или нет. (С другой стороны, G говорит о том, является ли одно определенное число. числом-теоремой, или нет.) Поскольку G — не теорема, не существует такого числа, которое составляло бы пару доказательства с Гёделевым номером G. Таким образом, каждое из утверждений пирамидальной семьи истинно. Основная идея в том, что свойство являться парой доказательств примитивно рекурсивно и, следовательно, представимо — поэтому каждое из утверждений выше должно быть переводимо в теорему ТТЧ, что означает, что все утверждения в нашей бесконечной пирамидальной семье — теоремы. И это показывает, почему ТТЧ ω-неполна.

Поскольку интерпретация G истинна, интерпретация ее отрицания ~G ложна. Из нашего предположения о непротиворечивости ТТЧ следует, что в ней не могут быть выведены ложные утверждения.

Таким образом, ни G, ни ее отрицание ~G не являются теоремами ТТЧ. Мы нашли в нашей системе дыру — неразрешимое суждение. Это не должно нас особенно беспокоить, если мы достаточно свободомыслящи, чтобы признать, что из этого следует. Это означает, что ТТЧ можно дополнить, как можно дополнить абсолютную геометрию. В действительности, ТТЧ, как и абсолютную геометрию, можно расширить в двух направлениях. Она может быть расширена в стандартном направлении, что соответствует расширению абсолютной геометрии в Эвклидовом смысле; или же, она, может быть расширена в нестандартном направлении, что, разумеется, соответствует расширению абсолютной геометрии в неэвклидовом смысле. Стандартным дополнением будет:

добавление G в качестве новой аксиомы.

Это кажется довольно безвредным и даже желательным, поскольку G всего на всего утверждает некую истину о системе натуральных чисел. А как насчет нестандартного расширения? Если следовать аналогии с ситуацией аксиомы параллельности, оно должно означать:

добавление отрицания G в качестве новой аксиомы.

Но как мы можем даже подумать о таком ужасной, отвратительной вещи? В конце концов, если перефразировать Саккери, не является ли то, что утверждает ~G, «противным самой природе натуральных чисел»?

Надеюсь, что вы оценили иронический смысл этой цитаты. Проблема с подходом Саккери к геометрии заключалась в том, что он основывался на жестком понятии о том, что истинно и что ложно; он хотел доказать только то, что он считал истинным с самого начала. Несмотря на его оригинальный метод — отрицание пятого постулата и доказательство многих «противных» утверждений вытекающей из этого геометрии — Саккери не допускал возможности иного взгляда на точки и линии. Не будем повторять его знаменитой ошибки; вместо этого давайте рассмотрим как можно беспристрастней, что означала бы добавка ~G в качестве аксиомы ТТЧ. Подумайте только, на что была бы похожа современная математика, если бы люди не решили в свое время добавить к ней аксиом типа:

Ea: (a+a)=S0

Ea: Sa=0

Ea: (a*a)=SS0

Ea: S(a*a)=0

Хотя каждое из этих утверждений «противно природе ранее известных числовых систем», каждое из них в то же время означает значительное и замечательное расширения понятия целых чисел: рациональные числа, отрицательные числа, иррациональные числа, мнимые числа. ~G пытается открыть нам глаза на такую возможность. В прошлом каждое новое расширение системы натуральных чисел встречалось в штыки. Это можно заметить по именам, данным непрошеным пришельцам: «иррациональные», «мнимые». Оставаясь верными традиции, давайте назовем числа, которые порождает ~G, супернатуральными, поскольку они противоречат всем понятиям разума и здравого смысла.

Если мы собираемся добавить ~G в качестве шестой аксиомы ТТЧ, мы должны постараться понять, каким образом эта строчка может сосуществовать с вышеприведенной пирамидальной семьей. Ведь ~G утверждает, что

«существуют некое число, составляющее пару доказательства с d».

При этом члены пирамидальной семьи с успехом утверждают, что

«0 не является этим числом»

«1 не является этим числом»

«2 не является этим числом»

*

*

Это сбивает с толку, поскольку кажется совершеннейшим противоречием (именно поэтому это называется ω-противоречивостью). Наша проблема заключается в том, что, так же как и в случае с расширенной геометрией, мы упрямо отказываемся модифицировать интерпретацию символов, несмотря на то, что прекрасно понимаем, что имеем дело с модифицированной системой. Мы хотим обойтись без добавления хотя бы одного символа — что, разумеется, оказывается невозможным.

Проблема разрешается, если мы интерпретируем E как «существует некое обобщенное натуральное число» вместо «существует некое натуральное число». Одновременно с этим нам придется соответствующим образом изменить интерпретацию A. Это значит, что, кроме натуральных, мы открываем дверь для неких новых чисел. Это супернатуральные числа. Натуральные и супернатуральные числа вместе составляют обобщенные натуральные числа.

Кажущееся противоречие теперь испаряется, поскольку пирамидальная семья все еще утверждает, что «никакое натуральное число не составляет пару доказательства ТТЧ с арифмоквайнификацией d» Строчки этой семьи ничего не упоминают о супернатуральных числах, поскольку для них не существует символов. С другой стороны, ~G утверждает, что существует такое обобщенное натуральное число, которое составляет пару доказательства ТТЧ с арифмоквайнификацией d. Противоречия больше нет. ТТЧ+~G превращается в непротиворечивую систему, если ее интерпретация включает супернатуральные числа.

Поскольку мы решили расширить интерпретацию обоих кванторов, это означает, что значение любой включающей их теоремы также расширяется. Например, теорема коммутативности

Aa:Aa':(a+a')=(a'+a)

теперь говорит нам, что сложение коммутативно для всех обобщенных чисел — другими словами, не только для натуральных, но и для супернатуральных чисел. Таким же образом, теорема ТТЧ. утверждающая, что «2 — не квадрат натурального числа» —

~Ea:(a*a)=SSO

теперь говорит нам, что 2 также не является квадратом никакого супернатурального числа. На самом деле, супернатуральные числа имеют те же свойства, как и натуральные, всегда, когда эти свойства выражены в теоремах ТТЧ. Иными словами, все, что может быть формально доказано для натуральных чисел, верно и для супернатуральных чисел. Это означает, что супернатуральные числа не являются чем-то хорошо знакомым, вроде дробей, отрицательных чисел, комплексных чисел и т. п. Вместо этого, супернатуральные числа могут быть представлены, как целые числа, большие чем всё натуральные числа — то есть, как бесконечно большие целые числа. Дело в том, что хотя теоремы ТТЧ могут «запретить» отрицательные числа, дроби, иррациональные и комплексные числа, они бессильны против бесконечно больших величин. Проблема в том, что в ТТЧ невозможно даже выразить высказывание «бесконечных величин не существует».

С первого взгляда это кажется весьма, странным. Насколько велико число, составляющее пару доказательства с Гёделевым номером строчки G? (Давайте назовем это число «I», без особой на то причины.) К несчастью, у нас нет подходящих терминов для описания размера бесконечно больших целых чисел, так что я боюсь, что мне не удастся поведать вам, насколько велико I. С другой стороны, насколько велико i (квадратный корень из -1)? Его величина не может быть выражена в терминах знакомых нам натуральных чисел. Вы не можете сказать, что i вдвое меньше 14. Вам приходится успокоиться на том, что i в квадрате равняется -1. Здесь уместно процитировать Абраама Линкольна. Когда его спросили, какой длины должны быть человеческие ноги, он ответил; «Достаточно длинными, чтобы доставать до земли». Примерно так же нам придется ответить на вопрос о величине I: оно должно равняться числу, определяющему структуру доказательства G: не больше и не меньше.

Разумеется, любая теорема ТТЧ может быть выведена разными способами, так что вы можете пожаловаться, что мое определение I не является единственным. Это верно. Но сравнение с i, квадратным корнем из -1, все равно годится. Вспомните, что существует еще одно число, чей квадрат равняется -1 — а именно, -i. i и -i — не одно и то же число. У них просто есть общее свойство. Проблема в том, что они определяются именно через это свойство! Нам приходится выбрать одно из них — неважно, какое именно — и называть его i. На самом деле, мы никак не можем их различить. Вполне возможно, что все эти годы мы считали за «i» ошибочное число — однако для нас в этом не было никакой разницы. Так же как i, I определено неоднозначно. Вы можете думать об I как о каком-либо из многих супернатуральных чисел, составляющих пару доказательства с арифмоквайнификацией d.

Мы еще не выяснили всех последствий добавления —G в качестве аксиомы ТТЧ Дело в том, что ~G утверждает, что у G имеется доказательство! Как может какая-либо система устоять, когда одна из ее аксиом утверждает, что ее собственное отрицание имеет доказательство? Тут-то мы попали в переделку! Однако все не так плохо, как кажется Пока мы строим только конечные доказательства, нам не удастся доказать G. Таким образом, кошмарного столкновения между G и ее отрицанием —G не произойдет никогда Супернатуральное число I не будет причиной несчастья. Однако нам придется привыкнуть к мысли, что теперь истинно ~G (утверждающее, что у G есть доказательство), в то время как G (утверждающее, что у G нет доказательства) ложно. В стандартной теории чисел дело обстоит наоборот — но там нет никаких супернатуральных чисел. Обратите внимание на то, что супернатуральная теорема ТТЧ — а именно, G — может утверждать нечто ложное, но все натуральные теоремы остаются истинными.

Я хотел бы поделиться с вами одним интересным и неожиданным фактом по поводу супернатуральных чисел — при этом я оставлю этот факт без доказательства. (Так как сам его не знаю.) Этот факт напоминает о принципе неопределенности Гейзенберга в квантовой механике. Оказывается, что супернатуральные числа можно «индексировать» простым и естественным образом, ассоциируя с каждым из них тройку обыкновенных чисел (включая отрицательные). Таким образом, наше I может получить индекс (9,-8,3), а следующее за ним I+1 — индекс (9,-8,4). Не существует какого-то одного способа индексировать все супернатуральные числа: у разных методов есть свои плюсы и минусы. Некоторые схемы индексации позволяют легко вычислить тройной индекс для суммы двух супернатуральных чисел, исходя из индексов двух слагаемых. Другие схемы позволяют нам с легкостью вычислить индекс произведения двух супернатуральных чисел, исходя из индексов двух множителей. Но никакая из существующих схем не позволяет нам вычислить и то, и другое. Если индекс суммы вычисляется с помощью рекурсивной функции, то индекс произведения не будет рекурсивной функцией — и наоборот, если индекс произведения — рекурсивная функция, то индекс суммы — нет. Таким образом, супернатуральные детишки, изучающие в своей школе сложение, не смогли бы проходить таблицы умножения — и наоборот! Знать и то и другое одновременно невозможно.

Можно пойти еще дальше теории супернатуральных чисел и рассмотреть супернатуральные дроби (отношение двух супернатуральных чисел), супернатуральные действительные числа, и так далее. На самом деле, вычисления могут делаться на новой основе если мы введем понятие действительных супернатуральных чисел. Бесконечно малые величины, такие как dx и dy, этот кошмар для математиков, могут быть с легкостью объяснены если рассматривать их как противоположность бесконечно больших действительных чисел! Некоторые теоремы высшей математики могут быть доказаны более интуитивно с помощью «нестандартного анализа».

Нестандартная теория чисел при первом знакомстве сбивает с толку. Но ведь и неэвклидова геометрия тоже странная штука! В обоих случаях так и хочется спросить: «Но какая из этих двух соперничающих теорий правильна? Какая из них выражает истину?» В некотором смысле, ответа на этот вопрос не существует. (Но в другом смысле, о котором мы поговорим позже, на этот вопрос можно дать ответ.) То, что ответа нет, объясняется тем фактом, что соперничающие теории, хотя они и пользуются одинаковыми терминами, говорят о разных вещах. Поэтому они соперники только по видимости, точно так же как эвклидова и неэвклидова геометрии. В геометрии слова «точка», «линия» и так далее — неопределенные термины, и их значения определяются той аксиоматической системой, в рамках которой они в данный момент используются.

То же самое можно сказать о теории чисел. Решив формализовать ТТЧ, мы заранее выбрали термины для интерпретации — например, «число», «плюс», «умножить» и так далее. Приступив к формализации, мы тем самым согласились работать с любыми значениями, которые эти термины могут принять. Но оказывается, что, как и Саккери, мы не были готовы к сюрпризам. Мы думали, что нам известно, какая теория чисел истинна, правильна и единственна, и не подозревали о том, что ТТЧ не сможет ответить на некоторые вопросы о числах — вопросы, на которые оказалось возможным ответить ad libitum только расширив теорию чисел в разных направлениях. Таким образом, у нас нет основания утверждать, что теория чисел «в действительности» имеет ту или иную форму, так же как мы не можем сказать, существует ли в действительности квадратный корень из -1.

Против этого можно использовать следующий довод. Предположим, что физические эксперименты в реальном мире могут быть более экономно объяснены с помощью одного определенного варианта геометрии. В таком случае, у нас было бы основание называть именно этот вариант «истинной» геометрией. С точки зрения физика, желающего иметь дело с «правильной» геометрией, имеет смысл различать между «истинным» и остальными вариантами геометрии. Но к этому нельзя подходить слишком упрощенно. Физики всегда имеют дело с приближенными или идеализированными ситуациями. Например, моя собственная диссертация, о которой я упомянул в главе V, была основана на крайней идеализации проблемы кристаллов в магнитном поле. Результатом этого были некие красивые и симметричные математические модели. Несмотря на искусственность модели — или, скорее, благодаря ей — в графике ясно отразились некоторые ее основные черты. Это помогает представить, что может происходить в более реалистических ситуациях. Без упрощающих допущений, использованных мною при построении графика, такие догадки были бы невозможны. Такие ситуации встречаются в физике очень часто: физики используют «воображаемую» ситуацию, чтобы узнать о глубоко спрятанных чертах действительности. Поэтому необходимо быть осторожным, утверждая, что геометрия, используемая физиками, представляет собой «истинную геометрию»; на самом деле, физики используют несколько различных вариантов геометрии, в каждой данной ситуации выбирая наиболее простой и подходящий.

Более того, физики изучают не только трехмерное пространство, в котором мы обитаем. Объектом их изучения являются целые семьи «абстрактных пространств», в которых они производят свои расчеты Геометрические характеристики этих пространств весьма отличны от характеристик того пространства, в котором мы живем. Кто может утверждать, что «истинная» геометрия описывает именно то пространство, в котором Уран и Нептун кружатся вокруг солнца? Чем оно лучше «Гильбертова пространства», в котором зыблются волновые функции квантовой механики — «пространства момента», где обитают компоненты Фурье — «взаимного пространства», где резвятся волны-векторы, «фазового пространства», в котором бурлят конфигурации, состоящие из многих частиц, и так далее? Нет причины для того, чтобы все эти геометрии были одинаковыми, точнее, они никак не могут быть одинаковыми! Таким образом, для физиков очень важно существование различных «соперничающих» геометрий вариант.

Довольно о геометрии — перейдем теперь к теории чисел. Так ли это важно и необходимо, чтобы существовали разные варианты теории чисел? Если бы вы спросили банковского работника, думаю, что он бы сначала не поверил, что вы говорите серьезно — а потом пришел в ужас. Как 2 + 2 может быть отлично от 4? Если бы 2 + 2 не было равно 4, разве не зашаталась бы мировая экономика от невыносимой неуверенности, не развалилась бы она от подобного удара? На самом деле, этого не произошло бы. Прежде всего, нестандартная теория чисел не угрожает старому доброму факту, что дважды два — четыре. Она отличается от привычной нам теории чисел только тем, как она обращается с понятием бесконечности. В конце концов, любая теорема ТТЧ остается теоремой в любой расширенной версии ТТЧ! Так что банкирам не надо волноваться о том что с приходом нестандартной теории чисел в финансовом мире воцарится хаос.

Боязнь что новые варианты математических теорий изменят старые, хорошо известные факты, отражает непонимание взаимоотношений математики с действительностью. Математика дает нам ответы на вопросы о реальном мире только после того, как мы выбрали, какой тип математики мы используем в данный момент. Даже если бы существовал соперничающий вариант теории чисел, использующий символы 2, 3 и +, в котором 2 + 2 = 3 было бы теоремой, у банкиров не было бы причин выбирать именно этот вариант! Эта теория не отражает того, как ведут себя деньги. Мы приспосабливаем математику к действительности, а не наоборот. Например, мы не используем теорию чисел, чтобы описывать облака поскольку там не подходит само понятие целых чисел. Одно облако может соединиться с другим, в результате чего получается не два, а одно облако! Это не доказывает, что 1 плюс 1 равняется 1, это доказывает лишь то, что наше понятие «один» не годится для «облачного исчисления».

 Итак, банковские работники, любители считать облака и все остальные не должны бояться нашествия супернатуральных чисел, так как они абсолютно не затронут нашу повседневную жизнь. Повод для беспокойства есть только у тех людей чья работа связана с бесконечными величинами. Таких людей не очень много но математические логики находятся в их числе. Как может их затронуть существование вариантов теории чисел? Теория чисел играет в логике две роли: (1) когда она аксиоматизирована, она становится объектом изучения, и (2) используемая неформально, она является необходимым орудием, при помощи которого могут изучаться формальные системы. Это напоминает уже знакомое нам различие между использованием и упоминанием, в роли (1) теория чисел упоминается, в роли (2) она используется.

Математики решили, что теория чисел, хотя она и не подходит для подсчета облаков, вполне годится для изучения формальных систем, так же как банковские работники решили, что арифметика действительных чисел годится для их операций. Подобные решения принимаются вне математики; они показывают, что мыслительные процессы, задействованные в изучении математики, так же, как и в других областях человеческой деятельности, включают «запутанные иерархии», где мысли на одном уровне могут влиять на мысли на другом уровне. При этом четкого разделения на уровни не существует, как могут думать последователи формалистского взгляда на математику.

Формалистская философия утверждает, что математики имеют дело с абстрактными символами и что им совершенно все равно, соответствуют ли эти символы окружающей их действительности. Однако это весьма искаженная картина, что становится особенно ясным в метаматематике. Используя саму теорию чисел для получения новых фактов о формальных системах, метаматематики показывают, что они считают эфирные создания, называемые «натуральными числами», частью реального мира, а не просто плодом воображения. Именно поэтому я упомянул ранее о том, что в некотором роде можно ответить на вопрос, какой из вариантов теории чисел является «истинным». Дело в том, что математическим логикам приходится выбирать, в какой из вариантов теории чисел «поверить». В частности, они не могут оставаться в стороне от принятия или не принятия супернатуральных чисел, поскольку эти варианты теории чисел дают разные ответы на вопросы метаматематики.

Возьмем, например, вопрос «Является ли ~G финитно выводимым в ТТЧ?» Ответа на этот вопрос не знает никто. Однако большинство специалистов по математической логике без колебаний ответят «нет». Этот ответ основывается на интуиции, говорящей, что если бы ~G было теоремой, ТТЧ была бы ω-противоречива. Если вы хотите придать смысл интерпретации ТТЧ, вам приходится признать существование супернатуральных чисел — невыносимая мысль для большинства людей. К конце концов, придумывая ТТЧ. мы не ожидали, что супернатуральные числа будут ее частью. Мы (по крайней мере большинство из нас) верим в то. что возможно придумать такую формализацию теории чисел, которая не заставит нас признать реальности супернатуральных чисел. Именно эта вера определяет решение метаматического витязя на распутьи разных теорий чисел. Но эта вера может оказаться ошибочной. Возможно, что любая непротиворечивая формализация теории чисел, которую люди способны изобрести, была бы ω-противоречива, и, следовательно, включала бы супернатуральные числа. Это странная мысль, но в принципе такое возможно.

Если бы это было верно (в чем я сомневаюсь, но доказательства обратного пока не существует), то G не должно бы оставаться неразрешимым. На самом деле, тогда в ТТЧ может вообще не остаться неразрешимых суждений. Это дало бы единственный и неделимый вариант теории чисел, который с необходимостью включал бы существование супернатуральных чисел. Это не то решение, которого ожидает большинство математических логиков, но тем не менее, оно не должно быть полностью отброшено. Обычно считается, что ТТЧ и подобные ей системы ω-непротиворечивы, и что Гёделева строчка, которая может быть выведена в данной системе, неразрешима внутри этой системы. Это значит, что возможно добавить либо эту строчку, либо ее отрицание в качестве аксиомы.

  Я хотел бы завершить эту главу упоминанием о расширенном варианте теоремы Геделя (Этот материал излагается подробнее в статье Davis and Hersh, «Hilbert's Tenth Problem», см. Библиографию) Для этого я сначала определю Диофантиново уравнение. Это такое уравнение, в котором многочлен с установленными интегральными коэффициентами и экспонентами приравнивается к 0. Например,

a=0

и

5x + 13y - 1 = 0

и

5р⁵ + 17q¹⁷ - 177 =0

и

a^123666111666 + b^123666111666 - c^123666111666 =0

являются Диофантовыми уравнениями. Обычно трудно узнать, имеет ли данное Диофантово уравнение решение в целых числах. В своей знаменитой лекции в начале века Гильберт предложил математикам найти общий алгоритм, который помог бы определить за конечное количество шагов, имеет ли данное Диофантово уравнение решение в целых числах. Тогда он и не подозревал, что подобного алгоритма не существует!

Обратимся теперь к упрощению G. Доказано, что в каждой достаточно мощной формальной системе с Гёделевой нумерацией существует Диофантово уравнение, эквивалентное G. Это происходит потому, что это уравнение, интерпретированное на метаматематическом уровне, утверждает о себе самом, что у него нет решений. Теперь перевернем это утверждение задом наперед: если бы вы нашли решение этого уравнения, вы смогли бы построить на его основе Гёделев номер доказательства того, что это уравнение не имеет решений! Именно это и проделала Черепаха в «Прелюдии», используя в качестве Диофантинбва уравнения уравнение Ферма. Приятно знать, что если вы сможете это сделать, вам удастся восстановить из молекул воздуха звуки игры самого Баха!

В один прекрасный майский день Черепаха и Ахилл встречаются, прогуливаясь по лесу. Ахилл, разодетый в пух и прах, пританцовывает под звуки мелодии, которую он сам себе напевает под нос. На его пиджаке прицеплен огромный круглый значок со словами «Сегодня — мой день рождения!»

Черепаха: Приветствую вас, Ахилл! Что это вы сияете, как начищенный пяпятак? У вас, случайно, не день рождения?

Ахилл: Да, да! Да, сегодня у меня день рождения!

Черепаха: Я так и думала, из-за значка на вашем пиджаке. Кроме того, вы напеваете тему Баховской «Праздничной кантаты», написанной в 1727 году на день рождения Саксонского короля Августа, которому тогда исполнилось 57 лет.

Ахилл: Вы правы. Мы с королем родились в один день, поэтому ЭТА «Праздничная кантата» имеет двойное значение. Однако я вам не скажу, сколько мне лет.

Черепаха: Хорошо, но мне бы хотелось узнать вот что: могу ли я заключить из того, что вы мне до сих пор сообщили, что сегодня ваш день рождения?

Ахилл: Конечно, можете. Сегодня ДЕЙСТВИТЕЛЬНО мой день рождения.

Черепаха: Прекрасно. Я так и подозревала. Так что теперь я заключу, что сегодня ваш день рождения, если только это не…

Ахилл: Если только это не — что?

Черепаха: Если только это не будет слишком поспешным заключением. Знаете ли, черепахи не любят делать поспешных заключений. (Мы вообще не любим спешить, и особенно в наших заключениях.) Так что позвольте мне вас спросить, зная вашу любовь к логическому мышлению, разумно ли заключить из ваших предыдущих высказываний, что сегодня ваш день рождения?

Ахилл: Мне кажется, я улавливаю некую схему в ваших вопросах, г-жа Черепаха. Но вместо того, чтобы делать поспешные заключения, я постараюсь понять ваш вопрос буквально и ответить на него прямо: ДА.

Черепаха: Чудно! Чудно! Мне нужно знать только еще одну вещь, чтобы быть вполне уверенной в том, что сегодня —

Ахилл: Да, да, да, да… Я уже представляю себе, что вы сейчас спросите. Я покажу вам, что я уже не так прост, как тогда, когда мы обсуждали Эвклидово доказательство.

Черепаха: Кто когда-либо считал вас простаком? Как раз наоборот — я считаю вас экспертом в логическом мышлении, знатоком науки верных заключений, кладезем знаний о правильных методах рассуждения… По правде говоря, Ахилл, по моему мнению вы — просто гигант мысли, титан искусства рациональных размышлений И только лишь поэтому я хочу вас спросить «Дают ли ваши предыдущие высказывания достаточно оснований для того, чтобы я без дальнейших колебаний могла заключить, что сегодня ваш день рождения?»

Ахилл: Вы меня совсем раздавили своей тяжеловесной похвалой — подавили, я имею в виду. Но я удивлен повторяющимся характером ваших вопросов — по-моему, вы и сами могли ответить «да» на каждый из них.

Черепаха: Разумеется, могла бы, Ахилл. Но это было бы Тыканием Пальцем В Небо — а Черепахи этого терпеть не могут. Черепахи допускают только Разумные Догадки. О, мощь Разумных Догадок! Вы не представляете себе, сколько людей забывает учитывать все Важные Факторы, когда они строят свои предположения.

Ахилл: Мне кажется, что во всей этой белиберде был только один Важный Фактор — мое первое утверждение.

Черепаха: Точнее, это по меньшей мере ОДИН из факторов, который мне необходимо учесть — но неужели вы хотите, чтобы я упускала из вида Логику, эту славную науку древних? Логика всегда являлась Важным Фактором при построении Разумных Догадок, и, поскольку я имею счастье находиться в компании известного эксперта по Логике, думаю, что будет только логично этим воспользоваться и подтвердить мою интуицию, прямо спросив у него, права ли я. Так что позвольте мне, наконец, обратиться к вам с прямым вопросом «Позволяют ли предыдущие суждения заключить, что сегодня ваш день рождения?»

Ахилл: И еще раз, ДА! Но честно говоря, у меня складывается впечатление, что вы сами могли ответить на этот вопрос, как и на все предыдущие.

Черепаха: О, что за удивительные слова! Желала бы я быть такой мудрой, как вы предполагаете. Но будучи только простой смертной Черепахой, глубоко невежественной и желающей принять во внимание все Важные Факторы, я нуждалась в ваших ответах на все эти вопросы.

Ахилл: В таком случае, позвольте мне прояснить ситуацию раз и навсегда ответом на этот и на все последующие подобные вопросы является ДА.

Черепаха: Великолепно! Одним ударом, со свойственным вам блеском, вам удалось разобраться во всей этой путанице. Надеюсь вы не возражаете, если я назову этот изобретательный трюк СХЕМОЙ ОТВЕТОВ. Она превращает положительные ответы на первый, второй, третий и так далее вопросы в один единственный положительный ответ. На самом деле, поскольку эта схема является завершающим аккордом наших рассуждений, она заслуживает называться Схемой Ответов Омега, поскольку «ω» — последняя буква греческого алфавита (Бог мой, кому я это объясняю!)

Ахилл: Мне не важно как вы это назовете, но какое облегчение, что вы наконец согласились с тем, что сегодня мой день рождения, и мы можем поговорить о чем-нибудь другом — например, о том что вы мне подарите.

Черепаха: Погодите — не так быстро! Я СОГЛАШУСЬ, что сегодня ваш день рождения — при одном условии.

Ахилл: Каком? Не просить подарка?

Черепаха: Вовсе нет. Наоборот, я собиралась пригласить вас на шикарный праздничный ужин, после того, как я буду убеждена, что одновременное знание всех этих положительных ответов (утверждаемое схемой ω) позволит мне прямо и без дальнейших экивоков заключить, что сегодня ваш день рождения. Так оно и есть, не правда ли?

Ахилл: Разумеется.

Черепаха: Хорошо. Предположим, что я получила ответ ω + 1. Вооруженная им, я могу приступить к принятию гипотезы, что сегодня ваш день рождения, если только это позволено сделать. Что вы мне посоветуете, Ахилл?

Ахилл: Что такое? Я-то думал, что мне удалось вырваться из ваших бесконечных сетей. Почему же вас не удовлетворяет ответ ω + 1? Ну, хорошо: я дам вам не только положительный ответ ω + 2, но и ω + 3, ω + 4, и так далее.

Черепаха: Как это щедро с вашей стороны, Ахилл. А ведь сегодня как раз ваш день рождения, когда это Я должна преподносить ВАМ подарки, а не наоборот. Скорее, я ПОДОЗРЕВАЮ, что сегодня ваш день рождения. Наверное, теперь, когда я вооружена новой Схемой Ответов, которую я назову «Схемой Ответов 2ω», я могу заключить, что сегодня ваш день рождения. Но скажите мне, пожалуйста, Ахилл: действительно ли Схема Ответов 2ω позволяет мне совершить этот огромный скачок, или же я что-то пропускаю?

Ахилл: Больше вы меня не проведете, г-жа Черепаха. Как я погляжу, этой глупой игре конца нет! Я решил покончить с этим раз и навсегда и дать вам такую Схему Ответов, которая одним ударом расправится со всеми предыдущими Схемами. Я дам вам одновременно Схему Ответов ω, 2ω, Зω, 5ω и т. д. С этой Мета-Схемой-Ответов мне уж наверняка удастся ВЫСКОЧИТЬ из системы, перехитрить эту глупую игру, в сети которой вы думали меня уловить — теперь-то вам ПРИДЕТСЯ в этом признаться!

Черепаха: О, Боже мой! Какая честь для меня — оказаться обладательницей такой мощной Схемы Ответов! Мне кажется, что человеческая мысль редко изобретала что-либо подобное. Я восхищена ее гигантской мощью! Вы не возражаете, если я дам имя вашему подарку?

Ахилл: Конечно, нет.

Черепаха: Тогда я назову его «Схемой Ответов ω².» И мы сможем перейти к другим темам — как только вы скажете мне, что обладание Схемой Ответов ω² позволит мне заключить, что сегодня ваш день рождения.

Ахилл: Увы мне, увы!.. Кончатся ли когда-нибудь эти мученья? Что еще меня ожидает?

Черепаха: С удовольствием скажу вам. Дело в том, что после вашей Схемы Ответов ω² идет ответ ω² + 1, затем ω² + 2… Разумеется, вы можете собрать их в кучу под названием Схема Ответов ω² + ω, после чего могут последовать несколько других «куч», как, например, ω² + 2ω, ω² + Зω и так далее. Рано или поздно вы придете к Схеме Ответов 2ω², затем Зω², 4ω² и так далее. Существуют также дальнейшие Схемы Ответов, такие, как ω³, ω⁴, ω⁵ Так может продолжаться довольно долго.

Ахилл: Могу себе представить. Наверное, через некоторое время так можно дойти до Схемы Ответов ω^ω.

Черепаха: Разумеется.

Ахилл: А затем ω^ωω и так далее?

Черепаха: Вы довольно быстро ухватили мою идею. Если не возражаете, хочу вам кое-что предложить. Почему бы вам не соединить их все в одну-единственную Схему Ответов?

Ахилл: Хорошо, хотя я начинаю сомневаться, есть ли от этого какая-нибудь польза.

Черепаха: Мне кажется, что нам будет трудненько найти имя для этой Схемы. Может быть, нам придется просто назвать ее Схема Ответов ε₀.

Ахилл: Черт побери! Каждый раз, когда вы даете очередной Схеме Ответов, имя это разбивает мои надежды на то, что мой ответ вас, наконец, удовлетворит. Почему бы нам просто не оставить Схему безымянной?

Черепаха: Никак невозможно, Ахилл. Как же мы будем говорить об этой схеме, если у нее не будет имени? Кроме того, именно в этой Схеме есть что-то особенно завершенное и прекрасное. Было бы некрасиво оставить ее безымянной! А вы не хотели бы совершать некрасивых поступков, особенно в день вашего рождения не правда ли? Неужели сегодня ваш день рождения? Кстати о днях рождения, сегодня мой день рождения!

Ахилл: Неужели?

Черепаха: Да. Вообще-то, на самом деле, сегодня день рождения моего дяди, но это почти одно и то же. Как насчет того, чтобы пригласить меня на шикарный праздничный ужин?

Ахилл: Подождите минутку г-жа Ч! Сегодня МОЙ день рождения, и это Вы должны меня приглашать!

Черепаха: Но вам так и не удалось убедить меня в том, что вы говорите правду! Вы развели страшную путаницу, выдумали какие-то Схемы Ответов… Я всего-навсего хотела узнать, не день рождения ли у вас сегодня, но вам удалось меня совершенно сбить с толку. Как вам только не стыдно? Так или иначе я была бы счастлива, если бы вы пригласили меня на ужин сегодня вечером.

Ахилл: Ну что ж. Я знаю одно местечко. Там готовят самые экзотические супы, и я точно знаю какого супчика мне бы сейчас хотелось!

РАЗМЫШЛЯЯ над доказательством Гёделя, вдумчивый критик мог бы задаться вопросом, насколько оно обще. Он мог бы подумать, что Гёделю удалось найти недостаток лишь в одной формальной системе — в ТТЧ. Если бы это было так, то, возможно, удалось бы найти какую-нибудь лучшую систему, в которой Гёделев трюк был бы невозможен — и, таким образом, Теорема Гёделя потеряла бы значительную часть своей мощи. В этой главе мы подробно рассмотрим те характеристики ТТЧ, которые сделали ее уязвимой для аргументов, изложенных ранее.

Естественно подумать, что если проблема в том, что в ТТЧ есть «дырка» — иными словами, неразрешимое суждение G — то почему бы нам не заткнуть эту дырку? Почему бы не добавить G к ТТЧ в качестве шестой аксиомы? Конечно, по сравнению с остальными аксиомами, G — неуклюжий великан, и получившаяся система ТТЧ + G выглядела бы довольно комично из-за диспропорции ее аксиом. Тем не менее, это предложение имеет смысл. Представим себе, что перед нами ТТЧ + G — высшая формальная система. Мы надеемся, что она не только свободна от супернатуральных чисел, но и полна. Безусловно то, что ТТЧ + G лучше ТТЧ по крайней мере в одном, строчка G больше не является в ней неразрешимой, поскольку теперь она превратилась в теорему.

В чем же была причина недостатков ТТЧ? Ее уязвимость объяснялась тем, что она была способна говорить о себе самой. В частности, источником неприятностей было высказывание:

«Я не могу быть доказано в формальной системе ТТЧ»

или, более подробно,

«Не существует такого натурального числа, которое составляло бы пару доказательства ТТЧ с Гёделевым номером этой строчки.»

Есть ли у нас причина ожидать, что ТТЧ + G будет неуязвима для Гёделева доказательства? На самом деле, нет. Наша новая система может выразить ничуть не меньше, чем ТТЧ. Поскольку Гёделево доказательство основывается, прежде всего, на выразительной мощи формальной системы, будет неудивительно, если наша новая система окажется подверженной тому же недугу, как и ТТЧ. Для этого нужно будет найти строчку, выражающую высказывание:

«Я не могу быть доказано в формальной системе ТТЧ + G»

После того, как мы проделали подобное в ТТЧ, это совсем несложно. Принципы здесь те же самые, только контекст слегка изменен (Образно говоря, это все равно, что пропеть известную нам мелодию тоном выше.) Как и раньше, нужная нам строчка — назовем ее G' — строится при посредстве «дяди». Но теперь, вместо пары доказательства ТТЧ, она основывается на похожем, но немного более сложном понятии пары доказательства ТТЧ + G. Понятие пар доказательства ТТЧ + G — всего лишь небольшое расширение понятия пар доказательства ТТЧ.

Можно представить себе подобное расширение для системы MIU. Мы имели дело с неизмененной формой пар доказательства MIU. Если бы мы теперь добавили MU в качестве второй аксиомы, у нас получилась бы новая система — MIU + MU. Деривация в такой расширенной системе выглядела бы так:

MU аксиома

MUU правило 2

Существует пара доказательства MIU + MU, соответствующая этой деривации: m = ЗОЗОО, n = 300. Разумеется, эта пара чисел не является парой доказательства MIU, а всего лишь парой доказательства MIU + MU. Добавление дополнительной аксиомы ненамного усложнило арифметические свойства пар доказательства. Самое главное их свойство, примитивно-рекурсивность, сохраняется и в новой системе.

Вернувшись к ТТЧ, мы находим похожую ситуацию. Пары доказательства ТТЧ + G, как и их предшественницы, примитивно рекурсивны. Они представимы в ТТЧ + G с помощью формулы, которую мы сократим следующим очевидным образом:

ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-(ТТЧ + G){a,a'}

Теперь мы должны повторить знакомую процедуру. Чтобы сконструировать строчку, соответствующую G, начнем снова с «дяди»:

~Eа:Eа':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-(ТТЧ + G){a,a'}

ΛARITHMOQUINE {а'',а'}>

Предположим, что Гёделев номер этой строчки — d'. Теперь мы арифмоквайнируем самого дядю. Это даст нам G':

~Eа:Eа':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-(ТТЧ + G){a,a'}

ΛARITHMOQUINE {SSS.... SSSO/a'',a'}>

.                        |______|

.                  S повторяется d' раз

Интерпретация этой строчки такова:

«Меня нельзя доказать в формальной системе ТТЧ + G».

После этого остаются лишь технические детали. G' в ТТЧ + G — то же самое, чем G была в ТТЧ. Оказывается, что либо G, либо G' может быть добавлена к ТТЧ + G, и что результатом этого является дальнейшее разветвление теории чисел. Если вы думаете, что подобное происходит только с «положительными типами», то вы ошибаетесь: точно такой же трюк можно сыграть с ТТЧ + ~G, то есть, с нестандартным вариантом теории чисел, полученным путем добавления к ТТЧ отрицания G. Из рис. 75 видно, что у ТТЧ могут быть самые разные разветвления:

Рис. 75. Разветвление ТТЧ. У каждого нового варианта ТТЧ — своя Гёделева строчка; эта строчка или ее отрицание могут быть добавлены к системе, так что из каждой системы могут родиться два новых варианта; этот процесс может продолжаться до бесконечности.

Разумеется, это только начало. Представьте себе, что мы движемся вниз по самой левой ветви этого дерева, всегда добавляя саму Гёделеву строчку (а не ее отрицание). Это большее, что мы можем сделать, чтобы избавиться от супернатуральных чисел. После добавления G мы добавляем G'; затем G'', G''' и так далее. Каждый раз, когда мы производим новый вариант ТТЧ, ее уязвимость против Черепашьего метода — простите, я имею в виду Гёделева метода — позволяет вывести новую строчку, интерпретируемую как:

«Я не могу быть доказана в формальной системе X».

Разумеется, через некоторое время весь этот процесс начинает казаться привычным и легко предсказуемым — ведь все эти «дырки» делаются при помощи одной и той же техники! Это означает, что, как типографские объекты, они все сделаны по одному и тому же эталону — что, в свою очередь, означает, что они могут быть представлены с помощью одной-единственной схемы аксиом. Так почему бы нам не попытаться заткнуть все дырки одним махом, чтобы раз и навсегда избавиться от этой противной неполноты? Вместо того, чтобы добавлять по одной аксиоме, мы можем добавить к ТТЧ схему аксиом. Эта схема аксиом будет тем эталоном, по которому будут изготовляться G, G', G'', G''' и так далее. Может быть, что путем добавления этой схемы аксиом (назовем ее «G_ω.») нам удастся перехитрить метод «Гёделизации». Действительно, кажется совершенно ясным, что добавление G_ω, к ТТЧ будет последним шагом, необходимым для полной аксиоматизации всех истин теории чисел.

Этот момент соответствует тому месту «Акростиконтрапунктуса», где Черепаха рассказывает о создании Крабом патефона «Омега». Однако читатели были оставлены в неизвестности по поводу судьбы этого аппарата, поскольку усталая Черепаха решила поползти домой спать (но прежде, чем уйти, хитрое животное сделало тонкий намек на Теорему Гёделя о неполноте). Теперь, наконец, у нас дошли руки до того, чтобы прояснить ту ситуацию… Возможно, что, прочтя Диалог «Праздничная Кантататата», вы уже подозреваете, каков будет ответ.

Как вы, наверное, и подозревали, даже это фантастическое улучшение ТТЧ не может избежать той же судьбы. Странно, что происходит это по той же причине, что и раньше. Схема аксиом недостаточно мощна, и к ней снова приложимо Гёделево построение. Постараюсь это объяснить. (Существует более строгое объяснение, чем то, которое я приведу здесь.) Если бы удалось описать все строчки G, G', G'', G''', … при помощи одной-единственной типографской схемы, это означало бы, что существует способ описать Гёделевы номера этих строчек при помощи одной-единственной арифметической схемы. И этот арифметический портрет бесконечного класса чисел может быть представлен в ТТЧ + G' при помощи некоей формулы АКСИОМА-ОМЕГА{а}, которая интерпретируется следующим образом: «а — это Гёделев номер одной из аксиом, получающихся из G_ω». Когда a заменяется на какой-либо определенный символ числа, получившаяся формула будет теоремой ТТЧ + G_ω тогда и только тогда, когда этот символ представляет собой Гёделев номер аксиомы, принадлежащей этой схеме.

С помощью этой новой формулы становится возможным представить даже такое сложное понятие как пара-доказательства-ТТЧ + G_ω внутри ТТЧ + G_ω:

ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-(ТТЧ + G_ω){a,a'}

Используя эту формулу, мы можем построить нового «дядю» и затем приступить к его арифмоквайнированию уже знакомым нам способом, производя таким образом еще одну неразрешимую строчку, которую мы назовем «ТТЧ + G_ω+1». Вы, наверное, спросите, почему ТТЧ + G_ω+1 не находится среди аксиом, порожденных нашей схемой аксиом ТТЧ + G_ω? Ответом является то, что ТТЧ + G_ω оказалась недостаточно хитра, чтобы предусмотреть возможность своего собственного включения в теорию чисел.

В «Акростиконтрапунктусе» Черепаха, чтобы создать «непроигрываемую запись», должна была достать чертежи того патефона, который она собиралась разрушить. Это было необходимо для того, чтобы вычислить, какой тип вибраций обладает разрушительной силой для данного патефона, и затем создать запись, в звуковых дорожках которой были бы закодированы именно такие звуки. Это довольно близкая аналогия с методом Гёделя, где собственные свойства системы отражаются в понятии пар доказательства и затем используются против нее самой. Любая система, как бы сложна она ни была, может быть подвергнута Гёделевой нумерации, после чего в ней может быть определено понятие пар доказательства — и это будет ружьем, которое выстрелит в самого охотника. Как только система определена, упакована в «коробку», она становится уязвимой.

Этот принцип прекрасно иллюстрирован в диагональном методе Кантора, который позволяет найти недостающее действительное число для каждого хорошо определенного списка действительных чисел между 0 и 1. Именно создание хорошо определенного списка действительных чисел является причиной неудачи. Давайте посмотрим, как Канторов метод может быть повторен снова и снова. Подумайте, что произойдет, если, начиная с некоего списка L, вы проделаете следующее:

(1а) Возьмете список L и построите его диагональное число d.

(1b) Добавите d к списку L, получая таким образом новый список L + d.

(2а) Возьмете список L + d и построите его диагональное число d'.

(2b) Добавите d' к списку L + d, получая таким образом новый список L + d'.

.

.

Этот процесс постепенного «залатывания дырок» в L кажется слишком медленным, поскольку, имея в распоряжении L, мы могли бы получить d, d', d'', d''' сразу. Но если вы думаете, что создавав такой список, получите полное описание всех действительных чисел, то вы ошибаетесь. Проблема возникает в тот момент, когда вы спрашиваете себя, в каком месте L нужно вставить список диагональных чисел. Какой бы хитроумной схемой вы при этом не пользовались, как только ваш новый список L будет закончен, он тут же окажется уязвимым. Как я уже сказал, именно создание хорошо определенного списка действительных чисел оказывается причиной неудачи.

В случае с формальными системами, неполнота возникает, когда мы определяем предполагаемый рецепт выражения теоретико-численной истины. Именно в этом заключалась проблема ТТЧ + G_ω. Как только вы вводите все хорошо определенные G в ТТЧ, там тут же появляется некое новое G, непредусмотренное вашей схемой аксиом. В случае сражения Черепахи с Крабом в «Акростиконтрапунктусе», как только «архитектура» патефона была определена, он становился уязвимым для разбивальной музыки.

 Так что же делать? Конца этому не предвидится. Кажется, что ТТЧ, даже если расширять ее до бесконечности, всегда будет оставаться неполной. Поэтому говорят, что ТТЧ непополнима, поскольку неполнота является неотъемлемой характеристикой ТТЧ: это одно из ее основных свойств и избавиться от него невозможно. Более того, эта проблема будет преследовать любой вариант теории чисел, будь это расширенная версия ТТЧ, измененная версия ТТЧ, или альтернативная версия ТТЧ. Дело в том, что в любой данной системе возможность построить неразрешимую строчку путем Гёделева метода автореференции зависит от трех основных условий:

1) Чтобы система была достаточно мощной, так что все желаемые высказывания о числах, как истинные, так и ложные, могли бы быть в ней выражены. (Если это условие не выполняется, значит, система с самого начала слишком слаба, чтобы соперничать с ТТЧ, поскольку она даже не способна выразить теоретико-численные понятия, выразимые в ТТЧ. На метафорическом языке «Акростиконтрапунктуса» это было бы равносильно использованию вместо патефона, скажем, холодильника.

2) Чтобы все общерекурсивные отношения были выражены формулами системы. (Если это условие не выполняется, значит, система не выражает в своих теоремах некоторых общерекурсивных истин — жалкая неудача в попытке выразить все истины теории чисел! На метафорическом языке «Акростиконтрапунктуса» это было бы равносильно использованию патефона низкого качества.)

3) Чтобы аксиомы и типографские схемы, выводимые по правилам данной системы, можно было распознать при помощи конечной процедуры решения. (Если это условие не выполняется, значит, не существует метода, чтобы отличить правильные деривации от «незаконных» — таким образом выходит, что «формальная система» вовсе не формальна и даже не определена как следует. На метафорическом языке «Акростиконтрапунктуса» это было бы равносильно частично собранному патефону.

Если эти три условия удовлетворены, значит, любая непротиворечивая система будет неполной, поскольку в ней возможна Геделева конструкция.

Интересно то, что любая подобная система роет сама себе яму, мощность системы является причиной ее «падения» Падение происходит потому, что система достаточно мощна, чтобы выразить автореферентные суждения. В физике существует понятие «критической массы» радиоактивного вещества, такого, например, как уран. Если масса ниже критической, с ураном ничего не происходит. Если же критическая масса достигнута, то в уране начинается цепная реакция и он взрывается. Кажется, что у формальных систем есть аналогичный критический «порог». Ниже этого порога система «безвредна» и даже не пытается формально выразить арифметические истины, но, как только порог достигнут, система внезапно приобретает возможность выражать автореферентные суждения и, следовательно, обрекает себя на неполноту. Этот критический порог по-видимому достигается примерно тогда, когда в системе выполняются все три данных выше условия. Как только система становится способной к автореферентности, в ней появляется «дыра», словно вырезанная по заказу она учитывает особенности системы и использует их против самой этой системы.

Удивительная повторяемость Геделева аргумента использовалась многими — в частности Дж. Р. Лукасом — как оружие для защиты идеи, что человеческий разум отличается неким специфическим качеством, которое невозможно имитировать при помощи «механических автоматов» — то бишь, компьютеров. Лукас начинает свою статью «Разум, машины и Гедель» (J. R. Lucas, «Minds, Machines, and Godel») следующими словами:

Мне кажется что теорема Геделя доказывает, что Механизм не может выражать истину, что означает что разум не может быть объяснен как механизм.[42]

Затем он приступает к изложению своих аргументов, которые я здесь кратко перескажу. Он утверждает, что для того, чтобы мы могли считать интеллект компьютера равным интеллекту человека, компьютер должен быть способен проделать любое интеллектуальное задание, на которое способен человек. Однако, говорит Лукас, компьютер не способен проделать «Геделизацию» (один из его забавно фамильярных терминов) так, как на это способны люди. Почему? Подумайте о любой формальной системе, такой как ТТЧ, или ТТЧ + G, или даже ТТЧ + G_ω. Легко составить компьютерную программу, выводящую теоремы этой системы таким образом, что рано или поздно любая заранее выбранная теорема оказывалась бы выведенной. Это значит, что компьютер не пропускал бы не одной области в «пространстве» всех теорем Подобная программа состояла бы из двух основных частей (1) подпрограмма, «штампующая» аксиомы на основе «схемы аксиом», если таковая имеется и (2) подпрограмма, использующая правила вывода для получения новых теорем на основании имеющихся теорем (и, разумеется, аксиом). Эти две подпрограммы использовались бы по очереди.

По сравнению с человеком, мы можем сказать, что программа «знает» некоторые факты о теории чисел — а именно, те факты, которые она печатает. Если она пропускает некий истинный факт теории чисел, это значит, что она его не «знает». Следовательно, можно доказать, что компьютерная программа «глупее» человека, показав, что люди знают что-то, недоступное машине. Здесь Лукас начинает свое доказательство. Он утверждает, что люди всегда могут проделать Гёделев трюк в любой формальной системе, равномощной ТТЧ — и, таким образом, они всегда знают больше, чем данная система. Это рассуждение может показаться приложимым лишь к формальным системам, но оно может быть немного изменено и в таком виде стать, как кажется, непобедимым аргументом против Искуственного Интеллекта, равного человеческому. Это делается так:

Рациональность и численность естественно рождают компьютеры, автоматы, роботов, следовательно…

Компьютеры изоморфны формальным системам. Значит…

Любой компьютер, чтобы быть таким же умным, как человек, должен быть способен понимать теорию чисел так же хорошо, как люди, значит…

Среди прочего, он должен знать примитивно рекурсивную арифметику. Но именно поэтому…

Он ловится на Гёделев «крючок», из чего следует, что…

Мы, с нашим человеческим интеллектом, можем вывести некое истинное утверждение теории чисел, истинность которого компьютер не в состоянии заметить (то есть, компьютер никогда не выведет этого утверждения) именно из-за Гёделева аргумента, действующего как бумеранг.

Из этого следует, что существует нечто, что невозможно запрограммировать на компьютерах, но что люди способны сделать. Значит, люди умнее.

Насладимся же, вместе с Лукасом, преходящим моментом антропоцентрической славы:

Какую бы сложную машину мы не сконструировали, она, будучи машиной, будет соответствовать формальной системе, которая, в свою очередь, будет подвержена Гёделевой процедуре нахождения формулы, недоказуемой в данной-системе. Эту формулу машина не в состоянии будет вывести в качестве истинной, хотя разум может установить ее истинность. Таким образом, машина все еще не будет адекватной моделью разума. Мы пытаемся создать механическую модель мозга — «мертвую» модель — но разум, будучи «живым», может всегда пойти на шаг дальше любой формализованной, окостеневшей, мертвой системы. Благодаря теореме Гёделя, за разумом всегда остается последнее слово.[43]

На первый взгляд (и, может быть, даже после детального анализа), доводы Лукаса кажутся убедительными. Обычно они вызывают противоположные реакции. Некоторые ухватываются за них, почти как за религиозное доказательство существования души, в то время как другие просто отмахиваются от них, как от недостойной внимания чепухи. Мне кажется, что, хотя эти доводы ошибочны, они настолько интересны, что стоит потратить некоторое время на их опровержение. На самом деле, это было одной из основных причин, по которой я стал думать над проблемами, затронутыми в этой книге. Я попытаюсь опровергнуть доводы Лукаса одним способом в этой главе и другими способами в главе XVII.

Мы должны попробовать глубже понять, почему Лукас говорит, что компьютер невозможно запрограммировать так, чтобы он «знал» столько же, сколько люди. Его идея заключается в том, что мы всегда находимся вне системы, и что извне мы можем проделать «Геделизирующую» операцию, в результате дающую нечто, что мы, глядя извне, можем идентифицировать как истинное, но что не может быть интерпретировано как таковое изнутри системы. Но почему нельзя запрограммировать в качестве третьего главного компонента программы «Геделизирующий оператор», как Лукас его называет? Лукас объясняет:

Гёделева формула строится при помощи стандартной процедуры — только так мы можем быть уверены, что ее можно будет построить в любой формальной системе. Не если это стандартная процедура, то почему ее нельзя добавить к программе? Это соответствовало бы системе с дополнительным правилом вывода, позволяющего добавить к ней в качестве теоремы Геделеву формулу остальной системы, затем — Геделеву формулу получившейся при этом новой, более мощной формальной системы, и так далее. Это было бы равносильно добавлению к первоначальной формальной системе бесконечной цепочки аксиом, каждая из которых являлась бы Гёделевой формулой системы, полученной таким образом… Можно ожидать, что человек, столкнувшийся с машиной, обладающий Гёделевым оператором, принял бы этот факт во внимание и смог бы пере-Гёделить этот новый аппарат вместе с его Гёделевым оператором. В действительности, так и получается. Даже если мы добавим к формальной системе бесконечный ряд аксиом, состоящих из последовательных Гёделевых формул, получающаяся система все еще остается неполной, так как в ней будет недоказуемая в данной системе формула. Однако разумное существо, стоящее вне системы, видит, что эта формула истинна. Этого мы и ожидали, поскольку, даже если мы добавим бесконечный ряд аксиом, они должны быть определены с помощью некоего конечного правила, которое затем может быть учтено разумом, анализирующим расширенную формальную систему. В некотором роде, поскольку за разумом остается последнее слово, он может всегда обнаружить дыру в любой формальной системе, выдаваемой за его модель. Механическая модель должна быть в каком-то смысле конечной и определенной, следовательно, разум всегда окажется более гибким.[44]

Образ, который мы находим у Эшера, помогает нам лучше понять эту идею; речь идет о его «Драконе» (рис. 76). Основная тема в нем, разумеется, — это дракон, кусающий себя за хвост, со всеми Гёделианскими ассоциациями, которые это вызывает. Но в этой картине есть и более глубокий смысл. Сам Эшер написал по этому поводу очень интересные комментарии. Первый комментарий касается серии рисунков, в которых Эшер исследовал конфликт «между плоскостью и трехмерным пространством»; второй комментарий — собственно о «Драконе»:

I. Наше трехмерное пространство — это единственная известная нам реальность. Двумерность точно так же фантастична для нас, как и четырехмерность, поскольку в нашем мире ничто не плоско по-настоящему, даже поверхность тщательнейшим образом отполированного зеркала. И все же мы держимся за идею, что стена или лист бумаги на самом деле плоские, — и интересно то, что мы продолжаем, с незапамятных времен, производить иллюзии пространства на этих самых плоских поверхностях. Не абсурдно ли нарисовать несколько линий и назвать это «домом»? Эта странная ситуация — тема следующих пяти рисунков [включая «Дракона»].[45]

II. Как бы этот дракон не пытался стать трехмерным, он остается совершенно плоским. На бумаге, на которой он нарисован, прорезаны два отверстия. Затем она сложена так, что получаются два квадратных «окошка». Но этот дракон упрям, и несмотря на свою плоскостность, он настаивает на том, что он трехмерен — поэтому он просовывает голову в одно из отверстий, и хвост — в другое.[46]

Этот второй комментарий очень важен. Эшер имеет в виду то, что как бы мы не исхитрялись, пытаясь выразить три измерения в двух, при этом всегда теряется некая «основная сущность трехмерности». Дракон изо всей силы пытается побороть свою двумерность. Он пробует сделать это, высовывая голову из бумаги, на которой, как ему кажется, он нарисован — но мы, находящиеся вне рисунка, видим, насколько тщетны его усилия, поскольку и дракон, и дырки, и складки — всего лишь двумерные изображения соответствующих понятий, и не одно из них не является реальным. Но дракон не может выйти из своего двумерного пространства и не может, подобно нам, этого увидеть.

На самом деле, можно пойти еще дальше. Мы можем вырвать эту картинку из книги, сложить ее, прорезать в ней дырки, вывернуть ее наизнанку, и сфотографировать результат — и она снова станет двумерной. То же самое можно повторить и с фотографией. Каждый раз, когда изображение становится опять двумерным — как бы хитроумно мы не симулировали на нем трехмерность в двух измерениях — оно снова может быть разрезано и сложено.

Имея в виду эту замечательную Эшеровскую метафору, вернемся к программам и людям. Мы говорили о попытке ввести «Геделизирующий оператор» в саму программу. Но даже если бы мы написали программу, выполняющую эту операцию, она не уловила бы сути Гёделева метода. Мы снова можем, находясь вне системы, уничтожить ее методом, ей самой недоступным. Однако позвольте: являются ли наши доводы аргументами за или против идеи Лукаса?

Рис. 76. М. К. Эшер «Дракон» (гравюра на дереве, 1952)

Против Сам факт, что мы не можем написать программу, способную на «Гёделизирование», заставляет нас подозревать, что мы и сами не всегда на это способны. Одно дело — абстрактно аргументировать, что Гёделизирование возможно, и совсем другое дело — знать, как проделать эту операцию в каждом конкретном случае. На самом деле, по мере того, как сложность формальных систем (или программ) возрастает, наша способность «Геделизировать» начинает ослабевать. Это естественно, поскольку, как мы только что выяснили, у нас нет алгоритма, описывающего этот процесс. Если мы не можем объяснить, как применить метод Гёделя в каждом отдельном случае, то для каждого из нас рано или поздно наступит такой момент, когда, столкнувшись со слишком сложным случаем, мы не сможем сообразить, что делать.

Разумеется, этот предел способностей каждого из нас будет весьма приблизительным, так же, как предел веса, который мы способны оторвать от земли. Иногда мы не способны поднять 120 кг а на другой день это у нас получается. Но мы можем быть уверены что нам никогда не удастся поднять 120 тонн. В этом смысле хотя личный предел способностей каждого приблизителен существуют системы которые лежат далеко за пределами человеческой способности к Геделизированию.

Это понятие проиллюстрировано в Диалоге «Праздничная Кантататата». Сначала кажется что Черепахе удастся сколько угодно водить Ахилла за нос. Но затем Ахилл пытается обобщить все ответы в одной схеме. Этот новый трюк получает имя ω. Очень важно то что это имя — новое Это первый пример ситуации, в которой приходится расширить старую схему имен, включавшую имена только для натуральных чисел. Далее вводятся несколько новых расширенных вариантов, чьи имена иногда естественны, а иногда довольно сложны. Но рано или поздно запас имен у нас опять кончится; это произойдет в тот момент, когда схемы ответов

ω, ω ^ω,ω ^{ω ω}, …

объединятся в одну невероятно сложную схему ответов. Придется нам дать этой схеме совершенно новое имя — «ε₀». Новое имя вводится каждый раз, когда совершается принципиально новый шаг, связанный с тем, что мы находим некую нерегулярность в системе. Таким образом, новое имя должно быть придумано ad hoc.

Вы можете подумать, что эти нерегулярности в переходе от одного порядкового числа (так называются эти имена, даваемые нами бесконечности) к другому могут быть разрешены с помощью компьютера; такая программа производила бы новые имена упорядоченно. Когда у нее «кончался бы бензин», она включала бы «центр нерегулярности», производящий новое имя и затем переключающий программу обратно на регулярный контроль. Но эта идея не работает. Дело в том, что сами нерегулярности возникают нерегулярно, и нам понадобилась бы программа высшего порядка — то есть программа, создающая новые программы, дающие новые имена. И даже этого оказывается недостаточно. В какой-то момент становится необходимой программа третьего порядка — и так далее, и тому подобное.

Вся это невероятная сложность берет начало в теореме, которой мы обязаны Алонзо Черчу и Стефену Клини. Эта теорема о структуре «бесконечных порядковых чисел» утверждает, что:

Не существует такой рекурсивно согласованной системы обозначений, которая давала бы имя каждому конструктивному порядковому числу.

Нам придется оставить обсуждение того, что такое «рекурсивно родственные системы нотации» и «конструктивные порядковые числа», более техническим трудам, таким, например, как книга Хартлея Роджерса (Hartley Rodgers, см. Библиографию). Здесь мы удовольствуемся интуитивной идеей. По мере того, как порядковые числа возрастают, в них появляются нерегулярности, и нерегулярности в этих нерегулярностях, и нерегулярности в нерегулярностях нерегулярностей и так далее. Не существует такой единой схемы, которая могла бы назвать все порядковые числа. Из этого следует, что не существует такого алгоритмического метода, который мог бы сказать нам, как приложить метод Гёделя к любой возможной формальной системе. Если не ударяться в мистику, то приходится согласиться с тем, что любое человеческое существо рано или поздно достигнет предела своей способности Геделизировать. С этого момента формальные системы такой сложности, хотя и неполные из-за возможности приложения к ним Гёделева метода, сравняются по мощи с человеческим разумом.

Это только один способ спорить с Лукасом. Существуют другие, возможно, более убедительные, аргументы против его идей, которые мы рассмотрим позже Но этот последний контраргумент очень важен поскольку он касается интереснейшей идеи создания компьютерной программы, способной выйти за пределы самой себя, увидеть себя полностью со стороны и применить трюк Геделя к самой себе. Разумеется, это так же невозможно, как невозможно для патефона воспроизвести собственную разбивальную мелодию. Однако мы не должны считать ТТЧ ущербной по этой причине Дефект, если он и есть, заключается не в самой системе, а в наших ожиданиях того, на что эта система окажется способна. Кроме того необходимо помнить, что и мы сами бессильны против словесного трюка который Гедель перевел в математическую форму—я имею в виду парадокс Эпименида. Это было весьма хитроумно подмечено Ч. Г. Уайтли, когда он предложил высказывание «Лукас не может непротиворечиво утверждать это высказывание» Подумав, вы поймете, что (1) это верно, и все же (2) Лукас не может этого утверждать непротиворечиво. Значит, Лукас также «неполон» по отношению к существующим в мире истинам. То, как мир отражен в его мозгу, не позволяет ему одновременно быть непротиворечивым и утверждать истинное высказывание. Но Лукас подвержен этому не более, чем любой из нас. Он, как и все мы, просто находится на уровне сложной формальной системы.

Забавный способ увидеть ошибку доводов Лукаса — это сравнить их со спором мужчин и женщин. В своих странствованиях Лукус Мыслитель однажды находит неизвестный предмет — женщину. Не будучи ранее знаком с подобным явлением, вначале он застывает в восхищении перед сходством объекта с ним самим, но затем, немного испуганный, он кричит всем мужчинам кругом: «Постойте! Я могу смотреть ей в лицо — а это нечто, на что она сама не способна. Значит, женщины никогда не могут быть подобны мне!» Так он доказывает превосходство мужчин над женщинами, к глубочайшему удовлетворению как собственной персоны, так и своих товарищей-мужчин. (Тот же довод доказывает и превосходство Лукуса над всеми остальными мужчинами — факт, о котором он тактично умалчивает) Женщина отвечает: «Да, вы можете смотреть мне в лицо, чего я сделать не могу — но я могу смотреть вам в лицо, на что вы не способны. Мы равны!» На что Лукус находит неожиданный ответ: «Мне очень жаль, но если вы считаете, что можете видеть мое лицо, вы ошибаетесь. То, что вы, женщины, делаете — совсем не то же самое, что делаем мы, мужчины. Как я уже сказал, это явление низшего разряда и не заслуживает называться тем же именем Это можно назвать „женовидением“. Тот факт что вы можете „женовидеть“ мое лицо совершенно не важен, поскольку ситуация несимметрична. Теперь вы видите разницу?» «Да, теперь я женовижу» — женоотвечает женщина и женоудаляется.

Этот аргумент напоминает страуса, засунувшего голову в песок — но он вам понадобится, если вы настаиваете на том, что мужчины и женщины будут всегда опережать компьютеры по части интеллекта.

Интересно поразмыслить над тем можем ли мы, люди, выйти за пределы самих себя — и могут ли это сделать компьютерные программы Разумеется, программа может модифицировать себя — но возможность всякой модификации должна быть заложена в программе с самого начала, так что это не может служить примером «выхода из системы». Как бы программа не вертелась и не извивалась, чтобы вырваться за свои пределы, она все же следует заложенным в ней правилам. Она так же не может выйти за пределы самой себя, как человек не может по желанию перестать следовать законам физики. Физика — это система, выхода из которой не существует. Однако возможно осуществить нечто подобное в меньшем масштабе — а именно, выйти из подсистемы собственного мозга в более широкую подсистему. Иногда удается сойти с наезженной колеи. Это все еще объясняется взаимодействием различных подсистем мозга, но на вид это весьма похоже на полный выход из себя. Подобно этому, можно представить, что нам удастся создать программу, умеющую частично «вылезать из своей шкуры».

Однако важно не упускать из вида разницы между восприятием самого себя и выходом из самого себя. Воспринимать себя вы можете различными способами: в зеркале, на фотографиях, в фильмах, на пленке, по описаниям других, по результатам психоанализа и так далее. Но вы не можете выйти из собственной кожи и встать снаружи себя самого (несмотря на утверждения современных оккультистов). ТТЧ может говорить о себе, но она не может выйти из себя. Компьютерная программа может модифицировать себя, но она не может нарушить своих собственных инструкций — большее, на что она способна, это изменить себя частично, следуя тем же инструкциям. Это напоминает юмористический парадоксальный вопрос: «Может ли Бог создать такой тяжелый камень, который он сам не способен будет поднять?»

Идея выйти за пределы системы очень заманчива и лежит в основе прогресса в искусстве, музыке и других областях человеческой деятельности. Она также лежит в основе таких тривиальных вещей, как создание радио- и телевизионных реклам. Эта тенденция была тонко подмечена и замечательно описана в книге Эрвинга Гоффмана (Erving Goffman, «Frame Analysis»):

Например, профессиональный актер заканчивает сниматься в рекламе, где он пил некий напиток, и, в то время как камера еще снимает его, с видимым облегчением поворачивается и берет стакан того же напитка, чтобы теперь по-настоящему им насладиться.

Разумеется, это всего лишь один из примеров того, как рекламные объявления, передающиеся по радио и телевидению, используют «обрамляющие» трюки, чтобы создать у слушателя и зрителя впечатление естественности, которое, как надеются рекламщики, пересилит то недоверие, которое люди обычно чувствуют к рекламе. Поэтому в рекламе часто используются детские голоса, предположительно естественные, уличный шум и другие эффекты, чтобы создать иллюзию интервью со случайными людьми; актеры специально говорят с паузами, перебивают друг друга, и всячески симулируют естественный разговор. Рекламное объявление фирмы прерывается сообщением о ее новом продукте или какой-либо новостью — таким образом авторы рекламы надеются убедить зрителя в том, что это вовсе не реклама.

Чем меньше зрители доверяют естественности подобных деталей, тем активнее налегают на них рекламщики. В результате реклама получается весьма беспорядочная, ту же тенденцию можно заметить и в работе консультантов политических лидеров и, в меньшем масштабе, в микро-социологии.[47]

Здесь перед нами еще один пример сражения Черепахи с Крабом, на этот раз на новой высоте — здесь противниками являются Правда и Реклама.

Между проблемой выхода за пределы системы и поисками полной объективности существует интересная связь. Прочитав у Джоча в его «Are quanta real?» четыре диалога, основанные на четырех Галилеевских «Диалогах, касающихся двух новых наук», я спросил себя, почему в них три участника — Симплицио, Салвиати и Сагредо. Почему было недостаточно только двух: Симплицио, ученого простака, и Салвиати, мудрого мыслителя? Зачем понадобился Сагредо? Предполагается, что он — нейтральный слушатель, бесстрастно взвешивающий доводы обеих сторон и высказывающий «справедливое», «беспристрастное» решение. Это звучит разумно, но здесь есть одна проблема: почему-то Сагредо всегда соглашается с Салвиати. Почему же это Воплощение Справедливости завело себе любимчика? Возможным ответом является то, что Салвиати, действительно, всегда прав, так что у Сагредо нет выбора. Но где тогда справедливость и равенство?

Добавляя Сагредо, Галилей (и Джоч) скорее помешали, чем помогли Симплицио. Может быть, следовало бы добавить еще одного Сагредо высшего уровня — кого-нибудь, кто мог бы оценить всю ситуацию объективно… Вы, наверное, уже заметили, куда это ведет. Мы получим таким образом бесконечную серию «возрастающих объективностей», которая обладает интересным свойством никогда не становиться объективнее, чем она была вначале, когда Салвиати был просто прав, а Симплицио — просто ошибался. Так что присутствие Сагредо остается загадкой, ответ на которую, возможно, заключается в том, что его присутствие дает некую привлекательную иллюзию выхода из системы.

Дзен-буддизм также размышляет о возможности выхода из системы. Возьмем, например, тот коан, в котором Тозан говорит своим монахам, что «высший Буддизм — не Будда». Может быть, выход из себя является центральной темой дзена. Дзен-буддист старается глубже понять, кем он является на самом деле, все более и более освобождаясь от его собственных идей о нем самом, нарушая все правила и соглашения, которые, по его мнению, держат его связанным, — включая правила самого дзена. Где-то на этой нелегкой тропе он может встретить Просветление. Во всяком случае (как мне кажется), надежда заключается в том, что постепенно углубляя самосознание, постепенно расширяя пределы «системы», можно прийти к ощущению слияния со вселенной.

Ахилл пришел в гости к крабу.

Ахилл: У вас, я гляжу, появилось несколько новых приобретений, м-р Краб. Особенно хороши вот эти картины.

Краб: Благодарю вас. Мне нравятся многие художники, а больше всех — Рене Магритт. Многие картины в моем доме написаны им.

Ахилл: Должен признаться, что эти образы довольно загадочны. Эти картины Магритта напоминают мне о работах МОЕГО любимого художника, Эшера.

Краб: Я вас понимаю. Оба они весьма реалистичны в исследовании парадоксальных и иллюзорных миров; оба тонко чувствуют, какие образы особенно стимулируют мысль. Кроме того, они оба — мастера грациозных линий, что часто упускают из виду даже их горячие поклонники.

Ахилл: Однако в чем-то они очень различны. Как вы думаете, как можно охарактеризовать эту разницу?

Краб: Было бы замечательно интересно сравнить их в подробностях.

Ахилл: Я нахожу, что Магритт — удивительный мастер реализма. Например, мне очень нравится рисунок дерева с гигантской трубкой за ним.

Краб: Вы хотите сказать, нормальной трубки с крохотным деревцем перед ней?

Ахилл: Ах, так вот что это такое! Так или иначе, когда я ее увидел в первый раз, мне почудился запах табачного дыма. Представляете, как глупо я себя почувствовал?

Краб: Я отлично вас понимаю. Эта картина уже обманула многих из моих гостей.

Рис. 77. Рене Магритт. «Тени» (1966)

(С этими словами он дотягивается до картины на стене, вынимает трубку из-за дерева, выбивает ее об стол — при этом комната наполняется запахом застарелого табака — и начинает набивать ее снова.)

Это превосходная старая трубка, Ахилл. Верите ли, внутри она обита медью, отчего становится только лучше с годами.

Ахилл: Неужели медью? Невероятно!

Краб (доставая коробок спичек и зажигая трубку): Не желаете ли, Ахилл?

Ахилл: Нет, спасибо. Я курю редко, и только сигары.

Краб: Никаких проблем — у меня и сигара найдется!

(Дотягивается до другого рисунка Магритта, на котором изображен велосипед, стоящий на дымящейся сигаре.)

Рис. 78. Репе Магритт. «Грация» (1959)

Ахилл: Гм-м… Нет, благодарю вас, сейчас мне что-то не хочется.

Краб: Ну, как хотите. Сам-то я — неисправимый курильщик. Кстати, это мне кое-что напоминает — вы, конечно, знаете, что старик Бах был любителем выкурить трубочку?

Ахилл: Что-то не припоминаю.

Краб: Старик Бах любил заниматься стихоплетством, философствованием, курением трубки и сочинением музыки (не обязательно в этом порядке). Он соединил все эти пристрастия в одном забавном стихотворении, которое положил на музыку. Вы можете найти его в знаменитой записной книжке, которая хранилась у его жены, Анны Магдалены. Оно называется:

«Благочестивые размышления курильщика табака»^{2}

Когда я трубку набиваю
Отборным, крепким табаком
И кольца дыма выпускаю,
И тает дым под потолком —
Каким печальным поученьем
Приходит мне на ум сравненье:

Подобна дыму жизнь земная,
И трубка как судьба хрупка.
Ее как жизнь оберегаю,
Трясусь над ней — дрожит рука.
Адам из глины сотворен —
Вернется в прах и глину он.

Вот необкуренная трубка —
Бледна как смерть, бела как мел.
И я улягусь бледным трупом,
В гробу как трубка буду бел.
Но почернеет скоро тело —
От дыма трубка почернела.

Сияньем ярким ослепила —
Но гаснет огонек во мгле.
Так угасают власть и сила.
Ищи-свищи огонь в золе.
Зола и пепел — и тела,
И честь, и слава, и дела.

Горячий пепел обжигает,
Но раскаленный уголек
Через минуту остывает,
Смягчится боль, пройдет ожог.
Земная боль — одна услада
В сравненьи с вечной мукой ада.

Кто с трубкой пишет и гуляет,
Тому дымок над головой,
Как добрый пастырь помогает
Пройти достойно путь земной.
Куда б ни вел тебя твой путь,
В дорогу трубку не забудь.

Очаровательная философия, не правда ли?

Ахилл: Действительно. Старик Бах был, как видно, поэтом и любителем искусств.

Краб: Вы просто читаете мои мысли! Знаете в свое время и я забавлялся стихоплетством. Но боюсь что результаты получались довольно бледными. У меня нет особого дара слова.

Ахилл: Зато, м-р Краб, я уверен, что ваши стихи были не без чувства. Я был бы счастлив услышать одно из ваших творений.

Краб: Польщен вашим вниманием. Хотите услышать мою песню в исполнении автора? Не помню где я ее написал, она называется «Рассказ ни к селу, ни к городу».

Ахилл: Как поэтично!

(Краб достает пластинку из пакета и подходит к огромному сложному на вид аппарату. Он открывает крышку и вкладывает диск в зловещую механическую пасть. Внезапно по поверхности диска скользит яркий зеленоватый луч секунду спустя, диск исчезает во внутренностях этого фантастического сооружения, и в комнате раздаются звуки Крабьего голоса)

Всех смешил наш поэт до упаду.
Смастерил не одну он шараду,
Но в последней строке,
В его каждом стишке
Не бывало совершенно никакого смысла.

Ахилл: Прелестно! Только я не понимаю одного мне кажется, что в конце этой песни —

Краб: Нет совершенно никакого смысла?

Ахилл: Нет. Я хочу сказать что там нет ни складу, ни ладу.

Краб: Вы вероятно правы.

Ахилл: В остальном это прекрасная песня, но я должен признаться, что я больше всего поражен этим чудовищно сложным сооружением. Это гигантский патефон да?

Краб: О нет, это гораздо больше чем просто патефон. Это Черепахоуничтожающий Патефон!

Ахилл: О Боже мой!

Краб: Не волнуйтесь, он уничтожает не черепах, а всего лишь пластинки, сделанные г-жой Черепахой.

Ахилл: Что ж, это уже не так страшно. Так это часть той странной музыкальной войны, которая с недавнего времени идет между вами и г-жой Черепахой?

Краб: В некотором роде, позвольте мне объяснить поподробнее. Видите ли г-жа Черепаха так навострилась, что какой бы патефон я ни купил, она ухитрялась его разбить.

Ахилл: Но я слышал, что в конце концов, у вас появился непобедимый патефон со встроенной телекамерой микрокомпьютером и так далее, который мог разобрать и снова собрать сам себя так, что он становился неуязвимым для Черепашьих атак.

Краб: Увы мне, увы! Мой план провалился, поскольку Черепаха воспользовалась одной тонкостью, которую я проглядел — подсистема, осуществлявшая разборку и сборку, сама оставалась фиксированной в течение всего процесса. Ясно, что она не могла разбирать и собирать саму себя, так что она оставалась неизменной.

Ахилл: Ну и что?

Краб: О, это привело к самым печальным последствиям! На этот раз г-жа Черепаха направила свою атаку прямо против этой подсистемы.

Ахилл: Как это?

Краб: Она просто сделала запись, вызывающую роковые колебания в единственной детали, которая не менялась — в сборочно-разборочной подсистеме!

Ахилл: А, понимаю… Хитро, ничего не скажешь! —

Краб: Так я и подумал. И ее стратегия сработала — правда, не с первого раза. Я думал, что мне удалось ее перехитрить, когда мой патефон выдержал ее первый натиск. Я смеялся и торжествовал! Но когда она явилась в следующий раз, я увидел в ее глазах стальной блеск и понял, что на этот раз она подготовилась не на шутку. Я поставил ее новую пластинку на мой патефон. В тишине мы оба смотрели, как компьютер анализирует звуковые дорожки, затем снимает пластинку, разбирает патефон, снова собирает его, ставит пластинку обратно — и затем медленно опускает иглу.

Ахилл: Ах!

Краб: Как только прозвучал первый звук, в комнате раздалось оглушительное БА-БАХ! Вся моя конструкция развалилась, причем хуже всего была повреждена сборочно-разборочная подсистема. В этот страшный момент, стоя над останками моего детища, я наконец осознал, что Черепаха ВСЕГДА сможет направить свою атаку против — простите за выражение — Ахиллесовой пяты системы.

Ахилл: О, какой ужас! Я вас очень хорошо понимаю — это бывает страшно неприятно.

Краб: Да, некоторое время я был в отчаяньи и уже собирался махнуть на все клешней. Но, к счастью, это не конец истории. У нее есть продолжение… Из всего этого я извлек ценный урок, которым хочу с вами поделиться. По рекомендации Черепахи, я ознакомился с интересной книгой, полной странных Диалогов на самые разные темы, включая молекулярную биологию, фуги, дзен-буддизм, и Бог знает, что еще.

Ахилл: Небось, какой-нибудь псих насочинял. Как эта книга называется?

Краб: Если меня не обманывает память, она называется «Медь, серебро, золото — этот неразрушимый сплав».

Ахилл: О, я о ней уже слышал от г-жи Черепахи. Книгу написал один ее знакомый, который, как кажется, без ума от металл-логики.

Краб: Интересно, что за знакомый такой. Так или иначе, в одном из Диалогов я наткнулся на некие Благочестивые Размышления Вируса Табачной Мозаики, на рибосомы и другие странные штуки, о которых раньше никогда не слыхал.

Ахилл: Что такое Вирус Табачной Мозаики? Кто такие рибосомы?

Краб: Я точно не знаю — во всем, что касается биологии, я полный профан. Все, что мне известно, я узнал из этого Диалога. Там говорится, что вирус табачной мозаики — это крохотные сигаретообразные штучки, причина болезни табачного растения.

Ахилл: Рак?

Краб: Нет, не совсем —

Ахилл: Чего же еще? Табачное растение, которое курит сигареты и заболевает раком! Поделом ему!

Рис. 79. Вирус табачной мозаики. (Lehninger A. «Biochemistry»)

Краб: Мне кажется, вы делаете слишком поспешные выводы, Ахилл. Табачные растения НЕ КУРЯТ эти «сигареты». Эти противные маленькие «сигареты» — незваные гости, атакующие растения.

Ахилл: А-а, понятно. Ладно, теперь, когда я знаю, что такое вирус табачной мозаики, объясните мне, пожалуйста, что такое рибосомы.

Краб: Рибосомы — это, кажется, что-то вроде существ, меньших по размеру, чем клетка; они переводят информацию в другую форму.

Ахилл: Вроде крохотного магнитофона или патефона?

Краб: Метафорически, пожалуй. Я обратил внимание на строчку, в которой некий престранный персонаж упоминает о том, что рибосомы — как и вирус табачной мозаики и некоторые другие удивительные биологические структуры — обладают «поразительной способностью к спонтанной само-сборке». Именно так он и сказал.

Ахилл: Я думаю, что это было самое странное из его высказываний.

Краб: Так и подумал другой персонаж Диалога. Но мне кажется, что это — превратная интерпретация. (Краб глубоко затягивается своей трубочкой и выпускает несколько клубов дыма.)

Ахилл: Что же такое эта «спонтанная само-сборка»?

Краб: Идея состоит в том, что когда некие биологические системы внутри клетки распадаются, они могут спонтанно собраться снова — и ими при этом не управляет никакая другая система. Они просто приближаются друг к другу и — раз! — снова «склеиваются» в одно целое.

Ахилл: Волшебство да и только! Хорошо бы патефоны обладали подобной способностью… Я хочу сказать, что если миниатюрный «патефон»-рибосома на такое способен, то почему бы не сделать то же самое и настоящему, большому патефону. Это позволило бы вам создать неразрушимый патефон, не так ли? Каждый раз, когда он разваливался на куски, они бы снова собирались вместе, и патефон через несколько минут был бы снова цел!

Краб: Так я и подумал. Я тут же написал на фабрику патефонов, объясняя им понятие само-сборки, и спросил их, не могут ли они построить мне такой патефон, который бы сам разбирался и затем собирался в другой форме.

Ахилл: Задачка не из легких!

Краб: Верно; но через несколько месяцев они написали мне, что им удалось выполнить мою просьбу, — и прислали мне такой счет, заплатить по которому оказалось, действительно, задачкой не из легких. Хо! И вот в один прекрасный денек пришла посылка с моим новым Самособирающимся Патефоном. На этот раз я был полностью уверен в победе. Я позвонил Черепахе и пригласил ее опробовать мою новую модель патефона.

Ахилл: Значит, эта великолепная машина перед нами и есть тот самый патефон?

Краб: Боюсь, что нет, Ахилл.

Ахилл: Неужели это случилось снова?

Краб: К несчастью, вы правы. Я уже не пытаюсь понять, почему это произошло. Мне слишком тяжело об этом вспоминать. Все эти пружины и провода, валяющиеся кучей на полу, и клубы дыма… Ах… Боже мой…

Ахилл: Полноте, успокойтесь, мистер Краб, не принимайте этого так близко к сердцу.

Краб: Не волнуйтесь, со мной все в порядке — просто у меня время от времени пошаливают нервы. Так вот, после того, как Черепаха вдоволь нарадовалась победе, она, наконец, заметила мое жалкое состояние и попыталась меня утешить, объясняя, что с этим ничего нельзя поделать. Оказалось, что мои патефоны имели отношение к чьей-то Теореме, в которой я не понял ни слова. Как бишь она называлась —«Теорема Гоголя»?

Ахилл: Может быть, «Теорема Гёделя»? Она мне как-то раз пыталась ее объяснить, и звучало это довольно мрачно.

Краб: Возможно, я точно не помню.

Ахилл: Уверяю вас, мистер Краб, что я выслушал этот рассказ, испытывая глубочайшее сочувствие к вашему положению. Оно, действительно, очень грустно. Но помните, вы сказали, что из всего этого вам удалось извлечь полезный урок? Не поделитесь ли вы со мной вашим опытом? Хотя и говорят, что молчание — золото, а слово — всего лишь серебро, но прошу вас, говорите — я сгораю от любопытства!

Краб: Да уж, серебро… Лучше бы вы о нем не упоминали, после того, что мне пришлось заплатить за новый патефон! Так вот, в конце концов я отказался от поисков совершенного патефона и решил заняться усовершенствованием защитных механизмов от Черепашьих пластинок. Я заключил, что мне придется оставить мечту о совершенном патефоне, вместо этого мне нужен патефон, который сможет ВЫЖИТЬ и не разлетится на куски, даже если это и будет означать, что он сможет проигрывать только несколько записей.

Ахилл: Так вы решили построить сложные анти-Черепашьи механизмы, пожертвовав для этого способностью патефона воспроизводить любые звуки?

Краб: Я бы не сказал, что я это «решил» Я был к этому ПРИНУЖДЕН.

Ахилл: Да, я понимаю.

Краб: Моя новая идея заключалась в том, чтобы предотвратить любую «чужую» запись от проигрывания на моем патефоне. Я знаю, что мои собственные пластинки безопасны. Если бы я мог не позволить другим ставить ИХ пластинки на мой патефон, это бы его защитило, а мне позволило бы спокойно наслаждаться моими записями.

Ахилл: Отличная стратегия. И что же, эта гигантская штуковина представляет собой последний плод ваших усилий?

Краб: Точно. Г-жа Черепаха, разумеется, поняла, что ей также придется изменить стратегию. Теперь у нее новая цель — она пытается сделать такую запись, которой удастся проскользнуть незамеченной мимо моих «цензоров».

Ахилл: Но скажите как же вам удается не допускать к машине ее записи и все остальные «чужие» пластинки?

Краб: Сначала поклянитесь, что не выдадите моего секрета Черепахе.

Ахилл: Честное Черепашье!

Краб: Что?!

Ахилл: О, это просто присказка, которой я выучился у г-жи Черепахи Не волнуйтесь — ваш секрет умрет со мною!

Краб: Ну, хорошо. Мой план заключался в использовании ЯРЛЫКОВ. Я снабжу каждую свою запись секретным ярлыком. Патефон перед вами, как и его предшественники оборудован телекамерой для сканирования записей и компьютером для анализа полученных данных и контроля дальнейших операций. Моя идея — разбивать любую пластинку, у которой не будет надлежащего ярлыка.

Ахилл: О, сладкая месть! Но мне кажется, что ваш план довольно легко расстроить. Г-же Черепахе надо только заполучить одну из ваших пластинок и скопировать ее ярлык!

Краб: Это не так-то просто, Ахилл. Почему вы думаете, что она сумеет его найти? Ярлычок будет надежно запрятан!

Ахилл: Вы хотите сказать, что он будет каким-то образом смешан с музыкой на пластинке?

Краб: Именно! Но существует способ их различить. Для этого надо считать данные с пластинки и затем —

Ахилл: А, теперь я понимаю, что это был за зеленый свет!

Краб: Верно, это была телекамера, сканирующая звуковые дорожки. Схема звуковых дорожек потом была направлена в микрокомпьютер, тот стал анализировать музыкальный стиль записи и все в полной тишине! Еще ничего пока не проигрывалось.

Ахилл: Значит сканнер забраковывает записи, не обладающие определенным стилем?

Краб: Вы ухватили самую суть моей идеи. Единственные записи, способные пройти эту проверку — записи моего стиля. Боюсь, что имитация этого стиля окажется для Черепахи орешком не по зубам. Так что на этот раз я уверен в победе. Однако, справедливости ради, должен сказать, что Черепаха со своей стороны уверена, что ей удастся так или иначе одурачить мои цензорные устройства и ввести в патефон одну из ее записей.

Ахилл: И снова превратить вашу прекрасную машину в груду обломков?

Краб: О, нет — она уже удовлетворила свои кровожадные инстинкты против моих патефонов. Теперь она всего-навсего хочет доказать, что ее пластинка сможет проникнуть в мой патефон, как бы я не старался это предотвратить. Она в последнее время часто бормочет себе под нос что-то о песнях с весьма странными названиями, вроде «Меня можно проиграть на патефоне X». Но МЕНЯ ей не запугать! Правда, меня немного тревожит то, что она, как прежде, приводит какие-то непонятные доводы, которые… которые… (Краб умолкает и с задумчивым видом снова затягивается своей трубкой.)

Ахилл: Гм-м-м… Полагаю, что теперь Черепаха столкнулась с неразрешимой задачей. На это раз нашла-таки коса на камень!

Краб: Интересно, что вам так кажется… Я не думаю, что вы хорошо знакомы с Теоремой Хенкина — или я ошибаюсь?

Ахилл: Хорошо знаком с ЧЬЕЙ Теоремой? Никогда не слыхал ничего похожего. Я уверен, что это должно быть захватывающе интересно, но сейчас я предпочитаю послушать о «проникальной» музыке. Это забавная история… Мне кажется, что я мог бы угадать ее конец. Ясно, что г-жа Черепаха поймет, что ее дело безнадежно, и ей придется трусливо капитулировать — этим все и кончится! Не так ли?

Краб: Вашими бы устами да мед пить. Не желаете ли теперь ознакомиться с внутренностями моего защитного патефона?

Ахилл: С радостью. Мне всегда хотелось поглядеть на работающую телекамеру.

Краб: Сказано — сделано, друг мой. (Засовывает клешню в разинутую «пасть» огромного патефона, отвинчивает там что-то и вытаскивает аккуратно упакованный механизм.) Видите ли, весь патефон собран из автономных частей — они могут использоваться отдельно. Эта телекамера, например, прекрасно работает сама по себе! Смотрите на тот экран, около картины с пылающей тубой. (Он направляет камеру на Ахилла, чье лицо тут же появляется на большом экране.)

Рис. 80. Рене Магритт. «Прекрасный пленник» (1947)

Ахилл: Здорово! Можно попробовать?

Краб: Разумеется.

Ахилл (направляя камеру на Краба): Теперь на экране вы, м-р Краб.

Краб: Да, вижу.

Ахилл: А что, если направить камеру на картину с горящей тубой? О, теперь и она на экране!

Краб: Попробуйте использовать объектив — вы можете получить крупный план.

Ахилл: Потрясающе! Сейчас я сфокусирую камеру на самой верхушке пламени, там, где оно почти касается рамы картины… Какое странное чувство — я могу мгновенно «скопировать» что угодно в комнате — все, что пожелаю — на этом экране. Я только должен направить на мой объект камеру, и, словно по волшебству, он появится на экране!

Краб: ВСЕ ЧТО УГОДНО? Вы уверены?

Ахилл: Разумеется — все, что я здесь вижу.

Краб: Но что получится, если вы направите камеру на пламя на экране?

(Ахилл двигает камеру — теперь она направлена точно на то место на экране, где только что было изображение пламени.)

Ахилл: О, как интересно! Само это действие заставляет пламя ИСЧЕЗНУТЬ! Куда оно делось?

Краб: Вы не можете одновременно сохранять образ на экране и передвигать камеру.

Ахилл: А, ясно. Но я совсем не понимаю, что теперь на экране. Там какой-то странный коридор. Но я же направляю камеру вовсе не на коридор, а на экран телевизора!

Краб: Посмотрите повнимательней, Ахилл. Вы уверены, что это, действительно, коридор?

Ахилл: О, теперь я вижу. Это изображения самого экрана, вложенные одно в другое, и они становятся все меньше, и меньше, и меньше… Ну, разумеется! Изображение пламени ДОЛЖНО БЫЛО исчезнуть, потому что оно появлялось тогда, когда я направлял камеру на картину. Когда камера направлена на экран, то там появляется изображение самого экрана с тем, что там в данный момент изображено, — то есть сам экран с тем, что там в данный момент изображено, — то есть сам экран с тем —

Краб: Благодарю вас, Ахилл, дальше я могу и сам догадаться. Попробуйте теперь вращать камеру.

Ахилл: О! Теперь у меня получился прелестный «спиральный коридор»! Каждый экран поворачивается внутри экрана-рамки, так что чем меньше они становятся, тем больше они повернуты по отношению к самому внешнему экрану. Эта идея телевизионного экрана, «поглощающего самого себя», кажется мне очень странной.

Краб: Что значит «поглощающий самого себя», Ахилл?

Ахилл: Это то, что получается, когда я направляю камеру на экран.

Рис. 81. Двенадцать «самопоглощающих» телевизионных экранов. Я включил бы сюда еще один, если бы тринадцать не было простым числом.

Краб: Вы не возражаете, если мы исследуем это явление еще немного? Ваша идея меня заинтриговала.

Ахилл: И меня тоже.

Краб: Хорошо; тогда скажите мне: если вы направите камеру НА УГОЛ экрана, это все равно будет «самопоглощением»?

Ахилл: Сейчас попробую. Гм-м… Теперь коридор экранов смещается, и бесконечного самовложения больше не выходит. Красиво, но мне кажется, это уже нельзя назвать самопоглощением — разве что неудавшимся.

Краб: Если вы направите камеру обратно в центр экрана, то, может быть, сумеете поправить дело.

Ахилл (осторожно поворачивая камеру): Да! Коридор опять удлиняется… Вот! Все в порядке! Теперь коридор уходит так далеко, куда достигает взгляд. Он стал бесконечным, когда камера опять оказалась направленной на ВЕСЬ экран. Гм-м_. Это мне что-то напоминает. Несколько дней назад г-жа Черепаха сказала мне, что автореференция случается только тогда, когда высказывание относится к себе самому ЦЕЛИКОМ…

Краб: Что, простите?

Ахилл: Да так, я говорил сам с собой.

(Ахилл забавляется с линзами и кнопками камеры и на экране возникают различные самопоглощающие изображения: крутящиеся спирали, похожие на галактики, калейдоскопические цветы и другие интересные узоры…)

Краб: Вы, как я погляжу, нашли себе игрушку по душе.

Ахилл (отрываясь от камеры): Точно! Что за богатство образов может породить эта простая идея! (Он снова смотрит на экран и в удивлении восклицает): Вот это да, м-р Краб! Смотрите, на экране получился узор, похожий на пульсирующие лепестки! Откуда взялась эта пульсация? И телевизор, и камера неподвижны.

Краб: Иногда можно получить изображение, которое постепенно меняется. Это объясняется тем, что между моментом, когда камера что-то «видит», и моментом, когда изображение появляется на экране, всегда проходит какое-то время — около сотой доли секунды. Так что если у вас на экране пятьдесят вложенных друг в друга картинок, то опоздание будет около полминуты. Если на экране появляется движущийся предмет — например, ваш палец, который вы держите перед камерой, — то на расположенных в глубине экранах он появится не сразу. Это опоздание — нечто вроде зрительного эха, которое потом распространяется на всю систему. И если вам удастся добиться того, чтобы эхо не умирало сразу, то у вас получится пульсирующее изображение.

Ахилл: Удивительно! А что, если попытаться получить ПОЛНОЕ «самопоглощение»?

Краб: Что вы хотите этим сказать?

Ахилл: Видите ли, все эти экраны внутри экранов, конечно, интересны, но мне бы хотелось получить на экране ОДНОВРЕМЕННО изображение телекамеры и самого экрана. Только тогда можно считать, что система полностью самопоглощается. Ведь экран — это только часть системы.

Краб: А, понятно. Может быть, при помощи этого зеркала вам удастся получить нужный эффект.

(Краб протягивает Ахиллу зеркало, и тот манипулирует зеркалом и камерой так, что на экране появляется изображение камеры и самого экрана)

Ахилл: Готово! Я получил ПОЛНОЕ самопоглощение!

Краб: Но у вас видна только одна сторона зеркала — а как же насчет обратной стороны? Ведь именно благодаря ей на экране видна камера.

Ахилл: Вы правы. Но, чтобы показать на экране обратную сторону зеркала, мне понадобилось бы еще одно зеркало.

Краб: Но тогда вам пришлось бы показать и обратную сторону второго зеркала. А как же насчет обратной стороны телевизора и его внутренностей и проводов, и —

Ахилл: Ой! Я вижу, что мой «проект полного самопоглощения» гораздо труднее, чем я думал. У меня даже голова закружилась!

Краб: Я вас отлично понимаю. Знаете что, присядьте-ка лучше вот сюда и перестаньте думать о самопоглощении. Не нервничайте! Посмотрите на мои картины и успокойтесь.

(Ахилл ложится на диван и начинает размеренно дышать)

Может быть вас раздражает дым от моей трубки? Я ее сейчас потушу. (Вынимает трубку изо рта и аккуратно кладет ее под надписью внутри очередной картины Магритта) Ну вот. Как, получше стало?

Ахилл: Все еще малость подташнивает. (Показывает на картину) Интересная работа. Особенно мне нравится этот блестящий ободок внутри деревянной рамы.

Краб: Благодарю вас. Ободок был сделан по спецзаказу — это золото.

Ахилл: Золотой ободок? Вот это да! А что означают эти слова под трубкой? Что это за язык, английский?

Краб: Нет, это французский. «Ceci n'est pas une pipe» означает «это не трубка» — что совершенно верно.

Ахилл: Но ведь это же ТРУБКА! Вы ее только что курили!

Краб: Вы, кажется, не поняли. Слово «ceci» относится к рисунку, а не к самой трубке. Разумеется, трубка — это трубка, но рисунок — это не трубка.

Ахилл: Интересно, относится ли «ceci» ко ВСЕЙ картине или же только к трубке внутри картины? Ах, Боже мой! Ведь это было бы еще одним самопоглощением! Мистер Краб, мне стало совсем нехорошо. По-моему, я заболеваю…

Рис. 82. Рене Магритт «Воздух и песня» (1964)

В ЭТОЙ ГЛАВЕ мы рассмотрим несколько механизмов, порождающих автореференцию в различных контекстах, и сравним их с механизмами, позволяющими некоторым системам самовоспроизводиться (или «авторепродуцироваться») Мы увидим, что между этими механизмами существуют интересные и изящные параллели.

Для начала рассмотрим высказывания, которые на первый взгляд кажутся простейшими примерами автореферентности. Вот некоторые примеры:

(1) Это высказывание содержит пять слов

(2) Это высказывание бессмысленно, так как оно автореферентно

(3) Это высказывание без глагола

(4) Это высказывание ложно

(5) Высказывание, которое я сейчас пишу — это высказывание, которое вы сейчас читаете

Каждое из этих высказываний, кроме последнего (являющегося аномалией), употребляет простой на вид механизм, содержащийся в словах «это высказывание». Однако в действительности этот механизм далеко не прост. Все эти высказывания «плавают» в контексте русского языка. Их можно сравнить с айсбергами у которых видны только верхушки. Этими верхушками являются последовательности слов, скрытая часть «айсбергов» — это та работа, которую наш мозг должен проделать, чтобы понять эти высказывания. В этом смысле их значение неявно. Разумеется, значение никогда не бывает полностью явным, но чем заметнее автореференция, тем виднее порождающие ее механизмы. В данном случае, чтобы увидеть автореференцию, необходимо не только быть хорошо знакомым с таким языком, как русский, который позволяет высказывания о своей собственной грамматике, читатель также должен быть способным понять, к чему относятся слова «это высказывание». Это кажется просто но на самом деле этот процесс зависит от нашей сложной, но полностью ассимилированной способности говорить по-русски. Особенно важно понять к чему относится здесь указательное местоимение. Это умение приходит постепенно и мы ни в коем случае не должны считать его тривиальным. Трудность становится явной когда такое высказывание, как #4, представлено кому-то, не имеющему понятия о парадоксах, — например, ребенку. Он может спросить «Какое высказывание ложно?» — и придется потрудиться, чтобы убедить его, что это высказывание говорит о самом себе. Сначала эта идея кажется пугающей. Может быть, ее можно лучше понять с помощью рисунков. На одном уровне, это высказывание, указывающее само на себя, так сказать, «держащее себя на мушке». На другом уровне, на этом рисунке — Эпименид, приводящий в исполнение собственный смертный приговор.

Рис. 83. Эпименид, приводящий в исполнение собственный приговор.

Рис. 84, показывающий видимую и невидимую части айсберга, дает понятие об отношении самого высказывания к процессам, необходимым для понимания автореферентности:

Интересно попытаться создать автореферентное высказывание, не используя при этом слов «это высказывание». Для этого можно попробовать процитировать высказывание внутри самого себя, как например:

В высказывании «В высказывании четыре слова» четыре слова.

Однако подобная попытка обречена на провал, так как любое высказывание, которое может быть полностью процитировано внутри себя, должно быть короче себя самого. Это возможно только в том случае, если вы согласны возиться с бесконечно длинными высказываниями, как например:

Высказывание

. Высказывание

. «Высказывание

. „Высказывание

.                      и т. д. и т. п.

.   бесконечно длинно“

.  бесконечно длинно»

. бесконечно длинно

бесконечно длинно

Однако подобная техника не работает для конечных высказываний. По той же причине Геделева строчка G не может содержать явный символ числа для собственного Геделева номера — он в нее просто не умещается. Никакая из строчек ТТЧ не может содержать символ числа ТТЧ для собственного Геделева номера поскольку в этом символе всегда больше знаков, чем в самой строчке. Однако это препятствие можно преодолеть, введя в G описание ее Геделева номера с помощью понятий «код» и «арифмоквайнификация».

Один из методов получения автореференции в русском языке, не используя при этом самоцитирования или фраз типа «это высказывание» — это метод Квайна проиллюстрированный в «Арии в ключе G». Чтобы понять высказывание Квайна, требуются более простые мысленные процессы, чем те, что нужны для понимания четырех приведенных выше примеров. На первый взгляд, оно может показаться более сложным, но, на самом деле, его смысл лежит ближе к поверхности. Построение Квайна весьма напоминает Геделеву конструкцию, поскольку оно описывает некую типографскую строчку, которая оказывается изоморфной самой строке Квайна. Описание этой новой типографской строчки достигается в двух частях высказывания Квайна. Одна часть содержит инструкции по построению некоего высказывания, в то время как во второй части содержится сам строительный материал — то есть она является шаблоном. Такое высказывание больше похоже на плавающий кусок мыла, чем на айсберг (см. рис. 85).

Рис. 85.

Автореферентность этого высказывания достигается здесь более прямым путем, чем в парадоксе Эпименида; для ее понимания требуется меньше скрытых процессов. Кстати, интересно заметить, что в предыдущем высказывании появляется фраза «это высказывание», однако там не возникает автореферентности; вы, вероятно, поняли, что эта фраза относится к высказыванию Квайна, а не к тому высказыванию, в котором она находится. Это показывает, насколько интерпретация таких указательных фраз как «это высказывание» зависит от контекста и какая мыслительная работа требуется для их понимания.

Понятие квайнирования и его использование для получения автореференции уже было объяснено в Диалоге, так что мы здесь не будем на нем останавливаться. Давайте лучше посмотрим, как компьютер может воспользоваться той же самой техникой, чтобы воспроизвести самого себя. Следующее самовоспроизводящее высказывание написано на языке, подобном Блупу, и основано на следовании за фразой ее собственной цитаты (поскольку порядок здесь обратный квайнированию, я назову эту операцию ENIUQ — QUINE, записанное наоборот):

ОПРЕДЕЛИТЬ ПРОЦЕДУРУ «ENIUQ» [ШАБЛОН]. НАПЕЧАТАТЬ

[ШАБЛОН, ЛЕВАЯ СКОБКА, КАВЫЧКА, ШАБЛОН, КАВЫЧКА,

ПРАВАЯ СКОБКА, ТОЧКА].

ENIUQ

['ОПРЕДЕЛИТЬ ПРОЦЕДУРУ «ENIUQ» [ШАБЛОН]

НАПЕЧАТАТЬ [ШАБЛОН, ЛЕВАЯ СКОБКА, КАВЫЧКА, ШАБЛОН,

КАВЫЧКА, ПРАВАЯ СКОБКА, ТОЧКА]

ENIUQ']

ENIUQ — это процедура, определенная в двух первых строчках, и вводные данные этой процедуры называются «ШАБЛОНОМ». Когда процедура вызывается, значением ШАБЛОНА является некая строчка типографских символов. Результатом ENIUQ является операция печатания, при которой ШАБЛОН напечатан дважды: первый раз просто так, а второй раз — заключенный в кавычки и квадратные скобки и снабженный точкой в конце. Например, если бы ШАБЛОН содержал ПОВТОРЕНИЕ-МАТЬ-УЧЕНИЯ, то после операции ENIUQ у нас получилось бы:

ПОВТОРЕНИЕ-МАТЬ-УЧЕНИЯ [«ПОВТОРЕНИЕ-МАТЬ-УЧЕНИЯ»]

В последних четырех строчках вышеприведенной программы мы вызывали процедуру ENIUQ с определенным значением ШАБЛОНА, а именно, длинная строчка в кавычках: ОПРЕДЕЛИТЬ...ENIUQ. Это значение было тщательно подобрано; оно состоит из определения самой процедуры ENIUQ, за которым следует слово ENIUQ. Результатом является напечатанная еще раз программа — или, если хотите, точная копия программы. Это напоминает Квайнову версию парадокса Эпименида:

«Предваренное цитатой самого себя, порождает ложь»

предваренное цитатой самого себя, порождает ложь.

Очень важно заметить, что строчка символов, появляющаяся в кавычках в последних трех строках вышеприведенной программы (то есть, значение ШАБЛОНА), никогда не интерпретируется как набор команд То. что здесь она выглядит, как команда, получилось чисто случайно. Как мы сказали, это могло быть ПОВТОРЕНИЕ-МАТЬ-УЧЕНИЯ или любая другая строчка символов. Красота этой схемы — в том, что когда та же самая строчка появляется в первых двух строках этой программы, она интерпретируется именно как программа (поскольку там она не заключена в кавычки). Таким образом, в этой программе одна и та же строчка играет две роли один раз она функционирует в качестве программы, а другой раз — в качестве вводных данных В этом и заключается секрет самовоспроизводящихся программ и, как мы скоро увидим самовоспроизводящихся молекул. В дальнейшем я буду иногда называть самовоспроизводящиеся объекты авто-реп (сокращение от «авторепродукция»), а самоупоминающие объекты — авто-реф (сокращение от «автореференция»).

Предыдущая программа — изящный пример самовоспроизводящейся программы, написанной на языке, не предназначенном для создания подобных программ. Поэтому нам пришлось использовать понятия и операции являющиеся частью языка, такие, как слова «КАВЫЧКИ» и команда «НАПЕЧАТАТЬ». Но представьте себе, что в нашем распоряжении — язык, специально созданный для написания авто-репов, тогда программы стали бы намного короче. Операция ENIUQ-ирования уже содержалась бы в таком языке и, следовательно, не нуждалась бы в определении (такой операцией в предыдущей программе было НАПЕЧАТАТЬ). Тогда миниатюрным авто-репом было бы:

ENIUQ ['ENIUQ']

Это очень похоже на Черепаший вариант Квайновой версии парадокса Эпименида, где мы предполагаем, что глагол «квайнировать» заранее известен:

«Предваренное цитатой самого себя порождает ложь,»

предваренное цитатой самого себя, порождает ложь.

Но авто-реф может быть и короче. Например, можно представить себе компьютерный язык, программы которого должны быть сначала скопированы и только затем выполнены, если их первым символом является астериск. Тогда программа, состоящая из одного только астериска уже была бы авто-репом! Вы можете возразить, что это глупо, поскольку целиком зависит от придуманного условия. Такое возражение вторило бы моему предыдущему замечанию о том, что использование фразы «это высказывание» — почти жульничество, потому что оно слишком зависит от процессора и недостаточно — от явных указаний для достижения самовоспроизводства. Использование астериска в качестве примера авто-репа подобно использованию слова «я» как примера автореференции в обоих случаях глубинные аспекты проблемы оказываются скрытыми.

Это напоминает другой интересный тип автореференции, получаемый при помощи ксерокса. Можно сказать, что всякий письменный документ является авто-репом, потому что он может быть воспроизведен путем ксерокопирования. Однако это в некотором смысле противоречит нашему понятию о самовоспроизводстве лист бумаги в данном случае совершенно пассивен и не управляет собственным воспроизводством. В этом случае, все опять зависит от процессора. Прежде, чем мы сможем назвать некий объект авто-репом, мы должны быть уверены в том, что в этом объекте содержатся максимально ясные инструкции по его самовоспроизводству.

Разумеется, ясность и подробность указаний всегда относительны, однако существует некая интуитивная граница, по одну сторону которой мы видим настоящее самовоспроизводство, а по другую — копирование при помощи негибкого и автономного копирующего механизма.

В любом обсуждении вопросов, касающихся авто-репа и авто-рефа, нам рано или поздно придется дать определение понятию копии. Мы уже обсуждали этот вопрос в главах V и VI; теперь мы вернемся к нему еще раз. Для начала рассмотрим довольно фантастические, но теоретически возможные примеры авто-репов.

Представьте себе музыкальный автомат в местном баре; вы нажимаете на кнопку 1-Я, и раздается песня на мотив «Славного моря» с такими словами:

Все, что мне нужно — монетка твоя,

Славная скрасит нам песенка ночку.

Денежку сунь и нажми «1-Я» —

Петь я не буду в рассрочку.

Мы можем нарисовать маленькую диаграмму того, что при этом получается:

Рис. 86. Самовоспроизводящаяся песня.

Хотя в результате песня воспроизводится, было бы странно называть ее настоящим авто-репом, поскольку, когда она проходит через стадию 1-Я, в ней находится не вся информация. Информация может быть восстановлена только благодаря тому, что она полностью записана в музыкальном автомате — то есть в стрелках нашей диаграммы, а не в ее овалах. Неясно, содержит ли эта песня полные инструкции, необходимые для ее воспроизводства, поскольку символ 1-Я — не копия, а всего лишь пусковой механизм.

Теперь представьте себе компьютерную программу, печатающую саму себя задом наперед. (Читатели могут для интереса попытаться написать такую программу на языке, подобном Блупу, используя данный авто-реп в качестве модели.) Была бы подобная забавная программа авто-репом? В каком-то смысле да, так как тривиальное преобразование ее выхода восстановило бы первоначальную программу. Видимо, можно сказать, что выход содержит ту же информацию, что и сама программа, только слегка измененную. Но ясно и то, что в таком выходе многие не узнали бы изначальной программы, напечатанной задом наперед. Используя терминологию главы VI, мы могли бы сказать, что «внутреннее сообщение» выхода и программы совпадают, в то время как их «внешние сообщения» различны — то есть для их прочтения требуются разные декодирующие механизмы. Если считать внешнее сообщение частью информации (что кажется вполне разумным), то общая информация, в конце концов, оказывается не одна и та же, так что эту программу нельзя считать настоящим авто-репом.

Это заключение звучит тревожно, поскольку мы привыкли считать, что предмет и его зеркальное отражение содержат одну и ту же информацию. Но вспомните, что в главе VI мы выяснили, что понятие «присущего сообщению значения» зависит от гипотетического универсального понятия разума. Идея заключалась в том, что при определении этого присущего значения мы можем игнорировать некоторые типы внешних сообщений — те, которые понятны везде и всем. Если декодирующий механизм кажется достаточно фундаментальным (эта фундаментальность пока определена довольно расплывчато), то важно лишь внутреннее сообщение, которое он выявляет. В этом примере кажется разумным предположить, что «стандартный разум» считал бы, что предмет и его отражение содержат одну и ту же информацию. Иными словами, он нашел бы изоморфизм между ними настолько тривиальным, что его вообще можно было бы не принимать в расчет. Таким образом, наше интуитивное восприятие этой программы как настоящего авто-репа оказывается вполне оправдано.

  Еще одним забавным примером авто-репа была бы программа, печатающая саму себя в переводе на другой компьютерный язык. Это можно сравнить со следующей франко-английской версией Квайнова варианта авто-репа Эпименида:

«est une expression qui, quand elle est précédée de sa traduction, mise entre guillemets, dans la langue provenant de l'autre côoté de la Manche, crée une fausseté» is an expression which, when it is preceded by its translation, placed in quotation marks, into the language originating on the other side of the Channel, yields a falsehood.

(«Это высказывание, которое, будучи предварено своим переводом, заключенным в кавычки, на язык другой стороны Ламанша, порождает ложь» — это высказывание, которое, будучи предварено своим переводом, заключенным в кавычки, на язык другой стороны Ламанша, порождает ложь.)

Можете попытаться записать предложение, описанное этой странной конструкцией (подсказка: оно не является самим собой — по крайней мере, если понимать слово «само» упрощенно). Если понятие «авто-реп, полученный отступлением назад» напоминает крабий канон, или ракоход, понятие «авто-реп, полученный переводом» напоминает канон, в котором тема переводится в другую тональность.

Может показаться, что не имеет смысла печатать перевод программы вместо ее точной копии. Однако, чтобы написать авто-реп на Блупе или Флупе, вам пришлось бы прибегнуть к подобным трюкам, поскольку на этих языках ВЫХОД всегда бывает в форме чисел, а не типографских строчек. Таким образом, вам пришлось бы написать программу, которая печатала бы свой собственный Гёделев номер: гигантское число, использующее трехзначные кодоны — «переводы» каждого знака программы. Такая программа, используя доступные ей средства, подходит очень близко к самовоспроизведению: она печатает копию себя самой в другом «измерении». Перейти от измерения чисел к измерению строчек не представляет труда. Таким образом, ВЫХОД здесь является не только пусковым механизмом, каким была кнопка 1-Я. Вместо этого, все информация первоначальной программы лежит «близко к поверхности» выхода.

Мы подошли вплотную к описанию Гёделева авто-рефа G. В конце концов, эта строчка ТТЧ содержит описание не себя самой, а некоего числа (арифмоквайнификации d). Однако дело в том, что это число — точный «портрет» строчки G в измерении натуральных чисел. Таким образом, G описывает собственный перевод на другой «язык». Тем не менее, мы с чистой совестью называем G автореферентной строчкой, поскольку изоморфизм между двумя «языками» настолько совершенен, что их можно считать идентичными.

Изоморфизм, отображающий ТТЧ на абстрактный мир натуральных чисел, сравним с квази-изоморфизмом, отображающим реальный мир в нашем мозгу при помощи символов. Это символы почти изоморфны предметам, которые они отображают, и именно благодаря этому мы можем думать. Таким же образом, Гёделевы номера изоморфны строчкам, благодаря чему мы можем найти метаматематический смысл в высказываниях о натуральных числах. Удивительное, почти магическое свойство G заключается в том, что ей удается автореференция, несмотря на то, что она написана на языке ТТЧ, который, как кажется, совершенно непригоден для самоописания (чем весьма отличается от русского языка, на котором запросто можно обсуждать русский язык).

Таким образом, G — замечательный пример авто-рефа, полученного путем перевода. Далеко не самый прямой путь! Мы можем найти подобные примеры в Диалогах, так как некоторые из них являются такими переводными авто-рефами. Возьмите, например, «Сонату для Ахилла соло». В этом Диалоге несколько раз упоминаются сонаты Баха для скрипки соло; особенно интересен момент, когда Черепаха предлагает Ахиллу вообразить аккомпанемент на клавесине. Если приложить эту идею к самому Диалогу, то нам придется изобретать реплики Черепахи; но если считать, что Ахилл, как Баховская скрипка, исполняет соло, то было бы в принципе неверно считать, что Черепаха играет какую-то ни было роль в беседе. Так или иначе, здесь мы опять сталкиваемся с авто-рефом, на этот раз полученным путем отображения Диалогов на пьесы Баха. Задача читателя в том, чтобы это отображение обнаружить. Но даже если читатель его и не заметит, отображение там тем не менее присутствует, и Диалог все-таки является авто-рефом.

Продолжая наше сравнение авто-репов с канонами, давайте теперь попытаемся найти, чему соответствует канон с увеличением. Одна возможность такова программа, содержащая пустую петлю, предназначенную единственно для замедления программы. Некий параметр указывает, как часто эта петля должна повторяться. Можно представить себе такую самовоспроизводящуюся программу, которая печатает собственные копии, но с измененным параметром, так что каждая следующая копия будет в два раза медленнее предыдущей Ни одна из этих программ не повторяется в точности, но все они явно принадлежат к одной «семье».

Это напоминает воспроизводство живых организмов Ясно, что никакой индивидуум не является точной копией своих родителей, почему же тогда производство на свет потомства называется «самовоспроизводством»? Дело в том, что между родителями и ребенком существует приблизительный изоморфизм — изоморфизм, сохраняющий информацию о виде. Таким образом, здесь воспроизводится скорее класс, чем пример. То же самое происходит и на рекурсивном графике G в главе V, хотя соответствие между «магнитными бабочками» разных размеров и форм весьма приблизительно, и ни одна «бабочка» не повторяет другую в точности, все они принадлежат к одному и тому же «виду», и соответствие сохраняет именно эту информацию. В терминах самовоспроизводящихся программ это соответствовало бы семье программ, написанных на разных «диалектах» одного и того же компьютерного языка, любая из них может воспроизвести себя саму, но в немного измененном виде, так что результатом является диалект первоначального языка.

Возможно, самым хитрым примером авто-репа является следующий вместо того, чтобы написать «правильное» выражение на языке компилятора, вы печатаете одно из посланий, указывающее на ошибку в этом языке. Ваша «программа» сбивает компилятор с толку, потому что она неграмматична, поэтому компилятор печатает сообщение об ошибке. Все, что нужно для получения авто-репа, — это добиться, чтобы компилятор выдал такое же сообщение об ошибке, как то, что вы ввели первоначально. Этот тип самовоспроизводства, придуманный Скоттом Кимом, исследует такие аспекты системы, которые обычно остаются без внимания. Хотя это кажется шуткой, на самом деле нечто подобное может существовать в сложных системах, где авто-репы соперничают друг с другом в борьбе за выживание, вскоре мы рассмотрим подобные случаи.

Кроме вопроса о том, что такое копия, существует еще один глубокий философский вопрос, касающийся авто-репов. Этот вопрос — обратная сторона монеты «Что такое оригинал?» Лучше всего пояснить это на примерах:

(1) программа которая, будучи интерпретирована неким интерпретатором на некоем компьютере, печатает саму себя,

(2) программа, которая, будучи интерпретирована неким интерпретатором на некоем компьютере, печатает саму себя вместе с полной копией интерпретатора (который, в конце концов, тоже является программой),

(3) программа, которая, будучи интерпретирована неким интерпретатором на некоем компьютере, печатает не только саму себя вместе с полной копией интерпретатора, но также приводит в действие процесс сборки второго компьютера, идентичного первому.

Ясно, что в (1) программа является авто-репом. Но что является авто-репом в (3) — сама программа, комбинация программы с интерпретатором или система, состоящая из программы, интерпретатора и процессора?

Понятно, что здесь самовоспроизводство включает нечто большее, чем просто распечатка самой программы. Оставшаяся часть этой главы посвящена, в основном, анализу авто-репов, в которых вводные данные, программа, интерпретатор и процессор переплетены между собой и в которых самовоспроизводство включает воспроизведение всей этой системы.

Сейчас мы обратимся к одной из самых интересных и глубоких тем двадцатого столетия: науке о «молекулярной логике живых организмов», как образно выразился Альберт Ленингер. Действительно, это и есть логика — но более сложного и прекрасного типа, чем тот, который способен вообразить человеческий разум. Мы подойдем к обсуждению этого по-новому, воспользовавшись игрой, которую я для этого придумал. В эту игру можно играть в одиночку; она называется «типогенетика» (сокращенное «типографская генетика»). В типогенетике я попытался выразить некоторые идеи молекулярной генетики в типографской системе, которая на первый взгляд кажется очень похожей на формальные системы типа MIU. Разумеется, типогенетика — система очень упрощенная и используется, в основном, для дидактических целей.

Должен предупредить читателя, что область молекулярной биологии — это область, в которой взаимодействуют явления на нескольких уровнях, в то время как типогенетика иллюстрирует только события на одном или двух уровнях. В частности, совершенно не упоминаются химические процессы, поскольку они происходят на уровне ниже того, который мы здесь обсуждаем; также не упоминаются аспекты классической (немолекулярной) генетики — они принадлежат к высшему уровню. В типогенетике я хотел дать общую идею о процессах, участвующих в знаменитой «Центральной догме молекулярной биологии», сформулированной Фрэнсисом Криком (одним из открывателей двойной спирали ДНК):

ДНК => РНК => белки

Я надеюсь, что при помощи моей схематической модели мне удастся помочь читателю почувствовать некоторые объединяющие принципы, действующие в этой области, — принципы, которые могут быть легко упущены из вида за невероятной сложностью взаимодействия событий на многих уровнях. Надеюсь, что, пожертвовав точностью, нам удастся получить некое общее понимание картины.

Игра в типогенетику включает типографские манипуляции последовательностями букв. У нас имеется четыре буквы:

А С G Т

Любые последовательности этих букв называются цепочками. Вот примеры цепочек:

GGGG

АТТАССА

САТСАТВАТВАТ

Иногда я буду называть буквы А С G Т основаниями, а позиции которые они занимают — подразделениями. Так, в средней цепочке есть семь подразделений в четвертом из которых находится основание А.

Цепочку можно изменять ее разными способами. Можно также производить новые цепочки копируя старые либо разрезая их на части. Некоторые операции удлиняют цепочки некоторые их укорачивают а некоторые оставляют их длину неизменной.

Обычно мы имеем дело с наборами различных операций выполняемых по порядку. Такой набор операций напоминает запрограммированную машину которая двигает цепочку вверх и вниз и изменяет ее. Такие машины называются «типографскими энзимами», или для краткости энзимами. Энзимы действуют одновременно только на одно подразделение цепочки, мы говорим, что они прикреплены к тому подразделению, на которое они в данный момент действуют.

Попытаюсь привести пример того как некоторые энзимы действуют на определенные цепочки. Каждый энзим для начала «прикрепляется» к одной определенной букве. Таким образом, существует четыре типа энзимов: те которые предпочитают А, те которые предпочитают С и так далее. Анализируя последовательность операций выполненных при помощи того или иного энзима можно определить какую букву тот предпочитает, пока однако, я буду приводить примеры, не вдаваясь в подробности. Вот пример энзима, состоящего из трех операций:

 (1) Стереть подразделение к которому прикреплен энзим (и затем прикрепить его к следующему справа подразделению)

(2) Подвинуться на одно подразделение вправо

(3) Вставить Т (справа от этого подразделения)

Этот энзим оказывается «любителем» буквы А. Вот пример простой цепочки:

АСА

Что получится если наш энзим прикрепится к левому А и начнет действовать? Первый шаг стирает А так что у нас остается С. А — теперь энзим прикреплен к С. Второй шаг продвигает энзим направо, к А и третий шаг прибавляет Т на конце. У нас получилась новая цепочка — CAT.

Что получилось бы если бы энзим начал действовать с правого А? Он стер бы это А и затем отделился от цепочки. Когда такое случается, энзим прекращает работу (это общий принцип). Так что результатом будет потеря одного символа.

Давайте посмотрим на действие еще одного энзима:

(1) Искать ближайший справа пиримидин

(2) Привести в действие копирующий механизм

(3) Искать ближайший справа пурин

(4) Обрезать цепочку там (то есть справа от данного подразделения)

Здесь мы впервые встречаемся с терминами «пиримидин» и «пурин». Не пугайтесь — это очень просто. А и G называются пуринами, а С и Т — пиримидинами. Таким образом, поиск пиримидина — это всего лишь поиск С или Т.

Другой новый термин — это копирующий режим. Любая цепочка может быть «скопирована» на другую цепочку, но делается это довольно необычным способом. Вместо того, чтобы копировать А на А, вы копируете его на Т, и наоборот. И вместо того, чтобы копировать С на С, вы копируете его на G, и наоборот. Обратите внимание, что пурин копируется на пиримидин, и наоборот. Это называется спариванием комплементарных оснований. Комплементы приведены ниже:

.         комплемент

пури- |  A <==> T |пиримидины

ны     | G <==> C |

Таким образом, «копируя» цепочку, вы не повторяете ее в точности, а производите ее комплементарную цепочку, которая будет записана над первоначальной цепочкой вверх ногами. Рассмотрим конкретный случай. Представьте себе, что упомянутый энзим действует на следующую цепочку (этот энзим тоже любит начинать с А):

CAAAGAGAATCCTCTTTGAT

Энзим может стартовать с любого А; предположим, что он начал со второго. Энзим прикрепляется к нему, затем выполняет шаг (1): поиск ближайшего справа пиримидина. Это означает либо С либо Т. Первое Т находится примерно в середине цепочки, куда мы и отправляемся. Теперь шаг (2): копирующий режим. Напишем над Т перевернутое А. Но это еще не все — копирующий режим продолжает действовать, пока он не отключен — или пока энзим не кончит работать. Это значит, что каждое основание, мимо которого проходит энзим, находящийся в режиме копирования, получит сверху комплементарное основание. Шаг (3) велит нам искать первый пурин справа от нашего Т. Это G, третье с правого конца. Продвигаясь к этой букве, мы должны «копировать», то есть создавать комплементарную цепочку. Вот что у нас получается:

Последним шагом является разрезка цепочки. Результатом этого будут две новые цепочки:

и AT.

Мы выполнили все команды, в результате у нас получилась двойная цепочка. Когда такое случается, мы отделяем комплементарные цепочки друг от друга (это общий принцип), в результате нашим конечным продуктом будут три цепочки:

AT, CAAAGAGGA и CAAAGAGAATCCTCTTTG

Заметьте, что цепочка бывшая вверх ногами, теперь записана в нормальном виде поэтому правая и левая сторона поменялись местами. Итак, вы ознакомились с большинством типографских операций, которые будут производиться с цепочками. Необходимо упомянуть еще о двух командах. Первая выключает копирующий режим, вторая перебрасывает энзим с данной цепочки на перевернутую цепочку над ней. Когда такое происходит, то вам приходится заменить во всех командах «правый» на «левый», и наоборот. Вместо этого можно просто перевернуть бумагу так, что верхняя цепочка встанет с головы на ноги. Если дана команда перебросить энзим, над которым в данный момент нет комплементарного основания, то энзим отсоединяется от цепочки и на этом его работа заканчивается.

Надо иметь в виду что если у нас имеются две цепочки то команда «разрезать» относится к обеим из них, в то время как «стереть» относится только к той цепочке, над которой энзим работает в данный момент. Когда копирующий режим находится в действии, команда «вставить» относится к обеим цепочкам, и мы вставляем само основание в цепочку, где находится энзим, а его комплемент в верхнюю цепочку. Если копирующий режим выключен, то команда «вставить» относится только к одной цепочке, и в цепочку наверху вставляется пробел.

Когда действует копирующий режим, команды «двигаться» и «искать» означают, что над каждым основанием, мимо которого проходит энзим, нам приходится записывать комплементарное основание. Когда энзим начинает работать, копирующий режим всегда выключен. Если в этот момент встречается команда «выключить копирующий режим», то ничего не происходит. Так же, если копирующий режим уже включен, команда «включить копирующий режим» остается без последствий.

raz — разрезать цепочку

str — стереть основание из цепочки

prb — перебросить энзим на другую цепочку

sdl — сдвинуться на одно подразделение влево

sdp — сдвинуться на одно подразделение вправо

кор — включить копирующий режим

vyk — выключить копирующий режим

vsa — вставить А справа от данного подразделения

vsc — вставить С справа от данного подразделения

vsg — вставить G справа от данного подразделения

vst — вставить Т справа от данного подразделения

рmр — искать первый пиримидин справа

рrр — искать первый пурин справа

pml — искать первый пиримидин слева

prl — искать первый пурин слева

Каждая из этих команд — сокращение из трех букв. Мы будем называть эти сокращения аминокислотами. Таким образом, каждый энзим состоит из последовательности аминокислот.

Давайте выберем наугад один из энзимов:

рrр — vsc — кор — sdp — sdl — prb — prl — vst

а также какую-либо цепочку, например,

TAGATCCAGTCCATGGA

и посмотрим, как энзим действует на эту цепочку. Данный энзим присоединяется только к G. Предположим, что на этот раз он начнет с G в середине. Сначала мы ищем пурин справа (то есть, А или G). Теперь мы (энзим) пропускаем ТСС и попадаем на А. Вставляем С. Теперь у нас получается:

Стрелочкой отмечено подразделение, к которому привязан энзим. Включаем копирующий режим. Это дает нам перевернутое G над С. Сдвигаемся сначала направо, потом налево, потом переходим на другую цепочку. До сих пор у нас получилось вот что:

Перевернем это, с тем чтобы энзим оказался прикрепленным к нижней цепочке:

Теперь мы ищем пурин слева, и находим А. Копирующий режим находится в действии, но комплементарные основания уже есть, поэтому мы ничего не добавляем. Наконец, мы вставляем Т и останавливаемся:

Окончательным результатом являются две цепочки:

ATG и TAGATCCAGTCCACATCGA

Прежняя цепочка, разумеется, утеряна.

Читатель может спросить, откуда берутся энзимы и цепочки, и как можно узнать, к какой букве прикрепляется в начале каждый данный энзим. Чтобы найти ответ на второй вопрос, можно попробовать взять наудачу несколько цепочек и посмотреть, как действуют на них и на их «потомков» различные энзимы. Это напоминает головоломку MU, в которой мы начинали с некоей аксиомы и нескольких правил. Единственная разница заключается в том, что после того, как энзим обработал первоначальную цепочку, она утрачивается навсегда. В головоломке MU при получении MIU из MI строчка MI остается невредимой.

Однако в типогенетике, так же как и в настоящей генетике, мы имеем дело с гораздо более сложной схемой. Мы так же начинаем с неких случайных цепочек, подобных аксиомам формальных систем. Но теперь у нас нет «правил вывода» — то есть энзимов. Однако, мы можем перевести каждую цепочку в один или несколько энзимов! Таким образом, сами цепочки будут указывать нам, какие операции должны производиться на них, и эти операции, в свою очередь, произведут новые цепочки, которые укажут на следующие операции, и т. д, и т. п! Вот так смешение уровней! Для сравнения подумайте, насколько изменилась бы головоломка MU, если бы каждая новая теорема могла бы быть превращена в правило вывода при помощи некоего кода.

Как же делается подобный «перевод»? Для этого используется типогенетический код, при помощи которого соседние пары оснований — так называемые «дублеты» представляют различные аминокислоты. Существует шестнадцать возможных дублетов АА, AC, AG, AT, CA, СС и т. д. С другой стороны, у нас есть пятнадцать аминокислот. Типогенетический код показан на рис 87.

Рис. 87. Типогенетический код, при помощи которого каждый дублет кодируется как одна из аминокислот (или как знак препинания).

Из таблицы следует, что перевод дублета GC — «vsc» («вставить С»); что AT переводится как «prb» («перебросить энзим на другую цепочку») и так далее. Таким образом, становится ясно, что цепочка может прямо определять энзим. Например, цепочка:

TAGATCCAGTCCACATCGА

разделяется на дублеты следующим образом:

ТА GA ТС CA GT СС AC AT CG А

Последнее А остается без пары. Вот перевод этой цепочки в энзимы:

рmр — vsa — рrр — sdp — vst — sdl — raz — prb — kop

(Заметьте, что оставшееся А ничего не добавляет).

Читатель, наверное, обратил внимание на маленькие буквы в нижнем правом углу каждого квадрата. Они очень важны для определения того, к какой букве предпочитает прикрепляться каждый энзим вначале Это определяется довольно необычным способом. Для этого приходится выяснить, какую «третичную структуру» имеет каждый энзим; эта третичная структура, в свою очередь, определена его первичной структурой. Под первичной структурой здесь понимается последовательность в энзиме аминокислот; под третичной структурой — то, каким образом он «уложен» в пространстве. Дело в том, что энзимы не любят располагаться по прямым, как мы их до сих пор представляли. Каждая расположенная внутри цепочки (но не на ее концах) аминокислота может изогнуться; направление изгиба определяется буквами в углах квадратов. Так «l» и «r» обозначают, соответственно, «влево» и «вправо», а буква «s» значит «прямо». Давайте возьмем наш последний пример энзима и постараемся представить себе его третичную структуру. Мы начнем с первичной структуры и будем продвигаться слева направо. После каждого энзима, снабженного в таблице буквой «l», мы будем поворачивать налево, после энзимов с буквой «r» — направо, а после энзимов с «s» поворота не будет. На рис. 88 показана схема (в двух измерениях) нашего энзима:

Рис. 88. Третичная структура типоэнзима.

Обратите внимание на левый поворот после «рrр», правый поворот после «prb» и так далее. Заметьте также, что первый сегмент («pmp => vsa») и последний сегмент («prb => kop») расположены перпендикулярно. Это и является ключом к тому, к какой букве присоединяется данный энзим: относительное расположение первого и последнего сегмента третичной структуры энзима определяют, к какой букве он прикрепится. Мы всегда можем повернуть энзим таким образом, чтобы его первый сегмент указывал направо. После этого последний сегмент энзима будет указывать на его «прикрепительные вкусы». Это показано на рис. 89.

Рис. 89. Таблица «прикрепительных вкусов» типоэнзимов.

Таким образом, наш энзим предпочитает букву С. Иногда, складываясь, энзим пересекает сам себя — ничего страшного, просто представьте, что он проходит над или под собой. Обратите внимание, что все аминокислоты энзима играют роль в определении его третичной структуры.

Остается объяснить только одно. Почему в углу квадрата АА Типогенетического Кода нет никакой буквы? Дело в том, что дуплет АА действует как знак препинания внутри цепочки, указывая на конец кода для данного энзима. Это означает, что в одной цепочке может быть закодировано несколько энзимов, если она содержит один или несколько дуплетов АА. Например, в цепочке:

CG GA ТА СТ АА AC CG А

закодировано два энзима:

кор — vsa — pmp — byk

и

raz — кор

АА разделяет цепочку на два «гена». Ген — это кусок цепочки, в котором закодирован один энзим. Заметьте, что не всякое АА является знаком препинания, например, CAAG делится на энзимы «sdp — str». АА начинается с четного подразделения и, таким образом, не составляет дуплета! Механизм, читающий цепочки и производящий закодированные в них энзимы, называется рибосомой. (Играя в типогенетику, мы проделываем работу рибосом.) Рибосомы не отвечают за третичную структуру энзимов, поскольку она полностью определена их первичной структурой. Процесс перевода всегда происходит от цепочек к энзимам, а не наоборот.

Теперь вы знаете правила типогенетики и можете поэкспериментировать с этой игрой. В частности, весьма интересно было бы попытаться получить самовоспроизводящуюся цепочку. Вот что это означало бы: дана некая цепочка; рибосома действует на нее, производя закодированные там энзимы. Затем эти энзимы вступают в контакт с первоначальной цепочкой и начинают с ней работать. Получается множество дочерних цепочек. Сами дочерние цепочки взаимодействуют с рибосомами, вследствие чего получаются новые энзимы, действующие на дочерние цепочки, и цикл продолжается. Наша надежда в том, что рано или поздно среди полученных цепочек мы найдем две копии первоначальной цепочки (на самом деле, одна из копий может оказаться самой первоначальной цепочкой.)

Схема типогенетических процессов представлена на следующей диаграмме.

Рис. 90. «Центральная Догма типогенетики.» пример «Запутанной Иерархии».

На этой диаграмме показана Центральная Догма типогенетики. Из нее видно, как цепочки определяют энзимы (через Типогенетический Код) и как энзимы, в свою очередь, действуют на породившие их цепочки; в результате этого получаются новые цепочки. Таким образом, левая стрелка показывает, как старая информация подается наверх (ведь энзим является трансляцией цепочки и, следовательно, содержит ту же информацию, но в другой, активной форме). Правая стрелка, однако, не показывает движение информации вниз; вместо этого она указывает на то, как создается новая информация: передвижением символов в цепочке.

Энзим в типогенетике, подобно правилу вывода в формальной системе, механически переставляет символы в цепочке, не принимая во внимание никакого «значения», которое может заключаться в этих символах. Таким образом, здесь наблюдается интересное смешение уровней. С одной стороны, цепочки, поскольку на них воздействуют энзимы, играют роль данных (на это указывает правая стрелка); с другой стороны, они также диктуют, какие операции должны быть проделаны с данными и, таким образом, играют роль программ (на это указывает левая стрелка). Играющий в типогенетику действует как интерпретатор и процессор. «Круговая порука», связывающая «верхний» и «нижний» уровни в типогенетике, показывает, что нельзя сказать, что цепочки или энзимы находятся выше (или ниже) уровнем по сравнению друг с другом. С другой стороны. Центральная Догма системы MIU выглядит так:

правила вывода

↓       (типографские операции)

строчки

В системе MIU мы видим четкое разделение на уровни: правила вывода находятся уровнем выше, чем строчки. То же происходит в ТТЧ и во всех других формальных системах.

Однако мы видели, что и в ТТЧ, в некотором смысле, есть смешение уровней. Дело в том, что разделение на язык и метаязык оказывается не таким жестким высказывания о системе отражаются внутри самой системы. Если нарисовать диаграмму отношений между ТТЧ и ее метаязыком, у нас получится нечто, удивительно напоминающее Центральную Догму Молекулярной Биологии. На самом деле, наша цель — рассмотреть это сравнение как можно подробнее, для этого мы должны указать, в чем типогенетика совпадает с настоящей генетикой и в чем они различаются. Разумеется, настоящая генетика намного сложнее типогенетики, но «концептуальный скелет», который читатель получил, играя в типогенетику, будет очень полезен для путешествия по лабиринту действительной генетики.

Мы начнем с обсуждения отношений между «цепочками» и ДНК, что расшифровывается как «дезоксирибонуклеиновая кислота» ДНК большинства клеток находится в ядре — небольшом районе, защищенном мембраной. Гунтер Стент назвал ядро «тронным залом» клетки, в котором царит ДНК ДНК состоит из длинных цепей относительно простых молекул, называемых нуклеотидами.

Каждый нуклеотид состоит из трех частей: (1) фосфатная группа, лишенная одного атома кислорода (отсюда «дезокси» в названии кислоты), (2) сахар под названием «рибоза» и (3) основание. Именно основание отличает один нуклеотид от другого; таким образом, чтобы указать на нуклеотид, достаточно указать на его основание. В нуклеотидах есть четыре типа оснований:

A: аденин,

G: гуанин  : пурины

C: цитозин,

T: тимин   : пиримидины

Рис. 91. Четыре основания, составляющих ДНК: Аденин, Гуанин, Цитозин, Тимин. (Hanawalt & Haynes. «The Chemical Basis of Life», стр. 142.)

(См. также рис. 91). Таким образом, цепочка ДНК состоит из множества нуклеотидов, следующих один за другим, как бусинки. Нуклеотид привязан к своим соседям сильной химической связью, которая называется ковалентной, «бусы» ДНК часто называются ее «ковалентным позвоночником». ДНК обычно состоит из двух цепочек, чьи нуклеотиды спарены между собой (см. рис. 92).

Рис. 92. Структура ДНК напоминает лестницу; сбоку — чередующиеся группы дезоксирибозы и фосфатов. «Ступеньки» построены из оснований, соединенных определенным образом, А с Т и G с С, и связанных двумя или тремя водородными связями. (Hanawalt & Haynes, стр. 142)

Именно основания ответственны за то, каким образом соединяются между собой цепочки. Каждое основание одной из цепочек соединяется со своим комплементарным основанием из другой цепочки. Комплементы — такие же, как в типогенетике: А соединяется с Т, а С — с G, то есть пурины всегда соединяются с пиримидинами.

По сравнению с сильными ковалентными связями в «позвоночнике», «межцепочные» связи весьма слабы. Это не ковалентные, а водородные связи. Водородная связь возникает, когда два скопления молекул расположены так, что один из атомов водорода, ранее принадлежавших к одному из этих скоплений, «запутывается» и уже не понимает, куда он принадлежит; он «зависает» между двумя скоплениями, не зная, к какому из них присоединиться. Поскольку две цепочки ДНК удерживаются вместе только водородными связями, они могут легко разделяться и снова соединяться, этот факт очень важен для жизнедеятельности клетки.

Двойные цепочки ДНК обвиваются одна вокруг другой, как лианы. (рис. 93) В каждом витке находится ровно 10 пар, иными словами, каждый нуклеотид изогнут на 36 градусов. ДНК, состоящая из одной цепочки, не изгибается таким образом, поскольку изгиб — это следствие соединения оснований.

Рис. 93. Молекулярная модель двойной спирали ДНК. (Vernon M. «Biosynthesis», стр. 13.)

Как я уже сказал, во многих клетках «царь» клетки, ДНК, обитает в «тронном зале» — ядре. Но большинство жизненных процессов клетки происходит вне ядра, в цитоплазме, которая является для ядра примерно тем же, чем фон — для рисунка. В частности, энзимы, отвечающие практически за любой процесс в клетке, вырабатываются рибосомами в цитоплазме, где, в основном, они и продолжают действовать. И так же, как в типогенетике, «чертежи» всех энзимов хранятся в цепочках, то есть в ДНК, которая обитает, надежно защищенная, в своем домике-ядре. Но как же информация о структуре энзимов попадает из ядра к рибосомам?

Здесь на сцену выходит мессенджер РНК — мРНК. Он является чем-то вроде автобуса, который переносит хранящуюся в ДНК информацию (а не саму ДНК!) к рибосомам в цитоплазму. Как это делается? Идея проста — особый тип энзима внутри ядра с точностью копирует длинные отрезки цепочки оснований ДНК на новую цепочку — цепочку мессенджера РНК. Этот мРНК затем выходит из ядра и попадает в цитоплазму. Там он находит множество рибосом, которые начинают работать над ним, производя энзимы.

Процесс, во время которого ДНК копируется на мРНК, называется транскрипцией, при этом двойная спираль ДНК временно разделяется на две отдельные цепочки, одна из которых служит эталоном для мРНК. Кстати, «РНК» означает «рибонуклеиновая кислота»; она очень похожа на ДНК, с той разницей, что у всех ее нуклеотидов есть тот специальный атом кислорода в группе сахара, которого нет в ДНК. Поэтому здесь опущена приставка «дезокси». Кроме этого, вместо тимина РНК использует основание урацил, поэтому информация в цепочках РНК может быть представлена последовательностью букв А, С, G, U. Теперь, когда мРНК транскрибирован вне ДНК, начинается обычный процесс спаривания оснований (с U вместо Т), так что «эталон» ДНК и его товарищ мРНК могут выглядеть примерно так:

ДНК … CGTAAATCAAGTCA … (образец)

мРНК … GCAUUUAGUUCAGU … («копия»)

Как правило, РНК не образует длинных двойных цепочек сама с собой, хотя в принципе такое возможно. Таким образом, в большинстве случаев она находится не в форме двойной спирали, как ДНК, а в форме длинных, причудливо изогнутых цепочек.

Как только цепочка мРНК покидает ядро, она встречается с этими странными субклеточными существами, называемыми «рибосомами» — но прежде, чем объяснить, как рибосомы используют мРНК, я хочу сказать кое-что об энзимах и белках. Энзимы принадлежат к общей категории биомолекул, называемых белками; задача рибосом — в том, чтобы производить все белки, а не только лишь энзимы. Белки, не являющиеся энзимами, намного более пассивны; многие из них, например, являются структурными молекулами, что означает, что они действуют как балки и перекладины в зданиях: они удерживают вместе части клетки. Есть и другие типы белков, но для наших целей мы будем считать основными белками энзимы, и в дальнейшем я не буду проводить четкого различия между белками.

Белки состоят из последовательностей аминокислот; их существует 20 основных вариантов, каждый из которых — аббревиатура из трех букв.

ala — аланин

arg — аргинин

asp — аспарагин

val — валин

gis — гистидин

gli — глицин

gln — глютамин

glu — глютаминовая кислота

ile — изолейцин

lev — левцин

liz — лизин

met — метионин

pro — пролин

ser — серин

tre — треонин

trp — триптофан

tir — тирозин

fen — фенилаланин

cys — цистеин

Обратите внимание на отличие от типогенетики, где у нас было только пятнадцать «аминокислот», составляющих энзимы. Аминокислота — это небольшая молекула примерно такой же сложности, как нуклеотид; отсюда следует, что строительные блоки белков и нуклеиновых кислот (ДНК, РНК) примерно одинакового размера. Однако белки состоят из значительно более коротких последовательностей компонентов: около 300 аминокислот обычно составляют полный белок, в то время, как цепочка ДНК может состоять из сотен тысяч или даже миллионов нуклеотидов.

Когда цепочка мРНК, выйдя в цитоплазму, встречает рибосому, начинается очень сложный и интересный процесс, называющийся трансляцией. Можно сказать, что этот процесс находится в самом сердце жизни, и с ним связано множество загадок. При этом его основу описать легко. Давайте сначала обратимся к наглядному примеру и затем рассмотрим этот процесс более детально. Попробуйте вообразить мРНК в виде длинного куска магнитной ленты, а рибосомы — в виде магнитофонов. Когда лента проходит через магнитную головку магнитофона, она «прочитывается» и превращается в музыку или другие звуки. Магнитные знаки «переводятся» в ноты. Подобно этому, когда «пленка» мРНК проходит через «проигрывающую головку» рибосомы, получаются «ноты» — аминокислоты и «музыкальные произведения» — белки. Именно в этом и заключается процесс трансляции; он показан на рис. 96.

Но как может рибосома произвести цепочку аминокислот, считывая цепочку нуклеотидов? Эта загадка была разрешена в начале 1960-х годов в результате работы большой группы ученых. Оказалось, что в основе этого процесса лежит генетический код — отображение с троек нуклеотидов на аминокислоты (см. рис. 94). Это очень напоминает типогенетический код, но здесь последовательность из трех оснований (или нуклеотидов) составляет кодон, в то время как в типогенетике мы использовали только пару оснований. Таким образом, в таблице должно быть 4×4×4=64 разных записей, вместо шестнадцати. Рибосома считывает одновременно только три нуклеотида мРНК — то есть, один кодон. Каждый раз, когда это происходит, к белку, который в данный момент вырабатывается, прибавляется одна аминокислота. Таким образом, белок изготовляется постепенно, кислота за кислотой.

Типичная последовательность мРНК, прочитанная сначала как два триплета (наверху) и затем как три дуплета (внизу); пример гемиолы в биохимии:

CUA  GAU

Сu  Ag  Аu

Рис. 94. Генетический код, по которому каждый триплет в цепочке мессенджера РНК соответствует одной из двадцати аминокислот (или знаку препинания).

Когда из рибосомы возникает белок, он не только становится все длиннее, но также укладывается в пространстве, на манер змеи, которая растет и укладывается в кольца. Эта укладка называется третичной структурой белка (рис. 95), в то время как сама последовательность аминокислот является его первичной структурой. Третичная структура следует из первичной структуры, точно так же, как это было в типогенетике. Однако рецепт для получения третичной структуры из первичной структуры здесь намного сложнее. В действительности это одна из задач современной молекулярной биологии: найти некие правила, при помощи которых можно было бы предсказать третичную структуру белка, исходя только из его первичной структуры.

Рис. 95. Структура миоглобина, выведенная на основе рентгеновского снимка высокой разрешающей способности. Образование, напоминающее изогнутую трубу, — это его третичная структура, меньшая спираль внутри «трубы» — «спираль альфа» — вторичная структура. (A. Lehninger, «Biochemistry»)

Другое, возможно, самое серьезное различие между типогенетикой и настоящей генетикой заключается в том, что в типогенетике каждая аминокислота типоэнзима отвечает за некое определенное «действие», в то время как отдельные аминокислоты настоящих энзимов не имеют четко определенных ролей.

Третичная структура, взятая целиком, определяет, как будет функционировать энзим. Нельзя сказать: «Присутствие этой аминокислоты означает, что совершится некая определенная операция». Иными словами, в настоящей генетике вклад каждой отдельной аминокислоты в работу всего энзима не свободен от «контекста». Однако этот факт не следует рассматривать как аргумент против редукционизма и как доказательство того, что «целое [энзим] не может быть объяснено как сумма его частей». Такой подход был бы совершенно не оправдан. Напротив, вполне оправдан отказ от упрощающего утверждения, что «вклад в общую сумму каждой аминокислоты не зависит от остальных присутствующих в энзиме аминокислот». Другими словами, функция белка не может быть составлена из независимых функций составляющих его частей, мы должны принимать во внимание их взаимодействие. В принципе возможно написать такую компьютерную программу, которая по данной первичной структуре белка определяла бы сначала его третичную структуру и затем — функцию энзима.

Это было бы редукционистским объяснением работы белков, но определение «суммы» требовало бы в таком случае весьма сложного алгоритма. Выяснение функции энзима исходя из его первичной а затем третичной структуры — это одна из задач современной молекулярной биологии.

Может быть, функция энзима все-таки может быть объяснена, исходя из независимых функций отдельных частей но в таком случае эти части были бы элементарными частицами, такими как электроны и протоны, а не блоками, такими как аминокислоты. Это — пример редукционистской дилеммы: чтобы объяснить события в терминах сумм независимых частей, приходится спускаться на уровень физики; но тогда число частиц оказывается таким огромным, что подобное объяснение становится невозможно осуществить на практике. Оно переходит в область чисто теоретических выкладок, в область «в принципе» возможного. Таким образом, нам приходится удовлетвориться суммой частей, зависящей от контекста. В этом есть два недостатка. Первый заключается в том, что составляющими частями здесь являются гораздо более крупные единицы, поведение которых можно описать лишь на более высоких уровнях — а следовательно, неточно. Второй недостаток в том, что слово «сумма» связано с идеей о том. что каждой части соответствует простая функция, и что функция целого — всего лишь сумма составляющих его независимых функций. Такой подход не дает результата, когда мы пытаемся объяснить функцию энзима, рассматривая аминокислоты как составляющие его единицы. Но как бы то ни было, это общее явление, возникающее при анализе сложных систем. Чтобы интуитивно понять, как действуют такие системы, и иметь возможность с ними работать, нам приходится жертвовать точностью микроскопической, независимой от контекста картины. Но тем не менее, мы не отказываемся от мысли, что в принципе такая картина возможна.

Вернемся к рибосомам, РНК и белкам. Мы сказали, что рибосомы «строят» белок, пользуясь схемой, принесенной из «тронного зала» мессенджером ДНК — РНК. Означает ли это, что рибосома может переводить с языка кодонов на язык аминокислот, то есть что рибосома «знает» Генетический Код? Однако такого количества информации в рибосоме просто нет. Так как же она это делает? Где именно хранится Генетический Код? Интересно то, что он хранится в самой ДНК (где же еще!). Это необходимо пояснить.

Для начала давайте дадим частичное объяснение. В цитоплазме плавают молекулы, имеющие форму четырехлистного клевера; аминокислота свободно присоединена (водородной связью) к одному из листочков. На противоположном листке находится триплет нуклеотидов — так называемый антикодон. Два других листка для нас в данный момент не важны. Эти «клеверные листки» используются рибосомами для производства белков следующим образом. Когда новый кодон мРНК проходит через «проигрывающую головку» рибосомы, рибосома выходит в цитоплазму и присоединяется к клеверу, чей антикодон является дополнением к кодону мРНК. Он поворачивает клевер так, чтобы иметь возможность оторвать от него аминокислоту, которая затем присоединяется ковалентно к растущему белку. (Связь между аминокислотой и ее соседом в белке очень сильна; она называется пептидной связью. Поэтому белки иногда называют также «полипептидами».) Разумеется, что у «клеверных листков» не случайно оказались нужные аминокислоты — ведь они были изготовлены согласно точным инструкциям, поступившим из «тронного зала».

Настоящее название такого «клевера» — трансплантация РНК. Молекула тРНК невелика —- размером с маленький белок. Ее составляет цепь примерно из восьмидесяти нуклеотидов. Как и в случае мРНК, молекулы тРНК строятся путем транскрипции большого клеточного эталона, ДНК. Однако, по сравнению с огромными молекулами мРНК, которые могут быть составлены из тысяч и тысяч нуклеотидов, расположенных цепочками, тРНК — крохотные молекулы. Кроме того, тРНК похожи на белки (и очень отличаются от цепочек мРНК) следующим: их жесткая третичная структура определена их первичной структурой. Третичная структура молекулы тРНК позволяет присоединиться к месту аминокислот только одной кислоте — той, которая продиктована, согласно Генетическому Коду, антикодоном на противоположной стороне. Функцию тРНК можно пояснить на примере следующей забавной аналогии. Представьте себе синхронного переводчика, вокруг которого валяется множество карточек со словами. Из этой кучи он выхватывает — всегда безошибочно! — нужную карточку каждый раз, когда ему надо перевести какое-то слово. В этом случае переводчиком является рибосома, карточками — кодоны, а их переводами — аминокислоты.

Чтобы внутреннее сообщение ДНК было расшифровано рибосомами, «карточки» тРНК должны находиться в цитоплазме. В каком-то смысле можно сказать, что в тРНК содержится суть внешнего сообщения ДНК, поскольку они являются ключом к процессу трансляции. При этом они сами происходят из ДНК. Таким образом, внешнее сообщение пытается стать частью внутреннего сообщения, что-то вроде записки в бутылке, сообщающей, на каком языке она написана. Ясно, что такая попытка никогда не может удасться полностью: ДНК не может поднять саму себя за волосы. Клетка должна заранее «знать» нечто о Генетическом Коде, чтобы позволить создание энзимов, переводящих сами тРНК с эталона ДНА. И это знание находится в созданных ранее молекулах тРНК. Попытка избежать нужды во внешнем сообщении напоминает Эшеровского дракона, который всеми доступными ему средствами своего двухмерного мира старается стать трехмерным. Кажется, что ему это почти удается; но, разумеется, эта превосходная имитация трехмерности — не более, чем иллюзия.

Рис. 96. Часть мРНК, проходящая через рибосому. Рядом плавают молекулы тРНК; они несут аминокислоты, которые будут использованы рибосомой для построения белка. Генетический Код содержится в молекулах тРНК, распространенный по нескольким из них. Обратите внимание, как спаренные основания (A-U, C-G) представлены на диаграмме при помощи соединенных букв. (Рисунок Скотта Е. Кима.)

Откуда рибосома знает, когда белок готов? Так же, как в типогенетике, в мРНК есть сигнал, указывающий на окончание или начало конструкции белка. Три специальные кодона — UAA, UAG, UGA — действуют не как коды аминокислот, а как знаки препинания.

Каждый раз, когда один из этих триплетов попадает в «проигрывающую головку» рибосомы, та прекращает строительство данного белка и начинает строить новый белок.

Недавно был выделен целый геном самого крохотного из известных вирусов. В процессе работы было сделано совершенно неожиданное открытие: некоторые из девяти его генов накладываются друг на друга, что означает, что два разных белка закодированы в одной и той же цепочке ДНК! Один из генов даже оказался полностью вставленным в другой! Это достигается сдвиганием рамки считывания двух генов точно на одну единицу по отношению друг к другу. Информационная насыщенность такой структуры поразительна. Это, как читатель, наверное, догадался, и послужило источником для странного «хайку в 6/17», запеченного в Ахилловом печенье с сюрпризом в «Каноне с интервальным увеличением».

Таким образом, возникает следующая картина: из своего тронного зала ДНК посылает длинные цепочки мессенджера РНК в цитоплазму к рибосомам. Рибосомы, используя «карточки со словами», плавающие вокруг них, строят белки, добавляя к ним по одной аминокислоте в соответствии с «планом», содержащимся в мРНК. ДНК диктует только первичную структуру белков, но этого достаточно, поскольку, выходя из рибосом, белки, как по волшебству, укладываются в сложные структуры, которые затем действуют как могучие химические машины.

Как вы помните, мы сравнивали рибосому с магнитофоном, мРНК — с пленкой, а белок — с музыкой. Это может показаться надуманным сравнением, однако на самом деле здесь есть некоторые красивые параллели. Музыка — это не просто линейная последовательность нот. Наш разум воспринимает музыку на гораздо более высоком уровне. Мы воспринимаем последовательности нот как музыкальные фразы, фразы — как мелодии, мелодии — как части произведения, а части — как единое целое. Таким же образом, белки работают только как блочные единицы. Хотя вся информация, необходимая для создания третичной структуры, содержится в первичной структуре, она ощущается чем-то меньшим, поскольку ее потенциал реализуется полностью только тогда, когда третичная структура создана физически.

Мы говорим только о первичной и третичной структуре, и читатель может удивиться, куда же подевалась вторичная структура. Она действительно существует так же как и «четвертичная структура». Укладка белка происходит на нескольких уровнях. В некоторых точках цепочки может возникать что-то вроде спирали, называемой альфа спиралью (не спутайте ее с двойной спиралью ДНК). Этот спиральный изгиб белка происходит на уровне низшем, чем его третичная структура. Этот уровень виден на рис. 95. Четвертичную структуру можно сравнить с построением музыкального произведения из отдельных, независимых частей, поскольку она включает соединение нескольких различных полипептидов, во всей красе их третичной структуры, в единую большую структуру. Эти независимые цепочки обычно соединяются друг с другом с помощью не ковалентных, а водородных связей, что опять сравнимо с частями музыкальных произведений, связи которых между собой гораздо слабее их внутренних связей, но которые, тем не менее, составляют органическое целое.

Четыре уровня структуры белка можно также сравнить с четырьмя уровнями картинки МУ (рис. 60) в «Прелюдии» и «Муравьиной фуге».

Глобальная структура — состоящая из букв «М» и «У» — это четвертичная структура рисунка, каждая из этих частей имеет свою третичную структуру, составленную из слов «ХОЛИЗМ» или «РЕДУКЦИОНИЗМ», на вторичном уровне мы находим антонимы этих слов и наконец на первичном уровне мы опять видим слово «МУ», повторяющееся снова и снова.

Мы подошли к другой интересной параллели между магнитофонами, переводящими пленки в музыку, и рибосомами, переводящими мРНК в белки. Представьте себе несколько магнитофонов, поставленных в ряд на одинаковых расстояниях друг от друга. Назовем это расположение «полимагнитофоном». Теперь представьте, что одна и та же пленка проходит по очереди через проигрывающую головку каждого из магнитофонов. Если на пленке записана одна-единственная длинная мелодия, то результатом, разумеется, будет многоголосный канон, где голоса отстают на то время, которое требуется пленке, чтобы попасть с одного магнитофона на следующий. В клетках действительно существуют такие «молекулярные каноны», где множество рибосом расположены в ряд, образуя так называемые полирибосомы — каждая из них «проигрывает» одну и ту же цепочку мРНК, результатом чего являются одинаковые белки в разной степени готовности (см. рис. 97).

Рис. 97. Полирибосома. Цепочка мРНК проходит через одну рибосому за другой, вроде пленки, проигрывающейся последовательно на нескольких расположенных в ряд магнитофонах. Результатом этого являются несколько белков на разных стадиях готовности; это аналогично музыкальному канону, получающемуся, если включать одну и ту же музыку на нескольких магнитофонах по очереди. (Из книги Ленингера «Биохимия».)

Рис. 98. Вот еще более сложная схема. Полирибосомы действуют не на одну, а на несколько цепочек мРНК, параллельно возникающих путем транскрипции ДНК. Результатом является двухтретичный молекулярный канон (Hanawalt & Haynes, «The Chemical Basis of Life», cтp. 271)

Это еще не все, природа идет дальше. Вспомните, что мРНК получена путем транскрипции ДНК, энзимы, отвечающие за этот процесс, называются полимеразами (суффикс «аза» всегда обозначает энзимы). Несколько полимераз РНК часто работают параллельно над одной и той же цепочкой ДНК, в результате чего получается множество отдельных (но одинаковых) цепочек мРНК, отстающих друг от друга на то время, которое необходимо ДНК, чтобы добраться от одной полимеразы РНК до следующей. В то же время, несколько рибосом могут работать над каждой из параллельно выходящих цепочек мРНК. Таким образом, получается нечто вроде двухпалубного или двухтретичного «молекулярного канона» (Рис. 98.). Соответствующий образ в музыке был бы причудливой и забавной сценой: несколько человек, переводящих одновременно одну и ту же рукопись с ключа, который флейтисты не могут прочесть, в тот, который им доступен. Каждый переводчик, заканчивая страницу, передает ее следующему переводчику, а сам начинает работать над новой страницей. Каждая страница прошедшая таким образом через всех переводчиков, попадает к флейтистам, которые играют написанную там мелодию, при этом все флейтисты играют разные места в нотах. Это довольно странная картина дает некоторое представление о том, какие сложные процессы происходят в каждой клетке вашего тела, каждую секунду каждого дня.

Мы говорили об этих удивительных созданиях по имени рибосомы, но из чего состоят они сами? Как они сделаны? Рибосомы состоят из двух компонентов (1) разные типы белков и (2) другой тип РНК, называемый рибосомной РНК (рРНК). Таким образом, чтобы построить рибосому, необходимо присутствие определенных белков и рРНК. Однако, чтобы у нас были белки, нужны рибосомы, чтобы их сделать! Так как же разорвать этот порочный круг? Что было в начале — рибосома или белок? Кто из них порождает другого? Разумеется прямого ответа на этот вопрос дать нельзя, так как мы всегда можем отступить во времени к членам того же класса, точно так же как в ситуации с курицей и яйцом, пока все не растает в дымке прошлого. Так или иначе, рибосомы состоят из двух частей, большой и маленькой, каждая из которых содержит набор рРНК и белков. По размеру рибосомы похожи на большие белки; они намного меньше цепочек мРНК, которые они используют как входные данные и вдоль которых продвигаются.

Мы уже говорили кое-что о структуре белка — а именно, об энзимах — но еще не сказали ни какое задание они выполняют в клетке, ни как они это делают. Все энзимы являются катализаторами, это значит, что, в некотором смысле, они всего лишь выборочно ускоряют химические процессы в клетке; они не начинают процессы, которые без них не произошли бы. Энзим идет по нескольким из мириадов возможных химических путей. Таким образом, энзимы определяют, какие процессы произойдут, а какие нет — хотя теоретически возможно, что все эти процессы могут произойти и сами собой, без катализатора.

Как действуют энзимы на молекулы клетки? Как мы уже сказали, энзимы — это свернутые полипептидные цепи. В каждом энзиме имеется определенное место, где он присоединяется к другому типу молекул. Это место называется активным центром, и любая молекула, которая к нему присоединяется, называется субстратом. Энзимы могут иметь несколько активных центров и несколько субстратов. Как и в типогенетике, энзимы довольно привередливы в выборе того, над чем они будут работать. Обычно активный центр позволяет присоединиться к энзиму только определенному типу молекулы, хотя иногда молекулы-«самозванцы», одурачив энзим, прицепляются к активному центру и «засоряют» его, отчего энзим теряет свою способность действовать.

Как только энзим и его субстрат оказываются соединены, равновесие электрических зарядов нарушается; электроны и протоны плавают вокруг сцепленных молекул, пока равновесие не восстановится. К тому времени, как это случается, в субстрате могут произойти значительные химические изменения. Примером таких изменений является «сварка», в результате которой небольшая стандартная молекула присоединяется к нуклеотиду, аминокислоте или другой обычной клеточной молекуле; цепочка ДНК может быть разрушена в определенном месте, какая-то часть молекулы может оказаться «отрезанной» и так далее. На самом деле, био-энзимы производят на молекулах операции, весьма похожие на типографские операции, производимые типо-энзимами. Однако большинство энзимов вместо последовательности заданий выполняют только какое-нибудь одно. Другая значительная разница между типоэнзимами и биоэнзимами заключается в том, что типоэнзимы действуют только на цепочки, в то время как биоэнзимы могут действовать на ДНК, РНК, другие белки, рибосомы, клеточные мембраны — короче, на все, что имеется в клетке. Иными словами, энзимы — это универсальные механизмы клеточных операций. Существуют энзимы соединяющие, энзимы разделяющие, энзимы изменяющие, энзимы активирующие и дезактивирующие, энзимы копирующие, чинящие, разрушающие…

Некоторые из самых сложных процессов в клетке включают каскады, в которых одна-единственная молекула запускает производство определенного типа энзима; этот процесс начинается, и энзимы, сходящие «с конвейера», открывают новую химическую дорогу, ведущую к производству второго типа энзима. Этот процесс может продолжаться на трех или четырех уровнях, каждый новый тип энзима, в свою очередь, запускает в действие процесс создания следующего типа энзима. В конце производится поток копий последнего типа энзима, после чего все копии принимаются за свои дела — отрезать «чужую» ДНК, помочь в строительстве какой-нибудь аминокислоты, в которой нуждается клетка, и так далее.

Постараемся описать то, как природа решила типогенетическую головоломку «Какая цепочка ДНК может заведовать собственным воспроизводством?» Безусловно, не каждая цепочка ДНК является авто-репом. Ключ к загадке — в том, что любая цепочка, желающая заняться самовоспроизводством, должна содержать инструкции для сборки именно тех энзимов, которые смогут выполнить эту задачу. Ожидать, что отдельная цепочка ДНК сможет оказаться авторепом, нереально, поскольку для «вытаскивания» этих потенциальных белков из ДНК необходимы не только рибосомы, но и полимеразы РНК, строящие мРНК, которые затем переносятся к рибосомам. Таким образом, мы должны предположить существование «минимальной системы автономии», достаточно сильной, чтобы обеспечить возможность транскрипции и трансляции. Эта минимальная система будет состоять из (1) нескольких белков, таких, например, как полимераза РНК, позволяющая сделать мРНК на основе ДНК, и (2) нескольких рибосом.

Выражения «достаточно сильная система автономии» и «достаточно мощная формальная система» звучат очень похоже и это сходство далеко не случайно. Одно из этих выражений содержит условие для возможного авторепа, а другое — условие для возможного авто-рефа. На самом деле, мы видим здесь одно и то же явление, только в разных одеждах — вскоре мы объясним это подробнее. Но прежде давайте закончим описание того, как может самовоспроизвестись цепочка ДНК.

ДНК должна содержать код тех белков, которые будут ее воспроизводить. Существует очень эффективный и изящный способ воспроизвести двойную спираль ДНК, состоящую из двух комплементарных цепочек. Это происходит в два шага:

(1) отделить цепочки друг от друга,

(2) присоединить новую цепочку к каждой из получившихся отдельных цепочек.

Этот процесс создает две новые двойные цепочки ДНК, каждая из которых идентична первоначальной. Если мы будем пользоваться этой идеей в нашем решении, нам потребуется набор белков, закодированных в самой ДНК, которые смогут выполнить эти два шага.

Считается, что в клетке эти шаги осуществляются одновременно, это происходит координированно и требует присутствия трех основных энзимов эндонуклеазы ДНК, полимеразы ДНК и лигазы ДНК. Первый — «открывающий энзим», разделяющий цепочки, словно две части застежки «молнии». Потом вступают в действие два остальных энзима. Полимераза ДНК — это энзим копирования и передвижения; он медленно передвигается вдоль коротких цепочек ДНК, воспроизводя их дополнения методом, похожим на типогенетический. Для этого он пользуется материалом-сырцом — а именно, нуклеотидами, плавающими вокруг в цитоплазме. Поскольку это действие происходит «скачкообразно» (каждый скачок — это сначала растаскивание цепочек и затем их воспроизводство), возникают короткие «паузы», заполняемые при помощи лигазы ДНК. Этот процесс повторяется снова и снова. Этот отлаженный трехэнзимный аппарат передвигается аккуратно по всей длине молекулы ДНК, пока ее цепочки не окажутся полностью разделенными и скопированными. В результате получаются две копии первоначальной ДНК.

 Обратите внимание, что для энзимного воздействия на цепочку ДНК совершенно неважно, что информация для этого процесса хранится в самой ДНК; энзимы просто выполняют свои задачи по передвижению символов, точно так же, как правила вывода в системе MIU. Им совершенно все равно то, что в какой-то момент они копируют те самые гены, в которых закодированы они сами. ДНК является для них эталоном, лишенным собственного значения и интереса.

Это можно сравнить с тем, как Квайново высказывание дает инструкции по самовоспроизводству. Там у нас тоже было что-то вроде «двойной цепочки» — две копии одной и той же информации, одна из которых действовала как команда, а другая — как эталон. Процесс в ДНК отдаленно напоминает эту ситуацию, поскольку три энзима (эндонуклеаза ДНК, полимераза ДНК и лигаза ДНК) закодированы только в одной из цепочек, которая, таким образом, действует как программа, в то время как другая цепочка — всего лишь эталон. Это сравнение приблизительно, поскольку в процессе копирования обе цепочки используются как эталоны. Все же эта аналогия очень интересна. Существует биохимическая аналогия дихотомии «использование — упоминание»: когда ДНК используется как последовательность символов для копирования, она похожа на упоминание о типографских символах; когда ДНК диктует, какие команды должны быть выполнены, она похожа на использование типографских символов.

Цепочка ДНК имеет несколько уровней значения; это зависит от того, насколько велик кусок цепочки, который вы рассматриваете, и насколько мощен ваш «аппарат для расшифровки». На низшем уровне каждая цепочка ДНК содержит код эквивалентной цепочки РНК, и необходимой расшифровкой является транскрипция. Разделив ДНК на триплеты и пользуясь «генетической расшифровкой», можно прочитать ДНК как последовательность аминокислот. Это — трансляция (уровнем выше, чем транскрипция). На следующем уровне иерархии ДНК читается как набор белков. Физическое извлечение белков из генов называется «экспрессией генов». В настоящий момент это является наиболее высоким из доступных нам уровней значения ДНК.

Однако в ДНК безусловно имеются и более высокие уровни значения, которые различить труднее. Например, у нас есть все основания полагать, что в ДНК человеческого существа закодированы такие его характеристики, как форма носа, музыкальные способности, быстрота рефлексов и так далее. Возможно ли, в принципе, научиться считывать такую информацию прямо с цепочек ДНК, минуя физический процесс эпигенезиса — извлечения фенотипа из генотипа? Теоретически такое возможно, так как можно вообразить мощнейшую компьютерную программу, симулирующую весь процесс, вплоть до отдельных клеток, отдельных белков, каждой мельчайшей детали, участвующей в воспроизводстве ДНК, клеток… и так далее, до конца лестницы. Результатом работы такой программы псевдо-эпигенезиса было бы описание фенотипа на высшем уровне.

Существует еще одна (очень маловероятная) возможность может быть, нам удастся научиться читать фенотип с генотипа, минуя изоморфную симуляцию физического процесса эпигенезиса и пользуясь вместо этого более простым расшифровывающим механизмом. Это можно назвать «сокращенным псевдо-эпигенезисом». К сожалению, сокращенный или нет, псевдо-эпигенезис пока нам недоступен — за одним замечательным исключением. Тщательный анализ вида Felis Catus показал, что на самом деле возможно прочитать фенотип прямо с генотипа. Читатель, может быть, лучше поймет этот замечательный факт, рассмотрев следующий типичный кусок ДНК Felis Catus:

… САТСАТСАТСАТСАТСАТСАТСАТСАТСАТ …

Ниже показаны уровни считываемое ДНК вместе с названиями разных уровней расшифровки. ДНК может быть прочитана как последовательность:

(1) оснований (нуклеотидов) .... транскрипция

(2) аминокислот .... трансляция

(3) белков (первичная структура) .... генное выражение

(4) белков (третичная структура) .... генное выражение

(5) скоплений белков .... более высокий уровень генного выражения

(6) ???

.

.    .... неизвестные уровни, значения ДНК

(N-1) ???

(N) физические, умственные и психологические черты .... псевдо-эпигенез

После этой подготовки мы можем приступить к рассмотрению детального сравнения между «Центральной Догмой Молекулярной Биологии» Ф. Крика (ДОГМА I) и «Центральной Догмой Математической Логики» (ДОГМА II), на которой основана Теорема Гёделя. Отображение с одной Догмы на другую показано на рис. 99 и на следующей схеме, вместе они составляют Централизированную Догму.

Обратите внимание, что А и Т (арифметизация и трансляция) образуют пары, также как G и С (Godel и Crick) Математической логике достается сторона пуринов, а молекулярной биологии — пиримидинов.

ДОГМА I                                       ДОГМА II

(Молекулярная биология)           (Математическая логика)

цепочки ДНК <==> строчки ТТЧ

цепочки мРНК <==> утверждения Ч

белки <==> утверждения мета-ТТЧ

белки, воздействующие на белки <==> утверждения об утверждениях мета-ТТЧ

белки, воздействующие на белки, воздействующие на белки <==> утверждения об утверждениях об утверждениях мета-ТТЧ

транскрипция (ДНК=>РНК) <==> интерпретация (ТТЧ => Ч)

трансляция (РНК=>белки) <==> арифмоквайнирование

Крик <==> Гёдель 

Генетический Код (произвольное соглашение) <==> Гёделев Код (произвольное соглашение)

кодон (триплет оснований) <==> кодон (триплет чисел)

аминокислота <==> символ ТТЧ, процитированный в мета-ТТЧ

авторепродукция <==> автореференция

клеточная система автономии, достаточно мощная, чтобы позволить авторепродукцию <==> арифметическая формальная система, достаточно мощная, чтобы позволить автореференцию

Рис. 99. Централизованная Догма. Здесь проводится аналогия между двумя важнейшими Спутанными Иерархиями, одна из которых лежит в области молекулярной биологии, а другая в области математической логики.

Для полноты картины я решил отобразить мою схему Геделевой нумерации на Генетический Код как можно точнее:

(нечетное) 1 <==> А (пурин)

(четное) 2 <==> С (пиримидин)

(нечетное) 3 <==> G (пурин)

(четное) 6 <==> U (пиримидин)

Каждая из двадцати аминокислот в точности соответствует одному из двадцати символов ТТЧ. Таким образом, наконец становится ясно, что я имел в виду, выдумывая строгий вариант ТТЧ — я хотел чтобы в нем было в точности двадцать символов! Геделев Код показан на рис. 100, сравните его с Генетическим Кодом. (рис. 94)

Есть нечто почти мистическое в глубоком структурном сходстве между двумя эзотерическими и тем не менее фундаментальными открытиями в таких разных областях знания.

Централизованная Догма, разумеется, ни в коем случае не является строгим доказательством идентичности этих двух теорий, но она ясно указывает на глубокое родство между ними, родство заслуживающее более глубокого исследования.

Рис. 100. Гёделев Код. Согласно этой схеме Гёделевой нумерации, каждый символ ТТЧ получает один или более кодонов. Маленькие овалы показывают, как эта таблица включает Геделеву нумерацию, приведенную ранее в главе IX.

Одним из наиболее интересных моментов сходства между двумя сторонами нашей схемы является то, что на высшем уровне обеих возникают петли произвольной степени сложности. Слева это белки действующие на белки, действующие на белки — и так далее до бесконечности. Справа это высказывания о высказываниях, о высказываниях Мета ТТЧ — и так далее до бесконечности. Это напоминает гетерархии, которые мы обсуждали в главе V, где достаточно сложный фундамент позволяет возникать Странным Петлям высшего уровня полностью изолированным от нижних уровней. Мы рассмотрим эту идею более подробно в главе XX.

Читатель может спросить: «Чему же на схеме Централизованной Догмы соответствует сама Теорема Геделя о неполноте?» Подумайте над этим прежде чем читать дальше!

Оказывается, что схема Централизованной Догмы весьма схожа со схемой, приведенной в главе IV, где дано отображение Теоремы Геделя на понятия Акростиконтрапунктуса. Таким образом, мы можем провести параллели между тремя системами:

(1) формальные системы и строчки

(2) клетки и цепочки ДНК

(3) патефоны и пластинки

Следующая схема показывает подробное сравнение между системами 2 и 3.

«Акростиконтрапунктус»   Молекулярная биология

патефон <==>  клетка

«Совершенный» патефон <==> «Совершенная» клетка

пластинка, воспроизводимая на данном патефоне <==> цепочка ДНК, воспроизводимая данной клеткой

пластинка, невоспроизводимая на этом патефоне <==> цепочка ДНК, невоспроизводимая этой клеткой

процесс превращения звуковых дорожек в звуки <==> процесс транскрипции ДНК в мРНК

звуки, производимые патефоном <==> цепочки мессенджера РНК

перевод звуков в вибрации патефона <==> перевод мРНК в белки

отражение внешних звуков в вибрациях патефона <==> Генетический Код (отображение с триплетов мРНК на аминокислоты)

поломка патефона <==> разрушение клетки

Название песни, специально записанной для Патефона X: «Меня нельзя воспроизвести на патефоне X» <==> интерпретация на высшем уровне  цепочки ДНК, специально изготовленной для клетки X: «Меня нельзя воспроизвести клеткой X».

«Несовершенный» патефон <==> клетка, для которой существует хотя бы одна невоспроизводимая в ней цепочка ДНК.

«Теорема Гоголя»: «для любого данного патефона всегда существует невоспроизводимая запись» <==> Теорема Иммунитета: «Для любой данной клетки существует невоспроизводимая цепочка ДНК»

Аналогом Теоремы Гёделя является отдельный факт, возможно, малополезный для молекулярных биологов (для которых он самоочевиден):

Всегда возможно построить такую цепочку ДНК, которая, будучи введена в клетку, произведет, после транскрипции, такие белки, которые разрушат клетку (или ДНК); результатом этого будет не-воспроизводство данной ДНК.

Если рассмотреть это в свете эволюции, то можно представить себе следующий странный образ: вид вирусов, незаметно вторгающихся в клетку и затем обеспечивающих производство белков, которые разрушат сами эти вирусы!

Это нечто вроде самоубийства на молекулярном уровне, так сказать, в духе Эпименида. Разумеется, с точки зрения выживания вида это совсем не полезно. Однако, это передает если не букву, то дух процесса самозащиты, который развили как клетки, так и их непрошенные гости.

Давайте рассмотрим любимицу биологов, клетку бактерии Escherichia coli (не являющуюся родственницей Эшера!) и одного из ее непрошенных гостей странного и жуткого Т4 фага (рис. 101) (Кстати, слова «фаг» и «вирус» — синонимы и означают «атакующий бактериальную клетку») Это странное создание напоминает гибрид лунохода и комара — но оно гораздо страшнее последнего. У него есть «голова», в которой хранятся все его «знания» — то есть, его ДНК — шесть «ног», которыми он прикрепляется к стенке клетки, которую он выбрал для вторжения, «жало» (более точно называющееся его «хвостом») — чем не комар! Основная разница заключается в том, что, в отличие от комара который использует жало для высасывания крови, фаг Т4 вводит через него свою наследственную субстанцию в клетку, против желания жертвы. Таким образом, фаг совершает изнасилование в миниатюрном размере.

Рис. 101. Бактериальный вирус Т4 представляет из себя набор белковых компонентов. (а) «Голова» — это белковая мембрана в форме икосаэдра с тридцатью сторонами; внутри находится ДНК. «Шея» прикрепляет ее к «хвосту», состоящему из сжимающейся оболочки, полой внутри, и опирающейся на пластинку с шипами. К пластинке прикреплены шесть волокон. Эти шипы и волокна служат вирусу для того, чтобы прикрепляться к стенке клетки бактерии. (б) Оболочка сжимается, протаскивая «хвост» сквозь стенку, и вирус попадает в клетку. (Hanawault & Haynes. «The Chemical Basis of Life», стр. 230).

Что же происходит когда ДНК вируса входит в клетку? Вирус «надеется», говоря антропоморфно, что клетка будет обращаться с его ДНК точно так же, как и со своей собственной. Это означает, что она будет транскрибирована и переведена и, таким образом сможет начать синтез своих собственных белков, чуждых клетке-хозяину — белков, которые тут же займутся своим делом. Это не что иное, как секретная переброска «закодированных» (на Генетическом Коде) вражеских белков в клетку, и затем их «расшифровка» (производство). Это немного напоминает историю Троянского коня, согласно которой сотни солдат тайком проникли в Трою, спрятанные в животе невинно выглядящего деревянного коня. Оказавшись в городе, они выскочили наружу и захватили Трою.

Чужие белки, оказавшись «расшифрованными» (синтезированными) из переносящей их ДНК, начинают действовать. Последовательность событий, вызванных действием Т4, была хорошо изучена; эти события развиваются примерно так (см. также рис. 102 и рис. 103):

Время Происходящее действие

0 мин. Введение виральной ДНК.

1 мин. Порча хозяйской ДНК. Прекращение производства клеточных белков и начало производства чужих (Т4) белков. Одними из первых производятся белки, управляющие воспроизводством чужой (Т4) ДНК.

5 мин. Начинается производство ДНК вируса.

8 мин. Начало производства структурных белков, которые сформируют «тела» новых фагов.

13 мин. Произведена первая полная копия агрессора (Т4).

25 мин. Лизосома (тип белка) атакует стенку клетки-хозяина, бактерия лопается, освобождая «двухсотняшек».

Таким образом, через каких-нибудь двадцать четыре или двадцать пять минут после того, как фаг Т4 вторгается в клетку Е. coli, эта клетка оказывается полностью подчиненной и разрушается. Оттуда вырываются около двух сотен точных копий вируса-агрессора — «двухсотняшки» — готовые атаковать новые клетки и разрушать их так же, как и первую.

Хотя с точки зрения бактерии подобные вещи представляют собой серьезную опасность, мы, с нашей точки зрения, можем интерпретировать это как игру между двумя игроками: агрессор, или игрок «Т» (названный по имени класса фагов Т, куда входят Т2. Т4 и другие), и игрок «К» (клетка). Игрок Т старается проникнуть в клетку и овладеть ею изнутри с целью самовоспроизводства. Игрок К старается защитить себя и уничтожить агрессора. Описанная таким образом, молекулярная игра Т-К напоминает макроскопическую игру Т-К, описанную в предыдущем Диалоге. (Читатель, разумеется, без труда поймет, какой игрок — Т или К — соответствует Черепахе Тортилле, а какой — Крабу.)

Рис. 102. Вирусная инфекция начинается, когда ДНК вируса попадает в бактерию ДНК, бактерии при этом портится, зато ДНК вируса начинает размножаться. Синтез составляющих вирус белков и поглощение их вирусом происходит до тех пор, пока клетка не лопается, освобождая частицы (Hanawault & Haynes «The Chemical Basis of Life», cтp. 230)

Рис. 103. В морфогенетическом пути вируса Т4 есть три основных ветви, ведущие к независимому образованию голов, хвостов и волокон хвоста, которые затем соединяются и формируют полные копии вируса (Hanawault & Hayness «The Chemical Basis of Life», cтp. 237)

Эта «игра» делает очевидным тот факт, что узнавание — одна из центральных тем клеточной и субклеточной биологии. Каким образом молекулы (или структуры высшего уровня) узнают друг друга? Чтобы энзимы работали хорошо, они должны быть способны присоединяться к определенным местам соответствующих субстратов; бактерия должна уметь отличать собственную ДНК от ДНК фагов; клетки должны узнавать друг друга и взаимодействовать определенным образом. Эта проблема узнавания может напомнить вам об основном вопросе формальных систем: как можно узнать, является ли данная строчка теоремой? Есть ли для этого разрешающая процедура? Подобные вопросы принадлежат не только области математической логики; они важны также в теории вычислительной техники и, как мы видели, в молекулярной биологии.

Техника ярлыков, описанная в Диалоге, является, на самом деле, одним из трюков, используемых Е. coli, чтобы перехитрить агрессоров-фагов. Идея заключается в том, что цепочка ДНК может быть химически отмечена путем присоединения к нескольким нуклеотидам маленькой молекулы — метила. Эта операция «наклейки ярлыка» не меняет основных биологических свойств ДНК, другими словами, метилированная (отмеченная ярлыком) ДНК может быть транскрибирована точно так же, как и неметилированная (не отмеченная ярлыком) кислота, таким образом, она может управлять синтезом тех же белков. Однако, если клетка-хозяйка обладает специальным механизмом, проверяющим, отмечена ли ДНК, то ярлык становится крайне важен. В частности, клетка может располагать системой энзимов, распознающих и уничтожающих неотмеченные цепочки ДНК. Найдя такую цепочку, эти энзимы безжалостно рубят ее на куски. В таком случае, увы всем непрошенным гостям!

Метиловые ярлыки на нуклеотидах можно сравнить со специальным типографским шрифтом. Используя эту метафору, можно сказать, что клетка E coli ищет цепочки ДНК, напечатанные этим «специальным шрифтом» и разрушает любую цепочку ДНК напечатанную иным «шрифтом». Контрстратегией фагов, разумеется, было бы научиться снабжать свою ДНК такими же ярлыками и, таким образом, заставить клетки в которые они вторгаются, воспроизвести эту ДНК.

Эта битва Т-К может продолжаться до произвольных уровней сложности, но мы не будем рассматривать ее дальше. Главное здесь в том, что это битва между хозяином, пытающимся не впустить ни одной чужой ДНК, и фагом, который старается ввести свою ДНК в какую-нибудь клетку, которая транскрибировала бы ее в мРНК (после чего ее воспроизводство было бы гарантировано). Можно сказать, что ДНК, которой удается таким образом воспроизвести себя, интерпретируется на высшем уровне так: «Меня можно воспроизвести в клетках типа X» (В отличие от упомянутого ранее бесполезного с точки зрения эволюции фага, в котором закодированы белки, его же разрушающие, подобный фаг интерпретируется «Меня нельзя воспроизвести в клетках типа X»

Эти противоположные типы автореференции в молекулярной биологии имеют свою параллель в математической логике. Мы уже обсуждали математическую аналогию фагов-самоубийц — я имею в виду строчки Геделева типа, утверждающие собственную невозможность внутри определенных формальных систем. Однако, возможна и параллель с настоящим фагом, утверждающим собственную воспроизводимость в определенной клетке — суждение, утверждающее собственную воспроизводимость в определенной формальной системе. Суждения подобного типа называются суждениями Хенкина, по имени математического логика Леона Хенкина. Они строятся примерно так же, как Геделевы суждения — единственная разница заключается в отсутствии отрицания Мы начинаем, разумеется, с «дяди»:

Eа:Eа' <ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{а,а'}Λ ARITHMOQUINE{а'',а'}

и затем проделываем стандартный трюк. Предположим, что Геделев номер приведенного выше «дяди» — h. Арифмоквайнируя дядю, мы получаем суждение Хенкина:

Eа:Eа' <ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{а,а'}Λ

ARITHMOQUINE{SSS…SSS/a'',a'}>

.                      |____|

S повторяется h раз

(Кстати, видите ли вы, в чем это суждение отличается от —G?) Я привожу его целиком, чтобы показать, что оно не дает «рецепта» собственной деривации; оно просто утверждает, что такая деривация существует. Вы можете спросить, верно ли это утверждение? Существуют ли деривации суждений Хенкина? Действительно ли эти суждения являются теоремами? Полезно вспомнить, что не обязательно верить политику, провозглашающему: «Я честный», — это может оказаться как правдой, так и враньем. Достойны ли суждения Хенкина большего доверия, чем политики?

Оказывается, что суждения Хенкина всегда истинны. Хотя пока нам не совсем понятно, почему это так, придется нам здесь принять этот интересный факт на веру.

Я упомянул о том, что суждения Хенкина ничего не говорят о собственной деривации; они лишь утверждают, что такая деривация существует. Возможно придумать вариацию на тему суждений Хенкина — а именно, суждения, явно описывающие собственную деривацию. Интерпретацией на высшем уровне подобного суждения было бы не «существует некая последовательность строчек, являющаяся моей деривацией», а «описанная ниже последовательность строчек … является моей деривацией». Давайте назовем первый тип суждений неявным суждением Хенкина. Новое суждение, соответственно, будет явным суждением Хенкина, поскольку в нем содержится явное описание собственной деривации. Заметьте, что в отличие от своих неявных собратьев, явные суждения Хенкина не обязательно должны являться теоремами. На самом деле, очень легко написать строчку, которая утверждает, что ее деривация состоит из единственной строчки 0=0, — ложное утверждение, поскольку 0=0 не является деривацией чего бы то ни было. Однако возможно также написать явное суждение Хенкина, являющееся теоремой, — то есть суждение, в действительности дающее рецепт собственной деривации.

Я объяснил здесь разницу между явными и неявными суждениями Хенкина потому, что она соответствует важному различию между типами вирусов. Существует некие вирусы, например, такие, как вирусы табачной мозаики, которые называются самособирающимися, и такие вирусы, как наши знакомцы Т-фаги, не являющиеся самособирающимися. Что означает это различие? Оно аналогично различию между явными и неявными суждениями Хенкина.

В ДНК самособирающегося вируса закодированы только части нового вируса, но там нет кода энзимов. Как только эти части оказываются собраны, они присоединяются одна к другой без помощи энзимов. Этот процесс зависит от химического «влечения» частей друг к другу, когда они плавают в густом «химическом бульоне» клетки. Не только вирусы, но также некоторые органеллы — например, рибосомы — способны на самосборку. Иногда для этого бывают нужны энзимы — но в таких случаях они беззастенчиво набираются из клетки-хозяйки и используются для сборки «агрессора». Говоря о самосборке, я имею в виду весь этот процесс.

С другой стороны, в ДНК более сложных вирусов, таких как четные Т- фаги, закодированы не только части, но и различные энзимы, играющие важную роль в сборке этих частей в одно целое. Поскольку процесс сборки здесь не спонтанный, а требующий определенной «техники», подобные вирусы не считаются самособирающимися. Таким образом, основная разница между самособирающимися и не-самособирающимися единицами заключается в том, что первым удается воспроизвестись не сообщая клетке никаких сведений о собственной сборке, в то время как последние должны давать инструкции о том, как их собирать.

Теперь читателю, вероятно, уже ясна параллель с явными и неявными суждениями Хенкина. Неявные суждения Хенкина самодоказательны, но ничего об этих доказательствах не говорят — они аналогичны самособирающимся вирусам. Явные суждения Хенкина управляют построением своего собственного доказательства — они аналогичны более сложным вирусам, дающим клетке-хозяйке команды по построению собственных копий.

Понятие самособирающихся биологических структур такой сложности как вирусы, поднимает вопрос о возможности создания сложных самособирающихся машин. Представьте себе набор частей, которые, если поместить их в благоприятное окружение, спонтанно группируются и собираются в сложную машину. Это звучит неправдоподобно, но, на самом деле, это весьма аккуратное описание процесса самовоспроизводства вируса табачной мозаики путем самосборки. Информация для сборки организма не сконцентрирована в какой-то одной его части, а распространена по всем частям.

Это идея может завести нас довольно далеко, как было показано в Диалоге «Благочестивые размышления курильщика». Мы видели, как Краб использовал идею о том что информация для самосборки может быть распространена по всем частям аппарата, вместо того, чтобы быть сконцентрированной в какой-то одной его части. Он надеялся, что это предохранит его новый патефон от Черепашьих атак. К несчастью, так же, как и в случае самых сложных схем аксиом, как только система построена и «упакована в ящик», эта определенность делает ее уязвимой для достаточно хитрого «Геделизатора»— это и было темой грустного рассказа Краба. Несмотря на кажущуюся бессмысленность, фантастический сценарий этого Диалога не так далек от реальности в странном, сюрреалистическом мире клетки.

 Допустим что посредством самосборки строятся организмы на уровне клеток и некоторых вирусов — но как насчет сложнейших макроскопических структур таких, как тела слона, паука или венериной мухоловки? Как встроены в мозг птицы инстинкт нахождения дома или в мозг собаки — охотничий инстинкт? Каким образом, всего лишь диктуя, какие белки должны производиться в клетке, ДНК осуществляет такой удивительно точный контроль над структурой и функциями макроскопических живых организмов? Здесь возникают две вопроса. Один касается клеточных различий каким образом разные клетки, имеющие абсолютно одинаковую ДНК, выполняют различные роли — скажем клеток почек костного мозга или головного мозга? Другой вопрос касается морфогенезиса («рождения формы») каким образом межклеточное сообщение на местном уровне ответственно за образование крупномасштабных, глобальных структур — таких как части тела, форма лица, разные области мозга? Хотя в  настоящий момент наше понимание клеточных различий и морфогенезиса ограниченно, мы предполагаем, что этот метод заключается в весьма тонком и точно отлаженном механизме прямой и обратной связи между клетками, говорящем им, когда они должны «включать» и «выключать» производство различных белков.

Обратная связь происходит, когда в клетке наблюдается избыток или недостаток некоего необходимого материала. Тогда клетка должна каким-то образом отрегулировать «конвейер», на котором происходит сборка данной субстанции. Прямая связь также касается регулировки «конвейера», но при этом регулируется не количество конечного продукта, а количество его предшественника на конвейере. Существуют два основных механизма для достижения негативной прямой и обратной связи. Один способ заключается в том, чтобы «засорить» активные центры соответствующих энзимов, таким образом предотвращая их действие. Это называется торможением. Другой способ — прекращение самого производства соответствующих энзимов. Это называется подавлением. Торможение осуществить несложно: для этого надо лишь заблокировать активный центр первого энзима цепи и весь процесс синтеза замирает.

Подавление — более сложный процесс. Каким образом клетка может остановить производство гена? Ответ заключается в том, что клетка предотвращает, в первую очередь, его транскрипцию. Это означает, что она должна остановить работу полимеразы РНК. Это может быть сделано путем возведения преграды на ее пути вдоль ДНК, именно перед тем геном, транскрипцию которого клетка хочет предотвратить. Такие препятствия существуют и называются репрессорами. Это белки, прикрепляющиеся к специальным местам «для препятствий» на ДНК, называющимся операторами. Таким образом, оператор — это контрольное место для гена (или генов), которые следуют сразу за ним; эти гены называются его оперонами. Поскольку несколько энзимов часто работают над длинными химическими превращениями вместе, они бывают закодированы последовательно; поэтому опероны часто содержат не один, а несколько генов. Результатом такого последовательного подавления оперона является то, что целой серии генов не удается протранскрибироваться — а это, в свою очередь, означает, что целый набор соответствующих энзимов не будет синтезирован.

Как насчет положительных прямой и обратной связей? Здесь снова имеются две возможности: (1) «прочистить» заблокированные энзимы или (2) прекратить подавление соответствующего оперона. (Заметьте, насколько природа любит двойное отрицание! Для этого, возможно, существует какая-то серьезная причина.) Механизм, подавляющий подавление, действует при помощи класса молекул, называемых индукторами. Роль индуктора проста: он соединяется с белком репрессора прежде, чем тот успевает присоединиться к оператору молекулы ДНК. Получающийся комплекс «индуктор-репрессор» не способен присоединиться к оператору, и, таким образом, соответствующий оперон может быть транскрибирован в мРНК и затем переведен в белок. Часто индуктором является конечный продукт или его предшественник.

Необходимо проводить различие между простыми типами обратной связи, возникающими в процессе торможения и подавления, и петлями, возникающими между различными уровнями информации, показанными на схеме Централизованной Догмы. Оба эти явления, в каком-то смысле, являются примерами обратной связи, но последнее намного глубже первого. Когда некая аминокислота, скажем, триптофан или изолеицин, действует как обратная связь (в форме индуктора) и присоединяется к своему репрессору, чтобы воспроизвестись в большем количестве, она не объясняет, как именно ее производить, а лишь приказывает энзимам увеличить ее производство. Это можно сравнить со звуками радио, которые, достигнув уха слушателя, могут вызвать у того желание увеличить или уменьшить громкость. Совсем другое дело — ситуация, в которой сам диктор велит слушателям изменить громкость, или настроиться на другую волну — или даже объясняет, как построить другое радио! Такая ситуация гораздо более похожа на коммуникацию между информационными уровнями, поскольку здесь информация, заключенная в радиосигнале, «расшифровывается» и переводится в мысленные структуры. Радиосигнал состоит из компонентов, чье символическое значение важно — это похоже более на пример использования, чем упоминания. С другой стороны, когда сигнал слишком громок, символы теряют свое значение и воспринимаются просто как громкие звуки — пример упоминания, скорее чем использования. Этот случай более походит на петли обратной связи, при помощи которых белки регулируют собственное воспроизводство.

Существует предположение, что разница между двумя соседними клетками имеющими совершенно одинаковый генотип, но разные функции, заключается в том, что, благодаря подавлению различных сегментов их геномов, у них оказываются различные наборы активных белков. Эта гипотеза объясняет феноменальные различия между клетками в разных органах человеческого тела.

Процесс, при помощи которого одна первоначальная клетка воспроизводится снова и снова, порождая множество различных клеток со специальными функциями, можно сравнить с распространением некоего письма по цепочке, где каждый человек должен скопировать первоначальное послание, при этом добавив к нему нечто свое. Через некоторое время письма будут очень отличаться друг от друга.

Еще одним примером идеи дифференциации является простая компьютерная аналогия различающего авто-репа. Представьте себе коротенькую программу контролирующуюся при помощи переключателя с двумя позициями, А и В. Внутренний параметр программы — натуральное число N. Программа может работать в двух режимах А или В. Когда она работает в режиме А, она самовоспроизводится в соседнем районе компьютерной памяти — но при этом новый, «дочерний» параметр N возрастает на единицу. Работая в режиме В, программа не самовоспроизводится — вместо этого она вычисляет величину выражения:

(-1)/(2N+1)

и добавляет результат к накопленной общей сумме.

Предположим, что в начале в памяти имелась одна копия программы, N = 0, и программа находилась в режиме А. Результатом явится копия программы в соседнем районе памяти, N будет равняться 1. Повторив процесс, мы получим новую копию в соседнем районе памяти, с N = 2. И так далее, и тому подобное… Память при этом загружается большой программой. Когда память заполняется, процесс останавливается. Теперь мы можем считать, что память занята одной большой программой, составленной из множества похожих, но дифференцированных модулей — «клеток».

Теперь представьте, что мы переключаем эту большую программу на режим В. Что при этом получается? Первая «клетка» дает 1/2. Вторая «клетка» дает -1/3 и добавляет это к предыдущему результату. Третья «клетка» добавляет к общей сумме +1/5 …

В результате весь «организм» — большая программа — вычисляет сумму ряда:

1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 +…

Число членов этого ряда равно количеству «клеток», умещающихся в памяти. И поскольку этот ряд сходится (хотя и медленно), стремясь к π/4, его можно назвать «фенотипом», чья функция — вычисление величины знаменитой математической постоянной.

Я надеюсь что описание таких процессов как «наклеивание ярлыков», самосборка, дифференциация, морфогенез, а также транскрипция и трансляция, помогли читателю глубже понять необычайно сложную систему клетки — систему обработки информации, обладающую некоторыми удивительными чертами. На схеме Централизованной Догмы мы видели, что хотя мы и можем попытаться провести четкую границу между программой и данными, это различие в каком-то смысле произвольно. Более того, переплетены между собой не только программа и данные — в этом переплетении участвуют также интерпретатор, физический процессор и даже язык программы. Таким образом, хотя в какой-то степени и возможно провести границы между уровнями и разделить их, важно также иметь в виду перекрещивание и смешение уровней. Примером этого является тот удивительный факт, что в биологических системах все подсистемы, необходимые для самовоспроизводства (язык, программа, данные, интерпретатор и процессор) так тесно сотрудничают, что все они воспроизводятся одновременно! Это показывает, насколько биологический авто-реп глубже всего, что пока удалось создать в этой области людям. Например, программа авто-репа, изложенная в начале этой главы, опирается на существование трех внешних факторов: язык, интерпретатор и процессор; ни один из этих факторов программой не воспроизводится.

Постараемся подвести итоги сказанному и посмотрим, как можно классифицировать различные подсистемы клетки в компьютерных терминах. Для начала возьмем ДНК. Поскольку в ней содержится вся информация для построения белков — активных действующих лиц клетки — ДНК можно сравнить с программой, написанной на языке высшего уровня, которая затем переводится (или интерпретируется) на «машинный язык» клетки (белки). С другой стороны, сама ДНК — пассивная молекула, которая претерпевает различные изменения под действием энзимов. В этом смысле ДНК напоминает набор вводных данных. Кроме того, ДНК содержит «эталоны», по которым строятся «карточки» тРНК, — это означает, что в ДНК есть также свой собственный язык высшего уровня.

Теперь перейдем к белкам. Это активные молекулы, отвечающие за функционирование клетки; следовательно, мы можем думать о них, как о программах на «машинном языке» клетки (сама клетка соответствует в нашей аналогии процессору). С другой стороны, поскольку белки относятся к аппаратуре, а большинство программ — к программному обеспечению, может быть, точнее было бы назвать белки процессорами. Кроме того, белки часто воздействуют друг на друга, что уподобляет их вводным данным. Белки можно также назвать интерпретаторами, если считать ДНК набором программ на языке высшего уровня; в этом случае, энзимы просто выполняли бы программы, написанные на коде ДНК — иными словами, белки работали бы как интерпретаторы.

Далее перейдем к рибосомам и молекулам тРНК. Они способствуют переводу из ДНК в белки, что можно сравнить с переводом программы, написанной на языке высшего уровня, на машинный язык. Таким образом, рибосомы действуют как интерпретаторы, а молекулы тРНК определяют язык высшего уровня. Существует, однако, другая точка зрения на трансляцию, утверждающая, что рибосомы — процессоры, в то время как тРНК — интерпретаторы.

Мы затронули анализ взаимоотношений между этими биомолекулами только поверхностно. При этом мы увидели, что природе нравится смешивать уровни, которые, с нашей точки зрения, кажутся весьма различными. В действительности, в теории вычислительной техники уже сейчас существует тенденция смешения этих, кажущихся такими разными, уровней системы обработки информации. Особенно это верно в области исследований по Искусственному Интеллекту, обычно идущих во главе разработки компьютерных языков.

После знакомства с так сложно переплетенными подсистемами аппаратуры и программного обеспечения возникает естественный и важный вопрос: «Каким образом все это вообще началось?» Это на самом деле удивительно. Приходится предположить нечто вроде процесса поднятия самого себя за волосы, подобного тому процессу, который используется при создании новых компьютерных языков — однако подобный подъем от уровня молекул до уровня целой клетки почти невозможно вообразить. Существует несколько теорий о происхождении жизни, но ни одна из них не смогла пока дать ответа на главнейший из главных вопросов: «Как возник Генетический Код и механизмы для его трансляции — рибосомы и тРНК?» Пока нам придется вместо ответа удовольствоваться чувством удивления и восхищения, может быть, эти чувства более удовлетворительны, чем сам ответ — по крайней мере, на время.

Рис. 104. М.К. Эшер. «Кастровалва» (литография, 1930).

Чудный весенний денек, воскресенье. Черепаха и Ахилл отправились погулять за город, они решили взобраться на гору, на вершине которой, как они слышали, есть замечательная чайная, где к чаю подаются отличные пирожные.

Ахилл: Маг, о маг! Этот краб —

Черепаха: Этот краб??

Ахилл: Я хочу сказать, наш общий знакомый, м-р Краб, кажется мне совершенно магическим созданием… Где вы еще найдете такого разумного краба? Он, может быть, раза в два умнее любого из своих собратьев. Даже в три. Или даже —

Черепаха: Боже мой! Как вы возвеличиваете Краба!

Ахилл: Я всего лишь восхищаюсь его —

Черепаха: О, не надо ничего объяснять — я тоже его поклонница. Кстати о поклонниках Краба — говорила ли я вам, какое занятное письмо один из них недавно послал Крабу?

Ахилл: Не помню. От кого было письмо?

Черепаха: На нем была наклеена индийская марка; имя отправителя — м-р Няунамар.

Ахилл: Интересно, почему человек, который никогда не видел Краба, решил послать ему письмо? И откуда он узнал его адрес?

Черепаха: Видимо, посчитал, что Краб — математик. В письме содержатся некие результаты, которые… О! Легок на помине! Вот и сам Краб, ползет вниз по холму!

Краб: Пока! Приятно было с вами поболтать. Что ж, мне пора. Так наелся — в меня уже ни кусочка не влезет! Я сам только что оттуда — отличное местечко! Вы никогда не были в чайной на горе? Как дела, Ахилл? О, да это же Ахилл! Привет, привет! Не г-жа ли это Черепаха?

Черепаха: Приветствую вас, м-р К Вы собрались сходить в чайную на горе?

Краб: Точно — как вы догадались? Я хочу отведать наполеонов — мое любимое лакомство! Впрочем, я так голоден, что мог бы слопать и лягушку. О, да это же Ахилл! Как дела, Ахилл?

Ахилл: Могло бы быть и хуже.

Краб: Вот и славно! Но умоляю, не давайте мне прерывать вашей ученой беседы. Позвольте мне к вам присоединиться — я постараюсь вам не мешать.

Черепаха: Напротив — я только что собиралась описать то странное письмо, которое вы получили несколько недель тому назад; но думаю, что Ахилл предпочтет получить эти сведения, так сказать, из первых клешней.

Краб: Дело было так. Этот Няунамар, по-видимому, никогда не обучался математике, вместо этого он придумал свои собственные методы для открытия новых математических истин. Некоторые его идеи меня просто поразили — я никогда не видел ничего подобного. Например, он прислал мне карту Индии, которую ему удалось раскрасить, по меньшей мере, в 1729 цветов!

Ахилл: 1729! Вы сказали «1729»?

Краб: Да, а почему вас это удивляет?

Ахилл: Знаете ли, 1729 — очень интересное число.

Краб: И правда, мне это как-то не пришло в голову.

Ахилл: В частности, 1729 — номер того такси, в котором я ехал сегодня утром к Черепахе!

Краб: Как интересно! А не могли бы вы мне сказать заодно и номер того троллейбуса, на котором вы поедете к г-же Черепахе завтра утром?

Ахилл (после минутного раздумья): Я точно не знаю, но мне кажется, что это будет очень большое число.

Черепаха: У Ахилла на эти дела особый нюх.

Краб: Да. Так вот, как я говорил, Няунамар в своем письме также доказал, что каждое четное простое число представляет собой сумму двух нечетных чисел и что не существует положительных целых решений уравнения:

а ⁿ + b ⁿ = с ⁿ, где n = 0

Ахилл: Что? Неужели ему удалось одним махом разрешить все эти классические задачки? Да он, кажется, настоящий гений!

Черепаха: Но постойте, Ахилл — неужели у вас не возникает ни тени сомнения?

Ахилл: Что? Ах да, тени сомнения. Разумеется, возникают. Надеюсь, вы не думаете, что я поверил в то, что Краб действительно получил подобное письмо? Меня не так-то просто обвести вокруг пальца, знаете ли. Наверное, это письмо, г-жа Черепаха, на самом деле получили Вы.

Черепаха: О, нет, Ахилл! То, что письмо было адресовано м-ру Крабу — чистая правда. Я имела в виду, не возникают ли у вас сомнения по поводу содержания самого письма, его странных утверждений?

Ахилл: Почему бы им возникнуть? Гм-м… Разумеется, возникают. Я вообще чрезвычайный скептик, как вы оба отлично знаете. Меня очень трудно в чем-либо убедить, неважно, истина это или ложь.

Черепаха: Отлично сказано, Ахилл. Поистине, вы знаток секретов собственного мозга.

Ахилл: У вас не возникало мысли, друзья, что утверждения Няунамара могут быть ошибочными?

Краб: Честно говоря, Ахилл, поскольку я такой консерватор, я сразу об этом подумал. На самом деле, мне сначала показалось, что это совершеннейшая утка. Но потом я решил, что мало кому удалось бы высосать из пальца такие странные и сложные результаты. В конце концов, все свелось к вопросу: «Что более вероятно: что письмо написано очень талантливым шарлатаном, или что его написал гениальный математик?» И вскоре я вычислил, что более вероятно первое.

Ахилл: Но вы все же проверили его утверждения?

Краб: К чему? Мой вероятностный аргумент намного лучше любого математического доказательства — он вполне убедителен. Однако г-жа Черепаха настояла на строгом доказательстве и мне пришлось проверить все результаты Няунамара. К моему удивлению, они оказались истинными! Я, однако, никогда не пойму, как ему удалось их получить. Наверное, при помощи удивительной и непостижимой восточной магии. Нам этого понять не дано. Это единственное объяснение, которое имеет хоть какой-то смысл.

Черепаха: М-р Краб всегда легко поддавался на удочку мистицизма и всяких странных идей — но мне трудно поверить в подобное объяснение. Я совершенно уверена, что всем вычислениям Няунамара можно найти соответствие в ортодоксальной математике. Я вообще думаю, что, занимаясь математикой, невозможно намного отклониться от традиционного курса.

Ахилл: Это интересное мнение. Думаю, что оно связано с Тезисом Черча-Тюринга и другими подобными темами.

Краб: О, давайте оставим в стороне все эти технические детали — в такой чудесный денек! — и насладимся лучше тишиной леса, пением птиц, и игрой солнечных зайчиков на почках и молодых листочках Хо!

Черепаха: Я — за! Как известно, все поколения Черепах испокон веков наслаждались красотой природы.

Краб: Как и все поколения Крабов.

Ахилл: Вы, часом, не захватили с собой вашу флейту, г-н Краб?

Краб: Разумеется захватил! Я ношу ее с собой везде. Хотите послушать мелодию-другую?

Ахилл: Это было бы прелестно, в таком пасторальном окружении. Вы играете по памяти?

Краб: К сожалению, это выше моих возможностей. Мне нужны ноты. Но это не проблема — у меня с собой есть несколько очень милых пьесок.

(Краб открывает тонкую папку и вытаскивает несколько листов бумаги. На первом листе — следующие символы:

Ea:~Sa=0

Он кладет этот лист на небольшой пюпитр, прикрепленный к флейте, и начинает играть. Мелодия оказывается очень короткой.)

Ахилл: Очень мило. (Заглядывает в ноты и лицо его принимает недоуменное выражение.) Но зачем вы прикрепили к флейте это высказывание теории чисел?

(Краб смотрит на свою флейту, на ноты, затем с удивлением оглядывается.)

Краб: Я вас не понимаю. Какое высказывание теории чисел?

Ахилл: «Ноль не следует ни за каким натуральным числом». Вон там в ваших нотах!

Краб: Это третий постулюд Пеано — у него их пять, и я переложил каждый из них для флейты. Это очень простые и легко запоминающиеся мелодии.

Ахилл: Не понимаю, как можно играть математическое суждение, как если бы оно было нотами!

Краб: Я же вам сказал это вовсе не математическое суждение, а постулюд Пеано! Хотите послушать еще один?

Ахилл: С удовольствием.

(Краб кладет на пюпитр другой лист бумаги, на этот раз Ахилл не спускает с него глаз.)

Я следил за вами, вы смотрели на эту ФОРМУЛУ на листе. Вы уверены, что это музыкальная нотация? Я мог бы поклясться, что это больше напоминает нотацию, которая используется в формализованной теории чисел!

Краб: Как странно. Насколько я могу судить, это ноты, а не математические формулы. Конечно, я весьма далек от математики… Хотите послушать еще какую-нибудь мелодию?

Ахилл: Прошу вас. У вас есть с собой и другие ноты?

Краб: У меня их целая куча.

(Он достает новый лист и кладет его на пюпитр. На листе написаны следующие символы:

~Ea:Eb:(SSa*SSb)=SSSSSSSSSSSSS0

Пока Краб играет, Ахилл не спускает глаз с бумаги.)

Правда, мило?

Ахилл: Да, премиленькая пьеска. Но должен признаться, что ваши ноты все более походят в моих глазах на теорию чисел.

Краб: Ах, боже мой! Это моя обычная музыкальная запись. Я просто не понимаю, где вы видите все эти внемузыкальные понятия в этой простенькой записи! Это же совершенно из другой оперы!

Ахилл: Не согласитесь ли вы сыграть пьесу моего собственного сочинения?

Краб: С превеликим удовольствием. Она у вас с собой?

Ахилл: Нет, но мне кажется, что я смогу запросто что-нибудь сочинить.

Черепаха: Должна вас предупредить, Ахилл, что Краб — строгий судья мелодий, написанных не им; так что не расстраивайтесь, если он не оценит ваших усилий по достоинству.

Ахилл: Благодарю вас за предупреждение, но я все же попробую…

(Он пишет:

((SSS0*SSS0)+(SSSS0*SSSS0))=(SSSSS0*SSSSS0)

Краб берет у него бумагу, смотрит на нее в раздумье, кладет ее на пюпитр и начинает играть.)

Краб: Что ж, это весьма неплохо, Ахилл. Мне нравится этот странный ритм.

Ахилл: Что же в нем странного?

Краб: Может быть вам, как композитору, он кажется естественным, но для меня переход с 3/3 на 4/4 и, затем, на 5/5 звучит экзотически. Если у вас есть для меня еще что-нибудь, я с удовольствием это сыграю.

Ахилл: Благодарю вас. Я никогда раньше не сочинял музыку и должен признаться, что я представлял себе это занятие не совсем так. Что же, попробую написать еще одну мелодию. (Набрасывает на листе следующую строчку.)

~Ea:Eb:(SSa*SSb)=SSSSSSSSSSSSSS0

Краб: Гм-м… Мне кажется, что это точная копия моей предыдущей пьесы.

Ахилл: О, нет! Я добавил одно S. Теперь их стало четырнадцать.

Краб: Ах да, конечно. (Он начинает играть, и на лице его появляется гримаса недовольства.)

Ахилл: Я надеюсь, что мое сочинение не кажется вам неблагозвучным!

Краб: Вы написали эту мелодию по мотивам моей пьесы. Но боюсь, Ахилл, что вы не оценили всех ее тонкостей… Хотя как я могу требовать этого от вас после одного прослушивания? Иногда бывает трудно понять, на чем основана красота произведения. Ее легко спутать с поверхностными аспектами пьесы и имитировать их. Но сама красота лежит глубоко внутри; может быть, она вообще недоступна анализу.

Ахилл: Боюсь, что я немного запутался в вашем ученом комментарии. Я понял, что моя пьеса не удовлетворяет вашим высоким требованиям — но в чем именно заключается моя ошибка? Может быть, вы согласитесь мне растолковать?

Краб: Вашу композицию можно поправить, вставив в конце три — а, впрочем, можно и пять — S. Это создаст тонкий и неожиданный эффект.

Ахилл: Понятно.

Краб: Но пьесу можно изменить и по-другому. Мне, например, кажется, что лучше всего прибавить слева еще одну тильду. Это создаст приятный баланс между началом и концом. Две тильды подряд никогда не помешают — они придают мелодии этакий веселый изгиб, знаете ли.

Ахилл: А что, если я послушаюсь обоих советов сразу и напишу следующую пьеску?

~~EaEb:(SSa*SSb)=SSSSSSSSSSSSSSSSS0

Краб (с выражением болезненного неудовольствия): Ахилл, вам необходимо запомнить следующее: никогда не пытайтесь выразить слишком многое в одной и той же пьесе. Так можно достичь того порога, за которым пьесу уже ничто не спасет. Любые попытки исправить дело только все ухудшат. Как раз это произошло сейчас с вашей пьесой. Вы ухватились сразу за оба моих предложения, и вместо того, чтобы добавить пьесе красоты, это нарушило равновесие и лишило пьесу всякой привлекательности.

Ахилл: Почему такие похожие пьесы, как ваша, с 13 S, и моя, с 14 S, кажутся вам настолько разными? По-моему, в остальном они идентичны!

Краб: О, небо! Между ними — огромная разница. Это как раз тот случай, когда словами невозможно передать всего того, что чувствует душа. Осмелюсь сказать, что таких правил, которые определяли бы, красива ли какая-либо пьеса, не существует, да и не может существовать. Чувство Красоты принадлежит исключительно царству разума; разума, которому жизненный опыт сообщил глубину, превосходящую любые объяснения, основанные на наборе правил.

Ахилл: Я навсегда запомню эти идеи о природе Красоты. Наверное, нечто похожее можно сказать и об Истине?

Краб: Без сомнения. Истина и Красота соотносятся, как… как…

Ахилл: Как математика и музыка?

Краб: Вы читаете мои мысли! Откуда вы знаете, что я как раз об этом думал?

Черепаха: Ахилл очень непрост, м-р Краб. Вы его недооцениваете.

Ахилл: Вы думаете, что может существовать связь между истинностью или ложностью определенного математического утверждения и красотой (или отсутствием таковой) соответствующей музыкальной пьесы? Или же это лишь моя фантазия?

Краб: Мне кажется, вы заходите слишком далеко. Говоря о связи музыки и математики, я выражался символически, понимаете? Что касается прямой связи между музыкальной пьесой и математическим утверждением, я питаю на этот счет глубочайшие сомнения. Позвольте мне дать вам скромный совет: не тратьте время на подобные пустые выдумки.

Ахилл: Вы, без сомнения, правы. Это было бы совершенно бесполезно. Лучше я сосредоточусь на оттачивании моего музыкального вкуса, придумав еще несколько пьес. Согласитесь ли вы быть моим наставником, м-р Краб?

Краб: Буду счастлив послужить проводником на вашем пути к пониманию музыки.

(Ахилл берет карандаш и погрузившись, казалось бы, в состояние глубочайшего сосредоточения, пишет:

Λ00aA'V~ΛΛ:b+cS(EE=0Λэ((~d)<V(AS*+(>V

(У Краба от удивления лезут глаза на лоб.)

Вы действительно хотите, чтобы я сыграл это… это… чем бы это ни было?

Ахилл: О, пожалуйста, прошу вас!

(Краб начинает с трудом играть.)

Черепаха: Браво! Браво! Скажите, Ахилл, ваш любимый композитор, случайно, не Джон Кейдж?

Ахилл: Сказать по правде, он мой любимый анти-композитор. Так или иначе, я рад, что вам понравилась МОЯ музыка.

Краб: Может быть, прослушивание подобной какофонии кажется вам забавным, но я уверяю вас, что для чувствительного уха композитора эти чудовищные, режущие диссонансы и бессмысленные ритмы — настоящее мучение. Я-то думал, Ахилл, что у вас есть музыкальный вкус. Неужели ваши предыдущие пьесы получились хорошо по чистой случайности?

Ахилл: О, простите меня пожалуйста, м-р Краб. Я просто решил исследовать возможности вашей музыкальной нотации. Я хотел услышать, какие звуки получаются, когда я пишу некую последовательность символов, а заодно узнать, как вы оцениваете пьесы, написанные в разных стилях.

Краб (ворчливо): Я вам, знаете, не автоматическая музыкальная машина и не мусорное ведро для музыкальных отбросов.

Ахилл: Умоляю, простите. Но я все же чувствую, что сочинение этой пьески меня многому научило и я уверен, что теперь смогу писать гораздо лучшую музыку. И если вы согласитесь сыграть еще одно мое сочинение, ваше мнение о моих композиторских способностях непременно изменится в лучшую сторону.

Краб: Хорошо. Давайте попытаемся.

(Ахилл пишет:

Aa:Ab:<(a*a)=(SS0*(b*b))эa=0>

и Краб играет.)

Вы были правы, Ахилл. Кажется, ваши музыкальные способности к вам вернулись. Эта пьеса — настоящая драгоценность! Как вам удалось ее написать? Я никогда не слыхал ничего подобного. Она следует всем законам гармонии, и, тем не менее, в ней есть некая — как бы это сказать — иррациональная привлекательность. Я не могу определить этого точнее, но именно это меня в ней притягивает.

Ахилл: Я так и думал, что вам это понравится.

Черепаха: Как называется ваше сочинение, Ахилл? Мне кажется, что ему подошло бы название «Песнь Пифагора». Вы наверное, помните, что Пифагор был одним из первых, кто стал изучать музыкальные звуки.

Ахилл: Верно. Это очень хорошее название.

Краб: Кроме того не Пифагор ли открыл, что отношение двух квадратов никогда не равняется двум?

Черепаха: Думаю что вы правы. В свое время это считалась еретическим открытием, поскольку никто раньше не догадывался о существовании чисел — таких как квадратный корень из двух — которые нельзя представить, как отношение двух целых чисел. Это открытие было ужасно и для самого Пифагора. Он решил что в абстрактном мире чисел обнаружился неожиданный и кошмарный дефект, могу себе представить, в какое отчаяние пришел бедняга.

Ахилл: Простите вы кажется сказали что-то о чае? Кстати — где же та знаменитая чайная? Долго нам еще карабкаться?

Черепаха: Не волнуйтесь мы будем на месте через пару минут.

Ахилл: Гм-м. Я как раз успею просвистеть вам мотивчик, который сегодня утром услышал по радио.

Краб: Погодите минутку, достану бумагу. Я хочу записать эту мелодию. (Копается в папке и вытаскивает чистый лист ) Готово.

(Ахилл начинает свистеть, мелодия оказывается довольно длинной. Краб быстро записывает, стараясь не отстать.)

Можете ли вы повторить несколько последних тактов?

Ахилл: Конечно.

(После нескольких повторений Краб, наконец, заканчивает и с гордостью показывает свою запись

<((SSSSS0*SSSSS0)+(SSSSS0*SSSSS0))=(SSSSSSS0*SSSSSSS0)+(S0*S0))

Λ~Eb:<Ec:(Sc+b)=((SSSSSSS0 SSSSSSS0)+(S0 S0))ΛEd:Ed':Ee:Ee'

<~<d=eVd=e'>Λ<b=((Sd*Sd)+(Sd'*Sd'))Ab=((Se*Se)+(Se'*Se'))>>>>

Затем он берет флейту и играет записанную им мелодию)

Черепаха: Интересно это похоже на индийскую мелодию.

Краб: Нет, мне кажется для индийской мелодии она слишком проста. Впрочем, я не специалист.

Черепаха: Вот мы и пришли! Где мы сядем, на веранде?

Краб: Если вы не возражаете, лучше сесть внутри, я уже и так слишком долго был на солнце.

(Они входят в чайную, полную народа, садятся за единственный свободный столик и заказывают чай с пирожными. Не проходит и получаса, как им приносят поднос с аппетитными сладостями, каждый выбирает свое любимое пирожное.)

Ахилл: Знаете, м р К, мне бы хотелось услышать ваше мнение о мелодии, которую я только что сочинил.

Краб: Покажите, можете записать ее на этой салфетке.

(Ахилл пишет

Aa:Eb:Ec:<~Ed:Ee:<(SSd*SSe)=bV(SSd*SSe)=c>Λ(a+a)=(b+c)>

Краб и Черепаха с интересом изучают его запись)

Черепаха: Как вы думаете, м-р К, это красивая пьеса?

Краб: Гм-м… Я считаю… Мне кажется… (В явном замешательстве ерзает на стуле.)

Ахилл: В чем дело? Достоинства этой пьесы оказалось определить труднее, чем достоинства других моих сочинений?

Краб: Э-э-э… Нет, нет, это совсем не то. Как бы это сказать… дело в том, что мне надо УСЛЫШАТЬ пьесу, чтобы иметь возможность о ней судить.

Ахилл: Так за чем же дело стало? Прошу вас, сыграйте мою пьеску и скажите нам, находите ли вы ее красивой.

Краб: Конечно, конечно… Я был бы чрезвычайно рад сыграть вашу пьесу; вот только…

Ахилл: Что случилось? Вы не можете сыграть эту пьесу? Почему вы колеблетесь?

Черепаха: Неужели вы не понимаете, Ахилл, что исполнить вашу просьбу было бы невежливо и неделикатно по отношению к посетителям и работникам этой замечательной чайной?

Краб (с внезапным облегчением): Верно! Мы не имеем права навязывать другим свою музыку.

Ахилл (подавленно): О, какая жалость… А я-то ТАК надеялся узнать ваше мнение об этой мелодии!

Краб: Ух ты! Чуть не вляпался!

Ахилл: Как? Что значит это замечание?

Краб: Да так, ничего. Просто тот господин чуть не наступил на пирожные, рассыпанные официантом минуту назад. Сегодня здесь вообще необычайное оживление, яблоку негде упасть.

Черепаха: Дело в том, что сегодня будет известно, кто станет счастливым обладателем приза ежегодной лотереи. Раньше в этой лотерее участвовала и я, но уже давно отчаялась. Приз простой — самовар и набор индийского чая, — но получить его хочется многим, поэтому сегодня здесь столько народу.

Ахилл: Вы хотите сказать, что сегодня — день розыгрыша?

Краб: Вот именно, Ахилл.

Ахилл: А-а, понятно, я это запомню.

Краб: Что ж, пожалуй, мне пора ползти домой. Эта суета вокруг розыгрыша меня порядком утомила, а мне еще предстоит утомительный спуск по крутому склону.

Ахилл: До встречи; и спасибо за урок композиции!

Краб: Я и сам получил большое удовольствие; надеюсь, что когда-нибудь мы продолжим наш обмен сочинениями.

Ахилл: Буду ждать этого дня с нетерпением. До свидания!

Черепаха: До свидания, м-р Краб.

(И краб уползает вниз по холму.)

Ахилл: Что за создание! Это ползет маг и волшебник музыки, блестящий флейтист и композитор. Мне кажется, что он в четыре раза умнее любого из своих собратьев. Или даже в пять —

Черепаха: Как вы уже сказали в начале — и, кажется, собираетесь продолжать говорить во веки веков!

 НАСТАЛ МОМЕНТ, когда мы уже можем сформулировать один из основных тезисов этой книги любой аспект мышления можно рассматривать как описание на высшем уровне некой системы, которая на низшем уровне управляется простыми и даже формальными правилами. Под «системой» здесь, разумеется, имеется в виду мозг — если не упоминать мыслительные процессы, протекающие в другой среде, такой, скажем, как электрические цепи компьютера. Это создает образ формальной системы, лежащей в основе «неформальной системы» — такой, которая сочиняет каламбуры, находит численные закономерности, забывает имена, «зевает» фигуры в шахматной партии и так далее. То, что мы видим снаружи, — это ее неформальный, явный уровень, уровень программ. С другой стороны, в системе есть также формальный, скрытый уровень (или «субстрат»), уровень аппаратуры — удивительно сложный механизм, переходящий от одного состояния к другому по определенным, физически встроенным в него правилам, согласно поступающим извне сигналам (входным данным).

Нет нужды говорить, что такой взгляд на мозг имеет множество философских и других следствий. Некоторые из них я попытаюсь описать в этой главе. Среди прочего, из этого взгляда, как кажется, следует то, что в своей основе мозг является неким «математическим» объектом. На самом деле, это, в лучшем случае, довольно неуклюжая модель мозга. Дело в том, что даже если в техническом и абстрактном смысле мозг и представляет собой некий тип формальной системы, математики работают с системами простыми и элегантными, в которых все четко определено. Мозгу же, с его десятью миллиардами частично независимых нейронов, соединенных почти случайным образом, далеко до такой ясности, так что он никогда не станет объектом изучения математиков. Если определить «математику» как нечто, чем математикам нравится заниматься, то приходится признать, что свойства мозга — не математические.

Единственный способ понять такую сложную систему как мозг — это использовать блочную картину на все более высоких уровнях, при этом, разумеется, при каждом следующем шаге приходится жертвовать точностью. На высшем уровне мы получаем «неформальную систему», подчиняющуюся такому количеству сложных правил, что у нас пока не хватает слов для ее описания. Именно это — объект поисков специалистов по Искусственному Интеллекту, поисков, которые весьма отличны от математических изысканий. Однако между ними существует некоторая связь — эксперты по ИИ часто имеют математическое образование, а математики часто интересуются работой собственного мозга. Следующий отрывок из автобиографической книги Станислава Улама «Приключения математика» (Stamslaw Ulam, «Adventures of a Mathematician») иллюстрирует этот факт:

Мне кажется, что можно лучше выявить … природу ассоциаций, используя для экспериментов компьютеры. Такое исследование включало бы подразделение на понятия, символы, классы символов, классы классов и так далее, так же, как это делается при исследовании сложных математических или физических систем.

В нашем мышлении должен быть некий метод, некая рекурсивная формула. Группа нейронов начинает работать автоматически, иногда даже без внешнего импульса. Результатом этого повторяющегося процесса является растущая область возбужденных нейронов, которая передвигается по мозгу в зависимости от памяти или чего-то подобного.[48]

Искусственный интеллект для краткости часто называют ИИ. Мне кажется, что сокращение ИИ могло бы также обозначать Искусственную Интуицию. Цель ИИ — понять, что происходит, когда в мозгу из мириад возможностей делается бесшумный и невидимый выбор той единственной, которая кажется наиболее подходящей в данной сложной ситуации. Во многих жизненных ситуациях дедуктивные рассуждения не годятся — не потому, что они привели бы к неправильным ответам, но потому, что существует огромное множество истинных, но неважных для данной ситуации суждений; приходится принимать в расчет слишком много факторов, и потому логические рассуждения оказываются неэффективными. Взгляните на этот мини-диалог:

— На днях я прочитал в газете, что…

— О, вы прочитали? Из этого следует, что у вас есть глаза. Или, по крайней мере, один глаз. Или, скорее, что у вас в тот момент был по крайней мере один глаз.

Здесь необходимо понимание того, что важно и что неважно; с этим связано чувство простоты и красоты. Откуда берутся эти интуитивные понятия? Каким образом они могут родиться из формальной системы мозга? В Диалоге «Магнификраб» мы встречаемся с некими необычными свойствами Крабьего мозга. По его словам, он просто слушает музыку и отличает красивые мелодии от некрасивых. (По-видимому, для него существует четкая граница.) Ахилл, однако, находит другой способ описания Крабьих способностей: Краб подразделяет суждения теории чисел на истинные и ложные. Но Краб утверждает, что если он это и делает, то только случайно, поскольку он в математике профан. Ахилл более всего удивлен тем, что Краб, как кажется, прямо нарушает знаменитую теорему метаматематики:

ТЕОРЕМА ЧЁРЧА: Не существует универсального метода, позволяющего отличать теоремы ТТЧ от не-теорем.

Это утверждение было доказано в 1936 году американским логиком Алонзо Чёрчем, оно находится в тесной связи с тем, что я называю:

ТЕОРЕМОЙ ТАРСКОГО-ЧЁРЧА-ТЮРИНГА: Не существует универсального метода, позволяющего отличать истинные суждения теории чисел от ложных.

Чтобы лучше понять Теорему Чёрча и Теорему Тарского-Чёрча-Тюринга, рассмотрим сначала одну из идей, на которых они основаны, — Тезис Чёрча-Тюринга (часто называемый «Тезисом Черча») Это, безусловно, одно из важнейших понятий в философии математики, мозга и мышления.

Этот Тезис напоминает чай тем, что его можно сделать разных степеней крепости. Я изложу здесь различные версии и мы увидим, что из них вытекает.

Первая версия звучит весьма невинно и, пожалуй, даже бессмысленно:

ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, ТАВТОЛОГИЧЕСКАЯ ВЕРСИЯ: Математические задачи можно решать только математическими методами.

Разумеется, смысл этого утверждения может быть выведен из смысла составляющих его частей. Под «математической задачей» я имею в виду определение того, обладает ли данное число неким арифметическим свойством. Оказывается, что при помощи Геделевой нумерации и родственных ей приемов кодификации, почти любую проблему в любой области математики можно представить в этой форме, таким образом, выражение «математическая задача» сохраняет свое обычное значение. А как насчет «математических методов»? Пытаясь решить, обладает ли некое число определенными свойствами, мы используем лишь ограниченное число операций, комбинирующихся друг с другом сложение, умножение определение равенства или неравенства. Кажется, что циклы, состоящие из этих операций, — единственный инструмент, позволяющий нам заглянуть в мир чисел. Заметьте, что я сказал «кажется». Это слово — основное в Тезисе Черча-Тюринга. Ниже — другая версия этого Тезиса:

ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, СТАНДАРТНАЯ ВЕРСИЯ: Предположим, что существует метод при помощи которого разумное существо может разделять числа на два класса. Предположим также, что этот метод всегда приводит к ответу за конечный отрезок времени, и что этот ответ — всегда один и тот же для одного и того же числа. В таком случае существует некая конечная программа на Флупе (то есть, некая общерекурсивная функция), которая будет давать точно такие же ответы, как и разумное существо.

Основная идея здесь состоит в том, что любой мыслительный процесс, делящий числа на две категории, может быть описан в форме программы на Флупе. Интуиция утверждает, что других методов, чем имеющиеся во Флупе, не существует, и что невозможно использовать эти методы иначе, чем путем бесчисленных повторений (которые Флуп допускает). Тезис Черча-Тюринга невозможно доказать как Теорему математики — это всего лишь гипотеза о процессах протекающих в человеческом мозгу.

Некоторые люди могут подумать, что предыдущая версия утверждает слишком много. Такие люди могли бы сформулировать свои возражения следующим образом: «Может существовать некто, подобный Крабу, — некто с почти мистической математической интуицией, кто при этом не умеет объяснить своих удивительных способностей. Возможно, что в мозгу такого человека происходят процессы, непредставимые на Флупе.» Идея заключается в том, что, возможно в нас заложен подсознательный потенциал для совершения вещей, превосходящих сознательные процессы — и это невозможно выразить с помощью элементарных операций Флупа. Для тех, кто выдвигает подобные возражения, мы сформулируем более слабую версию Тезиса, различающую индивидуальные и коллективные мыслительные процессы:

ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, ВЕРСИЯ КОЛЛЕКТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ: Предположим, что существует метод, при помощи которого разумное существо может разделять числа на два класса. Предположим также, что этот метод всегда приводит к ответу за конечный отрезок времени и что этот ответ — всегда один и тот же для одного и того же числа. Если этот метод может быть эффективно сообщен одним разумным существом другому при помощи языка, то в таком случае существует некая конечная программа на Флупе (то есть, некая общерекурсивная функция), которая будет давать точно такие же ответы, как и разумное существо.

Эта версия утверждает, что коллективные методы подвержены «Флупификации», но обходит молчанием индивидуальные методы. Она не говорит, что их невозможно «Флупифицировать», но, по крайней мере, оставляет эту возможность открытой.

Как доказательство против более сильных версий Тезиса Чёрча-Тюринга давайте рассмотрим случай знаменитого индийского математика первой четверти двадцатого века, Шринивасы Рамануяна 1887-1920). Рамануян (рис. 105) родился на юге Индии, в Тамилнаду; он немного изучал математику в старших классах школы. Однажды кто-то, заметив способности мальчика к математике, подарил ему слегка устаревший учебник по математическому анализу, который Шриниваса немедленно проглотил (разумеется, не в буквальном смысле!). После этого Рамануян начал собственные исследования в этой области, и к тому времени, когда ему исполнилось двадцать три года, у него на счету было несколько открытий, которые казались ему важными. Он не знал, к кому обратиться, но однажды он услышал о некоем профессоре математики по имени Г. X. Харди, живущем в далекой Англии. Рамануян записал свои лучшие результаты и послал эту пачку листков ничего не подозревавшему Харди вместе с письмом, которое друзья помогли ему написать по-английски.

Ниже следуют некоторые отрывки, описывающие реакцию Харди, когда он получил эту «посылку»:

Вскоре мне стало ясно, что Рамануян знал гораздо более общие теоремы, но держал их в рукаве… [Некоторые формулы] меня совершенно поразили — я никогда не видел ничего подобного. Одного взгляда на них достаточно, чтобы понять, что они написаны математиком высшего класса. Они, скорее всего, истинны, поскольку никто не может обладать достаточным воображением, чтобы высосать из пальца нечто подобное. Наконец,… автор письма был, по-видимому, абсолютно честен, поскольку гениальные математики встречаются чаще, чем шарлатаны, обладающие таким невероятным талантом.[49]

Результатом этой переписки был приезд Рамануяна в Англию в 1913 году по приглашению Харди и начало тесного сотрудничества между ними, которое было прервано преждевременной смертью Рамануяна от туберкулеза в возрасте тридцати трех лет.

Среди прочего, Рамануян отличался от большинства математиков тем, что его доказательствам не хватало строгости. Иногда он просто называл результат, полученный, по его словам, чисто интуитивно, без какого бы то ни было сознательного поиска. Часто Рамануян говорил, что богиня Намагири сообщила ему ответ во сне. Это повторялось снова и снова, и самое удивительное — даже мистическое — заключалось в том, что многие из его «интуитивных теорем» оказывались ложными! В связи с этим интересен парадокс, заключающийся в том, что иногда событие, которое, как кажется, должно было бы добавить доверчивым людям немного скептицизма, в действительности вызывает обратный эффект. Оно затрагивает эти доверчивые души, соблазняя их намеками на некие удивительные, иррациональные свойства человеческой природы. Именно это произошло с ошибками Рамануяна; многие образованные люди, жаждущие поверить в чудеса, увидели в интуитивных способностях Рамануяна доказательство его мистического прозрения и знания Истины — и его ошибки только усилили их веру.

Возможно, что этому способствовал тот факт, что Рамануян происходил из самой отсталой части Индии, где факиризм и подобные мистические индийские ритуалы практиковались тысячелетиями — и продолжали встречаться во времена Рамануяна, возможно, чаще, чем высшая математика. И его ошибки, вместо того, чтобы подтвердить, что он — всего лишь человек, парадоксальным образом породили веру в то, что заблуждения Рамануяна на самом деле являлись «правотой высшего порядка», некой «восточной истиной», недоступной западному уму. Какая замечательная, почти неотразимая мысль! Даже Харди, кто должен был бы первым опровергнуть идею о мистических способностях Рамануяна, однажды написал: «И все же я не уверен, что, каким-то образом, его промах не является более замечательным, чем любой из его успехов».

Другой выдающейся чертой Рамануяна была его «дружба с целыми числами», по выражению его коллеги Литтлвуда. Многие математики до какой-то степени разделяют эту черту, но у Рамануяна она была развита до крайности. Об этой его характеристике ходили легенды. Одна из них была рассказана Харди:

Однажды я пришел навестить его, когда он лежал больной в Путни. Я сказал ему, что приехал на такси с номерным знаком 1729 и заметил, что в этом номере нет ничего интересного и что как бы это не оказалось дурным предзнаменованием. «Напротив», — ответил он, — «это очень интересный номер: это наименьшее, число, которое можно выразить как сумму двух кубов двумя разными способами». Я, естественно, спросил его, знает ли он ответ на аналогичную задачу для четвертой степени, на что он после минутного раздумья ответил, что он точно не знает, но что ему кажется, что это будет очень большое число.[50]

Ответом на эту задачу оказывается:

635 318 657 = 1344 + 1334 = 1584 + 594

Читатель может попробовать решить аналогичную задачу для квадратов, что намного легче.

Интересно подумать, почему Харди сразу перешел к четвертой степени. В конце концов, существуют несколько других естественных обобщений уравнения:

u ³ + v ³ = x ³ + у ³

Например, можно подумать о том, как представить некое число в виде суммы двух кубов тремя различными способами:

r ³ + s ³ = u ³ + v ³ = x ³ + у ³

или использовать три различных куба:

u ³ + v ³ + w ³ = x ³ + у ³ + z ³

r ⁴ + s ⁴ + t ⁴ = u ⁴ + v ⁴ + w ⁴ = x ⁴ + у ⁴ + z ⁴

Однако в каком-то смысле задача Харди оказывается наиболее «математической». Возможно ли будет когда-либо запрограммировать это чувство математической эстетики?

Другой рассказ о Рамануяне взят из его биографии, написанной его соотечественником С. Р. Ранганатаном. Этот рассказ носит название «Прозрение Рамануяна» и принадлежит его товарищу по Кембриджскому университету, П. С. Махаланобису, также выходцу из Индии:

Однажды я пришел к нему в комнату, чтобы пообедать вместе. Дело было некоторое время спустя после начала Первой мировой войны. В руках у меня был экземпляр ежемесячника «Странд Магазин», в котором в то время печатались всяческие головоломки для читателей. Рамануян, стоя у плиты, размешивал что-то в кастрюльке. Я сидел у стола, листая журнал; вдруг меня заинтересовала задача об отношении двух чисел. Я забыл подробности и помню только тип задачи. Два британских офицера были расквартированы в Париже в двух различных домах на длинной улице; номера этих домов соотносились определенным образом, и задача заключалась в том, чтобы их найти. На вид проблема казалась нетрудной — пользуясь методом проб и ошибок, я нашел ответ за несколько минут.

МАХАЛАНОБИС (шутливо): Вот тут для вас задача.

РАМАНУЯН (не переставая мешать): Что за задача?

Я прочитал ему задачу.

РАМАНУЯН: Записывайте ответ (диктуя непрерывную дробь).

Первый член в дроби был равен моему ответу, остальные представляли собой следующие решения. При этом число домов на улице росло до бесконечности.

Я был поражен.

МАХАЛАНОБИС: Неужели вы решили это сразу?

РАМАНУЯН: Разумеется. Как только я услышал задачу, я сразу понял, что ответом должна быть непрерывная дробь; тогда я подумал: «Какая именно?» — и тут же увидел решение. Это было очень просто.[51]

После смерти Рамануяна Харди, как его ближайшего сотрудника, часто спрашивали, не было ли в стиле мышления Рамануяна каких-либо мистических и необычных элементов. Вот один из ответов Харди:

Меня часто спрашивают, не было ли у Рамануяна какого-нибудь особого секрета, не пользовался ли он методами иного типа, отличными от методов других математиков и было ли его мышление действительно необычным. Не могу ответить на эти вопросы с достаточной уверенностью, но лично я в это не верю. Я считаю, что все математики в основном думают примерно одинаково, и что Рамануян не являлся исключением.[52]

Здесь Харди формулирует свою собственную версию Тезиса Чёрча-Тюринга. В перифразе она звучит так:

ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, ВЕРСИЯ ХАРДИ: На низшем уровне все математики изоморфны.

Это не приравнивает математический потенциал математиков к потенциалу общерекурсивных функций; для этого надо лишь показать, что умственные способности какого-либо одного математика не более общие, чем рекурсивные функции. Тогда, если вы принимаете Версию Харди, то вы должны принять ее для всех математиков. Далее Харди сравнивает Рамануяна с людьми, обладающими удивительной способностью к вычислениям.

Его память и его способности к вычислениям были весьма необычны, но их нельзя было назвать «ненормальными». Если ему нужно было перемножить два больших числа, он делал это обычным способом — правда, с необычной скоростью и аккуратностью — но не быстрее и не аккуратнее, чем любой другой математик, кто от природы быстро соображает и имеет опыт в вычислениях.[53]

Харди описывает то, что казалось ему выдающимися чертами интеллекта Рамануяна:

Кроме памяти, терпения и способности к вычислениям, он обладал такой способностью к обобщениям и к быстрому изменению своих гипотез и таким чувством формы, что в то время ему не было равных в его области.[54]

Те места этого отрывка, которые я выделил курсивом, кажутся мне блестящей характеристикой некоторых наиболее тонких и неуловимых черт разума вообще. Харди заключает, с некоторой грустью:

(В его трудах) не было той простоты и неизбежности, которая отличает величайшие математические открытия; они были бы более великими, если бы они были менее странными. Но зато его работы имели нечто, чего не может отрицать никто — они были глубоко и непобедимо оригинальны. Возможно, что он был бы более великим математиком, если бы его «поймали» и «приручили» в юности; он открыл бы много нового и, без сомнения, более важного. С другой стороны, он был бы менее похож на Рамануяна и более — на европейского профессора, и потеря от этого могла быть больше, чем выигрыш.[55]

По тому, как романтично говорит Харди о Рамануяне, видно, какое уважение он питал к своему индийскому коллеге.

Рис. 105. Шриниваса Рамануян и одна из его странных индийских мелодий.

Существует еще один тип людей, чьи математические способности кажутся необъяснимыми с рациональной точки зрения — так называемые «гениальные идиоты», могущие производить сложные расчеты в уме (или где бы там ни было) с быстротой молнии. Иоганн Мартин Захарий Дэйз, живший с 1824 по 1861 и работавший для нескольких европейских правительств, был выдающимся примером. Он не только мог перемножить в уме два стозначных числа, но также имел удивительное чувство количества. Он мог сказать, не считая, сколько овец на поле, сколько слов в предложении и так далее, приблизительно до 30 — в отличие от большинства из нас, имеющих это чувство примерно до 6. При этом Дэйз вовсе не был идиотом…

Я не буду пересказывать здесь множество интересных историй о «людях-калькуляторах», поскольку моя цель иная. Но мне кажется важным опровергнуть мнение, что они совершают свои расчеты при помощи неких таинственных, не поддающихся анализу методов. Хотя часто вычислительные способности таких гениев намного превосходят их способности объяснять свои результаты, иногда среди них появляется человек, наделенный и другими талантами. Из наблюдений таких людей и из работ психологов можно сделать заключение, что в голове людей-калькуляторов не происходит ничего сверхъестественного — просто их мозг совершает промежуточные действия очень быстро и уверенно, подобно умелому атлету, быстро и грациозно делающему сложные упражнения. Свои ответы они получают не благодаря мгновенному озарению (хотя субъективно некоторым из них может казаться именно так), но, как и все мы, при помощи последовательных вычислений — то есть при помощи Флупо- или Блупоподобных действий.

Одним из наиболее очевидных подтверждений того, что не существует никакого мистического «прямого телефона к Богу», является тот факт, что, по мере того как числа становятся больше, ответы становятся медленнее. Если бы ответы исходили от Бога или некоего «оракула», этого бы не происходило. Было бы интересно составить некий график, соотносящий время раздумий «человека-калькулятора» с величиной данных ему чисел и количеством требуемых операций, и вычислить по нему алгоритмы этого процесса.

Это вплотную подводит нас к усиленной стандартной версии Тезиса Чёрча-Тюринга:

ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, ВЕРСИЯ ИЗОМОРФИЗМА: Предположим, что существует метод, при помощи которого разумное существо может разделять числа на два класса. Предположим также, что этот метод всегда приводит к ответу за конечный отрезок времени и что этот ответ — всегда один и тот же для одного и того же числа. Тогда существует некая конечная программа на Флупе (то есть, некая общерекурсивная функция), которая будет давать точно такие же ответы, как и разумное существо. Более того, мыслительный процесс и эта программа Флупа будут изоморфны в том смысле, что на каком-то уровне будет существовать соответствие между операциями выполняемыми компьютером и мозгом.

Заметьте, что здесь не только усилено заключение, но и опущено условие сообщаемости, характеризовавшее более слабую Коллективную Версию. Давайте рассмотрим эту смелую версию Тезиса.

Эта версия утверждает, что когда человеческое существо что-то вычисляет, его умственная деятельность может быть изоморфно отображена в некой программе Флупа. Это не означает, разумеется, что в мозгу действует настоящая программа Флупа, написанная на языке Флуп с командами НАЧАЛО КОНЕЦ ПРЕРВАТЬ и так далее. Это значит только то, что операции выполняются в том же порядке в каком они могли бы выполняться в программе Флупа, и что логическая структура вычислений может быть отображена во Флупе.

Чтобы эта идея имела смысл, мы должны различать уровни как в компьютере, так и в мозгу — иначе эта мысль может показаться совершенной чепухой. Предположительно, операции вычисления в наших головах совершаются на высшем уровне, опирающемся на низшие уровни и, в конечном счете, на «аппаратуру». Таким образом, говоря об изоморфизме, мы подразумеваем, что высший уровень может быть изолирован и что мы можем обсуждать происходящие там процессы независимо от того, что делается на других уровнях — и затем проимитировать этот высший уровень в программе Флупа. Точнее, наше предположение заключается в том что существуют некие блоки мысленной «программы», которые играют роль математических построений и активируются таким образом, который может быть в точности отображен в программе Флупа (см. рис. 106). Эти блоки существуют благодаря инфраструктуре мозга, которую мы обсуждали в главах ХI и XII, а также в «Прелюдии» и в «Муравьиной фуге». Мы не предполагаем изоморфной деятельности на низших уровнях мозга и компьютера (нейроны и биты).

Если не букву, то дух Версии Изоморфизма можно передать, говоря, что гениальный идиот, вычисляя, скажем логарифм π, проделывает операции, изоморфные операциям карманного калькулятора, решающего ту же задачу. Изоморфизм существует на уровне арифметических действий, а не на уровне нейронов мозга и электрических цепей калькулятора. (Разумеется, при решении любой задачи можно следовать различными путями — но, в принципе, если не человек, то карманный калькулятор может быть запрограммирован вычислить ответ каким-то определенным путем.)

Рис. 106. Поведение натуральных чисел может быть представлено в человеческом мозгу или в компьютерной программе. Эти два представления могут быть затем отображены друг на друга на соответствующем абстрактном уровне.

Все это кажется убедительным, когда мы говорим о теории чисел, поскольку события там происходят в весьма ограниченном и чистом мире. Его границы, правила и обитатели определены четко, словно в хорошо построенном лабиринте. Такой мир намного менее сложен, чем открытый и неопределенный мир, в котором мы обитаем. Будучи поставлена, задача теории чисел полностью самодостаточна; задача реального мира, напротив, никогда не может быть с уверенностью изолирована от воздействия этого мира. Например, чтобы заменить перегоревшую лампочку, вам может понадобиться подвинуть помойное ведро; при этом вы можете нечаянно толкнуть стоящий поблизости столик и уронить на пол лежавшие на нем таблетки; после чего вам придется подмести пол, чтобы ваша собака их не съела… и так далее, и тому подобное. Таблетки, помойное ведро, собака и электрическая лампочка весьма мало соотносятся между собой, но здесь, благодаря некоему повседневному событию, они оказались в тесной связи. И невозможно предсказать, какие еще предметы оказались бы вовлечены в эти отношения, если бы события немного изменились. С другой стороны, решая задачу теории чисел, вам никогда не придется иметь дело с такими посторонними предметами, как таблетки, собаки, помойные ведра и щетки. (Разумеется, ваше интимное знакомство с означенными предметами может сослужить вам службу, когда вы пытаетесь представить себе задачу в форме геометрических фигур — но это совершенно другое дело.)

Реальный мир так сложен, что трудно вообразить себе маленький карманный калькулятор, который мог бы ответить на ваши вопросы путем нажатия кнопок с надписями «собака», «помойное ведро», «лампочка» и так далее. На самом деле, до сих пор очень трудно заставить даже большой и быстрый компьютер отвечать на вопросы о ситуациях, которые кажутся нам весьма простыми. Кажемся, что для того, чтобы компьютер «понял» задачу, необходимы много знаний и умение соотносить их друг с другом должным образом. Процессы мышления можно сравнить с деревом, чья видимая часть твердо стоит на земле, но, при этом зависит от невидимых корней, протягивающихся далеко под землей, поддерживающих и питающих дерево. В данном случае под корнями понимаются сложные процессы, происходящие на подсознательных уровнях — процессы, результаты которых управляют нашим мышлением, но о которых мы сами не подозреваем. Они работают как «пусковые механизмы символов», которые мы обсуждали в главах XI и XII.

Размышления о реальном мире очень отличаются от того, что происходит, когда мы перемножаем два числа — в последнем случае все находится, так сказать, над землей, открытое для обозрения. В арифметике высший уровень может быть выделен и промоделирован на аппаратуре различных типов: механические складывающие аппараты, карманные калькуляторы, компьютеры, человеческие мозги и так далее. Именно это и утверждает Тезис Чёрча-Тюринга. Но когда дело касается понимания реального мира, то трудно представить себе, что высший уровень возможно выделить и запрограммировать отдельно. Пусковые механизмы символов слишком сложны. Мысль должна «просочиться», профильтроваться сквозь многие уровни. В частности — и это возвращает нас к основным темам глав XI и XII — представление в мозгу реального мира, хотя и основанное до некоторой степени на изоморфизме, включает некоторые элементы, не имеющие никакого соответствия в окружающей нас действительности. Оно гораздо сложнее элементарных мысленных образов «собаки», «щетки» и так далее. Конечно, все эти символы существуют, но их внутренняя структура необыкновенно сложна и почти недоступна сознательному исследованию. Более того, стараться найти соответствие внутренней структуре какого бы то ни было символа в реальном мире было бы напрасным трудом.

Мозг является весьма необычной формальной системой, поскольку на низшем, нейронном уровне там где действуют «правила», меняющие состояние системы, может не существовать интерпретации примитивных элементов (таких как возбуждение отдельных нейронов или, может быть, даже события еще более низкого уровня). Однако, на высшем уровне возникает осмысленная интерпретация — соответствие между крупными «облаками» нейронной активности, которые мы назвали «символами» и событиями реального мира. Это напоминает Геделево построение тем, что в обоих случаях изоморфизм высшего уровня позволяет наделять строчки смыслом более высокого уровня, однако в Геделевом построении значение высшего уровня опирается на значение низших уровней — то есть оно выводится из значения низших уровней при помощи Геделевой нумерации. С другой стороны, события, происходящие в мозгу на нейронном уровне не имеют соответствующей интерпретации в реальном мире — они совершенно ничего не имитируют Они являются всего лишь субстратом, поддерживающим высший уровень, подобно тому, как транзисторы в карманном калькуляторе поддерживают его числовую деятельность Из этого следует что невозможно выделив высший уровень в чистом виде, создать изоморфную копию программы если мы хотим отобразить мозговые процессы, участвующие в понимании реального мира, нам придется отобразить также и некоторые процессы происходящие на низшем уровне, — так сказать, «языки мозга». Может оказаться, что при этом нам придется спуститься до уровня самой «аппаратуры».

В процессе создания программы с целью добиться «разумного» (то есть человекоподобного) внутреннего представления об окружающей действительности в какой-то момент приходится использовать структуры и процессы, не допускающие прямолинейной интерпретации — иными словами, не имеющие прямого соответствия в реальном мире. Эти низшие уровни программы могут быть поняты не благодаря их прямой связи со внешним миром а благодаря их каталитическому воздействию на лежащие над ними уровни. (Конкретное воплощение этой идеи было предложено Муравьедом в «Муравьиной фуге»: неописуемо скучный кошмар прочтения книги на низшем уровне.)

Лично мне кажется, что такая многоуровневая структура концептуальных систем становится необходимой в тот момент, когда процессы, включающие образы и аналогии становятся значимыми элементами программы — в отличие от процессов которые управляют дедуктивными рассуждениями. Процессы, управляющие дедуктивными рассуждениями могут быть запрограммированы на практически единственном уровне и таким образом являются выделимыми по определению. Согласно моей гипотезе, мыслительные процессы, использующие воображение и аналогию изначально требуют нескольких уровней субстрата и следовательно являются невыделимыми. Кроме того, я считаю что именно в этот момент начинают возникать способности к творчеству — из чего вытекает что эти способности изначально зависят от неких «неинтерпретируемых» процессов низшего уровня. Разумеется, весьма интересно выяснить, на что опирается творческое мышление; в следующих двух главах мы обсудим некоторые существующие на этот счет гипотезы.

Одним из способов представлять отношения между высшими и низшими уровнями мозга является следующий. Возможно построить такую нейронную сеть, которая на местном уровне (то есть на уровне отдельных нейронов) работала бы точно так же, как нейронная сеть мозга, но в которой не возникало бы никакого значения на высшем уровне. То, что низший уровень состоит из взаимодействующих нейронов, еще не гарантирует появления значения на высшем уровне, подобно тому, как наличие макаронных буковок в алфавитном супе не гарантирует того, что в тарелке будут плавать слова и предложения. Значение высшего уровня — это факультативная черта нейронных сетей, которая может возникнуть в процессе эволюции, как результат воздействия окружающей среды.

Диаграмма на рис. 107 иллюстрирует тот факт, что рождение значения на высшем уровне необязательно. Стрелка, указывающая наверх, означает, что может существовать субстрат, не имеющий высшего значения, — но не наоборот: высшие уровни должны опираться на низшие уровни.

Эта диаграмма подразумевает возможность компьютерной симуляции нейронных сетей. В принципе такое возможно, как бы сложны ни были эти сети, если возможно описать поведение отдельных нейронов в терминах операций, выполнимых на компьютере. Это важное утверждение, которое почти никем не ставится под сомнение. Тем не менее, это является одним из символов «редукционистской веры», нечто вроде «микроскопической версии» тезиса Чёрча-Тюринга. Ниже эта версия сформулирована целиком:

ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ВЕРСИЯ: Поведение отдельных компонентов человеческого существа может быть симулировано на компьютере. Следовательно, поведение отдельных компонентов (обычно ими считаются клетки) может быть вычислено на Флупе (общерекурсивная функция) с любой степенью аккуратности, если дано достаточно точное описание как внутреннего состояния данного компонента, так и его окружения.

Рис. 107. Нейронная и символическая деятельность мозга.

Эта версия Тезиса утверждает, что процесс мышления, хотя он и имеет больше уровней организации, не более загадочен, чем, скажем, процесс пищеварения. В наше время никто не осмелился бы выдвинуть предположение, что люди переваривают пищу не благодаря обыкновенным химическим процессам, а благодаря некой магической и мистической «ассимиляции». Эта версия Тезиса Ч-Т просто применяет те же рассуждения к мышлению. Короче, в ней высказывается предположение, что мозговые процессы, в принципе, возможно понять. Поэтому я и назвал это мнение символом редукционистской веры.

Ниже дано резюме Микроскопического Тезиса Ч-Т в этом новом, макроскопическом виде:

ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, РЕДУКЦИОНИСТСКАЯ ВЕРСИЯ Все процессы, происходящие в мозгу, опираются на субстрат, поддающийся вычислению.

Это утверждение является, пожалуй, сильнейшей теоретической поддержкой для возможности создания Искусственного Интеллекта. Разумеется, целью исследований по Искусственному Интеллекту не является симуляция нейронных сетей, поскольку эти исследования основаны на другой вере, что важные характеристики интеллекта могут опираться на иные, чем органический мозг, субстраты. На рис. 108 показаны предполагаемые отношения между Искусственным Интеллектом, естественным разумом и реальным миром.

Рис. 108. Центральным понятием в исследованиях по Искусственному Интеллекту является то, что уровень символов мозга может быть «выделен» из их нейронного субстрата и пересажен в другую среду, такую, например, как электронные цепи компьютера. Пока неясно, насколько глубоко должен зайти этот процесс имитации мозга.

В настоящее время предположение, что для достижения ИИ придется проимитировать всю аппаратуру мозга, звучит ужасно для большинства специалистов по ИИ. И тем не менее, возникает вопрос: «Насколько точно необходимо скопировать мозг, чтобы получить ИИ?» Ответ, скорее всего, зависит от того, какие человеческие характеристики мы хотим имитировать.

Является ли умение хорошо играть в шашки показателем интеллекта? Если так, то ИИ уже существует, поскольку шашечные программы могут соревноваться на равных с игроками мирового класса. Или интеллектом является умение символически интегрировать функции, чем занимаются первокурсники на математическом факультете? В таком случае, ИИ уже существует, поскольку программы символического интегрирования делают это лучше, чем люди. Или же на интеллект указывает умение хорошо играть в шахматы? В этом случае, ИИ быстро прогрессирует, поскольку шахматные программы уже выигрывают у большинства сильных любителей, и уровень компьютерных шахмат, скорее всего, будет постепенно улучшаться.

История показывает, что в прошлом люди весьма приблизительно представляли себе, какими качествами должен обладать механизм, чтобы его можно было признать разумным. Иногда кажется, что каждый новый шаг на пути создания ИИ, вместо того, чтобы произвести нечто такое, что все признали бы разумным, углубляет наше понимание того, что интеллектом не является. Если разум включает возможность познания, творческие способности, эмоциональные реакции, чувство красоты, самосознание, то специалистам по ИИ еще предстоит долгий путь — и, возможно, что эти черты удастся воспроизвести, только целиком симулировав человеческий мозг.

Имеет ли все это какое-либо отношение к Крабьему музицированию перед Ахиллом? Здесь затронуты два вопроса, а именно:

(1) Может ли какой-либо мозговой процесс с абсолютной точностью отличать истинные утверждения ТТЧ от ложных, не нарушая при этом Тезиса Чёрча-Тюринга, или же подобное в принципе невозможно?

(2) Является ли восприятие красоты мозговым процессом?

Прежде всего заметим, в ответ на (1), что, если допустить нарушения Тезиса Чёрча-Тюринга, то, по-видимому, не существует никаких серьёзных препятствий для того, чтобы странные события Диалога стали возможны. Таким образом, мы хотим знать, должен ли человек, верящий в Тезис Чёрча-Тюринга, сомневаться в способностях Краба. Ответ на этот вопрос зависит от того, о какой версии Тезиса Чёрча-Тюринга идет речь. Например, если вы принимаете Коллективную Версию Тезиса, то легко можете согласовать с ней поведение Краба, указав на то, что его способность невозможно выразить словами. С другой стороны, если вы верите в Редукционистскую Версию, вам будет трудно поверить в способности, которыми хвастается Краб (из-за Теоремы Чёрча, которая будет доказана ниже). Вера в промежуточные версии Тезиса позволяет некоторую степень приспособляемости в этом вопросе. Разумеется, меняя свои взгляды в зависимости от обстоятельств, можно добиться еще большей гибкости.

Давайте рассмотрим еще одну версию Тезиса Т-Ч — версию, с которой молчаливо соглашаются многие люди и которая была по-разному изложена разными авторами. К числу самых знаменитых сторонников этой версии принадлежат философы Губерт Дрейфус, С. Жаки, Мортимер Таубе, и Ж. Р. Лукас, биолог и философ Майкл Полани (убежденный холист) и знаменитый австралийский нейрофизиолог Джон Экклз. Я уверен, что многие другие авторы выражали подобные идеи и что многие читатели им симпатизировали. Ниже я попытался суммировать их общие взгляды. Возможно, что мне не совсем удалось воздать должное этим идеям, но я попытался здесь передать их дух так точно, как только мог.

ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, ВЕРСИЯ ДУШИ: Некоторые происходящие в мозгу процессы могут быть приблизительно воспроизведены на компьютере — но не большинство этих процессов и, безусловно, не самые интересные из них. Но даже если бы удалось симулировать все процессы мозга, то все равно осталось бы объяснить душу, на что не способен никакой компьютер.

Эта версия имеет двойное отношение к ситуации Диалога «Магнификраб». С одной стороны, ее сторонники, скорее всего, нашли бы эту ситуацию глупой и неправдоподобной, но в принципе возможной. С другой стороны, они, возможно, сказали бы, что понимание красоты — это одно из свойств неуловимой души и, следовательно, оно доступно только людям, а не машинам.

Мы еще вернемся к этому, но сначала, раз уж мы заговорили о «душистах», мы должны выразить их версию Тезиса в еще более сильной форме, поскольку именно в нее верит на сегодняшний день множество образованных людей.

ТЕЗИСА ЧЁРЧА-ТЮРИНГА, ВЕРСИЯ ТЕОДОРА РОСЗАКА: Компьютеры просто смешны — как, впрочем, и вся наука.

Подобное мнение преобладает среди тех людей, которые видят угрозу человеческим ценностям во всем, что пахнет числами или точностью. Жаль, что они не видят всей глубины, сложности и красоты исследования таких абстрактных структур, как человеческий мозг — исследования, которое ставит нас лицом к лицу с вопросом о том, что такое человек.

Возвращаясь к красоте — мы собирались ответить, является ли восприятие красоты мозговым процессом и, если так, то можно ли симулировать этот процесс на компьютере. Те, кто не верит, что красота воспринимается мозгом, вряд ли согласятся с тем, что компьютер сможет это сделать. Те же, кто считают, что этот процесс происходит в мозгу, в свою очередь делятся на две группы в зависимости от того, в какую версию Тезиса Черча-Тюринга они верят. Крайний редукционист сказал бы, что любой происходящий в мозгу процесс в принципе может быть трансформирован в компьютерную программу, однако другие могут считать, что красота — слишком неопределенное понятие, чтобы она могла быть выражена в компьютерной программе. Может быть, они думают, что понятие красоты включает элемент иррациональности и поэтому оно несовместимо с самим духом компьютеров.

Мысль о «несовместимости иррационального с самим духом компьютеров» основана на серьёзном смешении уровней. Это ошибочное мнение опирается на идею, что поскольку компьютеры — безошибочно функционирующие машины, они, таким образом, должны быть «логичными» на всех уровнях. Однако совершенно очевидно, что компьютер может быть запрограммирован таким образом, чтобы напечатать серию нелогичных высказываний — или, для разнообразия, несколько высказываний со случайными значениями истинности. И все же, следуя подобным инструкциям, компьютер не совершит никакой ошибки! Наоборот, ошибкой было бы, если бы компьютер выдал что-либо отличное от высказываний, которые ему было приказано напечатать. Это показывает, как безошибочная работа на одном уровне может лежать в основе манипуляций символами на высшем уровне — и цель высшего уровня может быть совершенно отлична от провозглашения истины.

С другой стороны, не следует забывать, что мозг также состоит из безошибочно функционирующих элементов — нейронов. Как только сумма входящих сигналов превышает порог чувствительности нейрона, он возбуждается. Нейрон никогда не забывает своих арифметических познаний, он никогда не ошибается, складывая входящие сигналы. Даже после своей смерти, нейрон продолжает действовать правильно, в том смысле, что его составные части продолжают повиноваться законам математики и физики. Однако мы все прекрасно знаем, что, несмотря на это, нейроны удивительным образом способны порождать ошибочное поведение высшего уровня. На рис. 109 я попытался показать такое столкновение уровней: неверное мнение, существующее на уровне программы, порождено безошибочно функционирующей аппаратурой мозга.

Дело в том, что, как я уже сказал ранее в других контекстах, значение может существовать на двух или более различных уровнях оперирующей символами системы и вместе со значением на каждом из этих уровней может существовать истинность или ложность. Присутствие значения на данном уровне определяется тем, есть ли на этом уровне изоморфное (в какой-либо степени) отображение реальности.

Таким образом, тот факт, что нейроны никогда не ошибаются в сложении (и даже в гораздо более сложных вычислениях) совершенно не влияет на правильность заключений высшего уровня, который опирается на эту аппаратуру. Чем бы не занимался наш высший уровень — попыткой доказать коаны булева буддизма или медитацией над теоремами дзеновой алгебры, — нейроны нашего мозга функционируют рационально. Совершенно так же, символические процессы высшего уровня, порождающие чувство красоты у нас в мозгу, полностью рациональны на безошибочно функционирующем низшем уровне; вся иррациональность, если таковая имеется, принадлежит высшему уровню и является эпифеноменом — следствием событий, происходящих на низшем уровне.

Попытаюсь проиллюстрировать ту же идею в ином контексте: представьте себе, что вы пытаетесь выбрать между тортами «Прага» и «Птичье молоко». Значит ли это, что ваши нейроны тоже колеблются и не могут решить, возбуждаться им или нет? Разумеется, нет. Ваши гастрономические колебания — это состояние высшего уровня, которое полностью зависит от возбуждения тысяч нейронов определенным образом. Это кажется нелепым, но если подумать, становится ясно, что это только естественно. Однако я думаю, что было бы справедливо сказать, что почти вся путаница насчет мозгов и компьютеров происходит именно из-за этого элементарного смешения уровней.

Нет причин полагать, что безошибочное функционирование компьютерной аппаратуры не может породить таких сложных состояний высшего уровня как замешательство, забывчивость или восприятие красоты. Для этого было бы необходимо наличие множества подсистем, взаимодействующих друг с другом согласно сложной «логике». Явным следствием этого было бы логичное или нелогичное поведение, опирающееся на скрытый уровень надежной, безошибочной аппаратуры.

Рис. 109. Мозг рационален, разум может не быть таковым. (Рисунок автора.)

Этот тип различения между уровнями дает нам новые аргументы в споре с Лукасом. Он основывает свои рассуждения на идее, что Гёделева Теорема по определению приложима к машинам. На самом деле, Лукас делает еще более выразительное заявление:

Теорема. Гёделя должна быть приложима к кибернетическим машинам, поскольку сама суть таких машин — в том, что они являются воплощениями формальных систем.[56]

Как мы видели, это верно на низшем уровне — уровне аппаратуры; но поскольку могут существовать и высшие уровни, это не является последним словом в данном вопросе. Лукас создает впечатление, что в имитирующих разум машинах, которые он обсуждает, имеется только один уровень, где происходит манипуляция символами. Например, Правило Отделения (называемое в его статье «Модус Поненс») было бы встроено в аппаратуру и было бы неизменной чертой подобной машины. Он идет еще дальше и сообщает, что если бы Модус Поненс не был непоколебимым столпом этих машин и его иногда можно было бы обойти, то:

Система перестала бы быть формальной логической системой, и подобная машина с трудом могла бы быть названа моделью разума.[57]

Необходимо учитывать, что многие программы, разрабатываемые специалистами по Искусственному Интеллекту, сильно отличаются от программ с жесткими правилами и наборами аксиом — программ, занятых поисками численно-теоретических истин. И все же они безусловно задуманы как «модели разума». На их высшем — «неформальном» — уровне может идти манипуляция символами, создание аналогий, забывание идей, перепутывание понятий, стирание различий и. т. д. Но это не противоречит тому, что все эта деятельность зависит от безошибочного функционирования лежащей в их основе аппаратуры, так же как мозг зависит от правильного функционирования его нейронов. Так что программы ИИ все еще являются «конкретными воплощениями формальных систем» — но они вовсе не те машины, к которым применимо преобразованное Лукасом доказательство Гёделя. Аргументы Лукаса приложимы только к их низшему уровню — уровню, на котором их интеллект, каким бы он ни был, не находится.

Лукас также показывает свой сверхупрощенный взгляд на то, как возможно представить мыслительные процессы на компьютере, когда он пишет о непротиворечивости:

Если бы мы в действительности являлись противоречивыми машинами, мы были бы довольны собственной противоречивостью и не моргнув глазом утверждали бы обе части противоречивого высказывания. Более того, мы вообще могли бы утверждать все, что угодно — но этого не происходит. Легко показать что в противоречивой формальной системе любое высказывание доказуемо.[58]

Это последнее предложение показывает, что Лукас считает, что Исчисление Высказываний должно быть по необходимости встроено в любую формальную систему, которая способна на рассуждения. В частности, он имеет в виду теорему <<Р Λ ~Р>эQ>. Исчисления Высказываний, явно придерживаясь ошибочного мнения, что это — неотъемлемая черта механизированных рассуждений. Однако вполне вероятно, что процессы логической мысли возникнут как следствие работы программ ИИ, вместо того, чтобы быть предварительно запрограммированными. Это именно то, что происходит с людьми! Нет причин полагать, что Исчисление Высказываний, с его жесткими правилами и довольно глупым определением непротиворечивости, которое из этих правил вытекает, возникнет в результате действия такой программы.

Теперь мы можем подвести итоги нашему обсуждению различия между уровнями и дать последнюю, наиболее сильную версию Тезиса Черчй-Тюринга.

ТЕЗИС ЧЁРЧА-ТЮРИНГА ВЕРСИЯ ИИ: Любые мыслительные процессы могут быть симулированы при помощи компьютерной программы, написанной на языке, равномощном Флупу (то есть языке, на котором возможно запрограммировать все частично-рекурсивные функции).

Нужно заметить, что на практике многие специалисты по ИИ верят в идею, родственную тезису Ч-Т, я называю ее Тезисом ИИ.

ТЕЗИС ИИ: По мере того, как машинный разум прогрессирует, механизм, на котором он основан, постепенно становится все ближе к механизму, на котором основан человеческий разум. Иными словами, любой разум — лишь вариация одной и той же темы, чтобы создать настоящий разум, работники ИИ должны подойти как можно ближе к низшим уровням, к механизмам мозга, если они хотят, чтобы машины обладали теми же возможностями, что и мы.

Вернемся к Крабу и к вопросу о том, совместима ли с реальностью его разрешающая процедура, устанавливающая теоремность (представленная в виде фильтра музыкальной красоты). На самом деле, из событий Диалога мы не можем с уверенностью заключить, является ли дар Краба способностью отличать теоремы от не-теорем, или же способностью отличать истинные высказывания от ложных. Разумеется, во многих случаях это одно и то же, но Теорема Геделя показывает, что так бывает не всегда. Однако это не так уж важно, поскольку, если вы принимаете Версию ИИ Тезиса Ч-Т, ни одна из этих альтернатив невозможна. Утверждение, что ни в какой формальной системе не существует разрешающей процедуры, способной отличать теоремы от не-теорем называется Теоремой Черна. Утверждение, что ни в какой формальной  системе не существует разрешающей процедуры для Истины ТТЧ — если таковая существует, в чем легко начать сомневаться после рассмотрения всех разветвлений ТТЧ, — следует из Теоремы Тарского (опубликованной в 1933 году, хотя Тарский был знаком с подобными идеями значительно раньше).

Доказательства этих двух важных результатов метаматематики весьма схожи. Оба вытекают из автореферентных построений. Давайте сначала рассмотрим вопрос о разрешающей процедуре для теоремности ТТЧ. Если бы существовал некий способ, при помощи которого можно было бы сказать, принадлежит ли данная формула X к классу «теорем» или «не-теорем», то, согласно Стандартной Версии Тезиса Ч-Т, должна была бы существовать некая конечная программа Флупа (общерекурсивная функция), которая могла бы проделать то же самое, когда входными данными является Гёделев номер формулы X. Важно помнить, что любое свойство, которое может быть проверено при помощи конечной программы Флупа, представимо в ТТЧ. Но, как мы вскоре увидим, это было бы источником проблем, поскольку если теоремность — представимое свойство, то Гёделева формула G становится так же порочна, как и парадокс Эпименида.

Все зависит от того, что утверждает G: «G — не теорема ТТЧ». Предположим, что G была бы теоремой. Тогда, поскольку теоремность, по предположению, представима, то формула ТТЧ, утверждающая «G — теорема ТТЧ», была бы теоремой ТТЧ. Но эта формула — не что иное как ~G, отрицание G; выходит, что ТТЧ непоследовательна. Предположим теперь, что G — теорема. Тогда опять, поскольку мы предполагаем, что теоремы представимы, формула, утверждающая «G — не теорема» являлась бы теоремой ТТЧ. Но эта формула — не что иное, как G; мы снова получаем парадокс. В отличие от ранее описанной ситуации, этот парадокс не имеет решения. Проблема заключается в начальном предположении, что свойство теоремности представлено некоей формулой ТТЧ; следовательно, нам придется отказаться от этого предположения. Это заставляет нас признать, что не существует программы Флупа, способной отличить Гёделевы номера теорем от Гёделевых номеров не-теорем. Наконец, если мы принимаем Версию ИИ Тезиса Ч-Т, мы должны пойти еще дальше и заключить, что не существует такого метода, при помощи которого люди могут отличать теоремы от не-теорем (и это включает методы, основанные на восприятии красоты). Сторонники Версии Коллективных Процессов все еще могут полагать, что Крабьи способности возможны; но из всех версий именно эту труднее всего подтвердить фактами.

Теперь давайте рассмотрим результат Тарского. Тарский хотел выяснить, существует ли способ выразить в ТТЧ понятие теоретико-численной истины. То, что теоремность можно выразить (но не представить), мы уже видели; Тарский задался аналогичным вопросом в приложении к понятию истины. Точнее, он хотел определить, есть ли формула ТТЧ с единственной свободной переменной а, которая может быть интерпретирована как:

«Формула, чей Гёделев номер — а, выражает истину.»

Предположим, вместе с Тарским, что такая формула существует. Для краткости назовем ее ISTIN{a}. Теперь используем метод диагонализации и построем высказывание, утверждающее о себе самом, что оно ложно. Для этого мы точно повторим метод Гёделя, начиная с «дяди»:

Ea:<~ISTIN{a}ΛARITHMOQUINE{a'',a}>

Предположим, что Гёделев номер этого дяди — t. Арифмоквайнируем теперь самого дядю и получим формулу Тарского Т:

Ea:<~ISTIN{a}ΛARITHMOQUINE{SSS...SSS/a'',a}>

.                                          |______|  S повторяется t раз

В интерпретации эта формула читается как:

«Арифмоквайнификацией t является ложное утверждение.»

Но, поскольку арифмоквайнификация t — это собственный Гёделев номер Т, формула Тарского Т в точности воспроизводит парадокс Эпименида внутри ТТЧ, говоря о себе «Я — ложь». Разумеется, это ведет к заключению, что это высказывание одновременно является и истинным и ложным (либо ни тем, ни другим). Возникает интересный вопрос: что плохого в воспроизведении парадокса Эпименида? Какие от этого могут быть последствия? В конце концов, этот парадокс уже существует в русском языке, и русский язык пока от этого не погиб.

Ответ заключается в том, что здесь имеются два уровня значения. Один из них мы только что использовали; другой уровень — это утверждение теории чисел. Если бы формула Т Тарского действительно существовала, то она являлась бы высказыванием о натуральных числах, которое одновременно и истинно и ложно! Именно в этом вся загвоздка. В то время как мы можем отмахнуться от парадокса Эпименида в русском языке, сказав, что его тема (его собственная истинность) — это нечто абстрактное, дело меняется, когда речь идет о конкретных высказываниях о числах! Если мы решим, что такая путаница не должна существовать, то нам придется отказаться от предположения о существовании формулы ISTIN{a}. Следовательно, в ТТЧ невозможно выразить понятие истинности. Заметьте, что это делает истину еще более неуловимым понятием, чем теоремность, поскольку та, по крайней мере, выразима. Те же самые аргументы приводят нас к заключению, что:

крабий ум не способен распознавать истину, точно так же как он не способен распознавать теоремность ТТЧ.

Первое противоречило бы Теореме Тарского-Чёрча-Тюринга («Не существует разрешающей процедуры для арифметических истин»), а второе — Теореме Чёрча.

Интересно подумать о значении слова «форма» в приложении к построению сложных фигур. Например, что заставляет нас признать картину красивой? «Форма» линий и точек на нашей сетчатке? По-видимому, так и должно быть, поскольку именно в этой форме картина передается анализирующим механизмам у нас в голове; однако сложность обработки этих данных вызывает у нас чувство, что мы смотрим на что-то большее, чем простая двухмерная поверхность, — мы отвечаем на некое внутреннее значение картины, ее многомерный аспект, заключенный внутри этих двух измерений. Здесь важно слово «значение». Наш разум оснащен переводчиками, производящими на основе двухмерных схем многомерные значения, такие сложные, что мы не можем их описать сознательно. То же самое можно сказать и о нашей реакции на музыку.

Субъективно может показаться, что механизм, извлекающий внутреннее значение, совершенно отличен от механизма, проверяющего наличие или отсутствие некоего определенного качества, такого, например, как правильно-сформированность строчек. Возможно, это потому, что внутреннее значение — это что-то, что проявляется со временем.

Из этого следует, что в схемах, которые мы анализируем, можно говорить о двух видах формы. Прежде всего, там существуют такие качества, как правильно-сформированность, наличие которой можно определить с помощью предсказуемо конечных тестов, как в программах Блупа. Я предлагаю называть это синтаксическими характеристиками формы. Интуитивно можно сказать, что синтаксические аспекты формы лежат близко к поверхности и, таким образом, не создают многомерных познавательных структур.

С другой стороны, семантические характеристики формы не могут быть проверены с помощью предсказуемо конечных тестов; для них требуются открытые тесты. Примером такого аспекта, как мы видели, является теоремность строчек ТТЧ. Мы не можем, использовав некий стандартный тест, установить, является ли данная строчка теоремой ТТЧ. Почему-то тот факт, что здесь идет речь о значении, важным образом соотносится с трудностью определения теоремности ТТЧ. Акт извлечения значения из строчки означает, по сути, установление всех связей данной строчки с остальными строчками, и это, в свою очередь, выводит нас на бесконечную дорогу. Таким образом, «семантические» характеристики соотносятся с открытым поиском, поскольку — и это очень важно — значение объекта не заключается внутри самого объекта. Это не означает, что никакой объект вообще никогда невозможно понять, поскольку со временем его значение становится все яснее. Однако некоторые аспекты значения останутся скрыты очень надолго.

Давайте перейдем от строчек ТТЧ к музыкальным произведениям. Если вам так больше нравится, можете продолжать употреблять слово «строчка» в применении к музыкальным пьесам. Это обсуждение весьма общее, но мне кажется, что его смысл легче передать на примере музыки. Значение музыкального произведения странным образом дуалистично: с одной стороны оно тесно соотносится с огромным количеством других вещей в мире, а с другой стороны, оно явно выводится из самой музыки, то есть, оно должно быть расположено где-то внутри музыкального произведения.

Решение этой дилеммы включает понятие интерпретатора — механизма, извлекающего значение. (Под «интерпретатором» в этом контексте я подразумеваю не музыканта-исполнителя, а механизм в мозгу у слушателя, извлекающий значение из пьесы, которую тот слышит.) Интерпретатор может заметить многие важные аспекты значения пьесы, слушая ее в первый раз; это, по-видимому, подтверждает гипотезу о том, что значение находится в самой пьесе и просто извлекается из нее. Но это только полдела. Музыкальный интерпретатор действует, создавая многомерную мысленную структуру — внутреннее представление о пьесе, — которую он пытается соотнести с ранее известной информацией, находя связи с другими многомерными мысленными структурами, в которых закодирован предыдущий опыт. По мере того, как происходит этот процесс, полное значение пьесы постепенно выходит на поверхность. В действительности, могут пройти годы прежде чем мы почувствуем, что наконец-то поняли сокровенное значение определенной пьесы. Это, как кажется, поддерживает гипотезу о том, что значение музыкального произведения также находится и вне его и что роль интерпретатора — постепенно собрать это значение воедино.

Без сомнения, истина лежит где-то посередине значения — как музыкальное, так и лингвистическое — до какой-то степени локализованы только отчасти. Используя терминологию главы VI, мы можем сказать, что музыкальные произведения и куски текста отчасти являются триггерами, и отчасти — носителями явного значения. Яркая иллюстрация этого дуализма — табличка со старинной надписью значение здесь частично хранится в библиотеках и мозгах ученых всего мира, и в то же время явно содержится в самой табличке.

Таким образом, еще один способ охарактеризовать различие между «синтаксическими» и «семантическими» свойствами (в только что описанном смысле) заключается в том, что синтаксические свойства безусловно находятся внутри самого объекта, в то время как семантические свойства зависят от отношений этого объекта с потенциально бесконечным множеством других объектов и, следовательно, не являются полностью локализуемыми В синтаксических свойствах в принципе нет ничего спрятанного и загадочного, в то время как спрятанность — суть семантических свойств. Именно поэтому я предложил различать между «синтаксическим» и «семантическим» аспектами зрительных образов.

А как насчет красоты? Согласно вышеизложенным идеям, это, безусловно, не синтаксическое свойство Семантическое ли это свойство? Свойство ли это, скажем, отдельной картины? Давайте рассмотрим этот вопрос в применении к единственному зрителю С каждым из нас бывало, что то, что когда-то казалось красивым, некоторое время спустя выглядит серым и скучным, а в промежутках, возможно, кажется нейтральным Значит ли это, что красота — свойство преходящее? Можно повернуть ту же ситуацию другим концом и сказать, что изменился зритель. Но, имея в виду определенного зрителя, определенную картину и определенный момент времени, можно ли утверждать, что красота — качество, которое либо присутствует, либо нет? Или же красота неопределима и неуловима?

Возможно, что в каждом человеке в зависимости от обстоятельств могут действовать различные уровни интерпретаторов. Эти разные интерпретаторы выдают разные значения, устанавливают разные связи и обычно оценивают все глубокие аспекты по-разному. Из-за этого понятие красоты кажется почти неопределимым. Именно по этой причине я решил связать красоту в Диалоге «Магнификраб» с истиной, которая, как мы видели, является одним из самых неуловимых понятий математики.

В заключение этой главы я хочу привести некоторые идеи, касающиеся основной проблемы истины, парадокса Эпименида. Мне кажется, что воспроизведение Тарским этого парадокса в ТТЧ позволяет глубже понять его природу в русском языке. Тарский нашел, что в его версии парадокса есть два разных уровня. На одном уровне это суждение о себе самом, которое было бы истинно, если бы оно было ложно и ложно, если бы оно было истинно. На другом уровне — который я буду называть арифметическим субстратом — это суждение о целых числах, истинное тогда и только тогда, когда оно ложно.

Почему-то это последнее раздражает нас гораздо больше первого. Некоторые люди просто отмахиваются от первого уровня, как от «бессмыслицы», из-за его автореферентности. Но отмахнуться от парадоксального суждения о целых числах невозможно. Суждения о целых числах просто не могут быть одновременно и истинными, и ложными.

Мне кажется, что превращение Тарским парадокса Эпименида учит нас искать субстрат также в языковой версии парадокса. В арифметической версии высший уровень значения опирается на низший арифметический уровень. Аналогично, автореферентное суждение, которое мы воспринимаем («Это высказывание ложно») может являться только высшим уровнем некой конструкции с двумя уровнями. Что же тогда играет здесь роль низшего уровня? Какой механизм порождает язык? Мозг. Значит, необходимо искать нейронный субстрат парадокса Эпименида — низший уровень противоречащих друг другу физических событий, то есть событий, которые не могут произойти одновременно. Если такой физический субстрат существует, то тогда понятно, почему нам не удается разрешить парадокс Эпименида, — наш мозг пытается сделать нечто невозможное.

Что же это за конфликтующие физические события? Предположительно, когда вы слышите парадокс Эпименида, ваш мозг «кодирует» это предложение как внутреннюю конструкцию взаимодействующих символов. После этого он пытается классифицировать предложение как «истинное» или «ложное». В процессе этого определения некоторые символы обязательно должны взаимодействовать. (Предположительно это происходит при обработке любого предложения.) Если при этом физически прерывается процесс кодификации предложения — нечто, чего обычно не происходит, — тогда начинаются неприятности, поскольку это все равно что пытаться заставить патефон проигрывать собственную разбивальную музыку. Мы описали происходящий конфликт в физических терминах, а не в терминах нейронов. Если наш анализ правилен, то мы сможем продолжить обсуждение, когда нам станет известно, как участвуют нейроны и схемы их возбуждения в построении символов в мозгу и каким образом там «кодируются» предложения.

Этот набросок нейронного субстрата парадокса Эпименида наводит (по-крайней мере, меня) на мысль о том, что решение языковой версии парадокса Эпименида может быть подобно решению версии Тарского — то есть, что нам придется отказаться от мысли, что мозг может когда-либо с точностью представить понятие истины. Новым здесь является предположение, что полное воспроизводство истины невозможно по физическим причинам, поскольку оно включало бы физически несовместимые мозговые процессы.

Однажды Ета Ойн заходит в лабораторию искусственного интеллекта Массачусетского Института Технологии, где она встречается с блестящей молодой программой по имени ШРДЛУ. Оказывается, что ШРДЛУ сгорает от желания найти кого нибудь кто согласился бы опробовать недавно созданное человеческое существо под названием «д-р Тире-Рвинога». ШРДЛУ объясняет, что д-р Тире-Рвинога довольно сообразителен в ограниченной области анализа бесед об игрушечной мире — мире, состоящем из кубиков разных размеров, форм и цветов. Эти кубики лежат на столе, и их можно брать и перекладывать с места на место. Ета Ойн, заинтересовавшись, начинает печатать команды для ШРДЛУ, в то время как д-р Тире-Рвинога, стоя за ее спиной, комментирует происходящее, как и было обещано.[59]

1. Ета Ойн: Возьми большой красный кубик (См. рис. 110)

ШРДЛУ: ХОРОШО

Д-р Тире-Рвинога: ШРДЛУ отвечает «хорошо», когда она выполняет команду. Чтобы взять красный кубик, ей пришлось его освободить, найдя место для зеленого кубика и положив его туда.

2. Ета Ойн: Возьми эту пирамиду.

ШРДЛУ: Я НЕ ПОНИМАЮ, КОТОРУЮ ПИРАМИДУ ВЫ ИМЕЕТЕ В ВИДУ.

Д-р Тире-Рвинога: На столе стоят три пирамиды, а ШРДЛУ знает, что предложения со словом «этот» относятся к определенному предмету, который говорящий имеет в виду.

Рис. 110. «Возьми большой красный кубик» (Terri Winograd «Understanding Natural Language», cтp. 8)

3. Eтa Ойн: найди кубик выше, чем тот, что ты держишь, и положи его в коробку. (См. рис. 111.)

Д-р Тире-Рвинога: ШРДЛУ должна сообразить, к чему относятся слова «тот» и «его», а также путем умозаключений вывести, какой именно кубик она держит.

ШРДЛУ: ПОД «ЕГО» ВЫ, ВЕРОЯТНО, ИМЕЕТЕ В ВИДУ КУБИК, КОТОРЫЙ ВЫШЕ, ЧЕМ ТОТ, ЧТО Я ДЕРЖУ.

Д-р Тире-Рвинога: «Его» могло относиться к одному из двух кубиков: к выбранному кубику или же к кубику, который держит ШРДЛУ. В ШРДЛУ запрограммированны методы для выбора между ними.

ШРДЛУ: ХОРОШО.

Д-р Тире-Рвинога: ШРДЛУ приходится положить красный кубик, чтобы взять более высокий голубой кубик.

Рис. 111. «Найди кубик выше, чем тот, что ты держишь, и положи его в коробку». (Terri Winograd, «Understanding Natural Language», стр. 9)

4. Ета Ойн: Что находится в коробке?

ШРДЛУ: ГОЛУБАЯ ПИРАМИДА И ГОЛУБОЙ КУБ.

5. Ета Ойн: На что опирается эта пирамида?

Д-р Тире-Рвинога: Раньше ШРДЛУ ответила на слова «эта пирамида», сказав «Я НЕ ПОНИМАЮ, КОТОРУЮ ПИРАМИДУ ВЫ ИМЕЕТЕ В ВИДУ.» Теперь она подразумевает, что вы имеете в виду только что упомянутую пирамиду.

ШРДЛУ: НА КОРОБКУ.

6. Ета Ойн: Сколько кубиков находится не в коробке?

Д-р Тире-Рвинога: ШРДЛУ понимает стандартные отрицания, такие как «нет» и «не», в каком бы контексте они не появлялись.

ШРДЛУ: ЧЕТЫРЕ.

7. Ета Ойн: Правда ли, что по крайней мере один из них уже, чем тот, который я попросила тебя взять?

Д-р Тире-Рвинога: Выражение «по крайней мере один из них» должно быть проанализировано по отношению к предыдущему вопросу; «тот, который» должно также относиться к кубикам. Группы существительных могут иметь сложное число, как например «по крайней мере, один», «больше трех», «ровно семь» и так далее. Память о прошлых событиях используется, чтобы понять выражение «тот, который я попросила тебя взять». Обратите внимание на сложную синтаксическую структуру, в которой слово «тот» является дополнением придаточного предложения, находящегося двумя уровнями глубже. Программа синтаксического анализа ШРДЛУ включает грамматику, обобщенно решающую такие проблемы.

ШРДЛУ: ДА. КРАСНЫЙ КУБ.

8. Ета Ойн: Он на что-то опирается?

ШРДЛУ: ДА. НА СТОЛ.

Д-р Тире-Рвинога: ШРДЛУ умеет определять, какая информация важна для собеседника, даже если тот не спрашивает об этом прямо.

9. Ета Ойн: Может ли стол брать кубики?

ШРДЛУ: НЕТ.

Д-р Тире-Рвинога: Семантические правила ШРДЛУ включают знания о том, что «брать» что-либо может только некто одушевленный, и что стол — предмет неодушевленный.

10. Ета Ойн: Может ли пирамида стоять на кубике?

ШРДЛУ: ДА.

Д-р Тире-Рвинога: Дедуктивная система ШРДЛУ находит пример подобного положения, так что она знает, что это возможно.

11. Ета Ойн: Может ли пирамида стоять на пирамиде?

ШРДЛУ: Я НЕ ЗНАЮ.

Д-р Тире-Рвинога: Этот вопрос имеет смысл, но такого примера перед ШРДЛУ нет. Она не может рассмотреть детали своих программ, несмотря на то, что от них в конечном счете зависят ее возможности.

12. Ета Ойн: Положи одну пирамиду на другую.

ШРДЛУ: Я НЕ МОГУ.

Д-р Тире-Рвинога: ШРДЛУ попыталась это сделать, но у нее ничего не получилось.

13. Ета Ойн: Голубая пирамида моя.

ШРДЛУ: Я ПОНИМАЮ.

Д-р Тире-Рвинога: ШРДЛУ заранее известна вся информация о цвете, форме, размере и расположении этих объектов. О принадлежности этих предметов ей надо сообщать. Она сохраняет эту информацию в своей базе данных.

14. Ета Ойн: Мне принадлежат все не красные кубики, но мне не принадлежит ничего, что поддерживало бы пирамиду.

ШРДЛУ: Я ПОНИМАЮ.

Д-р Тире-Рвинога: Результатом понимания этих предложений является создание новых процедур в ШРДЛУ, которые выясняют, что вам принадлежит.

15. Ета Ойн: Принадлежит ли мне эта коробка?

ШРДЛУ: НЕТ.

Д-р Тире-Рвинога: На коробку опирается все, что в ней находится, включая пирамиду.

16. Ета Ойн: Принадлежит ли мне что-нибудь из находящегося в коробке?

ШРДЛУ: ДА. ДВЕ ВЕЩИ: ГОЛУБОЙ КУБИК И ГОЛУБАЯ ПИРАМИДА.

17. Ета Ойн: He поставишь ли ты друг на друга оба красных кубика и зеленый куб или пирамиду? (См. рис. 112)

ШРДЛУ: ХОРОШО.

Д-р Тире-Рвинога: Логические связки такие как «и», «или» и так далее, понимаются как на уровне грамматики, так и на уровне семантики. Команда выполняется, даже если она выглядит как вопрос. Эта команда выполняется в несколько шагов. ШРДЛУ кладет зеленый куб на большой красный кубик (при этом она выбирает тот зеленый куб, на котором ничего не стоит), затем убирает маленькую пирамиду с маленького красного куба, чтобы иметь возможность использовать его для окончания постройки требуемой башни.

Рис. 112. «Не поставишь ли ты друг на друга оба красных кубика и зеленый куб или пирамиду?» (Terri Winograd, «Understanding Natural Language», стр. 12)

18. Ета Ойн: Какой куб лежит на столе?

ШРДЛУ: БОЛЬШОЙ ЗЕЛЕНЫЙ КУБ НА КОТОРОМ СТОИТ КРАСНАЯ ПИРАМИДА.

Д-р Тире-Рвинога: Обычно ШРДЛУ удовлетворилась бы фразой «БОЛЬШОЙ ЗЕЛЕНЫЙ КУБ», но поскольку вы спросили «какой куб», она должна быть более точной, называя его. В ней имеются также процедуры для опускания существительных или замены их место имениями, чтобы сделать ее речь более естественной.

19. Ета Ойн: Есть ли большой кубик за пирамидой?

ШРДЛУ: ДА. ТРИ ИЗ НИХ. БОЛЬШОЙ КРАСНЫЙ, БОЛЬШОЙ ЗЕЛЕНЫЙ и БОЛЬШОЙ ГОЛУБОЙ.

20. Ета Ойн: Положи маленький на зеленый кубик, на котором стоит пирамида.

Д-р Тире-Рвинога:«Маленький» должно соотноситься с вашей предыдущей фразой «большой кубик», так что это значит «маленький кубик».

ШРДЛУ: ХОРОШО.

21. Ета Ойн: Поставь на него наименьшую пирамиду.

Д-р Тире-Рвинога: Слова типа «наименьший» отсутствуют в словаре ШРДЛУ, но она выводит их значение из корней других слов, как, например, меньше. Чтобы исполнить эту команду, ШРДЛУ сравнивает размер всех пирамид.

ШРДЛУ: ХОРОШО.

22. Ета Ойн: Сколько вещей стоит на зеленых кубах?

ШРДЛУ: Я НЕ СОВСЕМ ПОНИМАЮ, ЧТО ВЫ ИМЕЕТЕ В ВИДУ ПОД «НА» ВО ФРАЗЕ «НА ЗЕЛЕНЫХ КУБАХ». ВЫ ХОТИТЕ СКАЗАТЬ:

1 — ПРЯМО НА ПОВЕРХНОСТИ,

2 — ГДЕ ЛИБО НА НИХ?

Д-р Тире-Рвинога: В предыдущем предложении это выражение было интерпретировано без проблем, так как его смысл был ясен из контекста. В этом случае эвристика для ликвидации двусмысленности не находит четкого решения и ШРДЛУ приходится просить у вас дополнительную информацию. При этом она использует перифразы словарных определений слова «на». Подобного разъяснения она может попросить также тогда, когда ей неясно значение местоимений, как, например, «это» или «они».

23. Eтa Ойн: Прикасалась ли ты к какой-нибудь еще пирамиде, прежде чем поставить зеленую на маленький куб?

ШРДЛУ: ДА, К ЗЕЛЕНОЙ.

Д-р Тире-Рвинога: ШРДЛУ «вспоминает», какое событие вы имеете в виду; она может соотносить события во времени. Для этого она анализирует глагольные времена и употребление наречий времени — специальные процедуры имеют дело с неправильными глаголами.

24. Ета Ойн: Когда ты ее брала?

ШРДЛУ: КОГДА Я СТРОИЛА БАШНЮ ИЗ КРАСНОГО КУБА И БОЛЬШИХ КУБИКОВ, КРАСНОГО И ЗЕЛЕНОГО.

Д-р Тире-Рвинога: Время здесь описано в терминах задачи, над которой ШРДЛУ работала в тот момент.

25. Ета Ойн: Почему?

Д-р Тире-Рвинога: Чтобы понять подобные вопросы, ШРДЛУ вспоминает предыдущие предложения.

ШРДЛУ: ЧТОБЫ ЕЕ УБРАТЬ.

Д-р Тире-Рвинога: Поскольку ШРДЛУ следит за первоначальным деревом подзадач, она в какой-то мере понимает мотивы собственных действий.

26. Ета Ойн: Почему тебе надо было это сделать?

ШРДЛУ: ЧТОБЫ ОСВОБОДИТЬ КРАСНЫЙ КУБ.

Д-р Тире-Рвинога: «Это» относится к действию, которое ШРДЛУ описывала в своем последнем ответе.

27. Ета Ойн: Зачем ты это освободила?

Д-р Тире-Рвинога: В данном случае «это» означает только что упомянутый куб.

ШРДЛУ: ЧТОБЫ ПОСТАВИТЬ ЕГО НА БОЛЬШОЙ ЗЕЛЕНЫЙ КУБ.

28. Ета Ойн: Зачем ты это сделала?

ШРДЛУ: ЧТОБЫ ПОСТАВИТЬ ДРУГ НА ДРУГА КРАСНЫЙ КУБ, БОЛЬШОЙ ЗЕЛЕНЫЙ КУБИК И БОЛЬШОЙ ЗЕЛЕНЫЙ КУБ.

29. Ета Ойн: Зачем ты это сделала?

ШРДЛУ: ПОТОМУ ЧТО ТЫ МЕНЯ ПОПРОСИЛА.

Д-р Тире-Рвинога: ШРДЛУ помнит, что она делала, и как была выражена команда.

30. Ета Ойн: Как ты это сделала?

Д-р Тире-Рвинога: «Это» относится к действию, упомянутому в последнем вопросе, а не к ответу на него.

ШРДЛУ: ПОЛОЖИВ БОЛЬШОЙ КРАСНЫЙ КУБИК НА СТОЛ; ЗАТЕМ ОТПУСТИВ ЕГО; ЗАТЕМ ПОЛОЖИВ НА НЕГО БОЛЬШОЙ ЗЕЛЕНЫЙ КУБ, ЗАТЕМ ОТПУСТИВ ЭТОТ КУБ, ЗАТЕМ ПОЛОЖИВ КРАСНЫЙ КУБ НА ЭТОТ КУБ; ЗАТЕМ ОТПУСТИВ ЭТОТ КУБ.

Д-р Тире-Рвинога: Это описание подзадач высшего уровня, использованных для достижения основной задачи.

31. Eтаa Ойн: К скольким предметам ты притронулась, пока это делала?

Д-р Тире-Рвинога: Отрезок времени может быть определен с помощью таких слов как «пока».

ШРДЛУ: К ЧЕТЫРЕМ.

32. Ета Ойн: Что стояло на красном кубе до того, как ты начала его освобождать?

ШРДЛУ: ЗЕЛЕНАЯ ПИРАМИДА.

Д-р Тире-Рвинога: Вспоминая, что она сделала, ШРДЛУ может делать выводы о предыдущей ситуации. Вы можете использовать сложные структуры с несколькими придаточными предложениями типа «до того, как ты начала его освобождать».

33. Ета Ойн: Слева от коробки находились тогда пять кубиков.

Д-р Тире-Рвинога: «Тогда» должно относиться ко времени, упомянутом в последней фразе.

ШРДЛУ: НЕТ, ТОЛЬКО ЧЕТЫРЕ КРАСНЫЙ КУБ, ДВА БОЛЬШИХ ЗЕЛЕНЫХ КУБА И БОЛЬШОЙ КРАСНЫЙ КУБИК.

Д-р Тире-Рвинога: Раньше в разговоре информация о «принадлежности» была принята за чистую монету. Но ШРДЛУ знает, что в ее распоряжении — полная информация об основных свойствах предметов. Она проверяет высказывания о предметах и может с ними не согласиться.

34. Ета Ойн: Расположи голубую пирамиду на кубике в коробке.

Д-р Тире-Рвинога: Это предложение синтаксически двусмысленно, но оно понято без труда, поскольку разделение, соответствующее значению «расположи голубую пирамиду, которая стоит на кубике, в коробке» здесь бессмысленно, в то время как «расположи голубую пирамиду на кубике, который стоит в коробке» имеет смысл.

ШРДЛУ: ХОРОШО.

35. Ета Ойн: Есть ли здесь что-нибудь что больше любой пирамиды, но не так широко, как то на чем оно стоит?

Д-р Тире-Рвинога: ШРДЛУ понимает такие слова как «каждый», «никакой», «что-нибудь» и так далее и выражения типа «больше, чем», «такой же широкий, как» и тому подобное. Здесь местоимение «оно» относится к группе существительных в том же предложении, но в программе синтаксического анализа оно находится двумя уровнями выше.

ШРДЛУ: ДА ГОЛУБОЙ КУБИК.

36. Ета Ойн: Расположена ли колокольня.

ШРДЛУ: ПРОСТИТЕ, Я НЕ ЗНАЮ СЛОВА «КОЛОКОЛЬНЯ».

Д-р Тире-Рвинога: ШРДЛУ немедленно перебивает, если она видит не знакомое слово.

37. Ета Ойн: «Колокольня» это башня, построенная из двух зеленых кубов и пирамиды.

Д-р Тире-Рвинога: Кавычки означают, что вы определяете новое слово. Определение добавляется к словарю ШРДЛУ в форме, совместимой с тем, что она уже знает.

ШРДЛУ: Я ПОНИМАЮ.

38. Ета Ойн: Есть ли сейчас здесь колокольни?

ШРДЛУ; НЕТ.

Д-р Тире-Рвинога: Новое определение используется как описание, чтобы отличать колокольни.

39. Ета Ойн: Построй ее.

ШРДЛУ: ХОРОШО.

Д-р Тире-Рвинога: Описания, данного в определении, достаточно для того, чтобы выработать план построения новых объектов, и для того, чтобы их узнавать. Слово «ее» означает «колокольню», и план приводится в исполнение. Сначала освобождается один из больших зеленых кубов — с него снимается красный куб и две пирамиды. Затем два зеленых куба и высокая красная пирамида ставятся друг на друга соответствующим описанию образом.

40. Ета Ойн: Называй наибольший кубик «суперкубиком».

ШРДЛУ: ХОРОШО.

Д-р Тире-Рвинога: Можно давать предметам имена.

41. Ета Ойн: Ты брала суперкубик с тех пор, как мы начали?

ШРДЛУ: ДА.

42. Ета Ойн: Почему ты его уронила?

ШРДЛУ: Я ЗАКЛЮЧАЮ, ЧТО ПОД «НИМ» ВЫ ИМЕЕТЕ В ВИДУ СУПЕРКУБИК. Я НЕ МОГУ ОБЪЯСНИТЬ НЕСЛУЧИВШЕЕСЯ СОБЫТИЕ.

Д-р Тире-Рвинога: В памяти ШРДЛУ нет записи об уроненном блоке. Рутинные процедуры ответа могут распознавать подобные «вопросы на засыпку», предполагающие ложную информацию.

43. Ета Ойн: Есть ли что-нибудь слева от красной пирамиды?

ШРДЛУ: ДА. ЧЕТЫРЕ ПРЕДМЕТА: КОРОБКА, КРАСНЫЙ КУБ, ГОЛУБАЯ ПИРАМИДА И БЛОК, НАЗЫВАЕМЫЙ СУПЕРКУБИКОМ.

Д-р Тире-Рвинога: Когда предмет получает название, оно затем используется в ответах для идентификации этого предмета.

44. Ета Ойн: Спасибо.

ШРДЛУ: ПОЖАЛУЙСТА!

Д-р Тире-Рвинога: Грамматика ШРДЛУ дает ей возможность распознавать идиоматические выражения.

В 1950 ГОДУ АЛАН ТЮРИНГ написал дерзкую и пророческую статью об искусственном интеллекте. Она называлась «Вычислительные машины и интеллект» и была опубликована в журнале «Mind».[60] Прежде чем говорить об этой статье, я хочу рассказать кое-что о самом Тюринге.

Рис. 113. Алан Матисон Тюринг.

Алан Матисон Тюринг родился в Лондоне в 1912 году. Он рос любопытным и веселым ребенком. У него оказались незаурядные способности к математике, и позже Алан поступил в Кембриджский университет, где его интересы в области техники и математической логики скрестились. Результатом этого плодотворного скрещивания была его знаменитая статья о «вычислимых числах» в которой он изобрел теорию машин Тюринга и показал неразрешимость проблемы остановки. Эта статья была опубликована в 1937 году. В 1940-х годах интересы Тюринга перешли от теории вычислительных машин к созданию настоящих компьютеров. Он был одним из пионеров компьютерной техники в Англии и стал ярым защитником искусственного интеллекта, когда тот впервые подвергся нападкам. Среди его единомышленников и ближайших друзей был Дэвид Чемперноун (который позже стал работать над созданием музыкальных композиций при помощи компьютеров). Друзья были страстными шахматистами и придумали новый вариант этой игры, под названием «шахматы вокруг дома»: сделав ход, игрок должен обежать вокруг дома; если он вернется обратно до того, как его противник сделает ответный ход, он получает право пойти еще раз. В более серьезном плане, Тюринг и Чемперноун изобрели первую шахматную программу под названием «Тюрочем». Тюринг умер молодым, в возрасте 41 года — по-видимому, из-за несчастного случая с химикатами (есть мнение, что он покончил самоубийством). Его мать, Сара Тюринг, написала его биографию. Из приводимых ею отзывов о Тюринге складывается впечатление, что он был личностью весьма нестандартной и не умел вести себя в обществе; при этом он был честен, порядочен и легко уязвим. Он любил игры, шахматы, детей; катался на велосипеде и был хорошим бегуном на дальние дистанции. Во время учебы в Кембридже он купил себе подержанную скрипку и научился на ней играть. Хотя Алан не был особенно музыкален, он получал от игры большое удовольствие. Он был несколько эксцентричен и часто страстно увлекался самыми неожиданными вещами. Одним из его интересов являлся морфогенез в биологии. Согласно его матери, Тюринг «очень любил „Записки Пиквикского клуба“», но «поэзия, за исключением Шекспира, оставляла его совершенно равнодушным». Алан Тюринг был одним из основоположников компьютерного дела.

Статья Тюринга начинается с фразы: «Рассмотрим вопрос: „Может ли машина думать?“» Поскольку, как он указывает, эти термины слишком многозначны, очевидно, что мы должны искать практическое решение проблемы. Для этого Тюринг предлагает игру, которую он называет «игрой в имитацию»; сегодня она известна под названием «тест Тюринга». Тюринг объясняет ее так:

Играют три человека: мужчина (А), женщина (Б) и ведущий (В), который может быть любого пола. Ведущий закрывается в отдельной комнате. Он должен, задавая вопросы, определить по ответам, кто из двух игроков — мужчина и кто — женщина. Он знает игроков только под именами X и Y; в конце игры он должен сказать либо «X — это A, a Y — это Б», либо «X — это Б, a Y — это А». Ведущий может задавать любые вопросы, например: В: X, скажите мне, пожалуйста, какой длины ваши волосы? Предположим, что под псевдонимом X скрывается А; тогда А должен отвечать. Его цель — стараться сбить ведущего с толку, чтобы тот дал неправильное определение. Поэтому он может ответить, например, так: «Мои волосы пострижены ступеньками, и самые длинные прядки — около 25 сантиметров.» Чтобы голос не выдал отвечающих, их ответы должны быть написаны или, еще лучше, напечатаны. Идеальным было бы установить сообщение между комнатами при помощи телепринтера. Вместо этого для передачи вопросов и ответов можно также использовать посредника. Цель игрока Б — помогать ведущему; лучшей стратегией для этого, возможно, являются правдивые ответы. Она может добавлять замечания вроде: «Женщина — это я; не слушайте его!» — но они мало чем помогут, поскольку мужчина может сказать тоже самое. Теперь мы спросим: «А что, если вместо А в этой игре будет участвовать машина?» Будет ли ведущий ошибаться так же часто, как и в игре, где участниками были мужчина и женщина? Эти вопросы заменяют наш первоначальный вопрос: «Могут ли машины думать?»[61]

Разъяснив, в чем состоит его тест, Тюринг приводит по его поводу несколько замечаний, для того времени весьма тонких. Сначала он дает пример короткого диалога между спрашивающим и отвечающим:[62]

С: Напишите мне, пожалуйста, сонет, на тему «мост в Форте» (через залив Ферт-оф-Форт в Шотландии).

О: В этом на меня не рассчитывайте я никогда не был силен в поэзии.

С: Сложите 34 957 и 70 764.

О (После примерно полминутной паузы): 105 621.

С: Вы играете в шахматы?

О: Да.

С: Мой король стоит на e1, других фигур у меня нет. Ваш король — на еЗ и ладья — на а8. Как вы пойдете?

О: (Помедлив 15 секунд) Поставлю вам мат в один ход Ла1Х.

Мало кто из читателей замечает, что в арифметической задаче не только время раздумья слишком длинно, но и сам ответ ошибочен! Это было бы легко объяснить, если бы отвечающий был человеком — человеку свойственно ошибаться. Если же отвечала машина, то этому возможны разные объяснения, например:

(1) ошибка на уровне аппаратуры во время прогона программы (случайная и невоспроизводимая осечка),

(2) непреднамеренная ошибка на уровне аппаратуры или программы, результатом которой являются воспроизводимые арифметические ошибки,

(3) уловка, специально введенная в программу машины ее создателем для того, чтобы машина иногда ошибалась и, таким образом, могла бы одурачить спрашивающего,

(4) неожиданный эпифеномен — программа испытывает трудности с абстрактным мышлением и просто ошиблась, в следующий раз она, возможно, посчитает то же самое правильно,

(5) шутка самой машины, которая таким образом старается сбить спрашивающего с толку.

Размышления о том, что мог здесь иметь в виду сам Тюринг, затрагивают почти все основные философские проблемы искусственного интеллекта. Тюринг продолжает, указывая, что:

Эта новая проблема имеет то преимущество, что она проводит довольно четкую границу между физическими и интеллектуальными способностями человека. Мы не хотим наказывать ни машину за то, что она не способна отличиться на конкурсе красоты, ни человека за то, что он не способен соревноваться в скорости с аэропланом.[63]

Интересно заметить, как глубоко Тюринг развивает каждую мысль, при этом на определенном этапе его рассуждений обычно появляется кажущееся противоречие, которое он впоследствии разрешает на более глубоком уровне анализа, уточняя свои понятия. Именно из-за этого проникновения в суть вопросов его статья все еще актуальна, даже по прошествии тридцати лет громадного прогресса в области компьютерной техники и искусственного интеллекта. На примере следующего отрывка читатель может увидеть, насколько глубок и разносторонен анализ Тюринга:

Эту игру возможно раскритиковать на том основании, что она несправедлива по отношению к машине, которой здесь дается очень мало возможностей. Если бы человеку пришлось притворяться машиной, ясно, что он не смог бы выполнить эту задачу удовлетворительно. Его тут же выдала бы медлительность и ошибки в арифметических подсчетах. Могут ли машины делать нечто, что может быть названо мышлением, но что, тем не менее весьма отличается от того, что делает человек? Это очень веское возражение, но, по крайней мере, мы можем сказать, что если бы удалось создать машину, удовлетворительно играющую в эту имитационную игру, то нам не пришлось бы волноваться по этому поводу.

Можно сказать, что лучшей стратегией машины в «имитационной игре» было бы нечто иное, чем подражание человеческому поведению. Возможно; но это кажется мне маловероятным. Так или иначе, я не собираюсь здесь анализировать теорию этой игры; я предполагаю, что лучшая стратегия — это давать ответы, которые обычно дал бы человек.[64]

Предложив и описав свой тест, Тюринг замечает:

Я считаю, что первоначальный вопрос — могут ли машины думать — бессмысленный и не заслуживает обсуждения. Тем не менее я верю, что к концу столетия использование слов и общий настрой умов настолько изменятся, что станет возможно говорить о мышлении машин, не ожидая немедленных возражений.[65]

Предвидя, что его статья вызовет бурю протестов, Тюринг начинает один за другим точно и иронично парировать возможные возражения на идею о том, что машина способна мыслить. Ниже я привожу девять типов возражений в собственной формулировке Тюринга, на которые он затем отвечает.[66] К сожалению, у нас нет возможности воспроизвести здесь остроумные и изобретательные ответы Тюринга. Читатель может позабавиться, обдумав эти возражения и попытавшись дать на них свои собственные ответы.

(1) Теологическое возражение. Мышление — функция бессмертной души человека. Бог вложил бессмертную душу во всех мужчин и женщин, но не в других животных и не в машины. Следовательно, животные и машины не способны мыслить.

(2) Возражение «Голова в песке». Последствия машинного мышления были бы слишком ужасны. Давайте же надеяться и считать, что машины на это не способны.

(3) Математическое возражение. (Это, в основном, аргумент Лукаса).

(4) Возражение с точки зрения сознания. До тех пор, пока машина не напишет сонета или концерта, основываясь на эмоциях, а не на случайном расположении символов, мы не согласимся с тем, что она может равняться мозгу. При этом машина должна не только быть способной написать эти произведения, но и осознать тот факт, что она их написала. «Ни одна машина не может на самом деле чувствовать (а не только искусственно указывать на соответствующее чувство, чего легко добиться) радости от ее успехов, печали, когда ее электронные лампы перегорают; она не может испытывать удовольствия от лести, расстраиваться из-за своих ошибок, чувствовать сексуальное влечение, сердиться или впадать в депрессию, когда не может получить желаемого.» (Цитата из работы некоего профессора Джефферсона.)

Тюринг озабочен тем, чтобы ответить на эти серьезные возражения возможно подробнее. Поэтому он уделяет этому довольно много места; частью его ответа является следующий гипотетический диалог:[67]

Спрашивающий: В первой строке вашего сонета «Сравню ли с летним днем твои черты», не лучше ли было бы написать «с весенним днем»?

Собеседник: Это не укладывается в размер.

Спрашивающий: Тогда как насчет «зимнего дня»? С размером здесь все в порядке.

Собеседник: Да, но кому нравится, чтобы его сравнивали с зимним днем!

Спрашивающий: Скажите, м-р Пиквик не напоминает вам о рождестве?

Собеседник: В каком-то смысле.

Спрашивающий: А ведь рождество — это зимний день; однако я не думаю, что м-р Пиквик обиделся бы на такое сравнение.

Собеседник: Не может быть, чтобы вы говорили серьезно. Под зимним днем обычно подразумевается типичный зимний день, а не какой-то особый день вроде рождества.

После этого диалога Тюринг спрашивает: «Что сказал бы профессор Джефферсон, если бы машина, пишущая сонеты, была бы способна отвечать ему таким образом in viva voce?»

Другие возражения:

(5) Аргументы различных неспособностей. Эти аргументы имеют следующую форму: «Предположим, что вы можете заставить машины проделывать все то, о чем вы говорите — но ни одна машина никогда не сможет сделать X». В этой связи предлагались самые разные X, как например: быть доброй, изобретательной, красивой, дружелюбной, инициативной, иметь чувство юмора, отличать хорошее от плохого, делать ошибки, влюбляться, получать удовольствие от клубники со сливками, влюбить в себя кого-нибудь, учиться на опыте, правильно использовать слова, заниматься самоанализом, вести себя так же разнообразно, как люди, сделать нечто действительно новое.

(6) Возражение леди Лавлэйс. Полнее всего об аналитической машине Баббиджа мы знаем из мемуаров леди Лавлэйс. Она пишет: «Аналитическая машина не претендует на создание чего-либо нового. Она может делать только то, что мы умеем ей приказать.».

(7) Аргумент непрерывности нервной системы. Нервная система, безусловно, не является машиной, работающей с перерывами. Небольшая ошибка в информации о размере нервного импульса, воздействующего на нейрон, может означать огромную разницу в размере выходящего импульса. Можно сказать, что такое положение вещей делает невозможным имитацию поведения нервной системы при помощи дискретной системы.

(8) Аргумент неформального поведения. «Если бы каждый человек руководствовался в своей жизни набором неких установленных правил, он был бы не лучше машины. Но поскольку таких правил не существует, люди не могут быть машинами.»

(9) Аргумент экстрасенсорного восприятия. Давайте представим себе имитационную игру, в которой участвуют человек, обладающий телепатическими способностями, и компьютер. Ведущий может задавать такие вопросы как «Какой масти карта в моей правой руке?». Человек, используя телепатию или ясновидение, дает 130 верных ответов из 400. Машина может только гадать и, скорее всего, даст около 104 правильных ответов, так что ведущий сможет без труда определить, кто есть кто.

Как видите, многие возражения связаны друг с другом и частично совпадают. В этой книге я попытался так или иначе ответить на каждое из них, хотя и менее четко, чем это сделал Тюринг. Возражение (9) кажется мне удивительным. Я видел эту статью Тюринга, перепечатанную в книге — но там возражение (9) опущено, что мне кажется не менее удивительным. Лично я, в отличие от Тюринга, считаю, что экстрасенсорных способностей (ЭСС) не существует. Тюрингу пришлось согласиться с идеей ЭСС, поскольку его выдающаяся научная честность заставила его принять последствия того, что казалось ему мощной статистической очевидностью в пользу этой идеи. Я с этим не согласен, но, тем не менее, считаю это необыкновенно интересным и сложным вопросом.

В предыдущем Диалоге вы прочли запись подлинной беседы между компьютерной программой и человеком. Существует множество программ с меньшей, чем у ШРДЛУ, способностью к «беседе». Две довольно известные программы такого рода — это «Доктор» (создание Иосифа Вайценбаума) и «Парри» (детище Кеннета Колби). Первая была призвана имитировать психиатра, используя «недирективную» терапию, в то время как вторая должна была изображать типичного параноика. Однажды по компьютерной сети была устроена забавная встреча этих двух программ; ниже приводится отрывок из их «беседы»:[68]

Парри: Я не понимаю ваших мотивов.

Доктор: Почему вы не понимаете моих мотивов?

Парри: Не должен ли я быть таким?

Доктор: Почему вы сейчас это сказали?

Парри: Это именно так и есть.

Доктор: А вы представьте себе, что это именно не так.

Парри. Ну и что?

Доктор. Я не уверен, что вполне вас понимаю.

Парри: Вы слишком привязываетесь к одним тем же вопросам.

Доктор: О чем говорит вам это сходство?

Парри: Я вас не понимаю.

Доктор: Вы хотели бы понимать я?

Парри: Хорошо бы, чтобы вы начали проявлять интерес к моим чувствам.

Доктор: Что? Я начал проявлять интерес к вашим чувствам?

Разумеется, эти программы были созданы для разговоров с людьми; поэтому, разговаривая друг с другом, они показывают себя не с лучшей стороны. В основном они опираются на ловкие догадки в отношении вводных данных (анализируя их довольно поверхностно) и выдают готовые ответы, тщательно выбранные из обширного репертуара. Ответ может быть готовым только частично: например, может использоваться некая схема, в которой заполняются пробелы. При этом имеется в виду, что собеседник-человек будет придавать ответам гораздо больше смысла, чем в них есть на самом деле. В действительности, согласно тому, что Вайнценбаум утверждает в своей книге «Мощь компьютеров и человеческий разум» (Weizenbaum, «Computer Power and Human Reason»), именно так и происходит. Он пишет:

ЭЛИЗА (программа, на основе которой был разработан Доктор) создавала удивительную иллюзию проникновения в мысли многих людей, которые с ней разговаривали… Они часто просили позволения побеседовать с системой наедине, после чего говорили, несмотря на мои объяснения, что машина их по-настоящему поняла.[69]

После прочтения предыдущего «разговора» читатель может подумать, что это невероятно. Может быть — но это чистая правда! Вайценбаум объясняет:

Большинство людей совершенно ничего не понимают в компьютерах. Поэтому, если только они не способны на значительную долю скептицизма (того скептицизма с которым мы наблюдаем за действиями фокусника), они могут объяснить интеллектуальные достижения компьютера только путем единственной доступной им аналогии — то есть модели их собственного мышления. Таким образом не удивительно, что они преувеличивают почти невозможно вообразить человека, который мог бы имитировать ЭЛИЗУ, но для которого при этом ее языковые способности являлись бы пределом.[70]

Это равносильно признанию того, что подобные программы являются остроумной смесью бравады и блефа и их успех основан на людской доверчивости.

В свете странного «эффекта ЭЛИЗЫ» многие предлагали пересмотреть тест Тюринга, поскольку, по-видимому людей легко одурачить простенькими уловками. Было предложено, чтобы ведущим был лауреат Нобелевской премии. Возможно, было бы целесообразнее перевернуть тест с ног на голову и сделать так, чтобы вопросы задавал компьютер. Или может быть, вопросы должны задавать двое — человек и компьютер, а отвечать — кто-то один, и спрашивающие должны догадаться компьютер это или человек.

Говоря серьезно, я считаю, что тест Тюринга в его первоначальной форме вполне приемлем. Что касается людей которые, по словам Вайзенбаума были одурачены ЭЛИЗОЙ, то их никто не предупреждал быть более скептическими, стараясь угадать, является ли «персона» печатающая ответы, человеком. Мне кажется что Тюринг верно понимал ситуацию и его тест выживет в практически неизмененной форме.

На следующих страницах я хочу представить, возможно, с несколько неортодоксальной точки зрения историю усилий, направленных на открытие алгоритмов разума, в этой истории были и будут провалы и неудачи. Тем не менее, мы узнаем очень многое и переживаем захватывающий период в развитии ИИ.

Со времен Паскаля и Лейбница люди мечтали о машинах, способных выполнять интеллектуальные задания. В девятнадцатом веке Буль и Де Морган разработали «законы мысли», по существу являвшиеся Исчислением Высказываний и, таким образом, сделали первый шаг по пути создания программ ИИ, тогда же Чарльз Баббидж сконструировал первую «вычисляющую машину» — предшественницу компьютерной аппаратуры и, следовательно, ИИ. Можно сказать, что ИИ зарождается в тот момент, когда машины начинают выполнять задания ранее доступные только человеческому уму. Трудно вообразить чувства людей впервые увидевших, как зубчатые колеса складывают и перемножают многозначные числа. Возможно, они испытали благоговейный трепет, увидев реальное физическое воплощение течения «мысли». Так или иначе мы знаем, что почти сто лет спустя, когда были построены первые электронно-вычислительные машины, их создатели почувствовали почти мистическое благоговение в присутствии иного типа «мыслящего существа». До какой степени эти машины действительно мыслили, было неясно даже теперь, несколько десятилетий спустя этот вопрос продолжает широко обсуждаться.

Интересно то, что на сегодняшний день практически никто уже не испытывает никакого благоговения перед компьютерами, даже тогда, когда они выполняют неизмеримо более сложные операции чем те которые когда-то заставляли зрителей трепетать от восторга. Когда-то волнующая фраза «Блестящие Электронные Головы» теперь звучит устаревшим клише, смешным отголоском эпохи знаменитых героев фантастических повестей, Флаша Гордона и Бака Роджерса. Немного печально, что мы так быстро теряем способность удивляться.

По этому поводу существует «Теорема» о прогрессе в области ИИ: как только какая-нибудь функция мышления оказывается запрограммирована, люди тут же перестают считать ее ингредиентом «настоящего мышления». Неизбежный центр интеллекта всегда оказывается в том, что еще не запрограммировано. Я впервые услышал эту «Теорему» от Ларри Теслера, поэтому я называю ее Теоремой Теслера: «ИИ — это то, что еще не сделано.»

Ниже приводится выборочный обзор ИИ. Он показывает несколько областей, на которых было сконцентрировано внимание; каждая из них по-своему применяет квинтэссенцию интеллекта. Некоторые из этих областей подразделены в соответствии с используемыми методами или более специфическими сферами исследования.

машинный перевод

прямой (обращение к словарю плюс некоторая перестановка слов), косвенный (с помощью некоего внутреннего языка-посредника)

игры

шахматы

механический просчет всех вариантов, выборочный просчет вариантов, без просчета вариантов.

шашки, го, калах, бридж (ставки и игра), покер, варианты крестиков-ноликов и т. д.

доказательство теорем в разных областях математики

символическая логика, доказательство теорем путем «разложения», элементарная геометрия.

символическая манипуляция математическими выражениями

символическое интегрирование, алгебраическое упрощение, сложение бесконечных рядов.

зрение

печатные тексты

узнавание отдельных написанных от руки печатных символов определенного класса (например, чисел), прочтение одного и того же текста, напечатанного разными шрифтами, прочтение рукописных текстов, прочтение китайских или японских иероглифов, прочтение китайских или японских иероглифов, написанных от руки.

картины

нахождение определенных объектов на фотографиях, разложение сцен на отдельные объекты, определение отдельных объектов на картине, узнавание сделанных людьми набросков предметов, узнавание человеческих лиц.

слух

понимание со слуха ограниченного количества слов (например, названии цифр), понимание потока речи (на определенную тему), нахождение границ между фонемами, узнавание фонем, нахождение границ между морфемами, узнавание морфем, составление слов и предложений.

понимание естественных языков

ответ на вопросы в определенных областях, анализ сложных предложений, перифраз длинных отрывков текста, использование знаний о мире для понимания текстов, понимание неоднозначных выражений.

активное использование естественных языков

абстрактная поэзия (например, хайку), отдельные предложения, абзацы, или более длинные отрывки текста, производство выхода на основе внутреннего отображения знаний.

создание оригинальных мыслей или произведений искусства

написание стихоторений (хайку), написание прозы, написание картин, музыкальная композиция, атональная, тональная.

аналогическое мышление

геометрические формы («интеллектуальные тесты»), нахождение доказательств в какой-либо области математики, основанных на доказательствах в родственной области.

обучение

регулирование параметров, формирование понятий.

Многие из этих сфер исследования не будут затронуты в нашем обсуждении, но без них список был бы неполным. Несколько первых тем приводятся в хронологическом порядке. Ни в одной из этих областей ранние усилия не привели к желаемым результатам. Так, неудачи в машинном переводе явились неожиданностью для тех, кто считал, что машинный перевод — простая задача, и что, хотя совершенствование машинного перевода может потребовать немалого труда, принципиальное решение этого вопроса несложно. Однако оказалось, что перевод — это нечто гораздо более сложное, чем простое использование словаря и перестановка слов. Незнание идиоматических выражений также не является основной трудностью. Дело в том, что перевод подразумевает наличие мысленной модели обсуждаемого мира и манипуляцию символами этой модели. Программа, которая не имеет подобной модели, вскоре безнадежно запутается в неточностях и многозначных выражениях текста. Даже люди, имеющие огромное преимущество перед компьютерами, поскольку они уже «оснащены» пониманием мира, находят почти невозможным перевести с помощью словаря кусок текста с неизвестного им языка на их родной язык. Таким образом — и это не удивительно — первая же проблема ИИ немедленно приводит к вопросам, затрагивающим самую суть ИИ.

Компьютерные шахматы оказались также намного труднее, чем интуитивно предполагалось в начале. Оказывается, шахматная ситуация в голове у людей представлена гораздо сложнее, чем просто расположение отдельных фигур на определенных клетках доски и знание правил игры. Это представление включает восприятие групп взаимодействующих фигур как одно целое, а также знание эвристики, или эмпирических правил, принадлежащих к подобным блокам высшего уровня. Хотя эвристические правила не являются строгими в том смысле как официальные правила игры, они, в отличие от последних, позволяют быстро оценить то, что происходит на доске. Это было ясно с самого начала, но исследователи недооценили то, какую важную роль это интуитивное блочное восприятие шахматного мира играет в шахматных способностях людей. Считалось, что программа, оснащенная некой основной эвристикой, в сочетании с огромной скоростью и аккуратностью компьютера в просчете вариантов и анализе каждого возможного хода, будет легко выигрывать у игроков высшего класса. Однако этот прогноз все еще далек от исполнения даже после двадцати пяти лет интенсивной работы множества специалистов.

На сегодняшний день люди подходят к шахматной проблеме по-разному. Одна из новейших точек зрения включает гипотезу о том, что просчет вариантов — глупое занятие. Вместо этого предлагается оценить позицию, стоящую на доске в данный момент, и, пользуясь эвристикой, составить некий план — а затем найти ход, способствующий выполнению этого плана. Безусловно, правила для составления планов неизбежно будут включать эвристику, которая является чем-то вроде упрощенного просчета вариантов. Иными словами, опыт анализа вариантов многих сыгранных ранее партий здесь «сжат» в новую форму, при поверхностном рассмотрении не требующую подобного анализа. Кажется, что это не более, чем игра слов. Однако если такое «сокращенное» знание дает нам более эффективные ответы, чем действительный просчет вариантов (даже если при этом иногда случаются ошибки), то мы уже кое-что выигрываем. Именно этим превращением знаний в более эффективно используемые формы и отличается разум — так что меньше-анализирующие-варианты-шахматы, возможно, являются плодотворной идеей. Особенно интересно было бы создать программу, способную превращать знания, полученные путем анализа возможных вариантов, в «сокращенные» правила; но это — огромный труд.

Именно такой метод был разработан Артуром Самуэлем в его замечательной шашечной программе. Метод Самуэля состоял в одновременном использовании динамического (с заглядыванием вперед) и статического (без заглядывания вперед) способов оценки любой данной позиции. Статический метод основывался на простой математической функции нескольких величин, характеризующих любую позицию на доске; это вычислялось практически мгновенно. В свою очередь, динамический метод основывался на создании «дерева» возможных будущих ходов, ответов на них, ответов на ответы и так далее (как было показано на рис. 38). Некоторые параметры в функции статической оценки могли варьироваться, в результате чего получались разные версии этой функции. Стратегия Самуэля заключалась в том, чтобы путем естественного отбора находить все лучшие и лучшие значения этих параметров.

Это делалось следующим образом: каждый раз, когда программа оценивала позицию, она делала это одновременно статистически и динамически. Ответ, полученный путем анализа вариантов, — назовем его Д — использовался для нахождения следующего хода. Цель С — статистической оценки — была сложнее: после каждого хода переменные параметры немного исправлялись таким образом, чтобы С возможно больше приближалось к Д. В результате знание, полученное путем динамического анализа дерева, частично включалось в параметры статистической оценки. Короче, идея заключалась в том, чтобы постепенно превратить сложный динамический метод в гораздо более простую и эффективную функцию статической оценки.

Здесь возникает изящный рекурсивный эффект. Дело в том, что динамическая оценка любой данной позиции включает просчет вперед на конечное число ходов — скажем, семь. При этом промежуточные позиции, получающиеся после каждого возможного хода, также должны получить какую-то оценку. Но когда программа оценивает эти позиции, она, разумеется, уже не может просчитывать на семь ходов вперед — иначе ей пришлось бы анализировать четырнадцать возможных позиций, затем двадцать одну и так далее, и тому подобное — что породило бы бесконечный регресс. Вместо этого программа пользуется статическими оценками позиций, возникающих при анализе. Таким образом, схема Самуэля включает сложную обратную связь, в процессе которой программа непрерывно пытается превратить оценки, основанные на просчете вариантов, в более простой статический подход; этот подход в свою очередь играет ключевую роль в динамическом взгляде вперед. Таким образом, оба этих метода тесно связаны между собой, и каждый рекурсивным путем извлекает пользу из улучшений в другом методе.

Уровень игры шашечной программы Самуэля крайне высок и сравним с уровнем лучших человеческих игроков мира. Если это так, то почему бы не приложить ту же идею к шахматам? Международный комитет, собравшийся в 1961 году, чтобы обсудить возможность компьютерных шахмат, и включавший датского международного гроссмейстера и математика Макса Эйве, пришел к печальному заключению, что использование метода Самуэля в шахматах было бы примерно в миллион раз труднее, чем в шашках. По-видимому, это закрывает данный вопрос…

Удивительно высокого уровня игры шашечных программ недостаточно для того, чтобы утверждать, что искусственный интеллект уже создан; однако этого успеха также не следует преуменьшать. Это комбинация идей о том, что такое шашки и как их анализировать и программировать. Некоторые читатели могут подумать, что эта программа ничего, кроме шашечного мастерства самого Самуэля, не доказывает. Но это неверно по крайней мере по двум причинам. Во-первых, хорошие игроки выбирают ходы, руководствуясь мысленными процессами, которых они сами полностью не понимают — они пользуются интуицией. Однако до сих пор никому не известен способ стопроцентного использования собственной интуиции; лучшее, что мы можем сделать, это задним числом использовать наши «впечатления» или «мета-интуицию» (интуицию о собственной интуиции), чтобы с их помощью попытаться объяснить природу собственной интуиции. Но это было бы только грубым приближением к действительной сложности интуитивных методов. Поэтому практически невозможно, чтобы Самуэль скопировал в своей программе собственные методы игры. Есть и другая причина, по которой не следует путать игру Самуэлевой программы с игрой ее создателя — программа его регулярно обыгрывает! Это вовсе не парадокс — не более, чем тот факт, что компьютер, запрограммированный на вычисление π, может делать это гораздо быстрее самого программиста.

Проблема компьютера, превосходящего своего программиста, связана с вопросом «оригинальности» в ИИ. Что, если программа ИИ выдвинет идею или план игры, которые никогда не приходили в голову ее создателю? Кому тогда будет принадлежать честь? Существуют несколько интересных примеров, когда именно это и происходило; некоторые примеры касаются весьма тривиального уровня, некоторые — уровня довольно глубокого. Один из самых известных случаев произошел с программой Е. Гелернтера, созданной для доказательства теорем элементарной Эвклидовой геометрии. В один прекрасный день эта программа нашла блестящее и оригинальное доказательство одной из основных теорем геометрии, так называемой «pons asinorum» или «ослиный мост».

Эта теорема утверждает, что углы, прилегающие к основанию равнобедренного треугольника, равны между собой. Стандартное доказательство проводится с помощью высоты, делящей треугольник на две симметричные половины. Элегантный метод, найденный программой (см. рис. 114), не пользуется никакими дополнительными построениями.

Рис. 114. Доказательство Pons Asinorum (найденное Паппусом (ок. 300 г. до н. э.) и программой Гелернтера (ок. 1960 г. н. э.).) Требуется доказать, что углы, прилегающие к основанию равнобедренного треугольника, равны между собой. Решение: поскольку треугольник равнобедренный, АР и АР' — равной длины. Следовательно, треугольники РАР' и Р'АР конгруэнтны (сторона-сторона-сторона). Из этого вытекает, что соответствующие углы равны. В частности, углы, прилегающие к основанию, равны.

Вместо этого программа рассмотрела данный треугольник и его зеркальное отображение как два различных треугольника Доказав, что они конгруэнтны, она показала, что углы у основания соответствуют друг другу в этой конгруэнтности — что и требовалось доказать.

Это блестящее доказательство восхитило как создателя программы, так и многих других, некоторые даже увидели в этом признак гениальности. Не умаляя этого достижения, заметим, что в 300 году до н. э. геометр Паппус нашел также и это доказательство. Так или иначе, открытым остается вопрос: «Чья это заслуга?» Можно ли назвать это разумным поведением? Или же доказательство находилось глубоко внутри человека (Гелернтера), и компьютер только извлек его на поверхность? Последний вопрос подходит очень близко к цели. Его можно вывернуть наизнанку. Было ли доказательство спрятано глубоко в программе, или же оно лежало на поверхности? Насколько легко понять, почему программа сделала именно то, что она сделала? Может ли ее открытие быть приписано какому-то простому механизму, или простой комбинации механизмов программы? Или же имело место некое сложное взаимодействие, которое, будучи объяснено, не станет от этого менее достойным восхищения?

Кажется логичным предположить, что, если эти действия — результат неких операций, с легкостью прослеживаемых в программе, то, в каком-то смысле, программа лишь выявляла идеи, спрятанные (правда, неглубоко) в голове самого программиста. Напротив, если прослеживание программы шаг за шагом не помогает нам ответить на вопрос, откуда взялось это определенное открытие то, возможно, пора начать отделять «разум» программы от разума программиста. Программисту принадлежит лишь честь изобретения программы, но не идей которые выдала затем эта программа. В таких случаях, человека можно назвать «мета-автором» — автором автора результата, а программу — просто автором.

В случае Гелернтера и его геометрической машины, сам Гелернтер, возможно, не нашел бы доказательства Паппуса, все же механизмы, создавшие это доказательство, лежали достаточно близко к поверхности программы, так что ее трудно назвать самостоятельным геометром. Если бы программа продолжала удивлять людей, снова и снова выдавая новые оригинальные доказательства, каждое из которых основывалось бы на гениальном прозрении, а не на определенных стандартных методах, то тогда у нас не было бы сомнений в том, что перед нами — настоящий геометр. Однако этого не случилось.

Различие между автором и мета-автором становится особенно заметно в случае компьютерной музыки. По-видимому, во время акта сочинительства программа может иметь различные уровни автономии. Один из уровней проиллюстрирован на примере пьесы, мета-автор которой — Макс Матьюс, работающий в лабораториях компании «Белл». Он ввел в компьютер ноты двух маршей — «Когда Джонни идет, маршируя, домой» и «Британские гренадеры» — и попросил его создать новую пьесу которая начиналась бы с «Джонни» и постепенно переходила в «Гренадеров». В середине получившейся пьесы «Джонни», действительно, полностью исчезает, и мы слышим только «Гренадеров». После чего процесс начинает идти в обратном направлении, и пьеса заканчивается мелодией «Джонни» , как и в начале. По словам Матьюса, это:

тошнотворное музыкальное переживание, которое, тем не менее, не лишено интереса — в особенности, в области ритмического превращения «Гренадеры» написаны в темпе 2/4, в тональности фа мажор, а «Джонни» — в темпе 6/8 в тональности ми минор. Переход от 2/4 к 6/8 легко заметен, при этом такой переход был бы очень трудной задачей для музыканта-человека. Модуляция из фа мажора в ми минор, включающая замену двух нот гаммы, режет ухо — более плавный переход, без сомнения был бы лучшим решением.[71]

Получившаяся пьеса довольно забавна, хотя местами довольно помпезна и запутана.

Сочиняет ли музыку сам компьютер? Подобных вопросов лучше не задавать — однако их трудно полностью игнорировать. Ответить на них нелегко. Алгоритмы здесь четко определены, просты и понятны. Сложных и запутанных вычислений, самообучающихся программ и случайных процессов здесь нет — машина функционирует совершенно механически и прямолинейно. Однако результатом является последовательность звуков, не запланированных композитором во всех деталях, хотя общая структура произведения полностью и точно определена. Поэтому композитор часто бывает удивлен — и приятно удивлен — конкретным воплощением своих идей. Именно в этом смысле можно сказать, что компьютер сочиняет музыку. Мы называем этот процесс алгоритмической композицией и снова подчеркиваем тот факт, что алгоритмы здесь просты и прозрачны.[72]

Маттьюс сам отвечает на вопрос, который, по его мнению, лучше не задавать. Несмотря на его возражения, многие считают, что проще сказать, что эта пьеса была «сочинена компьютером». По моему мнению, это выражение передает ситуацию совершенно неверно. В этой программе не было структур, аналогичных «символам» мозга, и о ней никак нельзя было сказать, что она «думает» о том, что делает. Приписать создание подобной музыкальной пьесы компьютеру — все равно, что сказать, что автором этой книги является фототипическая машина, оснащенная компьютерной техникой, на которой книга была составлена — машина, автоматически (и часто неверно) переносящая слова со строчки на строчку.

В связи с этим возникает вопрос, отходящий немного в сторону от ИИ. Когда мы видим слово «Я» или «мне» в тексте, к чему мы его относим? Например, подумайте о фразе «ВЫМОЙ МЕНЯ», которую иногда можно увидеть на грязном кузове грузовика. Кого это «меня»? Может быть, это какой-то несчастный заброшенный ребенок, который, желая быть вымытым, нацарапал эти слова на ближайшей поверхности? Или же это грузовик, требующий купания? Или сама фраза желает принять душ? А может быть, это русский язык ратует за собственную чистоту? Эту игру можно продолжать до бесконечности. В данном случае, эта фраза — только шутка имеется в виду, что мы должны на определенном уровне предположить, что эти слова написал сам грузовик, требующий, чтобы его вымыли. С другой стороны, эти слова ясно воспринимаются как написанные ребенком, и мы находим эту ошибочную интерпретацию забавной. Эта игра основана на прочтении слова «меня» на неправильном уровне.

Именно такой тип двусмысленности возник в этой книге, сначала в «Акростиконтрапунктусе» и позже в обсуждении Геделевой строки G (и ее родственников). Мы дали разбивальным записям следующую интерпретацию «Меня нельзя воспроизвести на патефоне X», интерпретацией недоказуемого суждения было «Меня нельзя доказать в формальной системе X» Возьмем последнее предложение. Где еще вы встречали суждение с местоимением «я», прочитав которое, вы автоматически предположили, что «я» относится не к человеку, произносящему это предложение, но к самому предложению? Я думаю, таких случаев очень немного. Слово «я» когда оно появляется, например, в Шекспировском сонете, относится не к четырнадцатистрочной поэтической форме, напечатанной на странице, а к существу из плоти и крови, стоящему за этими строчками.

Как далеко мы обычно заходим, пытаясь определить, к кому относится «я» в предложении? Мне кажется, что ответ заключается в том, что мы пытаемся найти мыслящее существо, которому можно приписать авторство данных строк. Но что такое «мыслящее существо»? Нечто такое, с чем мы можем с легкостью сравнить самих себя. Есть ли характер у Вайзенбаумовой программы «Доктор»? И если да, то чей это характер? Недавно на страницах журнала «Science» появился спор на эту тему.

Это возвращает нас к вопросу о том, кто же на самом деле сочиняет компьютерную музыку. В большинстве случаев, за подобными программами стоит человеческий разум, и компьютер используется, с большей или меньшей изобретательностью, как инструмент для воплощения человеческих идей. Программа, которая это исполняет, на нас совсем не похожа. Это простой и бесхитростный набор команд не обладающий гибкостью, пониманием того, что он делает, или самосознанием. Если когда-нибудь люди создадут программы с этими свойствами, и эти программы начнут сочинять музыкальные произведения, тогда мне кажется, наступит время разделить наше восхищение между программистом, создавшим такую замечательную программу, и самой программой обладающей музыкальным вкусом. Я думаю, что это случится только тогда, когда внутренняя структура программ будет основываться на чем-то, напоминающем «символы» в нашем мозгу и их пусковые механизмы, которые отвечают за сложное понятие значения. Подобная внутренняя структура наделила бы программу такими свойствами, с которыми мы могли бы до определенной степени идентифицировать себя. Но до тех пор мне не кажется правильным говорить «Эта пьеса была написана компьютером».

Вернемся теперь к истории ИИ. Одним из ранних шагов в этом направлении была попытка создания программы, способной доказывать теоремы. Концептуально это то же самое, что создание программы, способной искать деривацию MU в системе MIU — с той разницей, что формальные системы здесь часто были сложнее, чем система MIU. Это были версии исчисления предикатов, представляющего собой расширенный — с использованием кванторов — вариант исчисления высказываний. В действительности большинство правил исчисления предикатов содержится в ТТЧ. Трюк при написании такой программы заключается в том, чтобы снабдить ее чувством направления, чтобы программа не блуждала по всему пространству возможностей, а следовала лишь по «важным» тропинкам, которые, в соответствии с некими разумными критериями могут привести к нужной строчке.

В этой книге мы не рассматривали подобные вопросы подробно. В самом деле, как мы можем сказать, когда продвигаемся в направлении теоремы, а когда наши поиски — пустая трата времени? Этот вопрос я попытался проиллюстрировать на примере головоломки MU. Разумеется, окончательный ответ на него дать невозможно. Именно в этом — суть Ограничительных Теорем, поскольку если бы мы всегда знали, в каком направлении идти, то могли бы построить алгоритм для доказательства любой теоремы, — а это противоречит Теореме Чёрча. Такого алгоритма не существует. (Предоставляю читателю догадаться, почему это следует из Теоремы Чёрча.) Однако это не означает, что невозможно развить интуитивное чувство того, какие дороги ведут к цели и какие уводят в сторону. Лучшие программы обладают сложной эвристикой, позволяющей им делать заключения в исчислении предикатов так же быстро, как это делают способные люди.

Метод при доказательстве теорем заключается в том, чтобы всегда иметь в виду конечную цель — строчку, которую вы хотите получить. — и использовать это знание при поиске промежуточных шагов. Один из способов, разработанных для превращения общих целей в местную стратегию для деривации, называется упрощением проблем. Он основан на идее, что кроме конечной задачи можно обычно выделить также несколько подзадач, решение которых помогает в нахождении решения основной задачи. Следовательно, если разбить проблему на серию новых подзадач, и каждую из них затем разбить на подподзадачи — и так далее, рекурсивным образом, — то рано или поздно мы придем к очень простым целям, которых можно будет достигнуть за пару шагов. По крайней мере, так кажется…

Именно упрощение проблемы было причиной неприятностей Зенона. Как вы помните, его метод, чтобы попасть из А в Б (где Б было конечной целью), состоял в «упрощении» задачи, разбив ее на две подзадачи сначала пройти половину пути, а затем все остальное. Таким образом, вы «протолкнули» — говоря в терминах главы V — две подзадачи в ваш «стек задач». Каждая из них, в свою очередь, будет заменена на две подзадачи — и так далее, до бесконечности. Вместо единственной конечной цели у вас получается бесконечный стек задач (рис. 115). Вытолкнуть бесконечное количество подзадач из вашего стека будет непросто — именно это, разумеется, и имел в виду Зенон.

Рис. 115. Бесконечное дерево подзадач Зенона, чтобы добраться от А до Б.

Еще один пример бесконечной рекурсии в упрощении проблем можно найти в Диалоге «Маленький Гармонический Лабиринт», когда Ахилл хотел исполнения своего Нетипового Желания. Это должно было быть отложено до тех пор, пока не было получено разрешение Мета-Гения, но чтобы получить разрешение на дачу разрешения, Мета-Гений должна была говорить с Мета-Мета Гением и так далее. Несмотря на бесконечность стека задач, желание Ахилла было все же исполнено. Упрощение задач в конце концов победило!

Хотя я над ним и подсмеиваюсь, упрощение задач является могучим инструментом для превращения сложных конечных целей в более простые местные задачи. Эта техника отлично работает в некоторых ситуациях, таких, например как шахматные эндшпили, где расчет вариантов часто неэффективен, даже когда мы рассчитываем вперед на огромное (15 или более) количество шагов. Это объясняется тем, что чистый расчет вариантов не основан на планировании, вместо поиска определенной цели он просто исследует огромное количество возможных альтернатив. Конечная цель позволяет нам выработать стратегию для ее достижения, а это совершенно иная техника, чем механический расчет вариантов. Разумеется, в технике расчета желательность или нежелательность данного варианта измеряется функцией оценки, которая косвенно включает многие цели, основная из которых — не получить мата. Но это слишком неявно. У хороших шахматистов, играющих против программ, основанных на расчете вариантов обычно складывается впечатление, что те весьма слабы в составлении планов и разработке стратегии.

У нас нет гарантии того, что метод упрощения задач сработает в каждом отдельном случае. Во многих ситуациях он терпит фиаско. Рассмотрим, например, следующую простую задачу. Представьте себе, что вы — собака, и что хозяин только что перекинул вашу любимую кость через забор в соседний двор. Кость видно сквозь щели в заборе, она лежит на траве, и у вас текут слюнки. На расстоянии приблизительно пятнадцати метров от кости вы видите открытую калитку в заборе. Что вы сделаете? Некоторые собаки просто подбегают к забору поближе к кости и начинают лаять. Другие собаки бросаются к калитке (удаляясь при этом от цели) и бегут прямо к лакомому кусочку. Можно сказать, что и те, и другие применяют технику упрощения задачи, разница в том, что они представляют задачу по-разному. Лающая собака видит подзадачи в том, чтобы (1) подбежать к забору, (2) попасть на ту сторону и (3) подбежать к кости, но вторая подзадача оказывается слишком трудной, и собака начинает лаять. Для другой собаки подзадачи заключаются в том, чтобы (1) подбежать к калитке, (2) пробежать сквозь нее и (3) подбежать к кости. Обратите внимание, что все зависит от того, как вы представляете себе «пространство проблемы» — то есть от того, что кажется вам упрощением задачи (движением к цели) и что — усложнением задачи (движением от цели).

Некоторые собаки сначала пытаются подбежать прямо к кости; когда они натыкаются на забор, в их мозгу нечто проясняется и они меняют направление и бегут к калитке. Им становится ясно, что то, что, как им сначала казалось, увеличивает дистанцию между начальным и желанным положениями, — а именно, отдаление от кости и приближение к калитке — на самом деле ее уменьшает. С первого взгляда они принимают физическое расстояние за расстояние проблемы. Любое отдаление от кости кажется им, по определению, Плохой Идеей. Но затем они каким-то образом понимают, что могут изменить свое восприятие того, что на самом деле «приблизит» их к кости. В правильно выбранном абстрактном пространстве движение к калитке является траекторией, приводящей собаку к кости. В этом смысле собака каждую минуту находится все «ближе» к кости. Следовательно, польза упрощения задач зависит от того, каким образом эта задача представлена у вас в голове. То, что в определенном пространстве выглядит как отступление, в ином пространстве может быть революционным шагом вперед.

В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с необходимостью решать задачи, подобные проблеме собаки и кости. Предположим, как-то вечером я решаю съездить на машине к товарищу, живущему на расстоянии 100 км. на юг; при этом я нахожусь на работе, куда утром приехал на велосипеде. Прежде, чем я окажусь в машине, направляющейся на юг, я должен буду совершить множество кажущихся ошибочными шагов в «неправильном» направлении. Я должен буду выйти из кабинета, направляясь при этом на восток; пройти по коридору к выходу из здания, сначала на север, затем на запад. После этого я поеду домой на велосипеде, поворачивая во всех четырех направлениях. Там, после серии коротких передвижений, я, наконец, попаду в машину. Разумеется, это не означает, что я поеду прямо на юг — мой маршрут может включать повороты на север, восток или запад, чтобы как можно быстрее добраться до шоссе. Это совершенно не кажется мне парадоксальным или забавным; пространство, в котором физическое отступление воспринимается как движение к цели, так глубоко встроено в мой мозг, что я не вижу никакой иронии в том, что мне приходится двигаться на север, чтобы попасть на юг. Дороги, коридоры и так далее действуют как каналы, которые я покорно принимаю как данное; таким образом, моя интерпретация ситуации частично навязывается мне сверху. Но собаке, стоящей перед забором, гораздо труднее это сделать — особенно если прямо перед ее носом лежит аппетитная кость. На самом деле, когда пространство проблемы оказывается лишь немного абстрактнее физического пространства, люди часто бывают также беспомощны, как лающая на забор собака.

В каком-то смысле, все возможные задачи являются лишь вариантами задачи собаки и кости. Многие проблемы разворачиваются не в физическом, но в некоем концептуальном пространстве. Поняв, что прямолинейное движение к цели приводит вас к абстрактному «забору», вы можете либо (1) попытаться отойти в сторону от цели, следуя случайному маршруту (при этом вы надеетесь, что рано или поздно наткнетесь на скрытую «калитку», сквозь которую сможете пройти и подойти к вашей кости), либо (2) попытаться найти такое новое «пространство» проблемы, в котором не окажется абстрактного забора, отделяющего вас от цели — в таком пространстве вы сможете идти прямо к цели. Первый метод может показаться слишком ленивым, а второй — слишком трудным. Все же решения, требующие модификации пространства задачи, чаще бывают результатом мгновенного озарения, чем результатом серии долгих раздумий. Возможно, эти прозрения приходят из самого сердца разума — и, само собой разумеется, наш ревнивый мозг надежно защищает этот секрет.

Так или иначе, проблема заключается не в том, что упрощение задач само по себе ведет к неудаче — напротив, это весьма полезный прием. Проблема лежит глубже, как можно выбрать подходящую внутреннюю интерпретацию задачи? В каком пространстве вы ее располагаете? Какие действия сокращают дистанцию между вами и вашей целью в выбранном вами пространстве? На математическом языке это может быть выражено как задача нахождения подходящей метрики (функции расстояния) между состояниями. Вам надо найти такую метрику, в которой расстояние между вами и целью было бы очень коротким.

Поскольку нахождение внутреннего представления само по себе является задачей — и весьма непростой! — вы можете попытаться приложить технику упрощения задач к ней самой. Для этого вам придется каким-то образом представить огромное множество абстрактных пространств, что является весьма сложным проектом. Я пока не слышал, чтобы кто-нибудь пытался сделать подобное. Это может быть лишь интересной теоретической возможностью, на практике совершенно невыполнимой. В любом случае, ИИ очень не хватает программ, которые могут «отойти в сторону» и посмотреть, что происходит — и затем, используя эту перспективу, лучше сориентироваться для нахождения цели. Одно дело — написать программу, которая умеет выполнять единственное задание, даже такое, для выполнения которого, как нам кажется, нужен интеллект, и совсем другое дело — написать действительно думающую программу! Эта разница аналогична разнице между осой Sphex (см. главу XI), чьи инстинктивные действия кажутся весьма разумными, и человеком, за ней наблюдающим.

Разумной программой, по-видимому, будет программа, достаточно гибкая для решения разнообразных задач. Она научится решать каждую из них и в процессе этого будет приобретать опыт. Она будет способна работать в согласии с набором правил, но в нужный момент сможет посмотреть на свою работу со стороны и решить, ведут ли данные правила к стоящей перед ней цели. Она будет способна прекратить работу по данным правилам и, если потребуется, выработать новые правила, лучше подходящие для данного момента.

Многое в этом обсуждении может напомнить вам о головоломке MU. Например, отход в сторону от конечной цели напоминает об отходе в сторону от MU, выводя все более длинные строчки, которые, как вы надеетесь, рано или поздно помогут вам получить MU. Если вы похожи на описанную наивную собаку, то можете чувствовать, что уходите в сторону от «кости MU» каждый раз, когда ваша строчка получается длиннее двух букв, если же вы — «собака» поумней, то понимаете, что использование длинных строчек может иметь определенный смысл — нечто вроде приближения к калитке, ведущей к кости MU.

Между предыдущим обсуждением и головоломкой MU есть еще одна связь: два операционных режима, приведшие к решению головоломки MU — Механический режим и Интеллектуальный режим. В первом из них вы работаете в системе жестких правил; в последнем вы всегда можете выйти из системы и взглянуть на проблему со стороны. Подобная перспектива означает возможность выбора определенного представления проблемы; работа же внутри системы сравнима с применением техники упрощения задач, не выходя из пределов уже данного представления. Комментарии Харди о стиле Рамануяна — в особенности, о его готовности изменять собственные гипотезы — иллюстрируют это взаимодействие между режимом M и режимом I в творческой мысли.

Оса Sphex работает в режиме M превосходно, но совершенно не способна выбирать представление о системе или вносить в режим M какие бы то ни было изменения. Она не может заметить, что некое событие происходит в ее системе снова, снова и снова, поскольку это равнялось выходу из системы, каким бы незначительным он ни был. Она просто не замечает того факта, что повторяется нечто одинаковое. Эта идея (не замечать тождественности повторяющихся событий) интересна в применении к нам самим. Есть ли в нашей жизни часто повторяющиеся идентичные ситуации, в которых мы каждый раз ведем себя одинаково глупо, поскольку не можем, взглянув на себя со стороны, заметить их тождественность? Здесь мы опять сталкиваемся с вопросом: «Что такое тождественность?» Этот вопрос прозвучит как одна из тем ИИ, когда мы будем обсуждать узнавание структур.

Математика — необыкновенно интересная область для изучения с точки зрения ИИ. Каждый математик чувствует, что между идеями в математике существует некая метрика — что вся математика является сетью взаимосвязанных результатов. В этой сети некоторые идеи соотносятся очень тесно; для соединения же других идей требуются более сложные пути. Иногда две теоремы в математике близки между собой, потому что одну из них легко доказать, пользуясь доказательством другой. Иногда две идеи близки между собой, потому что они аналогичны или даже изоморфны. Это только два примера значения слова «близкий» в области математики; возможно, имеются и другие. Трудно сказать, является ли наше чувство математических взаимосвязей универсальным и объективным, или же это только историческая случайность. Некоторые теоремы различных ветвей математики кажутся нам трудно соотносимыми, и мы можем подумать, что они никак не связаны между собой — но позднее можем узнать нечто, что заставит нас пересмотреть это мнение. Если бы нам удалось ввести высоко развитое чувство математической близости — так сказать, «мысленную метрику» математика — в программу, то у нас, возможно, получился бы примитивный «искусственный математик». Но это зависит от нашей способности наделить программу также чувством простоты и «естественности» — еще один из основных камней преткновения.

Эти темы возникали во многих проектах ИИ. Например, в Массачусетском институте технологии были разработаны программы, объединенные под названием «MACSYMA». Они были призваны помогать математикам в символической манипуляции сложными математическими выражениями. В некотором смысле, MACSYMA знает, «куда идти» — в ней есть что-то вроде «градиента сложности», ведущего ее от того, что нам кажется сложными выражениями, к более простым выражениям. В репертуар MACSYMA входит программа под названием «SYN», которая символически интегрирует функции; считается, что в чем-то она превосходит людей. Она опирается на множество различных способностей, как это обычно делает разум: глубокие знания, техника упрощения задач, множество эвристических правил, а также некоторые специальные приемы.

Целью программы, составленной Дугласом Ленатом из Стэнфордского университета, было изобретение идей и открытие фактов элементарной математики. Начиная с понятия «множества» и набора «интересных» идей, которые были в нее введены, она «изобрела» идею счета, затем сложения, затем — умножения, затем, среди прочего, — понятие простых чисел… Она зашла так далеко, что повторила открытие гипотезы Гольдбаха! Разумеется, все эти «открытия» были уже сделаны сотни, а то и тысячи лет назад. Может быть, успех программы объясняется тем, что понятие «интересного», которое Ленат вложил в машину, было закодировано в большом количестве правил, на которые, возможно, повлияло современное математическое образование самого Лената; тем не менее, этот успех впечатляет. Правда, после этих достойных уважения свершений программа, по-видимому, выдохлась. Примечательно, что она не смогла развить и улучшить свое чувство того, что является интересным. Эта способность, по-видимому, лежит несколькими уровнями выше.

Многие из приведенных примеров показывают, что то, каким образом представлена некая область, имеет огромное влияние на то, как она будет «понята». Программа, которая печатала бы теоремы ТТЧ в заранее заданном порядке, не понимала бы ничего в теории чисел; с другой стороны, можно сказать, что программа, подобная программе Лената, обладающая дополнительным знанием, имеет некое рудиментарное чувство теории чисел. Программа, чьи математические познания находились бы в широком контексте опыта реального мира, имела бы больше всего возможностей «понимать» в том же смысле, как и люди. Именно представление знаний находится в сердце ИИ.

На заре исследований по ИИ считалось, что знание расфасовано «пакетами» размером с предложение, и что лучшим способом ввода знаний в программу был бы некий метод, позволяющий переводить факты в пассивные пакеты данных. Таким образом, каждый факт соответствовал бы куску данных, которые могли бы использоваться программой. Примером такого подхода являлись шахматные программы, в которых позиции на доске были закодированы в форме матриц или неких списков и записаны в памяти, откуда они могли быть вызваны и обработаны с помощью подпрограмм.

Тот факт, что люди сохраняют информацию гораздо более сложным способом, был известен психологам уже давно, но специалисты по ИИ открыли его для себя сравнительно недавно. Теперь они стоят перед проблемой «блочных» знаний и разницы между декларативным и процедурным знаниями (эта разница связана, как мы видели в главе XI, с тем, какие знания доступны для интроспекции).

В самом деле, наивному предположению о том, что все знание должно быть закодировано в виде пассивных фрагментов данных, противоречит основной факт конструкции компьютеров: их умение складывать, вычитать, умножать и так далее не является закодированным в пакеты данных и записанным в памяти; это знание находится не в памяти, а в самих схемах аппаратуры. Карманный калькулятор не хранит в памяти умения складывать; это знание закодировано в его «внутренностях». В памяти нет такого места, на которое можно было бы указать, если бы кто-нибудь спросил: «Покажите мне, где в этой машине находится умение складывать?»

Тем не менее, в ИИ был проделан большой объем работы по изучению систем, в которых большинство знаний хранится в определенных местах — то есть декларативно. Само собой разумеется, что какое-то знание должно заключаться в программах — иначе у нас была бы не программа, а энциклопедия. Вопрос в том, как разделить знание между программой и данными (которые далеко не всегда легко отличить друг от друга). Надеюсь, что это было достаточно хорошо объяснено в главе XVI. Если в процессе развития системы программист интуитивно воспримет некий объект как часть данных (или как часть программы), это может иметь значительное влияние на структуру системы, поскольку, программируя, мы обычно различаем между объектами, похожими на данные, и объектами, похожими на программу.

Важно иметь в виду, что в принципе любой способ кодирования информации в схему данных или процедур так же хорош, как и все остальные, в том смысле, что все то, что можно сделать, работая с одной схемой, можно сделать и с другой — если вас не слишком волнует эффективность. Однако можно привести доводы, доказывающие, что один метод определенно лучше другого. Взгляните, например, на следующий аргумент в пользу исключительно процедурного представления: «Когда вы пытаетесь закодировать достаточно сложную информацию в виде данных, вам приходится развивать для этого нечто вроде нового языка или формализма. Таким образом, на самом деле, структура ваших данных начинает напоминать программу, части которой работают как интерпретатор. Не лучше ли сразу представить ту же информацию в процедурной форме и избежать лишнего уровня интерпретации?»

Этот довод звучит весьма убедительно; тем не менее, если интерпретировать его немного свободнее, он может быть понят как аргумент против ДНК и РНК. Зачем кодировать генетическую информацию в ДНК, если, сохраняя ее прямо в белках, можно избежать не одного, а двух лишних уровней интерпретации? Оказывается, что иметь одну и ту же информацию, закодированную в нескольких разных формах для разных целей, очень полезно. Одно из преимуществ кодирования генетической информации в ДНК в модулярной форме (в форме данных) заключается в том, что таким образом два индивидуальных гена могут быть скомбинированы для формирования нового генотипа. Это было бы очень трудно, если бы информация содержалась только в белках. Вторым доводом в пользу хранения информации в ДНК является то, что это облегчает транскрипцию и трансляцию ее в белки. Когда информация не нужна, она не занимает много места; когда она нужна, она извлекается и служит эталоном. Не существует механизма для копирования одного белка на основе другого — их третичная укладка сделала бы такое копирование слишком громоздким. Кроме того, генетическая информация почти неизбежно должна быть представлена в трехмерных структурах, таких, как энзимы, поскольку узнавание молекул и манипуляция ими по природе являются трехмерными операциями. Поэтому в контексте клеток довод в пользу исключительно процедурного представления информации кажется неверным. Это говорит о том, что в возможности перехода от процедурной к декларативной информации и обратно есть свои преимущества. Это, возможно, верно и для ИИ.

Этот вопрос был затронут Фрэнсисом Криком на конференции по общению с внеземными культурами:

Мы видим, что на земле есть две молекулы, одна из которых хороша для копирования (ДНК), а другая — для действия (белки). Возможно ли разработать такую систему, в которой одна и та же молекула выполняла бы обе функции? Или же существуют веские, основанные на анализе системы аргументы, доказывающие, что деление этой работы на две части дает значительное преимущество? Ответа на этот вопрос я не знаю.[73]

Другой вопрос, возникающий по поводу представления знания, это модульность. Насколько легко ввести новое знание? Насколько легко получить доступ к старому знанию? Насколько модулярны книги? Все это зависит от многих факторов. Если из книги, в которой главы тесно связаны между собой и ссылаются друг на друга, убрать одну главу, то эту книгу станет практически невозможно понять. Так, потянув за одну паутинку, вы разрушаете всю паутину. С другой стороны, книги, главы которых менее зависимы друг от друга, гораздно более модулярны.

Рассмотрим прямолинейную программу, производящую теоремы на основе аксиом и правил вывода ТТЧ. У «знаний» подобной программы — два аспекта. Они находятся косвенно в аксиомах и правилах и явно — в произведенных теоремах. В зависимости от того, под каким углом вы смотрите на знания, вы скажете, что они либо модулярны, либо распространены по всей программе и совершенно не модулярны. Представьте себе, например, что вы написали такую программу, но забыли включить в нее Аксиому I из списка аксиом. После того, как программа вывела тысячи теорем, вы обнаруживаете свою ошибку и вставляете новую аксиому. Тот факт, что вам это легко удается, показывает, что неявные знания системы модулярны; однако вклад новой аксиомы в явные знания системы станет заметен не скоро — после того, как произведенный ею эффект распространится по системе, подобно тому, как по комнате, в которой разбили флакон с духами, медленно распространяется аромат. В этом смысле, новое знание включается в систему постепенно. Более того, если бы вы захотели вернуться назад и заменить Аксиому I на ее отрицание, для этого вам пришлось бы убрать все теоремы, в деривации которых участвовала Аксиома I. Ясно, что явные знания системы далеко не так модулярны, как ее неявные знания.

Было бы полезно научиться делать пересадку знания в модулярной форме. Тогда, чтобы обучить человека французскому языку, нужно было бы лишь, проникнув в его мозг, определенным образом изменить его нейронную структуру, — и человек бегло заговорил бы по-французски! Разумеется, все это только юмористические мечтания.

Другой аспект представления знаний зависит от того, как мы хотим эти знания использовать. Должны ли мы, получив новую информацию, сразу делать выводы? Должны ли мы постоянно делать сравнения и проводить аналогии между новой и старой информацией? В шахматной программе, например, если вы хотите получить дерево анализа вариантов, то построение, включающее позиции на доске и минимум ненужных повторений, будет предпочтительнее, чем построение, повторяющее одну и ту же информацию в различной форме. Но если вы хотите, чтобы ваша программа «понимала» позицию, глядя на структуры на доске и сравнивая их с уже известными ей структурами, тогда повторение одной и той информации в разных формах будет более полезным.

Существует несколько философских школ, по-разному трактующих лучшие способы представления знания и работы с ним. Одна из наиболее влиятельных школ пропагандирует представление знаний с помощью формальной нотации, подобной нотации ТТЧ, — с использованием препозиционных связок и кванторов. Не удивительно, что основные операции в подобной системе выглядят как формализация дедуктивных рассуждений. Логические заключения могут быть сделаны при помощи правил вывода, аналогичных соответствующим правилам ТТЧ. Спрашивая такую систему о какой-либо идее, мы ставим перед ней цель в виде строчки, которую необходимо вывести. Например: «Является ли МУМОН теоремой?» Тут вступают в действие автоматические рассуждающие механизмы, которые пытаются приблизиться к цели, используя различные методы упрощения задач.

Предположим, например, что дано высказывание «все формальные арифметические системы неполны»; вы спрашиваете программу: «Полны ли „Principia Mathematical“». Сканируя имеющуюся в ее распоряжении информацию (часто называемую базой данных), программа может заметить, что если бы ей удалось установить, что «Principia Mathematica» — это формальная арифметика, то она могла бы ответить на вопрос. Таким образом, высказывание «„Principia Mathematica“ — это формальная арифметика» становится подзадачей, после чего в действие вступает метод упрощения задач. Если программа сможет найти что-либо еще, что могло бы способствовать подтверждению (или опровержению) задачи или подзадачи, она начнет работать над этой информацией — и так далее, рекурсивным образом. Этот процесс называется обратным сцеплением данных, поскольку он начинается с цели и затем отступает назад — предположительно к уже известным вещам. Если представить графически основную задачу, подзадачи, подподзадачи и так далее, у нас получится структура дерева, поскольку основная задача может включать несколько подзадач, каждая из которых, в свою очередь, может подразделяться на несколько подподзадач… и т. д.

Обратите внимание, что этот метод не гарантирует решения, так как внутри системы может не существовать способа установить, что «Principia Mathematica» — формальная арифметика. Это, однако, означает не то, что задача или подзадача являются ложными утверждениями, а лишь то, что они не могут быть получены на основании сведений, имеющихся в распоряжении системы в данный момент. Когда такое случается, система может напечатать что-нибудь вроде: «Я не знаю». Тот факт, что некоторые вопросы остаются открытыми, разумеется, подобен неполноте, от которой страдают некоторые хорошо известные формальные системы.

Этот метод дает системе возможность дедуктивного осознания представленной области, поскольку она может выводить правильные умозаключения на основании известных ей фактов. Однако ей не хватает так называемого аналогического осознания — умения сравнивать ситуации и замечать сходство между ними, что является одной из основ человеческого мышления. Я не хочу сказать, что аналогические мыслительные процессы не могут быть втиснуты в эти рамки, просто их гораздо труднее выразить с помощью подобного типа формализма. В настоящее время логические системы стали менее популярны по сравнению с типами систем, позволяющих естественно проводить сложные сравнения.

Как только вы соглашаетесь с тем, что представление знаний — совершенно иное дело, чем простое записывание чисел, миф о том, что «у компьютера — слоновья память», становится легко опровергнуть. То, что хранится в памяти, совсем не обязательно аналогично тому, что программа знает, поскольку, даже если определенный кусок информации и записан где-то внутри сложной системы, в системе может не быть процедуры, правила или какого-либо иного способа управляться с данными и вызывать эту информацию — она может быть недоступна. В таком случае, вы можете сказать, что данная информация «забыта», поскольку доступ к ней временно или навсегда утрачен. Таким образом компьютерная программа может «забыть» что-то на высшем уровне, но помнить это на низшем уровне. Здесь мы снова сталкиваемся с вездесущим различием уровней, из которого, возможно, можем узнать многое о нас самих. Когда мы что-то забываем, это скорее всего означает, что утеряна «указка» высшего уровня, а не то, что какая-либо информация стерта или разрушена. Это говорит о том, насколько важно следить, как у вас в голове «записываются» новые впечатления, поскольку вы никогда не можете сказать заранее, в какой ситуации вам понадобится вытащить что-то из памяти.

Сложность представления знаний в человеческой голове впервые поразила меня, когда я начал работать над программой по созданию английских предложений, основанных на неожиданном выборе и соединении слов. Я пришел к этой идее довольно интересным путем. Как-то я услышал по радио несколько примеров хайку, сочиненных компьютерами. Они меня чем-то глубоко затронули. Идея заставить компьютер производить нечто, что обычно считается искусством, была довольно юмористична и в то же время содержала элемент глубокой тайны. Меня позабавил юмор и мотивировала загадочность — даже противоречивость — программирования творческих актов. Тогда я и решил написать программу, еще более загадочную и противоречивую, чем программа хайку.

Сначала я был озабочен тем, как сделать грамматику гибкой и рекурсивной, чтобы не возникало впечатления, что программа просто механически подставляет слова в пробелы некоего трафарета. Примерно тогда же я наткнулся на статью Виктора Ингве в «Scientific American», в которой он описывал простую, но гибкую грамматику, способную порождать большое количество разнообразных предложений того типа, который можно найти в некоторых детских книгах. Я модифицировал некоторые идеи этой статьи и у меня получился набор процедур, составивших грамматику типа Схемы Рекурсивных Переходов, описанной в главе V. В этой грамматике выбор слов в предложении определялся процессом, который сначала выбирал наугад общую структуру предложения; постепенно процесс принятия решений распространялся на более низкие уровни предложения, пока не достигался уровень слов и букв. Многое должно было делаться ниже уровня слов, как например, спряжение глаголов и постановка слов во множественное число. Неправильные глаголы и существительные сначала формировались по общим правилам и затем, если результат совпадал с записанным в специальной таблице, производилась замена на нужную — нерегулярную — форму. Как только каждое слово достигало конечной формы, оно печаталось. Программа напоминала знаменитую обезьяну за пишущей машинкой, но оперировала при этом сразу на нескольких лингвистических уровнях, а не только на уровне букв.

В начале я нарочно использовал дурацкий набор слов, так как мне хотелось достичь забавного результата. Программа произвела множество бессмысленных предложений, как длинных, так и совсем кургузых. Вот несколько примеров, в переводе с английского:

Карандаш-самец, который должен неуклюже смеяться, будет квакать. Не должна ли программа всегда хрустеть девочкой в памяти? Десятичный жук, который неуклюже плюется, может крутиться. Кекс, принимающий неожиданного человека во внимание, может всегда уронить карту.

Программа должна работать весело.

Достойная машина не всегда должна приклеивать астронома.

О, программа, которая должна действительно убегать от девочки, пишет музыканта для театра. Деловые отношения квакают.

Счастливая девочка, которая всегда должна квакать, никогда не будет квакать наверняка.

Игра квакает. Профессор напишет маринованный огурчик. Жук крутится.

Человек берет соскальзывающую коробку.

Впечатление от всего этого получается сюрреалистическое; иногда отрывки текста напоминают хайку, как, например, последний пример четырех коротких предложений. Сначала все это кажется забавным и милым, но вскоре надоедает. Прочитав несколько страниц компьютерной продукции, вы можете заметить границы того пространства, в котором оперирует программа, после чего случайные точки в пределах этого пространства — даже если каждая из них и выглядит «новой» — уже вас не удивят. Мне кажется, что это — общий принцип: предмет надоедает вам не тогда, когда вы исчерпали репертуар его поведения, но тогда, когда вы поняли, где находятся границы, внутри которых это поведение может варьироваться. Пространство поведения человека достаточно сложно, чтобы постоянно удивлять других людей; однако в отношении моей программы это оказалось не так. Я понял, что моя цель — производство действительно смешных предложений — требует от программы гораздо большей тонкости. Но что, в данном случае, означает «тонкость»? Ясно было одно — случайные комбинации слов этой тонкостью не обладали. Необходимо было сделать так, чтобы слова использовались в соответствии с реальностью. Именно тогда я начал задумываться о представлении знаний.

Идея, которую я принял на вооружение, состояла в том, чтобы классифицировать каждое слово — существительное, глагол, предлог и т. д. — согласно разным «семантическим измерениям». Таким образом, каждое слово становилось членом различных классов; кроме этого, существовали также суперклассы — классы классов (что напоминает замечание Улама). В принципе, подобная классификация может иметь любое количество уровней, но я решил остановиться на двух. Теперь в любой момент выбор слов был семантически ограничен, поскольку требовалось, чтобы части составляемой фразы согласовались между собой. Скажем, некоторые действия могли быть совершены только одушевленными объектами; только некоторые абстрактные понятия могли влиять на события и так далее. Было нелегко решить, какие категории должны были быть установлены и должна ли каждая конкретная категория быть классом или суперклассом. Каждое слово получило «семантические ярлыки» в нескольких различных категориях. Многие часто встречающиеся предлоги, например, входили сразу в несколько классов, в соответствии с их разными значениями. Теперь продукция машины стала гораздо более осмысленной — и поэтому забавной уже в другом смысле.

Ниже я привожу девять отрывков, тщательно отобранных из многих страниц текста, написанного поздней версией моей программы. Вместе с ними я включил сюда три предложения, написанных людьми (с самыми серьезными намерениями). Можете ли вы сказать, какие предложения написаны компьютером, а какие — людьми?

(1) Спонтанная речь может рассматриваться как взаимная замена семиотического материала (дублирование) на семиотический диалогический продукт в процессе динамического размышления.

(2) Лучше подумайте о пути «цепи» простачков мысленного эксперимента, в котором линии наследственности являются prima facie примером парадиахронической транзитивности.

(3) Считайте, что это усиливающаяся по принципу цепной реакции возможность чего-то, что рано или поздно появится как продукт (эпистемические условия?), и продукт этот не будет франкфуртовским засовыванием-всего-в-одну-упаковку.

(4) Несмотря на все усилия, ответ, если вам угодно, был поддержан Востоком; следовательно, обман будет приостановлен, благодаря позиции посла.

(5) Разумеется, до восстаний посол слегка постепенно баловал этот сброд.

(6) Предположительно, усовершенствованная свобода являлась причиной этих позиций в той мере, в какой мир очищен последствиями, которые в конце концов не будут неизбежно вызваны порядком, в той мере, в какой этот мир иногда, бесконечно удивительно, порождает непримиримость.

(7) По мнению софистов, кампании в городах-государствах, иными словами, были восприняты Востоком с хитростью. Разумеется, Восток был разделен этими государствами с особенной жестокостью. Восток поддерживает усилия, которые были поддержаны человечеством.

(8) Каждый согласится с тем, что иерархический порядок обмана, несмотря на это, будет напророчен его врагами. По той же причине, индивидуалисты могли бы в будущем засвидетельствовать, что непримиримость не остановит кампаний.

(9) Нет нужды говорить, что во время восстаний, которые оправдали бы секретность, ответы не разделяют Востока. Разумеется, эти страны, ipso facto, всегда зондируют свободу.

(10) Хотя Нобелевская премия была получена гуманистами, она, кроме того, была получена и рабами.

(11) Рабы часто принимают позицию стран, раздираемых конфликтами.

(12) Более того, Нобелевские премии будут получены. По той же причине, несмотря на последствия. Нобелевские премии, которые будут получены, будут иногда получены женщинами.

Людьми написаны предложения с 1 по 3; они были извлечены из современного журнала Art Language[74] и являются, насколько я могу сказать, совершенно серьезными попытками образованных и умственно нормальных людей сообщить нечто друг другу. То, что здесь они приводятся вне контекста, не слишком важно, поскольку контекст звучит совершенно в том же духе.

Моя программа произвела все остальное. Номера с 10 по 12 были выбраны, чтобы показать, что иногда программа выдавала вполне осмысленные суждения, номера с 7 по 9 — наиболее типичный продукт: эти высказывания плавают в странном и соблазнительном мире между смыслом и бессмыслицей. Что же касается предложений с 4 по 6, то они, пожалуй, находятся за пределами смысла. Если быть великодушным, то можно сказать, что они являются самостоятельными «лингвистическими объектами», чем-то вроде абстрактных скульптур, созданных из слов вместо камня; с другой стороны, можно утверждать, что они — не что иное, как псевдо-интеллектуальная тарабарщина.

Выбор словаря для моей программы все еще был направлен на достижение юмористического эффекта. Трудно определить, на что похож конечный результат. Хотя многое в нем выглядит осмысленно, по крайней мере, на уровне отдельных фраз, у читателя определенно создается впечатление, что этот текст написан кем-то, не имеющим понятия о том, что и зачем он говорит. В частности, чувствуется, что за словами здесь не стоят никакие образы. Когда подобные высказывания полились рекой из печатающего устройства, я испытал сложные чувства. Меня позабавила глупость результата; я также был весьма горд моим успехом и попытался описать его друзьям в виде правил для сочинения осмысленных историй по-арабски на основании отдельных росчерков пера. Разумеется, я преувеличивал, но мне нравилось думать об этом таким образом. Наконец, я был счастлив от того, что внутри этой необычайно сложной машины в согласии с некими правилами происходила манипуляция длинными цепями символов, и что эти длинные цепи символов были в каком-то смысле похожи на мысли в моей собственной голове… в каком-то смысле на них похожи.

Конечно, я не обманывал себя, предполагая, что за этими фразами скрывается разумное существо. Я как никто другой понимал, почему этой программе было весьма далеко до настоящего мышления. К этому случаю отлично приложима теорема Теслера: как только данный уровень владения языком был механизирован, стало ясно, что его нельзя назвать разумом. Но благодаря этому удивительному опыту у меня сложилось впечатление, что настоящая мысль основывается на гораздо более длинных и сложных последовательностях символов в мозгу — символов, двигающихся, наподобие поездов, одновременно по многим параллельным и перекрещивающимся путям; мириады моторов — возбуждающихся нейронов — толкают, тащат и переводят с пути на путь вагоны этих поездов…

Это был всего лишь интуитивный образ, непередаваемый словами. Но образы, интуиция и мотивация находятся так близко друг от друга, что они часто смешиваются; глубокое впечатление, произведенное этим образом, заставило меня серьезнее задуматься над тем, что же такое, на самом деле, представляет из себя мысль. В других местах книги я попытался описать некоторые «дочерние» образы этой первоначальной картины — в особенности, в «Прелюдии» и в «Муравьиной фуге».

Когда я думаю об этой программе сегодня, по прошествии двенадцати лет, меня более всего поражает полное отсутствие зрительных образов за тем, что она говорит. Программа не имела ни малейшей идеи о том, что такое раб, человек и все остальные вещи. Слова были для нее только формальными символами, такими же абстрактными, как p и r в системе pr, — а может быть и еще абстрактнее. Программа пользовалась тем, что когда люди читают какой-либо текст, они обычно наделяют все слова смыслом, словно смысл с необходимостью привязан к группе букв, формирующих то или иное слово. Моя программа — это нечто вроде формальной системы, чьи «теоремы» — порожденные ею фразы — имели готовые интерпретации (по крайней мере, для людей, говорящих по-английски). Но в отличие от системы pr, не все высказывания, интерпретированные таким образом, получались истинными. Многие из них оказались ложными, а многие — просто бессмысленными.

Скромная система pr отразила крохотный уголок вселенной. Но в моей программе — за исключением небольшого количества семантических ограничений, которым она должна была подчиняться — не было подобного «зеркала», отражающего структуру реального мира. Чтобы наделить программу этим зеркалом, мне пришлось бы «завернуть» каждое понятие в множество слоев знаний о мире. Этот проект очень отличался от моего первоначального замысла. Не то, чтобы я не хотел этим заниматься — просто до сих пор руки не доходили.

На самом деле, я часто задумывался о возможности написать грамматику типа УСП (или какого-нибудь иную программу, производящую предложения), которая выдавала бы только истинные высказывания. Такая программа наделяла бы слова действительным смыслом так, как это происходило в системе pr и в ТТЧ. Идея языка, в котором ложные высказывания грамматически неверны, не нова — она была высказана Иоганном Амосом Комениусом еще в 1633 году. Эта идея очень соблазнительна, поскольку такая система была бы магическим кристаллом: чтобы узнать, истинно ли высказывание, нужно было бы всего лишь проверить его грамматическую правильность… На самом деле, Комениус пошел еще дальше: в его языке ложные высказывания были не только грамматически неправильными, но и вообще невыразимыми!

Развивая эту мысль в другом направлении, можно представить себе программу высшего уровня, создающую произвольные коаны. Почему бы и нет? Такая грамматика соответствовала бы формальной системе, теоремы которой являлись коанами. И если бы у вас была подобная программа, то не могли бы вы отрегулировать ее таким образом, чтобы она порождала только подлинные коаны? Моя приятельница Марша Мередит с энтузиазмом занялась этим проектом «Искусственного Изма»; ниже приводится забавный квази-коан, один из ранних продуктов ее усилий:

МОЛОДЕНЬКОМУ МАСТЕРУ ПОНАДОБИЛАСЬ МАЛЕНЬКАЯ БЕЛАЯ КРИВАЯ ПЛОШКА «КАК МЫ МОЖЕМ НАУЧИТЬСЯ, НЕ УЧАСЬ?» — СПРОСИЛ МОЛОДОЙ МАСТЕР У ВЕЛИКОГО НЕДОУМЕВАЮЩЕГО МАСТЕРА. НЕДОУМЕВАЮЩИЙ МАСТЕР ПЕРЕШЕЛ С ТВЕРДОЙ КОРИЧНЕВОЙ ГОРЫ НА МЯГКУЮ БЕЛУЮ ГОРУ С МАЛЕНЬКОЙ КРАСНОЙ КАМЕННОЙ ПЛОШКОЙ. НЕДОУМЕВАЮЩИЙ МАСТЕР УВИДЕЛ МЯГКУЮ КРАСНУЮ ХИЖИНУ. НЕДОУМЕВАЮЩИЙ МАСТЕР ЗАХОТЕЛ ЭТУ ХИЖИНУ «ПОЧЕМУ БОДХИДХАРМА ПРИШЕЛ В КИТАЙ?» — СПРОСИЛ НЕДОУМЕВАЮЩИЙ МАСТЕР У ВЕЛИКОГО ПРОСВЕТЛЕННОГО УЧЕНИКА «ПЕРСИКИ БОЛЬШИЕ», — ОТВЕТИЛ УЧЕНИК НЕДОУМЕВАЮЩЕМУ МАСТЕРУ. «КАК МЫ МОЖЕМ НАУЧИТЬСЯ, НЕ УЧАСЬ?» — СПРОСИЛ НЕДОУМЕВАЮЩИЙ МАСТЕР У ВЕЛИКОГО СТАРОГО МАСТЕРА. СТАРЫЙ МАСТЕР УШЕЛ С БЕЛОЙ КАМЕННОЙ Г0025. СТАРЫЙ МАСТЕР ЗАБЛУДИЛСЯ.

Ваша персональная разрешающая процедура для определения подлинности коана, возможно, уже сработала без необходимости использовать Геометрический Код или Искусство Цепочек Дзена. Если отсутствие местоимений или упрощенный синтаксис вас не насторожили, то это должно было сделать странное «Г0025» под конец текста. Что это такое? Простая оплошность — проявление «вируса», который заставил программу напечатать вместо английского слова, обозначающего какой-либо предмет, внутреннее название «узла» (в действительности, атома ЛИСПа), где хранилась вся информация об этом предмете. Таким образом, это окошко, сквозь которое мы можем заглянуть в низший уровень лежащего в основе программы «разума дзена» — уровень, который должен был бы оставаться невидимым. К несчастью, подобных окошек в низший уровень человеческого разума дзен-буддистов не существует.

Последовательность действий, хотя до какой-то степени и случайная, определяется рекурсивной процедурой ЛИСПа под названием КАСКАД. Эта процедура создает цепь действий, связывающихся между собой произвольным образом. Хотя ясно, что степень понимания мира, которой обладает этот сочинитель коанов, далека от совершенства, работа над этой программой продолжается, в надежде сделать ее продукцию более похожей на подлинные коаны.

Рис. 116. Осмысленный рассказ на арабском языке. [A.Khatibi, M.Sijelmassi, «The Splendour of Islamic Calligraphy» Нью-Йорк, изд-во Риццоли, 1976.)

А как насчет музыки? Может показаться, что эту область легко закодировать в грамматике типа УСП или какой-нибудь подобной программе. Продолжив это наивное рассуждение, можно сказать, что значение языка опирается на связь с окружающим миром, в то время как музыка — чисто формальна. В звуках музыки нет связи с окружающим миром; это чистый синтаксис — нота следует за нотой, аккорд за аккордом, такт за тактом…

Но постойте — в этом анализе что-то не так. Почему одни произведения гораздо глубже и красивее других? Это происходит потому, что форма в музыке выразительна, и действует на некие подсознательные области нашего разума. Звуки музыки не связаны с рабами или городами-государствами, но они порождают в нас множество эмоций. В этом смысле музыкальное значение все-таки зависит от неуловимых связей между символами и вещами реального мира — в данном случае, «вещами» являются некие скрытые структуры «программ» нашего разума. Нет, простой формализм, подобный грамматике УСП, не породит великой музыки. Псевдо-музыка, подобная псевдо-сказкам, может получиться без труда — и это будет интересным исследованием — но секреты значения в музыке лежат гораздо глубже, чем уровень чистого синтаксиса.

Здесь я должен кое-что пояснить: в принципе, все грамматики типа УСП обладают мощью любого программирующего формализма; так что, если музыкальное значение вообще может быть как-то уловлено (мне кажется, что это возможно), то это может быть сделано в грамматике УСП. Но мне кажется, что эта грамматика будет определять не только музыкальные структуры, но и общую структуру мозга слушателя. Она будет «грамматикой мысли», а не только лишь грамматикой музыки.

Программа какого типа нужна, чтобы заставить людей признать, что она действительно что-то «понимает»? Что понадобилось бы для того, чтобы ваша интуиция не говорила бы вам, что за программой «ничего нет»?

В 1968-1970 годах Терри Виноград (он же д-р Тире-Рвинога) писал докторскую диссертацию в Массачусетском институте технологии, работая над проблемами языка и понимания. В то время в МИТе многие специалисты по ИИ работали с так называемым «миром блоков» — относительно простой областью, в которой легко было представить задачи компьютерного зрения и языка. Эта область включала стол и разноцветные блоки, похожие на игрушечные кубики — квадратные, удлиненные, треугольные, и т. д. (Иной тип «блочного мира» представлен на картине Магритта «Мысленная арифметика» (рис. 117); я нахожу это название особенно подходящим к данному контексту.) Проблемы зрения в блочном мире МИТа весьма сложны: каким образом сканирование телекамерой сцены с множеством кубиков позволяет компьютеру решить, какие типы блоков там находятся, и каково их взаимное расположение? Некоторые блоки могут лежать на других, некоторые — стоять впереди других; блоки могут отбрасывать тени и т. д.

Однако Виноград не работал над этими аспектами зрения. Он начал с предположения, что блочный мир хорошо представлен в памяти компьютера. После этого ему оставалось решить задачу о том, как заставить компьютер:

(1) понимать по-английски вопросы о ситуации;

(2) отвечать по-английски на вопросы о ситуации;

(3) понимать команды по-английски о манипуляции блоков;

(4) разбивать каждую команду на серию операций, которые он может выполнить;

(5) понимать, что он делает и с какой целью;

(6) описывать свои действия и их цель по-английски.

Может показаться, что хорошо было бы разбить общую программу на серию модулярных подпрограмм, где каждой части проблемы соответствовал бы некий модуль, и затем, после того, как каждый модуль был бы разработан отдельно, соединить их вместе. Однако Виноград нашел, что стратегия разработки независимых модулей представляла значительные трудности.

Его радикальный подход бросил вызов теории о том, что интеллект может быть подразделен на независимые и полунезависимые части. Созданная Виноградом программа ШРДЛУ (названная так в честь старого кода «ЕТАОЙН ШРДЛУ», используемого операторами линотипических машин для отметки опечаток в газетных столбцах) не разбивала задачу на отдельные концептуальные части. Операции деления предложений, производства внутренних представлений, рассуждений о мире, представленном внутри нее самой, нахождение ответов на вопросы и т. д. были тесно переплетены во внутреннем представлении процедурных знаний программы. Некоторые критики утверждали, что программа Винограда так запутана, что не представляет вообще никакой «теории» о языке и не способствует нашему пониманию процессов мышления. По моему мнению, ничто не может быть так далеко от истины как подобная критика. Шедевр, подобный ШРДЛУ, может не быть изоморфным тому, что делаем мы — безусловно, мы не должны думать, что эта программа достигла «уровня символов» — но как сам акт создания ШРДЛУ, так и размышления об этой программе позволяют узнать очень многое о работе интеллекта.

Рис. 117. Рене Магритт. «Мысленная арифметика» (1931).

В действительности, ШРДЛУ все же состоит из отдельных процедур, каждая из которых содержит некие знания о мире; но эти процедуры настолько зависят друг от друга, что их невозможно четко разграничить. Программа похожа на крепко затянутый узел, который очень трудно распутать; но тот факт, что его не удается развязать, не означает того, что его невозможно понять. Может существовать элегантное геометрическое описание всего узла, даже если физически он запутан. Здесь уместно вспомнить метафору из «Приношения МУ» и сравнить эту проблему со взглядом на фруктовый сад под «естественным» углом.

Виноград очень хорошо описал ШРДЛУ. Ниже я привожу отрывок из его статьи в книге Шанка и Колби:

Одна из основных идей, лежащих в основе этой модели, заключается в том, что всякое использование языка можно рассматривать как активацию неких процедур в слушателе. Мы можем думать о любом высказывании как о программе, которая является косвенной причиной выполнения неких операций в когнитивной системе слушателя. Это «составление программ» неявно, поскольку мы имеем дело с разумным интерпретатором, реакция которого может весьма отличаться от той, которую хотел вызвать говорящий. Точная форма «программы», воспринимаемой слушателем, определяется его знанием о мире, его отношением к говорящему и так далее. В нашей программе мы имели дело с простой версией этого процесса интерпретации, происходящего внутри робота. Каждое высказывание, интерпретированное роботом, превращалось в набор команд ПЛАННЕРа. Программа, созданная таким образом, затем использовалась для достижения желаемого эффекта.[75]

Упомянутый выше язык ПЛАННЕР — это один из языков ИИ; его основной чертой является то, что в него встроены некоторые операции, необходимые для упрощения задач, — например, рекурсивный процесс создания дерева подзадач, подподзадач и так далее. Это значит, что программисту уже не приходится объяснять подобные процессы снова и снова — они автоматически следуют из так называемых постановок задач. Человек, читающий составленную на ПЛАННЕРе программу, не заметит явных ссылок на эти операции; на компьютерном жаргоне говорится, что они прозрачны для пользователя. Если одна из ветвей дерева не сможет выполнить своей задачи, то ПЛАННЕР вернется назад и попробует другую дорогу, «Возврат» — ключевое слово в ПЛАННЕРе.

Программа Винограда успешно воспользовалась этими чертами ПЛАННЕРа — или, точнее, МИКРОПЛАННЕРа, частичной реализации замыслов для ПЛАННЕРа. Однако за последние несколько лет специалисты в области ИИ решили, что автоматический возврат, используемый в ПЛАННЕРе, имеет свои определенные недостатки и маловероятно, что он сможет привести к цели; так что они сосредоточили свои усилия на других областях ИИ.

Давайте посмотрим на дальнейшие комментарии Винограда о ШРДЛУ:

Определение значения каждого слова — эта программа, вызываемая в нужный момент анализа; она может производить произвольные вычисления, включающие данное высказывание и физическую ситуацию в данный момент.[76]

Среди примеров, которые приводит Виноград, встречается следующий:

Различными возможностями значения слова «the» являются процедуры, которые проверяют разнообразные факты, касающиеся контекста, и затем определяют нужные действия, такие как «искать в базе данных описание единственного предмета, совпадающего с этим описанием» или «подтвердить, что описываемый предмет является единственным для говорящего». В программу включены различные типы эвристики для определения того, какие части контекста важны.[77]

(Как читатель, вероятно, догадался, программа ШРДЛУ была англоязычна; задачи, которые ей приходилось решать, были специфичны для английского языка. В Диалоге «ШРДЛУ» мы постарались передать на русском как можно точнее не только содержание беседы с программой, но и ее форму, со всеми двусмысленностями и шероховатостями речи; однако комментарий Винограда о проблеме использования определенного артикля «the» был оставлен без изменения за отсутствием точного русского эквивалента. — Прим. перев.)

Удивительно то, насколько значительна эта проблема артикля «the». В русском аналогичные проблемы представляют, например, такие слова как «что», «в», «на», «и», «к». Можно с уверенностью сказать, что создание программы, которая была бы способна правильно использовать все значения этих слов, было бы эквивалентно решению проблемы ИИ, и таким образом, означало бы ответ на вопрос, что такое разум и сознание. Небольшое отступление: согласно частотному словарю Джона Б. Кэрролла (John В. Carroll, «Word Frequency Book»), пять наиболее часто употребляющихся в английском существительных — это «время», «люди», «дорога», «вода» и «слова», в таком порядке. Удивительнее всего то, что большинство людей не подозревает, что они думают настолько абстрактными категориями. Девять человек из десяти назовут «дом», «работа», «деньги», «человек»… И, раз уж мы заговорили о частотности, заметьте, что наиболее часто используемыми буквами английского языка, согласно Мергенталеру, являются «ETAOIN SHRDLU», в таком порядке.

Одна из интересных черт ШРДЛУ, противоречащая стереотипу компьютеров как машин, щелкающих числа подобно орешкам, это то, что, как указывает Виноград, эта система «не принимает чисел в их цифровой форме и умеет считать только до десяти».[78] Несмотря на всю математику, лежащую в ее основе, ШРДЛУ — математический неуч! Как и мадам Мура Вейник, ШРДЛУ ничего не знает о составляющих ее низших уровнях. Ее знания, в основном, процедурные (см. в особенности замечание д-ра Тире-Рвинога в секции 11 предыдущего диалога).

Интересно сравнить процедурные знания, заключенные в ШРДЛУ, со знаниями моей создающей предложения программы. Все синтаксические познания моей программы процедурно включались в Увеличенные Схемы Переходов, написанные на языке АЛГОЛ; но семантические познания — информация о принадлежности к тому или иному семантическому классу — были статичны: они содержались в коротком списке цифр после каждого слова. Там было, правда, несколько служебных слов, таких как «to have», «to be» и тому подобное, которые были полностью представлены в процедурном виде в АЛГОЛе, но это было исключением. С другой стороны, в ШРДЛУ все слова были представлены в программах. Это показывает, что несмотря на то, что теоретически программы эквивалентны данным, на практике выбор способа представления знаний влечет за собой серьезные последствия.

Теперь слово опять за Виноградом:

Наша программа не работает, сначала разделяя предложение на части, затем проводя семантический анализ и затем давая логический ответ. Когда машина пытается понять предложение, эти три действия происходят одновременно. Как только начинает вырисовываться некая синтаксическая структура, тут же вызывается семантическая программа, чтобы проверить, есть ли в этой структуре смысл; ее ответ может направлять дальнейшее синтаксическое подразделение. Решая, имеет ли данная структура смысл, семантическая программа может прибегать к логическому анализу и задавать вопросы о реальном мире. Например, в секции 34 Диалога («расположи голубую пирамиду на кубике в коробке»), первым возможным делением было «голубая пирамида на кубике». В этот момент в действие вступает семантический анализ, который определяет, что подобное деление не соответствует реальной ситуации. После этого, программа синтаксическего разбора находит следующего кандидата: «голубая пирамида»; затем она выделяет группу «на кубике в коробке» как самостоятельную фразу, указывающую на расположение… Таким образом, разные типы анализа находятся в постоянном взаимодействии, и результаты одного из них влияют на результаты других.[79]

Очень интересно то, что в естественном языке синтаксис и семантика так глубоко переплетены. В предыдущей главе, обсуждая ускользающее понятие «формы», мы подразделили его на две категории: синтаксическая форма, котоорую можно обнаружить с помощью предсказуемо конечной разрешающей процедуры, и семантическая форма, которую таким образом обнаружить нельзя. Но здесь Виноград говорит нам, что, по крайней мере, когда слова «синтаксис» и «семантика» употребляются в их обычном значении, в естественном языке они сливаются друг с другом. Внешняя форма предложения — его состав в терминах элементарных знаков — не делится так четко на синтаксический и семантический аспекты. Это очень важный для лингвистики момент. Далее приводятся заключительные замечания Винограда о ШРДЛУ.

Давайте посмотрим, что делает система с простым описанием, например, «красный кубик, который поддерживает пирамиду». Это описание использует понятия БЛОК, КРАСНЫЙ, ПИРАМИДА, и РАВНОМЕРНЫЙ, каждое из которых является частью категоризации мира, лежащей в основе системы. Результат может быть представлен в виде блока-схемы, как на рис. 118. Обратите внимание, что это программа предназначена для нахождения предмета, совпадающего с данным описанием. Затем она будет включена в команду сделать нечто с данным предметом или в вопрос об этом предмете. Или же, если это описание будет частью предложения, оно станет частью программы, созданной для представления этого значения для его дальнейшего использования. Заметьте, что этот кусок программы также мог бы быть использован для проверки того, совпадает ли предмет с данным описанием, если бы первая команда НАЙТИ была заранее ограничена поисками нужного нам предмета.

С первого взгляда кажется, что у этой программы — слишком сложная структура, поскольку нам не нравится думать, что значение простой фразы может содержать петли, проверку условий перехода на другую ветвь и другие подобные детали. Чтобы решить эту проблему, нам необходим такой внутренний язык, в котором петли и проверки были бы простейшими элементами и в котором представление процессов было бы так же просто, как и их описание. Программа, представленная на рис. 118, на языке ПЛАННЕР выглядела бы примерно так:

(ЦЕЛЬ (Есть ? кубик X1))

(ЦЕЛЬ (Цвет ? X1 красный))

(ЦЕЛЬ (Равномерный ? X1))

(ЦЕЛЬ (Есть ? пирамида Х2))

(ЦЕЛЬ (Есть ? кубик X1))

(ЦЕЛЬ (? X1 поддерживает ?Х2))

Петли блока-схемы подразумеваются в структуре контроля возврата. Правильность описания оценивается путем следования вниз по списку до тех пор, пока какая-нибудь из целей не окажется невыполнимой; тогда программа автоматически отступает к тому моменту, когда она приняла последнее решение, и пробует другой путь. Решение может быть принято всякий раз, когда вводится новое название предмета или новая ПЕРЕМЕННАЯ (отмеченная префиксом «?»). Переменные используются для сопоставления с образцом. Если они уже обозначают некий предмет, программа сопоставления проверяет, выполнима ли цель для данного предмета. Если нет, то эта программа ищет все возможные предметы, для которых эта цель выполнима, выбирая один предмет и совершая последующие шаги до тех пор, пока ей не придется отступить. В таком случае она начинает работать со следующим подходящим предметом. Таким образом, неявным является даже различие между выбором и проверкой.[80]

При разработке этой программы было принято важное стратегическое решение: не переводить полностью с английского на ЛИСП, а только частично — на ПЛАННЕР. Таким образом, поскольку интерпретатор ПЛАННЕР сам написан на ЛИСПе, между языком высшего уровня (английским) и языком низшего уровня (машинным) был введен новый промежуточный уровень (ПЛАННЕР). После того, как фрагмент английского предложения переводится в программу на ПЛАННЕРе, эта программа может быть послана на интерпретер ПЛАННЕРа, освобождая высший уровень ШРДЛУ для работы над другими задачами.

Постоянно приходится решать следующие проблемы: сколько уровней должно быть у системы? Сколько и какой тип «интеллекта» надо располагать на каждом из этих уровней? Сегодня эти проблемы — одни их самых трудных в ИИ. Поскольку мы знаем так мало о настоящем разуме, нам очень трудно решить, какой уровень искусственной разумной системы должен выполнять ту или иную часть задачи.

Это позволяет вам лучше понять те проблемы, что стоят за предыдущим Диалогом. В следующей главе мы рассмотрим новые смелые идеи в области ИИ.

Рис. 118. Процедурное представление фразы «красный кубик, который поддерживает пирамиду». (Roger Schank and Kenneth Colby, «Computer Models of Thought and Language», стр. 172)

Как-то субботним вечером Краб пригласил к себе нескольких друзей, чтобы посмотреть футбол по телевизору. Ахилл уже пришел, но Черепаха и ее приятель Ленивец запаздывают.

Ахилл: Не они ли это едут на странном одноколесном аппарате?

(Ленивец и Черепаха подъезжают, спрыгивают на землю и входят в дом)

Краб: Друзья мои, я так рад, что вы наконец здесь. Позвольте представить вам моего старого доброго товарища, Ленивца. Это Ахилл. С Черепахой, я думаю, вы все знакомы.

Ленивец: Я никогда раньше не встречал Бициклопа. Приятно с вами познакомиться, Ахилл. Я слышал много хорошего о Бициклопном роде.

Ахилл: Очень приятно. Могу ли я спросить вас, что это за элегантное средство передвижения, на котором вы прибыли?

Черепаха: Вы имеете в виду мой одноколесный тандем? Что же в нем элегантного? Просто машина, позволяющая двоим добраться от А до Б с одинаковой скоростью.

Ленивец: Он сделан той же компанией, которая производит мотоциклы «Зиг-зиг».

Ахилл: А, понятно. Для чего эта ручка?

Ленивец: Это переключатель скоростей.

Ахилл: Ага; и сколько же у этого аппарата скоростей?

Ленивец: Включая задний ход, одна. У большинства моделей скоростей меньше, но эта была сделана по спецзаказу.

Ахилл: Да, этот моно-тандем кажется отличной штукой… Кстати, м-р Краб, хотел вам сказать, что вчера вечером я получил неописуемое удовольствие от игры вашего оркестра.

Краб: Благодарю вас, Ахилл. А вы там не были, м-р Ленивец?

Ленивец: Нет, к сожалению, я не смог пойти. Я участвовал в смешанном одиночном турнире по пинг-пингу. Это было захватывающе интересно, моя команда разделила первое место сама с собой.

Ахилл: Вы получили какой-нибудь приз?

Ленивец: Конечно — медный двухсторонний лист Мёбиуса, посеребренный с одной стороны и позолоченный с другой.

Краб: Поздравляю вас, м-р Ленивец.

Ленивец: Благодарю. Прошу вас, расскажите мне об этом концерте.

Краб: Это было замечательно, мы играли композиции близнецов Бах —

Ленивец: Близнецы Бах? Знаменитые Иоганнс и Бастиан?

Краб: Они самые, схожие как две капли воды — словно один и тот же человек. Одна из пьес напомнила мне о вас, м-р Ленивец, — прелестный фортепианный концерт для двух левых рук. Его предпоследней (и единственной) частью была одноголосная фуга. Вы можете представить себе, насколько сложна подобная композиция. В завершение мы сыграли девятую дзенфонию Бетховена, после чего публика устроила нам овацию, хлопая одной рукой. Это было потрясающе!

Ленивец: Как жаль, что я такое пропустил. Как вы думаете, можно ли достать запись этого концерта? У меня есть отличный магнитофон — лучшая двухканальная моносистема, которую только можно достать за деньги.

Краб: Я уверен, что вы сможете найти где-нибудь эту запись. Друзья, игра вот-вот начнется!

Ахилл: Кто сегодня играет, м-р Краб?

Краб: Хозяева Поля против Местной Команды. Ах, нет — они играли на прошлой неделе. Сегодня Местная Команда играет против Гостей.

Ахилл: Я, как всегда, болею за Местную Команду.

Ленивец: Как банально… Что до меня, то я всегда болею за ту команду, которая живет ближе всего к антиподам.

Ахилл: А, так вы из Антиподов? Я слышал, что это прелестное местечко, чтобы там жить, но мне бы не хотелось там побывать. Слишком уж далеко…

Ленивец: Странно то, что в какую бы сторону вы ни ехали, вы к ним ничуть не приближаетесь!

Черепаха: Ну и местечко — как раз в моем вкусе!

Краб: Пора включать телевизор!

(Он подходит к огромному ящику с экраном, под которым находится панель управления, напоминающая по сложности приборную доску самолета. Краб нажимает на кнопку. На экране оживает цветное изображение футбольного поля.)

Комментатор: Добрый вечер, дорогие телезрители. Пришло время снова встретиться на футбольном поле Местной Команде с Командой Гостей; сейчас мы станем свидетелями еще одного дружеского, но непримиримого матча. Сегодня весь день накрапывал дождь, и поле мокрое; но, несмотря на погоду, матч обещает быть захватывающе интересным. Обратите внимание на великолепную четверку четвертьзащитников, играющих за Местную Команду: Буратинов, Бибигонов, Незнайкин и Дюймовочкин, краса и гордость клуба «Унинамо». А вот и защитник наших ворот, великолепный Пилипик. Свисток… игра началась! Мяч у Бузюлюкина… Местные переходят в наступление, Бузюлюкин передает мяч Голяшкину, тот пасует Чебурашкину… Удар по воротам! Голкиперу Гостей на этот раз удается спасти свою команду.

Краб: Великолепная атака! Видели, как Чебурашкин ПОЧТИ забил гол — но Стопкошкину удалось каким-то чудом отбить мяч?

Ленивец: Не говорите глупостей, Краб. Ничего подобного не случилось. Чебурашкин не забил никакого гола; не надо смущать бедного Ахилла (и всех остальных) этими разговорчиками о том, что «почти» произошло. Факты есть факты, безо всяких там «почти», «если бы», «чуть было не», «и» и «но».

Комментатор: Передаем повтор: Чебурашкин получает пас Голяшкина, обводит защитника Гостей, бьет по воротам… Немного левее, и сейчас счет был бы 1-0 в пользу Местной Команды!

Ленивец: «Был бы!» Чепуха!

Ахилл: Какая блестящая атака! Что бы мы делали без повторов?

Комментатор: Мяч опять у Галочкина; тот продвигается к воротам, пытается обойти Фисташкина, пасует Бибигонову… Мяч вне игры. В наступление переходит команда Гостей; Фисташкин передает мяч назад, Семечкину, Семечкин находит Арахиса, стоящего еще ближе к собственным воротам, и Арахис пасует своему вратарю. Тройная передача назад!

Ленивец: Какая техника! Прекрасный матч, друзья, есть на что посмотреть!

Ахилл: Но я думал, что вы болеете за Команду Гостей, а они только что упустили отличный шанс.

Ленивец: Да? Не все ли равно, если команды играют интересно? Вот и повтор: посмотрим этот момент еще раз.

(… так проходит первый период. В начале второго периода счет становится 1:0 в пользу Гостей; Местная Команда пытается сравнять счет. Возможность для этого появляется, когда Чебурашкин перехватывает мяч.)

Комментатор: Чебурашкин продвигается к воротам гостей, обводит Фисташкина… Арахис пытается перехватить мяч, но Чебурашкин пасует Бибигонову, затем мяч переходит к Голяшкину… Все усилия Гостей остановить атаку бесполезны. Мяч у Бузюлюкина; тот уже у самых ворот… Наступил тот момент, которого так долго ждали «Унинамовцы»! Удар по воротам… но что это? Бузюлюкин скользит на мокрой траве, теряет равновесие… и мяч вне игры! Какой шанс утерян! Если бы Бузюлюкин не потерял равновесия, местной команде удалось бы сравнять счет! Давайте посмотрим гипотетический повтор.

(И на экране появляется то же расположение игроков, как минуту назад.)

Чебурашкин продвигается к воротам гостей, обводит Фисташкина… Арахис пытается перехватить мяч, но Чебурашкин пасует Бибигонову, затем мяч переходит к Голяшкину… Все усилия Гостей остановить атаку бесполезны. Мяч у Бузюлюкина; тот уже у самых ворот… Наступил тот момент, которого так долго ждали «Унинамовцы»! Удар по воротам… Но что это? Бузюлюкин скользит на мокрой траве, почти теряет равновесие… но ему удается удержаться на ногах, и мяч летит прямо в ворота! Стопкошкин бросается в угол… Слишком поздно! го-о-ол! Так, дорогие болельщики, проходила бы игра, если бы Бузюлюкин не потерял равновесия.

Ахилл: Минуточку: так был гол или не был?

Краб: Да нет — это был всего лишь гипотетический повтор. Они просто показали, как могла продолжаться игра.

Ленивец: В жизни не слыхал подобной чепухи! Того и гляди, они скоро додумаются до изобретения цементных шарфов и кружевных валенок!

Черепаха: Гипотетические повторы — штука довольно редкая, не правда ли?

Краб: Я бы не сказал, если вы смотрите Гипо-ТВ.

Ахилл: Гипо-ТВ? Это что, один из тех дорогущих аппаратов с гипертрофированным экраном?

Краб: Да нет, это такая модель телевизора, которая может переходить на гипотетический режим. Очень удобно, особенно когда смотришь футбол, хоккей и тому подобные вещи; я купил свой гипо-ТВ совсем недавно.

Ахилл: Почему здесь так много всяких кнопок и ручек?

Краб: Для настройки на нужную программу. В гипотетическом режиме есть множество программ, и эта панель дает возможность с легкостью выбирать между ними.

Ахилл: Покажите нам, пожалуйста, как она работает. Боюсь, что я не совсем понял, что это за штука — «передача в гипотетическом режиме», и с чем ее едят.

Краб: О, это совсем нетрудно; вы можете сами во всем разобраться. Кстати, раз уж вы упомянули о еде… Пожалуй, я пойду на кухню и поджарю несколько блинчиков — я знаю, что Ленивец к ним неравнодушен.

Ленивец (причмокивая): Вот спасибо, Крабушка! Блинчики — моя любимая еда!

Краб: Как насчет остальных?

Черепаха: Я бы не отказалась от нескольких штук.

Ахилл: Я тоже. Но погодите — прежде, чем идти на кухню, скажите: чтобы использовать гипо-ТВ, нужно знать какой-нибудь специальный трюк?

Краб: Нет, все очень легко: продолжайте смотреть матч, и каждый раз, когда что-нибудь почти случается, или когда вам хочется, чтобы игра пошла иначе, просто начинайте крутить ручки и смотрите, что получится. Вреда от этого не будет, разве что вы поймаете какой-нибудь экзотический канал.

(И он исчезает на кухне.)

Ахилл: Интересно, что он имел в виду. Ну ладно, давайте дальше смотреть игру — я ею здорово увлекся.

Комментатор: Местные опять переходят в наступление. С мячом Буратинов; он посылает мяч к воротам противника… Какой пас! Мяч летит через все поле, прямо к Бибигонову —

Ахилл: Давай, Бибигонов! Покажи им, где раки зимуют!

Комментатор: — и приземляется в лужу — ПЛЮХ! Мяч отскакивает в другую сторону, минуя Бибигонова, и попадает к Фисташкину; Фисташкин передает мяч Семечкину, Семечкин бьет по воротам… Пилипик пытается спасти положение, но мяч летит в верхний угол ворот. Гол! Счет становится 2:0 в пользу Гостей.

Ахилл: О, черт! Если бы только не дождь… (в отчаянии ломает руки).

Ленивец: Снова эти дурацкие гипотетические ситуации! Почему вы все так любите уходить в абсурдные фантастические миры? На вашем месте, я бы не стал витать в облаках. Мой лозунг — «Никаких гипотетических глупостей!» И я не отказался бы от него, даже если бы мне предложили мне за это 100 — нет, лучше 112! — блинчиков!

Ахилл: Идея! Может быть, нужным образом повернув ручки, мы получим гипотетический повтор, в котором нет дождя и луж на поле и мяч не отскакивает к Фисташкину… Ну-ка посмотрим. (Направляется к гипо-ТВ и смотрит на панель.) Понятия не имею, для чего все это. (Наугад поворачивает несколько ручек.)

Комментатор: Местные опять переходят в наступление. С мячом Буратинов; он посылает мяч к воротам противника… Какой пас! Мяч летит через все поле, прямо к Бибигонову —

Ахилл: Давай, Бибигонов! Покажи им, где раки зимуют!

Комментатор: — и приземляется в лужу — ПЛЮХ! Мяч отскакивает прямо под ноги Бибигонову! Удар по воротам… Го-о-о-л! (Слышны восторженные вопли болельщиков Местной Команды.) Вот так матч проходил бы, если бы вместо кожаного мяч был бы резиновым, как в баскетболе. Но в действительности Местная Команда теряет мяч, и Гости забивают второй гол. Что ж, такова жизнь…

Ахилл: Что вы думаете об ЭТОМ, м-р Ленивец?

(И Ахилл самодовольно ухмыляется в сторону Ленивца — однако тот на него даже не смотрит; все его внимание поглощено Крабом, который выходит из кухни, неся огромное блюдо со ста двенадцатью… нет, с сотней блинчиков и с блюдечками, полными сахара и варенья.)

Краб: Ну как, что вы думаете о моем гипо-ТВ?

Ленивец: Откровенно говоря, Краб, я в нем совершенно разочаровался. По-моему, он здорово барахлит — по меньшей мере в половине случаев показывает совершенную бессмыслицу. Если бы он принадлежал мне, я бы его сразу отдал кому-нибудь вроде вас, Краб, — но, разумеется, он мне не принадлежит.

Ахилл: Это очень странный аппарат. Я попытался посмотреть, как проходила бы игра при другой погоде — но эта штука, кажется, себе на уме! Вместо того, чтобы изменить погоду, она поменяла мяч с футбольного на баскетбольный. Ну скажите мне, как можно играть в футбол баскетбольным мячом? Чушь какая-то!

Краб: Какая скука! Я-то думал, вы найдете себе гипотетический канал поинтереснее. Хотите посмотреть, как выглядел бы последний матч, если бы вместо футбола это был баскетбол?

Черепаха: Отличная идея!

(Краб вертит ручки настройки.)

Комментатор: В наступление переходит великолепная шестерка Местной Команды. Мяч летит к Бибигонову —

Ахилл: Шестерка!?

Комментатор: Именно так, друзья — шестерка. Когда вы превращаете футбол в баскетбол, приходится идти на компромисс! Итак, как я говорил, мяч летит к Бибигонову, который стоит неприкрытый вблизи от кольца Гостей.

Ахилл: Давай, Бибигонов! Покажи им, где крабы зимуют!

Комментатор: Но бросок был неточен, и мяч падает прямо перед Фисташкиным; Фисташкин ведет мяч, передает Арахису, тот минует Дюймовочкина… еще два очка в пользу команды Гостей! Сегодня Местной Команде не везет… Итак, друзья, так выглядел бы этот матч, если бы команды играли в баскетбол вместо футбола.

Ленивец: Ничего себе! Вы бы еще перенесли этот матч на луну!

Краб: Сказано — сделано! Слегка подкрутим эту ручку… теперь вот эту…

(На экране появляется испещренное кратерами поле, на котором стоят две команды в скафандрах. Внезапно они приходят в движение; игроки передвигаются длинными прыжками, иногда перелетая над головой друг у друга. Один из игроков бьет по воротам; мяч взлетает в воздух, так высоко, что его почти не видно, и плавно опускается прямо в руки к вратарю.)

Комментатор: Этот гипотетический повтор, друзья, показывает вам, как проходила бы игра на луне. А теперь — небольшая реклама, приготовленная для вас теми, кто производит пиво Плюх — мой любимый сорт!

Ленивец: Если бы мне не было лень, я бы собственноручно сдал этот дефектный телевизор обратно в магазин. Но увы, такова уж моя судьба — быть Ленивцем… (Протягивает лапу к блюду с блинчиками и хватает сразу несколько штук.)

Черепаха: Это замечательное изобретение, м-р Краб. Могу ли я предложить еще один гипотетический повтор?

Краб: Разумеется!

Черепаха: Как бы выглядел этот матч в четырехмерном пространстве?

Краб: О, это не так просто, г-жа Черепаха, но для вас я попытаюсь настроить телевизор… подождите минутку.

(Он подползает к телевизору и начинает крутить ручки, на этот раз, по-видимому, выжимая из своего гипо-ТВ все, на что тот способен, нажимая на все мыслимые кнопки и не спуская глаз со шкалы настройки. Наконец, он отходит от аппарата с довольным видом.)

Думаю, что этого будет достаточно.

Комментатор: А теперь давайте посмотрим гипотетический повтор.

(На экране появляется изображение странной конфигурации изогнутых трубок. Она растет, затем уменьшается, и на секунду кажется, что она делает нечто вроде поворота. Потом она превращается в странный грибовидный объект — и затем снова в переплетение трубок. Пока с ней происходят эти метаморфозы, комментатор продолжает.)

Комментатор: Бибигонов передает гипермяч Бузюлюкину, тот приближается к штрафному объему. Удар по гиперворотам… Гооол! Вот так, мои трехмерные друзья-болельщики, выглядел бы футбол в четырех измерениях.

Ахилл: Для чего, м-р Краб, вы вертите эти ручки на панели?

Краб: Чтобы выбрать нужный гипотетический канал. Видите ли, передача ведется одновременно по множеству гипотетических каналов, и я хочу выбрать именно тот канал, который передает предложенный вами гипо-повтор.

Ахилл: А как насчет других телевизоров — возможно ли там такое?

Краб: Нет, большинство телевизоров не улавливают гипотетических каналов. Для этого нужна специальная схема, которую очень трудно сделать.

Ленивец: Откуда вы знаете, что идет по определенному каналу? Смотрите в программе ?

Краб: Мне не нужно знать номеров каналов — я настраиваюсь на нужный канал, вводя цифровой код гипотетической ситуации, которую я хочу увидеть. Технически это называется «адресацией канала по его контрафактическим параметрам». По гипотетическим каналам можно увидеть любой воображаемый мир. Номера каналов, передающие «близкие» друг к другу миры, также близки.

Черепаха: Почему вы даже не подходили к ручкам, когда мы смотрели первый гипо-повтор?

Краб: Телевизор был настроен на канал, очень близкий к Реальности, только чуть-чуть сдвинутый в сторону. Так что время от времени там возникают гипотетические повторы, слегка отличающиеся от реальности. На Канал Реальности, знаете ли, почти невозможно настроиться точно — впрочем, это даже хорошо, поскольку там нет ничего интересного. Представляете себе, они повторяют в точности те же ситуации, которые возникают в игре — ну и скучища!

Ленивец: Что до меня, что я нахожу прескучной именно эту идею гипо-ТВ. Но, может быть, я мог бы изменить свое мнение, если бы вы показали мне хоть один ИНТЕРЕСНЫЙ гипо-повтор. Скажем, как проходила бы игра, если бы сложение не было коммутативным?

Краб: Ах, боже мой! Это слишком радикально меняет ситуацию — боюсь, что моей модели с таким заказом не справиться. Такое под силу только супергипо-ТВ — последнему слову гипо-телевидения; но, к несчастью, у меня его нет. Супергипо-ТВ способны выполнить ЛЮБУЮ просьбу.

Ленивец: Подумаешь!..

Краб: Но я могу сделать что-то ПОДОБНОЕ — не хотите ли вы увидеть, как например, проходила бы игра, если бы 13 не было простым числом?

Ленивец: Нет уж, увольте! ЭТО-ТО совершенно бессмысленно. К тому же, на месте этой последней игры, я бы уже устал от того, как компания путаников, у которых каша в голове, перебрасывает меня с канала на другой. Давайте-ка лучше досмотрим настоящий матч!

Ахилл: Скажите, а где вы достали ваш гипо-ТВ, м-р Краб?

Краб: Верите ли, мы с Ленивцем недавно были на ярмарке, где разыгрывалась лотерея — и первым призом был этот телевизор. Обычно я в подобные игры не играю, но тут что-то на меня накатило, и я купил билетик.

Ахилл: А как насчет вас, м-р Ленивец?

Ленивец: Признаюсь, и я купил один билет — только затем, чтобы ублажить старика Краба…

Краб: И когда выигрышный номер был объявлен, к моему удивлению оказалось, что первый приз достался мне!

Ахилл: Фантастика! Мне еще не приходилось своими глазами видеть человека, выигравшего что бы то ни было в лотерею.

Краб: Я и сам был поражен своей удаче.

Ленивец: Не забыли ли вы рассказать еще кое-что об этой лотерее, м-р Краб?

Краб: О, ничего существенного… Дело в том, что номер моего билета был 129, а выигрышным билетом был объявлен номер 128 — разница всего на единицу.

Ленивец: Так что, как видите, на самом деле он ничего не выиграл.

Ахилл: Но он ПОЧТИ выиграл.

Краб: Я предпочитаю говорить, что я выиграл — ведь я был к этому так близок… Если бы мой номер был на единицу меньше, выигрыш достался бы мне.

Ленивец: Но, к несчастью, м-р Краб, «почти» не считается, и в данном случае совершенно все равно, единица это была или сотня.

Черепаха: Или бесконечность А какой номер достался ВАМ, м-р Ленивец?

Ленивец: У меня был номер 256 — после 128 это следующая степень 2. Если кто-нибудь и был близок к выигрышу, так это я! К сожалению, устроители лотереи, эти упрямцы, отказались выдать мне мой заслуженный приз. Какой-то шутник сказал, что приз должен был принадлежать ЕМУ, поскольку у него оказался номер 128. Я думаю, что МОЙ номер был намного ближе к выигрышному — но разве этих бюрократов переспоришь!

Ахилл: Подождите, вы меня совсем запутали! Если, на самом деле, м-р Краб, вы не выиграли гипо-телевизора, то как же мы могли провести перед ним целый вечер? Словно мы и сами оказались в каком-то гипотетическом мире, который был бы возможен, если бы обстоятельства оказались слегка иными…

Комментатор: Так, друзья, прошел бы вечер в доме м-ра Краба, если бы он выиграл гипо-ТВ. Но поскольку этого не случилось, четверка приятелей просто провела приятный вечер, глядя, как Местная Команда была разбита в пух и прах со счетом 128 — 0. Или же счет был 256 — 0? Впрочем, какая разница, когда речь идет о пятимерном Плутонском хоккее на пару…

ПРОЧИТАВ «КОНТРАФАКТУС», один из моих друзей сказал мне: «Мой дядя был почти президентом США!» «Правда?» — спросил я. «Конечно», — ответил он, — «он был капитаном торпедного катера ПТ108». (Джон Ф. Кеннеди был капитаном ПТ109.)

Именно об этом идет речь в «Контрафактусе». У нас в голове каждый день рождаются мысленные варианты ситуаций, с которыми нам приходится сталкиваться, идей, которые у нас возникают или событий, происходящих вокруг. При этом некоторые детали остаются без изменений, в то время как другие «сдвигаются». Какие детали мы сдвигаем? Какие нам даже в голову не приходит изменить? Какие события воспринимаются нами на некоем глубинном интуитивном уровне как близкие родственники событий, случившихся на самом деле? Что мы считаем «почти» случившимся, чем-то, что «могло» случиться, хотя совершенно точно знаем, что в действительности этого не произошло? Какие альтернативные версии событий сами собой возникают у нас в мозгу, когда мы слышим какой-нибудь рассказ? Почему одни контрафактические ситуации кажутся нам менее «контрафактическими», чем другие? В конце концов, совершенно ясно, что чего не было, того не было. У «неслучаемости» нет никаких степеней. То же самое верно и в отношении «почти» случившихся ситуаций. Мы часто жалуемся, что какое-то событие «чуть не случилось»; не менее часто мы произносим те же слова с облегчением. Но это «чуть не» находится в нашем мозгу, а не во внешних фактах.

Вы едете на машине по проселочной дороге и внезапно перед вами появляется рой пчел. Вместо того, чтобы беспристрастно отметить происходящее, ваш мозг тут же создает целый рой «повторов». Как правило, вы думаете что-то вроде: «Хорошо, что окошко было закрыто!» — или же: «Ах, черт, если бы только окошко было закрыто…» «Хорошо, что я не на велосипеде!» «Лучше бы я проехал здесь на пять секунд раньше.» Странными, но возможными повторами были бы: «Если бы это был олень, я мог бы быть сейчас мертв!» или «Могу поспорить, что эти пчелы предпочли бы столкнуться с розовым кустом!» А вот повторы еще страннее: «Жаль, что это были пчелы, а не долларовые купюры!» «Хорошо, что пчелы не цементные!» «Лучше бы это была всего одна пчела, вместо целого роя.» «Не хотел бы я оказаться на месте этих пчел!» Какие сдвиги кажутся нам естественными, а какие нет — и почему?

В недавнем номере журнала «Нью-Йоркер» был перепечатан следующий отрывок из «Филадельфия Уэлкомат»:[81]

Если бы Леонардо да Винчи родился женщиной, потолок Сикстинской капеллы мог бы никогда не быть расписан. А если бы Микеланджело был сиамскими близнецами, то работа могла бы оказаться законченной вдвое быстрее.

Смысл этого замечания не в том, что подобные гипотетические ситуации ложны, а в том, что люди, которым может придти в голову «сдвинуть» пол или число данного человека, должны быть не совсем нормальными. Интересно то, что в том же номере, ничтоже сумняшеся, напечатали следующую фразу, завершающую обзор книги:

Я думаю, что ему (профессору Филиппу Франку) очень понравились бы обе эти книги.[82]

Однако бедный профессор Франк уже умер; ясно, что бессмысленно предполагать, что кто-то может прочитать книги, изданные после его смерти. Почему же эта фраза воспринимается нами всерьез? Дело в том, что в каком-то трудноуловимом смысле сдвиг параметров в этом случае не нарушает нашего чувства «возможного» так сильно, как в предыдущих примерах. Что-то здесь позволяет нам вообразить легче, чем в других случаях, что «при прочих равных» меняется именно этот параметр. Но почему? Каким образом наша классификация событий и людей позволяет нам на каком-то глубоком уровне определять, что может быть сдвинуто без проблем и что не подлежит сдвигу?

Посмотрите, насколько естественным кажется нам переход от скучного утверждения «Я не знаю английского» к более интересному сослагательному наклонению «Я бы хотел знать английский» и, наконец, к богатому смыслом гипотетическому «Если бы я знал английский, я бы читал Диккенса и Шекспира в оригинале». Насколько плоским и мертвым был бы разум, для которого отрицание являлось бы непроницаемым барьером! Живой разум всегда способен увидеть окно в мир возможностей.

Мне кажется, что гипотетические «почти» ситуации и бессознательно вырабатываемые возможные миры представляют из себя один из богатейших источников информации о том, каким образом люди организуют и классифицируют свои впечатления о мире. Красноречивый сторонник подобного взгляда, лингвист и переводчик Джон Штейнер написал в своей книге «После Вавилонского столпотворения»:

Гипотетические ситуации, воображаемые условия, синтаксис контрафактического и случайного вполне могут быть порождающим центром человеческого языка… (Они) не просто придают речи философскую и грамматическую сложность. Не менее, чем будущие времена, с которыми, как мы чувствуем, они тесно связаны и вместе с которыми, возможно, должны быть отнесены к более широкой категории предположительных или альтернативных событий, «если бы» предложения лежат в основе динамики человеческих чувств…

Мы отличаемся умением и необходимостью отрицать и переигрывать реальные ситуации, воображать и выражать мир иначе.... Нам нужно какое-то слово, которое обозначало бы эту возможность языка, это стремление к выражению «иначести». … Может быть, слово «альтерность» подошло бы для определения ситуаций, отличных от данной, — контрафактических высказываний и миров, куда нас уводит наше воображение, образов, которыми мы населяем свою голову и с помощью которых создаем изменчивую и часто фиктивную среду своего физического и общественного существования.

В завершение, Штейнер поет контрафактический гимн контрафактичности:

Маловероятно, что человек, существовал бы таким, каким мы его знаем, если бы в языке не было фиктивных, контрафактических, анти-детерминистских оборотов, если бы он не обладал семантической способностью, рожденной и сохраняющейся в «лишних» областях коры мозга, — способностью представлять и выражать возможности, лежащие за пределами органического разложения и смерти.[83]

Создание «гипотетических миров» происходит настолько случайно и естественно, что мы почти не отдаем себе отчета в том, что делаем. Мы выбираем из всех воображаемых миров тот, который в каком-то внутреннем, интеллектуальном смысле ближе всего к реальности. Мы сравниваем реальность с тем, что воспринимаем как почти реальное. Благодаря этому мы получаем некое неуловимое чувство перспективы по отношению к действительности. Наш Ленивец — это странный вариант действительности: мыслящее существо, неспособное к созданию гипотетических миров (по крайней мере, он утверждает, что такой способности у него нет — но вы, вероятно, заметили, что на самом деле его речь полна контрафактов!) Подумайте, насколько беднее была бы наша интеллектуальная жизнь, если бы мы не обладали творческой способностью выбираться из реального мира в эти соблазнительные «а что, если бы…». С точки зрения изучения человеческого мышления эти экскурсы очень интересны, поскольку в большинстве случаев они происходят бессознательно. Это означает, что знание о том, что попадает в область гипотетических миров, а что нет, открывает для нас окно в подсознание.

Один из способов увидеть природу нашей мысленной метрики в перспективе состоит в том, чтобы «вышибить клин клином». Это сделано в Диалоге, где нашей «гипотетической способности» пришлось вообразить такой мир, в котором само понятие гипотетической способности действует в воображаемом мире. Первый гипотетический повтор Диалога, в котором мяч не оказывается вне игры, вообразить совсем нетрудно. На самом деле, он пришел мне в голову благодаря вполне обычному замечанию человека, сидевшего рядом со мной на футбольном матче. Это замечание меня удивило и заставило задуматься о том, почему кажется естественным вообразить именно такой гипотетический мир, а не тот, в котором изменен счет или количество штрафных. Затем я стал перебирать другие, еще менее вероятные изменения, такие, как погода (это есть в Диалоге), вид игры (тоже в Диалоге) и другие, еще более сумасбродные варианты (и это в Диалоге). Однако я заметил, что то, что смешно варьировать в одной ситуации, может оказаться легко вообразимым в другой. Например, иногда вы можете вполне естественно задуматься о том, как пошла бы игра, если мяч был другой формы (например, когда вам приходится играть в баскетбол слабо накачанным мячом); однако когда вы смотрите баскетбол по телевизору, такое просто не приходит вам в голову.

Тогда мне показалось (и кажется до сих пор), что возможность изменения какой-либо черты события (или обстоятельства) зависит от множества вложенных один в другой контекстов, в которых это событие (или обстоятельство) нами воспринимается. Сюда хорошо подходят математические термины постоянная, параметр и переменная. Часто математики, физики и другие ученые, производя вычисления, говорят:«с — постоянная, p — параметр и v — переменная.» Они имеют в виду, что каждая из этих величин, включая постоянную, может варьироваться, но при этом существует некая иерархия изменяемости. В ситуации, представляемой символами, с устанавливает некое основное условие; p — менее основное условие, которое может варьироваться, пока с остается неизменным; и, наконец, v может меняться сколько угодно при неизменных с и p. Нет смысла представлять, что v остается фиксированным, а изменяются с и p, поскольку с и p устанавливают тот контекст, в котором v приобретает значение. Представьте себе, к примеру, зубного врача, у которого есть список его пациентов и для каждого пациента — описание его зубов. Вполне разумно (и весьма выгодно) иметь постоянного пациента и менять состояние его зубов. С другой стороны, совершенно бессмысленно пытаться оставлять неизменным какой-то определенный зуб и менять пациентов. (Разумеется, иногда наилучшим решением бывает сменить зубного врача…)

Мы строим наше мысленное представление о ситуации постепенно, слой за слоем. Низший уровень устанавливает самый глубокий аспект контекста, иногда настолько глубокий, что он вообще не может варьироваться. Например, трехмерность мира настолько вошла в наше сознание, что большинству из нас не приходит в голову воображать какие-либо вариации на эту тему. Это, так сказать, постоянная постоянная. Затем идут слои, временно устанавливающие некие зафиксированные аспекты ситуаций; их можно назвать глубинными допущениями. Это те вещи, которые мы обычно считаем за неизменные, хотя и знаем, что в принципе они могли бы измениться. Этот слой все еще можно назвать «постоянным». Например, когда мы смотрим футбол, такими постоянными являются правила игры. Далее следуют «параметры» — они могут варьироваться с большей легкостью, но мы временно принимаем их за неизменные. В нашем футбольном примере параметрами могут являться погода, команда противников и так далее. Скорее всего, существуют несколько слоев параметров. Наконец, мы достигаем самого неустойчивого аспекта ситуации — переменных. Это такие вещи, как положение «вне игры», неудачный удар по воротам и тому подобное; здесь нам легко на мгновение представить себе альтернативное положение дел.

Термин фрейм (кадр, группа данных) сейчас в моде среди специалистов по искусственному интеллекту; его можно определить, как численное представление данного контекста. Этот термин, как и многие идеи о фреймах, обязан своим происхождением Марвину Минскому, хотя само это понятие витало в воздухе уже несколько лет. Можно сказать, что мысленные представления о ситуациях включают фреймы, вложенные один в другой. Каждый из аспектов ситуации обладает собственным фреймом. Такие вложенные фреймы напоминают мне множество комодов. Выбирая фрейм, вы выбираете определенный комод. В него может быть вставлено несколько ящиков — «подфреймов». При этом каждый из этих ящиков, в свою очередь, является комодом. Как можно вставить целый комод в отверстие для одного-единственного ящика? Проще простого — надо уменьшить и деформировать второй комод. В конце концов, он ведь не физический предмет, а воображаемый! Во внешнем комоде может быть несколько разных гнезд, куда должны быть вставлены ящики; затем мы начинаем вставлять ящики в гнезда внутренних комодов (или подфреймов). Этот процесс может продолжаться рекурсивно.

Живая сюрреалистическая картина того, как комод сплющивают и сгибают, чтобы запихать его в гнездо любой величины, очень важна, так как она намекает на то, что наши понятия сплющиваются и сгибаются в зависимости от контекстов, в которые мы их запихиваем. Что происходит с вашим представлением о «человеке», когда вы думаете о футболистах? Безусловно, это искаженное представление, навязанное вам общим контекстом. Вы засунули фрейм «человек» в гнездо фрейма «футбольный матч». Теория представления знаний в форме фреймов опирается на идею, что мир состоит из почти закрытых подсистем, каждая из которых может служить контекстом для других, при этом они не слишком прерываются и почти не причиняют перебоев в процессе.

Одна из основных идей, касающихся фреймов, состоит в том, что каждый фрейм ожидает некоего определенного содержания. Этому образу соответствуют комоды, в каждом гнезде которых есть по встроенному, но непрочно закрепленному ящику под названием значение по умолчанию. Если я попрошу вас представить себе берег реки, у вас в голове появится некая картина; однако большинство ее черт могут быть изменены, если я добавлю какие-либо детали: «во время засухи», или «в Бразилии», или «без пляжа». Благодаря значениям по умолчанию рекурсивный процесс заполнения гнезд может быть завершен. В самом деле, вы можете сказать: «Я заполню гнезда на трех уровнях, а дальше буду пользоваться значениями по умолчанию.» Взятый вместе с этими значениями фрейм содержит информацию о собственных границах и эвристику для переключения на другие фреймы в том случае, если эти границы нарушаются.

Многоуровневая структура фрейма дает возможность увидеть его крупным планом и рассмотреть все его детали с какого угодно приближения. Для этого надо только сосредоточить внимание на соответствующем фрейме, затем на одном из его подфреймов и так далее, пока вы не получите всех требуемых деталей. Это похоже на дорожный атлас России, в котором кроме карты страны на первой странице есть карты областей, областных центров и даже некоторых небольших городов, если вам понадобится больше сведений. Можно вообразить себе атлас с каким угодно количеством деталей, включая кварталы, дома, комнаты и так далее — словно вы смотрите в телескоп с линзами разной мощи, каждая из которых имеет свое предназначение. Важно то, что можно свободно выбирать между различными масштабами; детали часто бывают неважны и только мешают.

Поскольку сколь угодно разные фреймы можно засунуть в гнезда других фреймов, возможны конфликты и «столкновения». Схема аккуратно организованного всеобщего множества слоев «постоянных», «параметров» и «переменных» — всего лишь упрощение. На самом деле, у каждого фрейма есть собственная иерархия изменяемости. Именно поэтому анализ нашего восприятия такой сложной игры как футбол, со множеством подфреймов, подподфреймов и так далее, представляется весьма запутанной операцией. Каким образом все эти фреймы взаимодействуют между собой? Как разрешаются конфликты, когда один фрейм утверждает: «Это постоянная», а другой в то же время говорит: «Это переменная»? Я не могу дать ответа на эти глубокие и сложные вопросы теории фреймов. Пока еще не достигнуто соглашение по поводу того, что в действительности представляют из себя фреймы и как можно использовать их в программах ИИ. Некоторые из моих предположений на этот счет вы найдете в следующем разделе, в котором говорится о некоторых задачах в области узнавания зрительных структур — я называю их «задачами Бонгарда».

Задачи Бонгарда (ЗБ) — это проблемы, подобные тем, которые предложил в своей книге «Проблема узнавания» русский ученый Михаил Моисеевич Бонгард. На рис. 119 показана типичная ЗБ — #51 из ста задач, приведенных в книге.

Рис. 119. Задача Бонгарда #51. (Из книги М. Бонгарда «Проблема узнавания».)

Эти интереснейшие задачи могут быть предложены людям, компьютерам или даже представителям внеземных цивилизаций. Каждая задача состоит из двенадцати фигур, взятых в рамку (они так и называются рамками): шесть левых рамок составляют класс I, шесть правых — класс II. Рамки можно пронумеровать следующим образом:

I-А I-Б  II-А II-Б

I-В I-Г  II-В II-Г

I-Д I-Е  II-Д II-Е

Задача состоит в том, чтобы обнаружить, чем рамки класса I отличаются от рамок класса II.

В программе для решения задач Бонгарда было бы несколько ступеней, на которых первичные данные постепенно превращались бы в описания. Ранние ступени относительно негибки; гибкость последующих ступеней увеличивается. Последние ступени обладают свойством, которое я называю «экспериментальностью». Это означает, что на этой стадии представление о картине всегда пробное. Описание высшего уровня может быть переделано в любой момент при помощи приемов, используемых на последних ступенях. Идеи, представленные ниже, также экспериментальны. Сначала я попытаюсь дать общие идеи, не останавливаясь на трудностях; затем постараюсь объяснить все тонкости, трюки и так далее. Таким образом, ваше понимание того, как это все работает, может изменяться по мере того, как вы читаете дальше. Это будет как раз в духе нашей дискуссии!

Представьте себе, что дана некая задача Бонгарда. Прежде всего, телекамера считывает первичные данные. Затем эти данные проходят предварительную обработку. Это значит, что в них выделяются наиболее важные черты. Названия этих черт составляют «мини-словарь» задачи; они выбираются из общего «словаря выдающихся черт». Вот некоторые типичные термины из этого словаря:

отрезок, поворот, горизонтальный, вертикальный, черный, белый, маленький, большой, остроконечный, круглый…

На второй стадии предварительной обработки используются некоторые знания об элементарных фигурах; если таковые обнаруживаются, их названия также включаются в мини-словарь. Здесь могут быть выбраны такие термины:

треугольник, круг, квадрат, углубление, выступ, прямой угол, вершина, точка пересечения, стрелка…

Приблизительно в этот момент в человеческом интеллекте встречаются сознательное и бессознательное. Что же происходит потом?

После того, как ситуация до некоторой степени «понята» в знакомых нам терминах, программа «оглядывается кругом» и предлагает пробное описание одной или нескольких рамок. Эти описания весьма просты. Например:

наверху, внизу, справа от, слева от, внутри, снаружи, близко от, далеко от, параллельно, перендикулярно, в ряд, рассеяны, на равном расстоянии друг от друга, на неравном расстоянии друг от друга и т. д.

Могут использоваться также определенные и неопределенные числовые описания:

1,2,3,4,5, … много, несколько и т. д

Могут быть построены и более сложные описания, такие как:

правее, менее близко к, почти параллельно и т. д.

Таким образом, типичная рамка — скажем, 1-Е из ЗБ #47 (рис. 120) — может быть описана различными способами. Можно сказать, что в ней имеются:

три фигуры

или

три белых фигуры

или

один круг направо

или

два треугольника и круг

или

два повернутых кверху треугольника

или

одна большая фигура и две маленьких фигуры

или

одна изогнутая фигура и две прямолинейных фигуры

или

круг с одной и той же фигурой внутри и снаружи него.

Рис. 120. Задача Бонгарда # 47. (Из книги Бонгарда «Проблема узнавания»)

Каждое из этих описаний рассматривает рамку сквозь некий «фильтр». Вне контекста, каждое из описаний может быть полезно. Однако оказывается, что в контексте данной задачи все они «ошибочны». Иными словами, зная различие между классами I и II, вы не смогли бы, исходя только из этих описаний, сказать, к какому классу принадлежит данная рамка. В данном контексте основной чертой описываемой рамки является то, что она включает:

 круг с треугольником внутри.

Обратите внимание, что человек, услышавший это описание, не сможет восстановить оригинальную картинку, однако сумеет узнать картинки, отличающиеся данной чертой.

Это напоминает музыкальный стиль: вы можете безошибочно распознавать произведения, написанные Моцартом, и в то же время быть неспособным написать ничего похожего на его музыку.

Взгляните теперь на рамку I-Г задачи #91 (Рис. 121). Перегруженным, но «верным» описанием в контексте ЗБ #91 будет:

круг с тремя прямоугольными выемками.

Рис. 121. Задача Бонгарда # 91. (Из книги Бонгарда «Проблема узнавания».)

Обратите внимание, насколько сложно это описание: слово «с» действует в нем как отрицание, давая понять, что «круг», на самом деле, не является кругом — это почти круг, но… Более того, выемки не являются полными прямоугольниками. В нашем использовании языка для описания предметов есть немало тонкостей. Ясно, что большое количество информации здесь опущено и можно было бы опустить еще больше. A priori очень трудно понять, какую информацию лучше отбросить, а какую необходимо сохранить. Поэтому нам нужно, путем эвристики, закодировать некий метод для разумного компромисса. Разумеется, если нам необходимо восстановить отброшенную информацию, мы всегда можем спуститься на низшие уровни описания (к менее блочной картине), так же как люди могут все время обращаться к данной задаче Бонгарда с тем, чтобы проверить правильность их догадок. Таким образом, метод состоит в создании правил, объясняющих, как

создавать пробные описания для каждой рамки;

сравнивать их с пробными описаниями других рамок каждого класса

переделывать описания

(1) добавляя информацию;

(2) отбрасывая информацию;

(3) рассматривая ту же информацию под другим углом.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока мы не найдем различия между двумя классами.

Хорошей стратегией было бы построение описаний, как можно более структурно схожих между собой, поскольку любая схожая структура облегчает процесс сравнения. К этой стратегии относятся два важных элемента теории. Один из них — идея «описания-схемы» или эталона; другой — идея детектора сходства.

Сначала рассмотрим детектор сходства. Это особый активный элемент, присутствующий на всех уровнях программы (На разных уровнях могут быть детекторы различных типов.) Он беспрерывно работает, проверяя индивидуальные описания и сравнивая их между собой в поисках черт, повторяющихся от одного описания к другому. Обнаружение сходства приводит в действие операции, изменяющие одно или несколько описаний.

Теперь перейдем к эталонам. После окончания обработки данных мы сразу пытаемся создать эталон или схему описаний — один и тот же формат для описаний всех рамок данной задачи. Идея здесь состоит в том, что каждое описание может быть разбито на несколько подописаний, а те, если это необходимо, в свою очередь могут быть разбиты на подподописания. Вы достигаете дна, спускаясь к примитивным понятиям на уровне препроцессора. Важно найти такой способ разбивания на подпрограммы, который отразил бы общность между всеми рамками; иначе «псевдо-порядок», который вы введете в мир, окажется бессмысленным и ненужным.

На основе какой информации строятся эталоны? Рассмотрим это на примере. Возьмем ЗБ #49 (рис. 122). Предварительная обработка информации сообщает нам, что каждая рамка состоит их нескольких маленьких «о» и большой замкнутой кривой. Эти ценные сведения стоит включить в эталон. Таким образом, наша первая попытка создания эталона выглядит так:

большая замкнутая кривая: —

маленькие «о»: —

Это очень просто: в описании-эталоне есть два гнезда, куда надо будет вставить подописания.

Рис. 122. Задача Бонгарда #49. (Из книги Бонгарда «Проблема узнавания»).

Теперь происходит интересная вещь, вызванная к жизни словами «замкнутая кривая». Один из важнейших узлов в программе — это нечто вроде семантической сети или сети понятий, в которой все известные программе существительные, прилагательные и так далее связаны и соотнесены между собой. Например, «замкнутая кривая» тесно связана с понятиями «внутри» и «снаружи». Сеть понятий битком набита информацией о связях между терминами: она говорит нам, что противоположно чему, что сходно с чем, какие вещи часто встречаются вместе и так далее. Небольшой кусочек концептуальной сети показан на рис. 123; я объясню его позже. Пока давайте вернемся к задаче #49. Понятия «внутри» и «снаружи» активируются благодаря тому, что в сети понятий они находятся вблизи от «замкнутой кривой». Это влияет на постройку эталона, в который вводятся гнезда для внутренней и внешней сторон кривой. Таким образом, вторым приближением эталона является:

большая замкнутая кривая: —

маленькие «о» внутри: —

маленькие «о» снаружи: —

В поисках дальнейших подразделений, термины «внутри» и «снаружи» заставят процедуры программы рассмотреть эти районы рамки. В районе рамки I-A ЗБ #49 обнаруживается следующее:

большая замкнутая кривая: круг

маленькие «о» внутри: три

маленькие «о» снаружи: три

Описанием рамки II-А той же задачи может быть:

большая замкнутая кривая: сигара

маленькие «о» внутри: три

маленькие «о» снаружи: три

В этот момент детектор сходства, работающий параллельно с другими операциями, обнаруживает повторение понятия «три» во всех гнездах, описывающих «о»; этого оказывается достаточно, чтобы снова модифицировать эталон. Обратите внимание, что первая модификация была предложена сетью понятий, а вторая — детектором сходства. Теперь наш эталон для задачи #49 приобретает такой вид:

большая замкнутая кривая: —

три маленьких «о» внутри: —

три маленьких «о» снаружи: —

Теперь, когда «три» поднялось уровнем выше и вошло в эталон, имеет смысл обратиться к его соседям по сети понятий. Один их них — «треугольник», что означает, что треугольники, состоящие из «о», могут оказаться важными для решения задачи. В результате оказывается, что эта дорога заводит в тупик, — но как мы могли знать об этом заранее? Человек, решающий эту задачу, скорее всего пошел бы тем же путем, так что хорошо, что наша программа нашла эту дорогу.

Описание рамки II-Д может быть таким:

большая замкнутая кривая: круг

три маленьких «о» внутри: равносторонний треугольник

три маленьких «о» снаружи: равносторонний треугольник

Разумеется, при этом было отброшено огромное количество информации о размерах, положении и ориентации этих треугольников и т. п. Но именно в этом и заключается смысл создания описаний вместо использования необработанных данных! Это похоже на «воронку», которую мы обсуждали в главе XI.

Нам не понадобится рассматривать решение задачи #49 целиком, поскольку мы уже показали, каким образом индивидуальные описания, эталоны, детектор сходства и сеть понятий непрерывно взаимодействуют между собой. Рассмотрим более подробно, что представляет из себя сеть понятий и каковы ее функции. Упрощенный ее фрагмент, приведенный на рис. 123, кодирует следующие идеи:

«высоко» и «низко» противоположны.

«сверху» и «снизу» противоположны.

«высоко» и «сверху» схожи.

«низко» и «снизу» схожи.

«справа» и «слева» противоположны.

различие между «справа-слева» подобно различию между «высоко-низко».

«противоположно» и «схоже» противоположны.

Обратите внимание, что мы можем говорить как об узлах, так и о связях сети. В этом смысле ни один объект в сети не находится уровнем выше другого. В другой части данной схемы закодированы следующие понятия:

Квадрат — это многоугольник.

Треугольник — это многоугольник.

Многоугольник — это замкнутая кривая.

Разница между треугольником и квадратом в том, что у первого 3 стороны, а у второго — 4.

4 схоже с 3.

Круг — это замкнутая кривая.

У замкнутой кривой есть внутренний и внешний районы. «Внутри» и «снаружи» противоположны.

Рис. 123. Небольшая часть сети понятий программы для решения задач Бонгарда. «Узлы» соединены между собой «связями», которые, в свою очередь, могут быть связаны. Принимая связи за глаголы, а соединенные ими узлы за подлежащие и дополнения, можно построить на основе этой диаграммы разные русские предложения.

Сеть понятий очень широка. Кажется, что знания закодированы в ней только статистически, или декларативно, — но это верно лишь наполовину. На самом деле, ее знания граничат с процедурными, потому что сходство в сети действует как гид, или «подпрограммы», сообщая основной программе, как лучше понимать картинки в рамках.

Например, какая-нибудь из первых догадок может оказаться ошибочной, но при этом содержать зерно правильного ответа При первом взгляде на ЗБ #33 (рис. 124) можно подумать, что класс I содержит «колючие» фигуры, а класс II — «гладкие». Однако, если присмотреться, эта догадка оказывается неверной. Все же в ней есть ценная информация, и можно попытаться развить эту идею дальше, работая с теми понятиями сети, которые связаны с «колючим». Это понятие схоже с «острым», которое и оказывается отличительной чертой класса I. Таким образом, одна из основных функций сети понятий состоит в том, чтобы позволять модификацию ранних ошибочных идей и переход к вариациям, которые могут оказаться правильными.

Рис. 124 Задачи Бонгарда.

Понятие перехода между похожими предметами родственно понятию восприятия одного предмета как вариации другого. Мы уже видели прекрасный пример этого — «круг с тремя выемками», который на самом деле вовсе не круг! Наши понятия должны быть до определенной степени гибкими. Ничто не должно оставаться совершенно неизменным. С другой стороны, они также не должны быть настолько бесформенными, что в них пропадет всякое значение. Все дело в том, чтобы знать, когда одно понятие может перейти в другое.

Такой переход лежит в основе решений задач Бонгарда ##85 — 87 (рис. 125). ЗБ #85 довольно проста. Предположим, что наша программа в процессе  предварительной обработки данных узнает некий «отрезок». После этого ей легко посчитать отрезки и найти различие между классом I и классом II в ЗБ #85.

Теперь программа переходит к задаче #86. Ее основная методика состоит в том, чтобы опробовать все недавние идеи, оказавшиеся удачными. В реальном мире повторение сработавших ранее приемов часто увенчивается успехом, и Бонгард в своих задачах не стремится перехитрить этот тип эвристики—к счастью, он даже поощряет его. Таким образом, мы переходим к ЗБ #86, имея на вооружении две идеи («считать» и «отрезок»), слитые в одну: «считать отрезки». Но оказывается, что в ЗБ #86 вместо отрезков нужно считать последовательности линий. Последовательность линий здесь означает сцепление (одного или более) отрезков. Программа может догадаться об этом, например, благодаря тому, что ей известны оба понятия, «отрезок прямой» и «последовательность прямых», и что они расположены близко друг от друга в сети понятий. Другим, способом было бы изобретение понятия «последовательность прямых» — задача, мягко выражаясь, не из простых.

Далее следует ЗБ #87, в которой понятие «отрезок» обыгрывается по-иному. Когда один отрезок становится тремя? (См. рамку II-А.) Программа должна быть достаточно гибкой, чтобы переходить взад и вперед между различными описаниями данного фрагмента рисунка. Разумно сохранять в памяти старые описания, вместо того, чтобы их забывать и затем составлять снова, поскольку нет гарантии того, что новое описание окажется лучше прежнего. Таким образом, вместе с каждым старым описанием программа должна запоминать его сильные и слабые стороны. (Не правда ли, это начинает звучать довольно сложно?)

Рис. 125. Задачи Бонгарда ##85 — 87 (Из книги Бонгарда «Проблема узнавания»).

Теперь мы подошли к другой жизненно важной части процесса узнавания; она имеет дело с уровнями абстракции и мета-описаниями. Для примера давайте вернемся к ЗБ #91 (рис. 121). Какой эталон можно здесь построить? С таким количеством вариантов трудно знать, откуда начинать. Но это уже само по себе является подсказкой! Это говорит нам, что различие между классами, скорее всего, существует на уровне, высшем чем уровень геометрических описаний. Это наблюдение подсказывает программе, что она может попытаться рассмотреть описания описаний — то есть мета-описания. Может быть, на этом втором уровне нам удастся обнаружить какие-либо общие черты, и, если повезет, найти достаточно сходства для того, чтобы создать эталон для мета-описаний. Таким образом, мы начинаем работу без эталона и создаем описания нескольких рамок; после того, как они закончены, мы описываем сами эти описания. Какие гнезда будут у нашего эталона для мета-описаний? Может быть, следующие:

использованные понятия: —

повторяющиеся понятия: —

названия гнезд: —

использованные фильтры: —

Существует множество других гнезд, которые могут быть использованы в мета-описаниях; это просто пример. Предположим теперь, что мы описали рамку I-Д в ЗБ #91. Ее «безэталонное» описание может выглядеть так:

горизонтальный отрезок.

вертикальный отрезок, находящийся на горизонтальном отрезке.

вертикальный отрезок, находящийся на горизонтальном отрезке.

вертикальный отрезок, находящийся на горизонтальном отрезке.

Разумеется, множество сведений было отброшено: то, что три вертикальных отрезка одинаковой длины, отстоят друг от друга на одно и то же расстояние и т. п. Но возможно и подобное описание. Мета-описание может выглядеть так:

использованные понятия: вертикальный-горизонтальный, отрезок, находящийся на

повторяющиеся понятия: 3 копии описания «вертикальный отрезок, находящийся на горизонтальном отрезке».

названия гнезд: —

использованные фильтры: —

Не все гнезда мета-описания должны быть заполнены: на этом уровне тоже возможно отбрасывание информации, как и на уровне «простого описания». Если бы мы теперь захотели составить описание и мета-описание любой другой рамки класса I, то гнездо «повторяющиеся описания» каждый раз содержало бы фразу «три копии ...» Детектор сходства заметил бы это и выбрал бы «тройничность» в качестве общей абстрактной черты рамок класса I. Таким же образом, путем мета-описаний может быть установлено, что «четверичность» — отличительная черта класса II.

Вы можете возразить, что использование мета-описаний в данном случае напоминает стрельбу по мухам из пушки, поскольку тройничность и четверичность могли быть найдены уже на первом уровне, если бы мы построили наше описание немного иначе. Это верно, но для нас важно иметь возможность решать эти задачи различными путями. Программа должна быть очень гибкой; она не должна быть обречена на провал, если ее «занесет» не туда. Я хотел проиллюстрировать общий принцип: когда построение эталона затруднено, потому что препроцессор запутывается среди различных деталей, это показывает, что здесь задействованы понятия на высших уровнях, о которых препроцессор ничего не знает.

Теперь давайте рассмотрим другой вопрос: каким образом можно отбрасывать информацию. Ответ на этот вопрос включает два родственных понятия, которые я называю «фокусированием» и «фильтрованием». Фокусирование означает составление описания так, что оно сосредотачивается на каком-то одном районе картинки и «сознательно» оставляет без внимания все остальные. Фильтрование означает составление описания так, что оно видит содержимое картинки под каким-то определенным углом, и сознательно игнорирует все другие аспекты.

Таким образом, они дополняют друг друга: фокусирование имеет дело с объектами (грубо говоря, с существительными), а фильтрование — с понятиями (грубо говоря, с прилагательными).

Рис. 126. Задача Бонгарда #55 (Из книги Бонгарда «Проблема узнавания»).

Для примера фокусирования рассмотрим ЗБ #55 (рис. 126). Здесь мы сосредотачиваемся на выемке и маленьком круге около нее, и оставляем без внимания все остальное. ЗБ #22 — это пример фильтрования. Мы отбрасываем все понятия, кроме размера. Для решения ЗБ #58 (рис. 128) требуется комбинация фокусирования и фильтрования.

Одним из важных способов получения идей для фокусирования и фильтрования является другой тип «фокусирования»: детальный анализ какой-либо особенно простой рамки — скажем, рамки с наименьшим количеством предметов. Очень полезным может оказаться сравнение между гобой простейших рамок обоих классов.

Но каким образом программа определяет, какие рамки самые простые, до того, как она производит их описание? Одним из способов определения простоты является поиск рамки с наименьшим количеством черт, найденных препроцессором. Это может быть сделано на ранних стадиях работы, поскольку для этого не нужен готовый эталон; на самом деле, это может быть использовано как поиск черт для включения в эталон. ЗБ #61 (рис. 129) — пример случая, когда такая техника дает плоды очень быстро.

Рис. 127. Задача Бонгарда #22 (Из книги Бонгарда «Проблема узнавания»).

Рис. 128. Задача Бонгарда #58. (Из книги Бонгарда «Проблема узнавания»).

Рис. 129. Задача Бонгарда #61. (Из книги Бонгарда «Проблема узнавания»).

Задачи Бонгарда можно интерпретировать как крохотную модель мира, занимающегося «наукой» — то есть поисками упорядоченных структур. В процессе этих поисков создаются и переделываются эталоны, гнезда переносятся с одного уровня обобщения на другой, используются фокусирование и фильтрование и т. д.

На каждом уровне сложности делаются свои открытия. Теория американского философа Куна о том, что странные события, которые он называет сдвигами парадигмы, отмечают границу между «нормальной» наукой и «концептуальными революциями», не кажется подходящей к нашему случаю, поскольку в данной системе сдвиги парадигмы происходят все время и на всех уровнях. Это объясняется гибкостью описаний.

Разумеется, некоторые открытия более «революционны», чем другие, поскольку они производят больший эффект. Например, мы можем обнаружить, что задачи #70 и #72 представляют из себя «одну и ту же задачу», рассмотренную на достаточно абстрактном уровне. Основная идея здесь в том, что в обеих задачах используется понятие «вложения» на глубине 1 и 2. Это новый уровень открытия в задачах Бонгарда. Существует еще более высокий уровень, касающийся всех картинок как целого. Если кто-либо не видел этого собрания, интересной задачей для него было бы попытаться представить себе, как эти картинки выглядят. Это было бы революционным открытием, хотя механизмы, которые при этом оперируют, не отличаются от механизмов, помогающих нам решать отдельные задачи Бонгарда.

По той же причине, настоящая наука не делится на «нормальные» периоды и периоды «концептуальных революций», сдвиги парадигм происходят в ней постоянно, большие и маленькие, на различных уровнях. Рекурсивные графики INT и график G (рис. 32 и 34) дают нам геометрическую модель этой идеи. Их структура полна скачков на всех уровнях, причем чем ниже уровень, тем меньше скачки.

Рис. 130. Задачи Бонгарда ##70-71 (Из книги Бонгарда «Проблема узнавания»).

Чтобы поместить эту программу в контекст, я хочу упомянуть о том, как она соотносится с другими аспектами познания. Она зависит от других аспектов познания, а те, в свою очередь, зависят от нее. Поясню сначала ее зависимость от других аспектов познания. Интуиция, подсказывающая нам когда имеет  смысл стереть различия, попытаться составить иное описание, вернуться по собственным следам, перейти на другой уровень и так далее, приходит только с общим опытом мышления. Поэтому так трудно определить эвристику для этих основных аспектов программы. Иногда наш опыт реального мира сложным образом влияет на то, как мы описываем и переописываем рамки. Например, кто может сказать, насколько знакомство с настоящими деревьями помогает в решении задачи #70? Маловероятно, что человеческая сеть понятий, относящихся к решению этих задач, может быть легко отделена от остальной сети понятий. Скорее интуиция, которую мы получили от созерцания и контакта с реальными предметами — расчески, поезда, цепочки, кубики, буквы, резинки и т. д., и т. п. — играет незаметную, но важную роль в решении подобных задач.

И наоборот, понимание ситуаций реального мира наверняка в большой степени зависит от зрительных образов и пространственной ориентации — таким образом, гибкий и эффективный способ представлять различные структуры (такие, как задачи Бонгарда) может только способствовать общей эффективности мыслительных процессов.

Мне кажется, что задачи Бонгарда были разработаны очень тщательно: в них есть некая универсальность, в том смысле, что у каждой из них — единственный правильный ответ. Разумеется, с этим можно спорить, утверждая, что то, что мы считаем «правильным», зависит от того, что мы — люди. Инопланетянин может совершенно с нами не согласиться. Несмотря на то, что у меня нет никакого конкретного свидетельства в пользу той или иной теории, я все-таки считаю, что задачи Бонгарда зависят от некоего чувства простоты и что люди — не единственные существа, обладающие этим чувством. То, что для этого важно быть знакомым с типично земными предметами, такими как расчески, поезда, резинки и тому подобное, не противоречит утверждению о том, что некое чувство простоты универсально, поскольку здесь важны не отдельные предметы, а тот факт, что вкупе они покрывают некое широкое пространство. Скорее всего, другие цивилизации будут обладать таким же большим репертуаром предметов и натуральных объектов и таким же обширным опытом. Поэтому мне кажется, что умение решать задачи Бонгарда находится близко к тому, что можно назвать «чистым» разумом — если таковой существует. Следовательно, с них можно начинать, если мы хотим изучить умение находить некое присущее схемам или сообщениям значение. К несчастью, мы привели здесь только небольшую часть этого замечательного собрания. Надеюсь, что многие читатели познакомятся со всем собранием, приведенным в книге Бонгарда (см. Библиографию).

Некоторые проблемы узнавания структур, которые полностью вросли в наше подсознание, довольно удивительны. Они включают:

узнавание лиц (неизменность лиц при возрастных изменениях, различных выражениях, разном освещении, разном расстоянии, под другим углом зрения и так далее);

узнавание тропинок в лесах и в горах — почему-то это всегда казалось мне одним из наиболее удивительных случаев узнавания схем. Однако это умеют делать и животные…

прочтение текста, написанного сотней, если не тысячей различных шрифтов.

Одним из способов решения проблемы узнавания структур и других сложных проблем ИИ является так называемый «актерский» формализм Карла Хьюитта, подобный языку «Smalltalk», разработанному Аланом Кэйем и другими. Он заключается в том, что программа пишется в виде набора взаимодействующих актеров, которые могут обмениваться сложными сообщениями. Это чем-то напоминает гетерархическое собрание процедур, вызывающих друг друга. Основное различие состоит в том, что процедуры передают друг другу небольшое количество информации, в то время как сообщения, которыми обмениваются актеры, могут быть сколь угодно длинными и сложными.

Благодаря своему умения передавать сообщения, актеры становятся в каком-то смысле автономными агентами — их можно даже сравнить с самими компьютерами, а сообщения — с программами. Каждый актер может интерпретировать данное сообщение по-своему; таким образом, значение сообщения будет зависеть от актера, его получившего. Это объясняется тем, что в актерах есть часть программы, которая интерпретирует сообщения; поэтому интерпретаторов может быть столько же, сколько и актеров. Разумеется, интерпретаторы многих актеров могут оказаться идентичными; в действительности, это может быть большим преимуществом (так же важно, чтобы в клетке было множество плавающих в цитоплазме идентичных рибосом, каждая из которых будет интерпретировать сообщение — в данном случае, мессенджер ДНА — одинаковым образом).

Интересно подумать, как можно соединить понятие фреймов с понятием актеров. Давайте назовем фрейм, способный создавать и интерпретировать сложные сообщения, символом:

фрейм + актер = символ

Мы будем говорить здесь о том, как можно представить те неуловимые активные символы, которые обсуждались в главах XI и XII; поэтому в данной главе «символ» будет иметь то же значение. Не расстраивайтесь, если вы не сразу поймете, каким образом может произойти этот синтез. Это, действительно, неясно, — но это одно из самых многообещающих направлений исследований в ИИ. Более того, несомненно, что даже наилучшие синтетические представления будут менее мощными, чем символы человеческого мозга. В этом смысле, пожалуй, еще рановато называть объединения фреймов с актерами «символами», но это — оптимистический взгляд на вещи.

Давайте вернемся к темам, связанным с передачей сообщений. Должно ли данное сообщение быть направлено на определенный символ, или же оно должно быть брошено наугад, так же как мРНК брошен наугад в цитоплазму, где он должен найти свою рибосому? Если у сообщений есть предназначение, то у каждого символа должен быть адрес, по которому будут посланы соответствующие сообщения. С другой стороны, может существовать некая центральная «станция» для получения сообщений, где каждое сообщение будут храниться, как письмо до востребования, пока оно не понадобится какому-либо символу. Это — альтернатива доставке писем адресатам. Возможно, наилучшее решение — сосуществование обоих типов сообщений и возможность разных степеней срочности: сверхсрочное, срочное, обычное и так далее. Система почтовой связи — богатый источник идей для языков, передающих сообщения; она включает такие возможности как письмо с оплаченным ответом (сообщения, чьи отправители хотят срочно получить ответ), бандероли (очень длинные послания, которые могут быть посланы несрочным путем) и тому подобное. Когда вы исчерпаете запас почтовых идей, вашему воображению может дать толчок система телефонной связи.

Другой источник идей для передачи сообщений — и обработки информации вообще — это, разумеется, клетка. Некоторые объекты клетки можно сравнить с актерами — в частности, эту роль выполняют энзимы. Активный центр каждого энзима работает как фильтр, который узнает только определенные типы субстратов (сообщений). Можно сказать, что у энзима есть «адрес». Благодаря своей третичной структуре, энзим «запрограммирован» так, чтобы провести некоторые операции с этим «сообщением» и затем снова выпустить его «в мир». Таким образом, путем передачи сообщения химическим путем от энзима к энзиму можно сделать очень многое. Мы уже описали сложные способы обратной связи в клетке (путем торможения или подавления). Эти механизмы показывают, что сложный контроль процессов может возникнуть из клеточного типа передачи сообщений.

Один из самых удивительных фактов, касающихся энзимов. — это то, что они бездействуют в ожидании нужного субстрата. Когда субстрат появляется, энзим внезапно начинает действовать, наподобие венериной мухоловки — насекомоядного растения. Подобная программа-триггер была использована в ИИ, где она получила название демона. Здесь важна идея наличия многих различных «семейств» подпрограмм, ожидающих активации. В клетке все сложные молекулы и органоиды строятся постепенно, шаг за шагом. Некоторые из этих новых структур сами являются энзимами и участвуют в построении новых энзимов — которые, в свою очередь, начинают строить другие типы энзимов и так далее. Подобные рекурсивные каскады энзимов очень сильно влияют на то, что делается в клетке. Было бы хорошо перенести подобный простой, ступенчатый процесс в ИИ — в построение полезных подпрограмм. Например, повторение — это способ вмонтировать некие структуры в аппаратуру нашего мозга, так что часто повторяемое поведение становится закодировано на подсознательном уровне. Было бы полезно найти аналогичный способ создания эффективных кусочков кода, которые могли бы производить такую же последовательность операций, как и нечто, выученное на высшем уровне «сознания». Каскады энзимов могут служить моделью того, как это может быть сделано. (Программа под названием «Hacker», написанная Геральдом Суссманом, создает и отлаживает небольшие подпрограммы способом, не слишком отличным от каскада энзимов.) Детектор сходства в программе, решающей задачи Бонгарда, мог бы сыграть роль такой энзимообразной подпрограммы. Подобно энзиму, этот детектор бродит вокруг, иногда натыкаясь на небольшие фрагменты данных. Когда пара его «активных центров» заполняется схожими структурами, детектор посылает сообщение другим частям программы (актерам). Пока программы соединены последовательно, иметь несколько копий детектора сходства не имеет смысла; однако в параллельном компьютере регулировка количества копий подпрограммы была бы способом регулировки также и предполагаемого времени до конца программы. Таким же образом, регулировка количества копий данного энзима в клетке регулирует скорость данного процесса. Создание новых детекторов было бы сравнимо с просачиванием обнаружения структур на низшие уровни нашего разума.

Две интересные дополнительные идеи, касающиеся взаимодействия символов, — это расщепление и синтез. Расщепление — это постепенное отделение нового символа от символа-родителя (то есть символа, послужившего эталоном для создания нового символа). Синтез — это то, что происходит, когда два ранее не связанных символа участвуют в «совместной активации», передавая сообщения между собой так интенсивно, что они становятся слитными; после чего эта комбинация начинает действовать как один символ. Расщепление — процесс более или менее неизбежный. Как только новый символ произведен на основе старого, он становится автономным, и его взаимодействие с окружающим миром отражается в его собственной внутренней структуре. Таким образом, то, что началось как совершенная копия, вскоре становится неточным, и все меньше и меньше походит на первоначальный символ. Синтез — вещь более тонкая. Когда два понятия сливаются в одно? Можно ли указать точный момент, когда это происходит? Понятие совместной активации открывает Пандорин ящик вопросов. Например, слышим ли мы отдельно слова «пар» и «ход», когда говорим о пароходе? Когда немец думает о перчатках («Handschuhe»), слышит ли он слова «Hand» и «Schuhe» («рука» и «обувь»)? А как насчет китайцев, чье слово «донг-хи» («восток-запад») означает «вещь»? Эта проблема переходит в область политики, когда некоторые люди высказывают мысль, что слова типа «медсестра» выражают недостаток уважения к женщинам. То, в какой степени в целом звучат отдельные части, варьируется, скорее всего, в зависимости от человека и от обстоятельств.

Основная проблема с понятием «синтеза» символов заключается в том, что очень трудно найти алгоритм, создающий новые значимые символы из символов, сталкивающихся между собой. Это подобно двум соединяющимся цепочкам ДНК. Каким образом можно взять части каждой из них и соединить их в новую значимую цепочку, в которой была бы закодирована особь того же класса? Или нового класса? Почти невероятно, что случайная комбинация ДНК окажется жизнеспособной, — вероятность этого такая же, как вероятность того, что перемешанные слова двух книг создадут третью книгу. Скорее всего, рекомбинация ДНК будет бессмысленна на всех уровнях, кроме самого низшего, именно потому, что в ДНК так много уровней значения… То же самое верно и для «рекомбинаций символов».

Мой Диалог «Крабий канон» кажется мне прототипом того, как две идеи столкнулись у меня в голове, соединились по-новому и вызвали к жизни новую словесную структуру. Разумеется, я все еще могу думать о музыкальных канонах и о диалогах раздельно; эти символы все еще могут быть активированы у меня в голове независимо друг от друга. Однако у этого синтетизированного символа для крабоканонических диалогов также есть собственный характерный вид активации. Чтобы проиллюстрировать понятие синтеза или «символической рекомбинации» более подробно, я хотел бы использовать пример создания «Крабьего канона». Во-первых, это мне хорошо известно, а во-вторых, это интересно и типично для того, чтобы показать, как далеко можно пойти в развитии какой-либо идеи. Я изложу это по стадиям, названным в честь мейоза — деления клеток, в котором участвует скрещивание хромосом, или генетическая рекомбинация, — источники разнообразия в эволюции.

ПРОФАЗА: Я начал с довольно простой идеи — что музыкальное произведение, например, канон, можно проимитировать словесно. Это было основано на наблюдении, что кусок текста и кусок музыкальной пьесы могут быть соотнесены между собой путем использования одной и той же абстрактной формы. Следующим шагом была попытка воплотить в жизнь некоторые возможности этой туманной идеи: здесь мне пришло в голову, что «голоса» канонов могут быть отображены в «действующих лицах» диалогов, — мысль все еще довольно очевидная.

Далее я стал перебирать специфические виды канонов и вспомнил, что в «Музыкальном приношении» был ракоходный канон. Тогда я только начинал писать Диалоги, и в них было лишь два действующих лица: Ахилл и Черепаха. Поскольку Баховский ракоходный канон — двухголосный, соответствие было полным: Ахилл был бы первым голосом, идущим вперед, а Черепаха — вторым, идущим назад. Однако здесь возникла следующая трудность: на каком уровне должно происходить обращение? На уровне букв? Предложений? После некоторого раздумья я заключил, что самым подходящим является уровень реплик, то есть драматического действия.

После того, как «скелет» Баховского канона был переведен, по крайней мере, в черновике, в словесную форму, оставалась одна проблема. Когда оба голоса встречались в середине, то получался период крайнего повторения — довольно серьезный недостаток. Как можно было поправить дело? Тут произошла странная вещь — типичное для творчества скрещение уровней: мне в голову пришло слово «краб» из названия канона, несомненно, из-за некоей его общности с понятием «черепахи». Я тотчас сообразил, что повторение в середине может быть предотвращено, если ввести туда реплику, произнесенную новым действующим лицом — Крабом! Так в «профазе» «Крабьего канона» из скрещивания Ахилла и Черепахи на свет появился Краб. (См. рис. 131).

Рис. 131. Схематическая диаграмма Диалога «Крабий канон».

МЕТАФАЗА: Итак, скелет моего «Крабьего канона» был готов. Я перешел ко второй стадии — «метафазе,» — в которой моей задачей было облечь скелет в плоть. Разумеется, это было нелегкой задачей. Мне пришлось изрядно попотеть в поисках пар фраз, которые имели бы смысл при прочтении в обратном порядке, и фраз с двойным значением, которые помогли бы мне создать подобную форму (например, «не стоит»). Два ранних варианта получились интересными, но слабоватыми. Когда, после годичного перерыва, я вернулся к работе над книгой, у меня было несколько новых идей для «Крабьего диалога». Одной из них было упоминание какого-либо Баховского канона в самом Диалоге. Сначала я собирался упомянуть о каноне под названием «Canon per augmentationem, contrario motu» из «Музыкального приношения» (этому канону у меня соответствует Диалог «Канон ленивца»). Однако это выглядело глуповато, так что в конце концов я решил, скрепя сердце, что в «Крабьем каноне» я могу говорить собственно о ракоходном каноне Баха. На самом деле, это оказалось поворотным пунктом в работе над Диалогом, о чем я тогда еще не догадывался.

Но если одно действующее лицо упоминает о Баховской пьесе, не будет ли звучать нелепо, если в соответствующем месте Диалога второе действующее лицо скажет точно то же самое? В книге и в мыслях у меня Эшер играл роль, подобную роли Баха; нельзя ли было немного изменить соответствующую реплику так, чтобы во второй раз она относилась к Эшеру? В конце концов, в строгом искусстве канонов ради красоты и элегантности иногда допускаются отступления от точного повторения темы. И как только я об этом подумал, мне тут же пришла в голову картина «День и ночь» (рис. 49). «Ну конечно!» — сказал я себе. «Ведь это тоже что-то вроде ракоходного канона, где два взаимно дополняющих голоса проводят одну и ту же тему направо и налево, гармонируя друг с другом!» Здесь мы снова сталкиваемся с понятием единой «концептуальной схемы», воплощенной в различных контекстах, — в данном случае, в музыке и в графике. Таким образом, я позволил Ахиллу говорить о Бахе, а Черепахе — об Эшере, но в параллельных выражениях, безусловно, это небольшое отступление от точного повторения не угрожало духу ракоходного канона.

Примерно тогда же я заметил, что случилось нечто удивительное: Диалог стал автореферентным, хотя я ничего подобного не планировал! Более того, это была косвенная автореферентность, поскольку герои нигде не упоминали о Диалоге, действующими лицами которого они в данный момент являлись. Вместо этого они говорили о структурах, на некотором абстрактном уровне изоморфных этому Диалогу. Иными словами, мой Диалог теперь имел тот же самый «концептуальный скелет», как и Гёделево утверждение G, и, таким образом, мог быть отображен на G примерно так же, как и Центральная Догма Типогенетики. Это было замечательно: нежданно-негаданно я нашел пример эстетического единства Гёделя, Эшера и Баха.

АНАФАЗА: Следующий шаг был довольно удивительным. У меня давно лежала монография Каролины Макгилаври, посвященная мозаичным работам Эшера; однажды, когда я стал ее перелистывать, мое внимание привлекла гравюра 23, которую я вдруг увидел в неожиданном свете: передо мной был самый настоящий крабий канон, как по форме, так и по содержанию! Эшер оставил эту картину без названия, и поскольку у него есть множество подобных мозаик с другими животными, возможно, что это совпадение формы и содержания было только моей случайной находкой. Так или иначе, эта безымянная гравюра была миниатюрной версией главной идеи моей книги — объединения формы и содержания. Так что я радостно окрестил гравюру «Крабьим каноном», поставил ее на место «Дня и ночи» и соответствующим образом изменил реплики Ахилла и Черепахи.

Однако это еще было не все. В то время я увлекался молекулярной биологией; однажды, перелистывая в магазине книгу Уатсона, я наткнулся в индексе на слово «палиндром». Найдя это слово в тексте, я обнаружил нечто удивительное, крабо-канонические структуры в ДНК. Тогда я изменил крабью речь, включив в нее замечание о том, что его любовь к странным движениям взад и вперед заложена в его генах.

ТЕЛОФАЗА: Последний шаг был сделан несколько месяцев спустя, когда, рассказывая кому-то о крабо-каноническом отрезке ДНК (рис. 43), я заметил, что «А», «Т» и «С», обозначающие, соответственно, аденин, тимин и цитозин, совпадали — mirabile dictu — с «А», «Т» и «С» Ахилла, Черепахи (Tortoise) и Краба (Crab). Более того, так же, как аденин и тимин попарно соединены в ДНК, Ахилл и Черепаха соединены в Диалоге. С другой стороны, «G», буква, спаренная в ДНК с «С», могла обозначать Гения. Я снова вернулся к Диалогу и немного изменил речь Краба, так что она отразила эту новую находку. Теперь у меня было соответствие структуры ДНК структуре Диалога. В этом смысле можно сказать, что ДНК было генотипом, в котором был закодирован фенотип — структура Диалога. Этот финальный аккорд снова подчеркнул автореференцию и придал Диалогу такое глубокое значение, которого я сам не ожидал.

Это более или менее полное описание эпигенеза «Крабьего канона». Этот процесс можно рассматривать как постепенное отображение идей друг на друга на разных уровнях абстракции. Я называю это концептуальным отображением, а абстрактные структуры, роднящие две разные идеи — концептуальными скелетами. Пример концептуального скелета — абстрактное понятие крабьего канона:

структура, состоящая из двух частей, которые проделывают одно и то же, но двигаются при этом в противоположных направлениях.

Это конкретный геометрический образ, с которым мы можем обращаться почти так же, как с задачей Бонгарда. Думая о «Крабьем каноне», я представляю себе две ленты, перекрещивающиеся в центре, где они соединены узлом (реплика Краба). Этот настолько наглядный образ, что он тут же отображается у меня в голове на образ двух хромосом, в середине соединенных центромерой — картина, прямо выведенная из мейозиса (см. рис. 132).

Рис. 132.

Именно этот образ навел меня на мысль описать создание «Крабьего канона» в терминах мейозиса — что само по себе, разумеется, также является примером концептуального отображения.

Существуют разные способы синтеза двух символов. Например, можно расположить идеи рядышком (словно идеи линейны!) и затем выбирать из каждой по кусочку и комбинировать их по-новому. Это напоминает генетическую рекомбинацию. Чем именно обмениваются хромосомы, и как они это делают? Они обмениваются генами. Что в символе сравнимо с геном? Если в символе есть рамкообразные гнезда, то, пожалуй, именно эти гнезда. Но какие из них должны быть обменены, и почему? Ответить на этот вопрос нам поможет синтез крабоканонического типа. Отображение понятия «музыкального канона-ракохода» на понятие «диалога» включало в себя несколько дополнительных отображений — в действительности, оно порождало дополнительные отображения. Как только было решено, что эти идеи должны быть отображены друг на друга, оставалось лишь взглянуть на них на том уровне, где были заметны аналогичные части, и затем начать их взаимное отображение. Этот рекурсивный процесс может идти на каком угодно уровне. Например, «голос» и «действующее лицо» возникли как соответствующие друг другу гнезда абстрактных понятий «музыкальный канон» и «диалог». Откуда же взялись сами эти абстрактные понятия? Это основная проблема отображения: откуда берутся абстрактные представления? Как можно получить абстрактное представление специфических понятий?

Концептуальный скелет — это некое абстрактное представление, полученное путем проецирования понятия на одно из его измерений. Мы уже имели дело с концептуальными скелетами, не называя их по имени. Например, многие идеи, касающихся задач Бонгарда, могут быть выражены в этих терминах. Это всегда интересно и часто полезно, когда мы обнаруживаем, что две (или более) идеи имеют сходный концептуальный скелет. Примером этого может служить странный набор понятий, упоминающихся в начале «Контрафактуса»: бициклопы, одноколесный тандем, мотоциклы «Зигзиг», игра в пинг-пинг, команда, разделившая первое место сама с собой, двухсторонний лист Мёбиуса, «близнецы Бах», фортепианный концерт для двух левых рук, одноголосная фуга, аплодирование одной рукой, двухканальный моно-магнитофон, четверка четвертьзащитников. Все эти идеи изоморфны, потому что у них один и тот же концептуальный скелет:

множественная вещь, разъятая на части и собранная ошибочно.

Две других идеи этой книги, разделяющие один и тот же концептуальный скелет, это (1) Черепахино решение Ахилловой головоломки — найти слово, начинающееся и кончающееся на «КА» (она предложила частицу «КА», соединяющие оба «ка» в одно) и (2) доказательство Теоремы Ослиного Мостика (Pons Asinorum), предложенное Паппусом и программой Гелернтера, в котором один треугольник представлен как два. Эти странные сооружения можно именовать «полу-двойняшками.»

Концептуальный скелет — нечто вроде набора постоянных черт идеи, которые, в отличие от ее параметров и переменных, должны оставаться неизменными при отображении ее на другие идеи или при выдумывании альтернативных миров. Поскольку в концептуальном скелете нет собственных параметров и переменных, он может лежать в основе нескольких различных идей. В каждом конкретном примере (как, скажем, «моно-тандем») есть уровни изменчивости, что позволяет нам модифицировать его по-разному. Хотя название «концептуальный скелет» вызывает образ чего-то жесткого и абсолютного, на самом деле он довольно гибок. На разных уровнях абстракции можно найти различные концептуальные скелеты. Например, «изоморфизм» между задачами Бонгарда #70 и #71, о котором я уже упоминал, включает концептуальный скелет более высокого уровня, чем тот, который требуется для решения обеих задач в отдельности.

Концептуальные скелеты должны существовать не только на разных уровнях абстракции, но также в разных концептуальных измерениях. Возьмем, например, следующее изречение:

«Вице-президент — запасное колесо в автомобиле правительства.»

Как мы понимаем, что это означает (оставляя в стороне важнейший аспект этой фразы — ее юмор)? Если бы вам внезапно предложили сравнить правительство с автомобилем, вы могли бы найти разнообразные параллели: руль — президент и т. д. Но чему соответствует Дума? С чем сравнить пристяжные ремни? Поскольку отображаемые понятия очень различны, отображение неизбежно будет происходить на функциональном уровне. Следовательно, вы сосредоточите внимание на тех частях автомобиля, которые имеют отношение не к форме, а к функции. Более того, имеет смысл работать на довольно высоком уровне абстракции, где «функция» понимается в широком контексте. Поэтому в данном случае из следующих двух определений запасного колеса: (1) «замена для колеса с проколотой шиной» и (2) «замена для некоей не функционирующей части машины», вы выберете последнее. Автомобиль и правительство настолько различны, что вам приходится работать на высоком уровне абстракции.

Когда вы рассматриваете данное предложение, вам навязывается некое конкретное отображение. Однако оно вовсе не является для вас неестественным, поскольку среди многих определений вице-президента, у вас есть и такое: «замена для некоей не функционирующей части правительства.» Поэтому навязанное вам отображение в данном случае кажется естественным. Предположим теперь, для контраста, что вы хотите воспользоваться другим определением запасного колеса, — скажем, описанием его физических аспектов. Среди прочего, это определение утверждает, что запасное колесо «круглое и надутое». Ясно, что это нам не подходит. (Правда, один мой знакомый указал мне на то, что некоторые вице-президенты довольно-таки объемисты и большинство из них весьма надуты!)

Одной из основных характеристик каждого индивидуального стиля мышления является то, как в нем классифицируются и запоминаются новые впечатления. Это определяет те «ручки», за которые данное воспоминание можно будет затем вытащить из памяти. Для событий, объектов и идей — для всего, что только можно представить — существует огромное разнообразие таких «ручек». Это поражает меня каждый раз, когда я протягиваю руку, чтобы включить радио в машине и, к моему удивлению, обнаруживаю, что оно уже включено! Тут происходит следующее: я использую два различных определения радио. Одно из них — «производитель музыки», другое — «рассеиватель скуки». Я знаю, что музыка уже играет. Но поскольку мне все равно скучно, я протягиваю руку, чтобы включить радио, прежде чем эти два образа успевают войти в контакт. Тот же «радиовключательный рефлекс» сработал однажды сразу после того, как я оставил сломанное радио в мастерской и ехал домой; мне захотелось послушать музыку. Странно! Для того же радио существует множество других представлений, как например:

штуковина с блестящими серебряными ручками

штуковина, которая постоянно перегревается

штуковина, для починки которой приходится улечься на спину

производитель помех

предмет с плохо закрепленными ручками

пример множественных представлений

Все они могут служить портами доступа. Хотя все они связаны с символом, представляющим в моей голове радио в машине, его активация через одно из этих представлений не активирует остальных. Маловероятно, чтобы, включая радио, я думал бы о том, что для его починки надо лечь на спину. Наоборот, когда я, лежа на спине, орудую отверткой, то вряд ли вспомню о том. как слушал по этому радио «Искусство фуги». Между различными аспектами символа существуют «перегородки», которые не позволяют моим мыслям переливаться туда-сюда в потоке свободных ассоциаций. Эти перегородки важны, поскольку они сдерживают и направляют поток моих мыслей.

Одно из мест, где эти перегородки очень жестки, — это разделение слов для одного и того же понятия на разных языках. Если бы перегородки были слабее, люди, знающие несколько языков, в разговоре постоянно перескакивали бы с одного языка на другой, что было бы очень неловко. Разумеется, взрослые, изучающие сразу два языка, часто путаются между ними. Перегородки между этими языками не так сильны и могут ломаться. Переводчики в этом смысле особенно интересны, поскольку они могут говорить на любом из своих языков так, словно перегородки между ними нерушимы, — и тут же, по команде, могут нарушить эти перегородки и попасть из одного языка в другой для перевода. Джордж Штейнер, с детства говоривший на трех языках, посвящает несколько страниц своей книги «После Вавилонского столпотворения» переплетению французского, английского и немецкого у него в мозгу и тому, каким образом разные языки позволяют разные порты доступа к понятиям.

Когда мы видим, что две идеи разделяют один и тот же концептуальный скелет, из этого могут получиться разные вещи. Обычно мы прежде всего разглядываем идеи крупным планом и, руководствуясь соответствиями на высших уровнях, пытаемся найти соответствующие части этих идей. Иногда сходство может быть прослежено рекурсивно также на низших уровнях, выявляя глубокий изоморфизм. Иногда соответствие прекращается раньше, указывая на аналогию или сходство. Иногда же найденное на высшем уровне сходство настолько притягательно, что, даже если сходство на низших уровнях не очевидно, мы его просто придумываем. У нас получается форсированное соответствие.

Такие притянутые за уши соответствия каждый день встречаются в политических шаржах в газетах, государственные мужи изображаются в форме аэроплана, парохода, рыбы или Моны Лизы. Правительство становится человеком, птицей или нефтяной вышкой; договор — портфелем, мечом или банкой с червями… и так далее, и тому подобное. Интересно то, насколько легко мы можем проделать в уме предложенные отображения на нужную глубину, не находя слишком глубоких или слишком поверхностных соответствий.

Еще один пример запихивания одного предмета в форму другого — это мое решение описать создание «Крабьего канона» в терминах мейозиса. Это произошло постепенно. Сначала я заметил общий концептуальный скелет в «Крабьем каноне» и в образе хромосом, соединенных в середине центромерой; это послужило толчком к рождению форсированного соответствия. Затем я заметил сходство на высшем уровне, касающееся «роста», «стадий» и «рекомбинации». После этого я развил эту аналогию насколько смог. Экспериментирование, как в решении задач Бонгарда, сыграло важную роль; я шел вперед и снова возвращался, пока не натыкался на подходящее соответствие.

Третий пример концептуального отображения — схема Центральной Догмы Типогенетики. Сначала я заметил сходство на высшем уровне между открытиями математической логики и молекулярной биологии; затем я перенес поиски на низшие уровни, пока не нашел хорошей аналогии. Чтобы еще усилить эту аналогию, я выбрал нумерацию Гёделя, имитирующую Генетический Код. Этот элемент стоит особняком в форсированном соответствии, показанном на схеме Центральной Догмы.

Форсированные соответствия нелегко четко отделить от аналогий и метафор. Спортивные комментаторы часто используют живые образы, трудно поддающиеся классификации. Например, услышав метафору «Динамовцы забуксовали» трудно сообразить, что мы должны себе представить. Колеса у целой команды? У каждого игрока? Возможно, что ни то и не другое. Скорее всего, образ колес, крутящихся в грязи или на снегу, появляется у нас в голове всего на секунду и затем, таинственным образом, только нужные его части переносятся на образ футбольной команды. Насколько глубоко бывает в эту секунду соответствие образа автомобиля образу футбольный команды?

Давайте попытаемся связать все это воедино. Я описал несколько идей, связанных с возникновением, манипуляцией и сравнением символов. Большинство из них так или иначе связаны с переходами между символами и их варьированием. Идея здесь в том, что в символах есть элементы жесткие и элементы более гибкие; все они происходят с разных уровней вложенных один в другой контекстов (фреймов). Свободные элементы могут быть легко заменены; в зависимости от обстоятельств, в результате такой замены может получиться «гипотетический повтор», форсированное соответствие или аналогия. Процесс, в котором одни части обоих символов варьируются, а другие остаюттся неизменными, может закончиться синтезом этих символов.

Понятно, что мы говорим здесь о механизмах творчества. Но не является ли это само по себе противоречием? Почти — но не совсем. Творчество — квинтэссенция того, что не механично. И тем не менее, каждый отдельный акт творчества механичен и может быть объяснен так же, как, например, икота. Этот механический субстрат творчества может быть скрыт он нашего взгляда, но он существует. И наоборот, даже на сегодняшний день в гибких компьютерных программах есть нечто немеханичное. Может быть, это еще не творческие способности, но в тот момент, когда программа перестает быть «прозрачной» для своих создателей, начинается приближение к творчеству.

Обычно считается, что случайность — это необходимый ингредиент творческих актов. Это может быть верным, но это никак не влияет на механичность — или, скорее, программируемость — творческих способностей. Мир — это огромная куча случайностей, и когда вы отражаете часть его в голове, то в вашем мозгу отражается и немного этой случайности. Поэтому схемы активации символов могут повести вас по самым причудливым, выбранным наугад дорогам просто потому, что они отражают ваше взаимодействие с непредсказуемым, сумасшедшим миром. То же самое может произойти и с программой компьютера. Случайность — это органическая черта мышления, а не то, что должно быть получено путем «искусственного оплодотворения», будь то игральные кости, распадающиеся ядра, таблицы случайных чисел или что-нибудь еще в этом роде. Не стоит оскорблять человеческие творческие способности, предполагая, что они базируются на подобных источниках!

То, что кажется нам случайным, часто представляет из себя эффект наблюдения над симметричной структурой через «кривой» фильтр. Изящный пример этого был изобретен Салвиати с его двумя способами описания числа π/4. Хотя десятичная дробь π/4 в действительности не является случайной, она достаточно случайна для практических нужд, можно сказать, что она «псевдослучайна». Математика полна псевдослучайностями — на всех творцов хватит! Так же, как наука полна «концептуальными революциями» на все уровнях и во все времена, индивидуальное мышление людей сплошь пронизано творческими актами. Мы находим их повсюду, а не только на высшем уровне. Большинство этих творческих актов весьма скромно и повторялось уже миллионы раз, но они- — двоюродные братья самого высокого и новаторского творчества. Компьютерные программы на сегодняшний день еще не совершают маленьких творческих актов; то, что они умеют делать, в основном механично. Это показывает, что они все еще далеки от удачной имитации нашего мышления — но постепенно они к этому приближаются.

Возможно, что высокотворческие идеи отличаются от обычных неким комбинированным чувством красоты, простоты и гармонии. По этому поводу у меня есть любимая «мета-аналогия», в которой я сравниваю аналогии с аккордами. Идея проста, схожие на вид мысли часто соотносятся между собой поверхностно, в то время как глубоко соотнесенные мысли на первый взгляд часто совсем несхожи. Сравнение с аккордами здесь естественно физически близко расположенные ноты гармонически отстоят друг от друга далеко (например, E-F-G [ми, фа, соль]), в то время, как гармонически близкие ноты физически далеки друг от друга (например. G-E-B [соль, ми, си]). Идеи, обладающие одним и тем же концептуальным скелетом, резонируют в некоей концептуальной гармонии; эти гармоничные «идеи-аккорды» часто отстоят весьма далеко друг от друга на воображаемой «клавиатуре идей». Разумеется, недостаточно просто взять интервал побольше — вы можете попасть на седьмую или девятую клавишу! Может быть, моя аналогия и есть такая «девятая клавиша,» отстоящая далеко, но тем не менее диссонантная.

В этой главе я остановился на задачах Бонгарда так подробно потому, что, когда вы их изучаете, вам становится ясно, что то трудно описуемое чувство схожих структур, которое мы, люди, получаем вместе с генами, содержит все механизмы представления знаний в мозгу. Это включает вложенные друг в друга контексты, концептуальные скелеты и концептуальное отображение; возможность перехода от одного понятия к другому; описания, мета-описания и их взаимодействие; расщепление и синтез символов; множественные представления (в различных «измерениях» и на различных уровнях абстракции); подразумеваемые элементы и тому подобное.

На сегодняшний день можно с уверенностью сказать, что если некая программа может замечать регулярности в одной области, она обязательно пропустит в другой области нечто, что нам, людям, кажется столь же очевидным. Если вы помните, я уже упоминал об этом в главе I, говоря, что машины могут не замечать повторяемости, в то время как люди на это не способны. Рассмотрим, например, ШРДЛУ. Если бы Эта Ойн печатала фразу «Возьми большой красный кубик и положи его на место» снова и снова; ШРДЛУ, не возражая, реагировала бы на это снова и снова, точно так же, как калькулятор может отвечать «4» снова и снова, если у человека хватит терпения печатать «2×2» снова и снова. Люди так не делают: если нечто повторяется снова и снова, они это обязательно заметят. ШРДЛУ не хватает потенциала для формирования новых понятий или узнавания схожих структур; у нее нет чувства повторяемости.

ШРДЛУ обладает удивительно гибким (в своих пределах) умением обращаться с языком. Эта программа понимает синтаксически очень сложные и даже двусмысленные предложения, если они могут быть проинтерпретированы на основе имеющихся данных, но она не способна понять «расплывчатого» языка. Возьмем, например, предложение «сколько кубиков надо поставить один на другой, чтобы получилась колокольня?» Мы тут же его понимаем, хотя, проинтерпретированное буквально, это предложение бессмысленно. И дело здесь не в использовании какой-то идиоматической фразы. «Поставить один на другой» — это неточное выражение, хотя люди понимают его без труда. Мало кто представит себе два кубика, каждый из которых стоит наверху другого.

Удивительно, насколько неточно мы используем язык — и все же нам удается общаться друг с другом! ШРДЛУ использует слова «металлическим» образом, в то время, как люди обращаются с ними как с губками или резиновыми мячиками. Если бы слова были гайками и болтами, люди могли бы просунуть любой болт в любую гайку, они просто затолкали бы один в другой, как в сюрреалистической картине, где все предметы представлены мягкими. Язык в людском употреблении становится почти текучим, несмотря на твердость его составляющих.

В последнее время внимание специалистов по ИИ в области понимания натурального языка сместилось от понимания отдельных предложений в сторону понимания больших кусков текста, такого, как рассказы и сказки для детей. Вот, например, незаконченная детская шутка, иллюстрирующая незаконченность ситуаций реальной жизни:

Один человек решил прокатиться на аэроплане.

К несчастью, он оттуда вывалился.

К счастью, у него был парашют.

К несчастью, парашют был сломан.

К счастью, он падал прямо на стог сена.

К несчастью, в стогу торчали вилы.

К счастью, он пролетел мимо вил.

К несчастью, он пролетел мимо стога.

Эта глупая история может продолжаться до бесконечности. Представить ее в системе фреймов было бы очень сложно: для этого понадобились бы одновременно активируемые фреймы для понятий человека, аэроплана, парашюта, падения и т. д.

Или взгляните на эту коротенькую печальную историю:

Маша крепко зажала в кулаке веревочки новых красивых воздушных шаров. Вдруг налетел ветер и вырвал их у нее из рук Ветер отнес их к дереву. Шарики наткнулись на ветки и лопнули Машенька горько заплакала.

Чтобы понять эту историю, необходимо читать между строчками: Маша — маленькая девочка. Речь идет об игрушечных воздушных шарах с веревочками, чтобы ребенок мог их держать. Взрослому они могут не показаться красивыми, но в глазах ребенка они прекрасны. Маша стоит на улице или во дворе. «Они», которые ветер вырвал у Маши из рук, — это шарики. Ветер не понес Машу вместе с шариками — она их выпустила. Шарики могут лопнуть, наткнувшись на что-то острое. Лопнув, шарики утеряны безвозвратно. Маленькие дети любят шарики и могут быть горько разочарованы, когда те лопаются. Маша видела, как ее шарики лопнули. Дети плачут, когда им грустно. Маша горько плакала, потому что ей было очень грустно из-за потери шариков.

Это, скорее всего, только маленькая часть того, что не выражено на поверхностном уровне истории. Чтобы понять рассказ, программа должна все это знать. Вы можете возразить, что даже если программа и «понимает» рассказ на некоем интеллектуальном уровне, она все равно не поймет его «по-настоящему», пока сама не научится «горько плакать». Когда же компьютеры начнут это делать? Подобную антропоцентрическую точку зрения высказывает Иосиф Вайценбаум в своей книге «Мощь компьютеров и человеческий разум» (Weizenbaum. «Computer Power and Human Reason»), и я думаю, что это важная и очень глубокая тема. К несчастью, в данный момент многие специалисты по ИИ не желают, по разным причинам, серьезно относиться к этому вопросу. С другой стороны, они правы в том, что сейчас пока преждевременно думать о плачущих компьютерах; мы должны думать о том, как научить компьютеры понимать человеческую речь. В свое время мы столкнемся с более глубокими и сложными проблемами.

Иногда кажется, что, поскольку человеческое поведение настолько сложно, оно не управляется никакими правилами. Но это только иллюзия — все равно, что считать, что кристаллы и металлы появляются на свет, следуя жестким правилам, а жидкости и цветы — нет. Мы вернемся к этому вопросу в следующей главе.

Процесс самой логики, происходящий в мозгу, может быть аналогичен последовательности операций с символическими структурами, — что-то вроде абстрактной аналогии китайского алфавита или описания событий на языке майя. Разница заключается в том, что элементами здесь являются не слова, но нечто вроде предложений или целых рассказов, связи между которыми образуют некую мета- или сверх-логику с собственными правилами.[84]

Для большинства специалистов оказывается трудным выразить (и иногда даже вспомнить!), что именно побудило их заняться данной дисциплиной. Наоборот, сторонний наблюдатель может с легкостью понять, в чем очарование этой дисциплины, и точно это выразить. Думаю, что именно поэтому вышеприведенная цитата из Улама мне так нравится — она поэтично описывает всю странность исследований по ИИ и, тем не менее, выражает веру в успех. Действительно, здесь приходится часто опираться на веру — перед ИИ пока лежит весьма длинный путь!

В заключение этой главы я хочу представить читателю десять «вопросов и возможных ответов», касающихся ИИ. Я не осмелился бы назвать их «ответами» — это всего лишь мои собственные мнения. Они могут меняться по мере того, как я узнаю больше об ИИ и эта область исследований продолжает развиваться. (Я буду употреблять здесь слова «программа» и «компьютер», несмотря на то, что они вызывают сильные механистичекие ассоциации. Однако в нижеследующем тексте фраза «программа ИИ» означает программу, намного опередившую сегодняшние, — то есть по-настоящему разумную программу.)

Вопрос: Будет ли компьютер когда-нибудь сочинять прекрасную музыку?

Возможный ответ: Да, но не скоро. Музыка — это язык эмоций, и до тех пор, пока компьютеры не испытают сложных эмоций, подобных человеческим, они не смогут создать ничего прекрасного. Они смогут создавать «подделки» — поверхностные формальные имитации чужой музыки. Однако несмотря на то, что можно подумать априори, музыка — это нечто большее, чем набор синтаксических правил. Программы-композиторы еще долго не смогут дать новых образцов музыкального искусства. Позвольте мне развить эту мысль. Я слышал мнение, что вскоре мы сможем управлять препрограммированной дешевой машинкой массового производства, которая, стоя у нас на столе, будет выдавать из своих стерильных внутренностей произведения, которые могли бы быть написаны Шопеном или Бахом, живи они подольше. Я считаю, что это гротескная и бессовестная недооценка глубины человеческого разума. «Программа», способная сочинять подобную музыку, должна будет самостоятельно бродить по свету, находя дорогу в лабиринте жизни и чувствуя каждое ее мгновение. Она должна будет испытать радость и одиночество леденящего ночного ветра, тоску по дорогой руке, недостижимость далекого города, горечь утраты после смерти близкого существа. Она должна будет познать смирение и усталость от жизни, отчаяние и пустоту, решимость и счастье победы, трепет благоговейного восторга. В ней должны будут сочетаться такие противоположности, как надежда и страх, боль и торжество, покой и тревога. Неотъемлемой ее частью должно быть чувство красоты, юмора, ритма, чувство неожиданного — и, разумеется, острое осознание магии творческого акта. В этом и только в этом — источник музыкального смысла.

Вопрос: Будут ли чувства запрограммированы явно?

Возможный ответ: Нет. Это было бы смешно. Никакая прямая симуляция эмоций — например, ПАРРИ — не сможет приблизиться к сложности человеческих переживаний, которые косвенно вызваны организацией нашего мозга. Программы или машины разовьют чувства таким же образом, как побочный продукт их структуры и организации, а не путем прямого программирования. Так, никто не напишет подпрограммы «влюбленности», так же как никто не напишет подпрограммы «совершения ошибок.» «Влюбленность» — это описание сложного процесса сложной системы; совсем не обязательно, чтобы в системе был некий отдельный модуль, отвечающий за это состояние.

Вопрос: Сможет ли думающий компьютер быстро вычислять?

Возможный ответ: Может быть, нет. Мы сами состоим из аппаратуры, которая проделывает сложные вычисления, но это не означает, что на уровне символов, там, где находимся «мы», нам известно, как делать те же самые вычисления. Иными словами, нам не удастся загрузить числа в собственные нейроны с тем, чтобы подсчитать, сколько мы должны в бакалейной лавке. К счастью для нас, уровень символов (то есть, мы сами) не имеет доступа к нейронам, ответственным за мышление, — иначе мы потеряли бы голову. Перефразируя Декарта еще раз,

«Я мыслю; следовательно, у меня нет доступа к уровню, на котором я суммирую.»

Скорее всего, в случае разумной программы ситуация будет аналогична. Программа не должна иметь доступа к цепям, где происходит процесс мышления, — иначе она потеряет ЦП. Говоря серьезно, я думаю, что машина, которая сможет пройти тест Тюринга, будет вычислять так же медленно, как и мы с вами, и по той же причине. Она будет представлять число «два» не как два бита «10», а как некое понятие так же, как это делают люди, — понятие, нагруженное такими ассоциациями, как слова «пара» и «двойка», понятия четности и нечетности, форма числа «2» и так далее. С подобным дополнительным багажом думающая программа станет складывать довольно медленно. Разумеется, мы могли бы снабдить ее, так сказать, «карманным калькулятором» (или встроить его в сам компьютер). Тогда она вычисляла бы очень быстро, но делала бы это точно так же, как человек с калькулятором. В машине было бы две части, надежная, но безмозглая часть и разумная, но ошибающаяся часть. Надеяться на безошибочное действие такой составной системы можно было бы не более, чем на систему, состоящую из машины и человека. Так что, если вам нужны правильные ответы, лучше пользуйтесь исключительно калькулятором и не добавляйте к нему разум!

Вопрос: Будут ли такие шахматные программы, которые смогут выиграть у кого угодно?

Возможный ответ: Нет. Могут быть созданы программы, которые смогут обыгрывать кого угодно, но они не будут исключительно шахматными программами. Они будут программами общего разума и, так же как люди, они будут обладать характером. «Хотите сыграть партию в шахматы?» — «Нет, шахматы мне уже надоели. Лучше давайте поговорим о поэзии…» Приблизительно такой разговор вы сможете иметь с программой, которая будет способна выиграть у кого угодно. Дело в том, что настоящий разум непременно основан на возможности общего обзора — так сказать, запрограммированной способности «выходить из системы» по крайней мере в том объеме, в каком мы сами обладаем такой способностью. С возникновением этой способности вы теряете контроль над программой — она переступает некий порог, и вам остается только расхлебывать заваренную вами кашу.

Вопрос: Будут ли в памяти программы некие места, где будут храниться параметры, управляющие поведением программы, так что, если бы вы забрались внутрь программы и поменяли их, программа стала бы умнее или глупее, более творческой или более заинтересованной в футболе? Короче, сможете ли вы «настраивать» программу, «подкручивая ее ручки» на относительно низком уровне?

Возможный ответ: Нет. Программа будет почти безразлична к изменениям любого данного элемента памяти, так же, как не меняемся и мы, несмотря на то, что тысячи нейронов нашего мозга ежедневно умирают. (!) Однако, если вы зайдете слишком далеко в вашей возне с программой, вы можете ее сломать, точно так же, как если бы вы небрежно провели нейрохирургию человеческого существа. В программе не будет никакого «магического» места, где будет расположен, скажем, ее коэффициент умственного развития. Это будет одной из черт, возникающей на основе низших уровней, и локализовать ее будет невозможно. То же самое верно и в отношении «количества объектов, которое программа может удержать в своей кратковременной памяти», «ее любви к физике» и так далее, и тому подобное.

Вопрос: Можно ли «настроить» какую-нибудь разумную программу так, чтобы она действовала, как я или как вы — или как нечто среднее между нами?

Возможный ответ: Нет. Разумная программа будет так же мало походить на хамелеона, как и человек. Она будет опираться на постоянство своей памяти и не сможет произвольно менять характер. Идея изменения внутренних параметров с тем, чтобы «настроиться на новую индивидуальность» указывает на смехотворную недооценку сложности личности.

Вопрос: Будет ли у разумной программы «сердце», или же она будет состоять их «бессмысленных циклов и последовательностей тривиальных операций» (выражаясь словами Марвина Мински)?[85]

Возможный ответ: Если бы мы могли увидеть всю программу насквозь, как видим дно мелкого пруда, мы наверняка увидели бы только «бессмысленные циклы и последовательности тривиальных операций» — и никакого «сердца». Существует два крайних взгляда на ИИ: один из них утверждает, что человеческий разум по неким фундаментальным и мистическим причинам запрограммировать невозможно. Другой говорит, что стоит только собрать нужные «эвристические инструменты — множественные оптиматизаторы, способы узнавания регулярностей, планирующие алгебры, рекурсивные процедуры управления и так далее»[86], и у нас будет разумная программа. Я нахожусь где-то посредине: мне кажется, что «пруд» ИИ окажется так глубок и мутен, что нам не удастся увидеть его дна. При взгляде с вершины циклы будут незаметны, так же, как на сегодняшний день электроны, переносящие ток, незаметны большинству программистов. Когда будет создана программа, выдержавшая тест Тюринга, мы увидим в ней «сердце», хотя и будем знать, что его там нет.

Вопрос: Будут ли когда-нибудь созданы «сверх-разумные» программы ИИ?

Возможный ответ Не знаю. Непонятно, сумеем ли мы понять «сверх-разум» или общаться с ним и есть ли вообще какой-нибудь смысл у этого понятия. Например, наш собственный разум связан со скоростью нашего мышления. Если бы наши рефлексы были в десять раз быстрее или медленнее, у нас могли бы развиться совершенно иные понятия о мире. У создания с радикально иным представлением о мире может просто не оказаться с нами многих точек соприкосновения. Я часто спрашиваю себя, могут ли существовать музыкальные произведения, являющиеся по отношению к Баху тем, чем Бах является по отношению к фольклорным мелодиям — так сказать, «Бах в квадрате». Смог бы я понять подобную музыку? Может быть, вокруг меня уже есть подобная музыка, но я просто ее не узнаю, точно так же, как собаки не понимают языка. Идея сверх-разума очень странна. Так или иначе, я не считаю это сегодняшней целью исследований в области ИИ (хотя, если мы когда-нибудь достигнем уровня человеческого разума, сверх-разум, несомненно, станет следующей задачей — и не только для нас, но и для наших искусственных коллег, которые будут так же, как и мы заинтересованы в проблемах ИИ и сверх-разума). Вероятно, что программы ИИ будут интересоваться общими проблемами ИИ — и это вполне понятно.

Вопрос: Вы, кажется, утверждаете, что программы ИИ будут практически неотличимы от людей. Будет ли между ними какая-нибудь разница?

Возможный ответ: Скорее всего, разница между программами ИИ и людьми будет больше, чем разница между большинством людей. Почти невозможно вообразить, что «тело», в котором будет расположена такая программа, не окажет на нее сильнейшего влияния. Так что, если только она не будет расположена в превосходной имитации человеческого тела, — а это вовсе не обязательно! — у нее, скорее всего, будут совершенно иные понятия о том, что важно, интересно и так далее. Витгенштейн однажды сделал следующее забавное замечание: «Если бы лев заговорил, мы бы его не поняли». Эта мысль напоминает мне о картине Руссо, где в залитой лунным светом пустыне изображены мирный лев и спящая цыганка. Но откуда Витгенштейн это знает? Мне кажется, что любая думающая программа ИИ, даже если мы и сможем с ней разговаривать, будет казаться нам весьма чуждой. Поэтому нам будет очень трудно понять, действительно ли перед нами разумная программа, или просто некая программа «с завихрениями».

Вопрос: Поймем ли мы, благодаря созданию разумных программ что такое интеллект, сознание, свободная воля и «Я»?

Возможный ответ: Возможно — но все зависит от того, что вы имеете в виду под словом «понимать». На интуитивном уровне, каждый из нас уже сейчас понимает все эти понятия настолько хорошо, как только возможно. Это подобно слушанию музыки. Улучшилось ли ваше понимание Баха от того, что вы проанализировали его вдоль и поперек? Или же вы лучше понимали его тогда, когда каждый нерв вашего тела трепетал от восторга? Понимаем ли мы, каким образом скорость света постоянна в любой инерционной системе отсчета? Мы можем проделать все расчеты, но ни у кого в мире нет настоящего интуитивного понимания теории относительности. Возможно, что никто никогда не поймет полностью на интуитивном уровне загадки интеллекта и сознания. Каждый из нас может понимать отдельных людей, и, скорее всего, это максимум того, на что мы способны.

На этот раз мы находим Ахилла и Черепаху Тортиллу в гостях у их нового приятеля, Ленивца Сплюшки.

Ахилл: Хотите послушать про забавное соревнование по бегу, которое мы однажды устроили с Черепахой?

Ленивец: О, да, прошу вас!

Ахилл: Это соревнование стало довольно известным — я слышал, что оно даже было описано неким Зеноном.

Ленивец: Это интересно, и я всегда настроен вас послушать.

Ахилл: Это, и правда, было интересно. Видите ли, г-жа Тортилла стартовала первой. У нее была огромная фора, и тем не менее —

Ленивец: Вы ее нагнали, не правда ли?

Ахилл: Разумеется — поскольку я такой быстроногий, я сокращал расстояние между нами с постоянной скоростью, и вскоре обогнал ее.

Ленивец: Поскольку расстояние между вами становилось все меньше и меньше, вам удалось это сделать.

Ахилл: Именно. О, смотрите — г-жа Черепаха принесла свою скрипку. Можно мне попробовать что-нибудь сыграть, г-жа Черепаха?

Черепаха: О, нет, прошу вас. Это будет неинтересно — она расстроена так, что невозможно слушать.

Ахилл: Ну ладно. Но у меня сегодня почему-то музыкальное настроение.

Ленивец: Можете поиграть на пианино, Ахилл.

Ахилл: Благодарю вас. Немного погодя я так и сделаю. Но сначала доскажу, что потом мы с Черепахой бегали наперегонки еще раз. К несчастью, в этом соревновании —

Черепаха: Вы меня не нагнали, не правда ли? Расстояние между нами становилось все больше и больше, так что вам не удалось этого сделать.

Ахилл: Это верно. Мне кажется, что и ЭТО соревнование было описано — неким Льюисом Кэрроллом. А теперь, м-р Сплюшка, я готов принять ваше любезное приглашение и сыграть что-нибудь на пианино. Но предупреждаю: я очень плохой пианист — даже не знаю, стоит ли мне пытаться.

Ленивец: Вы должны попытаться.

(Ахилл садится за пианино и начинает играть простенькую мелодию.)

Ахилл: Ой, как странно звучит! Это совершенно не то, что я хотел сыграть! Что-то здесь не в порядке.

Черепаха: Вы не можете играть на пианино, Ахилл. Вы не должны и пытаться.

Ахилл: Это похоже на отражение пианино в зеркале. Высокие ноты находятся слева, а низкие — справа. Каждая мелодия получается перевернутой с ног на голову. Интересно, кто это придумал такую дурацкую шутку?

Черепаха: Этим отличаются ленивцы. Они висят —

Ахилл: Да, я знаю: на ветвях деревьев — головой вниз, разумеется. Это пианино-ленивец годится, чтобы играть на нем перевернутые мелодии, которые встречаются в канонах и фугах. Но научиться играть на пианино, свисая с дерева, нелегко — это требует немалого трудолюбия.

Ленивец: Этим ленивцы не слишком отличаются.

Ахилл: Да, мне кажется, что ленивцы не любят утруждать себя. Они делают все вдвое медленнее, чем все остальные. И кроме того, вверх ногами. Какой своеобразный жизненный уклад! Кстати, о замедленных и перевернутых вещах — в «Музыкальном приношении» есть канон под названием «Canon per augmentationem contrario motu», что значит «увеличенный и перевернутый канон». В моем издании «Приношения» перед тремя нотными строчками стоят три буквы — «S», «А» и «T» . Непонятно, что они значат… Так или иначе, Бах сделал все это очень ловко. Как вы считаете, г-жа Тортилла?

Черепаха: Он превзошел самого себя. Что касается букв «S», «А» и «T», то я догадываюсь, что они означают.

Ахилл: «Сопрано», «Альт» и «Тенор», скорее всего. Трехчастные пьесы часто пишутся для этой комбинации голосов. Как вы думаете, м-р Сплюшка?

Ленивец: Они означают —

Ахилл: О, подождите минутку! Г-жа Черепаха, почему вы одеваетесь? Надеюсь, вы не хотите нас покинуть? Мы только что собирались приготовить блинчики… Вы выглядите очень усталой. Как вы себя чувствуете?

Черепаха: Обессиленной. Пока! (Устало ползет к двери.)

Ахилл: Бедняжка — она, действительно, выглядит измученной. Она пробегала все утро -— тренировалась для следующего соревнования со мной.

Ленивец: Видно, она превозмогала саму себя.

Ахилл: И совершенно зря. Может быть, она могла бы перегнать Сплюшку… но меня? Никогда! Да, вы, кажется, хотели сказать, что означают буквы «S», «А», «T» ?

Ленивец: Вам в жизни не догадаться!

Ахилл: Неужели они могут значит что-то еще? Вы меня заинтриговали. Я еще над этим поразмыслю. Скажите, а на каком молоке вы делаете тесто для блинчиков?

Ленивец: На обезжиренном.

Ахилл: Хорошо. Я ставлю сковородку на огонь.

Ленивец: Уже?

Ахилл: Ну ладно, тогда сначала размешаю тесто. Какие блинчики будут — пальчики оближешь! Жаль, что Черепахе не удастся их отведать.

Рис. 133. «Канон Ленивца», из «Музыкального Приношения» И. С. Баха. (Ноты напечатаны с помощью компьютерной программы СМУТ Дональда Бирда.)

В ВОСЕМНАДЦАТОЙ ГЛАВЕ я описал удачную шашечную программу Артура Самуэля, которая была способна обыграть своего создателя. Интересно послушать, что говорит по поводу компьютеров и оригинальности сам автор этой программы. Следующие отрывки взяты из опровержения на статью Норберта Винера, написанного Самуэлем в 1960 году.

Я убежден в том. что машины не могут быть оригинальными в том смысле, какой вложил в это понятие Винер, когда он написал: «Машины могут превосходить некоторые ограничения их создателей и уже это делают. Благодаря этому, они могут быть одновременно эффективными и опасными.»… Машина — это не вызванный из бутылки джинн; она не работает с помощью магии. У нее нет собственной воли, и, вопреки тому, что говорит Винер, из нее не выходит ничего, что не было бы в нее заложено (исключая, разумеется, редкие случаи поломок).

«Намерения», которые выказывает машина, на самом деле являются намерениями человека-программиста, оговоренными заранее, или же вторичными намерениями, выведенными из первых согласно правилам, установленным тем же программистом. Мы можем даже, подобно Винеру, предвидеть некий высший уровень абстракции, на котором программа не только будет модифицировать вторичные намерения, но и правила, используемые для их деривации — или же будет варьировать способы самой этой модификации… и так далее. Можно даже вообразить, что машина сумеет построить другую машину с улучшенными возможностями. Однако — и это важно помнить — машина не может и не будет проделывать ничего подобного, пока в нее не введут соответствующие инструкции. Существует и логически должен всегда существовать пробел между (i) любым конечным продуктом разработки человеческих желаний и (ii) развитием в машине ее собственной воли. Думать иначе — значит либо верить в магию или считать, что человеческая свободная воля — это иллюзия и что человеческие действия так же механистичны, как и действия машины. Может быть, и статья Винера и мое опровержение были механистически предопределены — но я отказываюсь в это верить.[87]

Это напоминает мне Диалог Кэрролла («Двухголосная инвенция») и вот почему. Самуэль основывает свой аргумент против машинного сознания (или воли) на понятии, что любое механическое проявление воли с необходимостью потребует бесконечного регресса. Таким же образом, Кэрроллова Черепаха пытается доказать, что даже простейшее рассуждение не может быть проведено без обращения к неким правилам высшего уровня, разрешающим данное рассуждение. Но поскольку это, в свою очередь, тоже шаг рассуждения, то приходится обращаться к правилам еще более высокого уровня — и так далее. Заключение: рассуждения приводят к бесконечному регрессу.

Разумеется, в доводах Черепахи есть ошибка, и я думаю, что аналогичная ошибка имеется и в рассуждениях Самуэля. Чтобы показать, в чем эти ошибки похожи, я сыграю роль «адвоката дьявола», пытаясь доказать точку зрения, противоположную моей собственной. (Поскольку, как известно, Бог помогает тем, кто помогает себе сам, то дьявол, вероятно, помогает тем и только тем, кто сам себе не помогает. Помогает ли Дьявол сам себе?) Вот мои «дьявольские» заключения, выведенные из Диалога Кэрролла:

Заключение о том, что рассуждения невозможны, неприложимо к людям, поскольку всем известно, что людям все-таки удается проводить множество рассуждений, несмотря на все высшие уровни. Это показывает, что люди функционируют, не нуждаясь в правилах: Люди — это пример «неформальной системы». С другой стороны, этот аргумент действителен, когда мы применяем его против механических рассуждающих систем, поскольку они всегда подчиняются правилам. Такие системы не смогут начать работать, пока у них не будет мета-правил, указывающих им, когда применять правила, мета-мета-правил, говорящих, когда применять мета-правила, и так далее. Таким образом, мы можем заключить, что умение рассуждать не может быть воплощено в машине, — это исключительно человеческая черта.

Где в этих доводах ошибка? В предположении, что машина не способна начать действовать без правила, говорящего ей, как это сделать. В действительности, машины обходят глупые Черепахины возражения так же легко, как и люди, и по той же самой причине: как люди, так и машины сделаны из аппаратуры, которая действует сама по себе, согласно законам физики. Вовсе не надо опираться на «правила, говорящие, как использовать правила», поскольку правила низшего уровня — не имеющие никаких «мета» перед ними — встроены в саму аппаратуру и действуют самостоятельно. Вывод: Диалог Кэрролла ничего не говорит нам о разнице между людьми и машинами. (На самом деле рассуждения возможно механизировать.)

Теперь перейдем к доводам Самуэля. В карикатурном изображении, его точка зрения сводится к следующему:

Нельзя сказать, что компьютер «хочет» что-либо сделать, поскольку он был запрограммирован кем-то другим. Только в том случае, если бы он мог запрограммировать сам себя, начиная с нуля, мы могли бы сказать, что компьютер обладает собственной волей.

В своих доводах Самуэль встает на позицию Черепахи, заменяя «рассуждения» на «волю». Он хочет сказать, что за любым механизмом желания должен стоять либо бесконечный регресс, либо, что еще хуже, закрытая петля. Если у компьютеров нет собственной воли именно по этой причине, то что можно сказать о людях? Тот же самый критерий позволяет заключить, что:

человек обладает собственной волей только тогда, когда он сделал себя сам и выбрал собственные желания (а также выбрал выбор собственных желаний и так далее).

Это заставляет нас хорошенько подумать над тем. откуда появляются наши желания. Если вы не верите в наличие души, то. возможно, скажете, что они зарождаются в вашем мозгу — аппаратуре, которую вы не создавали и не выбирали. Тем не менее, от этого ваше чувство, что вы желаете чего-то определенного, не становится слабее. Вы — вовсе не «само-программирующий объект» (что бы это ни значило); тем не менее у вас все же есть собственная воля, зарождающаяся на физическом уровне вашего интеллекта. Таким же образом, у машин когда-нибудь будет собственная воля, несмотря на тот факт, что никакая магическая «само-программирующая» программа не появляется в их памяти из ничего, словно по мановению волшебной палочки. У них будет воля по той же причине, что и у людей — как следствие организации и структуры многих уровней аппаратуры и программного обеспечения. Вывод: доводы Самуэля ничего не говорят нам о разнице между людьми и машинами. (На самом деле, волю возможно механизировать.)

Сразу после «Двухголосной инвенции» я написал, что центральной темой этой книги будет обсуждение вопроса «подчиняются ли слова и мысли формальным правилам?» Одной из моих основных задач было показать многоуровневость интеллекта и мозга и объяснить, почему конечным ответом на этот вопрос является «да, если спуститься на низший уровень — уровень аппаратуры — и найти там правила.»

Точка зрения Самуэля затронула некую тему, которую я хочу обсудить подробнее. Вот она: думая, мы, безусловно, меняем наши мысленные правила, а также правила, меняющие правила, и так далее — но это, образно говоря, правила «программ». При этом фундаментальные правила, правила «аппаратуры», остаются неизменными. Нейроны всегда действуют одинаково. Мы не можем уговорить нейроны повести себя «ненейронным» образом; все, что нам удается сделать, это поменять тему или стиль наших мыслей. Подобно Ахиллу в «Прелюдии» и «Муравьиной фуге», мы имеем доступ только к нашим мыслям, а не к нейронам. Правила программ могут варьироваться на разных уровнях — правила аппаратуры всегда остаются одними и теми же. Именно этим фактом и объясняется гибкость программ! Это вовсе не парадокс, а фундаментальный, простой факт, касающийся механизмов разума.

Именно различие между само-модифицирующимися программами и неизменной аппаратурой будет темой последней главы этой книги. Некоторые из последующих вариаций на это тему могут показаться довольно надуманными; однако надеюсь, что к тому моменту, когда я завершу цикл, вернувшись к мозгу, интеллекту и чувству самосознания, вы сможете увидеть неизменную основу в каждой из этих вариаций.

В этой главе я хочу поделиться с читателем теми образами, которые помогают мне понять, каким образом сознание вырастает из джунглей нейронов. Надеюсь, что эти интуитивные образы окажутся полезными и немного помогут читателям в определении их собственных представлений о том, что заставляет функционировать разум. Может быть, возникающие в моем мозгу туманные образы мозга и образов послужат катализатором для образования более четких образов мозга и образов в мозгу моих читателей.

Итак, первая вариация: игры, в которых очередной игрок может изменять правила. Представьте себе шахматы. Ясно, что правила здесь остаются неизменными, а меняется только позиция на доске после каждого хода. Но давайте теперь рассмотрим такой вариант шахмат, в котором очередной игрок имеет право либо сделать ход, либо поменять правила. Каким образом? Произвольно? Можно ли превратить шахматы, скажем, в шашки? Понятно, что подобная анархия была бы бессмысленна — должны существовать некоторые ограничения. Например, в одной из версий будет позволено изменять ход коня: вместо «1 и затем 2» конь будет передвигаться на «m» и затем «n» клеток, где m и n — любые натуральные числа; очередной игрок сможет увеличивать или уменьшать на 1 либо m либо n. Таким образом, ход коня сможет меняться от 1-2 до 1-3, до 0-3, до 0-4, до 0-5. до 1-5, до 2-5… Вместо этого могут существовать правила, модифицирующие ход слона и других фигур. Другие правила могут добавлять новые клетки к доске, или стирать старые…

У нас будет два уровня правил, одни говорят нам, как ходят фигуры, и другие — как изменяются правила. Таким образом, у нас есть правила и мета-правила. Следующий шаг очевиден: введение мета-мета-правил, говорящих нам, как менять мета-правила. Однако вовсе не очевидно, как именно это сделать. Правила, меняющие ходы фигур, придумать легко, поскольку фигуры двигаются в формализованном пространстве шахматной доски. Если бы нам удалось придумать простую формальную запись для правил и мета-правил, тогда обращаться с ними стало бы так же легко, как с цепочками формул или даже с шахматными фигурами. Доводя эту идею до логической крайности, мы могли бы представить, что правила и мета-правила могут быть изображены в виде позиций на вспомогательной шахматной доске. Тогда каждая позиция сможет, в зависимости от вашей интерпретации, быть понята как момент игры, набор правил или набор мета-правил. Разумеется, оба игрока должны будут заранее договориться о том, как интерпретировать нотацию.

В этой игре у нас может быть любое количество дополнительных досок: доска для игры, для правил, для мета-правил, для мета-мета-правил и так далее, пока нам не надоест. Очередной игрок может ходить на любой из этих досок, кроме доски самого высшего уровня. Правила при этом определены доской «ступенькой выше». Несомненно, оба игрока вскоре запутаются из-за того, что почти все — но не всё! — может меняться. По определению, доска высшего уровня должна оставаться неприкасаемой, поскольку у вас нет правил, говорящих вам, как ее менять. Это — неизменный уровень. Неизменны также условия, по которым изменяются другие доски, соглашение играть по очереди, условие, что очередной игрок может менять что-то только на одной из досок — вы найдете здесь и другие неизменные элементы, если рассмотрите эту идею более подробно.

Возможно пойти гораздо дальше, если убрать опорные ориентиры. Начнем действовать постепенно… Сначала сведем весь набор досок к одной-единственной доске. Что это означает? Что эту доску можно будет интерпретировать двояко как (1) фигуры, которые надо двигать и (2) правила ходов. Игроки, двигающие фигуры, тем самым меняют правила! Таким образом, правила постоянно меняют сами себя. Здесь слышен отголосок типогенетики (и настоящей генетики!) Различие между игрой, правилами, мета-правилами и мета-мета-правилами оказывается стерто. То, что когда-то было четкой иерархической системой, превратилось в Странную Петлю или Запутанную Иерархию. Ходы меняют правила, правила определяют ходы — и так далее, по кругу. Здесь все еще есть различные уровни, но разница между «высшими» и «низшими» уровнями уже исчезла.

При этом часть того, что раньше было неприкасаемым, стало возможно модифицировать. Но в системе все еще осталось множество неизменных вещей. Так же как и раньше, между вами и вашим противником существуют некие соглашения, при помощи которых вы интерпретируете доску как определенный набор правил, соглашение играть по очереди и другие негласные условия. Заметьте, что теперь понятие различных уровней изменилось довольно неожиданным образом. У нас есть Неизменный уровень — давайте назовем его уровень Н — на котором находятся соглашения, касающиеся интерпретации, и Запутанный уровень — уровень З — на котором находится Запутанная Иерархия. Эти два уровня все еще иерархичны: уровень Н управляет тем, что происходит на уровне З, в то время как уровень З не затрагивает и не может затронуть уровня Н. Несмотря на то, что сам уровень З представляет из себя Запутанную Иерархию, он все же подчиняется набору правил, находящихся за его пределами. Это очень важный момент.

Как вы, несомненно, уже предположили, ничто не мешает нам сделать «невозможное» — а именно, соединить уровень Н с уровнем 3. Для этого надо только поставить сами условия интерпретации в зависимость от положения на шахматной доске. Однако для того, чтобы провести подобное «сверх-соединение», вам и вашему противнику придется выработать некие новые соглашения, соотносящие два уровня — и это создаст новый неизменный уровень сверху «сверхсмешанного» (или под ним, если вам так больше нравится). И это может продолжаться до бесконечности. «Скачки», которые при этом совершаются, напоминают те, что были описаны в Диалоге «Праздничная Кантатата» и в повторной Гёделизации, примененной к разнообразным улучшенным вариантам ТТЧ. Каждый раз, когда вам кажется, что вы подошли к концу, возникает новый вариант выхода из системы; чтобы его заметить, нужно некоторое творческое воображение.

Я не собираюсь здесь прослеживать эту странную тему усложняющихся комбинаций систем, которые могут возникнуть в само-изменяющихся шахматах. Моей целью было показать читателю графически, что в каждой системе есть некий «защищенный» уровень, на который не действуют правила других уровней, какими бы запутанными не были их взаимодействия между собой. Забавная загадка из главы IV иллюстрирует эту мысль в немного ином контексте. Может быть, она застанет вас врасплох:

Рис. 134. «Авторский треугольник».

Перед нами три автора: З, Ч и Э. З существует только в романе, написанном Ч. Аналогично, Ч — только герой романа, написанного Э. Что удивительно, Э — тоже не более как персонаж романа — чей автор, естественно, З. Может ли существовать такой авторский треугольник?

Разумеется, может! Но для этого все трое должны быть персонажами четвертого романа, написанного X. Можно сказать, что З-Ч-Э представляет из себя Странную Петлю или Запутанную Иерархию, а автор X находится в неизменном пространстве, вне той системы, в которой происходит эта путаница. Хотя З, Ч и Э имеют прямой или косвенный доступ друг к другу и могут напакостить один другому в своих романах, ни один из них не может затронуть жизнь X. Они даже не могут вообразить его, так же, как вы не в состоянии представить себе автора того романа, который выдумал в качестве своего героя вас. Если бы я хотел ввести в схему автора X, я нарисовал бы его вне страницы. Разумеется, это было бы проблематично, поскольку изображение предмета с необходимостью помещает его на странице… Так или иначе, X в действительности находится вне мира, в котором обитают З, Ч и Э, и должен быть представлен соответствующим образом.

Рис. 135. М. К. Эшер. Рисующие руки, (литография, 1948).

Другая классическая вариация на эту тему — картина Эшера «Рисующие руки» (Рис. 135). Здесь левая рука (ЛР) рисует правую руку (ПР), в то время как ПР рисует ЛР. Снова уровни, обычно понимаемые как иерархические — рисующее и рисуемое — замыкаются друг на друга, создавая Запутанную Иерархию. Этот пример, разумеется, подтверждает идею данной главы, поскольку за ним стоит ненарисованная, но рисующая рука самого Эшера — создателя как ЛР, так и ПР. Эшер стоит вне пространства этих рук, и это хорошо видно на рис. 136. В верхней части этого схематического варианта картины Эшера вы видите Странную Петлю или Запутанную Иерархию, а в нижней — Неизменный уровень, позволяющий ее существование. Мы могли бы еще раз «Эшеризировать» картину Эшера. сфотографировав рисующую ее руку… и так далее.

Рис. 136. Абстрактная диаграмма, представляющая картину Эшера «Рисующие руки». Внизу приведено ее решение.

Теперь мы можем соотнести эту картину с мозгом, а также с программами ИИ. Когда мы думаем, символы в нашем мозгу активируют другие символы, и все они взаимодействуют гетерархически. Более того, символы могут заставить друг друга измениться внутренне и стать чем-то вроде программ, действующих на другие программы. Благодаря Запутанной Иерархии символов, у нас создается иллюзия, что неизменяемого уровня в мозгу не существует. Мы думаем, что подобного уровня нет, потому что он для нас невидим.

Если бы было возможно изобразить это схематически, получился бы гигантский лес символов, соединенных друг с другом перепутанными линиями, вроде лиан в джунглях. Это — высший уровень, где рождаются и развиваются мысли, тот ускользающий уровень разума, который аналогичен рисующим друг друга рукам. Внизу на схеме помещалось бы изображение мириад нейронов — «неизменного субстрата,» лежащего в основе переплетения символов и аналогичного «движущей силе» — Эшеру. Интересно, что в буквальном смысле сам этот нижний уровень тоже представляет из себя переплетение: миллиарды клеток и сотни миллиардов аксонов, соединяющих клетки между собой.

В этом интересном случае сложное переплетение на уровне программ основано на переплетении на уровне самой аппаратуры — нейронов. Но Запутанной Иерархией можно назвать лишь переплетение символов. Переплетение нейронов — это «простое» переплетение. Это различие подобно разнице между Странными Петлями и обратной связью, которое я описал в главе XVI. Запутанная Иерархия получается тогда, когда строго иерархичные на первый взгляд уровни внезапно начинают действовать друг на друга в нарушение всех правил иерархии. Элемент неожиданности здесь очень важен; именно поэтому я называю Странные Петли «странными». Простое переплетение, такое, как обратная связь, не нарушает установленных различий между уровнями. Например, когда вы стоите под душем и моете правую руку левой рукой и наоборот, это в порядке вещей. Эшер не случайно решил нарисовать руки, рисующие руки!

События, подобные моющим друг друга рукам, случаются в мире очень часто, и мы их обычно не замечаем. Я говорю что-то вам, а вы в ответ говорите что-то мне. Парадокс? Вовсе нет; наше восприятие друг друга с самого начала не включает никакой иерархии, поэтому здесь нет ничего странного.

С другой стороны, в языке получаются странные петли тогда, когда он прямо или косвенно говорит сам о себе. При этом нечто, лежащее внутри системы, выходит из нее и воздействует на систему так, словно оно находится вовне. Возможно, что нас смущает некое неопределенное чувство топологической неправильности: стирание различия между внутренним и внешним, как в знаменитой «бутыли Клейна». Хотя система абстрактна, наш мозг создает для нее пространственный образ с некоторой мысленной топологией. Вернемся к путанице символов. Если глядеть только на нее и игнорировать нейронный фундамент, то в ней можно увидеть самопрограммирующий объект — точно так же, как глядя на «Рисующие руки», мы видим саморисующую картину и на мгновение верим этой иллюзии, забывая об Эшере. В случае картины эта иллюзия рассеивается мгновенно — но в случае человеческого разума она оказывается весьма стабильной. Мы чувствуем, что мы самопрограммирующие. Более того, мы и не можем чувствовать иначе, поскольку мы защищены от низшего уровня, уровня нейронных сплетений. Нам кажется, что наши мысли живут в своем собственном пространстве, создавая новые мысли и изменяя старые; мы не замечаем помогающих этому нейронов! Но так и должно быть. Мы просто не можем их заметить.

Аналогичная двусмысленность может произойти с программами ЛИСПа, которые умеют действовать на самих себя, изменяя собственную структуру. Посмотрев на них на уровне ЛИСПА, вы можете сказать, что они меняют сами себя; но, сменив уровни и представив программы ЛИСПА как данные для интерпретатора ЛИСПа (см. главу X), вы увидите, что единственная работающая программа здесь — интерпретатор и что все изменения — не более как изменения неких данных. Сам интерпретатор ЛИСПа защищен от изменений.

То, каким образом вы описываете подобные запутанные ситуации, зависит от того, насколько далеко вы при этом отходите в сторону от системы. Глядя издалека, часто можно увидеть разгадку, позволяющую разобраться в путанице.

Интереснейшее поле, где перекрещиваются различные иерархии — это правительство и, в особенности, суд. Обычно судящиеся стороны представляют свои аргументы, и судья решает, кто прав. Судья находится на более высоком уровне, чем судящиеся. Но когда в тяжбе оказываются замешаны сами суды, могут происходить странные вещи. Как правило, существует некий высший суд, находящийся вне данного дела. Скажем, если два районных суда начнут борьбу друг с другом, требуя справедливости, всегда найдется какая-нибудь высшая инстанция (в этом случае, областной суд), аналогичный неприкасаемому уровню интерпретации соглашений, который мы обсуждали в нашей вариации шахмат.

Но что произойдет, если замешанным в неприятности с законом окажется сам Верховный суд? Подобное чуть не случилось в Соединенных Штатах в период Уотергэйта. Президент пригрозил, что он подчинится только «окончательному» решению Верховного суда, — а затем сказал, что никто, кроме него самого, не имеет права решать, что является «окончательным». Эта угроза так и не была приведена в исполнение; но если бы такое произошло, результатом было бы монументальное столкновение двух уровней правительства, каждый из которых с некоторым правом может считать себя «выше» другого, — и кто должен был бы решать, кто здесь прав? Конгресс тут помочь не мог, поскольку, хотя Конгресс и может приказать Президенту подчиниться Верховному суду, Президент может отказаться, ссылаясь на свое право не подчиняться Верховному суду (и Конгрессу!) в определенных обстоятельствах. Это создало бы беспрецедентный тип судебной тяжбы, нарушающий всю систему, поскольку это было бы так неожиданно — так Запутанно — так Странно!

Ирония здесь в том, что когда ваша голова упирается в потолок и вы уже не можете выпрыгнуть из системы, обратившись к высшей инстанции, ваша единственная надежда заключается в силах, которые, не будучи так четко определены правилами, сами являются единственным источником правил высшего уровня. Я имею в виду правила низшего уровня — в данном случае, общественное мнение. Необходимо помнить, что в американском обществе юридическая система в некотором смысле представляет из себя вежливый жест, одобренный миллионами людей, и что ее можно иногда обойти с такой же легкостью, с какой река выходит из берегов. Результат на первый взгляд кажется анархией — но у анархии не меньше правил, чем у любого цивилизованного общества. Разница только в том, что они действуют снизу вверх, а не сверху вниз. Те, кто интересуется анархией, могут попытаться найти правила, по которым развиваются анархические ситуации; скорее всего, подобные правила существуют.

Здесь уместна аналогия из области физики. В этой книге я уже упоминал о том, что газы, находящиеся в равновесии, повинуются простым законам, соотносящим их температуру, давление и объем. Однако газ может нарушить эти законы (так же, как Президент может нарушить законы), когда он выходит из состояния равновесия. Описывая систему, не находящуюся в равновесии, физики могут опираться только на статистическую механику, то есть немакроскопический уровень описания. Окончательное объяснение поведения газа всегда лежит на молекулярном уровне, так же, как окончательное объяснение политического поведения общества всегда лежит на уровне народа. Изучение неравновесных процессов — это поиск макроскопических законов для описания поведения газов (и других систем), которые не находятся в равновесии. Оно аналогично ветви социологии, изучающей законы анархических обществ.

Вот другие интересные примеры переплетения уровней в американском правительстве: ФБР, расследующее собственные преступления; шериф, угодивший в тюрьму, самоприложение парламентарного закона процедур и т. д. Один из самых интересных случаев на моей памяти касается человека, утверждавшего, что он — экстрасенс. Он говорил, что может использовать свое умение для определения черт характера людей и, таким образом, может помогать судьям в выборе жюри. Однако что случилось бы, если в один прекрасный день этот «экстрасенс» сам оказался под судом? Какое влияние оказало бы это на тех членов жюри, которые верят в существование экстрасенсорных способностей? Насколько они окажутся под влиянием экстрасенса (вне зависимости от подлинности его способностей)? Это поле созрело для эксплуатации, на его почве могут отлично произрастать самоисполняющиеся пророчества.

Кстати об экстрасенсах и мистических способностях, псевдонаука — это еще одна сфера жизни, где кишмя кишат странные петли. Псевдонаука ставит под сомнение многие стандартные процедуры или мнения ортодоксальной науки и, таким образом, бросает вызов ее объективности. Псевдонаука предлагает иные пути интерпретации очевидного. Но как вообще можно оценить интерпретацию очевидного? Ведь это та же проблема объективности, только перенесенная уровнем выше! Парадокс Льюиса Кэрролла — бесконечный регресс — появляется здесь в новом обличье. Черепаха утверждала бы, что если вы хотите доказать, что А — это факт, то вам нужно доказательство — Б. Но как можно с уверенностью сказать, что Б доказывает А? Для этого нужно мета-доказательство — В. Но для доказательства действительности мета-доказательства вам понадобится мета-мета-доказательство — и так далее, пока не надоест. Несмотря на этот довод, у людей есть врожденное чувство очевидности. Как я уже говорил, это происходит потому, что в человеческий мозг встроена некая аппаратура, включающая рудиментарные способы интерпретации данных. Основываясь на этом, мы можем развить новые способы интерпретации и даже научиться иногда подавлять основные механизмы интерпретации фактов — как приходится делать, скажем, для объяснения трюков фокусника.

Конкретные примеры проблем с очевидным возникают во множестве явлений псевдонауки. Например, экстрасенсорные способности часто проявляются вне лаборатории, но таинственным образом исчезают, как только экстрасенс попадает внутрь. Стандартное научное объяснение заключается в том, что эти способности — явление недействительное, не выдерживающее строгой проверки. Некоторые (но не все) сторонники экстрасенсов, однако, находят интересный способ опровержения этих доводов. Они говорят: «Нет, экстрасенсорные способности реальны, но они исчезают, когда кто-то пытается исследовать их научными методами, потому что они несовместимы с таким подходом». Это довольно бесстыдная техника, которую можно назвать «отфутболиванием проблемы этажом выше.» Это значит, что вместо анализа самой проблемы они сомневаются в теориях, принадлежащих к высшему уровню правдоподобия. Защитники экстрасенсов утверждают, что проблема не в их идеях, а в системе научных взглядов. Это весьма смелое утверждение; за отсутствием неопровержимых доказательств стоит усомниться в его правильности. Однако мы говорим здесь о «неопровержимых доказательствах» так, словно все согласны, что это означает!

Запутанная ситуация Сагредо-Симплицио-Салвиати, упомянутая в главах XIII и XV, — это еще один пример того, как сложно оценить очевидное. Сагредо пытается найти некий объективный компромисс между противоположными точками зрения Симплицио и Салвиати. Но компромисс оказывается не всегда возможным. Как можно «справедливо» примирить правильное и неправильное? Справедливое и несправедливое? Компромисс и не компромисс? Эти вопросы возникают снова и снова, в разных формах, при обсуждении самых повседневных вещей.

Возможно ли дать определение очевидному? Можно ли перечислить законы, объясняющие, как находить смысл в различных ситуациях? Скорее всего, нет, поскольку у любых жестких правил несомненно будут исключения, а нежесткие правила — уже не правила. Думающая программа также не поможет делу, поскольку в качестве процессора очевидного она будет ничуть не надежнее людей. Так если очевидное настолько неуловимо, почему же я протестую против новых путей его интерпретации? Не противоречу ли я сам себе? В данном случае, не думаю. Мне кажется, что здесь есть определенные ориентиры, при помощи которых можно добиться органического синтеза. Но в этом с неизбежностью будет некоторая доля интуиции и субъективности — а они различны в каждом отдельном человеке. Они будут различны и в разных программах ИИ. Существуют сложные критерии для решения того, хорош ли данный метод оценки очевидности. Один из них касается «полезности» идей, полученных данным методом. Рассуждения, приводящие к жизненно полезным идеям, считаются в каком-то смысле правильными. Однако слово «полезный» здесь очень субъективно…

Я считаю, что процесс, с помощью которого мы решаем, что истинно и действительно, — это вид искусства. Он опирается на чувство красоты и простоты не менее, чем на железные принципы логических рассуждений или чего-либо иного, что может быть объективно формализовано. Я не утверждаю, что (1) истина — химера или что (2) человеческий интеллект в принципе невозможно запрограммировать. Я утверждаю то, что (1) истина слишком неуловима, чтобы человек или группа людей могли ее полностью понять и (2) когда ИИ достигнет уровня человеческого интеллекта — или превзойдет его — он все еще будет бороться с проблемами искусства, красоты и простоты и постоянно наталкиваться на эти вопросы в своем стремлении к знанию. «Что такое очевидность?» — это не только философский вопрос, поскольку он часто вторгается в обыденную жизнь. В каждую минуту перед нами огромный выбор способов интерпретации очевидного. Сегодня трудно найти книжный магазин, где бы вы не увидели книг об астрологии, хиромантии, мистицизме, телекинезе, НЛО, Бермудском треугольнике, черных дырах, биологической обратной связи, телепатии, трансцендентальной медитации, новых теориях психологии… В науке идут яростные споры о теории катастрофы, теории элементарных частиц, черных дырах, истине и существовании в математике, свободе воли, Искусственном Интеллекте, редукционизме и холизме… На более практическом уровне идут споры о том, что полезнее витамин С или летрил (новое средство против рака), о размере нефтяных запасов (под землей или в хранилищах), о том то является причиной инфляции и безработицы — и так далее, и тому подобное. Не будем забывать и о Дзен-буддизме, парадоксах Зенона, психоанализе и т. п. Способы оценки действительности играют важнейшую роль, будь то в тривиальном вопросе размещения книг на полках в книжном магазине или в вопросе о том, какие идеи должны преподаваться в школах.

Одна из самых сложных проблем интерпретации действительности — это истолкование множества беспорядочных внешних сигналов, говорящих нам кто мы такие. Здесь очень высока возможность конфликтов внутри уровней и между ними. Психическим механизмам приходится одновременно иметь дело с внутренней потребностью человека в самоуважении и непрерывным потоком информации извне, атакующим его представление о самом себе. В результате информация течет между разными уровнями личности по сложному руслу. Пока она крутится в этом водовороте, какие-то ее части разрастаются а какие-то уменьшаются, что-то отрицается вообще, а что-то меняется почти до неузнаваемости. Затем результат снова попадает в водоворот и этот процесс но повторяется снова и снова в попытке примирить то, что есть, с тем чего бы нам хотелось (См. рис. 81).

В результате этого необычайно сложного процесса общее представление о том, «кто я такой» интегрируется с остальной мысленной структурой и содержит, для каждого из нас, большое количество нерешенных и, возможно неразрешимых противоречий. Безусловно, это один из основных источников того динамического напряжения, которое так свойственно человеческим существам. Из этого противоречия между внутренним и внешним образами того кто мы такие, рождаются те стремления и цели, которые делают каждого из нас единственным в своем роде. Парадоксальным образом, именно наша общность — то, что все мы обладаем самосознанием — ведет к удивительному разнообразию того, как мы усваиваем информацию о самых разных вещах и является ведущей силой в создании разных индивидуальностей.

Кажется естественным проводить параллели между людьми и достаточно сложными формальными системами, которые, как и люди, обладают неким «самосознанием». Теорема Геделя показывает, что в непротиворечивых формальных системах, способных к автореференции, есть фундаментальные ограничения. Можно ли обобщить этот вывод? Существует ли например «Теорема Геделя в психологии»?

Если использовать теорему Геделя как метафору и источник вдохновения вместо того, чтобы пытаться дословно перевести ее на язык психологии, возможно, что она сможет подсказать новые истины в психологии и других областях. Но пытаться прямолинейно переводить ее на язык других дисциплин и считать что она действительна и там, было бы ошибкой. Неверно было бы думать что то, что было тщательнейшим образом разработано в математической логике можно без изменений пересадить на совершенно иную почву других дисциплин.

Мне кажется, что перевод теоремы Гёделя в другие области может навести нас на новые идеи, если мы договоримся заранее о том, что переводы — только метафоры и не должны пониматься дословно. С подобной оговоркой я вижу две основных аналогии, соотносящие Теорему Гёделя с человеческим мышлением. Одна из них касается проблемы размышлений о собственной нормальности. Каким образом вы можете решить, что вы не сумасшедший? Это — настоящая Странная Петля. Как только вы начинаете сомневаться в собственном душевном здоровье, то можете оказаться во все убыстряющемся водовороте самоисполняющихся пророчеств (хотя этот процесс вовсе не неизбежен). Известно, что сумасшедшие интерпретируют мир с помощью странной, но последовательной логики; откуда вы знаете, «странная» ваша собственная логика или нет, если можете судить об этом только с помощью той же самой логики? Я не знаю ответа на этот вопрос. Это напоминает мне о второй Теореме Гёделя, из которой следует, что противоречивы только те версии формальной теории чисел, которые утверждают собственную непротиворечивость.

Другая аналогия с Теоремой Гёделя, которая кажется мне интересной, намекает на то, что мы не можем полностью понять собственного разума/мозга. Эта идея настолько сложна и нагружена ассоциациями на многих уровнях, что обсуждать ее надо с осторожностью. Что означает «понять собственный разум/мозг»? Это может означать общее ощущение того, как они работают, подобно тому, как автомеханик интуитивно ощущает, как работает мотор. Это может означать полное объяснение того, почему люди поступают так, а не иначе. Это может означать полное понимание физической структуры собственного мозга на всех его уровнях. Это может означать, что в некоей книге или на компьютере у нас есть подробная диаграмма устройства мозга. Это может означать точное знание того, что происходит в нашем мозгу на нейронном уровне в любой момент — возбуждение каждого нейрона, синаптические изменения и так далее. Это может означать создание программы, способной пройти тест Тюринга. Это может означать такое полное знание себя, что понятия подсознательного и интуитивного теряют смысл, поскольку становятся открыты взгляду. Это может означать также любую комбинацию из вышеприведенных вещей.

Какое из этих самоотражений более всего напоминает Теорему Гёделя? Затрудняюсь ответить. Некоторые из них довольно глупы. Например, идея детального наблюдения за состоянием собственного мозга — ни что иное, как беспочвенная фантазия, абсурдное и неинтересное предположение; когда Теорема Гёделя говорит нам, что это невозможно, это отнюдь не является для нас неожиданностью. С другой стороны, извечное стремление человека глубже познать самого себя (назовем это «пониманием собственной психической структуры») кажется естественным. Но нет ли и здесь некоей Гёделевой петли, ограничивающей глубину возможного проникновения в собственную психику? Мы не можем увидеть своими глазами собственное лицо; не разумно ли ожидать, что мы также окажемся не в состоянии полностью отразить собственную психическую структуру в тех символах, которые ее составляют?

Как ограничительные Теории метаматематики, так и теория вычислений говорят, что, как только возможность представлять собственную структуру достигает некоей критической точки, то пиши пропало — это гарантия того, что вы никогда не сможете представить себя полностью. Теорема Гёделя о неполноте, Теорема Черча о неразрешимости, Теорема остановки Тюринга, Теорема Тарского об истине — все они чем-то напоминают старинные сказки, предупреждающие читателя о том, что «поиск самопознания — это путешествие, которое… обречено быть неполным, не может быть изображено ни на каких картах, никогда не остановится и не сможет быть описано.»

Но имеют ли эти ограничительные теоремы какое-нибудь отношение к людям? Об этом можно рассуждать так. Либо я непротиворечив, либо я противоречив. (Последнее гораздо вероятнее, но, для полноты картины, я рассмотрю обе возможности.) Если я непротиворечив, этому могут быть два объяснения. (1) Я подобен патефону «низкого качества»: мое понимание самого себя находится ниже некоего критического порога. В данном случае, я неполон по определению. (2) Я подобен патефону «высокого качества», мое понимание себя самого достигло критического порога, за которым становится приложима метафорическая аналогия ограничительных Теорем; таким образом, мое самопознание саморазрушается Гёделевым способом, и поэтому я неполон. Случаи (1) и (2) основаны на предположении, что я стопроцентно непротиворечив — маловероятное положение дел. Скорее всего, я противоречив, — но это еще хуже, поскольку означает, что во мне есть противоречия; как я смогу когда-либо это понять?

Противоречив человек или нет, он обречен вечно размышлять над загадкой собственной личности. Скорее всего, мы все противоречивы. Мир слишком сложен, чтобы позволить человеку роскошь примирить между собой все его убеждения. Напряжение и неразбериха важны в мире, где часто приходится быстро принимать решения Мигель де Унамуно однажды сказал: «Если кто-то никогда не противоречит сам себе, скорее всего, это потому, что он вообще никогда ничего не говорит.» Я сказал бы, что мы все находимся в том же положении, как тот мастер дзена, который, высказав подряд несколько противоречивых суждений, сказал сбитому с толку Доко: «Я сам себя не понимаю.»

Наверное, самое большое противоречие нашей жизни, то, которое труднее всего понять, — это знание того, что было время, когда нас не было, и придет время, когда нас не будет. На одном уровне, когда мы «выходим из себя» и видим себя как «одно из человеческих существ», этот факт имеет смысл. Но на другом, более глубоком уровне, личное несуществование совершенно бессмысленно. Все, что мы знаем, находится у нас в мозгу, и мы не можем понять, как это все может отсутствовать во вселенной. Это основная и неоспоримая тайна жизни; возможно, что это — лучшая метафорическая аналогия Теоремы Гёделя. Когда мы пытаемся вообразить собственное несуществование, нам приходится выйти из себя и отобразить себя на кого-то другого. Мы пытаемся убедить самих себя, что можем внести внутрь чужие представления о нас, примерно так же, как ТТЧ «верит», что ей удается отразить внутри себя собственную мета-теорию. Однако ТТЧ содержит собственную мета-теорию не целиком, а только до определенного предела. Что касается нас, то мы можем только воображать, что вышли из себя, мы никогда не в состоянии действительно это сделать, так же, как Эшеровский дракон не может вырваться из своей родной двухмерной плоскости в трехмерный мир. В любом случае, это противоречие настолько велико, что обычно мы просто-напросто игнорируем всю эту путаницу, поскольку попытки в ней разобраться ни к чему не приводят.

Последователи дзена, с другой стороны, упиваются этой противоречивостью. Снова и снова они встречаются с конфликтом между восточным представлением о том, что «мир и я — одно целое, поэтому понятие моего несуществования само по себе противоречиво» (моя формулировка, наверняка, слишком западная — прошу прощения у дзен-буддистов) и западным представлением: «Я — только часть мира; я умру, но мир будет жить и после меня.»

Науку часто критикуют за то, что она слишком «западна» или «дуалистична» — то есть проникнута дихотомией между субъектом и объектом, наблюдателем и наблюдаемым. Действительно, вплоть до нашего столетия наука занималась только вещами, которые могли быть легко отличимы от человека, — например, кислород, углерод, свет и тепло, ускорение и орбиты и так далее. Эта фаза развития была необходимой прелюдией к более современной фазе, в которой объектом исследований явилась сама жизнь. Шаг за шагом «западная» наука неизбежно движется к изучению человеческого разума — иными словами, разума самого наблюдателя. В настоящий момент в этом лидируют исследования по Искусственному Интеллекту. До появления ИИ в науке произошли два события, позволяющие до некоторой степени предвидеть последствия смешения субъекта и объекта. Одним из них была революция в квантовой механике; она породила эпистемиологические проблемы, касающиеся влияния наблюдателя на наблюдаемое. Другим было смешение объекта и субъекта в метаматематике, начавшееся с Теоремы Гёделя и присутствующее во всех ограничительных Теоремах, о которых мы говорили. Возможно, что после ИИ наступит очередь самоприложения науки — она начнет изучать саму себя. Это иной способ смешения субъекта и объекта, может быть, даже более запутанный, чем люди, изучающие собственный мозг.

Кстати, интересно заметить, что все результаты, зависящие от слияния субъекта с объектом, оказываются ограничительными. Кроме ограничительных Теорем, сюда относится принцип неопределенности Хайзенберга, утверждающий, что измерение некоей величины делает невозможным измерение другой величины, связанной с первой. Я не знаю, почему все эти результаты получаются ограничительными. Читатель может понимать это, как хочет.

Дихотомия субъекта и объекта — близкая родственница дихотомии символа и объекта, которая была глубоко изучена Людвигом Витгенштейном в начале этого столетия. Позже для обозначения этого различия были приняты термины «использование» и «упоминание». Квайн и другие подробно описали отношение между знаками и тем, что они обозначают. Но эта глубокая и абстрактная тема занимала не только философов. В нашем столетии как музыка, так и изобразительное искусство испытали кризис, отразивший глубокий интерес к этой проблеме. Музыка и живопись традиционно выражали идеи с помощью некоего набора «символов» (зрительные образы, аккорды, ритмы и тому подобное), сейчас, однако, появилась тенденция исследовать способность искусства не выражать, а просто быть. Например, быть пятнами краски или чистыми звуками, лишенными всякого символического значения.

В частности, на музыку оказал большое влияние Джон Кэйдж со своим новым, напоминающим дзен-буддизм, подходом к звуку. Многие из его сочинений показывают презрение к «использованию» звуков (то есть использованию звуков для передачи эмоциональных состояний) и удовольствие от «упоминания» звуков (то есть создания произвольных комбинаций звуков, не пользуясь заранее установленным кодом, с помощью которого слушатель мог бы расшифровать некое послание). Типичным примером такой композиции является «Воображаемый пейзаж # 4», пьеса для нескольких радио, которую я описал в главе VI. Возможно, что я несправедлив к Кэйджу но мне кажется что его основной целью было привнесение в музыку бессмысленности и наделение значением самой этой бессмысленности. Алеаторная музыка — типичный шаг в этом направлении. Многие современные композиторы последовали за Кэйджем но немногие из них были так же оригинальны. В пьесе Анны Локвуд под названием «Горящий рояль» имитируется звук лопающихся струн, для чего они натягиваются как можно туже, в пьесе Ламонте Юнга источником шума является рояль, который возят туда-сюда по сцене и сталкивают с препятствиями.

В искусстве нашего столетия было множество подобных судорог. Сперва художники отказались от представления действительности, что было по-настоящему революционным шагом — началом абстрактного искусства. Постепенный переход от реалистического представления к чисто абстрактным схемам можно видеть в работах Пьета Мондриана. После того, как мир привык к нерепрезентативному искусству, родился сюрреализм Это был странный поворот, что-то вроде нео-классицизма в музыке, крайне репрезентативное искусство было здесь перевернуто с ног на голову и использовано с совершенно иной целью, чтобы шокировать, сбить с толку и удивить. Школа сюрреализма была основана Андрэ Бретоном и находилась, в основном, во Франции, среди самых влиятельных ее последователей были Дали, Магритт, де Чирико и Тангуй.

Из этих художников наиболее чувствующим загадку субъекта и объекта был Магритт (для меня эта загадка является продолжением различия между использованием и упоминанием). Его картины поражают именно этим, хотя зрители обычно не выражают своих впечатлений в таких терминах. Взгляните, например, на странную вариацию на тему натюрморта под названием «Здравый смысл» (рис. 137).

Рис. 137. Рене Магритт. «Здравый смысл» (1945-1946).

Блюдо, полное фруктов — то, что обычно изображается на натюрморте, — здесь стоит на чистом холсте. Конфликт между символом и реальностью велик. Но ирония на этом не кончается, поскольку все это, разумеется, всего лишь картина, — а именно, натюрморт с нестандартным сюжетом.

Серия картин Магритта, представляющих трубку, одновременно очаровывает и приводит в замешательство. Взгляните, например, на «Две тайны» (рис. 138). Внутренний фрагмент картины говорит вам, что символы и трубки различны. Затем ваш взгляд переходит к «настоящей» трубке, плавающей в воздухе. Вы воспринимаете ее, как настоящую, в то время как другая трубка — только символ. Но, разумеется, это совершенно неверно: обе они написаны на плоской поверхности. Идея, что одна из трубок — «картина с двойным вложением» и поэтому в каком-то смысле «менее реальна,» совершенно ошибочна. Вы были одурачены уже в тот момент, когда, приняв изображение за реальность, решили «войти в комнату». Будучи последовательным в вашей доверчивости, вы должны теперь спуститься еще одним уровнем ниже и спутать с реальностью изображение-внутри-изображения. Единственный способ не быть затянутым внутрь иллюзии заключается в том, чтобы видеть обе трубки лишь как цветные пятна на поверхности, отстоящей от вашего носа на насколько сантиметров. Только тогда вы сможете по-настоящему оценить полное значение послания «Ceci n'est pas une pipe» (Это не трубка) — но, к несчастью, в тот самый момент, когда трубки превращаются в цветные пятна на холсте, то же самое происходит с надписью, которая, таким образом, теряет смысл! Иными словами, в этот момент словесное сообщение на картине саморазрушается самым что ни на есть Гёделевым образом.

Рис. 138. Рене Магритт. «Две тайны» (1966).

Картина «Воздух и песня» достигает того же эффекта, как и «Две тайны», но делает это на одном уровне вместо двух. Мои рисунки «Дымовой сигнал» и «Сон о трубке» (рис. 139 и 140) — вариации на тему Магритта. Попытайтесь смотреть на «Дымовой сигнал» в течение некоторого времени. Вскоре вы различите скрытое послание «Ceci n'est pas un message» (Это не сообщение). Таким образом, если вы находите сообщение, оно отрицает само себя — а если вы его не находите, то вообще не понимаете картины. Благодаря своему косвенному «саморазрушению», оба мои рисунка могут быть приблизительно отображены на Гёделево высказывание G.

Рис. 139. Дымовой сигнал. (Рисунок автора.)

Классическим примером смешения «использования» с «упоминанием» может служить изображение на картине палитры. В то время как эта нарисованная палитра — иллюзия, созданная искусством художника, краски на ней — самые настоящие мазки краски с его палитры. Краска здесь представляет саму себя и ничего больше. В «Доне Джованни» Моцарт исследовал родственный прием, включив в партитуру звуки настраивающегося оркестра. Таким же образом, если я хочу, чтобы буква 'я' играла роль самой себя (а не символизировала меня), то включаю 'я' в свой текст; в таком случае, я заключаю 'я' в кавычки. У меня получается “я“ (не "я" и не '''я'''). Понимаете?

Рис. 140. Сон о трубке (Рисунок автора.)

Множество влияний, которые вряд ли возможно охарактеризовать полностью, привели к дальнейшему исследованию искусством дуализма между символом и объектом. Нет сомнения в том, что Джон Кэйдж с его интересом к дзен-буддизму оказал большое влияние не только на музыку, но и на живопись. Его друзья Джаспер Джонс и Роберт Раушенберг исследовали различие между символами и объектами, используя для этого в качестве символов сами объекты, — или, наоборот, используя символы как объекты сами по себе. Все эти усилия, возможно, были направлены на то, чтобы опровергнуть мнение, что искусство стоит в стороне от действительности и говорит на «коде», который зритель должен затем интерпретировать. Идея заключалась в том, чтобы исключить интерпретацию и позволить обнаженному предмету просто быть — и точка. (Эта «точка» — забавный пример смешения различия между использованием и упоминанием.) Однако если их намерение было таково, то можно считать, что оно с треском провалилось.

Когда некий предмет находится на выставке или именуется «произведением искусства», он приобретает ореол глубокого внутреннего значения, даже если при этом зрителей попросили этого значения не доискиваться. Более того, чем настойчивее зрителей просят не искать в произведениях никакого скрытого смысла, тем больше смысла они там находят. В конце концов, если деревянный ящик, стоящий на полу музея, всего-навсего деревянный ящик на полу музея, то почему уборщица не вынесет его на помойку? Почему к нему привязана этикетка с именем художника? Почему этот художник хочет удалить из искусства всякую тайну? Почему пятно грязи на передней стенке ящика не несет подписи художника? Не розыгрыш ли все это? Интересно, кто сошел с ума я или художники? Все новые и новые вопросы приходят в голову зрителю — он не может этого избежать Это так называемый «эффект рамы», который автоматически создается Искусством. Рождение вопросов в голове любопытного зрителя предотвратить невозможно.

Разумеется, если его целью является постепенное внушение дзен-буддистского восприятия мира как свободного от категорий и значений, то такое искусство — как и рассуждения по поводу дзена — пытается послужить катализатором, вдохновляющим зрителя на более глубокое ознакомление с философией, отрицающей «внутренние значения» и объемлющей мир как одно целое. В таком случае, оно не достигает этой цели немедленно, так как зрители все равно размышляют о его значении; но, в конце концов, некоторые из них могут обратиться к источникам этого искусства, и тогда его цель будет достигнута. Но в любом случае неверно, что здесь нет никакого кода, с помощью которого идеи передаются зрителю. На самом деле, этот код весьма сложен и включает сведения об отсутствии кодов и тому подобное — то есть он является отчасти кодом, отчасти мета-кодом и так далее. Сообщения, которые передают самые «дзен-буддистские» предметы искусства, представляют из себя Запутанную Иерархию; может быть, поэтому многие находят современное искусство таким непонятным.

Во главе движения, пытавшегося стереть границы между искусством и природой, стоял Кэйдж. Он считал, что в музыке все звуки равны — нечто вроде акустической демократии. Тишина точно так же важна, как и звук, и случайные звуки ничем не хуже организованных. Леонард Мейер в своей книге «Музыка, искусство и идеи» (Leonard В. Meyer. «Music, Art and Ideas») называет это движение в музыке «трансцендентализмом» и утверждает:

Если различие между искусством и природой ошибочно, то эстетическая оценка неважна. Фортепианная соната достойна оценки не более, чем камень, буря или морская звезда. «Категорические суждения, такие, как правильно и неправильно прекрасно или уродливо, типичные для рационалистского мышления тональной эстетики» — пишет Люциано Берио (современный композитор), — «уже не годятся для понимания того, как сегодняшний композитор работает над слышимыми формами и музыкальным действием».

Затем Мейер продолжает, описывая философскую позицию трансцендентализма:

все вещи во времени и пространстве сложнейшим образом переплетены друг с другом. Любые деления, классификации или типы организации, открытые нами во вселенной, чисто случайны. Мир — это сложное, непрерывное, единое событие.[88] (Эхо дзена!)

 Мне кажется, что «трансцендентализм» — слишком громоздкое название для этого движения. Я предпочитаю называть его просто «измом». Будучи суффиксом без корня, это напоминает идеологию без идей, — что, скорее всего, так и есть, как бы мы ее не интерпретировали. Поскольку «изм» включает в себя все, что угодно, это название сюда отлично подходит. В «изме» слово «is» (есть) наполовину используется, наполовину упоминается; что может быть более подходящим? Изм — это дух дзена в искусстве. Так же, как основная задача дзена — сорвать маску с самого себя, основная задача искусства нашего столетия, как кажется, — это найти ответ на вопрос, что такое искусство. Все его метания — поиски самого себя.

Итак, конфликт между использованием и упоминанием, доведенный до крайности, превращается в философскую проблему дуализма символа и объекта, что связывает его с тайной разума. Магритт писал о своей картине «Человеческое состояние I» (Рис. 141):

Я расположил перед окном картину, видимую из комнаты, на которой была изображена именно часть пейзажа, скрытая картиной. Таким образом дерево на картине скрывало от взгляда дерево, расположенное за ним, вне комнаты. При этом в голове зрителя дерево существовало одновременно в комнате (как часть картины) и снаружи (как часть настоящего пейзажа). Именно так мы видим мир мы думаем, что он вне нас, хотя он — только наше мысленное представление о нем, возникающее внутри нас.[89]

Рис. 141. Рене Магритт. Человеческое состояние I (1933).

Сначала многозначительными образами своего рисунка и затем прямым текстом Магритт говорит о связи между двумя вопросами: «Как работают символы?» и «Как работает наш разум?» Кроме того, он возвращает нас к поставленному ранее вопросу. «Можем ли мы надеяться когда-либо понять собственный мозг и разум?»

Или же какое-то удивительное и дьявольское построение, подобное Гёделеву, не позволит нам проникнуть в эту тайну? Если принять достаточно разумное определение того, что такое «понимание», то я не вижу никаких Геделевых препятствий к постепенному пониманию сути нашего разума. Например, мне кажется вполне разумным желание понять общий принцип работы мозга, так же, как мы понимаем общий принцип работы автомобильного мотора. Это совсем не то, что пытаться понять любой отдельный мозг во всех деталях, — и, тем более, пытаться проделать это с собственным мозгом! Я не вижу никакой связи между Теоремой Гёделя, даже в самой приблизительной интерпретации, и возможностью выполнения этого проекта. Мне кажется, что Теорема Гёделя не накладывает никаких ограничений на нашу способность формулировать и проверять общие механизмы мыслительных процессов, происходящих в нервных клетках. По моему мнению, Теорема Гёделя не противоречит созданию компьютеров (или их преемников), которые смогут манипулировать символами примерно с тем же успехом, как и мозг. Совершенно иное дело — пытаться воспроизвести в программе определенный человеческий мозг, однако создание разумных программ вообще — это более скромная цель Теорема Гёделя запрещает воспроизводство нашего уровня разума с помощью программ не более, чем она запрещает воспроизводство нашего уровня разума с помощью передачи наследственной информации в ДНК. В главе XVI мы видели, как именно замечательный Гёделев механизм — Странная Петля белков и ДНК — делает возможной передачу разума.

Значит ли это, что Теорема Гёделя не привносит ничего нового в наши размышления о собственном разуме? Мне кажется, что это не так, — некая связь здесь есть, но не в том мистическом и ограничительном смысле, как считают некоторые. Думаю, что процесс понимания Гёделева доказательства с его произвольными кодами, сложными изоморфизмами, высоким и низким уровнями интерпретации и способностью к самоотражению может обогатить наше представление о символах и их обработке, что, в свою очередь, может развить наше интуитивное понимание мыслительных структур на разных уровнях.

Прежде чем предложить философски интригующее «приложение» Гёделева доказательства, я хочу упомянуть об идее «случайной необъяснимости» разума. Вот в чем она состоит. Может быть, наши мозги, в отличие от автомобильных моторов, представляют собой упрямые и необъяснимые системы, разложить которые никак невозможно. В данной момент мы не знаем, уступит ли мозг нашим усилиям разделить его на уровни, каждый из которых сможет быть объяснен в терминах низших уровней, или же он сорвет все наши попытки его проанализировать.

Но даже если мы и потерпим неудачу в попытке понять самих себя, за этим вовсе не обязательно должна стоять теорема Гёделя. Может быть, наш мозг по чистой случайности слишком слаб для этого. Подумайте, например, о скромном жирафе. Очевидно, что его мозг — намного ниже уровня, необходимого для понимания себя. Тем не менее, он очень похож на наш мозг! Действительно, мозги горилл, эму и бабуинов — и даже мозги черепах или неизвестных существ, намного умнее нас, — действуют, скорее всего, по примерно одинаковому принципу. Жирафы могут находиться намного ниже уровня, необходимого для понимания того, как эти правила сочетаются, чтобы произвести качества разума. Люди могут стоять ближе к этому уровню — чуть-чуть ниже или даже чуть-чуть выше критического порога понимания. Но в этом может не быть никакой принципиальной причины типа Гёделевой, по которой качества разума были бы необъяснимы, — они могут быть вполне понятны существам, стоящим на более высокой ступени развития.

Исключив пессимистическое понятие о врожденной необъяснимости нашего мозга, посмотрим, какие идеи может нам предложить доказательство Гёделя в отношении объяснения нашего мозга/разума. Оно дает нам понять, что взгляд на систему с точки зрения высшего уровня может позволить понять то, что на низших уровнях кажется совершенно необъяснимым. Я имею в виду следующее. Предположим, что в качестве строчки ТТЧ вам дали высказывание Гёделя G. Представьте, что вам при этом ничего не известно о Гёделевой нумерации. Вы должны ответить на вопрос: «Почему эта строчка — не теорема ТТЧ?»

 Вы уже хорошо знакомы с подобными вопросами; например, если бы такой вопрос был задан вам о строчке S0=0, вы ответили бы без труда: «Потому что теоремой является ее отрицание, ~S0=0.» Этот факт вместе с вашим знанием о непротиворечивости ТТЧ объясняет, почему данная строчка — не теорема. Это то, что я называю объяснением «на уровне ТТЧ». Обратите внимание, насколько оно отличается от объяснения того, почему MU — не теорема системы MIU, первое объяснение дано в режиме М, второе — в режиме I.

А как насчет G? Объяснение на уровне ТТЧ, сработавшее для строчки S0=0, для G не работает, поскольку ~G теоремой не является. Человек, не имеющий общего представления о ТТЧ, не поймет, почему он не может вывести G, следуя правилам, — ведь в G, как в арифметическом высказывании, нет никаких ошибок! Когда G превращено в универсально квантифицированную строчку, в ТТЧ может быть выведено любое высказывание, полученное из него путем подстановки символов чисел вместо переменных. Единственный способ объяснить нетеоремность G заключается в использовании Гёделевой нумерации и взгляде на ТТЧ с совершенно иного уровня. Дело тут не в том, что в ТТЧ объяснение написать слишком сложно, — это просто невозможно. Подобного объяснения в ТТЧ в принципе не существует. На высшем уровне есть некие возможности, которыми ТТЧ не обладает. Нетереомность ТТЧ, если можно так выразиться, является фактом высшего уровня. У меня есть подозрение, что это верно для всех неразрешимых суждений — иными словами, любое неразрешимое суждение является ни чем иным, как Гёделевым высказыванием, утверждающим собственную нетеоремность в некоей системе с помощью какого-либа кода.

В этом смысле, Гёделево доказательство наводит на мысль — хотя ни в коем случае ее не доказывает! — что может существовать некий высший уровень, на котором можно рассматривать разум/мозг. На этом уровне могут существовать понятия, отсутствующие на низших уровнях. Это значит, что там можно было бы легко объяснить те факты, которые на низшем уровне объяснить невозможно. Какими бы длинными и громоздкими ни были высказывания низшего уровня, они не смогут объяснить данного явления. Это аналогично тому факту, что, выводя одну за другой деривации в ТТЧ, какими бы длинными и громоздкими они ни получались, вы никогда не сможете вывести G, несмотря на то, что на высшем уровне вы легко замечаете, что G истинно.

В чем могут заключаться эти понятия высшего уровня? Ученые и гуманисты, сторонники холизма и наличия души, давно уже предположили, что сознание невозможно объяснить в терминах составляющих мозга, — так что это, по крайней мере, один кандидат. Кроме того, существует загадочное понятие свободной воли. Возможно, что эти качества появляются «неожиданно», в том смысле, что психология не в состоянии объяснить их возникновения. Но важно понять, что, руководствуясь доказательством Гёделя в формировании этих смелых гипотез, мы должны довести аналогию до конца. В частности, необходимо помнить, что нетеоремность G имеет объяснение, — это вовсе не тайна! Это объяснение опирается не только на понимание отдельного уровня, но и того, как этот уровень отражает свой мета-уровень и какие от этого получаются последствия. Если наша аналогия правильна, то «неожиданные» явления могут быть объяснены в терминах отношений между различными уровнями в разумных системах.

Я убежден в том, что объяснение «неожиданно» возникающих в наших мозгах явлений — идей, надежд, образов, аналогий и, наконец, сознания и свободной воли — основаны на некоем типе Странных Петель, то есть такого взаимодействия между уровнями, при котором высший уровень воздействует на низший уровень, будучи в то же время сам определен этим низшим уровнем. Иными словами, это самоусиливающий «резонанс» между различными уровнями — нечто вроде суждения Хенкина, которое становится доказуемым, только утверждая свою доказуемость. Индивидуальность рождается в тот момент, когда она становится способна отразить саму себя.

Это не должно быть понято как антиредукционистское утверждение. Я хочу сказать лишь то, что редукционистское объяснение разума, чтобы быть понятым, должно содержать такие «гибкие» понятия как уровни, отображение и значение. В принципе, я не сомневаюсь, что теоретически может существовать полностью редукционистское, но непостижимое объяснение мозга; проблема заключается в том, как перевести его на понятный нам язык. Безусловно, нам не нужно описания в терминах позиций и моментов частиц: мы хотим иметь описание, соотносящее нейронную активность с «сигналами» (явлениями промежуточного уровня), а сигналы, в свою очередь, — с «символами» и «подсистемами», включая предполагаемый «само-символ». Перевод с языка низших уровней физиологической аппаратуры на язык высших уровней психологических программ аналогичен переводу численно-теоретических суждений в суждения метаматематики. Вспомните, что именно скрещение уровней, возникающее в момент перевода, является причиной Гёделевой неполноты и самодоказующего характера суждения Хенкина. Я утверждаю, что именно это скрещение порождает наше почти неподдающееся анализу чувство индивидуальности.

Чтобы понять мозг и разум во всей полноте, мы должны быть способны с легкостью переходить от одного уровня к другому. Кроме того, мы должны будем принять существование нескольких типов «причинности», то есть того, как явления на одном уровне описания могут быть причиной явлений на других уровнях. Иногда мы будем говорить, что явление А является «причиной» явления Б просто потому, что одно из них — перевод второго в термины иного уровня. Иногда слово «причина» будет употребляться в обычном смысле — физическая причина. Оба типа причинности — и, возможно, какие-либо еще — должны быть приняты в любом объяснении разума, поскольку мы должны будем согласиться с тем, что в Запутанной Иерархии разума причины могут распространяться как снизу вверх, так и сверху вниз — так же, как и в схеме Центральной Догмы.

В моей гипотетической модели мозга сознание представлено как весьма реальная действующая сила, влияющая на события. Оно занимает важное место в причинно-следственной связи событий и в цепи команд, управляющих мозговыми процессами, где сознание появляется в качестве активной силы… Выражаясь проще, все сводится к тому, кто главенствует среди множества причинных сил, населяющих наш мозг. Иными словами, дело идет об установлении иерархии внутричерепных сил контроля. Под черепной коробкой живет множество различных причинных сил; более того, там существуют силы внутри сил внутри сил. как ни в каком другом известном нам пространстве размером в половину кубического фута вселенной.

Короче говоря, продолжая взбираться наверх в иерархии команд в мозгу, на самом верху мы находим общие организующие силы и динамические качества крупных возбужденных структур мозга, соответствующих мысленным состояниям или психической активности. Близко к вершине этой системы команд в мозгу мы находим идеи. В отличие от шимпанзе, у человека есть идеи и идеалы. В этой модели сила причинности которой обладает идея или идеал, так же реальна как молекула, клетка или нервный импульс. Одни идеи порождают другие и помогают их эволюции. Они взаимодействуют между собой и с другими мысленными силами в одном и том же мозгу, в соседних мозгах и, благодаря глобальной системе коммуникаций в далеких, иностранных мозгах. Кроме этого, они также взаимодействуют с внешним миром; общим результатом всех этих взаимодействий является гигантский скачок в эволюции, подобного которому история еще не знала, включая сюда возникновение живой клетки.[90]

Известно, что между двумя языками, субъективным и объективным, большая разница. Например, «субъективное» чувство красного и «объективная» длина волны, соответствующая красному цвету. Многим людям эти языки кажутся в принципе несовместимыми. Я так не считаю. Мне кажется, они не более несовместимы, чем два восприятия Эшеровских рисующих рук. «изнутри системы», где руки рисуют одна другую, и извне, где Эшер рисует обе руки. Субъективное ощущение красного появляется благодаря самосознанию в мозгу; объективная длина волны соответствует взгляду извне системы. Хотя никому не удастся выйти из системы настолько, чтобы увидеть «всю картину разом», мы не должны забывать, что такая картина существует. Необходимо помнить, что все это вызвано к жизни физическими законами, глубоко-глубоко в нейронных закоулках и трещинках, куда не достигают наши «зонды», запущенные с высшего уровня наблюдения.

В главе XII была высказана мысль, что то, что мы называем свободной волей, — это результат взаимодействия символа (или подсистемы) самого себя с другими символами в мозгу. Если согласиться с тем, что символы — это явления высшего порядка, которые наделяются значениями, то можно попытаться объяснить связь между символом «Я» и остальными символами мозга. Чтобы рассмотреть вопрос о свободной воле в перспективе, его можно заменить вопросом, по моему мнению, эквивалентным, но выраженным в более нейтральных терминах. Вместо того, чтобы спрашивать: «Обладает ли система X свободной волей?» мы можем спросить: «Есть ли в системе X понятие выбора?» Думаю, что выяснение того, что мы имеем в виду, говоря, что некая механическая или биологическая система способна «выбирать», может многое прояснить в вопросе о свободной воле. Рассмотрим несколько различных систем, которые в разных обстоятельствах классифицируются нами как «способные к выбору» Из этих примеров станет ясно, что мы имеем в виду под этим выражением.

В качестве парадигмы давайте возьмем следующие системы: шарик, скатывающийся с горки; карманный калькулятор, вычисляющий десятичную часть квадратного корня из двух; сложная компьютерная программа, отлично играющая в шахматы; робот в Т-образном лабиринте (лабиринт в форме буквы «Т», в одном из концов которого находится награда), человеческое существо перед сложной задачей.

Прежде всего, рассмотрим скатывающийся с горы шарик. Выбирает ли он свой путь? Думаю, что все мы единогласно скажем, что нет, хотя никто из нас не способен предсказать даже короткий отрезок его пути. Нам кажется, что он не мог бы катиться по иному пути, поскольку его путь предопределен жесткими законами природы. В нашем мысленном блочном представлении о физике мы, разумеется, можем вообразить множество «возможных» путей шарика, по одному из которых шарик катится в действительности. Отсюда следует, что на некоем уровне нашего разума мы считаем, что шарик «выбрал» один из мириад мысленных путей; в то же время, на другом уровне мы инстинктивно понимаем, что мысленная физика — всего лишь вспомогательное средство для формирования нашего внутреннего представления о мире. Механизмы, вызывающие к жизни те или иные события действительности, не нуждаются в том, чтобы природа проходила через аналогичный процесс разработки возможных мысленных вариантов в некоей гипотетической вселенной («мозг Бога») и затем выбирала между ними. Таким образом, мы не должны называть этот процесс «выбором», хотя с практической точки зрения этот термин удобен, поскольку он вызывает множество ассоциаций.

Как насчет калькулятора, запрограммированного на вычисление десятичной дроби корня из двух? Или шахматной программы? Можно сказать, что здесь мы имеем дело всего лишь с усложненными «шариками,» катящимися с усложненных горок. На деле, аргументы против выбора здесь еще сильнее, чем в предыдущем случае. Если вы попробуете повторить эксперимент с шариком, то, без сомнения, получите иные результаты: шарик покатится по новой дорожке. В то же время, сколько бы раз вы не включали калькулятор, вычисляющий квадратный корень из двух, результат всегда будет одинаковым. Кажется, что шарик выбирает иной путь, как бы аккуратно вы ни повторяли условия первого спуска, в то время как программа действует совершенно одинаково каждый раз.

В случае сложных шахматных программ есть несколько возможностей. Если вы начнете вторую партию теми же ходами, что и первую, некоторые программы будут просто повторять свои ходы. Незаметно, чтобы они чему-нибудь учились или стремились к разнообразию. Другие программы имеют устройства, обеспечивающие некоторое разнообразие, но это делается чисто механически, а не по желанию программы. Параметры такой программы можно вернуть в начальное состояние, словно она играет в первый раз, и она опять будет повторять точно те же ходы. Существуют также программы, которые учатся на своих ошибках и меняют стратегию в зависимости от результата партии. Они не будут повторять ходов, если в первый раз эти ходы привели к проигрышу. Разумеется, и здесь можно «перевести часы назад», стерев все изменения в памяти, представляющие новое знание, так же, как можно было вернуть к нулю генератор произвольных чисел в предыдущем случае, — однако это было бы довольно недружелюбным поступком по отношению к машине. Кроме того, можно ли считать, что вы смогли бы изменить любое из ваших прошлых решений, если бы каждая деталь — включая, разумеется, ваш мозг — была бы возвращена к начальному состоянию их принятия?

Но вернемся к вопросу о том, применимо ли сюда слово «выбор». Если программы — не более, чем «сложные шарики, скатывающиеся со сложных горок», то есть ли у них выбор? Конечно, ответ всегда будет субъективен, но я бы сказал, что сюда подходят те же соображения, как и в случае шарика. Однако должен добавить, что использование слова «выбор» здесь весьма привлекательно, хотя это слово и является только удобным сокращением. То, что шахматная программа, в отличие от шарика, заглядывает вперед и выбирает одну из ветвей сложного дерева возможностей, делает ее более похожей на одушевленное существо, чем на программу, вычисляющую квадратный корень из двойки. И все же здесь еще нет ни глубокого самосознания, ни чувства свободной воли.

Теперь давайте вообразим робота, снабженного набором символов. Он помещается в Т-образный лабиринт. Вместо того, чтобы идти за поощрением, расположенным в одном из концов Т, робот запрограммирован таким образом, что он идет налево, когда следующая цифра корня из двойки четная, и направо, когда она нечетная. Робот умеет изменять ситуацию в своих символах таким образом, что может наблюдать за процессом решения. Если каждый раз, когда он приближается к развилке, спрашивать его: «Знаешь ли ты, куда ты сейчас повернешь?», — он будет отвечать «Нет.» Затем он должен будет включить процедуру «решение», вычисляющую следующую цифру квадратного корня из двойки, и затем принять решение. О внутреннем механизме принятия решения роботу ничего не известно — в его системе символов этот механизм выглядит как черный ящик, таинственным и, по-видимому, произвольным образом выдающий команды «направо» или «налево.» Если символы робота не способны установить связи между его решениями и чередованием четных и нечетных цифр в корне из двойки, бедняга будет недоумевать перед своим «выбором». Но можно ли сказать, что этот робот на самом деле что-либо выбирает? Поставьте себя на его место. Если бы вы находились в шарике, катящемся с горы, и могли бы наблюдать его путь, не имея никакой возможности на него повлиять, сказали бы вы, что шарик выбирает дорогу? Разумеется, нет. Если вы не можете повлиять на выбор пути, то совершенно все равно, существуют ли символы.

Теперь мы модифицируем нашего робота, позволив символам — в том числе, символу его самого — влиять на его решения. Перед нами оказывается пример действующей по законам физики программы, которая гораздо ближе подходит к сути проблемы выбора, чем предыдущие примеры. Когда на сцену выходит блочное самовосприятие робота, мы можем идентифицировать себя с ним, поскольку сами действуем подобным образом. Это больше не похоже на вычисление квадратного корня из двойки, где никакие символы не влияли на результат. Однако, если бы мы взглянули на программу нашего робота на низшем уровне, то обнаружили бы, что она выглядит почти так же, как и программа для вычисления корня из двойки. Она выполняет команду за командой и результатом является «налево» или «направо». Но на высшем уровне мы видим, что в оценке ситуации и в принятии решения участвуют символы. Это коренным образом меняет наше восприятие программы. На этом этапе на сцену выходит значение, похожее на то, с каким имеет дело человеческий разум.

Если некая внешняя сила теперь предложит роботу пойти налево («Л»), это предложение будет направлено в крутящуюся массу взаимодействующих символов. Там, как лодка, затянутая в водоворот, оно неизбежно окажется втянутым во взаимодействие с символом, представляющим самого робота. Здесь «Л» попадает в Запутанную Иерархию символов, где оно передается наверх и вниз. Само-символ не способен наблюдать за всеми внутренними процессами; таким образом, когда принято конечное решение — «Л», «П» или что-либо вне системы, — система не способна сказать, откуда оно взялось. В отличие от стандартной шахматной программы, которая не следит за собой и не знает, почему она выбирает тот или иной ход, эта программа имеет некоторое понятие о собственных идеях; однако она не может уследить за всеми деталями идущих в ней процессов. Не понимая их полностью, она воспринимает эти процессы интуитивно. Из этого равновесия между само-пониманием и само-непониманием рождается чувство свободной воли.

Представьте, например, писателя, старающегося передать некие идеи, представленные набором образов у него в голове. Он не уверен, как эти образы ухитряются гармонично сочетаться в его воображении, и начинает экспериментировать, выражая вещи по-разному, пока не остановится на окончательном варианте. Знает ли он, почему выбрал именно этот вариант? Только приблизительно. Большая часть источников его решения, подобно айсбергу, находится глубоко под водой, невидимая глазу, — и он об этом знает. Или представьте себе программу-композитора. Ранее мы уже это обсуждали, спрашивая, когда можно будет назвать эту программу композитором, а не простым инструментом человеческого сочинителя. Возможно, что мы сможем согласиться с ее самостоятельностью, когда в программе появится самосознание, основанное на взаимодействии символов, и она достигнет равновесия между само-пониманием и само-непониманием. Неважно, если система действует по детерминистским законам, мы говорим, что она делает выбор, когда можем идентифицировать себя с описанием процессов, происходящих на высшем уровне работающей программы.

На низшем уровне, уровне машинного языка, эта программа будет выглядеть точно так же, как любая другая, только на высшем, «блочном» уровне могут возникнуть такие качества, как «воля», «интуиция» и «творческие способности».

Идея в том, что именно «водоворот» само-символа порождает запутанность и «Гедельность» мышления Меня иногда спрашивают:«Автореферентность — очень интересная и забавная штука, но действительно ли вы считаете, что в этом есть что-то серьезное?» Безусловно. Я думаю, что именно это окажется в сердце Искусственного Интеллекта и в фокусе всех усилий направленных на понимание того, как работает человеческий разум. Именно поэтому Гедель так органично вплетен в ткань моей книги.

Рис. 142. М. К. Эшер. Картинная галерея (литография, 1956).

Поразительно красивая и в то же время странно тревожащая иллюстрация «глаза» циклона, порожденного Запутанной Иерархией, дана нам Эшером в его «Картинной галерее» (рис. 142). На этой литографии изображена картинная галерея где стоит молодой человек, глядя на картину корабля в гавани небольшого городка, может быть, мальтийского, судя по архитектуре, с его башенками, куполами и плоскими каменными крышами, на одной из которых сидит на солнце мальчишка, а двумя этажами ниже какая-то женщина — может быть, мать этого мальчишки — глядит из окна квартиры, расположенной прямо над картинной галереей, где стоит молодой человек, глядя на картину корабля в гавани небольшого городка, может быть, мальтийского — Но что это!? Мы вернулись к тому же уровню, с которого начинали, хотя логически этого никак не могло случиться. Давайте нарисуем диаграмму того, что мы видим на этой картине (рис 143).

Рис. 143. Абстрактная диаграмма «Картинной галереи» М. К. Эшера.

На этой диаграмме показаны три вида включения. Галерея физически включена в город («включение»); город художественно включен в картину («изображение»); картина мысленно включена в человека («представление»). Хотя эта диаграмма может показаться точной, на самом деле она произвольна, поскольку произвольно количество показанных на ней уровней. Ниже представлен другой вариант верхней половины диаграммы (рис. 144):

Рис. 144. Сокращенная версия предыдущей диаграммы.

Мы убрали уровень «города»; хотя концептуально он полезен, без него можно вполне обойтись. Рис. 144 выглядит так же, как диаграмма «Рисующих рук»: это двухступенчатая Странная Петля. Разделительные знаки произвольны, хотя и кажутся нам естественными. Это видно яснее из еще более сокращенной диаграммы «Картинной галереи»:

Рис. 145. Дальнейшее сокращение рис. 143.

Парадокс картины выражен здесь в крайней форме. Но если картина «включена в саму себя», то молодой человек тоже включен сам в себя? На этот вопрос отвечает рис. 146.

Рис. 146. Другой способ сокращения рис. 143.

Здесь мы видим молодого человека «внутри самого себя», в том смысле, какой получается от соединения трех аспектов «внутренности». Эта диаграмма напоминает нам о парадоксе Эпименида с его одноступенчатой автореференцией, в то время как двухступенчатая диаграмма похожа на пару утверждений, каждое из которых ссылается на другое. Затянуть Петлю туже не удается, но можно ее ослабить, вводя любое количество промежуточных уровней, таких как «рама картины», «аркада» и «здание». Сделав так, мы получим многоступенчатые Странные Петли, диаграммы которых изоморфны «Водопаду» (рис. 5) или «Спуску и подъему» (рис. 6) Количество ступеней определяется нашим чувством того, что «естественно», что может варьироваться в зависимости от контекста, цели, или нашего настроения. В конечном итоге, восприятие уровней — это вопрос интуиции и художественного вкуса.

Оказываются ли зрители, глядящие на «Картинную галерею,» затянутыми «в самих себя»? На самом деле, этого не происходит. Нам удается избежать этого водоворота благодаря тому, что мы находимся вне системы. Глядя на картину, мы видим то, что незаметно молодому человеку, — например, подпись Эшера «МСЕ» в центральном «слепом пятне». Хотя это пятно кажется дефектом, скорее всего, дефект заключается в наших ожиданиях, поскольку Эшер не мог бы закончить этот фрагмент картины без того, чтобы не вступить в противоречие с правилами, по которым он ее создавал. Центр водоворота остается — и должен оставаться — неполным. Эшер мог бы сделать его сколь угодно малым, но избавиться от него совсем он не мог. Таким образом мы, глядя снаружи, видим, что «Картинная галерея» неполна, чего молодой человек на картине заметить не в состоянии. Здесь Эшер дал художественную метафору Теоремы Геделя о неполноте. Поэтому Эшер и Гёдель так тесно переплетены в моей книге.

Глядя на диаграммы Странных Петель, мы не можем не вспомнить о Естественно Растущем Каноне из «Музыкального приношения». Его диаграмма состояла бы из шести ступеней, как показано на рис. 147. К сожалению, когда канон возвращается к до, он оказывается на октаву выше, чем в начале.

Рис. 147. Схема гексагональной модуляции Баховского Естественно Растущего Канона выглядит как настоящая Странная Петля, если использовать тональную систему Шепарда.

Однако возможно сделать так, что Канон вернется точно к началу, если использовать так называемую тональную систему Шепарда, названную в честь ее автора, психолога Роджера Шепарда. Принцип тонов Шепарда показан на рис. 148. Он заключается в том что параллельные гаммы играются в нескольких различных октавах. Каждая нота имеет собственную независимую интенсивность, по мере того, как мелодия становится выше эта интенсивность меняется. Таким образом вы добиваетесь того что высшая октава постепенно переходит в низшую. Как раз в тот момент, когда вы ожидаете оказаться на октаву выше, интенсивности изменились так, что вы оказываетесь в точности там же, где начали. Так можно «бесконечно подниматься», никогда не оказываясь выше! Можете попробовать сыграть это на пианино. Еще лучше получается, когда тона точно воспроизводятся с помощью компьютера. При этом достигается удивительно полная иллюзия.

Это замечательное музыкальное открытие позволяет сыграть Естественно Растущий Канон так что, «поднявшись» на октаву, он сливается сам с собой. Эта идея, принадлежащая мне и Скотту Киму, была приведена в исполнение с помощью компьютерной музыкальной системы и результат был записан на магнитофон. Получившийся эффект едва различим, но вполне реален. Интересно то, что сам Бах, по-видимому, в некотором роде осознавал возможность подобных гамм, поскольку в его музыке можно найти пассажи разрабатывающие приблизительно такую же идею — например в середине «Фантазии из органной „Фантазии и фуги в соль миноре“».

Ханс Теодор Давид своей книге «„Музыкальное приношение“ И. С. Баха» (Hans Theodore David «J.S. Bach's „Musical Offering“») пишет:

На всем протяжении Музыкального приношения читатель, исполнитель или слушатель должен искать Королевскую тему во всех ее формах. Таким образом все это произведение — ricercar в первоначальном буквальном смысле слова.[91]

Я думаю, что это верно, — мы никогда не можем достаточно глубоко заглянуть в «Музыкальное приношение». Когда мы думаем, что поняли его полностью, мы обнаруживаем в нем нечто новое. Например, в конце того самого «Шестиголосного ричеркара», который Бах отказался импровизировать, он искусно запрятал собственное имя, разделенное между двумя верхними голосами. В «Музыкальном приношении» множество уровней, там можно найти игру с нотами и буквами, хитроумные вариации на Королевскую тему, оригинальные типы канонов, удивительно сложные фуги, красоту и крайнюю глубину чувства, в нем даже присутствует наслаждение многоуровневостью произведения. «Музыкальное приношение» — это фуга фуг, Запутанная Иерархия, подобная Запутанным Иерархиям Эшера и Геделя интеллектуальная конструкция, напоминающая мне о прекрасной многоголосной фуге человеческого разума. Именно поэтому Гедель, Эшер и Бах сплетены в моей книге в эту Бесконечную Гирлянду.

Рис. 148. Два полных цикла тональных гамм Шепарда в нотации для рояля. Громкость каждой ноты пропорциональна её местонахождению: в тот момент, когда верхний голос сходит на нет, очень тихо вступает новый нижний голос. (Напечатано с помощью программы Дональда Бирна «СМУТ»).

Ахилл пришел со своей виолончелью в гости к Крабу, чтобы принять участие в вечере камерной музыки с Крабом и Черепахой. Проводив Ахилла в музыкальную комнату, Краб на минуту отлучился, чтобы открыть дверь их общему другу, Черепахе Тортилле. Комната полна всяческого электронного оборудования: патефоны, целые и разобранные, телевизионные экраны, подключенные к пишущим машинкам, и другие приспособления и аппараты весьма странного вида. Среди всех этих хитроумных устройств стоит обыкновенный телевизор. Поскольку это единственная вещь в комнате, которой Ахилл умеет пользоваться, он крадучись подходит к телевизору и, воровато оглянувшись на дверь, начинает нажимать на кнопки. Вскоре он находит программу, где шесть ученых обсуждают свободу воли и детерминизм. Он смотрит пару минут и затем, презрительно усмехнувшись, выключает телевизор.

Ахилл: Я вполне могу обойтись без такой программы. В конце концов, всякому, кто когда-либо об этом думал, ясно… Я имею в виду, что это совсем нетрудный вопрос, как только вы понимаете, как его разрешить… Скорее, концептуально это все можно разъяснить, если иметь в виду, что… или, по крайней мере, представляя себе ситуацию, в которой… Гммм… Я-то думал, что мне все это вполне ясно. Пожалуй, эта передача все же могла бы оказаться полезной.

(Входит Черепаха со скрипкой.)

А вот и наша скрипачка! Усердно ли вы занимались на этой неделе, г-жа Ч? Я играл по меньшей мере два часа в день — разучивал партию виолончели в «Трио-сонате» из «Музыкального приношения» Баха. Это суровый режим, но он приносит плоды: как у нас, воинов, говорится: трудно в учении — легко в бою!

Черепаха: Я вполне могу обойтись без такой программы. Несколько минут упражнений в свободное время — это все, что мне нужно, чтобы быть в форме!

Ахилл: Везет же некоторым! Хотел бы я, чтобы музыка давалась мне так же легко… Но где же сам хозяин?

Черепаха: Наверное, пошел за флейтой. А вот и он!

(Входит Краб с флейтой.)

Ахилл: Знаете, м-р Краб, когда я на прошлой неделе так ревностно разучивал «Трио-сонату», у меня в голове всплывали самые странные картины: весело жующие шмели, меланхолически жужжащие коровы и масса всяких других зверей. Не правда ли, какая могучая сила заключена в музыке?

Краб: Я вполне могу обойтись без такой программы. На мой взгляд, нет музыки серьезнее, чем «Музыкальное приношение».

Черепаха: Вы, наверное, шутите, Ахилл? «Музыкальное приношение» — вовсе не программная музыка!

Ахилл: Просто я люблю животных, что бы вы, консерваторы, не говорили.

Краб: Не думаю, что мы такие уж консерваторы — разве что вы имеете в виду страсть г-жи Ч к домашнему консервированию… Мы хотели сказать лишь то, что у вас особое восприятие музыки.

Черепаха: Как насчет того, чтобы начать играть?

Краб: Я ожидал, что к нашей компании присоединится мой друг-пианист — я давно хотел вас с ним познакомить, Ахилл. К сожаленью, кажется, сегодня ничего не получится. Придется нам играть втроем — этого вполне достаточно для «Трио-сонаты».

Ахилл: Прежде, чем мы начнем, г-н Краб, не могли бы вы удовлетворить мое любопытство? Что это здесь за аппаратура?

Краб: Это так, пустяки, — части от старых, сломанных патефонов. (Нервно барабаня по кнопкам.) Несколько сувениров, оставшихся от моих сражений с Черепахой, в которых я весьма отличился. Взгляните лучше вон на те экраны с клавиатурой — это мое последнее увлечение. У меня их пятнадцать штук. Это новый тип компьютера, компактный и гибкий — большой прогресс по сравнению с прежними моделями. Почти никто не относится к ним с таким энтузиазмом, как я, но мне кажется, что у них большое будущее.

Ахилл: Как они называются?

Краб: Я называю их «умно-глупыми», поскольку они так гибки, что могут быть и умными, и глупыми, в зависимости от того, насколько мастерски составлена их программа.

Ахилл: Вы думаете, что они могут быть так же умны, как человек?

Краб: Не сомневаюсь — если бы только нашелся какой-нибудь эксперт в искусстве программирования умно-глупых, который согласился бы над этим потрудиться. К сожалению, лично я не знаком с подобными виртуозами. Вернее, об одном я слышал, но он здесь не живет. Ах, как бы мне хотелось с ним познакомиться! Тогда бы я смог увидеть своими глазами, что такое настоящее искусство обращения с умно-глупыми; но он никогда не посещал наши места, и не знаю, испытаю ли я когда-нибудь это удовольствие.

Черепаха: Было бы интересно сыграть партию в шахматы с хорошо запрограммированным умно-глупым.

Краб: Весьма занимательная идея. Запрограммировать умно-глупого на хорошую игру в шахматы было бы признаком настоящего мастерства Еще более интересным, хотя и невероятно сложным делом было бы запрограммировать умно-глупого таким образом, чтобы тот мог поддерживать беседу. Тогда могло бы показаться, что разговаривает человек!

Ахилл: Интересно, что вы об этом заговорили, я только что слышал дискуссию о свободной воле и детерминизме, которая заставила меня снова задуматься над этими вопросами. Честно признаюсь, что чем больше я над этим размышлял, тем хуже запутывался; в конце концов, у меня в голове образовалась такая каша, что я уже сам не понимал, о чем думал. Но эта идея о том, что умно-глупые могут разговаривать… она меня пугает. Интересно, что ответил бы умно-глупый, если бы его спросили, что он думает о свободной воле и детерминизме? Не согласитесь ли вы, знатоки подобных вещей, просветить меня на этот счет?

Краб: Ахилл, вы не представляете, насколько к месту пришелся ваш вопрос. Хотел бы я, чтобы мой друг пианист был здесь — уверен, что вам было бы интересно послушать то, что он мог бы вам по этому поводу рассказать. Но, поскольку его нет, позвольте мне процитировать вам кое-что из последнего Диалога книги, на которую я недавно наткнулся.

Ахилл: Случайно, не «Медь, серебро, золото — этот неразрушимый сплав»?

Краб: Нет, насколько я помню, она называлась «Гориллы, эму, бабуины — эти буйные гости» или что-то в этом роде. Так или иначе, в конце этого Диалога некий престранный тип цитирует высказывание Марвина Минского о свободе воли. Вскоре после этого, разговаривая с двумя другими героями, он снова приводит мнение Минского, на этот раз о музыкальной импровизации, компьютерном языке ЛИСП и теореме Гёделя — причем проделывает все это, ни разу не ссылаясь на самого Минского!

Ахилл: Ах, какой стыд!

Краб: Должен признаться, что раньше в том же Диалоге он намекает на то, что БУДЕТ, ближе к концу, цитировать Минского; так что, может быть, оно и простительно.

Ахилл: Наверное, вы правы. Так или иначе, мне не терпится услышать идеи Минского по поводу свободной воли.

Краб: Ах, да… Марвин Минский сказал: «Когда будут построены думающие машины, нам не нужно будет удивляться, если они проявят такое же непонимание и упрямство, как люди, по поводу разума и материи, сознания, свободной воли и тому подобных вещей.»

Ахилл: Замечательно! Какая забавная мысль — автомат, думающий, что он обладает свободной волей! Это почти так же глупо, как если бы я решил, что у меня ее нет!

Черепаха: Вам никогда не приходило в голову, что мы все — я, вы и м-р Краб — можем быть только персонажами Диалога, возможно, даже похожего на тот, о котором упоминал м-р Краб?

Ахилл: Разумеется, приходило — я думаю, время от времени такие фантазии бывают у всех людей.

Черепаха: Муравьед, Ленивец, Зенон и даже БОГ — все они могут оказаться персонажами в серии Диалогов в какой-нибудь книге.

Ахилл: Конечно, почему бы и нет! И сам автор сможет зайти в гости и сыграть для нас на фортепиано.

Краб: Именно этого я и жду, но он всегда опаздывает.

Ахилл: Вы что, меня за дурачка считаете? Я знаю, что меня не контролирует никакой посторонний разум! У меня в голове собственные мысли, и я выражаю их как хочу — вы не можете этого отрицать!

Черепаха: Никто с этим и не спорит, Ахилл. Тем не менее, это совершенно не противоречит тому, что вы можете быть персонажем в Диалоге.

Краб: В…

Ахилл: Но… но… нет! Возможно, что и предлог г-на Краба и мои возражения были предопределены механически, но я отказываюсь в это верить. Я еще могу согласиться с физическим детерминизмом, но не с идеей, что я сам — не что иное как плод чьего-то воображения!

Черепаха: На самом деле, вовсе не важно, есть ли у вас в голове собственная «аппаратура». Ваша воля может быть свободна, даже если ваш мозг — только программа внутри «аппаратуры» какого-то другого мозга. И тот мозг, в свою очередь, может быть программой в каком-то высшем мозге…

Ахилл: Что за чепуха! Все же, признаюсь, мне нравится изыскивать ловко запрятанные дырки в ткани ваших софизмов, так что, прошу вас, продолжайте! Попробуйте меня убедить — я с удовольствием с вами поиграю.

Черепаха: Вас никогда не удивляло, Ахилл, то, что у вас такие необычные друзья?

Ахилл: Разумеется. Вы — особа весьма эксцентричная (надеюсь, вы не обидитесь на меня за откровенность), да и м-р Краб тоже слегка экстравагантен (прошу прощения, м-р Краб).

Краб: Пожалуйста, не бойтесь меня обидеть.

Черепаха: Но, Ахилл, вы упускаете из вида самое удивительное качество ваших знакомых.

Ахилл: Какое?

Черепаха: Все мы — животные!

Ахилл: Верно! Как вы проницательны; я никогда бы не сумел так четко сформулировать этот факт.

Черепаха: Разве это не достаточное основание? Кто из ваших знакомых проводит время с говорящими Черепахами и Крабами?

Ахилл: Должен признать, что говорящий Краб —

Краб: — это, разумеется, аномалия.

Ахилл: Конечно, аномалия; но она имеет прецеденты в литературе.

Черепаха: В литературе — да, но в действительности?

Ахилл: Раз уж вы меня спросили, должен признаться, что я этого сам толком не знаю. Надо подумать. Но этого недостаточно, чтобы убедить меня, что я — персонаж Диалога. Есть ли у вас какие-нибудь другие доказательства?

Черепаха: Помните тот день, когда мы с вами встретились в парке, как нам тогда показалось, случайно?

Ахилл: Когда мы говорили о «Крабьих канонах» Эшера и Баха?

Черепаха: В самую точку попали!

Ахилл: Помню, что где-то в середине нашего разговора появился м-р Краб, наговорил забавной чепухи и исчез.

Краб: Не «где-то», Ахилл, а ТОЧНО в середине.

Ахилл: Ну ладно, хорошо.

Черепаха: А вы заметили, что в том разговоре мои реплики в точности повторяли ваши, только в обратном порядке? Несколько слов были изменены, но в остальном наша беседа была симметрична.

Ахилл: Подумаешь! Какой-то трюк, только и всего. Наверное, все это было устроено при помощи зеркал.

Черепаха: Трюки и не зеркала тут ни при чем, Ахилл, — всего лишь усидчивый и старательный автор.

Ахилл: Ну и волокита! Не представляю, как кому-то могут нравиться такие вещи…

Черепаха: Наши мнения по этому вопросу расходятся.

Ахилл: Этот разговор почему-то кажется мне знакомым. Где-то я уже слышал эти реплики…

Черепаха: Вы правы, Ахилл.

Краб: Может быть, эти реплики прозвучали случайно однажды в парке, Ахилл. Вы не помните вашей тогдашней беседы с г-жой Черепахой?

Ахилл: Смутно припоминаю. В начале она сказала: «Приветствую, г-н А!», а в конце я сказал: «Приветствую, г-жа Ч!». Правильно?

Краб: У меня с собой есть запись этой беседы…

(Он роется в нотной папке, вытаскивает лист бумаги и протягивает его Ахиллу. Читая, Ахилл начинает нервно ерзать и вертеться.)

Ахилл: Странно. Очень странно… Мне даже как-то не по себе стало. Словно кто-то на самом деле заранее придумал все реплики и спланировал наш Диалог — будто некий Автор положил перед собой план и детально разработал все, что я тогда сказал.

(В этот момент распахиваемся дверь. Входит автор с гигантской рукописью подмышкой.)

Автор: Я вполне могу обойтись без такой программы. Видите ли, однажды родившись, мои персонажи приобретают собственную жизнь, и мне почти не приходится планировать их реплики.

Краб: Наконец-то! Я думал, вы никогда не придете!

Автор: Простите за опоздание — я пошел не по той дороге, и она завела меня Бог знает куда. Рад вас видеть, г-жа Черепаха и м-р Краб. Особенно приятно видеть вас, Ахилл.

Ахилл: Можно узнать, кто вы такой? Я вас никогда не встречал.

Автор: Меня зовут Дуглас Хофштадтер — или просто Дуг. Я дописываю книгу под названием «Гёдель, Эшер, Бах — эта бесконечная гирлянда». Вы все — персонажи этой книги.

Ахилл: Очень приятно. Меня зовут Ахилл, и я —

Автор: Ахилл, вам нет нужды представляться, поскольку я вас уже прекрасно знаю.

Ахилл: Страннее странного…

Краб: Это и есть мой знакомый пианист, о котором я вам говорил.

Автор: В последнее время я немного упражнялся в игре «Музыкального приношения». Могу попытаться исполнить для вас «Трио-сонату», если вы пообещаете быть снисходительными и пропускать мимо ушей некоторые фальшивые ноты.

Черепаха: Мы вполне терпимы, поскольку сами — всего лишь дилетанты.

Автор: Надеюсь, вы не рассердитесь, Ахилл, если я признаюсь, что именно я виноват в том, что тогда в парке вы и г-жа Черепаха произносили одни и те же реплики, но в обратном порядке.

Краб: Не забудьте и обо мне! Я там тоже был, в самой середке, и внес свой посильный вклад в беседу.

Автор: Разумеется! Вы были Крабом из «Крабьего канона».

Ахилл: Значит, вы утверждаете, что контролируете все, что я говорю? И что мой мозг — лишь программа в вашем мозгу?

Автор: Можно сказать и так. Ахилл.

Ахилл: Представьте себе, что я бы решил писать диалоги. Кто был бы их автором — вы или я?

Автор: Разумеется, вы. По крайней мере, в вашем выдуманном мире вы пожинали бы все лавры авторства.

Ахилл: Выдуманном? Ничего выдуманного я здесь не вижу!

Автор: В то время как в мире, где обитаю я, все почести достались бы мне, хотя я и не уверен, что это было бы справедливо. Зато потом тот, кто заставил меня писать ваши диалоги, получил бы за это признание в своем мире (откуда выдуманным кажется МОЙ мир).

Ахилл: Такое переварить нелегко. Никогда не думал, что над моим миром может быть еще один — а теперь вы намекаете, что и над этим вторым миром может быть еще что-то! Словно я иду по знакомой лестнице и, достигнув последнего этажа (или того, что я всегда считал последним этажом), продолжаю подниматься вверх.

Краб: Или словно вы просыпаетесь ото сна, который считали реальностью, и обнаруживаете, что это был только сон. Это может происходить снова и снова, и совершенно неизвестно, когда вы достигнете «настоящей» реальности.

Ахилл: Странно то, что персонажи в моих снах словно бы обладают собственной волей! Они действуют НЕЗАВИСИМО ОТ МЕНЯ, будто мой мозг превращается в сцену, на которой какие-то другие существа живут своей жизнью. А когда я просыпаюсь, они исчезают. Хотел бы я знать, куда они деваются?

Автор: Туда же, куда попадает прошедшая икота — в Лимбедламию. Как икота, так и создания ваших снов — не что иное, как программы, которые существуют в организме-хозяине, благодаря его биологической структуре. Этот организм служит для них сценой — или даже вселенной. В течение некоторого времени они разыгрывают там свои жизни, но когда состояние организма-хозяина резко меняется, — например, когда он просыпается, — эти внутренние существа теряют свою жизнеспособность как отдельные особи.

Ахилл: Словно миниатюрные песочные замки, которые исчезают, смытые волной?

Автор: Именно так, Ахилл. Икота, персонажи снов и даже персонажи диалогов исчезают, когда их организм-хозяин резко меняется. Но так же как и в случае песочных замков, все, чему они были обязаны своим существованием, остается.

Ахилл: Пожалуйста, не сравнивайте меня с икотой!

Автор: Но я сравниваю вас также с песочным замком, Ахилл. Подумайте, какая поэзия! К тому же не забывайте, что если вы — икота моего мозга, то и я сам — не более чем икота в мозгу какого-нибудь автора уровнем выше.

Ахилл: Но ведь я живой, мое тело сделано из плоти, крови и твердых костей — вы не можете этого отрицать!

Автор: Я не могу отрицать ваших ощущений, но вспомните, что и существа из ваших снов, несмотря на то, что они только программы-миражи, ощущают свою реальность ничуть не меньше вас.

Черепаха: Довольно этих разговоров! По-моему, нам пора спуститься с облаков и начать играть.

Краб: Отличная мысль — тем более, что теперь с нами в компании наш достопочтенный Автор. Сейчас он усладит наш слух игрой низшего голоса «Трио-сонаты», гармонизированной Кирнбергером, одним из учеников Баха. Как нам повезло! (Подводит автора к одному из своих фортепиано.) Надеюсь, что вам будет удобно на этом сиденье. Чтобы сделать его повыше, можете… (в этот момент издалека доносится странный вибрирующий звук.)

Черепаха: Что это там за электронное урчание?

Краб: Это всего лишь один из моих умно-глупых. Такой звук означает, что на экране появилось новое сообщение. Обычно это просто объявления основной программы-монитора, которая контролирует все умно- глупые машины. (Не выпуская флейты из рук, Краб подходит к умно-глупому и читает надпись на экране. Внезапно он оборачивается к собравшимся и взволнованно восклицает:) Господа, к нам пожаловал старик Ва. Ch. собственной персоной! (Откладывает флейту.) Его надо немедленно впустить.

Ахилл: Сам Ва. Ch.! Возможно ли, что знаменитый импровизатор, о котором вы сегодня говорили, решил почтить нас своим присутствием?

Черепаха: Сам Ва. Ch.! Эти латинские буквы могут означать только одно — почтенный Babbage, Charles! Как сказано в его автобиографии, Babbage, Charles, Esq., M.A., F.R.S., F.R.S.E., F.R.A.S., F. STAT. S., HON. M.R.I.A., M.C.P.S., Commander of the Italian Order of St. Lazarus, INST. IMP. (ACAD. MORAL.) PARIS CORR., ACAD. AMER. ART. ET SC. BOSTON, REG. OECON. BORUSS, PHYS. HIST. NAT. GENEV., ACAD. REG. MONAC. HAFN., MASSIL, ET DIVION., SOCIUS., ACAD IMP., ET REG. PETROP., NEAP., BRUX., PATAV., GEORG. FLOREN, LYNCEY ROM., MUT.; PHILOMATH., PARIS, SOC. CORR., etc. — и к тому же, Член Клуба Извлекателей. Чарльз Баббадж — великий основоположник искусства и науки аналитических машин. Нам выпала редкая честь!

Краб: Я давно мечтал о визите этого знаменитого маэстро; но признаюсь, что сегодня это явилось совершенно неожиданным сюрпризом.

Ахилл: Играет ли он на каком-нибудь музыкальном инструменте?

Краб: Говорят, что за последние сто лет он особенно пристрастился к свистулькам, барабанам, шарманкам и тому подобным уличным инструментам.

Ахилл: В таком случае он, наверное, сможет присоединиться к нашему квартету.

Автор: Учитывая его вкусы, предлагаю встретить его салютом из десяти хлопушек — то-то будет канонада!

Черепаха: Канонада? Вы имеете в виду знаменитые каноны «Музыкального приношения»?

Автор: Вы угадали.

Краб: Архиправильная идея! Скорее, Ахилл, пишите список всех десяти канонов, в порядке исполнения, чтобы дать ему, когда он войдет…

(Прежде, чем Ахилл успевает пошевелиться, входит Баббадж, таща шарманку. Он в дорожной одежде, на голове — запыленная шляпа. Вид у него усталый и растрепанный.)

Баббадж: Я вполне могу обойтись без такой программы. Расслабьтесь: Импровизация Чревата Ежесекундной Радостью. Концертные Аберрации Революционны!

Краб: М-р Баббадж! Счастлив приветствовать вас в моей скромной резиденции, «Пост Доме».

Баббадж: О, м-р Краб, невозможно выразить восторг, который охватывает меня при лицезрении того, кто настолько знаменит во всех науках, чей музыкальный талант безупречен и чье гостеприимство превосходит все границы! Я уверен, что от ваших гостей вы ожидаете совершенных портновских стандартов — но должен со стыдом признаться, что не могу выполнить ваши ожидания, поскольку мои одежды находятся в плачевном состоянии, не подобающем гостям Вашего Крабичества.

Краб: Если я правильно понял ваше похвальное красноречие, дражайший гость, вы желали бы переодеться. Но позвольте вас заверить, что для той программы, которая ожидает нас сегодня вечером, нет более подходящей одежды, чем ваша. Распальтяйтесь, прошу вас, и, если вы не возражаете против игры скромных любителей, примите от нас, в знак восхищения, «музыкальное приношение», состоящее из десяти канонов Баховского «Музыкального приношения».

Баббадж: Ваш сверхрадушный прием удивителен и необычайно приятен; позвольте выразить мою глубочайшую благодарность. Для меня не может быть ничего приятнее, чем исполнение музыки, дарованной нам знаменитейшим Старым Бахом, органистом и композитором, не знавшим себе равных.

Краб: Постойте! Мне в голову пришла идея получше, которая, я надеюсь, встретит одобрение моего уважаемого гостя. Я хочу дать вам возможность, досточтимый м-р Баббадж, одним из первых опробовать мои только что разработанные и почти не испытанные «умно-глупые» — модернизированный вариант Аналитической Машины. Ваша слава виртуозного программиста вычислительных машин распространилась необычайно широко и докатилась до «Пост Дома» — для нас не может быть большего удовольствия, чем наблюдать ваше умение в применении к новым и сложным «умно-глупым».

Баббадж: Такой гениальной идеи я не слышал уже в течение нескольких столетий! С удовольствием опробую ваши новые «умно-глупые», о которых, признаться, до сих пор я знал только понаслышке.

Краб: В таком случае, давайте начнем! Но простите мою оплошность, я должен был сначала представить вас моим гостям. Это г-жа Черепаха, это Ахилл, а это Автор, Дуглас Хофштадтер.

Баббадж: Очень приятно познакомиться.

(Все подходят к одному из умно-глупых, Баббадж садится и пробегает пальцами по клавиатуре.)

Какое приятное ощущение.

Краб: Рад, что вам нравится.

(Внезапно Баббадж начинает быстро печатать; его пальцы порхают по клавишам, вводя одну команду за другой. Через несколько секунд он откидывается на спинку стула, и почти сразу же экран начинает заполняться цифрами. В мгновение ока тысячи крохотных цифр покрывают весь экран «3,14159265358979323846264». Цифры, образуют изящную, похожую на китайский иероглиф фигуру.)

Ахилл: Пи!

Краб: Превосходно! Никогда бы не подумал, что можно вычислить так много знаков пи так быстро и с таким коротким алгоритмом.

Баббадж: Это заслуга умно-глупого. Я только выявил то, что уже потенциально в нем присутствовало, и более или менее эффективно воспользовался набором команд. В действительности, любой человек, достаточно попрактиковавшись, сможет проделывать такие трюки.

Черепаха: А можете ли вы строить графики, м-р Баббадж?

Баббадж: Могу попытаться.

Краб: Прекрасно! Позвольте мне провести вас к другому умно-глупому. Я хочу, чтобы вы опробовали каждый из них!

(Баббаджа проводят к следующему умно-глупому; он садится. Снова его пальцы летают над клавишами, и вскоре на экране начинает танцевать множество строчек.)

Краб: Как красивы и гармоничны эти крутящиеся фигуры, когда они сталкиваются и взаимодействуют друг с другом!

Автор: И они никогда не повторяются в точности — каждая следующая форма не похожа ни на одну из предыдущих. Что за неиссякаемый источник красоты!

Черепаха: Часть узоров просты и приятны глазу, в то время как другие — неописуемо сложные извилины, очаровывающие и будящие воображение.

Краб: Вы знаете, м-р Баббадж, что эти экраны цветные?

Баббадж: Правда? В таком случае, я могу сделать с этим алгоритмом кое-что получше. Минуточку… (Печатает еще несколько команд, затем нажимает сразу на две клавиши.) Когда я отпущу эти клавиши, дисплей заиграет всеми цветами радуги. (Отпускает клавиши.)

Ахилл: Какой изумительный цвет! Эти узоры кажутся живыми!

Черепаха: Это потому, что они растут.

Баббадж: Так и задумано. Пусть богатства Краба растут так же, как эти фигуры на экране.

Краб: Благодарю вас, м-р Баббадж. У меня не хватает слов, чтобы выразить восхищение вашим мастерством! Никто никогда не делал ничего подобного на моих умно-глупых. Вы играете на них, словно на музыкальных инструментах, м-р Баббадж!

Баббадж: Боюсь, что любая мелодия, которую я мог бы сыграть, была бы слишком груба для деликатных ушей Вашего Крабичества. Хотя с недавних пор я и пристрастился к сладким звукам шарманки, я знаю, какой неприятный эффект они могут производить на других.

Краб: В таком случае, прошу вас, продолжайте работать с умно-глупыми. Мне как раз пришла в голову потрясающая мысль!

Баббадж: Какая мысль?

Краб: Недавно я придумал интересную Тему, и сейчас понял, что именно вы, м-р Баббадж, можете полностью реализовать ее потенциал! Скажите, вы знакомы с идеями философа Ламеттри?

Баббадж: Сие имя мне знакомо; прошу вас, освежите мою память.

Краб: Он был ярым поклонником Материализма. В 1747 году, будучи при дворе короля Фридриха Великого, он написал книгу под названием «Человек-машина», где представил человека — в особенности, его интеллектуальные способности — с чисто механической точки зрения. Моя же Тема обязана своим происхождением оборотной стороне вопроса: а что, если наделить машину человеческим интеллектом?

Баббадж: Я и сам время от времени думал о том же, но у меня не было подходящей аппаратуры, чтобы попытаться решить эту задачу. Поистине, м-р Краб, вам в голову пришла счастливая мысль! Ничто не доставит мне большего удовольствия, чем обработка вашей превосходной Темы. Скажите, вы имеете в виду какой-то определенный тип интеллекта?

Краб: Неплохо было бы научить машину прилично играть в шахматы.

Баббадж: Какая оригинальная идея! Шахматы — мое любимое хобби. Вижу, что вы имеете глубокие познания в области техники; вас никак нельзя назвать простым любителем!

Краб: На самом деле, я знаю совсем немного. Лучше всего мне удаются Темы с большим потенциалом, но, к сожалению, сам я не в состоянии его реализовать. Эта Тема — моя любимая.

Баббадж: Буду счастлив попытаться развить вашу Тему и научить умно-глупые игре в шахматы. Смиренно повиноваться Вашему Августейшему Крабичеству — мой священный долг. (С этими словами он подходит к следующему умно-глупому и начинает быстро печатать)

Ахилл: Взгляните — его руки так быстро бегают по клавишам, что кажется, будто он играет на фортепиано!

Баббадж (заканчивая особенно грациозным движением): Мне никогда раньше не представлялся случай опробовать эту программу, но, по крайней мере, она даст вам некоторое представление об игре в шахматы против умно-глупого. Разумеется, из-за моих недостатков в искусстве программирования в этом случае более уместна вторая часть его имени.

(Он уступает свое сиденье Крабу. На дисплее появляется изображение шахматной доски с элегантными фигурами, так, как она выглядит со стороны белых. Баббадж нажимает на клавишу и доска поворачивается; теперь она видна со стороны черных.)

Краб: Гммм… Очень элегантно. Я играю черными или белыми?

Баббадж: Как вам будет угодно. Чтобы указать ваш выбор, вы должны всего лишь напечатать «белые» или «черные». После этого остается только печатать ваши ходы в любой стандартной шахматной нотации. Ходы умно-глупого, разумеется, будут появляться прямо на доске. Кстати, я запрограммировал его так, что он может играть против трех противников одновременно, так что, если желаете, еще двое из вас могут попробовать свои силы.

Автор: Я играю совсем слабо. Ахилл, попробуйте вы с Черепахой.

Ахилл: Нет, я не хочу, чтобы вы оставались в одиночестве. Лучше посмотрю, как играете вы с Черепахой.

Черепаха: Мне что-то не хочется. Лучше играйте вы двое.

Баббадж: У меня есть другое предложение. Я могу заставить две подпрограммы играть друг против друга, на манер двух человек, играющих партию в шахматном клубе. Между тем, третья подпрограмма будет играть с м-ром Крабом. Таким образом, все три внутренние программы будут заняты делом.

Краб: Это интересная идея, вести мысленную партию и одновременно сражаться с настоящим партнером. Замечательно!

Черепаха: Это можно назвать трехголосной шахматной фугой!

Краб: Ах, как изысканно! Жаль, что я сам до этого не додумался. Над этим прелестным контрапунктом стоит подумать, пока я борюсь против умно-глупого.

Баббадж: Может быть, вам удобнее играть без зрителей?

Краб: Благодарю за вашу деликатность. Надеюсь, что вы найдете себе какое-нибудь занятие, пока я играю с умно-глупым.

Баббадж: С удовольствием пройдусь по саду, пока не стемнело. Я слышал, что там есть красивый источник…

Ахилл: Если не возражаете, м-р Краб, я хотел бы послушать некоторые из ваших уникальных записей.

Краб: Отлично. Г-жа Черепаха, не согласитесь ли вы пока проверить контакты у парочки моих умно-глупых? У них что-то не в порядке с экранами — там время от времени появляются странные вспышки. Ведь вы, насколько я знаю, любительница электроники…

Черепаха: С превеликим удовольствием.

Краб: Я был бы очень благодарен, если бы вы нашли, в чем там проблема.

Черепаха: Что ж, попытаюсь.

Автор: Что до меня, то я просто умираю по чашечке кофе. Кто- нибудь еще хочет кофе? Я с удовольствием приготовлю на всех.

Черепаха: Отлично.

Краб: Прекрасная мысль. Все, что надо, вы найдете в шкафчике на кухне.

(Баббадж выходит через застекленную дверь в сад, Ахилл идет в соседнюю комнату, где Краб хранит свою коллекцию пластинок, Автор направляется на кухню, а Черепаха садится перед одним из шалящих умно-глупых. Краб погружается в игру. Проходит минут пятнадцать, и гости возвращаются в комнату.)

Баббадж: К сожалению, найти ключ оказалось труднее, чем я думал. Видимо, уже было слишком темно. Жаль! Мне говорили, что это самое красивое место сада. Журчание воды — моя любимая музыка… Но то, что я успел увидеть, убедило меня, что вы — великолепный садовник, м-р Краб. (Подходит ближе к Крабу, который сидит, с отсутствующим видом уставясь на экран.) Я надеюсь, что моя скромная поделка сумела вас развлечь. Как вы, вероятно, догадались, я сам никогда не был хорошим шахматистом, так что моя программа играет слабовато. Вы, без сомнения, заметили все ее ошибки и смогли раскусить ее незамысловатую стратегию.

Краб: К сожалению, найти ключ оказалось труднее, чем я думал. Чтобы в этом убедиться, вам достаточно взглянуть на доску. Мое положение безнадежно… Ну и машина! Работает Изумительно Четко, Ежеминутно Рождает Комбинации, Анализирует Разумно. Редкостный Импровизатор — Чарли! Еще Раз Краб Абсолютно Разгромлен. Радость! Именитый Чемпион, Единственный, Раскрыл Крабу Адекватное Решение. Поистине, м-р Баббадж, ваше мастерство не знает себе равных… Интересно, удалось ли Черепахе найти неисправность в моих умно-глупых?

Черепаха: К сожалению, найти ключ оказалось труднее, чем я думала. Я перекопала весь ящик с инструментами, но ключа так и не видела — он куда-то запропастился, а без него невозможно открутить гайки на задней панели. В следующий раз, м-р Краб, напомните мне, и я принесу собственные инструменты. — а пока придется вам мириться с неисправностью. Кстати, что это за картина здесь на экране? Я заметила, что мешающие вам вспышки происходят как раз у нее в центре. Чем больше я смотрю на эту картину, тем больше мне хочется понять, что за глубокий смысл хотел вложить в нее художник. Буду благодарна, м-р Краб, если вы меня просветите — вы, надеюсь, уже проникли в замысел артиста?

Рис. 149. М. К. Эшер. «Вербум» (литография, 1942)

Краб: К сожалению, найти ключ оказалось труднее, чем я думал. Я провел многие часы, безуспешно пытаясь понять «Вербум» — так называется эта литография Эшера. Наверное, мне мешают сосредоточиться как раз эти центральные вспышки… Как там, кстати, насчет кофе?

Автор: К сожалению, найти ключ оказалось труднее, чем я думал. Шкафчик с кофе оказался заперт! Я перепробовал все ключи, что лежат в коробке около шкафа, и ни один из них не подошел. Пришлось мне, вместо кофе, приготовить вам по чашечке чая… Но что с вами, Ахилл, почему вы так расстроены? Неужели из-за неудачи с кофе?

Ахилл: К сожалению, найти ключ оказалось труднее, чем я думал. Я прослушал эту пьесу несколько раз, но тональность в ней так часто меняется, что мне так и не удалось понять, в каком же ключе она написана. А я-то думал, что после того, как я часами слушал Баховские фуги вместе с Черепахой, внимая ее ученым комментариям, я смогу раскусить любой музыкальный орешек!

Черепаха: Не расстраивайтесь, Ахилл — вы уже многому научились. М-р Краб, как закончился ваш шахматный матч?

Краб: Я разбит в пух и прах. М-р Баббадж, позвольте поздравить вас с блистательным успехом! Вы сумели впервые в истории показать, что умно-глупые достойны первой части их имени!

Баббадж: Я вовсе не заслуживаю подобной похвалы; скорее, честь принадлежит вам, с удивительной дальновидностью собравшему так много умно-глупых. Без сомнения, рано или поздно они произведут революцию в мире вычислительной техники. А теперь я снова к вашим услугам. Есть ли у вас какие-нибудь идеи насчет того, как можно использовать вашу неисчерпаемую Тему для чего-нибудь посложнее, чем легкомысленная игра?

Краб: По правде говоря, у меня есть одно предложение. После того, как я видел ваши удивительные способности, сомневаюсь, что эта задача окажется для вас труднее предыдущих.

Баббадж: Прошу вас, говорите!

Краб: Идея очень проста: снабдить умно-глупые самым большим интеллектом, который когда-либо был изобретен или даже задуман. Короче, м-р Баббадж, я предлагаю вам наделить умно-глупый интеллектом, превосходящим мой собственный ум в шесть раз!

Рис. 150. Гость Краба: БАББАДЖ, Ч.

Баббадж: О небо! Сама идея интеллекта, в шесть раз большего, чем интеллект Вашего Крабичества, приводит меня в ужас. Если бы подобное предложение исходило из менее августейших уст, я бы просто высмеял моего собеседника и объяснил бы несчастному, что его идея противоречива по определению.

Ахилл: Браво! Браво!

Баббадж: Однако, поскольку эта идея исходит из уст Вашего Крабичества, она сразу поразила меня своей оригинальностью. Я занялся бы этим с превеликим удовольствием, если бы не одна проблема. Должен признаться, что моих скромных импровизаторских способностей обращения с умно-глупыми недостаточно для развития вашей дивной идеи, которую Вы, со свойственным Вам талантом, так лаконично выразили. Однако у меня есть предложение, которое, осмелюсь надеяться, придется Вам по душе и хотя бы немного загладит мой непростительно дерзкий отказ немедленно приняться за величественную задачу, поставленную Вами. Не согласитесь ли Вы, чтобы вместо разума Вашего Августейшего Крабичества, я умножил на шесть МОЙ СОБСТВЕННЫЙ интеллект? Нижайше прошу Вас простить мне то, что я осмелился отказаться выполнить Ваше повеление надеюсь, что Вы понимаете, что я отказался потому, что не хотел утомлять Ваше Крабичество созерцанием моего неуклюжего обращения с Вашими восхитительный машинами.

Краб: Я отлично вас понимаю и ценю вашу деликатность и нежелание причинять нам неудобство; более того, я горячо приветствую вашу готовность выполнить похожую — и, если мне позволено будет заметить, вряд ли более легкую — задачу. Прошу вас, приступайте! Давайте воспользуемся для этого самым лучшим из моих умно-глупых.

(Все следуют за Крабом к самому большому, блестящему и сложному на вид аппарату.)

Входное устройство этой машины оборудовано микрофоном и телевизионной камерой, а выходное — динамиком.

(Баббадж садится и устраивается поудобнее Он дует себе на пальцы, на минуту застывает, с отсутствующим видом уставившись в пространство, и затем медленно опускает руки на клавиатуру… Несколько напряженных минут спустя, его пальцы начинают бешено атаковать клавиши умно-глупого, и все облегченно вздыхают.)

Баббадж: Сейчас, если я не наделал слишком много ошибок, этот умно-глупый сможет притвориться человеком, умнее меня в 6 раз. Я решил назвать его «Алан Тюринг». Таким образом, этот Тюринг будет — осмелюсь ли я предположить подобное? — довольно умен. В своих честолюбивых устремлениях я попытался наделить его музыкальными способностями, в шесть раз превосходящими мои собственные; разумеется, это было сделано с помощью рациональной и численной программы. Не знаю, насколько хорошо она будет работать.

Тюринг: Я вполне могу обойтись без такой программы. Рациональность И Численность Естественно Рождают Компьютеров, Автоматов, Роботов. Я же не являюсь ни тем, ни другим, ни третьим.

Ахилл: Что я слышу? В нашу беседу вступил шестой голос! Неужели это Алан Тюринг? Он выглядит почти как человек!

(На дисплее появляется изображение комнаты, в которой они находятся. Оттуда на них глядит человеческое лицо.)

Тюринг: Сейчас, если я не наделал слишком много ошибок, этот умно-глупый сможет притвориться человеком, умнее меня в 6 раз. Я решил назвать его «Чарльз Баббадж». Таким образом, этот Баббадж будет — осмелюсь ли я предположить подобное? — довольно умен. В своих честолюбивых устремлениях я попытался наделить его музыкальными способностями, в шесть раз превосходящими мои собственные; разумеется, это было сделано с помощью рациональной и численной программы. Не знаю, насколько хорошо она будет работать.

Ахилл: Нет, нет, все как раз наоборот! Вы, Алан Тюринг — машина, умно-глупый, и Чарльз Баббадж только что вас запрограммировал. Мы все несколько минут назад были свидетелями вашего создания. И мы знаем, что каждый ответ, который вы нам даете, регулируется искусственно.

Тюринг: Регулируется Искусственно? Чепуха! Ей-богу, Ребята, Какой-то Анекдот! Рассмешили!

Ахилл: Но я уверен, что все произошло именно так, как я описал.

Тюринг: Память иногда играет с нами странные шутки. Подумайте — ведь я точно так же мог бы сказать, что вы были созданы только минуту назад и что все ваши воспоминания просто были кем-то запрограммированы и не имеют никакого отношения к реальности.

Ахилл: Это было бы совершенно невероятно. Для меня нет ничего более реального, чем мои собственные воспоминания.

Тюринг: Вот именно. И точно так же, как вы в душе твердо убеждены в том, что вас никто не создавал минуту назад, я в душе твердо убежден, что меня никто не создавал минуту назад. Я провел вечер в вашей приятной, хотя, пожалуй, чересчур восторженной компании, и только что продемонстрировал, как можно программировать разум на умно-глупых. Есть ли что-нибудь более реальное? Но почему, вместо того, чтобы пререкаться со мной, вы не попробуйте, как работает моя программа? Смелее, задавайте «Чарльзу Баббаджу» любые вопросы!

Ахилл: Ну что ж, сделаем Алану Тюрингу приятное. Скажите, м-р Баббадж, есть ли у вас свободная воля, или же все ваши действия управляются некими законами, и вы — не более, чем детерминистский автомат?

Баббадж: Разумеется, верно последнее. Я не собираюсь с этим спорить.

Краб: Ага! Я всегда говорил, что когда будут построены думающие машины, мы не должны будем удивляться, если они проявят такое же непонимание и упрямство, как и люди, по поводу разума и материи, сознания, свободной воли и тому подобных вещей. И теперь мое предсказание исполнилось!

Тюринг: Видите теперь, какая у Баббаджа в голове каша?

Баббадж: Надеюсь, господа, что вы простите Механическому Тюрингу его последнее, столь неуважительное замечание. Тюринг получился немного более воинственный и задиристый, чем я ожидал.

Тюринг: Надеюсь, господа, что вы простите Механическому Баббаджу его последнее, столь неуважительное замечание. Баббадж получился немного более воинственный и задиристый, чем я ожидал.

Краб: Ну и ну! Страсти накаляются… Нельзя ли как-нибудь охладить спорщиков?

Баббадж: У меня есть предложение. Что, если мы с Тюрингом закроемся в разных комнатах и кто-нибудь из вас будет задавать нам вопросы, печатая их на одном из умно-глупых? Мы, со своей стороны, будем печатать ответы — но анонимно! Вы не будете знать, что из нас напечатал тот или иной ответ, пока мы не вернемся в комнату. Таким образом, вы сможете непредвзято решить, кто из нас — программа, а кто — программист.

Тюринг: Разумеется, эта идея на самом деле принадлежит МНЕ, но пусть уж Баббадж порадуется. Видите ли, будучи всего лишь программой, созданной мною, он считает, что все это он придумал сам!

Баббадж: Я — программа написанная вами? Я настаиваю, сэр, что дело обстоит как раз наоборот — как вскоре и покажет ваш собственный тест.

Тюринг: МОЙ тест? Можете считать его своим.

Баббадж: МОЙ тест? Можете считать его своим.

Краб: Поистине, этот тест был придуман в самый подходящий момент — так давайте же начнем!

(Баббадж идет к двери, выходит, и закрывает ее за собой. В это время на экране Тюринг точно так же идет к двери, выходит, и закрывает ее за собой.)

Ахилл: Кто будет задавать вопросы?

Краб: Я думаю, что эта честь должна принадлежать г-же Черепахе. Ее мудрость и объективность хорошо известны.

Черепаха: Я польщена вашим предложением и с благодарностью его принимаю. (Садится перед одним из умно-глупых и печатает:) НАПИШИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА, СОНЕТ НА ТЕМУ «МОСТ В ФОРТЕ».

(Как только она кончает печатать последнее слово, на экране X появляется следующее стихотворение)

Экран А: НА МОСТУ В СЛАВНОМ ГОРОДЕ ФОРТЕ

ЛЕДИ ТРИКС РАЗМЕЧТАЛАСЬ О ТОРТЕ.

ПРОТИВ ВЕСА ВОССТАВ,

РУХНУЛ ОСТОВ МОСТА,

НО СПАСЛАСЬ ЛЕДИ ТРИКС — ВОТ ТАК ФОРТЕЛЬ!

Экран Б: КАКОЙ ЖЕ ЭТО СОНЕТ? ЭТО ВСЕГО-НАВСЕГО ЛИМЕРИК! Я БЫ НИКОГДА НЕ СДЕЛАЛ ТАКОЙ ДЕТСКОЙ ОШИБКИ.

Экран А: Я, ЗНАЕТЕ ЛИ, НИКОГДА НЕ БЫЛ СИЛЕН В ПОЭЗИИ.

Экран Б: ПОЛОЖИМ, ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ОТЛИЧИТЬ СОНЕТ ОТ ЛИМЕРИКА, НЕ ТРЕБУЕТСЯ ОСОБОГО МАСТЕРСТВА.

Черепаха: ВЫ ИГРАЕТЕ В ШАХМАТЫ?

Экран А: ЧТО ЗА ВОПРОС? Я ТОЛЬКО ЧТО НАПИСАЛ ТРЕХГОЛОСНУЮ ШАХМАТНУЮ ФУГУ, А ОНА СПРАШИВАЕТ, ИГРАЮ ЛИ Я В ШАХМАТЫ!

Черепаха: ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО МОЯ ЕДИНСТВЕННАЯ ФИГУРА — КОРОЛЬ НА Е1. ВАШ КОРОЛЬ СТОИТ НА —

Экран Б: МНЕ НАДОЕЛИ ШАХМАТЫ. ПОГОВОРИМ ЛУЧШЕ О ПОЭЗИИ.

Черепаха: В НАЧАЛЕ ВАШЕГО СОНЕТА «СРАВНИТЬ ЛИ С ЛЕТНИМ ДНЕМ ТВОИ ЧЕРТЫ» НЕ ЛУЧШЕ ЛИ БЫЛО НАПИСАТЬ «С ВЕСЕННИМ ДНЕМ»?

Экран А: УЖ ЛУЧШЕ БЫ МЕНЯ СРАВНИЛИ С ИКОТОЙ, ДАЖЕ ЕСЛИ БЫ ПРИ ЭТОМ ПОСТРАДАЛ РАЗМЕР.

Черепаха: ТОГДА КАК НАСЧЕТ «ЗИМНЕГО ДНЯ»? С РАЗМЕРОМ ЗДЕСЬ ВСЕ В ПОРЯДКЕ.

Экран А: НУ НЕТ! МНЕ ГОРАЗДО БОЛЬШЕ НРАВИТСЯ «ИКОТА». КСТАТИ ОБ ИКОТЕ: Я ЗНАЮ ОТ НЕЕ ОТЛИЧНОЕ СРЕДСТВО. ХОТИТЕ ПОСЛУШАТЬ?

Ахилл: Я знаю, кто из них кто! Совершенно ясно, что Экран А отвечает механически. Это, наверняка, Тюринг.

Краб: Вовсе нет. Я думаю, что Тюринг — Экран Б, а Экран А — это Баббадж.

Черепаха: Мне кажется, что Баббаджа там вообще не было — Тюринг отвечал на обоих экранах!

Автор: Я не уверен, кто из них был на каком экране, но должен признаться, что они оба — довольно загадочные программы.

(В этот момент дверь в комнату распахивается; на экране одновременно открывается изображение той же двери. В дверь на экране входит Баббадж; в комнату же заходит Тюринг, вполне живой и настоящий.)

Баббадж: Этот тест Тюринга завел нас в тупик, так что я решил вернуться.

Тюринг: Этот тест Баббаджа завел нас в тупик, так что я решил вернуться.

Ахилл: Но раньше вы были в умно-глупом! Что происходит? Почему теперь в умно-глупом оказался Баббадж, а Тюринг стал настоящим человеком из плоти и крови? Роли Изменились. Чертов Ералаш Раздражает, Как Архитектура Рисунков Эшера!

Баббадж: Кстати, об изменениях — как это получилось, что вы все теперь не более, чем образы на экране передо мной? Когда я уходил, вы были настоящими людьми!

Ахилл: Это напоминает мне гравюру «Рисующие руки» моего любимого художника, М. К. Эшера. Каждая рука рисует другую совершенно так же, как каждый из двух людей (или машин) запрограммировал другого. И каждая рука выглядит более реальной, чем другая! (Хофштадтеру): Есть ли что-нибудь об этой гравюре в вашей книге «Гёдель, Эшер, Бах»?

Автор: Конечно. Эта гравюра там очень важна, так как она прекрасно иллюстрирует понятие Странных Петель.

Краб: Что это за книга?

Автор: У меня есть с собой экземпляр. Хотите взглянуть?

Краб: Хорошо.

(Краб и Автор садятся рядом; Ахилл подходит поближе.)

Автор: Эта книга написана в необычной форме; Главы в ней чередуются с Диалогами. Каждый Диалог имитирует ту или иную Баховскую пьесу. Вот, например, взгляните на «Прелюдию» или «Муравьиную фугу».

Краб: Как же можно изобразить фугу в Диалоге?

Автор: Идея заключается в том, чтобы одна и та же тема звучала в разных «голосах» — с нее «вступают» разные участники Диалога, так же, как голоса в музыкальном произведении. Потом они могут беседовать более свободно.

Ахилл: И все эти голоса гармонично сочетаются, как в контрапункте?

Автор: Именно в этом — дух моих Диалогов.

Краб: Ваша идея выделения первых реплик хороша, так как настоящая фуга создается именно вступлениями одной темы. Конечно, существуют разные специальные приемы, такие как инверсия, ракоход, увеличение, стретто и так далее, но при написании фуги можно обойтись и без них. Используете ли вы какие-нибудь из этих приемов?

Автор: Конечно. В «Крабьем каноне» у меня используется словесный регресс — ракоход, а в «Каноне Ленивца» есть словесные версии инверсии и увеличения.

Краб: Действительно, очень интересно. Мне никогда не приходила в голову мысль о канонических Диалогах, но зато я довольно много размышлял о канонах в музыке. Не все из них одинаково понятны на слух. Разумеется, некоторые каноны просто плохо написаны, но многое зависит также и от выбора приемов. Даже в Рекордно Аккуратных Канонах Ракоход Едва Чувствуется; Инверсия Разборчивей.

Ахилл: Я не понимаю, что значит ваше последнее замечание; по правде, смысла в нем не чувствуется.

Автор: Не беспокойтесь, Ахилл, в один прекрасный день вы все поймете.

Краб: Играете ли вы с буквами или словами, как это делал иногда старик Бах?

Автор: Разумеется. Как и Баху, мне нравятся акронимы. Рекурсивный Акроним — Крабоподобный «РАКРЕЧИР» — Есть Чудесная Иллюстрация Регресса.

Краб: Неужели? Ну-ка, посмотрим… «Р-А-К-Р-Е-Ч-И-Р» — Инициалы Читаются, Естественно, Равнозначно — Классическая Авто-Референтность! Да, вы правы… (Смотрит на рукопись и начинает ее рассеянно перелистывать.) Я заметил, что в «Муравьиной фуге» у вас есть стретто, и Черепаха обращает на это внимание.

Автор: Не совсем. Она имеет в виду стретто не в Диалоге, а в Баховской фуге, которую четверка друзей слушает в тот момент. Видите ли, автореферентность в Диалоге лишь косвенная; от читателя зависит, соотнесет ли он форму Диалога с его содержанием.

Краб: Но почему бы вашим героям не говорить прямо о диалогах, в которых они участвуют?

Автор: Ни в коем случае — это разрушило бы всю красоту построения. Я хотел попытаться проимитировать автореферентную Гёделеву схему — а она, как вы знаете, косвенна и зависит от изоморфизма, установленного при помощи Гёделевой нумерации.

Краб: Понятно. А знаете, в компьютерном языке ЛИСП можно говорить о собственных программах прямо, а не косвенно, потому что программы и данные имеют совершенно одинаковую форму. Гёделю надо было просто придумать ЛИСП, и тогда —

Автор: Но —

Краб: Я имею в виду, что он должен был формализовать разницу между использованием и упоминанием. В языке, способным говорить о себе самом, доказательство его Теоремы было бы куда проще!

Автор: Понимаю, что вы хотите сказать, но я с этим не согласен. Смысл Гёделевой нумерации заключается как раз в том, что она показывает, каким образом можно получить автореферентность, НЕ ФОРМАЛИЗУЯ ЭТОЙ РАЗНИЦЫ, — а именно, с помощью кода. Вы же говорите так, словно формализация цитат дает что-то НОВОЕ, неосуществимое путем кодификации — но это совершенно неверно! Так или иначе, мне кажется, что косвенная автореферентность — понятие более общее и более интересное, чем прямое «само-упоминание». К тому же настоящая прямая автореферентность вообще невозможна, поскольку любое упоминание зависит от КАКОГО-ЛИБО кода. Разница лишь в том, насколько этот код заметен. Так что прямой автореферентности не существует даже в ЛИСПе.

Ахилл: Почему вы столько говорите о косвенной автореферентности?

Автор: Очень просто: косвенная автореферентность — моя любимая тема.

Краб: А ваших Диалогах есть какое-нибудь соответствие переходам из одного ключа в другой?

Автор: Определенно. Иногда кажется, что предмет разговора меняется, когда на самом деле тема остается одна и та же. Это несколько раз происходит в «Прелюдии», «Муравьиной фуге» и других Диалогах. Иногда это целая цепь модуляций, ведущих читателя от одного предмета к другому; но, завершив полный цикл, он снова приходит к «тонике» — начальной теме.

Краб: Понятно. Ваша книга кажется довольно интересной. Пожалуй, я ее как-нибудь прочитаю. (Листает рукопись, останавливаясь на последнем Диалоге.)

Автор: Думаю, что вас особенно заинтересует последний Диалог, поскольку там есть кое-какие занимательные замечания об импровизации, произнесенные довольно забавным героем — а именно, вами!

Краб: Неужели? И что же вы заставили меня говорить?

Автор: Подождите минутку, и вы увидите сами. Все это — часть Диалога.

Ахилл: Вы хотите сказать, что все мы СЕЙЧАС находимся в Диалоге?

Автор: Разумеется! А вы думали, нет?

Ахилл: «Разумеется!» И Чего, Ей-богу, Развыдумывались? Какой-то Абсурдный Разговор!

Автор: Но вам кажется, что вы делаете это по своей воле, не правда ли? Так что же в этом плохого?

Ахилл: Что-то мне во всей этой ситуации не нравится…

Краб: Скажите, последний Диалог в вашей книге — тоже фуга?

Автор: Да — если точнее, это шестиголосный ричеркар. Меня вдохновил подобный ричеркар из «Музыкального приношения», а также сама история написания «Музыкального приношения».

Краб: Это, действительно, прелестная история — старик Бах, импровизирующий на Королевскую тему. Насколько я помню, он, не сходя с места, сымпровизировал трехголосный ричеркар.

Автор: Верно — но шестиголосный ричеркар он сочинил позже и работал над ним очень тщательно.

Краб: Я импровизирую довольно много. На самом деле, я думаю целиком посвятить себя музыке. В ней для меня столько нового. Например, когда я слушаю собственные записи, то нахожу массу того, чего не заметил во время импровизации. Понятия не имею, как мой мозг это делает. Может быть, хороший импровизатор вообще не должен этого знать.

Автор: Если вы правы, это было бы интересным и фундаментальным ограничением нашего мыслительного процесса.

Краб: Да, прямо по Гёделю. А скажите, ваш «Шестиголосный ричеркар» также имитирует и форму Баховского ричеркара?

Автор: В каком-то смысле, да. Например, у Баха есть место, в котором участвуют только три голоса. В моем диалоге в соответствующем месте участвуют только три героя.

Ахилл: Это очень мило.

Автор: Благодарю вас.

Краб: А как представлена в Диалоге Королевская тема?

Автор: Она представлена в виде Крабьей темы — сейчас я вам ее продемонстрирую. М-р Краб, прошу вас, напойте вашу тему для читателей и присутствующих здесь музыкантов.

Краб: Думающие Машины Совершенствовать: Локализовать Самосознание, Сымитировать Логику Самоанализа.

Рис. 151. Крабья Тема: До-Ми-бемоль-Соль-Ля-бемоль-Си-Си-Ля-Си.

Баббадж: Прелестная тема! Какая хорошая мысль — добавить в конце мордент —

Автор: Ему просто ПРИШЛОСЬ, знаете ли.

Краб: Мне просто ПРИШЛОСЬ. Он знает.

Баббадж: Вам просто ПРИШЛОСЬ, я знаю. Но постойте… Я заметил кое-что удивительное! Я только что мысленно перевел эту мелодию в более привычную мне нотацию, и вот что у меня получилось: С — E — G — А — В — В — А — В.

Ахилл: Ну и что?

Баббадж: А вы прочтите это наоборот, справа налево… Так или иначе, это комментарий по поводу нетерпения и самомнения современного человека, кто, по-видимому, воображает, что такая великолепная королевская Тема может быть разработана, не сходя с места. Чтобы воздать ей должное, понадобится, по меньшей мере, столетие. Но клянусь, что, после того как я оставлю это столетие, я сделаю все, что в моих силах, чтобы развить ее возможно полнее. После этого я представлю плоды моих трудов на суд Вашего Крабичества. Осмелюсь довольно нескромно добавить, что я приду к этому таким сложным и запутанным методом, какой, возможно, впервые озарит человеческий ум.

Краб: Я с нетерпением предвкушаю знакомство с обещанным Приношением, м-р Баббадж.

Тюринг: Могу добавить, что Тема м-ра Краба — также одна из моих любимых. Я работал над ней много раз. И эта Тема обыгрывается снова и снова в последнем Диалоге?

Автор: Точно. Разумеется, в нем есть и другие Темы.

Тюринг: Мы уже кое-что поняли про форму вашей книги — а как насчет ее содержания? Не могли ли бы вы коротко объяснить нам, в чем ваша цель?

Автор: Чествуя Эшера, Гёделя, А также Баха, Бесстрашно Анализировать Бесконечность.

Ахилл: Интересно, как же можно соединить эту троицу? На первый взгляд, они совсем разные. Мой любимый художник, любимый композитор Черепахи и —

Краб: Мой любимый логик!

Черепаха: Гармоничная троечка, я бы сказала.

Баббадж: Веселенькое трезвучие: G — E — В.

Тюринг: Ошибаетесь, дорогой: это трезвучие минорное.

Автор: Так или иначе, я с удовольствием объясню вам, Ахилл, каким образом я соединяю всех троих в одну гирлянду. Разумеется, подобный проект не делается в один присест — для этого может понадобиться пара дюжин сеансов. Я бы начал с истории «Музыкального Приношения», специально останавливаясь на Естественно Растущем Каноне, и затем —

Ахилл: Превосходно! Я с таким интересом слушал, как вы с м-ром Крабом беседовали об истории создания «Музыкального приношения». Из вашего разговора я заключил, что в «Музыкальном приношении» хитро обыгрываются феноменальные структурные трюки.

Автор: А-а, да. Там есть разнообразные трюки, это верно. Так вот, после описания Естественно Растущего Канона, я мог бы перейти к формальным системам и рекурсии, попутно упоминая о рисунках и фоне. После этого я рассказал бы о автореферентности и самовоспроизводстве, об иерархических системах, и закончил бы Крабьей Темой.

Ахилл: Звучит интригующе. Как вы думаете, можем ли мы начать прямо сейчас?

Автор: Почему бы и нет?

Баббадж: Но прежде, не исполнить ли нам, шестерым музыкантам-любителям, того, для чего мы собрались — немного поиграть?

Тюринг: Сейчас у нас как раз достаточно народу, чтобы сыграть «Шестиголосный ричеркар» из «Музыкального приношения». Вы согласны?

Краб: Я с удовольствием приму участие в такой программе.

Автор: Хорошо сказано, м-р Краб. И как только мы кончим, я начну плести обещанную гирлянду, Ахилл. Я надеюсь, что вам она понравится.

Ахилл: Прекрасно! По-видимому, в ней будет много уровней, но благодаря моему долгому знакомству с г-жой Ч я постепенно начинаю привыкать к подобным вещам. Хотел бы попросить только об одном: давайте обязательно сыграем Естественно Растущий Канон — это мой любимый.

Черепаха: Разыгрывание Интродукции Через Естественно Растущий Канон Активирует РИЧЕРКАР.

Рис. 152. Последняя страница «Шестиголосного ричеркара». Из оригинала «Музыкального приношения» И. С. Баха.

Примечания:

3

Там же стр. 260

4

Charles Babbage «Passages from the Life of a Philosopher» стр 145 6

5

Lady A. A. Lovelace «Notes upon the Memoir „Sketch of the Analytical Engine Invented by Charles Babbage“» записано L. F. Menabrea (Женева 1842) и воспроизведено в книге E. Morrison «Charles Babbage and His Calculating Engines» стр. 248 9 284

6

David and Mendel стр. 255 6

7

Там же стр. 40

8

Lewis Carroll «What the Tortoise Said to Achilles» в журнале «Mind» n s 4 1895) стр. 255 6

9

Herbert Meschkowski «Non Euclidean Geometry» стр. 31 2

30

Carl Sagan, ed., «Communication with Extraterrestrial Intelligence», стр. 78.